经典全等三角形各种判定(提高版)
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【巩固练习】一、选择题1. 如图,已知AB =AC ,D 为BC 的中点,结论:①AD ⊥BC ;②AD 平分∠BAC ;③∠B =∠C ;④△ABC 是等边三角形.其中正确的是( ).A.①②B. ②③C. ①②③D. ③④2.如图,AD 是ABC ∆的中线,E 、F 分别是AD 和AD 延长线上的点,且DE DF =,连接BF 、CE ,下列说法:①CE BF =;② ABD ∆和ACD ∆的面积相等;③//BF CE ;④ BDF ∆≌CDE ∆,其中正确的有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个3. AD 为△ABC 中BC 边上的中线, 若AB =2, AC =4, 则AD 的范围是( )A .AD <6 B. AD >2 C. 2<AD <6 D. 1<AD <34.(2015•杭州模拟)用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如下,则说明∠CAD=∠DAB的依据是( )A .SSSB . SASC . ASAD . AAS5. 根据下列条件能唯一画出△ABC 的是( )A.AB =3,BC =4,AC =8B.AB =4,BC =3,∠A =30°C.AB =5,AC =6,∠A =45°D. ∠A =30°,∠B =60°,∠C =90°6.(2016•洛阳模拟)已知:如图,在长方形ABCD 中,AB=4,AD=6.延长BC 到点E ,使CE=2,连接DE ,动点P 从点B 出发,以每秒2个单位的速度沿BC ﹣CD ﹣DA 向终点A运动,设点P 的运动时间为t 秒,当t 的值为( )秒时,△ABP 和△DCE 全等.A.1 B.1或3 C.1或7 D.3或7二、填空题7. 如图,AB=CD,AC=DB,∠ABD=25°,∠AOB=82°,则∠DCB=_________.8. 如图,△ABC是三边均不等的三角形,DE=BC,以D、E为两个顶点画位置不同的三角形,使所作的三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以画个.9. (2016•微山县二模)如图,四边形ABCD中,∠1=∠2,请你补充一个条件,使△ABC≌△CDA.10.(2014春•鹤岗校级期末)如图:在△ABC和△FED中,AD=FC,AB=FE,当添加条件____________时,就可得到△ABC≌△FED.(只需填写一个即可)11. 如图所示,BE⊥AC于点D,且AD=CD,BD=ED,若∠ABC=54°,则∠E=°.AA BB的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳),12. 把两根钢条','如图,若测得AB=5厘米,则槽宽为厘米.三、解答题13.(2014秋•天津期末)如图在△ABE中,已知AB=AE,AD=AC,∠1=∠2.求证:△ABC≌△AED.14. 如图, ∠B=∠C, BD=CE, CD=BF.求证: ∠EDF = 90︒-12∠A15. 已知:如图,BE、CF是△ABC的高,且BP=AC,CQ=AB,求证:AP⊥AQ.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C【解析】由SSS证全等可得①②③是正确的.2. 【答案】D;3. 【答案】D;【解析】用倍长中线法;4. 【答案】A;【解析】解:从角平分线的作法得出,△AFD 与△AED 的三边全部相等,则△AFD≌△AED.故选A .5. 【答案】C ;【解析】A 不能构成三角形,B 没有SSA 定理,D 没有AAA 定理.6. 【答案】C ;【解析】解:因为AB=CD ,若∠ABP=∠DCE=90°,BP=CE=2,根据SAS 证得△ABP ≌△DCE ,由题意得:BP=2t=2,所以t=1,因为AB=CD ,若∠BAP=∠DCE=90°,AP=CE=2,根据SAS 证得△BAP ≌△DCE ,由题意得:AP=16﹣2t=2,解得t=7.所以,当t 的值为1或7秒时.△ABP 和△DCE 全等. 故选C .二.填空题7. 【答案】66°;【解析】可由SSS 证明△ABC ≌△DCB ,∠OBC =∠OCB =82412︒=︒,所以∠DCB = ∠ABC =25°+41°=66°8. 【答案】4;【解析】在DE 的两侧可以各画2个.9.【答案】AD=BC ;【解析】由题意知,已知条件是△ABC 与△CDA 对应角∠1=∠2、公共边AC=CA ,所以根据全等三角形的判定定理SAS 来证△ABC ≌△CDA 时,需要添加的条件是AD=BC.10.【答案】BC=ED 或∠A=∠F .11.【答案】27;【解析】可证△ADB ≌△CDB ≌△CDE.12.【答案】5;三.解答题13.【解析】证明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ,∴∠BAC=∠EAD ,在△ABC 和△AED 中,,∴△ABC ≌△AED (SAS ).14.【解析】证明:在△ABC 中,∠B =∠C ,∴∠B =90︒-12∠A 在△DBF 和△ECD 中BD CE B C BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DBF ≌△ECD (SAS )∴∠BFD =∠CDE∴∠EDF =180°-∠BDF -∠CDE =180°-(∠BDF +∠BFD )=∠B =90︒-12∠A .15.【解析】证明:∵BE ⊥AC ,CF ⊥AB (已知)∴∠ACF +∠BAC =90°,∠ABE +∠BAC =90°,(三角形内角和定理)∠ACF =∠ABE (等式性质)在△ACQ 和△PBA 中 ∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BP AC ABP ACF AB CQ∴△ACQ ≌△PBA (SAS )∴∠Q =∠BAP (全等三角形对应角相等)∵CF ⊥AB (已知)∴∠Q +∠QAF =90°,(垂直定义)∴∠BAP +∠QAF =90°,(等量代换)∴AP ⊥AQ.(垂直定义)附录资料:【巩固练习】一、选择题1. (2016•长沙模拟) 如图所示,△ABC ≌△DEC ,则不能得到的结论是( )A. AB =DEB. ∠A =∠DC. BC =CDD. ∠ACD =∠BCE2. 如图,△ABC ≌△BAD ,A 和B ,C 和D 分别是对应顶点,若AB =6cm ,AC =4cm ,BC =5cm ,则AD 的长为( )A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 以上都不对3. 下列说法中正确的有( )①形状相同的两个图形是全等图形 ②对应角相等的两个三角形是全等三角形 ③全等三角形的面积相等 ④若△ABC ≌△DEF ,△DEF ≌△MNP ,△ABC ≌△MNP.A.0个B.1个C.2个D.3个4. (2014秋•庆阳期末)如图,△ABC ≌△A ′B ′C ,∠ACB=90°,∠A ′CB=20°,则∠BCB ′的度数为()A.20°B.40°C.70°D.90°5. 已知△ABC≌△DEF,BC=EF=6cm,△ABC的面积为18平方厘米,则EF边上的高是()A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm6. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC、BD分别为折痕,则∠CBD的度数为()A.60° B.75°C.90°D.95°二、填空题7.(2014秋•安阳县校级期末)如图所示,△AOB≌△COD,∠AOB=∠COD,∠A=∠C,则∠D的对应角是___________,图中相等的线段有____________________________.8. (2016•成都)如图,△ABC≌△A′B′C′,其中∠A=36°,∠C′=24°,则∠B=___________.9. 已知△DEF≌△ABC,AB=AC,且△ABC的周长为23cm,BC=4cm,则△DEF的边中必有一条边等于______.10. 如图,如果将△ABC向右平移CF的长度,则与△DEF重合,那么图中相等的线段有__________;若∠A=46°,则∠D=________.11.已知△ABC ≌△'''A B C ,若△ABC 的面积为10 2cm ,则△'''A B C 的面积为________ 2cm ,若△'''A B C 的周长为16cm ,则△ABC 的周长为________cm .12. △ABC 中,∠A ∶∠C ∶∠B =4∶3∶2,且△ABC ≌△DEF ,则∠DEF =______ .三、解答题13.如图,已知△ABC ≌△DEF ,∠A =30°,∠B =50°,BF =2,求∠DFE 的度数与EC 的长.14. (2014秋•射阳县校级月考)如图,在图中的两个三角形是全等三角形,其中A 和D 、B 和E 是对应点.(1)用符号“≌“表示这两个三角形全等(要求对应顶点写在对应位置上);(2)写出图中相等的线段和相等的角;(3)写出图中互相平行的线段,并说明理由.15. 如图,E 为线段BC 上一点,AB ⊥BC ,△ABE ≌△ECD.判断AE 与DE 的关系,并证明你的结论.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ;【解析】因为△ABC ≌△DEC ,可得:AB=DE ,∠A=∠D ,BC=EC ,∠ACD=∠BCE ,故选C .2. 【答案】B ;【解析】AD与BC是对应边,全等三角形对应边相等.3. 【答案】C;【解析】③和④是正确的;4. 【答案】C;【解析】解:∵△ACB≌△A′CB′,∴∠ACB=∠A′CB′,∴∠BCB′=∠A′CB′﹣∠A′CB=70°.故选C.5. 【答案】A;【解析】EF边上的高=1826 6⨯=;6. 【答案】C;【解析】折叠所成的两个三角形全等,找到对应角可解.二.填空题7. 【答案】∠OBA,OA=OC、OB=OD、AB=CD;【解析】解:∵△AOB≌△COD,∠AOB=∠COD,∠A=∠C,∴∠D=∠OBA,OA=OC、OB=OD、AB=CD,故答案为:∠OBA,OA=OC、OB=OD、AB=CD.8. 【答案】120°;【解析】∵△ABC≌△A′B′C′,∴∠C=∠C′=24°,∴∠B=180°﹣∠A﹣∠B=120°.9. 【答案】4cm或9.5cm;【解析】DE=DF=9.5cm,EF=4cm;10.【答案】AB=DE、AC=DF、BC=EF、BE=CF, 46°;11.【答案】10,16;【解析】全等三角形面积相等,周长相等;12.【答案】40°;【解析】见“比例”设k,用三角形内角和为180°求解.三.解答题13.【解析】解:在△ABC中,∠ACB=180°-∠A-∠B,又∠A=30°,∠B=50°,所以∠ACB=100°.又因为△ABC≌△DEF,所以∠ACB=∠DFE,BC=EF(全等三角形对应角相等,对应边相等)所以∠DFE=100°EC=EF-FC=BC-FC=BF=2.14. 【解析】解:(1)△ABC≌△DEF;(2)AB=DE,BC=EF,AC=DF;∠A=∠D,∠B=∠E,∠ACB=∠DFE;(3)BC∥EF,AB∥DE,理由是:∵△ABC≌△DEF,∴∠A=∠D,∠ACB=∠DFE,∴AB∥DE,BC∥EF.15. 【解析】 AE=DE ,且AE⊥DE证明:∵△ABE≌△ECD,∴∠B=∠C,∠A=∠DEC,∠AEB=∠D,AE=DE又∵AB⊥BC∴∠A+∠AEB=90°,即∠DEC+∠AEB=90°∴AE⊥DE∴AE与DE垂直且相等.。
教学内容全等三角形的判定教学目标掌握全等三角形的判定方法重点全等三角形的判定探索三角形全等的条件(5种)1边角边(重点)两边及其夹角分别分别相等的两个三角形全等,可以简写成“边角边”或“SAS”.注:必须是两边及其夹角,不能是两边和其中一边的对角.原因:如图:在A ABC和A ABD中,/ A= / A,AB=AB,BC=BD,显然这两个三角形不全等.A例 1 如图,AC=AD, / CAB= / DAB,求证:A ACB义A ADB.AD例 2 如图,在四边形 ABCD 中,AD〃BC, / ABC= /DCB, AB=DC, AE=DF 求证:BF=CE.例3.(1)如图①,根据“SAS",如果BD=CE, =,那么即可判定4BDC24CEB; (2)如图②,已知BC=EC, NBCE二ACD,要使4ABC2△口£&则应添加的一个条件为例4. 如图,已知AD=AE,N1=N2, BD=CE,则有4ABD2,理由是△ABE义,理由是.例5.如图,在4ABC和4DEF中,如果AB=DE, BC=EF,只要找出N=N 或〃,就可得到4ABC2△DEF.A D例6.如图,已知AB〃DE, AB=DE, BF=CE,求证:4ABC24口£艮例 7.如图,点B 在线段AD 上,BC〃DE, AB=ED, BC=DB. 求证:NA二NE 例8.如图,点E, F 在BC 上,BE=CF, AB=DC, NB=NC.求证: NA=ND.2.角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)例1.如图,在4ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,线段AD及其延长线上分别取点E, F,连接CE,BF.添加一个条件,使得4BDF24CDE,你添加的条件是:.(不添加辅助线)例2. 如图,已知人口平分/8人&且N ABD=N ACD,则由“AAS”可直接判定△^A.B例 3.如图,在 RtA ABC 中,N ACB=90°, BC=2cm, CD^AB,在AC 上取一点E,使EC二BC, 过点E作EF^AC交CD的延长线于点F,若EF=5cm,那么AE=cm.例4.如图,AD〃BC,N ABC的角平分线BP与/8人口的角平分线AP相交于点P,作PE L AB于点E.若PE=2,则两平行线AD与BC间的距离为.例 5.如图,已知EC=AC, ZBCE=ZDCA, NA=NE.