高考数学难点突破_难点34__导数的运算法则及基本公式应用

高中数学导数公式及运算法则高中数学知识点众多，那么高中数学的导数公式及运算法则同学们总结过吗?下面是由小编为大家整理的“高中数学导数公式及运算法则”，仅供参考，欢迎大家阅读。

高中数学导数公式及运算法则1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x加(减)法则:[f(x) g(x)]'=f(x)' g(x)'乘法法则:[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x) g(x)'*f(x)除法法则:[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2数学导数运算法则由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。

基本的求导法则如下:1、求导的线性:对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合(即①式)。

2、两个函数的乘积的导函数:一导乘二一乘二导(即②式)。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式:(子导乘母-子乘母导)除以母平方(即③式)。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

导数的计算方法函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义:表示函数曲线在点P0(x0,f(x0))处的切线的斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。

计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。

在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。

新高考导数知识点归纳总结随着新高考制度的实施，越来越多的学生开始接触到导数这一概念。

导数在数学中具有重要的地位，不仅仅是高考数学的考点，更是解决实际问题的有力工具。

为了帮助学生更好地掌握导数的知识，本文将对新高考导数知识点进行归纳总结，并提供相关的解题技巧和注意事项。

一、导数的定义和求导法则1. 导数的定义：导数是函数在某一点处的变化率，即斜率。

用数学符号表示为f'(x)，或者dy/dx。

2. 求导法则：- 常数法则：如果f(x) = C，其中C为常数，则f'(x) = 0。

- 幂函数法则：如果f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。

- 乘法法则：如果f(x) = u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)为函数，则f'(x)= u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。

- 除法法则：如果f(x) = u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)为函数，v(x) ≠ 0，则f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x))/v(x)^2。

- 反函数法则：如果f(x)和g(x)互为反函数，则f'(x) = 1/g'(f(x))。

二、导数的计算和性质1. 高阶导数：- 一阶导数：f'(x)表示函数f(x)的一阶导数。

- 二阶导数：f''(x)表示函数f(x)的二阶导数。

- 高阶导数：f^n(x)表示函数f(x)的n阶导数。

2. 导数的计算：- 函数的和、差、积的导数：如果f(x)和g(x)的导函数存在，则(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)，(f-g)'(x) = f'(x) - g'(x)，(fg)'(x) = f'(x)g(x) +f(x)g'(x)。

- 复合函数的导数：如果y = f(g(x))，其中f(x)和g(x)均可导，则y' = f'(g(x))g'(x)。

导数的四则运算法则实用导数的四则运算法则是求解导函数的基本法则，它包括求和、差、积和商四种基本运算。

这些法则对于解决复杂函数的导数问题非常实用，在解题过程中能够简化计算，提高效率。

下面我将详细介绍导数的四则运算法则的应用。

1.和的导数法则：如果函数f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的和的导数等于它们的导数之和，即(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)。

这个法则告诉我们，对于求解两个函数相加的导数问题时，我们只需要分别求出每个函数的导数，然后将它们相加即可。

2.差的导数法则：如果函数f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的差的导数等于它们的导数之差，即(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)。

这个法则告诉我们，在求解两个函数相减的导数问题时，我们只需要分别求出每个函数的导数，然后将它们相减即可。

3.积的导数法则：如果函数f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数本身再加上第一个函数本身乘以第二个函数的导数，即(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。

这个法则告诉我们，在求解两个函数相乘的导数问题时，我们需要将每个函数的导数与另一个函数本身相乘，然后将这两部分结果相加。

4.商的导数法则：如果函数f(x)和g(x)都是可导函数且g(x)≠0，则它们的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数本身再减去分子函数本身乘以分母函数的导数，然后除以分母函数的平方，即(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g(x)^2这个法则告诉我们，在求解两个函数相除的导数问题时，我们需要用分子函数的导数乘以分母函数本身减去分子函数本身乘以分母函数的导数，然后除以分母函数的平方。

以上就是导数的四则运算法则的应用。

导数知识点总结高考导数是高等数学中的重要概念，也是高考数学中的重要知识点之一。

掌握导数的相关知识，对于理解和应用微积分具有重要意义。

本文将对导数的相关知识点进行总结。

一、导数的定义和性质1. 导数的定义导数是刻画函数变化率的重要指标，可以理解为函数在某一点处的瞬时速度。

对于函数y=f(x)，在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(x→x0) [f(x) - f(x0)] / (x - x0)这里x0是一个无穷小量。

2. 导数的性质导数有一些重要的性质：（1）可加性：若f(x)和g(x)都在某一区间上可导，则[cf(x) + dg(x)]的导数等于cf'(x) + dg'(x)，其中c为常数。

（2）乘法法则：若f(x)和g(x)都在某一区间上可导，则[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

（3）链式法则：若y = f(u) 和 u = g(x) 都在某一区间上可导，则y = f(g(x))的导数为dy/dx = f'(u)g'(x)。

（4）反函数的导数：若y = f(x)在某一区间上可导，且f'(x0) ≠ 0，则其反函数y = f^(-1)(x)在对应的区间上也可导，并且有(dy/dx)|x=x0 = 1/f'(x0)。

