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兰州大学2010年招收攻读硕士学位研究生考试试题注意：答案请一律写在答题纸上，写在试题上无效初试科目代码：601 初试科目名称：数学分析1．计算下列各题（每小题10分，共60分）1）求极限.2）求不定积分.3）设.求和. 4）计算积分.5）设C 是柱面与平面的交线(a,h>0），且从x 轴正向看为逆时针方向，计算曲面积分：.6) 设,∑为单位球面:.计算曲线积分：.2．(18分)设函数，讨论的连续性并说明是否可在x=0处定义f(0)的值使f(x)在该点可导。
3．(18分)已知函数在[a,b]上有二阶导数并且,记的图像曲线为C。
过C上点M（t,f(t)）(t)引切线，证明当t变动时，由该切线与曲线C以及x=a和x=b围成的平面图形面积可取到最小值，并求出此值。
4．（12）用一致连续的定义验证=在上不一致连续。
5．（12）在区间[0,1]上，函数f(x)定义为：是讨论f(x) 在[0,1]上的黎曼可积性。
6．（15）已知是闭区间[a,b]上的连续可导函数，记.假设且对x,成立f’(x).证明：是有限集。
7.(15分)设是有界闭集，上的连续函数。
证明：在上有界，且一定取到最大值和最小值。
兰州大学2010年招收攻读硕士学位研究生考试试题注意：答案请一律写在答题纸上，写在试题上无效初试科目代码：801 初试科目名称：高等代数一．(1) (15分)设都是多项式,且和的次数都大于零。
证明唯一地存在多项式使:,并且.(2) (10分)设…-1,其中是n个两两不等的整数。
证明：在有理数域上不可约。
二．（16分）计算下列行列式的值。
（1）=(2)三．（16分）设（1）是实矩阵。
证明，i=1,2,…,n,那么.四．（12）设A与B是数域上的n级矩阵且AB=BA。
证明:r(A+B)r(A)+ r(B)- r(AB).五．（16分）设A，B是可交换的实对称矩阵。
证明：存在正交矩阵T 使得,都是对角矩阵.六．（20分）设为n维线性空间上的线性变换，并且={x存在正整数m使得},.证明：（1）,都是的不变子空间。
兰州大学2006年硕士研究生入学考试题数学分析试题解答一． (40分) 计算1．n n n n 20052004lim+∞→;2．xx x 2sin1)(cos lim →;3．121lim +∞→+++p pp p n n n Λ（p 为正整数）;4．求级数12012)1(+∞=∑+-n n n x n 的和函数和收敛区域.二．（12分）设)(x f 在),(b a 上连续,并且)(lim x f ax →,)(lim x f bx →存在.证明:)(x f 在),(b a 上一致连续. 三．（13分）若)(x f 在0x 的领域),(00δδ+-x x 上有定义,并且在0x 处的左导数和右导数存在.证明:)(x f 在0x 处连续.四．（15分）计算曲线积分dy y x yx dx yx y x I L 2222++++-=⎰，其中L 为沿椭圆12222=+b y a x 的逆时针方向.解:记22x y P x y -=+,22x yQ x y +=+，则2222222222()()22()()Q x y x y x y x xy x x y x y ∂+-+⋅--==∂++, 2222222222()()22()()P x y x y y y x xyy x y x y ∂-+--⋅--==∂++. 从而当(,)(0,0)x y ≠时，有Q Px y∂∂=∂∂. 取充分小的正数ε,使得圆L ε:222x y ε+=完全含于椭圆12222=+by a x 之内.则根据格林公式得222200L L Dx y x ydx dy dxdy x y x y ε-++==++⎰⎰⎰U Ñ 因此22222222L L x y x y x y x y dx dy dx dy x y x y x y x y ε-+-++=+++++⎰⎰蜒 20[(cos sin )(sin )(cos sin )cos ]2d πθθθθθθθπ=--++=⎰.五．（15分）设)(x f 在]1,0(上连续,并且A B x f x x ==++→→00lim ,)(lim ,证明:对任何],[B A ∈ξ,都存在)1,0(∈n x ,0→n x ,使得ξ=∞→)(lim n n x f .证明：ⅰ>因为0lim x A +→=,所以{}(0,1]n x ∃⊂, 且lim 0n n x →∞=,使得lim ()n n f x A →∞=.ⅱ>因为0lim ()x f x B +→=,所以{}(0,1]n y ∃⊂, 且lim 0n n y →∞=,使得lim ()n n f y B →∞=.ⅲ>(,)A B ξ∀∈.因为lim ()n n f x A →∞=,lim ()n n f y B →∞=,所以对于{}01min ,02A B εξξ=-->, 0N ∃,使得当0N n >时,有0()n f x A ε-<与0()n f y B ε-<同时成立.即当0N n >时,有0011()()()()22n n f x A A B B f y εξξξε<+≤+<<+≤-<. 