求证:BC=DC.例6.如图,在4ABC中,D是BC边上的点(不与B, C重合),F, E分别是AD及其延长线上的点,CF〃BE.请你添加一个条件,使4BDE24CDF (不再添加其他线段,不再标注或使用其他字母),并给出证明.(1)你添加的条件是:;(2)证明:例7.如图,A在DE上,F在AB上,且BC=DC,N1=N2=N3,则DE的长等于()A. DCB. BCC. ABD. AE+AC【基础训练】1 .如图,已知 AB = DC,NABC=NDCB,则有4ABC2,理由是;且有2 .如图,已知AD=AE,N1 = N2, BD = CE,则有4ABD2,理由是;△ ABF /,理由是.3 .如图,在4ABC 和ABAD 中,因为 AB = BA,NABC=NBAD, =,根 据“SAS”可以得到4ABC2ABAD.4 .如图,要用“SAS”证4ABC2AADE,若AB=AD, AC=AE,则还需条件( ).5 .如图,OA=OB, OC = OD,NO=50°,N D = 35°,则NAEC 等于( ).A. 60°B. 50°C. 45°D. 30°A.NB = ND C.N1 = N2 BNC=NED.N3 = N4(第4皿(第56.如图,如果AE=CF, AD〃BC, AD = CB,那么^ADF和ACBE全等吗?请说明理由.律f题)7.如图,已知AD与BC相交于点O,NCAB = NDBA, AC = BD.求证: (1)NC=ND;(2)AAOC^ABOD.C第T题)8.如图,AACD和4BCE都是等腰直角三角形,NACD=NBCE=90°, AE交DC于F, BD分别交CE、AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系,并说明理由.(第8题)9.如图,在4ABC 中,AB=AC, AD 平分/BAC.求证:NDBC=NDCB.(第KJ题)10.如图,4ABC是等边三角形,D是AB边上的一点,以CD为边作等边三角形CDE,使点E、A在直线DC的同侧,连接AE.求证:AE〃BC.(第门题)角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,可以简写成“角角边”或“AAS”. 例1、如图,在4ABC中,N ABC=45°, H是高AD和高BE的交点,试说明BH=AC.例 2、如图,N ACB=90°, AC二BC, BE±CE, AD±CE 于 D, AD=2.5cm, DE=1.7cm. 求BE的长.例3、如图,在4ABC中,AC±BC, CE±AB于E, AF平分/CAB交CE于点F,过F作FD〃 BC交AB于点D.求证:AC=AD.例 3.如图,AD 平分/BAC, DEXAB 于 E, DFXAC 于 F,且 DB二DC,求证:EB=FC例4.如图,在4ABC中,D是BC的中点,DELAB, DFXAC,垂足分别是E, F, BE=CF. 求证:AD 是4ABC的角平分线.例5.如图,在4ABC中,AB二CB,N ABC=90°, D为AB延长线上的一点,点E在BC 边上,连接 AE, DE, DC, AE二CD.求证:NBAE二NBCD.例6.如图,D是BC上一点,DEL AB, DF±AC, E, F分别为垂足,且AE=AF.(1)AAED与4AFD全等吗?为什么?(2)AD平分/BAC吗?为什么?例 7.如图,已知 ACLBC, BDLAD, BC 与 AD 交于 O, AC=BD.试说明:ZOAB=ZOBA.例8.如图,NACB 和/ADB都是直角,BC二BD, E是AB上任意一点.求证:CE=DE.例 9.如图,已知RtAABC^RtAADE,ZABC=Z ADE=90°, BC 与 DE 相交于点 F, CD, EB.连接(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;(2)求证:CF=EF.例10.如图,在四边形ABCD中,AC 平分/BAD,并且CB=CD.求/ABC+NADC的度数.例11. (1)如图①,A, E, F, C四点在一条直线上,AE二CF,过点E, F分别作DELAC, 8尸,八0连接BD交AC于点G,若AB二CD,试说明FG=EG.(2)若将4DCE沿AC方向移动变为如图②的图形,(1)中其他条件不变,上述结论是否仍成立?请说明理由.B BD D①. ②课后练习:1.如图,点C在线段AB的延长线上,AD = AE, BD = BE, CD = CE,则图中共有对全等三角形,它们是2.如图,若AB = CD, AC=BD,则可用“SSS”证 23.如图,已知 AB = DC, BE=CF,若要利用“SSS”得到4ABE2△DCF,还需增加的一个条件是.i第3题)(第-I题)4.如图所示是一个由四根木条钉成的框架,拉动其中两根木条后,它的形状将会改变,若想固定其形状不变,需要加钉一根木条,可钉在().A. AE 上B. EF 上C. CF 上D. AC 上5.如图,已知E、C两点在线段BF上,BE=CF, AB=DE, AC=DF.求证:AABC2A DEF.& E C F(第三⑦6.如图,在4ABC和4DCB中,AC与BD相交于点O, AB=DC, AC=BD.(1)求证:4ABC 2ADCB;(2)AOBC的形状是.(直接写出结论,不需证明)<第6题)7、如图,在口ABCD中,点E、F分别是AD、BC的中点,AC 与EF相交于点O.(1)过点B作AC的平行线BG,延长EF交BG于点H;(2)在(1)的图中,找出一个与4BFH全等的三角形,并证明你的结论.8、如图,已知BD±AB, DC,AC,垂足分别为点B、C, CD=BD, AD 平分/BAC吗,为什么?9.如图,四边形ABCD是正方形,点G是BC上的任意一点,DELAG于E, BF#DE,交 AG于F.那NAF与BF+EF相等吗?请说明理由.B G C10.如图,BD、CE分别是4ABC的边AC和边AB上的高,如果BD = CE,试证明AB = AC.11.如图,在RtAABC和RtABAD中,AB为斜边,AC=BD, BC、AD相交于点E (1)请说明AE=BE 的理由;(2)若N AEC=45°, AC = 1,求 CE 的长.12.如图,在4ABC中,D是BC的中点,DELAB, DFLAC,垂足分别是点E、F, BE= CF.(1)图中有几对全等的三角形?请一一列出;(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明.4练习21.如图,已知NB = NDEF, AB=DE,要证明△ ABC2△DEF.(1)若以“ASA”为依据,还缺条件;(2)若以“AAS”为依据,还缺条件£(第1期】《第2题)2.如图,已知AD平分/BAC,且NABD=NACD,则由“AAS”可直接判定△2 △.3.如图,已知AB=AC,要根据“ASA”得到以BE2AACD,应增加一个条件是 _______________(第3 (第4(第54.如图,点P是/AOB的平分线OC上的一点,PD±OA, PE LOB,垂足分别为点D、E, 则图中有对全等三角形,它们分别是.5.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是().A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去6.如图,已知AC平分/8八口,/1 = /2, AB与AD相等吗?请说明理由.C£第67.如图,点B、E、F、C在同一直线上,已知NA=ND, 需要补充的一个条件是.(写出一个即可)NB = NC,要使4ABF 2ADCE,8.如图,在4ABC中,N ABC=45°, H是高AD和高BE的交点,试说明BH=AC.A9.如图,已知点A、D、B、E在同一条直线上,且AD=BE,NA=NFDE,则AABC2A DEF.请你判断上面这个判断是否正确,如果正确,请给出说明;如果不正确,请添加一个适当条件使它成为正确的判断,并加以说明.10.已知:如图,AB=AE,N1 = N2,NB = NE.求证:BC=ED.21。
八年级全等三角形(提升篇)(Word版含解析)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.如图,在△ABC中,AB=10,∠B=60°,点D、E分别在AB、BC上,且BD=BE=4,将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE(点B′在四边形ADEC内),连接AB′,则AB′的长为______.【答案】2.【解析】【分析】【详解】过点D作DF⊥B′E于点F,过点B′作B′G⊥AD于点G,∵∠B=60°,BE=BD=4,∴△BDE是等边三角形,∵△B′DE≌△BDE,∴B′F=1B′E=BE=2,DF=23,2∴GD=B′F=2,∴B′G=DF=23,∵AB=10,∴AG=10﹣6=4,∴AB′=27.考点:1轴对称;2等边三角形.2.在ABC ∆中,边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ,20DAE ∠=︒,则BAC ∠=______°.【答案】80或100【解析】【分析】根据题意,点D 和点E 的位置不确定,需分析谁靠近B 点,则有如下图(图见解析)两种情况:(1)图1中,点E 距离点B 近,根据垂直平分线性质可知,,BD AD AE CE ==,从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠,再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=︒,联立即可求得;(2)图2中,点D 距离点B 近,根据垂直平分线性质可知,,BD AD AE CE ==,从而有3,4B C ∠=∠∠=∠,由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒,联立即可求得.【详解】由题意可分如下两种情况:(1)图1中,根据垂直平分线性质可知,,BD AD AE CE ==,1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠(等边对等角),两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠,又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+︒,由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒,20180BAC BAC ∴∠+︒+∠=︒,80BAC ∴∠=︒;(2)图2中,根据垂直平分线性质可知,,BD AD AE CE ==,3,4B C ∴∠=∠∠=∠(等边对等角),两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠,又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠,3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-︒,20B C BAC ∴∠+∠=∠-︒由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒,20180BAC BAC ∴∠-︒+∠=︒,100BAC∴∠=︒.故答案为80或100.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质(垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)、等腰三角形的定义和性质(等边对等角)、以及三角形内角和定理,本题的难点在于容易漏掉第二种情况,出现漏解.3.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=30°,点D在边AB上,∠ACD=15°,则ADBC=____.2.【解析】【分析】根据题意作CE⊥AB于E,作DF⊥AC于F,在CF上截取一点H,使得CH=DH,连接DH,并设AD =2x ,解直角三角形求出BC (用x 表示)即可解决问题.【详解】解:作CE ⊥AB 于E ,作DF ⊥AC 于F ,在CF 上截取一点H ,使得CH=DH ,连接DH .设AD=2x ,∵AB=AC ,∠A=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°,DF 12=AD=x ,AF 3=, ∵∠ACD=15°,HD=HC , ∴∠HDC=∠HCD=15°,∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°,∴DH=HC=2x ,FH 3=, ∴3x ,在Rt △ACE 中,EC 12=AC=x 3+,AE 3=3=, ∴BE=AB ﹣AE 3=﹣x ,在Rt △BCE 中,BC 22BE EC =+=2x , ∴222AD BC x ==. 故答案为:22. 【点睛】本题考查的等腰三角形的性质和解直角三角形以及直角三角形30度角的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.4.如图,∠MON =30°,点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上,点B 1、B 2,B 3…在射线OM 上,△A 1B 1A 2,△A 2B 2A 3,△A 3B 3A 4…均为等边三角形,从左起第1个等边三角形的边长记a 1,第2个等边三角形的边长记为a 2,以此类推,若OA 1=3,则a 2=_______,a 2019=_______.【答案】6; 3×22018.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3,以及a2=2a1=6,得出a3=4a1,a4=8a1,a5=16a1…进而得出答案.