数学史概论 第五讲

• 卡尔丹：《大术》(或《大法》1545年)
三次方程 x3 = px + q (p , q > 0 ) 的解法： 实质是考虑恒等式：(ab)3 + 3ab(ab) = a3b3 若选取 a 和b，使 3ab= p，a3b3 = q， 由（*）不难解出a 和b，
（* ）
q q p 3 a 2 2 3
•
数学著作的翻译：
阿德拉特：《几何原本》、花拉子米 天文表； 普拉托：巴塔尼《天文学》、狄奥多 修斯《球面几何》以及其它著作 罗伯特：花拉子米《代数学》等 杰拉德：90多部阿拉伯文著作翻译 成拉丁文.包括《大汇编》,《原 本》,《圆锥曲线论》,《圆的度 量》等
• 斐波那契：
《算盘书》(Abaci, 1202) 印度-阿拉伯数码，分数算法，开方 法，二次和三次方程，不定方程， 以及《几何原本》和希腊三角学的 大部分内容
2
3
q q p 3 b 2 2 3
2
3
于是得到 a b 就是所求的 x . 后人称之为卡尔丹公式。
卡尔丹还对形如 x3 = px + q (p , q > 0 )的方程给出了解的公式： x = a +b
其中
a3
q q p 2 2 3
▔ xn an a3 aaa ax
乘幂xn
乘幂axn 指数a3 指数a3 指数ax
Bombelli （法）
Chuquet （法） Pierre Herigone （法） T. Harriot（1560~1621,英） Descartes （法）
2 三角学
• 波伊尔巴赫： 把托勒玫的《天文大成》译成拉丁文，并编制了十分精确的正弦表。 • 雷格蒙塔努斯： 《论各种三角形》欧洲第一部脱离天文学的三角学专著 全书分五卷，前两卷论平面三角, 后三卷论球面三角, 给出了球面三角 正弦定理和边的余弦定理。 《方位表》：制定高达5位的三角函数表, 除正余弦表外, 还有正切表。 首次对三角学作出完整、独立的阐述,使其开始在欧洲广泛传播。 • 维尔纳(Werner,1468~1528)：《论球面三角》(1514) 改进了将雷格蒙塔努斯的思想。 • 雷提库斯： 将传统的弧与弦的关系, 改进为角的三角函数关系, 并采用了六个函数 (正弦、余弦、正切、余切、正割、余割)，编制了间隔为10“的10位 和15位正弦表。 • 韦达：将平面三角与球面三角知识系统化.在《标准数学》(1579)和《斜截 面》(1615) 中, 把解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起, 其中包括自己得到的正切公式：
时间 1202年 1494年 1489年 1631年 1557年 1591年 1637年 1631年 1631年 1631年 1659年 16世纪 1593年
根号
根号 乘幂xn
▔
n
C.Rudolff （奥地利）
A.Girard（1593~1632,荷） Oresme
16世纪
16年 14世纪 1484年 1634年 1637年
• 韦达：《分析引论》(1591) 第一次有意识地使用系统的代数字母与符号,辅音 字母表示已知量,元音字母表示未知量,他把符号 性代数称作“类的算术”.同时规定了算术与代数 的分界,认为代数运算施行于事物的类或形式,算 术运算施行于具体的数.使代数成为研究一般类型 的形式和方程的学问,因其抽象而应用更为广泛. 韦达的符号代数保留着齐性原则，要求方程中各项都 是“齐性”的，即体积与体积相加，面积与面积相加.
