一维优化方法
最优化设计数学模型中的基本概念：
1、设计变量
在机械设计中，区别不同的设计方案，通常是以一组取值不同的参数来表示。这些参
数可以是表示构件形状、大小、位置等的几何量，也可以是表示构件质量、速度、加速度、力、力矩等的物理量。在构成一项设计方案的全部参数中，可能有一部分参数根据实际情
况预先确定了数值，它们在优化设计过程中始终保持不变，这样的参数称为给定参数(或
叫预定参数)或设计常数。另一部分参数则是需要优选的参数，它们的数值在优化设计过
程中则是需要优选的参数，它们的数值在优化计算过程中是变化的，这类参数称为设计变量，它相当于数学上的独立自变量。一个优化问题如果有n个设计变量，而每个设计变量
用xi(i=1,2, ,n)表示，则可以把n个设计变量按一定的次序排列起来组成一个列阵或行
阵的转置，即写成
⎡⎡x1⎡
x=⎡x⎡
2⎡=[x1,x2, ,xT
⎡⎡ ⎡n]
⎡x⎡
n⎡
我们把x定义为n维欧式空间的一个列向量，设计变量x1,x2, ,xn为向量x的n个
分量。以设计变量x1,x2, ,xn为坐标轴展成的空间称为n维欧式空间，用Rn表示。该空
间包含了该项设计所有可能的设计方案，且每一个设计方案就对应着设计空间上的一个设
计向量或者说一个设计点x。
2、目标函数
优化设计是在多种因素下欲寻求使设计者员满意、且适宜的一组参数。“最满意”、“最适宜”是针对某具体的设计问题，人们所追求的某一特定目标而言。在机械设计中，
人们总希望所设计的产品具有最好的使用性能、体积小、结构紧凑、重量最轻和最少的制
造成本以及最多的经济效益，即有关性能指标和经济指标方面最好。
在优化设计中，一般将所追求的目标(最优指标)用设计变量的函数形式表达，称该函
数为优化设计的目标函数。目标函数的值是评价设计方案优劣程度的标准，也可称为准则
函数。建立这个函数的过程称为建立目标函数。一般的表达式为
F(x)=F(x1,x2, ,xn)
它代表着某项重要的特征，例如机器的某种性能、体积、质量、成本、误差、效率等等。
目标函数是设计变量的标量函数。优化设计的过程就是通过优选设计变量使目标函数
达到最优值，最优值的数学表征为最小值minF(x)或最大值maxF(x)。按一般的规范做法，把优化问题归结为求目标函数值的最小值居多。在求解过程中，目标函数值越小，设计方
案越优。对于某些追求目标函数最大值的问题，例如前述求月生产利润最大的问题或谋求
设计的效率最高、寿命最长等等，可转化(8-1) (8-2)
为求目标函数负值的最小值问题，即
maxF(x)⇒min[-F(x)] (8-3) 因此，本章在后面的叙述中，一律把优化问题规范为求
目标函数的最小值，表达式见式(8-2)。在优化设计中，仅根据一项准则建立的一个目标
函数，称为单目标函数。如前面举例中的生产调度问题中，为了实现单月生产利润最大化
而建立的目标函数即属于单目标优化设计问题。若在设计中需要同时兼顾多个设计准则，
则需要建立多个目标函数，这种问题即为多目标优化问题。
在解决优化设计问题时，正确选择目标函数是非常重要的，它不仅直接影响优化设计
的结果，而且对整个优化计算的繁简难易也会有一定的影响。
3、约束条件与可行域
优化设计不仅要使所选择方案的设计指标达到最佳值，同时还必须满足一些附加的设
计条件，这些附加的设计条件都是对设计变量取值的限制，在优化设计中叫做设计约束或
约束条件。它的表现形式有两种，一种是不等式约束，即
另一种是等式约束，即
gu(x)≤0 或gu(x)≥0hv(x)=0u=1,2, ,m v=1,2, ,p