由于函数)(x f 在区间],[n n y x 或],[n n x y 上连续,且)()(n n y f x f <<ξ),2,1(00Λ++=N N n ,根据连续函数的介值性知(,)(0,1]n n n z x y ∃∈⊂或(,)(0,1]n n n z y x ∃∈⊂,使得ξ=)(n z f ,从而ξ=∞→)(lim n n z f .又因为lim 0n n x →∞=,lim 0n n y →∞=,所以lim 0n n z →∞=.六．（20分）设)(x f 是n R 上的连续函数,满足lim ()x f x →∞=+∞,其中),,,(21n x x x x Λ=,1222212()nx x x x =+++L .证明: 一定存在n R x ∈0,使得)(inf )(0x f x f n Rx ∈=.证明:因为lim ()x f x →∞=+∞,所以对{}0max (0),10G f =>,00X ∃>,使得当0x X >时,有0()f x G >.又因为()f x 在闭球{}0B x x X =≤上连续,所以存在0nx B R ∈⊂,使得0()inf ()x Bf x f x ∈=.n x R ∀∈,当n x R B ∈-时,有{}00()max (0),1(0)inf ()()x Bf x G f f f x f x ∈>=≥≥=.当x B ∈时,有0()inf ()()x Bf x f x f x ∈≥=.因此)(inf )(0x f x f n Rx ∈=.七．（15分）设)(1x f 在],[b a 上黎曼可积,令⎰==+xan n n dt t f x f Λ,2,1,)()(1.证明:)}({x f n 在],[b a 上一致收敛于零.证明:因为)(1x f 在],[b a 上黎曼可积,所以)(1x f 在],[b a 上有界,即0M ∃>,使得[,]x a b ∀∈,有1()f x M ≤.因此[,]x a b ∀∈,有211()()()()xx xaaaf x f t dt f t dt Mdt M x a =≤≤=-⎰⎰⎰,2322()()()()()2xxx aaax a f x f t dt f t dt M t a dt M -=≤≤-=⎰⎰⎰,假设1()()!nn x a f x M n +-≤,则1211()()()()()!(1)!n n xx xn n n aaat a x a f x f t dt f t dt M dt M n n ++++--=≤≤=+⎰⎰⎰,因此[,]x a b ∀∈,有1()()()!!n nn x a b a f x M M n n +--≤≤,0,1,2,n =L 因为()lim0!nn b a n →∞-=,所以)}({x f n 在],[b a 上一致收敛于零. 八．（20分）设),(t x f 是带形区域}||,|),{(0δ<-+∞<<-∞t t x t x 上的二元连续函数,并且关于x 满足Lipschits 条件，即存在常数L 使得对任意),(,),,(00+∞-∞∈+-∈y x t t t δδ有|||),(),(|y x L t y f t x f -≤-.证明:初值问题00(,),().dxf x t dt x t x ⎧=⎪⎨⎪=⎩在区间],[00ββ+-t t 上有唯一连续的解，其中)1,min(0Lδβ<<.证明:ⅰ>00[,]t t t ββ∀∈-+,令00()t x ϕ=,0100()()((),)tt t t f s s ds ϕϕϕ=+⎰,1()()((),)tn n n t t t f s s ds ϕϕϕ+=+⎰,0,1,2,n =L .则010000()()(,)(,)ttt t t t f x s ds f x s ds M t t ϕϕ-=≤≤-⎰⎰00211100()()()((),)(,)t tt t t t t f s s ds x f x s ds ϕϕϕϕ⎡⎤⎡⎤-=+-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ⅱ> ⅲ> ⅳ>。
兰大高等代数真题答案解析在兰州大学高等代数的考试中，掌握答案的解析方法是非常重要的。
高等代数作为数学中的一门核心课程，涉及到众多的概念、定理和运算方法，而且其题目类型多样，难度也相对较高。
因此，对于学生们来说，及时准确地掌握和理解高等代数真题的答案解析，不仅可以帮助他们深入理解知识点，还能够提高解题能力和应试水平。
首先，对于高等代数真题答案的解析，我们可以从概念的理解入手。
高等代数中的概念层出不穷，如向量空间、线性变换、特征值与特征向量等。
理解这些概念的定义和性质，对于学生们来说是至关重要的。
当解答高等代数的真题时，我们应该注重概念的运用，将所给条件和题目要求与概念进行对比和分析。
其次，在解析高等代数真题答案时，我们要注意进行相应的推理和证明。
高等代数的题目往往要求学生们使用已有的定理和性质进行证明，或者利用已有的结论推导出新的结果。
因此，在解答问题时，要善于运用相关的定理和公式进行推导，同时要有严密的逻辑思维，清晰的表达和证明过程。
