高中导数公式及导数的运算法则

高中数学导数公式及运算法则1.y=cc为常数 y'=02.y=x^n y'=nx^n-13.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x加（减）法则：[fx+gx]'=fx'+gx'乘法法则：[fx*gx]'=fx'*gx+gx'*fx除法法则：[fx/gx]'=[fx'*gx-gx'*fx]/gx^2由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。

基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。

在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。

只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

高中导数公式表导数是一种非常重要的数学概念，在大学物理，化学，生物等学科中都有着广泛的应用。

它是研究表面积变化，角速度变化，声能传播等，以及其他曲线变化的重要工具。

它可以说是定量描述变化的利器。

下面我们来看看高中导数公式表。

1、基本导数公式：（1）恒定函数的导数是零：f(x)=0（2）任何一种多项式的导数等于它本身：f(x)=ax^n,其中a为常数，n为自然数，则 f(x)=anx^{n-1} （3）e为自然对数的底数，e^x导数等于本身：f(x)=e^x, f(x)=e^x（4）sin x cos x导数分别为：f(x)=sin x, f(x)=cos xf(x)=cos x, f(x)=-sin x（5）ln x导数等于 1/x：f(x)=ln x, f(x)=1/x2、基本微分链式法则：（1）链式法则初等形式：若 dz/dx=dy/dx，则 dz/dy=dz/dx×dx/dy（2）链式法则延伸形式：若 dz/dy=dz/du×du/dv×dv/dx，则dz/dx=dz/du×du/dv×dv/dx3、定义域：（1）函数在取得有效值时，它的定义域被称为有效域；（2）函数在取得无效值时，它的定义域被称为无效域；（3）定义域内的值称为定义域内值；（4）定义域外的值称为定义域外值。

4、极限：（1）极限定义：极限是指当x的取值越来越接近某一个特定的值的时候，函数的值也越来越接近某一个特定的值，这个特定的值就叫做函数的极限。

（2）极限的计算：极限的计算有两个主要的方法，一种是用数字的方法，即通过给出很多的实数值点，来估算函数的极限；另一种是用公式的方法，即通过函数曲线特性来解决极限问题。