二、常见函数的导数1. 基本初等函数的导数常见基本初等函数的导数如下：（1）常数函数：(c)' = 0 （c为常数）（2）幂函数：(x^n)' = nx^(n-1) （n为常数）（3）指数函数：(a^x)' = a^x ln(a) （a>0，a≠1）（4）对数函数：(ln|x|)' = 1/x（5）三角函数：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec^2x2. 函数的和、差、积、商的导数（1）和差的导数法则：[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)（2）积的导数法则：[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) （3）商的导数法则：[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) -f(x)g'(x)] / [g(x)]^2（其中g(x) ≠ 0）三、高阶导数和导数的应用1. 高阶导数导数的导数称为高阶导数。

5.2.2 导数的四则运算法则 学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点 导数的运算法则已知f (x )，g (x )为可导函数，且g (x )≠0.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，特别地，[cf (x )]′＝cf ′(x )．(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2.1.⎝⎛⎭⎫e x ＋cos π4′＝e x .( √ ) 2．函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( √ )3．当g (x )≠0时，⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ).( √ )一、利用运算法则求函数的导数例1 求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋43x 3； (2)y ＝3x 2＋x cos x ；(3)y ＝x 1＋x； (4)y ＝lg x －e x ；(5)y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1. 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5＋43x 3′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫43x 3′＝x 4＋4x 2. (2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝(3x 2)′＋(x cos x )′＝6x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ′＝x ′(1＋x )－x (1＋x )′(1＋x )2＝1＋x －x (1＋x )2＝1(1＋x )2. (4)y ′＝(lg x －e x )′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln 10－e x . (5)y ′＝⎣⎡⎦⎤(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1′ ＝⎝⎛⎭⎫1x －x ′1122=x x '-⎛⎫- ⎪⎝⎭1131222211=22x 'x 'x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－－－＝－－－ ＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . 反思感悟 利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋x ln x ；(2)y ＝ln x x 2； (3)y ＝e xx； (4)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)．解 (1)y ′＝(x 2＋x ln x )′＝(x 2)′＋(x ln x )′＝2x ＋(x )′ln x ＋x (ln x )′＝2x ＋ln x ＋x ·1x＝2x ＋ln x ＋1.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x 2′＝(ln x )′·x 2－ln x (x 2)′x 4 ＝1x ·x 2－2x ln x x 4＝1－2ln x x 3. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝(e x )′x －e x (x )′x 2＝e x ·x －e xx 2. (4)方法一 y ′＝[(2x 2－1)(3x ＋1)]′＝(2x 2－1)′(3x ＋1)＋(2x 2－1)(3x ＋1)′＝4x (3x ＋1)＋(2x 2－1)×3＝12x 2＋4x ＋6x 2－3＝18x 2＋4x －3.方法二 ∵y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1，∴y ′＝(6x 3＋2x 2－3x －1)′＝(6x 3)′＋(2x 2)′－(3x )′－(1)′＝18x 2＋4x －3.二、利用运算法则求曲线的切线例2 (1)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.22答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故π=4|x y'＝12， ∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12. (2)已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0.①求a ，b 的值；②如果曲线y ＝f (x )的切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切线的方程． 解 ①f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数f ′(x )＝3x 2＋a ，由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13，f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6，解得a ＝1，b ＝－16.②∵切线与直线y ＝－x 4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14或y 0＝－1－1－16＝－18，则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18，即y ＝4x －18或y ＝4x －14.反思感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 跟踪训练2 (1)曲线y ＝x 3－4x 2＋4在点(1,1)处的切线方程为( )A ．y ＝－x ＋2B ．y ＝5x －4C ．y ＝－5x ＋6D ．y ＝x －1答案 C解析 由y ＝x 3－4x 2＋4，得y ′＝3x 2－8x ，y ′|x ＝1＝3－8＝－5，所以曲线y ＝x 3－4x 2＋4在点(1,1)处的切线方程为y －1＝－5(x －1)，即y ＝－5x ＋6.(2)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，则a ，b 的值分别为________．答案 1,1 解析 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x (x ＋1)2－b x 2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)， 故⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，a 2－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.三、与切线有关的综合问题例3 (1)曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是( ) A. 2 B.22C ．1D ．2 答案 B解析 设曲线y ＝x ln x 在点(x 0，y 0)处的切线与直线x －y －2＝0平行．∵y ′＝ln x ＋1，∴0=|x x y'＝ln x 0＋1＝1，解得x 0＝1，∴y 0＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线x －y －2＝0的距离为d ＝|1－0－2|1＋1＝22， 即曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是22. (2)设曲线 y ＝a (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与直线 x ＋2y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.答案 2e解析 令y ＝f (x )，则曲线y ＝a (x －1)e x 在点(1,0)处的切线的斜率为f ′(1)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(1)＝2.因为f (x )＝a (x －1)e x ，所以f ′(x )＝a e x ＋a (x －1)e x ＝ax e x ，所以f ′(1)＝a e ，故a ＝2e. 反思感悟 本题正确的求出函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．跟踪训练3 求曲线y ＝2e(x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积． 解 由题意可知，y ′＝2ex ·e x ，y ′|x ＝1＝2， ∴切线方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.令x ＝0得y ＝－2；令y ＝0得x ＝1.∴曲线y ＝2e (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为S ＝12×2×1＝1.1．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.103答案 D解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103. 