时间序列的协整和误差修正模型

时间序列模型时间序列分析是现代计量经济学的重要内容，是研究经济变量的动态特征和周期特征及其相关关系的重要工具，被广泛应用经济分析和预测中。

时间序列按其平稳性与否又分为平稳时间序列和非平稳时间序列。

1．ARMA与ARCH模型2．协整与误差修正模型3．向量自回归模型1第五讲ARMA与ARCH模型本讲中将讨论时间序列的平稳性（stationary）概念及自回归模型(Autoregressive models)、移动平均模型(Moving average models)、自回归移动平均模型(Autoregressive moving average models)、自回归条件异方差模型(Autoregressivec conditional Heteroscedasticity models)的识别、估计、检验、应用。

23一、时间序列的平稳性（一）平稳时间序列所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。

严格地讲，如果一个随机时间序列，对于任何时间，都满足下列条件：t y t Ⅰ）均值；()t E y μ=∞ Ⅱ）方差，是与时间无关的常数；22()()t t Var y E y μσ=-=t Ⅲ）自协方差,是只与时期间隔有关，{}(,)t t k t t k k Cov y y E y y μμγ--=--=（）(）k 与时间无关的常数。

t4则称该随机时间序列是平稳的。

生成该序列的随机过程是平稳过程。

例5.1．一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：= ~该序列常被称为是一个白噪声（white noise ）。

t y t εt ε2(0,)iid σ 由于具有相同的均值与方差，且协方差为零,满足平稳性条件,是平稳的。

t y 例5.2．另一个简单的随机时间列序被称为随机游走（random walk ）：~，是一个白噪声。

1t t t y y ε-=+t ε2(0,)iid σ 容易判断该序列有相同的均值：，但是方差,即1()()t t E y E y -=2()t Var y t σ=的方差与时间t 有关而非常数，它是一非平稳序列。

协整与误差修正模型的研究第一部分协整理论概述 (2)第二部分误差修正模型介绍 (4)第三部分协整与误差修正关系 (7)第四部分模型构建与检验方法 (9)第五部分实证分析应用案例 (13)第六部分结果解释与经济含义 (16)第七部分模型局限性与改进方向 (18)第八部分研究展望与未来趋势 (22)第一部分协整理论概述协整理论概述在经济学和金融学中，我们常常遇到时间序列数据之间的长期均衡关系。

然而，在实际经济活动中，这种均衡关系并不总是能够得到严格的保持，而是存在着一定程度的波动和偏差。

为了解决这一问题，经济学家们提出了协整理论。

协整理论是指两个或多个非平稳的时间序列之间存在一种长期稳定的关系。

换言之，即使各时间序列本身是随机游走的过程，它们之间也可能存在一个稳定的线性组合，使得这个组合呈现出平稳性质。

协整理论的发展为研究经济变量之间的长期动态关系提供了一个强有力的工具。

协整理论的核心思想是由 Engle 和Granger 于1987 年提出的。

他们认为，如果两个非平稳的时间序列之间存在协整关系，则这两个时间序列可以通过一个线性组合达到长期均衡状态，且这个线性组合具有零均值、有限方差和恒定自相关等特性。

在这个意义上，我们可以将协整关系看作是一种长期均衡关系的表现形式。

为了检验两个时间序列之间是否存在协整关系，Engle 和 Granger 提出了一种两步法：首先检验每个时间序列是否为非平稳过程；然后，如果这两个时间序列都是非平稳过程，再通过回归分析来检验它们之间是否存在协整关系。

这种方法被称为 Engle-Granger 两步协整检验。

除了 Engle-Granger 两步协整检验之外，还有许多其他的方法可以用来检验协整关系，例如 Johansen 检验和 Pedroni 检验等。

这些方法都可以有效地帮助我们确定不同时间序列之间的协整关系。

协整理论不仅用于检验不同时间序列之间的长期均衡关系，还可以用于构建误差修正模型。

第三节协整理论——时间序列模型的协整关系一、问题来源来源：伪回归（虚假回归）现象MC（蒙特卡罗）的模拟结果发现：利用2个相互独立的非平稳序列、或者2个都包含时间趋势但彼此无关的序列，可能建立显著的回归模型；称这种现象为“伪回归”现象，所建立的模型是伪回归模型。

