计算题：
1.假定一个经济中有两种消费品1x 、2x ，其价格分别是4和9
，消费者的效用函数为12(,)U x x =72，求：
（1）消费者的最优消费选择
（2）消费者的最大效用。
2.假定一投资者具有如下形式的效用函数：2()w u w e -=-，其中w 是财富，并且0w >，请解答以下问题：
（1）证券：a)该投资者具有非满足性偏好；b)该投资者是严格风险厌恶的。
（2）求绝对风险规避系数和相对风险规避系数。
（3）当投资者的初期财富增加，该投资者在风险资产上的投资会增加？减少？不变？
（4）当投资者的初期财富增加1%时，该投资者投资在风险资产上投资增加的百分比是：大于1%？等于1%？小于1%？
3.假定一定经济中有两种消费品1x 、2x ，其价格分别是3和9
，消费者的效用函数为12(,)U x x =，并且他的财富为180，求：
（1）消费者的最优消费选择
（2）消费者的最大效用。
4.假定一投资者的效用函数为111()()1
B u w A Bw B -=+-，其中w 是财富，并且0B >，max[,0]A w B
>-，请回答以下问题： （1）求绝对风险规避系数与相对风险规避系数。
（2）当该投资者的初始财富增加时，他对风险资产的需求增加还是减少？为什么？
（3）什么情况下，当投资者的初期财富增加1%时，该投资者投资在风险资产上投资增加的百分比是：大于1%？等于1%？小于1%？
1.解：（1）消费者的最优化问题是
12,12.. 4972
x x s t x x +=
先构造拉格朗日函数
12(7249)L x x λ=--
F.O.C ：
1
122121140 (1)2
L x x x λ-∂=-=∂
1
122122190 (2)2
L x x x λ-∂=-=∂ 1272490 (3)L x x λ
∂=--=∂ 解得：129,4x x ==
（2
）消费者的最大效用为12(,)6U x x ==
2.解：（1）证明：因为投资者具有如下形式的效用函数：2()w u w e
-=-，所以： 22()220w w u w e e --'=-⨯-=>
因此该投资者具有非满足性偏好。
又2()40w u w e -''=-<，所以该投资者的效用函数严格凹的，因此该投资者是严格风险厌恶的。
（2）绝对风险规避系数为：
22()4()2()2w
A w
u w e R w u w e --''-=-==' 相对风险规避系数为：
()()2R A R w R w w w ==
（3）因为()0A dR w dw =，所以0da dw
=，其中a 是投资者在风险资产上的投资，因此当投资者的初期财富增加，该投资者在风险资产上的投资不变 （4）因为
()20R dR w dw =>，所以1η<，因此当投资者的初期财富增加1%时，该投资者投资在风险资产上投资增加的百分比小于1%
3.（1）消费者的最优化问题是
12,12max .. 39180
x x s t x x +=
先构造拉格朗日函数
12(18039)L x x λ=--
F.O.C ：
1211
30 (1)L x x λ-∂=-=∂ 1222
90 (2)L x x λ-∂=-=∂
12180390 (3)L x x λ
∂=--=∂ 解得：1245,5x x ==
（2）消费者的最大效用为12(,)U x x ==
4.（1）
111()(),()()
B B u w A Bw u w A Bw ---'''=+=-+
绝对风险规避系数为： ()1()()A u w R w u w A Bw
''=-='+ 相对风险规避系数为：
()()R A w R w R w w A Bw ==
+ （2） 因为2()0,0()A dR w B da dw A Bw dw
=-<>+因此，其中a 是投资者在风险资产上的投资，因此当投资者的初期财富增加，该投资者在风险资产上的投资增加。
（3）2()()R dR w A dw A Bw =+，当0A >时，()0R dR w dw
>，所以1η<，因此当投资者的初期财富增加1%时，该投资者投资在风险资产上投资增加量的百分比小于1%。
当0A =时，()0R dR w dw
=，所以1η=，因此当投资者的初期财富增加1%时，该投资者投资在风险资产上投资增加量的百分比也为1%
当0A <时，()0R dR w dw
=，所以1η>，因此当投资者的初期财富增加1%时，该投资者投资在风险资产上投资增加量的百分比大于1%。