式中gu(x)和hv(x)分别为设计变量的函数；m和p分别表示不等式约束和等式约束的个数，而且等式约束的个数p必须小于设计变量的个数n。因为从理论上讲，存在一个等
式约束就得以用它消去一个设计变量，这样便可降低优化设计问题的维数。所以，当p=n 时，即可由p个方程组中解得唯一的一组x1,x2, ,xn值。这样，方案的选择就成为唯一
的或确定的了。
在解决工程问题时，约束条件是优化设计获得工程可接受设计方案的重要条件。不等
式约束及其有关概念，在优化设计中是相当重要的。每一个不等式约束(如g(x)≤0)都把
设计空间划分成两部分，一部分是满足该不等式约束条件的，即g(x)
)>0。两部分的分界面叫做约束面，即
由g(x)=0的点集构成。在二维设计空间中约束面是一条曲线或直线，在三维以上的
设计空间中则是一个曲面或超曲面。一个优化设计问题的所有不等式约束的边界将组成一
个复合约束边界，如图8-3表示了一个二维问题的情况。其约束边界所包围的区域(图中
阴影线内)是设计空间中满足所有不等式约束条件的部分，在这个区域中所选择的设计变
量是允许采用的，我们称这个区域为设计可行域或简称为可行域，记作
D={xgu(x)≤0u=1,2, ,m}
若某项设计中除了具有m个不等式约束条件外，还应满足p个等式约束条件时，即对
设计变量的选择又增加了限制。如图8-3所示，当有一个等式约束条件h(x1,x2)=0时，
其可行设计方案只允许在D域内的等式函数曲线的AB段上选择。因此，在一般的情形下，优化问题的设计可行域可表示为
⎡g(x)≤0 u=1,2, ,m ⎡D=⎡u⎡ ⎡hv(x)=0 v=1,2, ,p
与此相反，除去可行域以外的设计空间称为非可行域。据此，在可行域内的任一设计
点都代表了一个可接受的设计方案，这样的点叫可行设计点或内点，如图所示的x(1)点；在约束边界上的点叫极限设计点或边界点，如点x(3)，此时这个边界所代表的约束叫作起作用约束。x(2)点则称为外点，即非可行点，该点为不可接受的设计方案，因为该点违反
了约束条件2，即g2(x(2))>0。
二、优化计算的数值解法及收敛条件
最优化技术总体包含两个方面，首先是根据实际的生产或科技问题构造出优化的数学
模型，再采取恰当的优化方法对数学模型进行求解。无论是无约束优化问题还是约束优化
问题，其本质上都是求极值的数学问题。从理论上，其求解可用解析法，即微积分学和变
分法中的极值理论，但由于实际中的优化数学模型多种多样，往往目标函数及约束函数都
是非线性的，采用解析法求解变得非常复杂和困难，甚至在有些时候无法求解数学模型。
因此，随着优化技术和电子计算机技术的不断发展，逐渐产生了以计算机程序计算为主的
一种更为实用的求优方法—数值计算法，通常也称为求解非线性规划的最优化方法。
1、数值计算法的迭代过程
最优化方法是与电子计算机及计算技术的发展紧密相联系的，数值计算法的迭代过程
也是依赖于计算机的运算特点而形成的。所以，计算过程完全有别于解析法的求解过程。
优化方法的迭代特点是：按照某种人为规定的逻辑结构，以一定的格式反复的数值计算，
寻求函数值逐次下降的设计点，直到满足规定的精度时才终止迭代计算，最后的设计点即
为欲求的最优点，所得到的解是满足规定精度的近似解。
图8-9 二维优化问题的迭代过程
总体做法如图8-9所示，由选定的初始点x(0)出发，沿着某种优化方法所规定的搜寻方向s(0)，以一定的步长α(0)，按迭代格式产生第一个新的设计点x(1)，
x(1)=x(0)+α(0)s(0)，且同时满足F(x(1))