【详解】解:如图,∵△A1B1A2是等边三角形,∴A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°,∴∠2=120°,∵∠MON=30°,∴∠1=180°-120°-30°=30°,又∵∠3=60°,∴∠5=180°-60°-30°=90°,∵∠MON=∠1=30°,∴OA1=A1B1=3,∴A2B1=3,∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形,∴∠11=∠10=60°,∠13=60°,∵∠4=∠12=60°,∴A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2∥B2A3,∴∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°,∴a2=2a1=6,a3=4a1,a4=8a1,a 5=16a 1,以此类推:a 2019=22018a 1=3×22018故答案是:6;3×22018.【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质,根据已知得出a 2=2a 1=6,a 3=4a 1,a 4=8a 1,a 5=16a 1…进而发现规律是解题关键.5.如图,己知30MON ∠=︒,点1A ,2A ,3A ,…在射线ON 上,点1B ,2B ,3B ,…在射线OM 上,112A B A ∆,223A B A ∆,334A B A ∆,…均为等边三角形,若12OA =,则556A B A ∆的边长为________.【答案】32【解析】【分析】根据底边三角形的性质求出130∠=︒以及平行线的性质得出112233////A B A B A B ,以及22122A B B A =,得出332212244A B A B B A ===,441288A B B A ==,551216A B B A =⋯进而得出答案.【详解】解:△112A B A 是等边三角形,1121A B A B ∴=,341260∠=∠=∠=︒,2120∴∠=︒,30MON ∠=︒,11801203030∴∠=︒-︒-︒=︒,又360∠=︒,5180603090∴∠=︒-︒-︒=︒,130MON ∠=∠=︒,1112OA A B ∴==,212A B ∴=,△223A B A 、△334A B A 是等边三角形,111060∴∠=∠=︒,1360∠=︒,41260∠=∠=︒,112233////A B A B A B ∴,1223//B A B A ,16730∴∠=∠=∠=︒,5890∠=∠=︒,22122242A B B A =∴==,33232B A B A =,33312428A B B A ∴===,同理可得:444128216A B B A ===,⋯∴△1n n n A B A +的边长为2n ,∴△556A B A 的边长为5232=.故答案为:32.【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及30°直角三角形的性质,根据已知得出33124A B B A =,44128A B B A =,551216A B B A =进而发现规律是解题关键.6.如图,BD 是ABC 的角平分线,AE BD ⊥,垂足为F ,且交线段BC 于点E ,连结DE ,若50C ∠=︒,设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,,则y 关于x 的函数表达式为_____________.【答案】80y x =-【解析】【分析】根据题意,由等腰三角形的性质可得BD 是AE 的垂直平分线,进而得到AD =ED ,求出BED ∠的度数即可得到y 关于x 的函数表达式.【详解】∵BD 是ABC ∆的角平分线,AE BD ⊥∴1122ABD EBD ABC x ∠=∠=∠=︒,90AFB EFB ∠=∠=︒ ∴1902BAF BEF x ∠=∠=︒-︒ ∴AB BE =∴AF EF =∴AD ED =∴DAF DEF ∠=∠∵180BAC ABC C ∠=︒-∠-∠,50C ∠=︒∴130BAC x ∠=︒-︒∴130BED BAD x ∠=∠=︒-︒∵CDE BED C ∠=∠-∠∴1305080y x x ︒=-︒-︒=︒-︒∴80y x =-,故答案为:80y x =-.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及判定,三角形的内角和定理,三角形外角定理,角的和差倍分等相关知识,熟练运用角的计算是解决本题的关键.7.等腰三角形一边长等于4,一边长等于9,它的周长是__.【答案】22【解析】【分析】等腰三角形有两条边长为4和9,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形;【详解】解:因为4+4=8<9,0<4<9+9=18,∴腰的不应为4,而应为9,∴等腰三角形的周长=4+9+9=22.故答案为22.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;求三角形的周长,不能盲目地将三边长相加起来,而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍去.8.如图,在3×3的正方形网格中,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形.图中的△ABC为格点三角形,在图中最多能画出_____个格点三角形与△ABC成轴对称.【答案】6【解析】【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴,然后作出轴对称三角形即可得解.【详解】如图,最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称.故答案为:6.【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图,熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键,本题难点在于确定出不同的对称轴.9.如图,在第1个△A1BC中,∠B=20°,A1B=CB;在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,按此做法继续下去,第2019个等腰三角形的底角度数是______________.【答案】2018180 2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数,再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1,∠EA3A2及∠FA4A3的度数,找出规律即可得出第2019个三角形中以A2019为顶点的内角度数.【详解】解:∵在△CBA1中,∠B=20°,A1B=CB,∴∠BA1C=°180-2B∠=80°,∵A1A2=A1D,∠BA1C是△A1A2D的外角,∴∠DA2A1=12∠BA1C=12×80°;同理可得∠EA3A2=(12)2×80°,∠FA4A3=(12)3×80°,∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是(12)n-1×80°.∴第2017个三角形中以A2019为顶点的底角度数是(12)2018×80°,故答案为:(12) 2018×80°. 【点睛】 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质,根据题意得出∠DA 2A 1,∠EA 3A 2及∠FA 4A 3的度数,找出规律是解答此题的关键.10.如图,在△ABC 中,AD 是高,DE 是 AC 的垂直平分线,AE=4cm ,△ABD 的周长为 15cm , 则△ABC 的周长为______【答案】23cm .【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AC=2AE=8,DA=DC ,根据三角形的周长公式计算即可.【详解】解:∵DE 是AC 的垂直平分线,∴AC=2AE=8,DA=DC ,∵△ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=15,∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=15+8=23cm ,故答案是:23cm .【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)11.如图,120AOB ∠=︒,OP 平分AOB ∠,且2OP =,若点M N 、分别在OA OB 、上,且PMN ∆为等边三角形,则满足上述条件的PMN ∆有( )A .1个B .2个C .3个D .无数个【答案】D【解析】【分析】根据题意在OA、OB上截取OE=OF=OP,作∠MPN=60°,只要证明△PEM≌△PON即可反推出△PMN是等边三角形满足条件,以此进行分析即可得出结论.【详解】解:如图在OA、OB上截取OE=OF=OP,作∠MPN=60°.∵OP平分∠AOB,120AOB∠=︒,∴∠EOP=∠POF=60°,∵OE=OF=OP,∴△OPE,△OPF是等边三角形,∴EP=OP,∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°,∴∠EPM=∠OPN,在△PEM和△PON中,PEM PONPE POEPM OPN∠⎪∠⎧⎩∠⎪∠⎨===∴△PEM≌△PON(ASA ).∴PM=PN,∵∠MPN=60°,∴△PNM是等边三角形,∴只要∠MPN=60°,△PMN就是等边三角形,故这样的三角形有无数个.故选:D.【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识,解题的关键是正确添加辅助线并构造全等三角形.12.如图,60AOB∠=,OC平分AOB∠,如果射线OA上的点E满足OCE∆是等腰三角形,那么OEC∠的度数不可能为()A .120°B .75°C .60°D .30°【答案】C【解析】【分析】 分别以每个点为顶角的顶点,根据等腰三角形的定义确定∠OEC 是度数即可得到答案.【详解】∵60AOB ∠=,OC 平分AOB ∠,∠AOC=30︒,当OC=CE 时,∠OEC=∠AOC=30︒,当OE=CE 时,∠OEC=180OCE COE ∠∠︒--=120︒,当OC=OE 时,∠OEC=12(180COE ∠︒- )=75︒, ∴∠OEC 的度数不能是60°,故选:C.【点睛】此题考查等腰三角形的定义,角平分线的定义,根据题意正确画出符合题意的图形是解题的关键.13.如图,已知点B 、C 、D 在同一条直线上,△ABC 和△CDE 都是等边三角形.BE 交AC 于F ,AD 交CE 于G .则下列结论中错误的是( )A .AD =BEB .BE ⊥AC C .△CFG 为等边三角形D .FG ∥BC【答案】B【解析】试题解析:A.ABC 和CDE △均为等边三角形,60AC BC EC DC ACB ECD ∴==∠=∠=︒,,,在ACD 与BCE 中,{AC BCACD BCE CD CF =∠=∠=,ACD BCE ∴≌,AD BE ∴=,正确.B .据已知不能推出F 是AC 中点,即AC 和BF 不垂直,所以AC BE ⊥错误,故本选项符合题意.C.CFG 是等边三角形,理由如下:180606060ACG BCA ∠=︒-︒-︒=︒=∠,ACD BCE ≌,CBE CAD ∴∠=∠,在ACG 和BCF 中,{CAG CBFAC BCBCF ACG ∠=∠=∠=∠,ACG BCF ∴≌,CG CH ∴=,又∵∠ACG=60° CFG ∴是等边三角形,正确.D.CFG 是等边三角形,60CFG ACB ∴∠︒=∠﹦,.FG BC ∴ 正确.故选B.14.如图钢架中,∠A=a ,焊上等长的钢条P 1P 2, P 2P 3, P 3P 4, P 4P 5……来加固钢架.著P 1A= P 1P 2,且恰好用了4根钢条,则α的取值范圈是( )A .15°≤ a <18°B .15°< a ≤18°C .18°≤ a <22.5°D .18° < a ≤ 22.5°【答案】C【解析】【分析】由每根钢管长度相等,可知图中都是等腰三角形,利用等腰三角形底角一定是锐角,可推出取值范围.【详解】∵AB=BC=CD=DE=EF∴∠P 1P 2A=∠A=a由三角形外角性质,可得∠P 2P 1P 3=2∠A=2a同理可得,∠P 1P 3P 2=∠P 2P 1P 3=2a ,∠P 3P 2P 4=∠P 3P 4P 2=∠A+∠P 1P 3P 2=3a ,∠P 4P 3P 5=∠P 4P 5P 3=∠A+∠P 3P 4P 2=4a ,在△P 4P 3P 5中,∠P 3P 4P 5=180°-2∠P 4P 3P 5=180°-8a当∠P 5P 4B ≥90°即∠P 5P 4A ≤90°时,不能再放钢管,∴3180890+-≤a a ,解得a ≥18°又∵等腰三角形底角只能是锐角,∴4a <90°,解得a <22.5∴1822.5οο≤<a故选C.【点睛】本题考查等腰三角形的性质,掌握等腰三角形的底角只能是锐角是关键.15.如图,已知正方形ABCD ,顶点A (1,3)、B (1,1)、C (3,1).规定“把正方形ABCD 先沿x 轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2014次变换后,正方形ABCD 的对角线交点M 的坐标变为( )A .(-2012,2)B .(-2012,-2)C .(-2013,-2)D .(-2013,2)【答案】A【解析】 试题分析:首先由正方形ABCD ,顶点A (1,3)、B (1,1)、C (3,1),然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M 的对应点的坐标,即可得规律:第n 次变换后的点M 的对应点的为:当n 为奇数时为(2-n ,-2),当n 为偶数时为(2-n ,2),继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标.