2．设函数y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．3．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 A解析 因为f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3， 所以f ′(x )＝f ′(－1)x －2.所以f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2，所以f ′(－1)＝－1.4．已知f (x )＝ln x x，则f ′(1)＝________. 答案 1解析 f ′(x )＝(ln x )′·x －ln x ·(x )′x 2＝1x ·x －ln x x 2 ＝1－ln x x 2， 所以f ′(1)＝1.5．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 答案 1解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22，得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1.1．知识清单：(1)导数的运算法则．(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．1．(多选)下列运算中正确的是( )A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C.⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝(sin x )′－(x 2)′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′答案 AD解析 A 项中，(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′，故正确；B 项中，(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2(x 2)′，故错误；C 项中，⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝(sin x )′x 2－sin x (x 2)′(x 2)2，故错误； D 项中，(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′，故正确．2．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A ．0 B.π4 C ．1 D.π2答案 B解析 对函数求导得f ′(x )＝e x (cos x －sin x )，∴f ′(0)＝1，∴函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为π4. 3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( )A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2 答案 B解析 ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2，即ln x 0＝1，解得x 0＝e.4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案 B解析 ∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(x )为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.5．(多选)当函数y ＝x 2＋a 2x(a ＞0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0可以是( ) A ．a B ．0 C ．－a D ．a 2答案 AC解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2， 由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .6．已知f (x )＝sin x 1＋cos x，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝________. 答案 23解析 因为f ′(x )＝(sin x )′(1＋cos x )－sin x (1＋cos x )′(1＋cos x )2＝cos x (1＋cos x )－sin x (－sin x )(1＋cos x )2＝cos x ＋cos 2x ＋sin 2x (1＋cos x )2＝cos x ＋1(1＋cos x )2 ＝11＋cos x . 所以f ′⎝⎛⎭⎫π3＝11＋cos π3＝23. 7．已知f (x )＝e x x，则f ′(1) ＝________，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0＝________. 答案 0 12解析 因为f ′(x )＝(e x )′x －e x (x )′x 2＝e x (x －1)x 2(x ≠0)． 所以f ′(1)＝0.由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得()00020e 1e 0.x x x x x 0-＋＝ 解得x 0＝12. 8．已知函数f (x )＝e x ·sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是____________． 答案 y ＝x解析 ∵f (x )＝e x ·sin x ，f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )，f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y －0＝1×(x －0)，即y ＝x .9．若曲线y ＝x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．解 ∵y ＝x 2－ax ＋ln x ，∴y ′＝2x －a ＋1x， 由题意可知，存在实数x >0使得2x －a ＋1x＝0， 即a ＝2x ＋1x成立，∴a ＝2x ＋1x ≥22(当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时等号成立)．∴a 的取值范围是[22，＋∞)．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8.(1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．解 (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8.(2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3，所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8，所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7，又g (0)＝3，所以曲线g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)，即7x ＋y －3＝0.11．已知曲线f (x )＝x 2＋ax ＋1在点(1，f (1))处切线的倾斜角为3π4，则实数a 等于( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7答案 C解析 ∵f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，又f ′(1)＝tan 3π4＝－1，∴a ＝7.12．已知曲线f (x )＝(x ＋a )·ln x 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，则a 等于() A.12 B ．1 C ．－32 D ．－1答案 C解析 因为f (x )＝(x ＋a )·ln x ，x >0，所以f ′(x )＝ln x ＋(x ＋a )·1x ，所以f ′(1)＝1＋a .又因为f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，所以f ′(1)＝－12，所以a ＝－32，故选C. 13．已知函数f (x )＝f ′(－1)x 22－2x ＋3，则f (－1)的值为________． 答案 92解析 ∵f ′(x )＝f ′(－1)·x －2，∴f ′(－1)＝－f ′(－1)－2，解得f ′(－1)＝－1.∴f (x )＝－x 22－2x ＋3， ∴f (－1)＝92. 14．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为______________．答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点坐标为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x (x >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点坐标为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.15．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝________. 答案 212解析 因为f ′(x )＝(x )′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.16．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．解 ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，∴切点坐标为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1.∵f ′(1)＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.∴a ＝52，c ＝－92. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.。

