第三章 环与域
与群一样，环与域也是两个重要的代数系统。但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了，在哪里，我们有数环和数域的概念，它们实际上就是特殊的环与域。在本章里，我们只是介绍环与域的最基本的性质及几类最重要的环与域，通过本章的学习，将使得我们一方面对数环和数域有更清楚的了解，另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备的基础。
§1 加群、环的定义
一、加群
在环的概念里要用到加群的概念，因此要先介绍一下什么是加群，实际上加群也不是什么新的群，在习惯上，抽象群的代数运算，都是用乘法的符号来表示的，但我们知道，一个代数运算用什么符号表示是没有什么关系的，对于一个交换群来说，它的代数运算在某种场合下，用加法的符号来表示更加方便。
因此，我们通常所说的加群，是指用加法符号表示代数运算的交换群。
由于加法符号与乘法符号有所不同，所以加群的许多运算规则与表示形式就要与乘法表示的群有所不同。如：
（1）加群G 的单位元用0表示，叫做零元。即a G ∀∈，有
00a a a +=+=。
（2）加群G 的元素a 的逆元用a -表示，叫做a 的负元。即有()0a a a a -+=+-=。
利用负元可定义加群的减法运算：()
a b a b
-+-
。（3）()a a
--=。
（4）a c b c b a
+=⇔=-。
（5）(),()
a b a b a b a b
-+=----=-+
（6）
(
00
()()
a a a n a n
na n
n a n
+++
⎧
⎪
==
⎨
⎪--
⎩
个相加）为正整数
为负整数
，且有
(),()(),() ma na m n a m na mn a n a b na nb +=+=+=+
请同学们在乘法群中写出以上各结论的相应结论。
加群G的一个非空子集S作成一个子群,a b S
⇔∀∈，有,
a b a S
+-∈,a b S
⇔∀∈，有a b S
-∈。
加群G的子群H的陪集表示为：a H H a
+=+。
二、环的定义
设R是一个非空集合，“+”与“。”是两个代数运算，分别叫做加法与乘法，若
1. R对于“+”作成一个加群。
2. R对于“。”是封闭的。
3. ,,
a b c R
∀∈，有()()
a bc a
b c
=，即乘法适合结合律。
4. ,,
a b c R
∀∈，有(),()
a b c a b a c b c a b a c a
+=++=+，即乘法对加法适合左（右）分配律。
则称R关于“+”与“。”作成一个环。
由定义可知，环是一个具有两个代数运算的代数系统，两个代数运算通过分配律联系起来。
例1 整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C对于普通数的加法和乘法作成环。分别叫做整数环，有理数环，实数环，复数环。
例2 数域P上所有n阶方阵作成的集合n n
P⨯关于矩阵的加法和乘法作成环。
例3 2{2|}
=∈关于普通数的加法和乘法作成环，叫做偶数
Z k k Z
环。
问：奇数集合关于普通数的加法和乘法是否作成环？
答：否。因为关于加法不构成加群。
由于一个环也是一个加群，所以上面关于加群的性质与运算规则（1）到（6）在环里也都成立。此外，环还有下列基本性质：（7）(),()
-=--=-
a b c ab ac b c a ba ca
证明：由两个分配律以及负元的定义，有
-+=-+=+-+=+-+=+=
()[()][(()))][((()](0)
a b c ac a b c c a b c c a b c c a b ab
-+=-+=+-+=+-+=+=
b c a ca b c c a b c c a b c c a b a ba
()[()][(()))][((()](0)
再由（4）得，(),()
-=--=-。
a b c ab ac b c a ba ca
（8）000
==
a a
证明：0()0,0()0
=-=-==-=-=
a a a a aa aa a a a a aa aa
（9）()()
-=-=-
a b a b ab
证明：因为
+-=+-==
ab a b a a b b
()(())00
+-=+-==
()(())00
ab a b a b b a
所以()()
-=-=-。
a b a b ab
（10）()()a b ab --=
证明：()()[()]()a b a b ab ab --=--=--=
（11）1212()n n a b b b ab ab ab +++=+++
1212()n n b b b a b a b a b a +++=+++
证明略
（12）11111()()m n n m n a a b b a b a b a b ++++=++++
即
111()()m n m n
i j i j i j i j a b a b =====∑∑∑∑。
证明略
（13）()()()na b a nb n ab ==
证明略
（14）定义：n n a aa a = （n 是正整数），并称n a 为a 的n 次乘方（简
称n 次方或n 次幂）。
对任意正整数,m n 有
,()m n m n m n mn a a a a a +==
证明略
由以上（1）-（14）各条可看出，中学代数的计算法则在一个环里差不多都可适用，但还是有少数几个普通计算法则在一个环里不一定成立，这一点我们将在下一节讨论。
§2 交换律、单位元、零因子、整环
前面说过，普通的运算法则大多数在环里也是成立的，但还是有些法则不一定成立，例如，数域P 上所有n 阶方阵集合n n P ⨯关于矩阵