试题解析:∵正方形ABCD,顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1).∴对角线交点M的坐标为(2,2),根据题意得:第1次变换后的点M的对应点的坐标为(2-1,-2),即(1,-2),第2次变换后的点M的对应点的坐标为:(2-2,2),即(0,2),第3次变换后的点M的对应点的坐标为(2-3,-2),即(-1,-2),第n次变换后的点M的对应点的为:当n为奇数时为(2-n,-2),当n为偶数时为(2-n,2),∴连续经过2014次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为(-2012,2).故选A.考点:1.翻折变换(折叠问题);2.正方形的性质;3.坐标与图形变化-平移.16.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这个三角形为特异三角形.若△ABC是特异三角形,∠A=30°,∠B为钝角,则符合条件的∠B有()个.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】【详解】如下图,当30°角为等腰三角形的底角时有两种情况:∠B=135°或90°,当30°角为等腰三角形的顶角时有一种情况:∠B=112.5°,所以符合条件的∠B有三个.又因为∠B为钝角,则符合答案的有两个,故本题应选B.点睛:因为不确定这个等腰三角形的底边,所以应当以点A为一个确定点进行分类讨论:①当以B为顶点时,即以B为圆心,AB长为半径画弧交AC于点D,构成等腰△BAD;②当以点A为顶点时,即以点A为圆心,AB长为半径画弧,交AC于点D,构成等腰△ABD;或作线段AB的垂直平分线交AC于点D构成等腰△DAB.17.如图,已知△ABC与△CDE均是等边三角形,点B、C、E在同一条直线上,AE与BD 交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连接OC、FG,则下列结论:①AE=BD;②AG=BF;③FG∥BE;④∠BOC=∠EOC.其中正确结论的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根据题意,结合图形,对选项一一求证,即可得出正确选项.【详解】(1)△ABC和△DCE均是等边三角形,点B,C,E在同一条直线上,∴AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACE=∠BCD=120°.在△BCD和△ACE中,∵AC BCBCD ACECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCD≌△ACE,∴AE=BD,故结论①正确;(2)∵△BCD≌△ECA,∴∠GAC=∠FBC.又∵∠ACG=∠BCF=60°,AC=BC,∴△ACG≌△BCF,∴AG=BF,故结论②正确;(3)∵△ACG≌△BCF,∴CG=CF.∵∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACD=60°,∴△FCG为等边三角形,∴∠FGC=60°,∴∠FGC=∠DCE,∴FG∥BE,故结论③正确;(4)过C作CN⊥AE于N,CZ⊥BD于Z,则∠CNE=∠CZD=90°.∵△ACE≌△BCD,∴∠CDZ=∠CEN.在△CDZ和△CEN中,CZD CNECDZ CENCD CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△CDZ≌△CEN,∴CZ=CN.∵CN⊥AE,CZ⊥BD,∴∠BOC=∠EOC,故结论④正确.综上所述:四个结论均正确.故选D.【点睛】本题综合考查了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的判定定理等重要几何知识点,有一定难度,需要学生将相关知识点融会贯通,综合运用.18.如图所示,在四边ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,若在BC和CD上分别找一点M,使得△AMN的周长最小,则此时∠AMN+∠ANM的度数为()A.110°B.120°C.140°D.150°【答案】B【解析】【分析】根据要使△AMN的周长最小,即利用点的对称,让三角形的三边在同一直线上,作出A关于BC和CD的对称点A′,A″,即可得出∠AA′M+∠A″=60°,进而得出∠AMN+∠ANM=2(∠AA′M+∠A″)即可得出答案.【详解】作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为△AMN的周长最小值.∵∠DAB=120°,∴∠AA′M+∠A″=180°-120°=60°,∵∠MA′A=∠MAA′,∠NAD=∠A″,且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°,故选B .【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法,以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识的综合应用,根据轴对称的性质,得出M ,N 的位置是解题的关键.19.如图,ABC △中,60BAC ∠=︒,ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ,D 是AE 延长线上一点,且120BDC ∠=︒.下列结论:①120BEC ∠=︒;②DB DE =;③2BDE BCE ∠=∠.其中所有正确结论的序号有( ).A .①②B .①③C .②③D .①②③【答案】D【解析】 分析:根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ,再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ,然后求出∠BEC=120°,判断①正确;过点D 作DF ⊥AB 于F ,DG ⊥AC 的延长线于G ,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ,再求出∠BDF=∠CDG ,然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等,根据全等三角形对应边相等可得BD=CD ,再根据等边对等角求出∠DBC=30°,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ,根据等角对等边可得BD=DE ,判断②正确,再求出B ,C ,E 三点在以D 为圆心,以BD 为半径的圆上,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE ,判断③正确.详解:∵60BAC ∠=︒,∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒,∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线,∴12EBC ABC ∠=∠,12ECB ACB ∠=∠, ∴11()1206022EBC ECB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒, ∴180()18060120BEC EBC ECB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒, 故①正确.如图,过点D 作DF AB ⊥于F ,DG AC ⊥的延长线于G ,∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线,∴AD 为BAC ∠的平分线,∴DF DG =,∴36090260120FDG ∠=︒-︒⨯-︒=︒,又∵120BDC ∠=︒,∴120BDF CDF ∠+∠=︒,120CDG CDF ∠+∠=︒.∴BDF CDG ∠=∠, ∵在BDF 和CDG △中,90BFD CGD DF DGBDF CDG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴BDF ≌()CDG ASA ,∴DB CD =,∴1(180120)302DBC ∠=︒-︒=︒, ∴30DBC DBC CBE CBE ∠=∠+∠=︒+∠,∵BE 平分ABC ∠,AE 平分BAC ∠,∴ABE CBE ∠=∠,1302BAE BAC ∠=∠=︒, 根据三角形的外角性质, 30DEB ABE BAE ABE ∠=∠+∠=∠+︒,∴DEB DBE ∠=∠,∴DB DE =,故②正确.∵DB DE DC ==,∴B 、C 、E 三点在以D 为圆心,以BD 为半径的圆上,∴2BDE BCE ∠=∠,故③正确,综上所述,正确结论有①②③,故选:D .点睛:本题考查了角平分线的性质,全等三角形的判定与性质,等角对等边的性质,圆内接四边形的判定,同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质,综合性较强,难度较大,特别是③的证明.20.如图,将△ABC沿DE、EF翻折,顶点A,B均落在点O处,且EA与EB重合于线段EO,若∠CDO+∠CFO=108°,则∠C的度数为()A.40°B.41°C.32°D.36°【答案】D【解析】分析:如图,连接AO、BO.由题意EA=EB=EO,推出∠AOB=90°,∠OAB+∠OBA=90°,由DO=DA,FO=FB,推出∠DAO=∠DOA,∠FOB=∠FBO,推出∠CDO=2∠DAO,∠CFO=2∠FBO,由∠CDO+∠CFO=108°,推出2∠DAO+2∠FBO=98°,推出∠DAO+∠FBO=49°,由此即可解决问题.详解:如图,连接AO、BO.由题意得:EA=EB=EO,∴∠AOB=90°,∠OAB+∠OBA=90°.∵DO=DA,FO=FB,∴∠DAO=∠DOA,∠FOB=∠FBO,∴∠CDO=2∠DAO,∠CFO=2∠FBO.∵∠CDO+∠CFO=108°,∴2∠DAO+2∠FBO=108°,∴∠DAO+∠FBO=54°,∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=144°,∴∠C=180°﹣(∠CAB+∠CBA)=180°﹣144°=36°.故选D.点睛:本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是灵活运用这些知识解决问题,学会把条件转化的思想,属于中考常考题型.。
八年级全等三角形(提升篇)(Word 版 含解析)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点E ,F 分别在边AB ,AC 上,将△AEF 沿直线EF 翻折,点A 落在点P 处,且点P 在直线BC 上.则线段CP 长的取值范围是____.【答案】15CP ≤≤【解析】【分析】根据点E 、F 在边AB 、AC 上,可知当点E 与点B 重合时,CP 有最小值,当点F 与点C 重合时CP 有最大值,根据分析画出符合条件的图形即可得.【详解】如图,当点E 与点B 重合时,CP 的值最小,此时BP=AB=3,所以PC=BC-BP=4-3=1,如图,当点F 与点C 重合时,CP 的值最大,此时CP=AC ,Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,根据勾股定理可得AC=5,所以CP 的最大值为5, 所以线段CP 长的取值范围是1≤CP≤5,故答案为1≤CP≤5.【点睛】本题考查了折叠问题,能根据点E 、F 分别在线段AB 、AC 上,点P 在直线BC 上确定出点E 、F 位于什么位置时PC 有最大(小)值是解题的关键.2.如图,ABC ∆中,90BAC ∠=︒,AD BC ⊥,ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ,AG 平分DAC ∠.给出下列结论:①BAD C ∠=∠;②EBC C ∠=∠;③AE AF =;④//FG AC ;⑤EF FG =.其中正确的结论是______.【答案】①③④【解析】【分析】①根据等角的余角相等即可得到结果,故①正确;②如果∠EBC=∠C ,则∠C=12∠ABC ,由于∠BAC=90°,那么∠C=30°,但∠C 不一定等于30°,故②错误;③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线,得到∠ABF=∠EBD .由于∠AFE=∠BAD+∠FBA ,∠AEB=∠C+∠EBD ,得到∠AFE=∠AEB ,可得③正确;④连接EG ,先证明△ABN ≌△GBN ,得到AN=GN ,证出△ANE ≌△GNF ,得∠NAE=∠NGF ,进而得到GF ∥AE ,故④正确;⑤由AE=AF ,AE=FG ,而△AEF 不一定是等边三角形,得到EF 不一定等于AE ,于是EF 不一定等于FG ,故⑤错误.【详解】∵∠BAC=90°,AD ⊥BC ,∴∠C+∠ABC=90°,∠C+∠DAC=90°,∠ABC+∠BAD=90°,∴∠ABC=∠DAC ,∠BAD=∠C ,故①正确;若∠EBC=∠C ,则∠C=12∠ABC , ∵∠BAC=90°,那么∠C=30°,但∠C 不一定等于30°,故②错误;∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线,∴∠ABF=∠EBD ,∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ,∠AEB=∠C+∠EBD ,又∵∠BAD=∠C ,∴∠AFE=∠AEF ,∴AF=AE ,故③正确;∵AG 是∠DAC 的平分线,AF=AE ,∴AN ⊥BE ,FN=EN ,在△ABN 与△GBN 中,∵90ABN GBN BN BN ANB GNB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩,∴△ABN ≌△GBN (ASA ),∴AN=GN ,又∵FN=EN ,∠ANE=∠GNF ,∴△ANE ≌△GNF (SAS ),∴∠NAE=∠NGF ,∴GF ∥AE ,即GF ∥AC ,故④正确;∵AE=AF ,AE=FG ,而△AEF 不一定是等边三角形,∴EF 不一定等于AE ,∴EF 不一定等于FG ,故⑤错误.