伪回归现象意味着传统统计检验方法失去意义，需要重新讨论对非平稳序列能否直接建立回归模型的问题。

二、平稳性（一）平稳时间序列定义：μ=)(t y E)(),(s r y y COV s t t =- （序列的相关性只与间隔有关，与时刻无关） 推论：)0()(r y D t = = 常数图形特征：（1）在均值周围波动，频繁穿越均值；（2）波动幅度大致相同；-2-112240260340360DJ PY图1 日元兑美元差分序列 图2上证综指收益率平稳时间序列的含义：任何外来冲击（或振动）对序列变动轨迹的影响是短暂的，t时刻的振动影响在t+1期会减弱，t+2期会更弱，随着时间推移这种影响会逐渐消失，序列将恢复到其平均水平（称外来冲击影响具有“短记忆”特征）。

但是，对于非平稳时间序列，振动的影响会无限地持续下去，t时刻的振动影响不会在以后的时期中衰减，所以序列也难以恢复到一个稳定状态，外来冲击影响有长记忆性。

（二）常见平稳序列1．白噪声过程（white noise ）0)(=t y E 2)(σ=t y D 0),(=-s t t y y COV记成： y t ~ i.i.d (0, σ2)古典回归模型中的随机误差项即为白噪声序列。

2．自回归过程（Auto regression —AR 过程）1t t t y y ρε-=+ ||1ρ<,εt ~ i.i.d (0, σ2)（三）常见非平稳序列1．趋势平稳过程（trend stationary）（又称为：退势平稳过程，确定趋势过程）。

y t =α + βt + εt , εt~i.i.d(0, σ2)性质：（1）E (y t )=α + βt ， D (y t ) = σ2 , COV(y t ，y t-s ) = 0（2）图形：围绕趋势线等幅波动，外来冲击影响短暂；（3）可以扩展成带趋势的AR 过程：1t t t y t y αβρε-=+++ ||1ρ<特点：由于存在长期趋势使得均值不是常数，所以是非平稳序列；但是序列始终围绕着趋势线波动，外来冲击是短记忆的，所以又具备平稳序列的特征。

时间序列的协整检验与误差修正模型讲义时间序列的协整检验与误差修正模型是在经济学和金融学中广泛使用的方法，用于分析两个或多个变量之间的长期稳定关系。

本讲义将介绍协整检验的基本概念和步骤，并讨论误差修正模型的理论背景和实际应用。

一、协整检验1. 概念与原理协整是指两个或多个变量之间存在长期稳定的关系，即它们的线性组合是平稳的。

协整关系可以用来解释一个变量对另一个变量的影响，并提供长期均衡关系的信息。

协整检验的基本原理是利用单位根检验方法，测试变量是否存在单位根（非平稳性）。

如果变量存在单位根，则它们是非平稳的；如果变量不存在单位根，则它们是平稳的。

如果变量之间存在协整关系，它们的线性组合将是平稳的。

2. 协整检验的步骤协整检验的一般步骤如下：- 收集数据并绘制时间序列图，观察变量之间的趋势和关系；- 进行单位根检验，常用的方法包括ADF检验、Phillips-Perron检验等；- 如果变量存在单位根，则进行差分，直到变量变为平稳的；- 应用最小二乘法等方法，估计协整关系方程；- 进行残差平稳性检验，确保协整关系的合理性；- 如果协整关系存在，可以进行模型的进一步分析与应用。

