第11讲函数的零点
[玩前必备]
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
[玩转典例]
题型一求函数的零点
例1求下列函数的零点：
(1)f(x)＝－x2－2x＋3；
(2)f(x)＝x4－1.
(3)函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________
[玩转跟踪]
1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( ) A.12，0 B ．－2,0 C.12
D ．0 2.求函数y ＝(ax －1)(x ＋2)的零点.
题型二 函数零点个数或所在区间的判断
例2 (1)设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，则x 0属于( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
ln x －x 2＋2x ，x >0，4x ＋1， x ≤0的零点个数是________． [玩转跟踪]
1.(1)函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )
A ．(－2，－1)
B ．(－1,0)
C ．(0,1)
D ．(1,2)
(2)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( )
A ．多于4个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
题型三 参数范围问题
例3 (1)函数f (x )＝∣4x －x 2∣－a 的零点的个数为3，则a ＝ ．
(2) 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是________．
例4 已知关于x 的二次方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a 的取值范围.
[玩转跟踪]
1.设方程|x 2－3|＝a 的解的个数为m ，则m 不可能等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2.已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围.
题型四 用二分法求方程的近似解
例5 设f (x )=3x +3x −8，用二分法求方程3x +3x −8=0在区间(1，2)上近似解的过程中，计算得到f (1)<0，f (1.25)<0，f (1.5)>0，f (1.75)>0，则方程的根落在区间( )
A. (1，1.25)
B. (1.25，1.5)
C. (1.5，1.75)
D. (1.75，2)
[玩转跟踪]
1.用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算_____．以上横线上应填的内容为( )
A ．(0，0.5)，f (0.25)
B ．(0，1)，f (0.25)
C ．(0.5，1)，f (0.75)
D ．(0，0.05)，f (0.125)
[玩转练习]
1.函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是( )
A.－12
，－1 B.12，1 C.12，－1 D.－12，1 2.函数f (x )＝x 3－2x 2＋2x 的零点个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
3.函数y ＝x 2－bx ＋1有一个零点，则b 的值为( )
A.2
B.－2
C.±2
D.不存在
4.已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 007个，则f (x )的零点个数为( )
A.1 007
B.1 008
C.2 014
D.2 015
5.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋x 2，x ＞0的零点为________. 6.若函数f (x )＝2x 2－ax ＋3有一个零点为32
，则f (1)＝________. 7．若函数f (x )＝bx ＋2有一个零点为13
，则g (x )＝x 2＋5x ＋b 的零点是( ) A. －13
B. 1或－6
C. －1或6
D. 1或6 8．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )
A ．(－2，－1)
B ．(－1,0)
C ．(0,1)
D ．(1,2)
9．方程log 3x ＋x －3＝0的解所在的区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
10．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )
A ．{1,3}
B ．{－3，－1,1,3}
C ．{2－7，1,3}
D ．{－2－7，1,3}
12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．
13．用二分法求方程ln x －2＋x ＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c ＝32
，则下一个含根的区间是________．