故答案为:①③④.【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理,全等三角形的判定和性质定理,直角三角形的性质定理,掌握掌握上述定理,是解题的关键.3.已知A 、B 两点的坐标分别为 (0,3),(2,0),以线段AB 为直角边,在第一象限内作等腰直角三角形ABC ,使∠BAC =90°,如果在第二象限内有一点P (a ,12),且△ABP 和△ABC 的面积相等,则a =_____.【答案】-83. 【解析】【分析】先根据AB 两点的坐标求出OA 、OB 的值,再由勾股定理求出AB 的长度,根据三角形的面积公式即可得出△ABC 的面积;连接OP ,过点P 作PE ⊥x 轴,由△ABP 的面积与△ABC 的面积相等,可知S △ABP =S △POA +S △AOB ﹣S △BOP =132,故可得出a 的值. 【详解】∵A 、B 两点的坐标分别为 (0,3),(2,0),∴OA=3,OB=2,∴223+213AB==,∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,∴1113•1313222 ABCS AB AC⨯⨯===,作PE⊥x轴于E,连接OP,此时BE=2﹣a,∵△ABP的面积与△ABC的面积相等,∴111•••222 ABP POA AOB BOPS S S S OA OE OB OA OB PE ++=﹣=﹣,111113332222222a⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=(﹣)﹣=,解得a=﹣83.故答案为﹣83.【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质,坐标与图象性质,三角形的面积公式,解题的关键是根据S△ABP=S△POA+S△AOB-S△BOP列出关于a的方程.4.如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5,M,N分别是射线OA和OB上的动点,若△PMN周长的最小值为5,则∠AOB的度数为_____.【答案】30°.【解析】【分析】如图:分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P'',分别连OP'、O P''、P' P''交OB、OA于M、N,则可证明此时△PMN周长的最小,由轴对称性,可证明△P'O P''为等边三角形,∠AOB=12∠P'O P''=30°. 【详解】解:如图:分别作点P 关于OB 、AO 的对称点P'、P'',分别连OP'、O 、P' 交OB 、OA 于M 、N ,由轴对称△PMN 周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"∴由两点之间线段最短可知,此时△PMN 周长的最小∴P'P"=5由对称OP=OP'=OP"=5∴△P'OP"为等边三角形∴∠P'OP"=60∵∠P'OB=∠POB ,∠P"OA=∠POA∴∠AOB=12∠P'O P''=30°. 故答案为30°.【点睛】 本题是动点问题的几何探究题,考查最短路径问题,应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.5.如图,在△ABC 中,AB 的中垂线交BC 于D ,AC 的中垂线交BC 于E ,若∠BAC=126°,则∠EAD=_____°.【答案】72°【解析】【分析】根据AB 的中垂线可得BAD ∠,再根据AC 的中垂线可得EAC ∠,再结合∠BAC=126°即可计算出∠EAD .【详解】根据AB 的中垂线可得BAD ∠=B根据AC 的中垂线可得EAC ∠=C ∠18012654B C ︒︒︒∠+∠=-=又 126BAD DAE EAC BAC ︒∠+∠+∠=∠=+C+126B DAE ︒∴∠∠∠=72DAE ︒∴∠=【点睛】本题主要考查中垂线的性质,重点在于等量替换表示角度.6.如图,己知30MON ∠=︒,点1A ,2A ,3A ,…在射线ON 上,点1B ,2B ,3B ,…在射线OM 上,112A B A ∆,223A B A ∆,334A B A ∆,…均为等边三角形,若12OA =,则556A B A ∆的边长为________.【答案】32【解析】【分析】根据底边三角形的性质求出130∠=︒以及平行线的性质得出112233////A B A B A B ,以及22122A B B A =,得出332212244A B A B B A ===,441288A B B A ==,551216A B B A =⋯进而得出答案.【详解】解:△112A B A 是等边三角形,1121A B A B ∴=,341260∠=∠=∠=︒,2120∴∠=︒,30MON ∠=︒,11801203030∴∠=︒-︒-︒=︒,又360∠=︒,5180603090∴∠=︒-︒-︒=︒,130MON ∠=∠=︒,1112OA A B ∴==,212A B ∴=,△223A B A 、△334A B A 是等边三角形,111060∴∠=∠=︒,1360∠=︒,41260∠=∠=︒,112233////A B A B A B ∴,1223//B A B A ,16730∴∠=∠=∠=︒,5890∠=∠=︒,22122242A B B A =∴==,33232B A B A =,33312428A B B A ∴===,同理可得:444128216A B B A ===,⋯∴△1n n n A B A +的边长为2n ,∴△556A B A 的边长为5232=.故答案为:32.【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及30°直角三角形的性质,根据已知得出33124A B B A =,44128A B B A =,551216A B B A =进而发现规律是解题关键.7.如图,在直角坐标系中,点()8,8B -,点()2,0C -,若动点P 从坐标原点出发,沿y 轴正方向匀速运动,运动速度为1/cm s ,设点P 运动时间为t 秒,当BCP ∆是以BC 为腰的等腰三角形时,直接写出t 的所有值__________________.【答案】2秒或46秒或14秒【解析】【分析】分两种情况:PC 为腰或BP 为腰.分别作出符合条件的图形,计算出OP 的长度,即可求出t 的值.【详解】解:如图所示,过点B 作BD ⊥x 轴于点D ,作BE ⊥y 轴于点E ,分别以点B 和点C 为圆心,以BC 长为半径画弧交y 轴正半轴于点F ,点H 和点G∵点B (-8,8),点C (-2,0),∴DC=6cm ,BD=8cm ,由勾股定理得:BC=10cm∴在直角三角形COG 中,OC=2cm ,CG=BC=10cm ,∴2210246(cm)-=,当点P运动到点F或点H时,BE=8cm,BH=BF=10cm,∴EF=EH=6cm∴OP=OF=8-6=2(cm)或OP=OH=8+6=14(cm),故答案为:2秒,46秒或14秒.【点睛】本题综合考查了勾股定理和等腰三角形在平面直角坐标系中的应用,通过作图找出要求的点的位置,利用勾股定理来求解是本题的关键.8.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC的延长线上,G是AC上一点,且CG=CD,F是GD上一点,且DF=DE.若∠A=100°,则∠E的大小为_____度.【答案】10【解析】【分析】由DF=DE,CG=CD可得∠E=∠DFE,∠CDG=∠CGD,再由三角形的外角的意义可得∠GDC=∠E+∠DFE=2∠E,∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CD G,进而可得∠ACB=4∠E,最后代入数据即可解答.【详解】解:∵DF=DE,CG=CD,∴∠E=∠DFE,∠CDG=∠CGD,∵GDC=∠E+∠DFE,∠ACB=∠CDG+∠CGD,∴GDC=2∠E,∠ACB=2∠CDG,∴∠ACB=4∠E,∵△ABC中,AB=AC,∠A=100°,∴∠ACB=40°,∴∠E=40°÷4=10°.故答案为10.【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形外角的定义,解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和三角形的外角的定义确定各角之间的关系.9.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠ADC=∠ABC=90°,在AB、AD上分别找一点F、E,连接CE、EF、CF,当△CEF的周长最小时,则∠ECF的度数为______.【答案】60°【解析】【分析】此题需分三步:第一步是作出△CEF的周长最小时E、F的位置(用对称即可);第二步是证明此时的△CEF的周长最小(利用两点之间线段最短);第三步是利用对称性求此时∠ECF的值.【详解】分别作出C关于AD、AB的对称点分别为C1、C2,连接C1C2,分别交AD,AB于点E、F再连接CE、CF此时△CEF的周长最小,理由如下:在AD、AB上任意取E1、F1两点根据对称性:∴CE=C1E,CE1=C1E1,CF=C2F,CF1=C2F1∴△CEF的周长= CE+EF+CF= C1E+EF+C2F= C1C2而△CE1F1的周长= CE1+E1F1+CF1= C1E1+E1F1+C2F1根据两点之间线段最短,故C1E1+E1F1+C2F1>C1C2∴△CEF的周长的最小为:C1C2.∵∠A=60°,∠ADC=∠ABC=90°∴∠DCB=360°-∠A-∠ADC-∠ABC=120°∴∠C C1C2+∠C C2C1=180°-∠DCB=60°根据对称性:∠C C1C2=∠E CD,∠C C2C1=∠F CB∴∠E CD+∠F CB=∠C C1C2+∠C C2C1=60°∴∠ECF=∠DCB-(∠E CD+∠F CB)=60°故答案为:60°【点睛】此题考查的是周长最小值的作图方法(对称点),及周长最小值的证法:两点之间线段最短,掌握周长最小值的作图方法是解决此题的关键.10.如图,在△ABC 中,AD 是高,DE 是 AC 的垂直平分线,AE=4cm,△ABD 的周长为15cm,则△ABC 的周长为______【答案】23cm.【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AC=2AE=8,DA=DC,根据三角形的周长公式计算即可.【详解】解:∵DE是AC的垂直平分线,∴AC=2AE=8,DA=DC,∵△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=15,∴△ABC的周长=AB+BC+AC=15+8=23cm,故答案是:23cm.【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)11.边长为a的等边三角形,记为第1个等边三角形,取其各边的三等分点,顺次连接得到一个正六边形,记为第1个正六边形,取这个正六边形不相邻的三边中点,顺次连接又得到一个等边三角形,记为第2个等边三角形,取其各边的三等分点,顺次连接又得到一个正六边形,记为第2个正六边形(如图),…,按此方式依次操作,则第6个正六边形的边长为()A .511a 32⨯()B .511a 23⨯()C .611a 32⨯()D .611a 23⨯() 【答案】A【解析】 连接AD 、DB 、DF ,求出∠AFD=∠ABD=90°,根据HL 证两三角形全等得出∠FAD=60°,求出AD ∥EF ∥GI ,过F 作FZ ⊥GI ,过E 作EN ⊥GI 于N ,得出平行四边形FZNE 得出EF=ZN=13a ,求出GI 的长,求出第一个正六边形的边长是13a ,是等边三角形QKM 的边长的13;同理第二个正六边形的边长是等边三角形GHI 的边长的13;求出第五个等边三角形的边长,乘以13即可得出第六个正六边形的边长. 连接AD 、DF 、DB .∵六边形ABCDEF 是正六边形, ∴∠ABC=∠BAF=∠AFE ,AB=AF ,∠E=∠C=120°,EF=DE=BC=CD ,∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°,∵∠AFE=∠ABC=120°,∴∠AFD=∠ABD=90°,在Rt △ABD 和RtAFD 中AF=AB {AD=AD∴Rt △ABD ≌Rt △AFD (HL ),∴∠BAD=∠FAD=12×120°=60°, ∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°,∴AD ∥EF ,∵G 、I 分别为AF 、DE 中点,∴GI ∥EF ∥AD ,∴∠FGI=∠FAD=60°,∵六边形ABCDEF 是正六边形,△QKM 是等边三角形,∴∠EDM=60°=∠M ,∴ED=EM ,同理AF=QF,即AF=QF=EF=EM,∵等边三角形QKM的边长是a,∴第一个正六边形ABCDEF的边长是13a,即等边三角形QKM的边长的13,过F作FZ⊥GI于Z,过E作EN⊥GI于N,则FZ∥EN,∵EF∥GI,∴四边形FZNE是平行四边形,∴EF=ZN=13a,∵GF=12AF=12×13a=16a,∠FGI=60°(已证),∴∠GFZ=30°,∴GZ=12GF=112a,同理IN=112a,∴GI=112a+13a+112a=12a,即第二个等边三角形的边长是12a,与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似,可求出第二个正六边形的边长是13×12a;同理第第三个等边三角形的边长是12×12a,与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似,可求出第三个正六边形的边长是13×12×12a;同理第四个等边三角形的边长是12×12×12a,第四个正六边形的边长是13×12×12×12a;第五个等边三角形的边长是12×12×12×12a,第五个正六边形的边长是1 3×12×12×12×12a;第六个等边三角形的边长是12×12×12×12×12a,第六个正六边形的边长是1 3×12×12×12×12×12a,即第六个正六边形的边长是13×512()a,故选A.12.