5、微分：（1）确定微分式：微分式是求出y变化率的公式，即可以确定函数变化的速率，其根据函数本质（即模型的特性）来决定。

（2）微分的计算：可以利用解析法进行计算，也可以利用数值法近似计算，甚至可以利用机器学习算法来计算，如神经网络等。

§3.2.2导数的运算法则与基本公式一、导数的和、差、积、商运算法则如果函数()u x 、()v x 在x 处都可导，则它们的和、差、积、商在x 处也可导；(1) [()()]()()u x v x u x v x '''±=±；(2) [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''⋅=+；(3) 2()()()()()()[()]u x u x v x u x v x v x v x '''⎛⎫-= ⎪⎝⎭(()0)v x ≠；推广到多个函数情形：设有n 个函数1()u x 、2()u x 、…、()n u x 都可导，则：(1)1212[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ''''±±±=±±±(2)12121212[()()()]()()()()()()()()()n n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++(3)[()]()ku x ku x ''=（k 为常数）定理2.3 设函数1()x f y -=在某个开区间内单调可导，且1[()]0f y -'≠，则反函数()y f x =在对应区间内可导，且11()[()]f x f y -'='.证明：0001011()lim lim lim 11[()]lim x x x y y f x x xx y yx f y y∆→∆→∆→-∆→∆'===∆∆∆∆∆==∆'∆二、基本初等函数的求导公式1.常数的导数：()0c '= （c 为常数）证明：()f x c =00()()()limlim 0x x f x x f x f x xc c x∆→∆→+∆-'=∆-==∆2.幂函数的导数：1()n n x nx -'= （n 为常数）证明：()nf x x =，0()()lim nnx x x xf x x∆→+∆-'=∆110()lim nn n n nnn nx C x C x x C x xx-∆→+∆++∆-=∆ 112210lim[()]n n n n nnnx C xC xx C x ---∆→=+∆++∆ 1n nx -=例1 求4sin y x x =+的导数.解：4(sin )y x x ''=+4()(sin )x x ''=+.34cos x x =+.例2 求5cos y x x =的导数.解：5(cos )y x x ''=55()cos (cos )x x x x ''=+.455cos sin x x x x =-.例3 求2sin xy x =的导数.解：2sin ()xy x''=2222(sin )sin ()()x x x x x ''-=. 24cos 2sin x x x x x-=. 3cos 2sin x x x x-=.例4 求23313y x x=--的导数.解：2333y xx -=--233(3)y x x -''=--.233()()(3)x x -'''=--.134233x x --=--.例5 求232x y x -=的导数.解：312223232x y x x x--==- 3122(32)y x x -''=-.3122(3)(2)x x -''=-.31223()2()x x -''=-.312292x x -=+.例6 求21xy x=+的导数. 解：2()1xy x''=+2222()(1)(1)(1)x x x x x ''+-+=+. 22212(1)x x x x +-⋅=+. 2221(1)x x -=+.3.指数函数x y a =(0,1a a >≠)的导数：()ln x x a a a '=()x xe e '= 001lim lim x x x x y a y a x x∆∆→∆→∆-'==∆∆. 证明：(1)x x x x x y a a a a +∆∆∆=-=-令1xt a ∆=-，有log (1)a x t ∆=+ 当0x ∆→时，有0t →1001lim lim log (1)log (1)x x t t a a t t y a a t t →→'==++. 1011lim ln log log (1)t x x x t a a a a a a e t →===+.4.对数函数log a y x =(0,1a a >≠)的导数：1(log )ln a x x a '= 1(ln )x x'= 证明：log a y x =的反函数为y x a =(0,1a a >≠)，由定理2.3可得111()ln ln y y y a a a x a'==='.例7 求33x xy x e =-+的导数. 解：3(3)x xy x e ''=-+3()(3)()x x x e '''=-+. 233ln3x xx e =-+.例8 求2x y x e =的导数. 解：2()x y xe ''= 22()()x x x e x e ''=+.22x x xe x e=+. (2)x xe x =+.例9 求ln x y x=的导数. 解：2ln (ln )ln ()x x x x x y x x''-⋅''== 122ln 1ln xx x x x x ⋅--==.例10 求22log y x x =的导数. 解：22(log )y x x ''= 2222()log (log )x x x x ''=+. 2212log ln 2x x x x =+. 22log ln 2x x x =+.5.三角函数的导数： 1.(sin )cos x x '=2.(cos )sin x x '=-3.221(tan )sec cos x x x '== 4.221(cot )csc sin x x x '=-=-5.(sec )sec tan x x x '=⋅6.(csc )csc cot x x x '=-⋅证明：1.(sin)cosx x'=2.(cos)sinx x'=-参考前面例题.3.sin(tan)()cosxxx''=2(sin)cos sin(cos)cosx x x xx''-=22222cos sin1seccos cosx xxx x+===.同理可证(请同学自己证明) 4.21(cot )csc sin x x x'=-=- 5.(sec )sec tan x x x '=⋅ 6.(csc )csc cot x x x '=-⋅例11 求sin cos y x x x =+的导数. 解：(sin cos )y x x x ''=+(sin )(cos )x x x ''=+. sin (sin )sin x x x x x ''=+-. sin cos sin x x x x =+-. cos x x =.6.反三角函数的导数： 1.21(sin )1arc x x '=-(11x -<<)2.21(cos )1arc x x '=--( 11x -<<) 3.21(tan )1arc x x'=+ 4.21(cot )1arc x x '=-+证明：sin y arc x =的反函数是sin x y =由定理2.3 1(sin )(sin )y arc x y ''==' (sin )cos ()22y y y ππ'=-<<. 而22cos 1sin 1y y x =-=- 所以21(sin )1arc x x '=-.其余反三角函数求导公式同理可证(请同学自己证明).例12 求2arctan 1x y x =+的导数. 解：22221(1)arctan 21(1)x x x x y x +-⋅+'=+ 2212arctan (1)x x x -=+.。

导数公式及运算法则
八个公式：
y=c(c为常数) y'=0；
y=x^n y'=nx^(n-1)；
y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x；
y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x ；
y=sinx y'=cosx ；y=cosx y'=-sinx ；
y=tanx y'=1/cos^2x ；
y=cotx y'=-1/sin^2x。

运算法则：
加（减）法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'
乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x)
除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。

若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。

寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。

实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。

反
之，已知导函数也可以反过来求原来的函数，即不定积分。

高中导数公式及导数的运算法则导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在其中一点的变化率。

在高中阶段的数学学习中，学生们一般会接触到导数的基本概念和求导的基本方法。

下面将详细介绍高中阶段导数的公式和运算法则。

一、导数的基本概念：导数表示了函数在其中一点上的变化率。

对于函数f(x)，在x=a处的导数表示为f'(a)，它的几何意义是函数图像在该点处的切线斜率。

导数的定义如下：f'(a) = lim┬(h→0)⁡〖(f(a+h)-f(a))/h〗其中，lim代表极限，h代表自变量的微小增量，也可以理解成取极限时的无穷小增量。