高中数学导数公式、定义证明、运算法则，实用干货，收藏好！导数，也叫导函数值。

那么，高中数学导数公式及运算法则有哪些呢？高中数学导数公式有哪些1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x加（减）法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x)除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2根据导数定义证明数学导数运算法则由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。

基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

导数的计算方法函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。

在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。

只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。

高中数学中的导数应用知识点总结导数是高中数学中的一个重要概念和工具，它在许多数学问题的研究中起着重要的作用。

本文将对高中数学中的导数应用知识点进行总结，包括导数的定义与性质、导数的计算方法以及导数在实际问题中的应用。

一、导数的定义与性质导数的定义是函数在某一点处的变化率，通常用极限来表示。

具体而言，给定函数y = f(x)，在x点处的导数可以定义为：```f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) - f(x)] / h```其中，f'(x)表示函数f(x)在x点处的导数，h表示一个趋近于0的实数。

导数的性质包括：1. 导数存在性：函数在某一点处存在导数，即函数在该点处可导；2. 导数的唯一性：函数在某一点处的导数唯一；3. 可导函数的连续性：函数在某一点处可导，则该点处连续；4. 常数函数导数为0：对于常数函数y = c，导数f'(x) = 0。

二、导数的计算方法导数的计算方法包括基本导数公式和导数的四则运算法则。

1. 基本导数公式：常见的函数导数计算公式如下：- 常数函数导数：f(x) = c，f'(x) = 0；- 幂函数导数：f(x) = x^n，f'(x) = nx^(n-1)；- 指数函数导数：f(x) = e^x，f'(x) = e^x；- 对数函数导数：f(x) = loga(x)，f'(x) = 1 / (xlna)，其中a为底数；- 三角函数导数：f(x) = sin(x)，f'(x) = cos(x)等。

2. 导数的四则运算法则：导数的四则运算法则包括求和、差、积和商的导数运算法则。

- 求和法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)；- 差法则：(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)；- 积法则：(f(x) * g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)；- 商法则：(f(x) / g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / g^2(x)，其中g(x) ≠ 0。

导数的运算公式和法则导数是微积分中的重要概念，用于描述函数的变化率。

在求导的过程中，有一些常用的运算公式和法则，可以帮助我们简化计算。

下面是一些常用的导数运算公式和法则。

一、基本导数公式1. 常数导数法则：对于任意常数c，其导数为0，即d/dx(c) = 0。

2. 幂函数导数法则：对于任意实数n，幂函数y = x^n的导数为d/dx(x^n) = nx^(n-1)。

特别地，当n = 0时，常数函数y = c的导数为d/dx(c) = 0。

3. 指数函数导数法则：对于底数为常数a的指数函数y = a^x，其导数为d/dx(a^x) = ln(a) * a^x。

这个法则也适用于自然对数中的指数函数y = e^x，其导数为d/dx(e^x) = e^x。

4. 对数函数导数法则：对于底数为常数a的对数函数y = log_a(x)，其导数为d/dx(log_a(x)) = 1 / (x * ln(a))。

特别地，当底数为自然常数e时，对数函数变为自然对数函数y =ln(x)，其导数为d/dx(ln(x)) = 1 / x。

5.三角函数导数法则：（1）正弦函数的导数为d/dx(sin(x)) = cos(x)。

（2）余弦函数的导数为d/dx(cos(x)) = -sin(x)。

（3）正切函数的导数为d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。

（4）余切函数的导数为d/dx(cot(x)) = -csc^2(x)。

（5）正切函数和余切函数的导数也可以写成d/dx(tan(x)) = 1 /cos^2(x)和d/dx(cot(x)) = -1 / sin^2(x)。

6.反三角函数导数法则：（1）反正弦函数的导数为d/dx(arcsin(x)) = 1 / sqrt(1 - x^2)。

（2）反余弦函数的导数为d/dx(arccos(x)) = -1 / sqrt(1 - x^2)。

（3）反正切函数的导数为d/dx(arctan(x)) = 1 / (1 + x^2)。

导数公式及导数的运算法则导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在其中一点处的变化率。

导数公式和导数的运算法则是使用导数进行计算和推导的基本工具。

下面将介绍导数的定义、导数公式以及导数的运算法则。

一、导数的定义对于给定的函数y=f(x)，在其中一点x=a处的导数定义如下：f'(a) = lim┬(h→0)⁡(f(a+h)-f(a))/h其中，lim表示极限，h为x在a点的增量。

该定义表明导数表示函数在其中一点处的斜率或变化率。

二、导数的主要公式1.常数的导数公式如果f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。

2.幂函数的导数公式如果f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。

3.指数函数的导数公式如果f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。

指数函数e^x的导数仍然是e^x。

4.对数函数的导数公式如果f(x) = ln(x)，其中ln表示以e为底的对数，则f'(x) = 1/x。

5.三角函数的导数公式- sin函数的导数：f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。

- cos函数的导数：f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。

- tan函数的导数：f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)，其中sec^2表示secant的平方。

6.反三角函数的导数公式- arcsin函数的导数：f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1/√(1-x^2)。

- arccos函数的导数：f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1/√(1-x^2)。

- arctan函数的导数：f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1/(1+x^2)。

导数具有一些基本的运算法则，可以用于计算复杂函数的导数。

1.常数乘以函数的导数法则如果f(x)的导数是f'(x)，则(cf(x))' = cf'(x)，其中c为常数。

B n z h j p y高考数学难点突破难点34导数的运算法则及基本公式应用七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。

吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。

情也成空，且作“挥手袖底风”罢。

是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲《尘缘》，合成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。