这样不仅可以帮助我们正确解答问题，还能够培养我们的思维能力和数学推理能力。
此外，高等代数中也存在着一些经典例题，通过对这些例题的答案解析，我们可以更好地理解相关知识点，并且掌握解题的技巧。
在解析这些经典例题的答案时，我们可以多角度地思考和分析问题，寻找问题的本质。
通过分析解答过程，了解其中的关键步骤和技巧，可以帮助我们更好地应对类似的题目。
最后，在解析高等代数真题答案时，我们要注重练习和实践。
高等代数是一门需要不断实践和练习的学科，只有通过实际操作，我们才能真正理解其中的奥妙。
通过反复的练习和解析真题的答案，我们可以逐渐提高解题的能力和熟练度，掌握更多的解题方法和技巧。
同时，我们还可以通过与他人的交流和讨论，互相学习和借鉴，进一步提高自己的水平。
总之，兰州大学高等代数真题的答案解析对于学生们来说是非常重要的。
通过理解概念，推理和证明，分析经典例题，以及进行实践和练习，我们可以更好地掌握高等代数的知识点和解题方法。
兰州大学2009年招收攻读硕士学位研究生考试试题注意：答案请一律写在答题纸上，写在试题上无效.招生专业：数学系各专业 考试科目：数学分析一、计算（共60分，每小题10分） 1.232000sin d lim (sin )d x xx x x t t t t+→-⎰⎰；2.arctan d x ⎰；3.24212d d d d xy y x y x y --+⎰⎰； 4.求抛物线44y x =与它在点(1,2)处的法线所围有限区域的面积.5. 求幂级数12111(1)n n n x n ∞--=-∑的收敛域与和函数. 6.计算曲线积分()()sin ()d cos d x x L e y b x y x e y ax y -++-⎰，其中,a b 是正常数，L 是从点(2,0)a沿曲线y =(0,0)的一段. 二、（15分）证明：lim sin n n →∞不存在.三、（15分）设函数:[,][,]f a b a b →满足()()f x f y L x y α-≤-，其中,L α为正常数.证明：1）1α>时，()f x 为常数；2）当1,1L α<=时，存在唯一的[,]a b ξ∈，使得()f ξξ=.四、（15分）证明：函数()f x 在区间I 上一致连续的充分必要条件是对任意0ε>和,x y I ∈，总存在正数M ，使当()()f x f y M x y->-时就有()()f x f y ε-<. 五、（15分）设22:f R R →是连续映射，若对2R 中的任何有界闭集K ，1()fK -是有界的，证明：2()f R 是闭集.六、（15分）证明二元函数(,)f x y =(0,0)处连续，(0,0),(0,0)x y f f ''存在，但(,)f x y 在点(0,0)处不可微.七、（15分）设11()2n n f x x ∞==+∑，证明：1）()f x 在[)0,+∞上可导，且一致连续；2）反常积分0()d f x x +∞⎰发散.。
兰州大学2008年数学分析考研试题及解答一．计算.1.求lim 1n n n →∞⎫⎛⎫+⎪⎪⎭⎝⎭. 解 lim 1n n n →∞⎫⎛⎫+⎪⎪⎭⎝⎭11lim ln 1nn k k n n →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑()1ln 1x dx =+⎰()2211ln ln xdx x x x ==-⎰2ln 21=-. 2.设()()135212462n n a n ⋅⋅-=⋅⋅，()1,2,n =，求证（1）{}n a 单调递减； （2）n a <； （3）求lim n n a →∞.证明 （1）因为121122n n a n a n ++=<+， 所以1n n a a +<，()1,2,n =，于是{}n a 是单调递减的； （2()()212122k kk-++<=，得()()135212246221n n n a n n ⋅⋅--=<⋅⋅- =，()1,2,n =（3）由（2）知0n a <<所以lim 0n n a →∞=.3 求()()113232lim 32x x x x x →+∞⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦.解 ()()113232lim 32x x x x x →+∞⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦ 1132232lim 1x x x x x →+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦113223211lim 1x x x x→+∞⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ()()112321312lim t t t t+→+--=()()()21232011lim 13612232t t t t +--→⎡⎤=+⋅---⎢⎥⎣⎦1=.4. 