2019-2020学年上海市控江中学高一下学期期中数学试题(解析版)
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2019-2020学年上海市控江中学高一下学期期中数学试题
一、单选题
1．函数 的值域是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】去绝对值号转化为分段函数，即可求出值域.
【详解】
因为 ，
由正弦函数的值域可知 ，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的值域，考查了分段函数值域的求法，属于中档题．
2．已知下列两个命题：①将函数 图像向左平移 个单位得到函数 ；②函数 的图像关于直线 ， 成轴对称其中（）
3．已知 ，“ ”是“ 是偶函数”的（）条件.
A．充分非必要B．必要不充分C．充要D．非充分非必要
【答案】C
【解析】利用函数为偶函数 即可求解.
【详解】
根据题意可得
，
即 ，
，
所以 ，
对于任意 ，恒成立，
则 .
“ ”是“ 是偶函数”的充要条件.
故选：C
【点睛】
本题考查了充分条件、必要条件，函数奇偶性的应用，属于基础题.
由 可得：
，
所以 或 ，
即 或
故答案为： 或
【点睛】
本题主要考查了余弦函数的图象与性质，三角方程的解法，属于中档题.
8．若 ，则 ___________.
【答案】 .
【解析】由诱导公式可知 ，所以 ，直接代入公式即可求出结果.
【详解】
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题.
【点睛】
本题主要考查两角和与差的三角函数的应用以及同角三角函数的基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12．函数 ， 的反函数是___________.
【答案】
【解析】根据反余弦函数的定义及 ，利用偶函数性质求解即可.
【详解】
因为 ，
所以2
由 ，且
所以 ，即
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了反余弦函数，反余弦函数的值域，属于中档题.
【答案】
【解析】首先根据函数的最大值和最小值，列式求 ，根据周期公式求 ，再代入对称轴 ，求 ，最后再验证，确定函数的解析式.
【详解】
【点睛】
本题考查根据三角函数的性质求函数的解析式，重点考查公式计算，属于基础题型.
16．在 中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，现有下列命题：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 为等腰三角形；④若 ，则 为钝角三角形；⑤若 ，则 ；其中正确的命题是______________（请填写相应序号）.
二、填空题
5．圆心角为1弧度的扇形面积为2,则这个扇形的半径为_______.
【答案】2
【解析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．
【详解】
因为扇形的面积为2，圆心角为1弧度，
所以
故答案为2．
【点睛】
本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力．
6． 的单调减区间是___________.
【答案】
【解析】根据正弦函数的单调性直接求解即可.
【详解】
因为 ，
令 ，
解得 ， ，
所以函数 的单调递减区间为 ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了运算能力，属于容易题.
7．方程 的解集是___________.
【答案】 或
【解析】根据余弦函数的图象与性质解三角方程即可.
【详解】Hale Waihona Puke Baidu
【答案】 或
【解析】利用正弦定理表示 为 的函数，即可求解.
【详解】
由正弦定理可得 , ,
又 ， ，
所以 在 有唯一解，
故 或
故答案为： 或
【点睛】
本题主要考查了正弦定理解三角形，考查函数零点个数问题，注意转化思想的应用，属于中档题.
15．已知函数 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为 ，直线 是其图像的一条对称轴，且 ，则 的解析式为___________.
【答案】
【解析】利用正弦定理有： ，则 ，则角 的最小值是 ．
11．已知 ， ，则 ___________.
【答案】-7
【解析】根据 ， ，利用两角和与差的余弦公式展开，再两式相加、相减分别得到 、 ，然后利用商数关系求解.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
两式相加得： ，
两式相减得： ，
所以 ，
故答案为：-7
【详解】
函数 是定义域为 的偶函数，
当 时， ，
当 时， ．
作函数 的图象，
由于关于 的方程 ，
解得 或 ，
当 时， ， ， 时， ， ．
由 ，则 有4个实根，
由题意，只要 有2个实根，
由图象可得当 时， 有2个实根，
当 时， 有2个实根．
综上可得： 或 ．
故选： ．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的运用，考查方程和函数的转化思想，运用数形结合的思想方法是解决的常用方法．
9．不等式 的解为______
【答案】
【解析】由反余弦函数的定义域及单调性可得 ，再求解即可.