二、误差修正模型（Error Correction Model, ECM）1. 概念与原理误差修正模型是一种动态模型，用于解释协整关系的调整速度和误差纠正机制。

在误差修正模型中，除了协整关系的线性组合外，还引入了误差修正项，用于捕捉变量之间的短期非平衡关系。

误差修正项反映了系统离开长期均衡后的调整速度，通过估计误差修正项的系数，可以判断系统是否有趋向于均衡的能力。

当误差修正项的系数为负数且显著时，表示系统具有自我修复的能力；当系数为零时，表示系统处于长期均衡状态；当系数为正数时，表示系统趋向于进一步偏离均衡。

2. ECM模型的应用误差修正模型可以用于解释和预测时间序列数据的长期和短期动态变化。

它在经济学和金融学中有广泛的应用，如货币供给与通货膨胀、利率与消费支出、汇率与经济增长等领域。

时间序列的协整检验与误差修正模型时间序列的协整检验与误差修正模型是经济学中常用的方法，用于分析两个或多个变量之间的长期关系。

协整检验是在时间序列数据中，判断变量之间是否存在长期平衡关系的一种方法。

误差修正模型是在协整关系已经验证的基础上，建立起变量之间的因果关系，对短期的偏离进行修正的模型。

协整检验的原理是基于单位根检验的思想，判断时间序列是否为平稳序列。

平稳序列是指序列的均值和方差不随时间发生变化。

如果两个变量都是非平稳序列，但它们的线性组合是平稳序列，那么可以认为这两个变量是协整的。

常用的协整检验方法有Engle-Granger方法和Johansen方法。

Engle-Granger方法是一种直观简单的协整检验方法。

它的步骤如下：首先，分别对两个变量进行单位根检验，确认它们是否为非平稳序列。

然后，对两个变量进行线性回归，得到残差序列。

接下来，对残差序列进行单位根检验，确认它是否为平稳序列。

最后，如果残差序列是平稳序列，则可以判断两个变量之间存在协整关系。

协整检验完成后，接下来可以建立误差修正模型。

误差修正模型是基于协整关系的基础上建立起来的，以短期的偏离修正为核心。

它的核心假设是，在长期平衡关系的约束下，两个变量之间的短期偏离可以通过一个修正项来消除。

误差修正模型的基本形式是多元线性回归模型，其中包含自变量、因变量以及一个误差修正项。

误差修正模型的估计和推断可以使用最小二乘法或最大似然法等统计方法进行。

通过对误差修正模型的估计和推断，可以对变量之间的因果关系进行分析。

同时，误差修正模型还可以用于预测和决策分析。

综上所述，时间序列的协整检验与误差修正模型是分析变量之间长期关系的重要工具。

协整检验可以判断变量是否具有长期平衡关系，而误差修正模型则可以分析变量之间的短期调整过程。

这些方法在经济学、金融学、管理学等领域都有广泛的应用。

时间序列的协整检验与误差修正模型是经济学中常用的方法，用于分析两个或多个变量之间的长期关系。

协整与误差修正模型在处理时间序列数据时， 我们还得考虑序列的平稳性。

如果一个时间序列的均值或自协 方差函数随时间而改变， 那么该序列就是非平稳的。

对于非平稳的数据， 采用传统的估计方 法，可能会导致错误的推断，即伪回归。

若非平稳序列经过一阶差分变为平稳序列，那么该 序列就为一阶单整序列。

对一组非平稳但具有同阶的序列而言， 若它们的线性组合为平稳序 列，则称该组合序列具有协整关系。

对具有协整关系的序列， 我们算出误差修正项，并将误 差修正项的滞后一期看做一个解释变量， 连同其他反映短期波动关系的变量一起。

建立误差 修正模型。

建立误差修正模型的步骤如下： 首先，对单个序列进行单根检验， 进行单根检验有两种： ADF ( Augument Dickey-Fuller )和 DF(Dickey-Fuller) 检验法。