乃书于纸上。

毕而卧。

凄然入梦。

乙酉年七月初七。

-----啸之记。

难点34 导数的运算法则及基本公式应用导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导.●难点磁场(★★★★★)已知曲线C：y=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标.●案例探究［例1］求函数的导数：«Skip Record If...»命题意图：本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型，属于★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数.错解分析：本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错.技巧与方法：先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导.«Skip Record If...»(2)解：y=μ3,μ=ax－b sin2ωx,μ=av－byv=x,y=sinγγ=ωxy′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av－by)′=3μ2(av′－by′)=3μ2(av′－by′γ′)=3(ax－b sin2ωx)2(a－bωsin2ωx)(3)解法一：设y=f(μ),μ=«Skip Record If...»,v=x2+1,则y′x=y′μμ′v·v′x=f′(μ)·«Skip Record If...»v－«Skip Record If...»·2x=f′(«Skip Record If...»)·«Skip Record If...»«Skip Record If...»·2x=«Skip Record If...»解法二：y′=［f(«Skip Record If...»)］′=f′(«Skip Record If...»)·(«Skip Record If...»)′=f′(«Skip Record If...»)·«Skip Record If...»(x2+1)«Skip Record If...»·(x2+1)′=f′(«Skip Record If...»)·«Skip Record If...»(x2+1) «Skip Record If...»·2x=«Skip Record If...»f′(«Skip Record If...»)［例2］利用导数求和(1)S n=1+2x+3x2+…+nx n－1(x≠0,n∈N*)(2)S n=C«Skip Record If...»+2C«Skip Record If...»+3C«Skip Record If...»+…+n C«Skip Record If...»,(n∈N*)命题意图：培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力.属★★★★级题目.知识依托：通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维.由求导公式(x n)′=nx n－1,可联想到它们是另外一个和式的导数.关键要抓住数列通项的形式结构.错解分析：本题难点是考生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想.技巧与方法：第(1)题要分x=1和x≠1讨论，等式两边都求导.解：(1)当x=1时S n=1+2+3+…+n=«Skip Record If...»n(n+1);当x≠1时，∵x+x2+x3+…+x n=«Skip Record If...»,两边都是关于x的函数，求导得(x+x2+x3+…+x n)′=(«Skip Record If...»)′即S n=1+2x+3x2+…+nx n－1=«Skip Record If...»(2)∵(1+x)n=1+C«Skip Record If...»x+C«Skip Record If...»x2+…+C«Skip Record If...»x n,两边都是关于x的可导函数，求导得n(1+x)n－1=C«Skip Record If...»+2C«Skip Record If...»x+3C«Skip Record If...»x2+…+n C«Skip Record If...»x n－1,令x=1得，n·2n－1=C«Skip Record If...»+2C«Skip Record If...»+3C«Skip Record If...»+…+n C«Skip Record If...»,即S n=C«Skip Record If...»+2C«Skip Record If...»+…+n C«Skip Record If...»=n·2n－1●锦囊妙计1.深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数.«Skip Record If...»表示函数的平均改变量，它是Δx的函数，而f′(x0)表示一个数值，即f′(x)=«Skip Record If...»，知道导数的等价形式：«Skip Record If...».2.求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键.3.对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.4.复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)y=e sin x cos(sin x)，则y′(0)等于( )A.0B.1C.－1 D.22.(★★★★)经过原点且与曲线y=«Skip Record If...»相切的方程是( )A.x+y=0或«Skip Record If...»+y=0B.x－y=0或«Skip Record If...»+y=0C.x+y=0或«Skip Record If...»－y=0D.x －y=0或«Skip Record If...»－y=0二、填空题3.(★★★★)若f′(x0)=2,«Skip Record If...» =_________.4.(★★★★)设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________.三、解答题5.(★★★★)已知曲线C1:y=x2与C2:y=－(x－2)2,直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程.6.(★★★★)求函数的导数(1)y=(x2－2x+3)e2x;(2)y=«Skip Record If...».7.(★★★★)有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度.8.(★★★★)求和S n=12+22x+32x2+…+n2x n－1,(x≠0,n∈N*).参考答案难点磁场解：由l过原点，知k=«Skip Record If...»(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x03－3x02+2x0, ∴«Skip Record If...»=x02－3x0+2y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2又k=«Skip Record If...»,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+22x02－3x0=0,∴x0=0或x0=«Skip Record If...»由x≠0,知x0=«Skip Record If...»∴y0=(«Skip Record If...»)3－3(«Skip Record If...»)2+2·«Skip Record If...»=－«Skip Record If...»∴k=«Skip Record If...»=－«Skip Record If...»∴l方程y=－«Skip Record If...»x切点(«Skip Record If...»，－«Skip Record If...») 歼灭难点训练一、1.解析：y′=e sin x［cos x cos(sin x)－cos x sin(sin x)］,y′(0)=e0(1－0)=1答案：B2.解析：设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=«Skip Record If...»,另一方面，y′=(«Skip Record If...»)′=«Skip Record If...»,故y′(x0)=k,即«Skip Record If...»或x02+18x0+45=0得x0(1)=－3,y0(2)=－15,对应有y0(1)=3,y0(2)=«Skip Record If...»,因此得两个切点A(－3，3)或B(－15,«Skip Record If...»),从而得y′(A)=«Skip Record If...»=－1及y′(B)=«Skip Record If...»,由于切线过原点，故得切线：l A:y=－x或l B:y=－«Skip Record If...».答案：A二、3.解析：根据导数的定义：f′(x0)=«Skip Record If...»(这时«Skip Record If...»)«Skip Record If...»答案：－14.解析：设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！答案：n!三、5.解：设l与C1相切于点P(x1,x12),与C2相切于Q(x2,－(x2－2)2)对于C1：y′=2x,则与C1相切于点P的切线方程为y－x12=2x1(x－x1),即y=2x1x－x12①对于C2：y′=－2(x－2),与C2相切于点Q的切线方程为y+(x2－2)2=－2(x2－2)(x－x2),即y=－2(x2－2)x+x22－4②∵两切线重合，∴2x1=－2(x2－2)且－x12=x22－4,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0∴直线l方程为y=0或y=4x－46.解：(1)注意到y＞0,两端取对数，得ln y=ln(x2－2x+3)+ln e2x=ln(x2－2x+3)+2x«Skip Record If...»(2)两端取对数，得ln|y|=«Skip Record If...»(ln|x|－ln|1－x|),两边解x求导，得«Skip Record If...»7.解：设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5－«Skip Record If...»,当下端移开1.4 m 时，t0=«Skip Record If...»,又s′=－«Skip Record If...» (25－9t2)«Skip Record If...»·(－9·2t)=9t«Skip Record If...»,所以s′(t0)=9׫Skip Record If...»=0.875(m/s)8.解：(1)当x=1时，S n=12+22+32+…+n2=«Skip Record If...»n(n+1)(2n+1),当x≠1时，1+2x+3x2+…+nx n-1=«Skip Record If...»,两边同乘以x,得x+2x2+3x2+…+nx n=«Skip Record If...»两边对x求导，得S n=12+22x2+32x2+…+n2x n-1=«Skip Record If...»。