【详解】
解：由函数 是定义在 的减函数，
又 ，
则 ，解得： ，
即不等式的解集为： ，
故答案为 .
【点睛】
本题考查了反余弦函数的定义域及单调性，属基础题.
10．在 中， ，则角 的最小值是____________.
【答案】②④⑤.
【解析】①取 验证可判断；
②由 及基本不等式求 的范围，从而可判断；
③由 和正弦定理可判断；
④若 ，则 ，结合正弦函数的单调性可判断；
⑤若 ，则可判断出A、B、C均为锐角，由 ，结合均值定理可判断 .
A．①真②真B．①真②假C．①假②真D．①假②假
【答案】D
【解析】根据图象平移变换可判断①，根据余弦函数的对称轴可判断②
【详解】
①将函数 图像向左平移 个单位得到函数 ，故①假；
②函数 的图像的对称轴方程为 ，解得 ， ，故②假.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了三角函数图象的平移变换，余弦函数的对称轴，属于中档题.
13．已知m是实常数，若 ，则m的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由题意可转化为 有解，换元求函数的值域即可.
【详解】
由 可得：
，
若 ，
则方程 有解，
令 ， ，
则 ，
所以只需 ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了含 的二次函数的值域，分离参数的方法，集合的概念，属于中档题.
14． 的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若满足 ， 的 恰有一个，则c的取值范围是___________.
4．已知函数 是定义域为R的偶函数，当 时， ，若关于x的方程 有且仅有6个不同实数根，则a的取值范围是（）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】运用偶函数的定义可得 在 的解析式，作出函数 的图象，由 ，解得 或 ，结合图象，分析有且仅有6个不同实数根的 的情况，即可得到 的范围．
一、单选题
1．函数 的值域是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】去绝对值号转化为分段函数，即可求出值域.
【详解】
因为 ，
由正弦函数的值域可知 ，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的值域，考查了分段函数值域的求法，属于中档题．
2．已知下列两个命题：①将函数 图像向左平移 个单位得到函数 ；②函数 的图像关于直线 ， 成轴对称其中（）
3．已知 ，“ ”是“ 是偶函数”的（）条件.
A．充分非必要B．必要不充分C．充要D．非充分非必要
【答案】C
【解析】利用函数为偶函数 即可求解.
【详解】
根据题意可得
，
即 ，
，
所以 ，
对于任意 ，恒成立，
则 .
“ ”是“ 是偶函数”的充要条件.
故选：C
【点睛】
本题考查了充分条件、必要条件，函数奇偶性的应用，属于基础题.
由 可得：
，
所以 或 ，
即 或
故答案为： 或
【点睛】
本题主要考查了余弦函数的图象与性质，三角方程的解法，属于中档题.
8．若 ，则 ___________.
【答案】 .
【解析】由诱导公式可知 ，所以 ，直接代入公式即可求出结果.
【详解】
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题.
【点睛】
本题主要考查两角和与差的三角函数的应用以及同角三角函数的基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12．函数 ， 的反函数是___________.
【答案】
【解析】根据反余弦函数的定义及 ，利用偶函数性质求解即可.
【详解】
因为 ，
所以2
由 ，且
所以 ，即
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了反余弦函数，反余弦函数的值域，属于中档题.
【答案】
【解析】首先根据函数的最大值和最小值，列式求 ，根据周期公式求 ，再代入对称轴 ，求 ，最后再验证，确定函数的解析式.
【详解】
【点睛】
本题考查根据三角函数的性质求函数的解析式，重点考查公式计算，属于基础题型.