求20sin 1cos x xI dx xπ=+⎰解 20sin 1cos x x I dx x π=+⎰()()()()02sin 1cos y y dy y ππππ--=-+-⎰ ()()20sin 1cos x x dxxπππ--=+⎰20sin 1cos xdx I xππ=-+⎰,所以 2sin 21cos xI dx xππ=+⎰ 121121dt tπ-=+⎰ 211arctan 2224t ππππ-==⋅=.5. 求33,lim cos x x y x y a y x +→∞→⎛⎫ ⎪⎝⎭.解33,lim cos x x y x y a y x +→∞→⎛⎫ ⎪⎝⎭ 33cos 11cos 1,lim 1cos 1y x x x y y xx y a y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+-→∞→⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦33,lim cos 1x y ay x x x y e →∞→⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，33,lim cos 1x y a y x x x y →∞→⎛⎫- ⎪+⎝⎭323,lim 2sin x y a y x x x y →∞→⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 2323,2lim x y a y x x x y →∞→=-⋅+ 223,2lim 21x y a y a y x→∞→=-=-+， 故3322,lim cos x x y a x y a y e x +-→∞→⎛⎫= ⎪⎝⎭. 6. 求22Lxdy ydxI x y -=+⎰，其中L 是不过原点的简单闭曲线.解 记22y P x y -=+，22xQ x y=+， 则0Q P x y∂∂-=∂∂，()(),0,0x y ≠， 而由Green 公式若原点()0,0在L 所围区域的内部，则取0ε>充分小，使得()()0,0,B ε包含在L 所围区域的内部.()()220,0,B xdy ydxI x y ε∂-=+⎰ ()()22cos cos sin sin d πεθεθεθεθθε⋅-⋅-=⎰202d πθπ==⎰.二．设()f x 在0x =处可导，且()00f =，()01f '>. 证明 存在0δ>，使得()0,x δ∈时，有()f x x >. 证明 由题设条件，知()()()()000limlim 010x x f x f x f f x x →→-'==>-， 于是存在0δ>，使得当0x δ<<时， 有()()0112f x f x '+>>， 从而当()0,x δ∈时，有()f x x >.三．试证明()2f x x -=在()0,1上不一致连续，但是对任何01δ<<，()2f x x -=在[),1δ上一致连续.证明（1）取2n x n =，1n y n=，尽管()lim 0n n n x y →∞-=，但()()234n n f x f y n -=→+∞，()n →+∞， 所有()2f x x -=在()0,1上不一致连续； （2）()32f x x -'=-，当[),1x δ∈时，()3322f x x δ--'=-≤，即()f x '在[),1δ上有界，故()f x '在[),1δ上一致连续. 对任意[)12,,1x x δ∈，()()12221211f x f x x x -=-121212223122x x x x x x x x δ+=-≤-， 由此，即得()f x 在[),1δ上一致连续.四．设0αβ<<，λ为实参数，记()f x x x αβλλ=--.证明 存在0A >，使得对任何[)0,A λ∈都存在0δ>，0a >，满足()f a λδ≥. 证明 由于当1x >，0x x αβ-<，()0f x λ<， 对()0,1x ∈，有()10x x αβα--<，存在1201a a <<<，使得当[]12,x a a ∈时，0x x αβ->，[]()12,min 0x a a x x x x b αβαβ∈-≥-=>，取3bA =，则对任何[)0,A λ∈,当[]12,x a a ∈，()f x x x αβλλ=--233b b b ≥-=，取23b δ=，对[]12,x a a ∈，都有()f a λδ≥.五．设0p >，讨论级数1np n x n∞=∑的敛散性.解 设()np x u x n=，当0x =时，显然级数收敛， 当0x ≠时，由于()()1limlim 1n n n n u x n x x n u x +→∞→∞⎛⎫== ⎪+⎝⎭, 所以当1x <时，原级数绝对收敛， 当1x >时，原级数发散， 当1x =-时，由()111pp n n∞=-∑收敛， 当1x =-，1p ≤时，原级数条件收敛，当1x =-，1p >时原级数绝对收敛， 当1x =，1p ≤，原级数发散， 当1x =，1p >原级数绝对收敛.六．设()f x 在[],a b 上有界，记()(){}max ,0f x f x +=，()(){}max ,0f x f x -=-， 证明 ()f x 在[],a b 上可积的充分必要条件是()f x +，()f x -在[],a b 上均可积，并且()()()bbbaaaf x dx f x dx f x dx +-=-⎰⎰⎰.