A B t an a b 2 ab A B t an 2
建立解球面三角形的方法与一套公式, 给出帮助记忆这些公式的今天 所谓的“纳皮尔法则”. 这些球面三角公式大都是托勒玫建立的, 但 也 有 韦达自己的公式 cos A ,如 cos B cos C sin B sin C cos a
2
3
b3
q q p 2 2 3
2
3
对于带有二次项的三次方程，通过变换总可以将二次项消去，从而变成 卡尔丹能解的类型。
•
费拉里(L. Ferrari,1522~1565)：四次方程求解
其解法是利用一个变换： 将一般四次方程 简化为
b 4a ax4 bx3 cx2 dx e 0 x y
(这总可以做到 y 4 py2 qy r 0 )
由此进一步得到
y 4 2 py2 p 2 py2 qy r p 2
于是，对于任意的z，有
( y 2 p z)2 py2 qy p 2 r 2z( y 2 p) z 2 ( p 2z) y 2 qy ( p 2 r 2 pz z 2 )
（1）一个物体的同一投影的两个截影有什么 共同的性质？
（2）从两个光源分别对两个物体投影得同一 物影,那么这两个物体有何共同的几何性质？ 由于绘画、制图的刺激导致透视学的兴起, 从 而诞生了投影几何学。 • 布努雷契：由于对数学对兴趣而认真研究透 视法，他试图运用几何方法进行绘画。 • 阿尔贝蒂：《论绘画》(1511) 早期数学透视 法的代表作。引入投影线、截影等概念 ， 还讨论了截影的数学性质，成为射影几
• 兔子问题： 有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对，便筑了 一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每一个月可 以生一对小兔子，而一对兔子出生后第二个月就开始生小 兔子。假如一年内没有发生死亡，则一对兔子一年内能繁 殖成多少对？ • 斐波纳契数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233
sin A sin B 2 cos
A B A B sin 2 2
（A为钝角）
尤为重要的是韦达还将一套三角恒等式改成代数形式。
• 16世纪，三角学已从天文学中分离出来，成为一个独立的数学分支。
3 从透视学到射影几何
圆锥曲线在天文学上的应用，促使人们需要重新审视希腊人的圆锥曲线， 以及其它高等曲线。天文观测的需要，光学又日益成为文艺复兴时期的一个 重要课题。文艺复兴时期的几何创造其动力来自艺术。 中世纪宗教绘画具有象征性和超现实性。文艺复兴时期，描绘现实世界成 为绘画的重要目标.画家们在将三维现实世界 绘制到二维的画布上时,面临的问题：
• 牛顿在其《普遍的算术》中证明复根成对出现
• 荷兰人吉拉德《代数新发现》(1629) 作进一步的推断：对于n次多项式方 程，如果把不可能的(复数根)考虑在内，并包括重根，则应有n 个根。 • 根与系数的关系问题后来由韦达、牛顿和格列高里等人作出系统阐述。
* 法国代数学： • 韦达：《分析方法入门》(1591)、《论方程的整理与修正》(1615)、《有效 的数值解法》(1600)等方程论著作 给出代数方程的近似解法与代数方程的多项式分解因式解法。 • 笛卡儿：1637年,首次应用待定系数法将四次方程分解成两个二次方程求 解.《几何学》中提出因式分解定理：f (x) 能为 (x-a) 整除,当且仅当a 是 f (x) = 0的一个根;未加证明叙述了n次多项式方程应有 n个根的论断, 以 及 “笛卡儿符号法则”:多项式方程f (x) = 0 的正根的最多个数等于系 数 变 号的次数,负根的最多个数等于两个正号与两个负号连续出现的次数. 1.2 符号代数的引入
第 5讲. 冲破黑暗—文艺复兴与近代数学的兴起
一、 中世纪的欧洲
二、 向近代数学的过渡 三、 解析几何的诞生
一、中世纪的欧洲