120难点34 导数的运算法则及基本公式应用导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导.●难点磁场(★★★★★)已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标.●案例探究［例1］求函数的导数：)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx x y ω 命题意图：本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型，属于★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数.错解分析：本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错.技巧与方法：先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导.xx x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x x x y 222222222222222222222cos )1(sin )1)(1(cos )12(cos )1(]sin )1(cos 2)[1(cos )1(cos )1(]))(cos 1(cos )1)[(1(cos )1(cos )1(]cos )1)[(1(cos )1()1(:)1(++-+--=++---+-=+'++'+--+-=-+'+--+'-='解(2)解：y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －byv =x ,y =sin γ γ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′=3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′)=3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx )(3)解法一：设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21v －21·2x =f ′(12+x )·21112+x ·2x =),1(122+'+x f x x解法二：y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′121=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·(x 2+1)′ =f ′(12+x )·21(x 2+1) 21-·2x=12+x xf ′(12+x )［例2］利用导数求和(1)S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1(x ≠0,n ∈N *)(2)S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n ,(n ∈N *)命题意图：培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力.属 ★★★★级题目.知识依托：通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维.由求导公式(x n )′=nx n －1,可联想到它们是另外一个和式的导数.关键要抓住数列通项的形式结构.错解分析：本题难点是考生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想.技巧与方法：第(1)题要分x =1和x ≠1讨论，等式两边都求导.解：(1)当x =1时S n =1+2+3+…+n =21n (n +1); 当x ≠1时， ∵x +x 2+x 3+…+x n =xx x n --+11, 两边都是关于x 的函数，求导得 (x +x 2+x 3+…+x n )′=(x x x n --+11)′ 即S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+ (2)∵(1+x )n =1+C 1n x +C 2n x 2+…+C n n x n ,两边都是关于x 的可导函数，求导得n (1+x )n －1=C 1n +2C 2n x +3C 3n x 2+…+n C n n x n －1, 令x =1得，n ·2n －1=C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n , 即S n =C 1n +2C 2n +…+n C n n =n ·2n －1●锦囊妙计1.深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数.xy ∆∆表示函数的平均改变量，它是Δx 的函数，而f ′(x 0)表示一个数值，即f ′122 (x )=x y x ∆∆→∆lim 0，知道导数的等价形式：)()()(lim )()(lim 0000000x f x x x f x f x x f x x f x x x '=--=∆-∆+→∆→∆. 2.求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键.3.对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.4.复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( )A.0B.1C.－1D.22.(★★★★)经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A.x +y =0或25x +y =0 B.x －y =0或25x +y =0 C.x +y =0或25x －y =0 D.x －y =0或25x －y =0 二、填空题 3.(★★★★)若f ′(x 0)=2,kx f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________.4.(★★★★)设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________.三、解答题5.(★★★★)已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程.6.(★★★★)求函数的导数(1)y =(x 2－2x +3)e 2x ;(2)y =31xx -. 7.(★★★★)有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m 时，梯子上端下滑的速度.8.(★★★★)求和S n =12+22x +32x 2+…+n 2x n －1,(x ≠0,n ∈N *).参考答案难点磁场解：由l 过原点，知k =00x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0, ∴00x y =x 02－3x 0+2123y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2又k =00x y ,∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2 2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=23 由x ≠0,知x 0=23 ∴y 0=(23)3－3(23)2+2·23=－83 ∴k =00x y =－41 ∴l 方程y =－41x 切点(23，－83) 歼灭难点训练一、1.解析：y ′=e sin x ［cos x cos(sin x )－cos x sin(sin x )］,y ′(0)=e 0(1－0)=1答案：B 2.解析：设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率为k =00x y ,另一方面，y ′=(59++x x )′=2)5(4+-x ,故 y ′(x 0)=k ,即)5(9)5(40000020++==+-x x x x y x 或x 02+18x 0+45=0得x 0(1)=－3,y 0(2)=－15,对应有y 0(1)=3,y 0(2)=53515915=+-+-,因此得两个切点A (－3，3)或B (－15,53),从而得y ′(A )=3)53(4+-- =－1及y ′(B )=251)515(42-=+-- ,由于切线过原点，故得切线：l A :y =－x 或l B :y =－25x . 答案：A二、3.解析：根据导数的定义：f ′(x 0)=kx f k x f k ---+→)()]([(lim000(这时k x -=∆)1)(21)()(lim 21])()(21[lim 2)()(lim 0000000000-='-=----=---⋅-=--∴→→→x f k x f k x f k x f k x f k x f k x f k k k 答案：－14.解析：设g (x )=(x +1)(x +2)……(x +n ),则f (x )=xg (x ),于是f ′(x )=g (x )+xg ′(x ),f ′(0)=g (0)+0·g ′(0)=g (0)=1·2·…n =n ！答案：n !三、5.解：设l 与C 1相切于点P (x 1,x 12),与C 2相切于Q (x 2,－(x 2－2)2)对于C 1：y ′=2x ,则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 12=2x 1(x －x 1),即y =2x 1x －x 12 ①124对于C 2：y ′=－2(x －2),与C 2相切于点Q 的切线方程为y +(x 2－2)2=－2(x 2－2)(x －x 2),即y =－2(x 2－2)x +x 22－4 ②∵两切线重合，∴2x 1=－2(x 2－2)且－x 12=x 22－4,解得x 1=0,x 2=2或x 1=2,x 2=0∴直线l 方程为y =0或y =4x －46.解：(1)注意到y ＞0,两端取对数，得ln y =ln(x 2－2x +3)+ln e 2x =ln(x 2－2x +3)+2xxx e x x e x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x y y 2222222222222)2(2)32(32)2(232)2(232)2(223222232)32(1⋅+-=⋅+-⋅+-+-=⋅+-+-='∴+-+-=++--=++-'+-='⋅∴(2)两端取对数，得 ln|y |=31(ln|x |－ln|1－x |), 两边解x 求导，得 31)1(31)1(131)1(131)111(311x x x x y x x y x x x x y y --=⋅-⋅='∴-=---='⋅7.解：设经时间t 秒梯子上端下滑s 米,则s =5－2925t -,当下端移开1.4 m 时，t 0=157341=⋅,又s ′=－21 (25－9t 2)21-·(－9·2t )=9t 29251t -,所以s ′(t 0)=9×2)157(9251157⨯-⋅=0.875(m/s)8.解：(1)当x =1时，S n =12+22+32+…+n 2=61n (n +1)(2n +1),当x ≠1时，1+2x +3x 2+…+nx n -1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+,两边同乘以x ,得 x +2x 2+3x 2+…+nx n =221)1()1(x nx x n x n n -++-++两边对x 求导，得 S n =12+22x 2+32x 2+…+n 2x n -1=322122)1()122()1(1x x n x n n x n x n n n ---+++-+++Von Neumann说过：In mathematics you don't understand things .You just get used to them.掌握了课本，一般的数学题就都可以做了。