若序列都是同阶单整，我们就 可以对其进行协整分析。

在此我们只介绍单个方程的检验方法。

对于多向量的检验参见 Johensen 协整检验。

我们可以先求出误差项， 再建立误差修正模型， 也可以先求出向量误差 修正模型， 然后算出误差修正项。

补充一点的是， 误差修正模型反映的是变量短期的相互关 系，而误差修正项反映出变量长期的关系。

下面我们给出案例分析。

案例分析在此，我们考虑从 1978 年到 2002 年城镇居民的人均可支配收入 income 与人均消费水 平 consume 的关系，数据来自于《中国统计年鉴》 ，如表 8.1 所示。

根据 相对收入假设理论 ， 在一定时期， 人们的当期的消费水平不仅与当期的可支配收入、 而且受前期的消费水平的影 响，具有一定的消费惯性， 这就是消费的棘轮效应。

从这个理论出发， 我们可以建立如下 (8.1) 式的模型。

同时 根据生命周期假设理论 ，消费者的消费不仅与当期收入有关， 同时也受过去 各项的收入以及对将来预期收入的限制和影响。

从我们下面的数据分析中， 我们可以把相对 收入假设理论与生命周期假设理论联系起来， 推出如下的结果： 当期的消费水平不仅与当期 的可支配收入有关， 而且还与前期的可支配收入、 前两期的消费水平有关。

向量误差修正一 模型的概述1 VEC 模型向量误差修正模型VEC 是协整与误差修正模型的结合。

只要变量之间存在协整关系，就可以由自回归分布滞后模型导出误差修正模型，即VEC 模型是建立在协整基础上的V AR 模型，主要应用于具有协整关系的非平稳时间序列建模。

V AR 模型的表达式为：11=1=+++ =1, 2,, p t t i t i t t i t T ---∆∆∑y ecm y x αΓH ε式中t y 为k 维内生变量列向量，其各分量都是非平稳的()1I 变量；t x 是d 维外生向量，代表趋势项、常数项等确定性项；每个方程都是一个误差修正模型，1t -ecm 是误差修正项向量，反映变量之间的长期均衡关系；系数矩阵α反映了变量之间偏离长期均衡状态时，将其调整到均衡状态的调整速度；解释变量的差分项的系数反映各变量的短期波动对作为被解释变量的短期变化的影响；t ε是k 维扰动向量。

2 诊断检验2.1 Johansen 协整检验Johansen 协整检验基于回归系数进行检验，其基本思想为： 对()VAR p 模型11=1=+++ =1, 2,, p t t i t i t t i t T ---∆∆∑y ecm y x αΓH ε两端减去1t -y 再变形可以得到11=1=+++ =1, 2,, p t t i t i t t i t T ---∆∆∑y y y x ∏ΓH ε其中的,t ∆y t j -∆y ()=1,2,j p 都变为()0I 变量构成的向量，只要1t -∏y 是()0I 的向量，即1t -y 的各分量之间具有协整关系，就能保证t ∆y 是平稳过程，而这主要依赖于矩阵∏的秩。

设∏的秩为r ，则0<<r k 时才有r 个协整组合，其余k r -个关系仍为()1I 关系。

这种情况下，∏可以分解为两个k r ⨯阶矩阵α和β的乘积：=∏αβ'其中()()=,=r r r r αβ，则模型变为1'1=1=+++ =1, 2, , p t t i t i t t i t T ---∆∆∑y y y x αβΓH ε式中'1t -βy 为一个()0I 向量，β为协整向量矩阵，其每一列所表示的1t -y 的各分量线性组合都是一种协整形式，矩阵β决定了1t -y 的各分量之间协整向量的个数（r ）与形式。