证明 必要性 设()f x 在[],a b 上可积，我们知道()f x 上可积，由()()()2f x f x f x ++=，()()()2f x f x f x --=得 ()f x +，()f x -在[],a b 上均可积， 显然()()()f x f x f x +-=-， 所以()()()bbbaaaf x dx fx dx f x dx +-=-⎰⎰⎰；充分性 设()f x +，()f x -在[],a b 上均可积， 由()()()f x f x f x +-=-， 知()f x 在[],a b 上可积， 且()()()b b baaaf x dx f x dx f x dx +-=-⎰⎰⎰.七．设二元函数(),f x y 对x 连续，对y 连续且关于其中一个变元单调， 证明 它关于两个变元是混合连续的. 证明 不妨设(),f x y 关于y 单增，对于任意固定的()00,x y ，由于()0,f x y 关于y 连续， 对任意0ε>，存在10δ>，使得当01y y δ-≤时， 有()()000,,4f x y f x y ε-<，（1）由于()01,f x y δ+，()0,f x y ，()01,f x y δ-关于x 连续，对于上述0ε>，存在20δ>，使得当02x x δ-≤时， 有()()000,,4f x y f x y ε-<，()()01001,,4f x y f x y εδδ+-+<， ()()01001,,4f x y f x y εδδ---<，现对任意的(),x y 满足02x x δ-≤， 01y y δ-≤， 当001y y y δ≤≤+时，()()00,,f x y f x y -()()()()000,,,,f x y f x y f x y f x y ≤-+- ()()()()01000,,,,f x y f x y f x y f x y δ≤+-+-()()()()010*******,,,,f x y f x y f x y f x y δδδ≤+-+++-()()()()000000,,,,f x y f x y f x y f x y +-+-ε<，同理当010y y y δ-≤≤时()()00,,f x y f x y ε-<， 于是得(),f x y 在()00,x y 处连续， 结论得证.八．设连续函数()f x 满足()11f =，记()()2222222x y z t F t f x y z dxdydz ++≤=++⎰⎰⎰，证明 ()4F t π'=.证明 ()()2220sin tF t d d f r r dr ππθϕϕ=⎰⎰⎰()2204tr f r dr π=⎰，()()224F t t f t π'=，()()1414F f ππ'==.九．称()f x 是凸函数，如果对任意的()0,1λ∈，,x y I ∈,均有()()()()()11f x y f x f y λλλλ+-≤+-， （1）试着给出凸函数的几何解释；（2）若()f x 是区间I 上的凸函数，试讨论()f x 在I 上的连续性质；（3）若()f x 有下界，即存在常数M ,使得对任何x ，都有()f x M ≥，问()f x 是否有最小值？证明你的结论.解（1）联结f 图像上两点直线段总在这两点间f 图像的上方. （2）对任意123,,x x x I ∈,满足123x x x <<，记3231x x x x λ-=-， 而()2131x x x λλ=+-，()()()2131f x f x x λλ=+- ()()()131f x f x λλ≤+- ()()3221133131x x x xf x f x x x x x --=+--， ()()()()32322121221331313131x x x x x x x xf x f x f x f x x x x x x x x x ----+≤+----, ()()()()322121323131()()x x x xf x f x f x f x x x x x ---≤---, 由此可得，()()()()21322132f x f x f x f x x x x x --≤--， 进而()()()()()()213231213231f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---; （3）对任意固定0(,)x a b ∈，任取1244012,,(,),x x x a b x x x x ∈<<< 则有401020401020()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---，则 0000()()(,),()f x f x F x x x x x x -=>-，关于x 单调递增，且有下界，于是存在右极限，即)(0'x f +存在，同理可证)(0'x f -存在，由极限的保不等式性，可得00()()f x f x -+''≤ 。