求导数公式及运算法则求导数公式及运算法则导数是微积分中非常重要的概念，它用来描述函数在某一点的变化率。

在实际应用中，求导数可以帮助我们确定函数的最大值、最小值、驻点等，因此对求导数的理解和掌握是非常重要的。

本文将介绍一些常见的求导数公式及运算法则。

一、求导数的定义假设函数f(x)在区间[a,b]内可导，则函数在某一点x的导数表示为：f'(x) = lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h其中，lim表示极限，h表示x自变量的增量。

二、求导数常用的公式1. 常数函数的导数：若c是常数，则f(x)=c的导数为0。

2. 幂函数的导数：对于任意实数n，f(x)=x^n的导数为：f'(x) = nx^(n-1)特别地，当n=1时，f(x)=x的导数为1。

3. 指数函数的导数：f(x)=e^x的导数为：f'(x) = e^x4. 对数函数的导数：f(x)=log_a(x)的导数为：f'(x) = 1/(x*log_a)其中a为常数，且a>0且a≠1。

5. 三角函数的导数：sin(x)' = cos(x)cos(x)' = -sin(x)tan(x)' = sec^2(x)这里的sec(x)表示secant（正割）函数。

三、四则运算法则求导数不仅可以针对单个函数进行，还可以对多个函数之间进行四则运算。

下面介绍求导数的四则运算法则。

1. 和差法则：若f(x)和g(x)都可导，则有：[f(x)+g(x)]' = f'(x) + g'(x)[f(x)-g(x)]' = f'(x) - g'(x)即求和或求差的导数等于各自的导数之和或差。

2. 乘法法则：若f(x)和g(x)都可导，则有：[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + g'(x)f(x)即求两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第二个函数的导数乘以第一个函数。

高中数学导数相关知识点总结+解题技巧一. 导数概念的引入1. 导数的物理意义瞬时速率。

一般的，函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率是2. 导数的几何意义曲线的切线，当点趋近于P时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线的斜率是当点趋近于P 时，函数y=f(x)在x=处的导数就是切线PT的斜率k，即3. 导函数当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作，即二. 导数的计算1.基本初等函数的导数公式2.导数的运算法则3.复合函数求导y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。

三、导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；(2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；2. 函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。

求函数y=f(x)的极值的方法有：（1）如果在附近的左侧＞0 ，右侧＜0，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧＜0 ，右侧＞0，那么是极小值；3. 函数的最大(小)值与导数求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。

四. 推理与证明1.合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。

根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。

2.类比推理的一般步骤(1) 找出两类事物的相似性或一致性；(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；(3) 一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；(4) 一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。

导数的基本公式及运算法则导数是微积分的重要概念之一，是描述函数变化率的工具。

它在求解函数的最值、判断函数的增减性和曲线的弧长等方面有广泛的应用。

在微积分中，导数的基本公式和运算法则是必须掌握的基本内容。

本文将就导数的基本公式和运算法则进行详细介绍。

1.基本函数的导数公式(1)常数函数的导数：f(x)=C，其中C为常数，则f'(x)=0。

(2) 幂函数的导数：f(x) = x^n，其中n为整数，则f'(x) =nx^(n-1)。

(3) 指数函数的导数：f(x) = a^x，其中a>0且a≠1，则f'(x) =ln(a) * a^x。

(4) 对数函数的导数：f(x) = loga(x)，其中a>0且a≠1，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