16．在 中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，现有下列命题：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 为等腰三角形；④若 ，则 为钝角三角形；⑤若 ，则 ；其中正确的命题是______________（请填写相应序号）.
二、填空题
5．圆心角为1弧度的扇形面积为2,则这个扇形的半径为_______.
【答案】2
【解析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．
【详解】
因为扇形的面积为2，圆心角为1弧度，
所以
故答案为2．
【点睛】
本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力．
6． 的单调减区间是___________.
【答案】
【解析】根据正弦函数的单调性直接求解即可.
【详解】
因为 ，
令 ，
解得 ， ，
所以函数 的单调递减区间为 ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了运算能力，属于容易题.
7．方程 的解集是___________.
【答案】 或
【解析】根据余弦函数的图象与性质解三角方程即可.
【详解】Hale Waihona Puke Baidu
【答案】 或
【解析】利用正弦定理表示 为 的函数，即可求解.
【详解】
由正弦定理可得 , ,
又 ， ，
所以 在 有唯一解，
故 或
故答案为： 或
【点睛】
本题主要考查了正弦定理解三角形，考查函数零点个数问题，注意转化思想的应用，属于中档题.
15．已知函数 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为 ，直线 是其图像的一条对称轴，且 ，则 的解析式为___________.
【答案】
【解析】利用正弦定理有： ，则 ，则角 的最小值是 ．
11．已知 ， ，则 ___________.
【答案】-7
【解析】根据 ， ，利用两角和与差的余弦公式展开，再两式相加、相减分别得到 、 ，然后利用商数关系求解.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
两式相加得： ，
两式相减得： ，
所以 ，
故答案为：-7
【详解】
函数 是定义域为 的偶函数，
当 时， ，
当 时， ．
作函数 的图象，
由于关于 的方程 ，
解得 或 ，
当 时， ， ， 时， ， ．
由 ，则 有4个实根，
由题意，只要 有2个实根，
由图象可得当 时， 有2个实根，
当 时， 有2个实根．
综上可得： 或 ．
故选： ．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的运用，考查方程和函数的转化思想，运用数形结合的思想方法是解决的常用方法．
9．不等式 的解为______
【答案】
【解析】由反余弦函数的定义域及单调性可得 ，再求解即可.
【详解】
解：由函数 是定义在 的减函数，
又 ，
则 ，解得： ，
即不等式的解集为： ，
故答案为 .
【点睛】
本题考查了反余弦函数的定义域及单调性，属基础题.
10．在 中， ，则角 的最小值是____________.
【答案】②④⑤.
【解析】①取 验证可判断；
②由 及基本不等式求 的范围，从而可判断；
③由 和正弦定理可判断；
④若 ，则 ，结合正弦函数的单调性可判断；
⑤若 ，则可判断出A、B、C均为锐角，由 ，结合均值定理可判断 .
A．①真②真B．①真②假C．①假②真D．①假②假
【答案】D
【解析】根据图象平移变换可判断①，根据余弦函数的对称轴可判断②
【详解】
①将函数 图像向左平移 个单位得到函数 ，故①假；
②函数 的图像的对称轴方程为 ，解得 ， ，故②假.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了三角函数图象的平移变换，余弦函数的对称轴，属于中档题.
13．已知m是实常数，若 ，则m的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由题意可转化为 有解，换元求函数的值域即可.
【详解】
由 可得：
，
若 ，
则方程 有解，
令 ， ，
则 ，
所以只需 ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了含 的二次函数的值域，分离参数的方法，集合的概念，属于中档题.
14． 的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若满足 ， 的 恰有一个，则c的取值范围是___________.
4．已知函数 是定义域为R的偶函数，当 时， ，若关于x的方程 有且仅有6个不同实数根，则a的取值范围是（）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】运用偶函数的定义可得 在 的解析式，作出函数 的图象，由 ，解得 或 ，结合图象，分析有且仅有6个不同实数根的 的情况，即可得到 的范围．