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课外作业 一．选择题，1. ．函数x x x x f +--=23)(的单调减区间是 ( )A ．（)1,-∞- B.),31(∞ C ．（)1,-∞-和),31(∞ D.)31,1(-解: 'f （x ）=-32x -2x+1<0，所以x>31或x<-1，故选C 2．函数xxx f sin )(=，则 ( ) A ．)(x f 在),0(π内是减函数 B. )(x f 在),0(π内是增函数C ．)(x f 在)2,2(ππ-内是减函数 D. )(x f 在)2,2(ππ-内是增函数 解: 'f （x ）=2sin cos xx x x -，当x ∈),0(π时'f （x ）<0，故选A 3. .函数()(1)x f x x e 的单调递增区间是 （ ）A .[0，＋∞）B . [2，＋∞）C .（－∞，2]D .（－∞，1]解：令'f （x ）=x e -（x-1）xe >0,得2-x>0,x<2，故选C4..()f x '是f （x ）的导函数，()f x '的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ）A B C DA ．B ．C ．D ． 解：)('x f 越大表示曲线f （x ）递增（减）速度越快，故选D5.下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A.y=sinx+1, B.xxe y = C.x x y -=3D.x x y -+=)1ln(解：y=sinx+1是周期函数，不满足条件； xxe y =，则'y =x e +x xe ,当x>0时'y >0成立。
故选B6.对于R 上可导的任意函数，若满足()()01/≥-x fx ，则必有（ ）A . ()()()1220f f f <+ B. ()()()1220f f f >+ C . ()()()1220f f f ≥+ D. ()()()1220f f f ≤+解：x ≥1时'f （x ）≥0；x ≤1时'f （x ）≤0。
《导数及其应用》一、选择题1。
0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的:A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ,则函数()cos y g x x =的部分图象可以为A 。
B. C 。
D.3．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( ）4.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b在点(0，b ）处的切线方程是x －y ＋1＝0，则（ ）A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1 5．函数f (x ）＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x ）在x ＝－3时取得极值,则a 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56。
设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于 （ )A 、0B 、4-C 、2-D 、27。
直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．eC ．ln 2D ．18。
若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或C ．22<<-kD ．不存在这样的实数k9.函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示， 则函数()f x 在(),a b 内有极小值点 （ )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为（ ) A ．3 B ．52 C ．2 D ．32二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11。
导数及其应用一、知识梳理：（一）导数概念及基本运算1、导数的几何意义：曲线y=f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数f ’（ x 0）就是过点（x 0，y 0）的切线的斜率,相应地，切线方程为2、几种常见函数的导数：'c = （c 为常数）； ()n x '= （R n ∈）；'(sin )x = ； '(cos )x = ；(ln )x '= ； (log )a x '= ；'()x e = ； '()x a =3、运算法则：'()u v ±= ；'()uv = ；'u v ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (0)v ≠。
4、问题1：求下列函数的导数：（1）31()213f x x x =++ （2） cos x y e x = （3）2tan y x x =+问题2：cos y x x =在3x π=处的导数值是___________.问题3. 求322+=x y 在点)5,1(P 的切线方程。
（二）导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内 ；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内 .2. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 ，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是注：若函数f (x )在点x 0处取得极值，则f ‘(x 0)= 。
导数及其应用同步练习附答案1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( )A ．－3π2 B ．－1π2 C ．－3πD ．－1π解析：选C ．因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π.2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C ．由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.3．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7.所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14.又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.4．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B ．由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( )A ．1B ． 2C ．22D ． 3解析：选B ．因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2. 6．曲线y ＝ln x 在与x 轴交点处的切线方程为________．解析：因为曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1，0)，且函数y ＝ln x 的导函数为y ′＝1x ，所以曲线y ＝ln x 在点(1，0)处的切线的斜率为k ＝11＝1.即过点(1，0)，且斜率为1的直线的方程为y －0＝1(x －1)，整理得x －y －1＝0.答案：x －y －1＝07．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 018)＝________． 解析：令e x ＝t ，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ＋t ，故f (x )＝ln x ＋x .求导得f ′(x )＝1x ＋1，故f ′(2 018)＝12 018＋1＝2 0192 018.答案：2 0192 0188．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1.答案：19．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意得⎩⎨⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， 所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，。
