代入上式,积分得: X 1 2 a(1 e2 )[ A(arcB2 arcB1 ) B(sin B2 cos B2 sin B1 cos B1 ) C (sin 3 B2 cos B2 sin 3 B1 cos B1 ) D(sin 5 B2 cos B2 sin 5 B1 cos B1 ) E (sin 7 B2 cos B2 sin 7 B1 cos B1 ) F (sin 9 B2 cos B2 sin 9 B1 cos B1 ) G(sin11 B2 cos B2 sin11 B1 cos B1 ) ] 子午线弧长和平行圈弧长变化的比较 四、椭球面梯形图幅面积的计算 只要求出经纬格网的面积,就可度量出椭球面的整个面积 或局部区域的面积。 d MN cos BdBdL a 2 1 e2 cos BdBdL P d D B2 L2 B1 L1
a 1 e cos B 2 2 X1 2=X2-X1,该Δ X即为所求的弧长。 子午线弧长计算(续) • 对于400km以下的子午线弧长计算公式 (精确到:0.001m ) X1 2 X1 2 e2 M m B(1 cos 2 Bm B 2 ) 8 M m B 写 若弧长<45km,仅取△B一次项,即可精确到:0.001m 当弧长甚短(例如X≤45km,计算精度到0.001m),可 视子午弧为圆弧,而圆的半径为该圆弧上平均纬度 点的子午圈的曲率半径Mm a a a2 a sin 2 Bif 4 sin 4 Bif 6 sin 6 Bif 8 sin 8Bif 2 4 6 8 i i i 对于克氏椭球 16036.4803sin 2 B f 16.8281sin 4 B f 0.022sin 6 B f F ( Bif ) 第四章 Ⅲ椭球面上的弧长计算 ——子午线弧长计算公式 ——由子午线弧长求大地纬度 ——平行圈弧长计算公式 ——椭球面梯形图幅面积的计算 ——大地线的概念与克莱劳方程 上一讲应掌握的内容 1、椭球面上法截线有关概念 法截线 子午圈(线) 2、子午线曲率半径 在赤道上M小于a,M随纬度增加而增加 卯酉圈 (线) 曲率 1 1 sin B cos 2 B 2 2 2 3 1 1 sin B cos 2 B cos 4 B 8 2 8 4 子午线弧长计算公式推导(方法1) 子午圈曲率半径公式可变为: M a0 a2 cos2B a4 cos4B a6 cos6B a8 cos8B m2 3m4 5m6 35m8 a0 m0 2 b 16 128 m m 15m6 7m8 a2 2 4 2 2 32 16 m4 3m6 7m8 a4 8 16 32 m m a6 6 8 32 16 m a8 8 128 椭球面积 • • • • • 若取L2-L1=2π,B2=π/2,B1=0 可得出北半球的椭球面面积; 再乘以2得到椭球面的总面积。 克氏椭球总面积约为5.1亿km2 梯形图幅的面积,直接代入经纬度计算。 • 对于形状不规则的区域面积可将该区域分割成 若干个规则格网的子块,然后求和。 §4.5 大地线的概念与计算 三、平行圈弧长公式 任一平行圈都是半径相等的圆, 纬度为B的平行圈的半径为: rB N cos B a cos B 1 e2 sin 2 B 平行圈上经差L L2 L1的一段弧长 : S1 2 N cos BL a cos B( L2 L1 ) l N cos B b1l 1 e2 sin 2 B wenku.baidu.com X a(1 e2 )( AarcB B sin B cos B C sin 3 B cos B D sin 5 B cos B E sin 7 B cos B F sin 9 B cos B G sin11 B cos B) 写 子午线弧长计算公式(2)系数 3 45 175 6 11025 8 43659 10 693693 12 式中:A 1 e 2 e 4 e e e e 4 64 256 16384 65536 1048576 3 2 45 4 175 6 11025 8 43659 10 693693 12 B e e e e e e 4 64 256 16384 65536 1048576 15 4 175 6 3675 8 14553 10 231231 12 C e e e e e 32 384 8192 32768 524288 35 6 735 8 14553 10 231231 12 D e e e e 96 2048 40960 655360 G 1001 12 e 4096 子午线弧长计算公式推导(方法2) X1 2 a(1 e ) (1 e2 sin 2 B)3/ 2 dB 2 B1 B2 将被积函数按二项式作级数展开,有: 3 15 (1 e 2 sin 2 B) 3/ 2 1 e2 sin 2 B e4 sin 4 B 2 8 35 315 8 8 693 10 10 e6 sin 6 B e sin B e sin B 16 128 256 B1 f X / a0 Bif1 ( X F ( Bif )) / a0 • 直接解法: 对于75国际椭球: (弧度) X / 6367452. 133 B f 2.518828475 103 sin 2 3.701007 106 sin 4 7.447 109 sin 6 Ona N1e 2 sin B1 N1 sin B1e 2 2 2 Onb N 2 e sin B2 N 2 sin B2 e 相对法截线的关系 相对法截线的特点: 当A,B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时, 正反法截线则合二为一,但不是平行圈。 