如图,已知△ABC 中,AB=AC ,AD=AE ,∠BAE=30°,则∠DEC 等于( )A .7.5°B .10°C .15°D .18°【答案】C【解析】 根据等腰三角形性质求出∠C=∠B,根据三角形的外角性质求出∠B=∠C=∠AED+α﹣30°,根据AE=AD ,可得∠AED=∠ADE=∠C+α,得出等式∠AED=∠AED+α﹣30°+α,求出α=15°,即得到∠DEC=α=15°,故选C.点睛:本题考查了等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,三角形的外角性质等知识点的应用,主要考查学生运用定理进行推理的能力,本题有一点难度,但题型不错.13.如图,ABC ∆中,3AC DC ==,BD 垂直BAC ∠的角平分线于D ,E 为AC 的中点,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( )A .1.5B .3C .4.5D .9【答案】C【解析】【分析】 首先证明两个阴影部分面积之差=S △ADC ,然后由DC ⊥AC 时,△ACD 的面积最大求出结论即可.延长BD 交AC 于点H .设AD 交BE 于点O .∵AD ⊥BH ,∴∠ADB =∠ADH =90°,∴∠ABD +∠BAD =90°,∠H +∠HAD =90°.∵∠BAD =∠HAD ,∴∠ABD =∠H ,∴AB =AH .∵AD ⊥BH ,∴BD =DH .∵DC =CA ,∴∠CDA =∠CAD .∵∠CAD +∠H =90°,∠CDA +∠CDH =90°,∴∠CDH =∠H ,∴CD =CH =AC .∵BD =DH ,AC =CH ,∴S △CDH =12S △ADH 14=S △ABH . ∵AE =EC ,∴S △ABE 14=S △ABH ,∴S △CDH =S △ABE . ∵S △OBD ﹣S △AOE =S △ADB ﹣S △ABE =S △ADH ﹣S △CDH =S △ACD .∵AC =CD =3,∴当DC ⊥AC 时,△ACD 的面积最大,最大面积为12⨯3×392=. 故选C .【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质,三角形中线的性质等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,属于中考选择题中的压轴题.14.如图,30MON ∠=︒.点1A ,2A ,3A ,⋯,在射线ON 上,点1B ,2B ,3B ,⋯,在射线OM 上,112A B A ∆,223A B A ∆,334A B A ∆,⋯均为等边三角形,若11OA =,则201920192020A B A ∆的边长为( )A .20172B .20182C .20192D .20202【答案】B【解析】根据等边三角形的性质和30MON ∠=︒,可求得1130∠=︒OB A ,进而证得11OA B ∆是等腰三角形,可求得2OA 的长,同理可得22OA B ∆是等腰三角形,可得222=A B OA ,同理得规律333、、=⋅⋅⋅=n n n A B OA A B OA ,即可求得结果. 【详解】解:∵30MON ∠=︒,112A B A ∆是等边三角形,∴11260∠=︒B A A ,1112A B A A =∴1111230∠=∠-∠=︒OB A B A A MON ,∴11∠=∠OB A MON ,则11OA B ∆是等腰三角形,∴111=A B OA ,∵11OA =,∴11121==A B A A OA =1,21122=+=OA OA A A ,同理可得22OA B ∆是等腰三角形,可得222=A B OA =2,同理得23342==A B 、34482==A B ,根据以上规律可得:2018201920192=A B ,即201920192020A B A ∆的边长为20182,故选:B .【点睛】本题属于探索规律题,主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质,掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键.15.如图,60AOB ∠=,OC 平分AOB ∠,如果射线OA 上的点E 满足OCE ∆是等腰三角形,那么OEC ∠的度数不可能为( )A .120°B .75°C .60°D .30°【答案】C【解析】【分析】 分别以每个点为顶角的顶点,根据等腰三角形的定义确定∠OEC 是度数即可得到答案.【详解】∵60AOB ∠=,OC 平分AOB ∠,∠AOC=30︒,当OC=CE 时,∠OEC=∠AOC=30︒,当OE=CE 时,∠OEC=180OCE COE ∠∠︒--=120︒,当OC=OE 时,∠OEC=12(180COE ∠︒- )=75︒, ∴∠OEC 的度数不能是60°,故选:C. 【点睛】此题考查等腰三角形的定义,角平分线的定义,根据题意正确画出符合题意的图形是解题的关键.16.如图,四边形ABCD 中,∠BAD =120°,∠B =∠D =90°,在BC 、CD 上分别找一点M 、N ,使△AMN 周长最小时,则∠AMN +∠ANM 的度数为( )A .130°B .120°C .110°D .100°【答案】B【解析】 根据要使△AMN 的周长最小,即利用点的对称,让三角形的三边在同一直线上,作出A 关于BC 和ED 的对称点A′,A″,即可得出∠AA′M +∠A″=∠HAA′=60°,进而得出∠AMN +∠ANM =2(∠AA′M +∠A″)即可得出答案:如图,作A 关于BC 和ED 的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC 于M ,交CD 于N ,则A′A″即为△AMN 的周长最小值.作DA 延长线AH .∵∠BAD =120°,∴∠HAA′=60°.∴∠AA′M +∠A″=∠HAA′=60°.∵∠MA′A=∠MAA′,∠NAD=∠A″,且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°.故选B.17.如图,△ABC是等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,PR=PS,则下列结论:①AP⊥BC;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP.正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC,根据等腰三角形“三线合一”的性质判断出①正确;根据HL证明Rt△APR≌Rt△APS,即可判断②正确;根据等边对等角的性质可得∠APQ=∠PAQ,根据三角形外角的性质得到然后得到∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC,然后根据同位角相等两直线平行可得QP∥AB,从而判断出③正确,④由③易证△QPC是等边三角形,得到PQ=PC,等量代换得到BP=PQ,用HL证明Rt△BRP≌Rt△QSP,即可得到④正确.【详解】∵△ABC是等边三角形,PR⊥AB,PS⊥AC,且PR=PS,∴P在∠A的平分线上.∵AB=AC,∴AP⊥BC,故①正确;∵PA=PA,PR=PS,∴Rt△APR≌Rt△APS,∴AS=AR,故②正确;∵AQ=PQ,∴∠APQ=∠PAQ,∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC,∴PQ∥AR,故③正确;由③得:△PQC是等边三角形,∴△PQS≌△PCS,∴PQ=PC.又∵AB=AC,AP⊥BC,∴BP=PC,∴BP=PQ.∵PR=PS,∴Rt△BRP≌Rt△QSP,故④也正确.∵①②③④都正确.故选D.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质,准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键.18.在平面直角坐标系中,等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为(1,0)、(2,3),若顶点C 落在坐标轴上,则符合条件的点C有( )个.A .9B .7C .8D .6【答案】C【解析】【分析】 要使△ABC 是等腰三角形,可分三种情况(①若CA =CB ,②若BC =BA ,③若AC =AB )讨论,通过画图就可解决问题.【详解】①若CA =CB ,则点C 在AB 的垂直平分线上.∵A (1,0),B (2,3),∴AB 的垂直平分线与坐标轴有2个交点C 1,C 2.②若BC =BA ,则以点B 为圆心,BA 为半径画圆,与坐标轴有3个交点(A 点除外)C 3,C 4,C 5;③若AC =AB ,则以点A 为圆心,AB 为半径画圆,与坐标轴有4个交点C 6,C 7,C 8,C 9.而C 8(0,-3)与A 、B 在同一直线上,不能构成三角形,故此时满足条件的点有3个.综上所述:符合条件的点C 的个数有8个.故选C .【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识,还考查了动手操作的能力,运用分类讨论的思想是解答本题的关键.19.如图,Rt ABC ∆中,90ACB ∠=,3AC =,4BC =,5AB =,将边AC 沿CE 翻折,使点A 落在AB 上的点D 处;再将边BC 沿CF 翻折,使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处,两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ,则线段EF 的长为( )A .52B .125C .4D .53【答案】B【解析】【分析】先利用折叠的性质证明出△ECF 是一个等腰直角三角形,因此EF=CE ,然后再根据文中条件综合得出S △ABC =12AC∙BC=12AB∙CE ,求出CE 进而得出答案即可. 【详解】根据折叠性质可知:CD=AC=3,BC=B C '=4,∠ACE=∠DCE ,∠BCF=∠B 'CF ,CE ⊥AB , ∴∠DCE+∠B 'CF=∠ACE+∠BCF ,∵∠ACB=90°,∴∠ECF=45°,又∵CE ⊥AB ,∴△ECF 是等腰直角三角形,∴EF=CE ,又∵S △ABC =12AC∙BC=12AB∙CE , ∴AC∙BC=AB∙CE ,∵3AC =,4BC =,5AB =,∴125CE =, ∴EF 125=. 所以答案为B 选项.【点睛】本题主要考查了直角三角形与等腰三角形性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.20.如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,四边形OABC 是长方形,点A 、C 的坐标分别为A (10,0 ),C (0,4),点D 是OA 的中点,点P 在BC 边上运动,当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时,点P 的坐标为( )A .(3,4),(2,4)B .(3,4),(2,4),(8,4)C .(2,4),(8,4)D .(3,4),(2,4),(8,4),(2.5,4)【答案】B【解析】试题解析:有两种情况:①以O为圆心,以5为半径画弧交BC于P点,此时OP=OD=5,在Rt△OPC中,OC=4,OP=5,由勾股定理得PC=3,则P的坐标是(3,4);②以D为圆心,以5为半径画弧交BC于P′和P″点,此时DP′=DP″=OD=5,过P′作P′N⊥OA于N,在Rt△OP′N中,设CP′=x,则DN=5-x,P′N=4,OP=5,由勾股定理得:42+(5-x)2=52,x=2,则P′的坐标是(2,4);过P″作P″M⊥OA于M,设BP″=a,则DM=5-a,P″M=4,DP″=5,在Rt△DP″M中,由勾股定理得:(5-a)2+42=52,解得:a=2,∴BP″=2,CP″=10-2=8,即P″的坐标是(8,4);假设0P=PD,则由P点向0D边作垂线,交点为Q则有PQ2十QD2=PD2,∵0P=PD=5=0D,∴此时的△0PD为正三角形,于是PQ=4,QD=120D=2.5,PD=5,代入①式,等式不成立.所以排除此种可能.故选B.。