导数及其应用一、选择题(共15小题，每小题4.0分,共60分)1.下列求导运算正确的是()A．′＝x B．(x e x)′＝e x＋1 C．(x2cos x)′＝－2x sin x D．′＝1－2.已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a，b∈R且ab≠0)的图象如图所示，若|x1|>|x2|，则有()A．a>0，b>0 B．a<0，b<0 C．a<0，b>0 D．a>0，b<03.已知函数f(x)＝x2＋cos x，f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(x)的图象大致是() A．B．C．D．4.函数f(x)＝x－sin x在区间[0，π]上的最大、最小值分别为()A．π，0 B．－，0 C．π，－1 D．0，－15.ʃ(e x＋e－x)d x的值为()A．e＋B．2e C．D．e－6.已知f(x)＝x＋在(1，e)上为单调函数，则实数b的取值范围是()A．(－∞，1]∪[e2，＋∞)B．(－∞，0]∪[e2，＋∞)C．(－∞，e2] D．[1，e2] 7.若函数f(x)＝x2－a ln x在(1，＋∞)上为增函数，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]8.设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)()A．在区间，(1，e)内均有零点B．在区间，(1，e)内均无零点C．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点D．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点9.已知函数f(x)＝x2－2ln x，若关于x的不等式f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则实数m的取值范围是()A．(－∞，e2－2) B．(－∞，e2－2] C．(－∞，1) D．(－∞，1]10.曲线y＝x2－2ln x的单调增区间是()A ． (0,1]B ． [1，＋∞)C ． (－∞，－1]和(0,1]D ． [－1,0)和[1，＋∞) 11.由曲线y ＝与直线y ＝2x －1及x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A ．B ．C ．D ．12.一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车从刹车到停车走过的路程为( )A ． 405B ． 540C ． 810D ． 94513.已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) A ． (2,3) B ． (3，＋∞) C ． (2，＋∞) D ． (－∞，3)14.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( )A ． －4B ． 3C ． －2D ． 115.函数f (x )＝{2−x,x ≤0,√4−x 2,0<x ≤2,则∫f(x)dx 2−2的值为( ) A ． π＋6 B ． π－2 C ． 2π D ． 8二、填空题(共6小题，每小题4.0分,共24分)16.用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高分别为__________时，其体积最大．17.若函数f (x )＝x 3＋x 2＋m 在区间[－2,1]上的最大值为，则m ＝________.18.如图，已知点A ，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上，若阴影部分的面积与△OAP 的面积相等，则x 0＝________.19.如图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为________时，其容积最大．20.已知函数f (x )＝－x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数f ′(x )的最大值为5，则在函数f (x )图象上的点(1，f (1))处的切线方程是________．21.已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法：①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f (x )在区间(－1,1)上无单调性；③函数f (x )在x ＝－处取得极大值；④函数f (x )在x＝1处取得极小值．其中正确的说法有________．二、解答题(共6小题，每小题11.0分,共66分)22.已知定义在R上的函数f(x)＝ax3－2ax2＋b(a>0)在区间[－2,1]上的最大值是5，最小值是－11.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若t∈[－1,1]时，f′(x)＋tx≤0恒成立，求实数x的取值范围．23.已知函数f(x)＝x－ln x－2.(1)求函数f(x)的最小值；(2)如果不等式x ln x＋(1－k)x＋k>0(k∈Z)在区间(1，＋∞)上恒成立，求k的最大值．24.已知函数g(x)＝，f(x)＝g(x)－ax.(1)求函数g(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数，求实数a的最小值．25.已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．26.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加，年销售量y关于x的函数为y＝3 240，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量)26.设函数f(x)＝2−ax2＋ax－2ln x(a∈R)．(1)当a＝0时，求函数f(x)的极值；(2)当a>4时，2求函数f(x)的单调区间；(3)若对任意a∈(4,6)及任意x1，x2∈[1,2]，ma＋2ln 2>|f(x1)－f(x2)|恒成立，求实数m的取值范围．导数及其应用答案解析1.【答案】D【解析】A项，′＝－；B项，(x·e x)′＝e x＋x·e x；C项，(x2cos x)′＝2x cos x －x2·sin x；D正确，故选D.2.【答案】B【解析】由f(x)的图象易知f(x)有两个极值点x1，x2，且x＝x1时有极小值，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋1的图象如图所示，∴a<0.又|x1|>|x2|，∴－x1>x2，∴x1＋x2<0，即x1＋x2＝－<0，∴b<0.3.【答案】A 【解析】由于f(x)＝x2＋cos x，∴f′(x)＝x－sin x，∴f′(－x)＝－f′(x)，故f′(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B和D，又当x＝时，f′＝－sin＝－1<0，排除C，故选A.4.【答案】C【解析】函数f(x)＝x－sin x，∴f′(x)＝1－cos x，令f′(x)＝0，解得cos x＝，又x∈[0，π]，∴x＝，∴x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．又f＝－sin＝－1，f(0)＝0，f(π)＝π，∴函数f(x)在区间[0，π]上的最大、最小值分别为π，－1.5.【答案】D 【解析】ʃ(e x＋e－x)d x＝(e x－e－x)|＝e－.6.【答案】A【解析】若b≤0，则函数在(0，＋∞)上为增函数，满足条件，若b>0，则函数的导数f′(x)＝1－＝，由f′(x)>0得x>或x<－，此时函数单调递增，由f′(x)<0得－<x<，此时函数单调递减，若函数f(x)在(1，e)上为增函数，则≤1，即0<b≤1，若函数f(x)在(1，e)上为减函数，则≥e，即b≥e2，综上b≤1或b≥e2，故选A.【解析】由题意知，f′(x)＝x－＝(x>0)，∵f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)≥0在区间(1，＋∞)上恒成立，∴a≤x2在区间(1，＋∞)上恒成立，∵x>1时，x2>1，∴a≤1，故选D.8.【答案】C【解析】由题意得f′(x)＝(x>0)，令f′(x)>0，得x>3；令f′(x)<0，得0<x<3；令f′(x)＝0，得x＝3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)上为增函数，在点x＝3处有极小值1－ln 3<0；又f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，f＝＋1>0.所以f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．9.【答案】B【解析】由f(x)－m≥0得f(x)≥m，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝，当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，此时，函数f(x)单调递增，所以f(1)≤f(x)≤f(e)．即1≤f(x)≤e2－2，要使f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则有m≤e2－2.10.【答案】B【解析】求解函数的导数可得y′＝2x－，令2x－≥0，结合x>0，解得x≥1.所以单调增区间为[1，＋∞)．11.【答案】D【解析】联立曲线y＝与直线y＝2x－1，构成方程组解得联立直线y＝2x－1，y＝0构成方程组，解得∴曲线y＝与直线y＝2x－1及x轴所围成的封闭图形的面积为S＝ʃd x－＝＝＋－＝.12.【答案】A【解析】停车时v(t)＝0，由27－0.9t＝0，得t＝30，∴所求路程s＝ʃv(t)d t＝ʃ(27－0.9t)d t＝(27t－0.45t2)＝405.【解析】因为f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，且在x ＝2处有极值，所以f ′(2)＝0，即24＋4a ＋36＝0，解得a ＝－15，所以f ′(x )＝6x 2－30x ＋36＝6(x －2)(x －3)，由f ′(x )>0，得x <2或x >3.14.【答案】D【解析】由图象可得函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，与x 轴交于点(4,0)，与y 轴交于点(0,4)，则可知l ：x ＋y ＝4，∴f (2)＝2，f ′(2)＝－1，∴f (2)＋f ′(2)＝1，故选D. 15.