导数表示了函数在无穷小范围内的平均变化率，当h 趋于0时，导数表示了函数在该点上的瞬时变化率。

二、导数的公式：导数的计算根据函数的不同形式有不同的公式。

在高中阶段，最常见的导数公式有以下几种：1.常数函数的导数对于常数函数f(x)=C，它的导数为f'(x)=0。

这是因为常数函数的图像是一条水平直线，它在任何点上的斜率都为0。

2.幂函数的导数对于幂函数 f(x) = x^n，其中n为常数，它的导数为 f'(x) =nx^(n-1)。

例如，f(x) = x^2 的导数为 f'(x) = 2x。

3.指数函数的导数对于指数函数 f(x) = a^x，其中a为常数且a>0，它的导数为 f'(x) = ln(a) * a^x。

其中ln(a)表示以自然对数e为底的对数，它是一个常数。

4.对数函数的导数对于对数函数 f(x) = logₐx，其中a为常数且a>0且不等于1，它的导数为 f'(x) = 1/(x * ln(a))。

其中ln(a)表示以自然对数e为底的对数，它是一个常数。

5.三角函数的导数对于三角函数 f(x) = sin(x) 和 f(x) = cos(x)，它们的导数分别为 f'(x) = cos(x) 和 f'(x) = -sin(x)。

高中数学导数公式及导数的运算法则一、导数的定义导数是函数变化速率的一种描述方式，用函数f(x)在点x处的变化率来近似表示。

导数的定义如下：设函数y=f(x)在点x处有定义，如果当自变量x自小于且无限接近于x时，函数值的变化量Δy始终与自变量的变化量Δx之比近似为一个定值，即lim(Δx→0) Δy/Δx = lim(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)]/Δx这个极限值称为函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)，也可以写成dy/dx。

二、常见函数的导数公式1.幂函数的导数若y = xⁿ，n为常数，则y' = nxⁿ⁻¹。

2.反函数的导数若y=f⁻¹(x)，则y'=1/f'(f⁻¹(x))。

3.指数函数的导数若y = aˣ，a > 0，a ≠ 1，则y' = (lna) * aˣ。

4.对数函数的导数(a) 若y = logₐ(x)，a > 0，且a ≠ 1，则y' = 1/(xlna)。

(b) 若y = ln(x)，则y' = 1/x。

5.指数对数函数的导数(a) 若y = aˣ(x > 0)，则y' = aˣ(lna)。

(b) 若y = logₐx(a > 0，且a ≠ 1)，则y' = 1/(xlna)。

(c) 若y = ln，x，则y' = 1/x。

6.三角函数的导数(1) 若y = sinx，则y' = cosx。

(2) 若y = cosx，则y' = -sinx。

(3) 若y = tanx，则y' = sec²x。

1.基本运算法则(a)常数乘积法则：k*f(x)的导数是k*f'(x)。

(b)和差法则：[f(x)±g(x)]的导数是f'(x)±g'(x)。

(c)常数倍数法则：k*f(x)的导数是k*f'(x)。

所有导数公式及运算法则基本初等函数的导数公式1 .C'=0(C为常数);2 .(Xn)'=nX(n-1) (n∈Q);3 .(sinX)'=cosX;4 .(cosX)'=-sinX;5 .(aX)'=aXIna (ln为自然对数)特别地，(ex)'=ex6 .(logaX)'=(1/X)logae=1/(Xlna) (a>0，且a≠1)特别地，(ln x)'=1/x7 .(tanX)'=1/(cosX)2=(secX)28 .(cotX)'=-1/(sinX)2=-(cscX)29 .(secX)'=tanX secX10.(cscX)'=-cotX cscX导数的四则运算法则：①(u±v)'=u'±v'②(uv)'=u'v+uv'③(u/v)'=(u'v-uv')/ v2④复合函数的导数[u(v)]'=[u'(v)]*v' (u(v)为复合函数f[g(x)])复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。

导数是微积分的基础，同时也是微积分计算的一个重要的支柱。

2导数的求导法则由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。

基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

高阶导数的求法1．直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数。

一般用来寻找解题方法。

2．高阶导数的运算法则：。