五 单位根检验、协整与误差修正模型【实验目的与要求】1.准确掌握单位根检验方程的形式和检验原理。

2.准确掌握单整、协整和误差修正模型的概念和形式。

3.学会利用单位根检验方法对样本序列进行协整关系检验。

4.熟练掌握运用误差修正模型对样本序列间的短期、长期关系进行分析。

5. 在老师的指导下独立完成实验，得到正确的结果，并完成实验报告。

【实验准备知识】在上个实验中，我们学习了如何运用相关分析图判断随机过程是否平稳，但这种方法比较粗略。

检验随机过程是否平稳的一种比较正式的方法就是单位根检验。

在介绍单位根检验之前，我们有必要认识几种典型的非平稳随机过程。

1. 几种典型的非平稳随机过程（1） 随机游走过程t t t u y y +=-1，t u ~ IID(0, 2σ) （5.1）随机游走过程上个实验已经介绍，这里不再赘述。

图5—1为一个00=y ，t u ~ IID(0, 1)的随机游走过程的序列图。

-8-6-4-2图5—1 一个随机游走过程的序列图（2） 随机趋势过程t t t u a y y ++=-1，t u ~ IID(0, 2σ) （5.2） 其中a 称作位移项或漂移项。

将上式作如下迭代变换：∑=---++==++++=++=t i it t t t t t u y at u a u a y u a y y 10121)( （5.3）可知，t y 由时间趋势项at 和∑=+ti iu y 10（可看作截距项）组成。

在不存在任何冲击t u 的情况下，截距项为0y 。

而每个冲击t u 都表现为截距的移动。

每个冲击u t 对截距项的影响都是持久的，导致序列的条件均值发生变化，所以称这样的过程为随机趋势过程或有漂移项的随机游走过程。

图5—2为一个t t t u y y ++=-3.01，00=y ，t u ~ IID(0, 1)的随机趋势过程的序列图。

图5—2 一个随机趋势过程的序列图图5—2表明，虽然总趋势不变，但该过程围绕趋势项上下游动。

时间序列的协整和误差修正模型时间序列分析中，协整和误差修正模型是两个重要的概念。

协整是指两个或多个时间序列之间的长期关系，而误差修正模型是一种用来修正时间序列中的误差的模型。

协整是经济学家提出的一个概念，用来解决时间序列数据存在的非平稳性的问题。

在实际应用中，有很多时间序列数据是非平稳的，即其均值和方差不随时间变化而保持不变。

然而，这些非平稳的时间序列之间可能存在长期的关系，也就是说它们会随着时间变化而趋于稳定。

这种关系可以通过协整分析来检验和建模。

协整模型的一种常见形式是误差修正模型（Error Correction Model，ECM）。

误差修正模型是建立在协整模型的基础上的，它可以用来描述时间序列数据之间的长期关系，并且考虑了这些时间序列数据之间的短期变动。

在误差修正模型中，如果两个时间序列之间存在协整关系，那么它们之间的生成误差（随机扰动）会导致它们之间的偏离程度逐渐回归到长期均衡的水平。

因此，误差修正模型是通过引入误差修正项来解决协整关系中存在的短期波动的问题。

误差修正模型的基本思想是，当两个时间序列之间存在协整关系时，如果它们之间的误差超过一定的阈值，那么它们之间的误差就会被修正回长期均衡的水平。

这种修正过程可以通过引入一个误差修正项来实现，从而使得模型具备误差修正的能力。

总之，协整和误差修正模型是对时间序列数据进行建模和分析的重要工具。

协整可以用来检验和描述时间序列之间的长期关系，而误差修正模型则是在协整的基础上引入修正项，用来处理时间序列之间的短期波动。

这些方法在经济学和金融学等领域中具有广泛的应用价值。

协整和误差修正模型是时间序列分析中非常重要的概念。

协整是指两个或多个非平稳时间序列之间存在的长期关系，而误差修正模型则是通过引入误差修正项来描述时间序列的短期波动。

在实际应用中，许多经济和金融时间序列是非平稳的，即它们的均值和方差会随时间变化而发生变动。

这种非平稳性可能会导致误导性的统计结果，因为传统的统计方法要求时间序列数据是平稳的。