【答案】A【解析】∵f (x )＝{2−x,x ≤0,√4−x 2,0<x ≤2,则∫f(x)dx 2−2＝∫(2−x)dx 0−2＋∫√4−x 2dx 20＝(2x －12x 2)|0−2＋∫√4−x 220dx ＝6＋∫√4−x 2dx 20，设y ＝2(y ≥0,0<x ≤2)，则x 2＋y 2＝4(y ≥0,0<x ≤2)对应的曲线为半径为2的圆位于第一象限内的部分，对应的面积S ＝14π×22＝π，根据积分的几何意义可得∫√4−x 2dx 20＝π，故∫f(x)dx 2−2＝6＋∫√4−x 2dx 20＝π＋6. 16.【答案】2 cm,1 cm ，cm【解析】设长、宽、高分别2x ，x ，h ，则4(2x ＋x ＋h )＝18，h ＝－3x ，∴V ＝2x ·x ·h ＝2x 2＝－6x 3＋9x 2，求导得，V ′＝－18x 2＋18x ，由V ′＝0得x ＝1或x ＝0(舍去)．∴x ＝1是函数V 在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故长、宽、高分别为2 cm ，1cm ，cm 时，体积最大．17.【答案】2【解析】f ′(x )＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)．由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－1.又f (0)＝m ，f (－1)＝m ＋，f (1)＝m ＋，f (－2)＝－8＋6＋m ＝m －2，∴当x ∈[－2,1]时，最大值为f (1)＝m ＋，∴m ＋＝，∴m ＝2.18.【答案】【解析】由题意知×x0×＝ʃx2d x，即x0＝x，解得x0＝或x0＝－或x0＝0.∵x0>0，∴x0＝.19.【答案】【解析】设被切去的全等四边形的一边长为x，如图所示，则正六棱柱的底面边长为1－2x，高为x，所以正六棱柱的体积V＝6×(1－2x)2·x＝(4x3－4x2＋x)，则V′＝(12x2－8x＋1)．令V′＝0，得x＝(舍去)或x＝.当x∈时，V′>0；当x∈时，V′<0.故当x＝时，V有极大值，也是最大值，此时正六棱柱的底面边长为.20.【答案】15x－3y－2＝0【解析】∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3＝－2(x－a)2＋3＋2a2，∴f′(x)max＝3＋2a2＝5，∵a>0，∴a＝1.∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3，f′(1)＝－2＋4＋3＝5.又f(1)＝－＋2＋3＝，∴所求切线方程为y－＝5(x－1)．即15x－3y－2＝0.21.【答案】①④【解析】从图象上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)＞0，于是f′(x)＞0，故f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，故①正确；当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，②错误，③也错误；f(x)在区间(0,1)上是减函数，而在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，故④正确．22.【答案】解(1)∵f(x)＝ax3－2ax2＋b，∴f′(x)＝3ax2－4ax＝ax(3x－4)．令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝∉[－2,1]，∵a>0，∴可得下表：因此f(0)必为最大值，∴f(0)＝5，因此b＝5，∵f(－2)＝－16a＋5，f(1)＝－a＋5，∴f(1)>f(－2)，即f(－2)＝－16a＋5＝－11，∴a＝1，∴f(x)＝x3－2x2＋5.(2)由(1)知，f′(x)＝3x2－4x，∴f′(x)＋tx≤0等价于3x2－4x＋tx≤0，令g(t)＝xt＋3x2－4x，则问题就是g(t)≤0在t∈[－1,1]上恒成立时，求实数x的取值范围，为此只需即解得0≤x≤1，∴所求实数x的取值范围是[0,1]．23.【答案】解(1)求函数的定义域为(0，＋∞)，因为f′(x)＝，所以当x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈[1，＋∞)时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增．因此，函数f(x)的最小值为f(1)＝－1.(2)不等式x ln x＋(1－k)x＋k>0(k∈Z)在区间(1，＋∞)上恒成立等价k<(x>1)．令g(x)＝(x>1)，则g′(x)＝＝，由于x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增且f(1)＝－1<0，所以函数f(x)在(1，＋∞)上有且只有一个零点x0，因为f(3)＝1－ln 3<0，f(4)＝2－ln 4>0，所以x0∈(3,4)，因此，当x∈(1，x0)时，f(x)<0，g′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f(x)>0，g′(x)>0，从而函数g(x)在(1，x0)，(x0，＋∞)上分别是减函数、增函数．因此g(x)min＝g(x0)＝＝＝x0，所以，由k<(x>1)得k<x0，又因为k∈Z，且x0∈(3,4)，所以k max＝3.24.【答案】解(1)由已知得函数g(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，g′(x)＝＝.当x>e时，g′(x)>0，所以函数g(x)的单调递增区间是(e，＋∞)；当0<x<e且x≠1时，g′(x)<0，所以函数g(x)的单调递减区间是(0,1)，(1，e)．(2)因为f(x)在(1，＋∞)上为减函数，且f(x)＝－ax，所以f′(x)＝－a≤0在(1，＋∞)上恒成立，所以当x∈(1，＋∞)时，f′(x)max≤0.又f′(x)＝－a＝－2＋－a＝－2＋－a.故当＝，则x＝e2时，f′(x)max＝－a，所以－a≤0，于是a≥，故a的最小值为.25.【答案】解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，f′(x)＝ln x＋－3，f′(1)＝－2，f(1)＝0，曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0等价于ln x－>0，设g(x)＝ln x－，则g′(x)＝－＝，且g(1)＝0.①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)单调递增，因此g(x)>0；②当a>2时，令g′(x)＝0得，x1＝a－1－，x2＝a－1＋.由x2>1和x1x2＝1得x1<1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(1，x2)单调递减，因此g(x)<0，综上，a的取值范围是(－∞，2]．26.【答案】解由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)，每辆车的出厂价为13(1＋0.7x)，年利润为f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]·y＝(3－0.9x)×3 240×＝3 240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，则f′(x)＝3 240(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)，由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)，当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数．第 11 页 共 11 页 所以当x ＝时，f (x )取极大值，f ＝20 000.因为f (x )在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．所以当x ＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元． 27.【答案】(1)函数的定义域为(0，＋∞)，当a ＝0时，f (x )＝x 2－2ln x ，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x+1)(x−1)x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当0<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0.∴f (x )极小值＝f (1)＝1，无极大值．(2)f ′(x )＝(2－a )x ＋a －2x＝(2−a )x 2+ax−2x ＝(2−a)(x−2a−2)(x−1)x ，∵a >4，∴2a−2<1，令f ′(x )<0，得0<x <2a−2或x >1，函数单调递减，令f ′(x )>0，得2a−2<x <1，函数单调递增，故当a >4时，f (x )在 (0，2a−2)和(1，＋∞)上单调递减，在(2a−2，1)上单调递增．(3)由(2)知，当a ∈(4,6)时，f (x )在[1,2]上单调递减，∴当x ＝1时，f (x )有最大值，当x ＝2时，f (x )有最小值， |f (x 1)－f (x 2)|≤f (1)－f (2)＝a 2－3＋2ln 2，∴ma ＋2ln 2>a 2－3＋2ln 2，∵a >0，∴m >12－3a ，∵4<a <6，∴－14<12－3a <0，∴m ≥0，故实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。
