1、应力和应变
应力和应变的概念可以通过考虑一个棱柱形杆的拉伸这样一个简单的方式来说明。一个棱柱形的杆是一个遍及它的长度方向和直轴都是恒定的横截面。在这个实例中，假设在杆的两端施加有轴向力F，并且在杆上产生了均匀的伸长或者拉紧。
通过在杆上人工分割出一个垂直于其轴的截面mm，我们可以分离出杆的部分作为自由体【如图1(b)】。在左端施加有拉力P，在另一个端有一个代表杆上被移除部分作用在仍然保存的那部分的力。这些力是连续分布在横截面的，类似于静水压力在被淹没表面的连续分布。
力的集度，也就是单位面积上的力，叫做应力，通常是用希腊字母，来表示。假设应力在横截面上是均匀分布的【如图1(b)】，我们可以很容易的看出它的合力等于集度，乘以杆的横截面积A。而且，从图1所示的物体的平衡，我们可以看出它的合力与力P必须的大小相等，方向相反。因此，我们可以得出
等式(1)可以作为棱柱形杆上均匀应力的方程。这个等式表明应力的单位是，力除以面积。当杆被力P拉伸时，如图所示，产生的应力是拉应力，如果力在方向是相反，使杆被压缩，它们就叫做压应力。
使等式(1)成立的一个必要条件是，应力，必须是均匀分布在杆的横截面上。如果轴向力P作用在横截面的形心处，那么这个条件就实现了。当力P 没有通过形心时，杆会发生弯曲，这就需要更复杂的分析。目前，我们假设所有的轴向力都是作用在横截面的形心处，除非有相反情况特别说明。同样，除非另有说明，一般也假设物体的质量是忽略的，如我们讨论图1的杆一样。
轴向力使杆产生的全部伸长量，用希腊字母δ表示【如图1(a)】，单位长度的伸长量，或者应变，可以用等式来决定。 L是杆的总长。注意应变ε是一个无量纲的量。只要应变是在杆的长度方向均匀的，应变就可以从等式(2)中准确获得。如果杆处于拉伸状态，应变就是拉应变，代表材料的伸长或者
，那么应变就是压应变，这也就意味着杆上临近的横截面是互相靠近的。
当材料的应力和应变显示的是线性关系时，也就是线弹性。这对多数固体材料来说是极其重要的性质，包括多数金属，塑料，木材，混凝土和陶瓷。处于拉伸状态下，杆的应力和应变间的线性关系可以用简单的等式来表示。E 是比例常数，叫做材料的弹性模量。
注意E和应力有同样的单位。在英国科学家托马斯·杨(1773 ~ 1829)研究杆的弹性行为之后，弹性模量有时也叫做杨氏模量。对大多数材料来说，压缩状态下的弹性模量与处于拉伸时的弹性模量的一样的。
2、拉伸应力应变行为
一个特殊材料中应力和应变的关系是通过拉伸测试来决定的。材料的试样通常是圆棒的形式，被安置在测试机上，承受拉力。当载荷增加时，测量棒上的力和棒的伸长量。力除以横截面积可以得出棒的应力，伸长量除以伸长发生方向的长度可以得出应变。通过这种方式，材料的完整应力应变图就可以得到。
图1所示的是结构钢的应力应变图的典型形状，轴向应变显示在水平轴，对应的应力以纵坐标表示为曲线OABCDE。从O点到A点，应力和应变之间是直接成比例的，图形也是线性的。过了A点，应力应变间的线性关系就不存
在了，因此A点处的应力叫做比例极限。
随着荷载的增加，应变比应力增加的更快，直到在B点，在拉应力没有明显增大的情况下，物体也发生了相当大的伸长。这种现象叫做材料的屈服，点B处的应力叫做屈服点或者屈服应力。在区域BC材料开始具有塑性，棒也开始塑性伸长，伸长量是在比例极限处伸长量的10或者15倍。
在C点，材料开始应变硬化，并且进一步的阻力，阻止载荷的增加。这样，随着进一步的伸长，应变增加，并且在D点达到最大值，或者极限应变。过了这一点，棒的拉伸伴随着载荷的减少，试样最后在图上E点断裂。
在棒伸长期间，发生了侧面的收缩，导致棒的横截面积减小。这个现象在C点之前，对应力应变图没有影响，但是过了这一点，面积的减小对应力的计算值有明显的影响。棒就会发生明显的颈缩(如图2所示)，并且如果颈处狭窄部分的实际横截面积被用于计算σ，将会发现真实的应力应变曲线是虚线CE。尽管在极限应力达到之后，棒上的总荷载有实际的减小，这个减小是由于面积的减少，而不是材料强度的减小。
在失效点之前，材料实际经受了应力的增加。然而，为了多数实用目的，常规的应力应变曲线OABCDE是基于试样最初的横截面积，为设计目的提供了令人满意的信息。
图1的图形，画出来是为了表示应力应变曲线的一般特性。在应力应变曲线的最初区域，材料表现的既有弹性又有线性。钢材的应力应变图上的从O 到A的区域就是很好的例子。紧接着大的塑性应变，明显屈服点的出现，对于在今天是很普通的结构化金属——钢材来说稍微有点独特。铝合金从线性到非线性区域是更渐渐的转变。
在失效之前，钢和许多铝合金承受了更大的应变，所以被归类为易延展的。另一方面，脆性材料在很低的应变时就失效了。实例包括陶瓷，铸铁，混凝土，某些金属合金，和玻璃。
3、圆棒的扭转
让我们设想一下，一个具有圆形横截面的棒被作用在其末端的力偶扭转(如图1)。以这种方式加载的棒据称是处于纯扭转。从考虑对称性可以看出，圆棒的横截面在纵轴方向是作为刚体扭转的，半径依然是直的，横截面是圆形的。并且，如果棒扭转的总角度比较小的话，棒的长度和半径r都不会改变。
在扭转期间，对应于棒的一端，棒的另一端绕着纵轴会发生扭转。例如，如果我们把棒的左端看做固定的，那么对应于棒的左端，棒的右端会旋转一个角度。同时，棒表面的纵向线例如nn，会旋转一个小的角度到位置。因为扭转，棒表面的矩形单元，例如图中所示的在两个横截面之间相距的单元，被扭转成长菱形。
当一个杆状物承受纯扭转时，扭转角的变化率沿着棒的长度方向是恒定
L是轴的长度。然后，我们可以得到切应变。作用在单元边线处的切应力有图1所示的方向。对于线弹性材料，切应力大小是。等式(1)(2)把杆状物的应变和应力与单位长度的扭转角联系起来。
杆状物内部的应力表述用的方式类似于用于杆状物表面的表述方式。因为棒横截面的半径依然是直的，在扭转时没有扭曲，我们看到位于半径为ρ的圆柱体表面的内部单元，是纯剪切并伴随着对应的切应变，应力可以从下