• 大约在公元500年左右才开始出现新文化 • 公元5~11世纪，是欧洲历史上的黑暗时期 出现一些水平低下的算术和几何教材： 博埃齐：选编了《几何》、《算术》等教科书,《几何》仅包含《原 本》的第一卷和第三、四卷的部分命题，以及一些简单的测 量术；《算术》则是根据四百年前尼科马库斯的一本浅易的 著作编写的。 • 比德(V.Bede,674~735)、热尔拜尔(Gerbert,约950~1003)等人也讨论过 数 学. 前者研究过算术中的指算，据说后者可能把印度-阿拉伯数字带入欧洲。 • 直到12世纪，欧洲数学才出现复苏的迹象。这种复苏是由于受翻译、 传播阿拉伯著作和希腊著作的刺激开始。 • 文艺复Leabharlann Baidu的意大利成为东西方文化的熔炉. • 古代学术传播西欧的路线如图5.1所示
达芬奇自画像
蒙娜丽莎
• 德沙格(G.Desargues, 1591~1661)： 系统讨论透视法的第一人. 他研究投影法的动机是希望证明阿波罗尼奥斯 圆锥曲线的定理. 1636年发表第一篇关于透视法的论文. 代表作是1639年发 表的《试论锥面截一平面所得结果的初稿》,书中引入70多个投影几何术 语, 有些很古怪, 如投影线叫“棕”, 标有点的直线叫“干”, 其上有三点成对合关 系 的直线叫“树” 等等。 创造性思想： 从焦点透视的投影与截影原理出 发, 对 平行线引入无穷远点的概念, 继而获得无穷 远线的概念; 讨论了今天所谓的笛沙格定理: 投影三角形 ABC 和A‘B’C‘ 的对应边 (或 延长线)交点Q、R、P共线。反之，对应 边交点共线的三角形，对应顶点连线 AA'、BB'、CC'共点O 。 德沙格在他朋友鲍瑟1648年发表的一本 关于透视法著作的附录中,发表了三角形其它 一些射影性质的结论,其中包含投影变换下交 比不变性定理。
• 部分文艺复兴时期出现的缩写代数符号：
1494年《算术集成》：继斐波那契之后
第一部内容全面的数学书
猫捉老鼠问题 ：一只老鼠在60英尺高的白杨树顶上，
一只猫在树脚下的地上。老鼠每天下降1/2英尺，晚上
又上升1/6英尺；猫每天往上爬1英尺，晚上又滑下1/4 帕西奥里（意，1445－1517年） 英尺；这棵树在猫和老鼠之间每天长1/4英尺，晚上 又缩1/8英尺。试问猫要多久能捉住老鼠？ （意，1994）
韦达的这种做法受到后人的赞赏，并被吉拉德的《代数新发现》和 奥特雷德(Oughtred, 1575~1660）的《实用分析术》所继承。特别是通 过后者的著作使得采用数学符号的风气流行起来。对韦达所使用的代数 法的改进工作是由笛卡儿完成的，他首先用拉丁字母的前几个（a, b, c, d, …）表示已知量，后几个（x, y, z, w, …）表示未知量，成为今天的 习惯。 到十七世纪末，欧洲数学家已普遍认识到，数学中特意使用符号具有 很好的功效。并且使数学问题具有一般性。
二、向近代数学的过渡
1 代数学
1.1 三、四次方程求解：
• 费罗(S. Ferro, 1465~1526)： 发现形如
的三次方程的代数解法，并将解法秘密传给他 的学生费奥 • 塔塔利亚:宣称可以解形如
的三次方程,并最终将解法传授与卡尔丹
《论数字与度量》（1556－1560）：数学百科全书和16世纪最好的数学著作之一
再选择适当的 z ，使上式右边成为完全平方式，实际上使
4( p 2z)( p 2 r 2 pz z 2 ) q 2 0
即可。这样就变为z的三次方程。
费拉里所讨论的四次方程类型主要有以下几种
x 4 ax3 bx2 c x 4 ax2 bx c
x 4 ax3 b x 4 ax b
运算或关系 方根 加，减 加，减 减 等于 等于 等于 乘 乘 比例 除 大于,小于 方括号,大括号
符号 R p, m +,~ = ~ ：： >, < [ ],{ }
使用者 Fibonacci (1170~1250, 意) Pacioli (约1445~1517, 意) J.Widman（德） Oughtred（英） R. Recorde（英） Vieta（法） Descartes（法） Oughtred（英） Oughtred（英） Oughtred（英） J.H.Rahn (1622~1676, 瑞士) T. Harriot（1560~1621,英） Vieta （法）
卡尔丹：将塔氏方法推广到一般情形的三次方程， 给出几何证明；认识到三次方程有三个根，四 次方程有四个根；对三次方程求解中的所谓“ 不可约”情形感到困惑，认为复根是成对出现 的；卡尔丹还发现了三次方程的三根之和等于 x2项的系数的相反数，每两根乘积之和等于x 项的系数，等等 • 1572年,意大利数学家邦贝利在其所著教科书《代 代数》中引进虚数，用以解决三次方程不可约情况，并以dimRq11表示 -11。