导数应用练习题答案1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。
2(1)()23[1,1.5]f x x x =---； 21(2)()[2,2]1f x x =-+；(3)()[0,3]f x =； 2(4)()1[1,1]x f x e =--解：2(1)()23[1,1.5]f x x x =---该函数在给定闭区间上连续，其导数为()41f x x '=-，在开区间上可导，而且(1)0f -=，(1.5)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(1,1.5)ξ∈-， 使()410f ξξ'=-=，解出14ξ=。
解：21(2)()[2,2]1f x x =-+该函数在给定闭区间上连续，其导数为222()(1)x f x x -'=+，在开区间上可导，而且1(2)5f -=，1(2)5f =，满足罗尔定理，至少有一点(2,2)ξ∈-， 使222()0(1)f ξξξ-'==+，解出0ξ=。
解：(3)()[0,3]f x =该函数在给定闭区间上连续，其导数为()f x '=，在开区间上可导，而且(0)0f =，(3)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(0,3)ξ∈，使()0f ξ'==，解出2ξ=。
解：2(4)()e 1[1,1]x f x =--该函数在给定闭区间上连续，其导数为2()2e x f x x '=，在开区间上可导，而且(1)e 1f -=-，(1)e 1f =-，满足罗尔定理，至少有一点ξ，使2()2e 0f ξξξ'==，解出0ξ=。
2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。
3(1)()[0,](0)f x x a a =>； (2)()ln [1,2]f x x=；32(3)()52[1,0]f x x x x =-+--解：3(1)()[0,](0)f x xa a =>该函数在给定闭区间上连续，其导数为2()3f x x '=，在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点(0,)a ξ∈，使()(0)()(0)f a f f a ξ'-=-，即3203(0)a a ξ-=-，解出ξ=。
单元综合测试三(第三章)时间：90分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知f (x )＝(x ＋a )2，且f ′(12)＝－3，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1D ．2解析：f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2(x ＋a )． 又f ′(12)＝－3，∴1＋2a ＝－3，解得a ＝－2. 答案：B2．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( ) A ．y ′＝cos2x －cos x B ．y ′＝cos2x ＋sin x C ．y ′＝cos2x ＋cos xD ．y ′＝cos 2x ＋cos x解析：y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′＝cos 2x ＋cos x －sin 2x ＝cos2x ＋cos x .答案：C3．函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝3－3x 2>0⇒x ∈(－1,1)．答案：C4．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2＋2，则t ＝2秒时，汽车的加速度是( )A ．14B ．4C ．10D ．6解析：依题意v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t ，所以a (t )＝v ′(t )＝12t －10，故汽车在t ＝2秒时的加速度为a (2)＝24－10＝14.答案：A5．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：f ′(x )＝x cos x ＋sin x ，f ′(π2)＝1， ∴k ＝－a2＝－1，a ＝2. 答案：D6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8解析：如图所示，由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)， ∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴⎩⎨⎧42＝2y 1， ①(－2)2＝2y 2， ②∴⎩⎨⎧y 1＝8，y 2＝2，∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为y ＝12x 2，∴y ′＝x . ∴过点P 的切线斜率为y ′|x ＝4＝4，∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8. 又∵过点Q 的切线斜率为y ′|x ＝－2＝－2.∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.联立⎩⎨⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得x ＝1，y ＝－4.∴点A的纵坐标为－4. 答案：C7．若函数y＝a(x3－x)的递增区间是(－∞，－33)，(33，＋∞)，则a的取值范围是()A．a>0 B．－1<a<0 C．a>1 D．0<a<1解析：依题意y′＝a(3x2－1)>0的解集为(－∞，－33)，(33，＋∞)，故a>0.答案：A8．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．故选A.答案：A9．已知函数f(x)＝x3－3x，若对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．0 B．10C．18 D．20解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝±1，所以1，－1为函数f(x)的极值点，因为f(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝2，f(x)min＝－18，所以对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤20，所以t≥20，从而t的最小值为20.答案：D10．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析：取函数f(x)＝x3－x，则x＝－33为f(x)的极大值点，但f(3)>f(－33)，∴排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，f(－x)＝－(x＋1)2，－1不是f(－x)的极小值点，∴排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，∴排除C.故选D.答案：D11．若函数y＝f(x)满足xf′(x)>－f(x)在R上恒成立，且a>b，则()A．af(b)>bf(a) B．af(a)>bf(b)C．af(a)<bf(b) D．af(b)<bf(a)解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，∴g(x)在R上是增函数，又a>b，∴g(a)>g(b)即af(a)>bf(b)．答案：B12．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析：由题意知f ′(x )＝e x x 3－2f (x )x ＝e x －2x 2f (x )x3.令g (x )＝e x－2x 2f (x )，则g ′(x )＝e x －2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x －2(x 2f ′(x )＋2xf (x ))＝e x －2e xx ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x .由g ′(x )＝0得x ＝2，当x ＝2时，g (x )min ＝e 2－2×22×e 28＝0，即g (x )≥0，则当x >0时，f ′(x )＝g (x )x 3≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标为－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________．解析：∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5. 又P (－2,6＋c )，∴6＋c－2＝－5.∴c ＝4. 答案：414．如果函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在区间(0,1)内存在与x 轴平行的切线，则实数b 的取值范围是________．解析：存在与x 轴平行的切线，即f ′(x )＝3x 2－6b ＝0有解，∵x ∈(0,1)，∴b ＝x 22∈(0，12)．答案：{b |0<b <12}15．已知a ≤4x 3＋4x 2＋1对任意x ∈[－1,1]都成立，则实数a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝4x 3＋4x 2＋1，则f ′(x )＝12x 2＋8x ＝4x (3x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－23.