在通常情况下,正反法截线是不重合的。因此 在椭球面上A,B,C三个点处所测得的角度(各 点上正法截线之夹角)将不能构成闭合三角形。 为了克服这个矛盾,在两点间另选一条单一的 大地线代替相对法截线,从而得到由大地线构 成的单一的三角形。 积分,整理得: a6 a8 a2 a4 X a0 B sin 2 B sin 4 B sin 6 B sin 8B 2 4 6 8 板书 子午线弧长计算 对于75国际椭球,子午线弧长的具体计算公式为: X 111133.005B 16038.528sin 2B 16.833sin 4B 0.022sin 6B B2 四、椭球面梯形图幅面积的计算(续) 即: 2 2 e 3 3 P a 2 1 e 2 L2 L1 sin B sin B sin B sin B1 2 1 2 3 3e4 4e6 5 5 7 7 sin B2 sin B1 sin B2 sin B1 5 7 对于75国际椭球,子午线弧长的具体计算公式为: X 111133.005B 32009.858sin B cos B 133.960sin 3 B cos B 0.698sin 5 B cos B 二、由子午弧长求大地纬度 由子午弧长求大地纬度可以采用迭代解法和直接解法 • 迭代解法: 3 2 N a(1 e2 sin 2 B)
1 2 M m0 m2 sin 2 B m4 sin 4 B m6 sin 6 B m8 sin8 B N n0 n2 sin 2 B n4 sin 4 B n6 sin6 B n8 sin8 B 不同的椭球元素对应不同的系数 写在黑板 §4.4 椭球面上的弧长计算 在高斯投影计算和弧度测量计算中, 往往用到子午线弧长和平行圈弧长 一、子午线弧长计算公式 dx MdB X MdB 0 B X (m0 m2 sin 2 B m4 sin 4 B m6 sin 6 B m8 sin8 B)dB 0 B 为了便于积分通常将正弦的幂函数展开为余弦的倍数函数。 如: 3 三、大地线的微分方程(推导) MdB dS cos A N cos BdL dS sin A 曲率半径 a(1 e2 ) c M 3 3 W V 3、卯酉线曲率半径 在赤道上N等于a,N随纬度增加而增加 a c N W V MN RA N cos 2 A M sin 2 A 4、任意法截弧的曲率半径 主曲率半径M及N分别是 RA的极小值和极大值。R0=M,R90=N 5、平均曲率半径 主曲率半径的计算公式中的系数 m0 a (1 e ) 2 n0 n2 n4 n6 n8 m2 m4 m6 m8 3 2 e m0 2 5 2 e m2 4 7 2 e m4 6 9 2 e m6 8 a 1 2 e n0 2 3 2 e n2 4 5 2 e n4 6 7 2 e n6 8 如果以B=90°代入,则得子午椭圆在一个象限内的 弧长约为10 002 137m。旋转椭球的子午圈的整个弧 长约为40 008 549.995m。即一象限子午线弧长约为 10 000km,地球周长约为40 000km。 为求子午线上两个纬度B1及B2间的弧长,只需按 上式分别算出相应的X1及X2,而后取差: 1 e 2 2 sin B 2 2 B+dB MdB d NcosBdL B 1 e 2 sin B 2 dBdL L 上式利用二项式展开并积分,得: P b L2 L1 (1 e2 sin 2 B) 2 cos B d B 2 B1 B2 L+dL 2 3 4 =b 2 L2 L1 sin B e2 sin 3 B e 4 sin 5 B e6 sin 7 B 3 5 7 B1 二、大地线的定义与性质 定义1:椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线(测地线)。 定义2:大地线是主法线与曲面法线处处重合的曲线。 大地线的性质: 1、曲面上连接任何两点的最短弧线必为大地线; 2、大地线上任何点的密切平面就是该点的法截面; 3、大地线的测地曲率等于0; 4、大地线位于相对法截线之间,并靠近 正法截线,它与正法截线间的夹角 1 5、在椭球面上进行测量计算时,应当以两点间的大地线为 依据。在地面上测得的方向、距离等,应当归算成相应大地 线的方向、距离。 长度差异可忽略(40km以内), 但方向差异需改化。 两点间的最短距离,在平面上是两点间的直线,在球面 上是两点间的大圆弧,那么在椭球面上又是怎样的一条 线呢? 它应是大地线。 一、相对法截弧 法截弧:由椭球面上A点的法线与B点所确定的法截面与 椭球面相割得到的曲线称为A到B的法截弧。 相对法截弧: A到B的法截弧与B到A的法截弧。 互为正反法截弧 On a Q1na sin B1 On b Q2 nb sin B2 (不是地球平均半径) a R 2 W c N 1 e 2 V V 2 MN 6、椭球面上几种曲率半径的关系 N RM N90 R90 M90 c 主曲率半径的计算公式 子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N,是两个互相垂直 的法截弧的曲率半径,这在微分几何中统称为主曲率半 径。 M a(1 e2 )(1 e2 sin 2 B)