(5)三角函数的导数：① f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。

② f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。

③ f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。

(6)反三角函数的导数：① f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1 / √(1-x^2)。

② f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1 / √(1-x^2)。

③ f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1 / (1+x^2)。

2.导数的四则运算公式设函数f(x)和g(x)可导，常数k为实数，则有以下四则运算法则：(1)和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

(2)乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。

(3)除法法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g^2(x)(其中g(x)≠0)。

高考数学难点突破_难点34__导数的运算法则及基本公式应用导数的运算法则是研究导数的基本运算规则和规律，包括加法、减法、乘法、除法、复合函数等运算法则。

基于这些运算法则，我们可以快速准确地求出导数。

一、加法法则（1）导数的加法法则：设函数f(x)和g(x)都在点x处可导，则它们的和函数(f+g)(x)在点x处的导数等于f(x)在点x处的导数与g(x)在点x处的导数的和。

即：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)（2）减法法则：设函数f(x)和g(x)都在点x处可导，则它们的差函数(f-g)(x)在点x处的导数等于f(x)在点x处的导数减去g(x)在点x处的导数。

即：(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)二、乘法法则（1）导数的乘法法则：设函数f(x)和g(x)都在点x处可导，则它们的积函数(f·g)(x)在点x处的导数等于f(x)在点x处的导数乘以g(x)，再加上f(x)乘以g(x)在点x处的导数。

即：(f·g)'(x)=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)三、除法法则（1）导数的除法法则：设函数f(x)和g(x)都在点x处可导，且g(x)≠0，则它们的商函数(f/g)(x)在点x处的导数等于[f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)]/(g(x))^2即：(f/g)'(x)=[f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)]/(g(x))^2四、复合函数的求导法则记y=f(u)，u=g(x)，即y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)都是可导函数，则复合函数y的导数可以通过链式法则求得。

链式法则：若y = f(u)，u = g(x)，则dy/dx = dy/du · du/dx，即d y/dx = f'(u) · g'(x)以上是导数的基本运算法则及其应用。

高中数学｜导数的运算及几何意义的运用
导数的运算
函数求导问题的类型及求解方法：
1.已知函数的解析式求导函数或导函数值.此类问题根据公式运算即可。

2.对抽象函数求导：
•例如对y=f(ax+b)求导,可得
其实质是复合函数求导,注意不要忘记对(ax+b)求导。

•近几年高考题的求导问题中,常涉及一类解析式中含有导数值的函数,即解析式类似为
解决这类问题的关键是明确f'(x0)是一个常数，因此先求f'(x)，再令x=x0，即可得到f'(x0)的值，进而得到函数解析式,求得所求的导数值。

例题
注意：求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度。

导数的几何意义的运用
（1）根据切线的性质求参数值
高考中,一般已知曲线上一点P(x0,y0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直),确定该切线的斜率k,再求出函数的导函数，然后利用导数的几何意义得到k=f'(x0)=tana,其中倾斜角a∈[0,m),根据范围进一步求得角a或有关参数的值。

（2）求曲线y=f(x)切线方程
【注意】(1)“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的曲线的切线方程”是不相同的,后者A必为切点,前者未必是切点
(2)曲线在某点处的切线若有则只有一条,曲线过某点的切线往往不止一条;切线与曲线的公共点不一定只有一个.
常见题型
第4题解答：
我是杨老师，高中数学、高考教育二十年，不定期推出经典题分析，高考模拟题选讲，高一高二都适用，敬请关注！如果觉得对你有益的话请点个赞吧，欢迎收藏与分享，感谢！。

专题三 导数的简单应用——高考数学公式定律速记清单（一）导数的几何意义 1.基本初等函数的八个导数公式2. 导数的四则运算法则（1）[()()]()()f x g x f x g x ±='±''；（2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅'''；（3）[]2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤⋅-⋅=⎥⎦''≠⎢⎣. 3.复合函数的求导公式设函数(),()y f u u x ϕ==均可导，则复合函数(())y f x ϕ=也可导，且x u x y y u '''=⋅. 即：因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导.（链式法则）. 4.切线的斜率函数()f x 在0x 处的导数是曲线()f x 在点()00()P x f x ，处的切线的斜率，因此曲线()f x 在点P 处的切线的斜率()0k f x '＝，相应的切线方程为()()000()y f x f x x x '－＝－.（二）利用导数研究函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果()00f x '>那么函数()y f x ＝在这个区间内单调递增；如果()00f x '<，那么函数()y f x ＝在这个区间内单调递减. （三）利用导数研究函数的极值和最值 1.利用导数求函数极值的一般思路和步骤： ①求定义域； ②求导数()f x '；③解方程()0f x '＝，研究极值情况； ④确定()00f x '＝时0x 左右的符号，定极值．2.若已知函数极值的大小或存在情况，求参数的取值范围，则转化为已知方程()0f x '＝根的大小或存在情况来讨论求解．3.求函数y =f x （）在[]，a b 上最大值与最小值的步骤：①求函数y f x =（）在a b （，）内的极值； ②将函数y f x =（）的各极值与端点处的函数值()()f a f b ，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．。