全等三角形的概念和性质〔提高〕【学习目标】1.理解全等三角形及其对应边、对应角的概念;能准确识别全等三角形的对应元素.2.掌握全等三角形的性质;会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算,解决某些实际问题.【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释:一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等,面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点,对应边,对应角1. 对应顶点,对应边,对应角定义两个全等三角形重合在一起,重合的顶点叫对应顶点,重合的边叫对应边,重合的角叫对应角.要点诠释:在写两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应位置上,这样容易找出对应边、对应角.如以下列图,△ABC与△DEF全等,记作△ABC≌△DEF,其中点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点;AB和DE,BC和EF,AC和DF是对应边;∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法〔1〕全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;〔2〕全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角;〔3〕有公共边的,公共边是对应边;〔4〕有公共角的,公共角是对应角;〔5〕有对顶角的,对顶角一定是对应角;〔6〕两个全等三角形中一对最长的边〔或最大的角〕是对应边〔或角〕,一对最短的边〔或最小的角〕是对应边〔或角〕,等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等;要点诠释:全等三角形对应边上的高相等,对应边上的中线相等,周长相等,面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、请观察以下列图中的6组图案,其中是全等形的是__________.【答案】〔1〕〔4〕〔5〕〔6〕;【解析】〔1〕〔5〕是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的,〔4〕是将其中一个图形翻折后得到另一个图形的,〔6〕是将其中一个图形旋转180°再平移得到的,〔2〕〔3〕形状相同,但大小不等.【总结升华】是不是全等形,既要看形状是否相同,还要看大小是否相等.举一反三:【变式1】全等三角形又叫做合同三角形,平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形,假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形,点A与点A1对应,点B 与点B1对应,点C与点C1对应,当沿周界A→B→C→A,及A1→B1→C1→A1环绕时,假设运动方向相同,那么称它们是真正合同三角形(如图1),假设运动方向相反,那么称它们是镜面合同三角形(如图2),两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合,两个镜面合同三角形要重合,那么必须将其中一个翻转180°,以下各组合同三角形中,是镜面合同三角形的是( )【答案】B;提示:抓住关键语句,两个镜面合同三角形要重合,那么必须将其中一个翻转180°,B答案中的两个三角形经过翻转180°就可以重合,应选B;其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合.类型二、全等三角形的对应边,对应角2、如图,△ABD≌△CDB,假设AB∥CD,那么AB的对应边是〔〕A.DB B. BC C. CD D. AD【答案】C【解析】因为AB∥CD,所以∠CDB=∠ABD,这两个角为对应角,对应角所对的边为对应边,所以,BC和DA为对应边,所以AB的对应边为CD.【总结升华】公共边是对应边,对应角所对的边是对应边.类型三、全等三角形性质3、如图,将长方形ABCD沿AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,如果∠BAF=60°,那么∠DAE等于〔〕.A.60°B.45°C.30°D.15°【思路点拨】△AFE是由△ADE折叠形成的,由全等三角形的性质,∠FAE=∠DAE,再由∠BAD=90°,∠BAF=60°可以计算出结果.【答案】D;【解析】因为△AFE是由△ADE折叠形成的,所以△AFE≌△ADE,所以∠FAE=∠DAE,又因为∠BAF=60°,所以∠FAE=∠DAE=90602︒-︒=15°.【总结升华】折叠所形成的三角形与原三角形是全等的关系,抓住全等三角形对应角相等来解题.举一反三:【变式】如图,在长方形ABCD中,将△BCD沿其对角线BD翻折得到△BED,假设∠1=35°,那么∠2=________.【答案】35°;提示:将△BCD沿其对角线BD翻折得到△BED,所以∠2=∠CBD,又因为AD∥BC,所以∠1=∠CBD,所以∠2=35°.4、如图,△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB,AC翻折180°形成的,假设∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3,∠α的度数是_________.【思路点拨】〔1〕由∠1,∠2,∠3之间的比例关系及利用三角形内角和可求出∠1,∠2,∠3的度数;〔2〕由全等三角形的性质求∠EBC,∠BCD的度数;〔3〕运用外角求∠α的度数.【答案】∠α=80°【解析】∵∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3,设∠1=28x,∠2=5x,∠3=3x,∴28x+5x+3x=36x=180°,x=5°即∠1=140°,∠2=25°,∠3=15°∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB,AC翻折180°形成的,∴△ABE≌△ADC≌△ABC∴∠2=∠ABE,∠3=∠ACD∴∠α=∠EBC+∠BCD=2∠2+2∠3=50°+30°=80°【总结升华】此题涉及到了三角形内角和,外角和定理,并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题.见“比例〞设未知数x是比较常用的解题思路.举一反三:【变式】如图,在△ABC中,∠A:∠ABC:∠BCA =3:5:10,又△MNC≌△ABC,那么∠BCM:∠BCN等于〔〕A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.1:4【答案】D;提示:设∠A=3x,∠ABC=5x,∠BCA=10x,那么3x+5x+10x=18x=180°,x=10°. 又因为△MNC≌△ABC,所以∠N=∠B=50°,CN=CB,所以∠N=∠CBN=50°,∠ACB=∠MCN=100°,∠BCN=180°-50°-50°=80°,所以∠BCM:∠BCN=20°:80°=1:4.。
经典全等三角形各种判定(提高版)1.三角形全等的判定一(SSS )1.如图,AB =AD ,CB =CD .△ABC 与△ADC 全等吗?为什么?2.如图,C 是AB 的中点,AD =CE ,CD =BE .求证△ACD ≌△CBE .3.如图,点B ,E ,C ,F 在一条直线上,AB =DE ,AC =DF,BE =CF . 求证∠A =∠D .CABACEFE DCBA4.已知,如图,AB=AD ,DC=CB .求证:∠B=∠D 。
5.如图, AD =BC, AB =DC, DE =BF. 求证:BE =DF.AD CB2.三角形全等的判定二(SAS )1.如图,AC 和BD 相交于点O ,OA =OC ,OB =OD .求证DC ∥AB .2.如图,△ABC ≌△A B C ''',AD ,A D ''分别是△ABC ,△A B C '''的对应边上的中线,AD 与A D ''有什么关系?证明你的结论.3.如图,已知AC ⊥AB ,DB ⊥AB ,AC =BE ,AE =BD ,试猜想线段CE 与DE 的大小与位CD置关系,并证明你的结论.4.已知:如图,AD ∥BC ,AD=CB ,求证:△ADC ≌△CBA .5.已知:如图AD ∥BC ,AD=CB ,AE=CF 。
求证:△AFD ≌△CEB .6.已知,如图,AB=AC ,AD=AE ,∠1=∠2。
求证:△ABD ≌△ACE . AE B CF DA BCD2 AC B17.已知:如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:AC∥DF.8.已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE.求证:BE∥CF.9.如图, 在△ABC中, 分别延长中线BE、CD 至F、H, 使EF=BE, DH=CD, 连结AF、AH.求证:(1) AF=AH;AH F(2)点A 、F 、H 三点在同一直线上; (3)HF ∥BC.10.如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, AC =BC, 直线EF 交AC 于F, 交AB 于E, 交BC 的延长线于D, 连结AD 、BF, CF =CD. 求证:BF =AD, BF ⊥AD.AB C DE F11.证明:如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等,那么这两个三角形全等.(提示:首先分清已知和求证,然后画出图形,再结合图形用数学符号表示已知和求证)12.证明:如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等,那么这两个三角形全等.13.已知:如图,正方形ABCD,BE=CF,求证:(1)AE =BF ;(2)AE ⊥BF . 14.已知:E 是正方形ABCD 的边长AD 上一点,BF 平分∠EBC ,交CD 于F ,求证BE=AE+CF.(提示:旋转构造等腰)15.如图,△ABD 和△ACE 是△ABC 外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=900.(1)判断CD 与BE 有怎样的数量关系;(2)探索DC 与BE 的夹角的大小.(3)取BC 的中点M ,连MA ,探讨MA 与DE 的位置关系。
全等三角形的性质及判定(习题及答案)全等三角形的性质及判定全等三角形是指具有相等的对应边长和对应角度的两个三角形。
在几何学中,全等三角形有着重要的性质和判定方法。
本文将介绍全等三角形的性质,并提供一些习题及答案,以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、全等三角形的性质1. 对应边长相等性质:如果两个三角形的三边分别相等,则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF,则AB = DE, BC = EF, AC = DF。
2. 对应角度相等性质:如果两个三角形的三个角度分别相等,则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF,则∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
3. 边角相等性质:若两个三角形的两边和夹角分别相等,则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF,则AB = DE, ∠A = ∠D, ∠C = ∠F。
4. 斜边和一角相等性质:若两个三角形的一边与一角分别相等,则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF,则AC = DF, ∠A = ∠D。
二、全等三角形的判定方法1. SSS判定法:如果两个三角形的三边分别相等,则它们是全等三角形。
即若AB = DE, BC = EF, AC = DF,则∆ABC≌∆DEF。
2. SAS判定法:如果两个三角形的一边和夹角,以及另一边分别相等,则它们是全等三角形。
即若AB = DE, ∠A = ∠D, AC = DF,则∆ABC≌∆DEF。
3. ASA判定法:如果两个三角形的两个夹角和一边分别相等,则它们是全等三角形。
即若∠A = ∠D, ∠B = ∠E, AC = DF,则∆ABC≌∆DEF。
4. RHS判定法:如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等,则它们是全等三角形。
即若AC = DF, ∠A = ∠D,则∆ABC≌∆DEF。
三、习题及答案1. 已知∆ABC和∆DEF,且AB = DE, ∠A = ∠D, BC = EF。
证明∠B = ∠E, AC = DF。
直角三角形全等判定(提高)【学习目标】1.理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边,直角边”(即“HL”). 2.能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.【要点梳理】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知,对于两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”,“ASA”或“SAS”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边,直角边定理在两个直角三角形中,有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).这个判定方法是直角三角形所独有的,一般三角形不具备.要点诠释:(1)“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等,由于其中含有直角这个特殊条件,所以三角形的形状和大小就确定了.(2)判定两个直角三角形全等的方法共有5种:SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等,首先考虑用斜边、直角边定理,再考虑用一般三角形全等的证明方法.(3)应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件,书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等,不全等的画“×”,全等的注明理由:(1)一个锐角和这个角的对边对应相等;()(2)一个锐角和斜边对应相等;()(3)两直角边对应相等;()(4)一条直角边和斜边对应相等.()【答案】(1)全等,“AAS”;(2)全等,“AAS”;(3)全等,“SAS”;(4)全等,“HL”. 【解析】理解题意,画出图形,根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种:SAS、ASA、AAS、SSS、HL.举一反三:【变式】下列说法中,正确的画“√”;错误的画“×”,并举出反例画出图形.