又f (－1)＝1, f (－23)＝4327，f (0)＝1，f (1)＝9，故f (x )在[－1,1]上的最小值为1，故a ≤1.答案：(－∞，1]16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，若∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值是________．解析：二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )＝2ax ＋b ，由f ′(0)>0，得b >0，又对∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则a >0， 且Δ＝b 2－4ac ≤0，故c >0，所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a b ＋c b ＋1≥2acb 2＋1≥2ac4ac ＋1＝2，所以f (1)f ′(0)的最小值为2.答案：2三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，且f ′(0)＝23.(1)求f (x )的解析式；(2)求曲线f (x )在x ＝－1处的切线方程． 解：(1)∵f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，∴f ′(x )＝12x ＋a ·(2x ＋a )′＋2x ＝22x ＋a ＋2x .又∵f ′(0)＝23，∴2a ＝23，解得a ＝3. 故f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2.(2)由(1)知f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3，且f (－1)＝ln(－2＋3)＋(－1)2＝1， f ′(－1)＝4×(－1)2＋6×(－1)＋22(－1)＋3＝0，因此曲线f (x )在(－1,1)处的切线方程是y －1＝0(x ＋1)，即y ＝1.18．(12分)已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R )在x ＝2处取得极小值－43.(1)求函数f (x )的增区间；(2)若f (x )≤m 2＋m ＋103对x ∈[－4,3]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f (2)＝－43，f ′(2)＝0，又f ′(x )＝x 2＋a ，所以83＋2a ＋b ＝－43，4＋a ＝0，所以a ＝－4，b ＝4，则f (x )＝13x 3－4x ＋4，令f ′(x )＝x 2－4>0，得x <－2或x >2，所以增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．(2)f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43，f (3)＝1，则当x ∈[－4,3]时，f (x )的最大值为283，故要使f (x )≤m 2＋m ＋103对∈[－4,3]恒成立，只要283≤m 2＋m ＋103，所以实数m 的取值范围是m ≥2或m ≤－3.19．(12分)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b －4＝4，所以a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x－12)．令f ′(x )＝0，得x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值， 极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．20．(12分)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程． (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax . (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，所以f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，x >0可知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a；因为x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上：当a≤0时，函数f(x)无极值，当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．21.(12分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定给这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克，根据市场调查，当16≤x ≤24时，这种食品日供应量p 万千克，日需量q 万千克近似地满足关系：p ＝2(x ＋4t －14)(t >0)，q ＝24＋8ln 20x .当p ＝q 时的市场价格称为市场平衡价格．(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为多少元/千克？解：(1)由p ＝q 得2(x ＋4t －14) ＝24＋8ln 20x (16≤x ≤24，t >0)， 即t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)． ∵t ′＝－14－1x <0，∴t 是x 的减函数． ∴t min ＝132－14×24＋ln 2024＝12＋ln 2024＝12＋ln 56； t max ＝132－14×16＋ln 2016＝52＋ln 54， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋ln 56，52＋ln 54.(2)由(1)知t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)．而当x ＝20时，t ＝132－14×20＋ln 2020＝1.5(元/千克)，∵t 是x 的减函数，∴欲使x ≤20，必须t ≥1.5(元/千克)． 要使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为1.5元/千克．22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x .(1)若函数f (x )在x ＝2处取得极值，求实数a 的值． (2)若函数f (x )在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围． (3)当a ＝－12时，关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．解：(1)由题意，得f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)， 因为x ＝2时，函数f (x )取得极值，所以f ′(2)＝0，解得a ＝－34，经检验，符合题意．(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，依题意，f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即ax 2＋2x －1≤0在x >0时恒成立，则a ≤1－2x x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1在x >0时恒成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1min (x >0)，当x ＝1时，⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1取最小值－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1]．(3)当a ＝－12时，f (x )＝－12x ＋b ， 即14x 2－32x ＋ln x －b ＝0.设g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b (x >0)， 则g ′(x )＝(x －2)(x －1)2x， 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x )极大极小所以g (x )极小值＝g (2)＝ln2－b －2， g (x )极大值＝g (1)＝－b －54， 又g (4)＝2ln2－b －2，因为方程g (x )＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根， 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (4)≥0，解得ln2－2<b ≤－54，所以实数b 的取值范围是(ln2－2，－54)．。
《导数与其应用》一、选择题 1.0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的: A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为 A. C.D.3．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）4.若曲线y ＝x 2＋＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－15．函数f (x )＝x 3＋2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．56. 设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于( )A 、0B 、4-C 、2-D 、2 7. 直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为( )A ．1-B ．eC ．ln 2D ．1 8. 若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或C ．22<<-kD ．不存在这样的实数k 9.函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示，则函数()f x 在(),a b 内有极小值点 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为( )A ．3B ．52C ．2D ．32二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11.函数sin xy x=的导数为 12、已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1处有极值为10，则f (2)等于. 13．函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是14．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是15. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，)()(2>-'x x f x f x ）（0>x ，则不等式0)(2>x f x 的解集是三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）Ox xx xy y y yOO O16. 设函数32()2338f x x ax bx c=+++在1x=与2x=时取得极值．（1）求a、b的值；（2）若对于任意的[03]x∈，，都有2()f x c<成立，求c的取值范围．17. 已知函数32()23 3.f x x x=-+（1）求曲线()y f x=在点2x=处的切线方程；（2）若关于x的方程()0f x m+=有三个不同的实根，求实数m的取值范围.18. 设函数Rxxxxf∈+-=,56)(3.（1）求)(x f的单调区间和极值；（2）若关于x的方程axf=)(有3个不同实根，求实数a的取值范围.（3）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈xkxfx时恒成立，求实数k的取值范围.19. （本题满分12分）已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围. 20. 已知()R a x x a ax x f ∈+++-=14)1(3)(23（1）当1-=a 时，求函数的单调区间。
第一章 导数及其应用1.1 变化率与导数1. 设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为【 】 A .()x x f ∆+0 B .()x x f ∆+0 C .()x x f ∆⋅0 D .()()00x f x x f -∆+2. 一质点运动的方程为221t s -=，则在一段时间[]2,1内的平均速度为【 】 A .－4 B .－8 C .6 D . －63. 曲线=y x x 32+在2x =处的切线的斜率为【 】A . 7B . 6C . 5D . 4 4. 在曲线12+=x y 的图象上取一点（1，2）及附近一点()y x ∆+∆+2,1，则xy ∆∆为 【 】A .21+∆+∆xxB .21-∆-∆xx C .2+∆x D .xx ∆-∆+125. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球体积的平均变化率为【 】 A .()()2324443R R R R R πππ⋅∆+⋅∆+∆ B .()224443R R R R πππ+⋅∆+∆C .24R R π⋅∆D .24R π6.某质点的运动方程是2(21)s t t =--，则在t=1s 时的瞬时速度为 【 】A ．－1B ．－3C ．7D ．137.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动，则在4s 附近的平均变化率为 . 8.已知物体的运动方程是23(s t t t=+秒,s 米)，则物体在时刻t = 4时的速度v = .9.求2x y =在0x x =附近的平均变化率.10． 求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1，2)处的切线方程.11.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．1.2 导数的运算1. 函数y = (2x ＋1) 3在x = 0处的导数是 【 】A .0B .1C .3D .6 2.函数y =x 2co sx 的导数为 【 】 A . y ′=2x co sx －x 2s i nx B . y ′=2x co sx +x 2s i nx C . y ′=x 2co sx －2xs i nx D . y ′=x co sx －x 2s i nx 3. 已知函数f (x ) = a x 2 ＋c ，且(1)f '=2 ， 则a 的值为 【 】A .1B .2C .－1D . 04. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 【 】 A ．(x - 1)3+3(x - 1) B ．2(x - 1)2 C ．2(x - 1) D ．x – 15.若函数()f x 的导数为221x -+，则()f x 可以等于 【 】 A . .321x -+ B .1x + C ..4x - D .323x x-+6.函数2sin(2)y x x =+导数是【 】A ..2cos(2)x x +B .22sin(2)x x x +C .2(41)cos(2)x x x ++D .24cos(2)x x + 7.设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于【 】A .0B .4-C .2-D .2 8. 若xex f 1)(-=，则0(12)(1)limt f t f t→--=.9．设函数32()2f x x ax x '=++， (1)f '= 9，则a = . 10.函数2x y a =的导函数是 .11. 求下列函数的导数：（1）y =21x； （2）y = (2x 2 – 5x + 2)e x ； （3）y =32121xxx++； （4）lny =.1.3 导数在研究函数中的应用1. 函数1x 3x )x (f 23+-=是减函数的区间为【 】A . (2,)+∞B . (,2)-∞C . (,0)-∞D . (0,2)2.下列结论中正确的是【 】 A . 导数为零的点一定是极值点B . 如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值C . 如果在x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值D . 如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值 3.函数3()34f x x x =-，[0,1]x ∈的最大值是【 】 A .1 B .12C .0D .-14．设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则【 】 A ．3a >- B ．3a <- C ．13a >- D ．13a <-5. 函数2()2ln f x x x =-的递增区间是【 】A .1(0,)2B .11(,0)(,)22-+∞及 C .1(,)2+∞ D .11(,)(0,)22-∞-及6.对于R 上可导的任意函数f （x ），且'(1)0f =若满足（x －1）f x '（）>0，则必有【 】 A .f （0）＋f （2）<2f （1） B .f （0）＋f （2）≥2f （1） C .f （0）＋f （2）>2f （1） D .f （0）＋f （2）≥2f （1）7.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为【 】 A .－1<a <2 B .－3<a <6 C .a <－1或a >2 D .a <－3或a >68. 已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间] ,[2a 上的最大值为433， 则a 等于【 】A . －23 B .21 C . －21 D . －21或－239.函数y ＝223a bx ax x x f +++=)(在1=x 时， 有极值10， 那么b a ,的值为 . 10．函数()ln 0)f x x x x = (>的单调递增区间是 ．11. 已知c 2bx 3x )x (f 3++=， 若函数)x (f 的一个极值点落在x 轴上， 求23c b +的值. 12. 已知函数,a x 9x 3x )x (f 23+++-= (1) 求)x (f 的单调递减区间；(2) 若)x (f 在区间]2,2[ -上的最大值为20， 求它在该区间上的最小值. 13.设函数()(0)kx f x xe k =≠（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围.1.4 生活中的优化问题举例1.把总长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 m2. 2.将正数a 分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成_____和___.3.在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大4.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？ 5.学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2，上、下两边各空2dm ，左、右两边各空1dm .如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？6. 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？7.某厂生产产品x 件的总成本32()120075c x x=+(万元)，已知产品单价P(万元)与产品件数x足:2k P x=，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少件时总利润最大？8．已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．9. 一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？10.请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）.试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 【注：1,3VS h V S h=⋅=⋅ 柱体底锥体底】11.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x （单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）1.5 定积分的概念1．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区【 】 A ．［0，2e ］ B ．［0，2］ C ．［1，2］ D ．［0，1］ 2．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为【 】 A ．320gt B ．20gt C ．220gt D ．620gt3. 曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是【 】A .4B .52C .3D .24．dx e e x x ⎰-+1)(=【 】A ．ee 1+B ．2eC ．e2 D ．ee 1-5．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为【 】 A ．294e B ．22e C ．2e D ．22e6．如果1N 力能拉长弹簧1cm ，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是【 】 A ．0.18 B ．0.26 C ．0.12 D ．0.287．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为【 】A ．⎰32dx x ρ B ．()⎰+212dx x ρ C ．⎰1dx x ρ D ．()⎰+321dx x ρ8．将和式)21 (2)111(lim nn n n +++++∞→表示为定积分 ．9．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为．10.设物体的速度v 与时间t 的函数关系为v ＝v (t)，那么它在时间段[a ，b ]内的位移s 用定积分表示为 .11．计算定积分21(1)x dx +ò.12. 一物体按规律x ＝b t 3作直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所作的功．1.6 微积分基本定理1.下列各式中，正确的是【 】 A .)()()(///a fb f dx x f ba -=⎰ B .)()()(///b f a f dx x f ba-=⎰C .)()()(/a fb f dx x f ba-=⎰D .)()()(/b f a f dx x f ba-=⎰2.已知自由落体的运动速度g gt v (=为常数)，则当[]2,1∈t 时，物体下落的距离是【 】 A .g21 B .g C .g23 D .g 23.若,2ln 3)12(1+=+⎰adx xx 则a 的值是【 】A .6B .4C .3D .2 4. 12x dx ⎰等于【 】A .14B .12C .13D .25.)(x f 是一次函数，且⎰⎰==1010617)(,5)(dx x xf dx x f ，那么)(x f 的解析式是【 】A .34+xB .43+xC .24+-xD .43+-x6. 计算定积分：dx x x ⎰+20)sin (π＝ .7. 计算下列定积分：（1）⎰--312)4(dx x x ；（2）dx x ⎰-222cos ππ.8. 计算dxx⎰421.9. 计算dx e x 21⎰.10．求曲线xxx y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积．1.7 定积分的简单应用1.由x xy ,1=轴及2,1==x x 围成的图形的面积为【】A .ln 2B .lg 2C . 12D .12.由曲线[])(.,,,),0)()((b a b x a x b a x x f x f y <==∈≤=和x 轴围成的曲边梯形的面积S = 【 】A .()b a f x dx ⎰B . ()b a f x dx -⎰C .[]()b a f x a dx -⎰D .[]()baf x b dx -⎰3. 如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，则克服弹力所做的功为【 】A . 0.28JB . 0.12JC . 0.26JD . 0.18J4. 给出以下命题：⑴若()0ba f x dx >⎰，则f (x )>0； ⑵20sin 4x dx =⎰π；⑶f (x )的原函数为F (x )，且F (x )是以T 为周期的函数，则0()()aa T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；其中正确命题的个数为【 】 A . 1 B . 2 C . 3 D . 05．一质点做直线运动，由始点起经过t s 后的距离为s =41t 4- 4t 3 + 16t 2，则速度为零的时刻是【 】A .4s 末B .8s 末C .0s 与8s 末D .0s ，4s ，8s 末6.一物体在力()41F x x =-(单位:N)的的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x =1m 处运动到x =3m 处， 则力()F x 所作的功为【 】A . 10JB . 12JC . 14JD . 16J7．已知)(x f 为一次函数，且10()2()f x x f t dt =+⎰，则)(x f = .8.一质点在直线上从时刻t =0秒以速度34)(2+-=t t t v （米/秒）运动，则该质点在时刻t =3秒时运动的路程为 .9. 一物体沿直线以速度()23v t t =-（t 的单位为:秒，v 的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程?10. 求曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积. 11.求抛物线2x y =与直线x y x y 2,==所围图形的面积．参考答案第一章 导数及其应用1.1 变化率与导数1.D2.D3. A4.C5.B6.B7. 253t +∆8. 125169. 2020)(x x x y -∆+=∆，所以xx x x xy ∆-∆+=∆∆220)(xx xx x x x x ∆+=∆-∆+∆+=02202022所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02. 10.22210[(1)1](11)2|limlim2x x x x x xy xx=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆，所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=. 11.在第2h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(5)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f xx+∆-∆=∆∆22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆所以0(2)limlim (3)3x x f f x x∆→∆→∆'==∆-=-∆同理可得:(6)f '=3.在第2h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和3，说明在2h 附近，原油温度大约以3 C /h 的速率下降，在第5h 附近，原油温度大约以3C /h 的速率上升．1.2 导数的运算1.D2.A3.A4.A5.D6.C7.B8. e2-（或12--e ） 9.6 10. 2ln x y a a =11. 【解析】利用导数公式及运算法则进行运算.（1）y = x –2 ，y ′= –2x –2 – 1 = – 2x –3 = –32x（或y ′=422)()1(xx x'-='）= –2x –3 = –32x.（2））y ′ = (2x 2 – 5x + 2) ′e x + (2x 2 – 5x + 2) (e x ) ′= (4x – 5) e x + (2x 2 – 5x + 2) e x = (2x 2 – x – 3) e x （3）y ′ =)1()2()1(32'+'+'xx x = (x –1) ′ + (2x –2) ′ + (x –3) ′ = –x –2 – 4x –3 –3x –4 = –432341xxx--.(4）可看成ln ,y u u ==， v = x 2 + 1复合而成.x u v xy y u v ''''=⋅⋅=1211(2)2v x u -⋅⋅1221(1)22x x -=+⋅21xx ==+.1.3 导数在研究函数中的应用1.D2.B3.A4.B5.C6.C7. D8.D9.43113a a b b ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或 10. 1[,)e+∞ 11.b3x 3)x (f 2+='， 设)x (f 的极值点为（)0,m ， 则0)m (f ,0)m (f ='=所以,0b 3m 30c 20b 3m 23⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⨯+ 所以,0c 2bm 2,0c 2bm 3bm =+=++-所以22c )bm (=，,c )b (b 22=-所以.0c b 23=+12. (1) .9x 6x 3)x (f 2++-='令1x 0)x (f -<⇒<'或,3x > 所以函数)x (f 的单调递减区间为)1,(--∞ ， ),3(∞+ .(2) 因为,a 2a 18128)2(f +=+-+=- ,a 22a 18128)2(f +=+++-=所以)2(f )2(f ->. 因为在)3,1( -上0)x (f >'， 所以)x (f 在]2,1[ -上单调递增， 又由于)x (f 在]1,2[-- 上单调递减，因此)2(f 和)1(f -分别是)x (f 在区间]2,2[ -上的最大值和最小值， 于是有2a 20a 22-=⇒=+. 故,2x 9x 3x )x (f 23-++-=因此72931)1(f -=--+=-， 即函数)x (f 在区间]2,2[ -上的最小值为7-.13. （1）()()()()''1,01,00kx f x kx e f f =+==，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =.（2）由()()'10kx f x kx e =+=，得()10x k k=-≠，若0k >，则当1,x k ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，若0k <，则当1,x k ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，（3）由（2）知，若0k >，则当且仅当11k-≤-，即0<1k ≤时，函数()f x ()1,1-内单调递增， 若0k <，则当且仅当11k -≥，即1k ≥-时，函数()f x ()1,1-内单调递增，综上可知，函数()f x ()1,1-内单调递增时，k 的取值范围是[)(]1,00,1- .1.4 生活中的优化问题举例1. 162.2a2a3.23R4.（1）正方形边长为x ，则V =（8－2x )·(5－2x )x =2(2x 3－13x 2+20x )(0<x <25)V ′=4(3x 2－13x +10)(0<x <25)，V ′=0得x =1 根据实际情况，小盒容积最大是存在的，∴当x =1时，容积V 取最大值为18. 5.设版心的高为x dm ，则版心的宽为128xdm ，此时四周空白面积为128512()(4)(2)12828,0S x x xx xx=++-=++>.求导数，得'2512()2S x x=-.令'2512()20S x x=-=，解得16(16x x ==-舍去）.于是宽为128128816x==.当(0,16)x ∈时，'()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，'()S x >0.因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点.所以，当版心高为16dm ，宽为8dm 时，能使四周空白面积最小.答：当版心高为16dm ，宽为8dm 时，海报四周空白面积最小.6. S =2Rh π+22R π⇒h =RR S ππ222-⇒V (R )=RR S ππ222-πR 2=3221)2(21RSR R R S ππ-=-)('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．7.258.设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x ，y ），且x ＞0，y ＞0， 则另一个在抛物线上的顶点为（－x ，y ）， 在x 轴上的两个顶点为（－x ，0）、（x ，0），其中0＜ x ＜2． 设矩形的面积为S ，则S ＝2 x （4－x 2），0＜ x ＜2． 由S′（x ）＝8－6 x 2＝0，得x ＝332，易知x ＝34是S 在（0，2）上的极值点， 即是最大值点，所以这种矩形中面积最大者的边长为332和38．9.假设每次进书x 千册，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即2x，故有y ＝x150×30＋2x ×40，y′＝－24500x＋20， 令y′＝0，得x ＝15，且y″＝39000x，f″(15)＞0，所以当x ＝15时，y 取得极小值，且极小值唯一， 故 当x ＝15时，y 取得最小值，此时进货次数为15150＝10（次）．即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．10.设正六棱锥的高为x m ，则正六棱锥底面边长为（单位：m ）.于是底面正六边形的面积为（单位：m 2）：236((9)42S x==- .帐篷的体积为（单位：m 3）：22321())1)(3)3927)2322V x x x x x x x x ⎡⎤=-+=-+=--++⎢⎥⎣⎦(13)x <<求导数，得2()23)2V x x x '=-+-；令()0V x '=解得x =-3(不合题意，舍去)，x =1.当0<x <1时，()0V x '>，V(x )为增函数；当1<x <3时，()0V x '<，V(x )为减函数. 所以当x =1时，V(x )最大.即当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大.11.设楼房每平方米的平均综合费用为()f x 元，则 ()()2160100001080056048560482000f x x x x x⨯=++=++()10,x x Z+≥∈()21080048f x x '=-， 令 ()0f x '= 得 15x =当 15x > 时，()0f x '>；当 015x <<时，()0f x '< 因此当15x =时，()f x 取最小值()152000f =；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层.1.5 定积分的概念1.B2.C3.C4.D5.D6.A7.A8.dxx⎰+111 9.dx x ⎰-12)1( 10. ()bas v t dt =ò11.所求定积分是1,201x x y y x ====+，与所围成的梯形面积，即为如图阴影部分面积，面积为52.即：215(1)2x dx +=ò.12. 物体的速度233)(btbt dtdx V ='==．媒质阻力9)3(t kb bt k kv F zu ===k 为比例常数，k>0．当x =0时，t=0；当x =a 时，311)(bat t ==，又ds=vdt ，故阻力所作的功为327713032032727727)3(111ba kt kb dt bt k dt v k dt v kv ds F W t t t zu zu ====⋅==⎰⎰⎰⎰.1.6 微积分基本定理1.C2.C3.D4.C5.A6.218π+ 7. （1）203（2）π28.2ln 2ln 4ln ln 14242=-==⎰xdx x. 9.1022121021)2(21xxxex d edx e ==⎰⎰)1(212-=e .10. 首先求出函数xx x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .又易判断出在)0 , 1(-内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方，所以所求面积为dx x xxA ⎰-++--=0123)2(dx x xx ⎰++-+223)2(1237=.1.7 定积分的简单应用1.A2.B3.D4.B5.D6.C7.1x -8. 0米 9.∵当302≤≤t 时，()230≤v t t =-；当352≤≤t 时，()230≥v t t =-.∴物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程352302(32)(23)S t dx t dx =-+-⎰⎰=9929(10)442++=(米).10. 曲线1y x =和2x y =在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y =－x +2和y =2x －1，它们与x 轴所围成的三角形的面积是43.11.解两个方程组⎩⎨⎧==x y x y ,2和⎩⎨⎧==xy x y 2,2得抛物线与两直线的交点分别为)1,1(与)4,2(．故所求面积为21S S S +=dx x x dx x x )2()2(2211-+-=⎰⎰67=．37.710≈⨯（J ）．作 者 于华东责任编辑 庞保军。