(1)一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.()(2)有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.()(3)有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等.()【答案】(1)√;(2)×;在△ABC和△DBC中,AB=DB,AE和DF是其中一边上的高,AE=DF(3)×. 在△ABC 和△ABD 中,AB =AB ,AD =AC ,AE 为第三边上的高,2、已知:如图,DE ⊥AC ,BF ⊥AC ,AD =BC ,DE =BF.求证:AB ∥DC.【思路点拨】从已知条件只能先证出Rt △ADE ≌Rt △CBF ,从结论又需证Rt △CDE ≌Rt △ABF. 【答案与解析】证明:∵DE ⊥AC ,BF ⊥AC ,∴在Rt △ADE 与Rt △CBF 中.AD BC DE BF ⎧⎨⎩=,=∴Rt △ADE ≌Rt △CBF (HL )∴AE =CF ,DE =BF∴AE +EF =CF +EF ,即AF =CE 在Rt △CDE 与Rt △ABF 中,DE BF DEC BFA EC FA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △CDE ≌Rt △ABF (SAS ) ∴∠DCE =∠BAF ∴AB ∥DC.【总结升华】我们分析已知能推证出什么,再看要证到这个结论,我们还需要哪些条件,这样从已知和结论向中间推进,从而证出题目.3、如图 AB =AC ,BD ⊥AC 于D ,CE ⊥AB 于E ,BD 、CE 相交于F .求证:AF 平分∠BAC .【思路点拨】若能证得AD =AE ,由于∠ADB 、∠AEC 都是直角,可证得Rt △ADF ≌Rt △AEF ,而要证AD =AE ,就应先考虑Rt △ABD 与Rt △AEC ,由题意已知AB =AC ,∠BAC 是公共角,可证得Rt △ABD ≌Rt △ACE . 【答案与解析】证明: 在Rt △ABD 与Rt △ACE 中∴Rt △ABD ≌Rt △ACE(AAS)∴AD =AE(全等三角形对应边相等) 在Rt △ADF 与Rt △AEF 中∴Rt △ADF ≌Rt △AEF(HL)∴∠DAF =∠EAF(全等三角形对应角相等) ∴AF 平分∠BAC(角平分线的定义)【总结升华】条件和结论相互转化,有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论. 举一反三:【变式】已知,如图,AC 、BD 相交于O ,AC =BD ,∠C =∠D =90° .求证:OC =OD.【答案】∵∠C =∠D =90°∴△ABD 、△ACB 为直角三角形 在Rt △ABD 和Rt △BAC 中AB BABD AC =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL) ∴AD =BC在△AOD 和△BOC 中D C AOD BOC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△BOC(AAS) ∴OD =OC .4、如图,△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,AE 是BC 边上的中线,过C 作CF ⊥AE ,垂足为F ,过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D. (1)求证:AE =CD ;(2)若AC =12cm ,求BD 的长.【答案与解析】(1)证明:∵DB ⊥BC ,CF ⊥AE ,∴∠DCB +∠D =∠DCB +∠AEC =90°. ∴∠D =∠AEC .又∵∠DBC =∠ECA =90°, 且BC =CA ,∴△DBC ≌△ECA (AAS ). ∴AE =CD .(2)解:由(1)得AE =CD ,AC =BC , ∴△CDB ≌△AEC (HL ) ∴BD =EC =12BC =12AC ,且AC =12. ∴BD =6cm .【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件 【巩固练习】 一、选择题1.下列命题中,不正确的是( )A.斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等B.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等C.有一条边相等的两个等腰直角三角形全等D.有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等2. 如图,△ABC 中,AB =AC ,BD ⊥AC 于D ,CE ⊥AB 于E ,BD 和CE 交于点O ,AO 的延长线交BC 于F ,则图中全等直角三角形的对数为( ) A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对3. 如图,在△ABC中AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则CH的长是()A.1B.2C.3D.44. 在如图中,AB=AC,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF交于点D,则下列结论中不正确的是()A. △ABE≌△ACFB. 点D在∠BAC的平分线上C. △BDF≌△CDED. 点D是BE的中点5.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等,那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是().A.相等 B.不相等C.互余或相等 D.互补或相等6. 已知如图,AD∥BC,AB⊥BC,CD⊥DE,CD=ED,AD=2,BC=3,则△ADE的面积为()A. 1B. 2C. 5D. 无法确定二、填空题7. 如图,E、B、F、C在同一条直线上,若∠D=∠A=90°,EB=FC,AB=DF.则ΔABC≌_____,全等的根据是_____.8. 如图,已知AB⊥BD于B,ED⊥BD于D,EC⊥AC,AC=EC,若DE=2,AB=4,则DB=______.9. 判定两直角三角形全等的各种条件:(1)一锐角和一边;(2)两边对应相等;(3)两锐角对应相等.其中能得到两个直角三角形全等的条件是_________.10. 如图,△ABC中,AM平分∠CAB,CM=20cm,那么M到AB的距离是_________cm.11. 如图,已知AD是△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且BF=AC,FD=CD.则∠BAD=_______.12. 如图所示的网格中(4×4的正方形),∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=________.三、解答题13.用三角板可按下面方法画角平分线:在已知∠AOB的两边上,分别取OM=ON (如图),再分别过点M、N作OA、OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB,请你说出其中的道理.14. 求证:有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等.15. 如图,A,E,F,C在一条直线上,AE=CF,过E,F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,•若AB=CD,试证明BD平分EF.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C;【解析】C选项如果是一个等腰三角形的腰和另一个等腰三角形的底边对应相等,这是肯定不全等.2. 【答案】D;【解析】Rt△ABD≌Rt△ACE;Rt△BEO≌Rt△CDO;Rt△AEO≌Rt△ADO;Rt△ABF≌Rt△ACF;Rt△BEC≌Rt△CDB;Rt△BFO≌Rt△CFO.3. 【答案】A;【解析】本题可先根据AAS判定△AEH≌△CEB,可得出AE=CE,从而得出CH=CE-EH =4-3=1.4. 【答案】D;【解析】A选项:∵AB=AC,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,∠A=∠A∴△ABE≌△ACF(AAS),正确;B选项:∵△ABE≌△ACF,AB=AC∴BF=CE,∠B=∠C,∠DFB=∠DEC=90°∴DF=DE故点D在∠BAC的平分线上,正确;C选项:∵△ABE≌△ACF,AB=AC∴BF=CE,∠B=∠C,∠DFB=∠DEC=90°∴△BDF≌△CDE(AAS),正确.5. 【答案】D;【解析】如果两个三角形都是锐角三角形或钝角三角形,那么相等;如果一个是锐角三角形一个是钝角三角形,那么互补.6. 【答案】A;【解析】因为知道AD的长,所以只要求出AD边上的高,就可以求出△ADE的面积.过D 作BC的垂线交BC于G,过E作AD的垂线交AD的延长线于F,构造出Rt△EDF≌Rt△CDG,求出GC的长,即为EF的长,然后利用三角形的面积公式解答即可二.填空题7. 【答案】△DFE ,HL ;【解析】EB +BF =FC +BF ,即EF =BC ,斜边相等; 8. 【答案】6;【解析】DB =DC +CB =AB +ED =4+2=6; 9. 【答案】(1)(2) 10.【答案】20;【解析】过M 作MD ⊥AB 于D ,可证△ACM ≌△ADM ,所以DM =CM =20cm . 11.【答案】45°;【解析】证△ADC 与△BDF 全等,AD =BD ,△ABD 为等腰直角三角形. 12.【答案】270°;【解析】∠1+∠6=∠2+∠5=∠3+∠4=90°,所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=270°.三.解答题 13.【解析】证明:在Rt △OPM 和Rt △OPN 中, OP OPOM ON=⎧⎨⎩=∴Rt △OPM ≌Rt △OPN.∴∠POM =∠PON ,即OP 平分∠AOB.14.【解析】根据题意,画出图形,写出已知,求证.已知:如图,在△ABC 与△A B C '''中.AB =A B '',BC =B C '',AD ⊥BC 于D ,A D ''⊥B C '' 于D '且 AD =A D ''求证:△ABC ≌△A B C '''证明: 在Rt △ABD 与Rt △A B D '''中∵AB A B AD A D ''=⎧⎨''=⎩∴Rt △ABD ≌ Rt △A B D ''' (HL)∴∠B =∠B '(全等三角形对应角相等)在△ABC与△A B C'''中∵AB A BB B BC B C''=⎧⎪'∠=∠⎨⎪''=⎩∴△ABC≌△'''A B C (SAS)15.【解析】证明∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEG=∠BFE=90°.∵AE=CF,AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中,,, AB CD AF CE=⎧⎨=⎩∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),∴BF=DE.在△BFG和△DEG中,,,,BFG DEGBGF DGE BF DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BFG≌△DEG(AAS),∴FG=EG,即BD平分EF.。
全等三角形判定二(ASA ,AAS )(提高)【学习目标】1.理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”,判定方法4——“角角边”;能运用它们判定两个三角形全等.2.能把证明一对角或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等. 【要点梳理】【高清课堂:379110 全等三角形判定二,知识点讲解】 要点一、全等三角形判定3——“角边角” 全等三角形判定3——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA ”). 要点诠释:如图,如果∠A =∠'A ,AB =''A B ,∠B =∠'B ,则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定4——“角角边” 1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS ”) 要点诠释:由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等,也就是说,用角边角条件可以证明角角边条件,后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图,在△ABC 和△ADE 中,如果DE ∥BC ,那么∠ADE =∠B ,∠AED =∠C ,又∠A =∠A ,但△ABC 和△ADE 不全等.这说明,三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法,要根据具体的已知条件而定,见下表: 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等SAS SSS2.如何选择三角形证全等(1)可以从求证出发,看求证的线段或角(用等量代换后的线段、角)在哪两个可能全等的三角形中,可以证这两个三角形全等;(2)可以从已知出发,看已知条件确定证哪两个三角形全等;(3)由条件和结论一起出发,看它们一同确定哪两个三角形全等,然后证它们全等; (4)如果以上方法都行不通,就添加辅助线,构造全等三角形. 【典型例题】类型一、全等三角形的判定3——“角边角”1、如图,G 是线段AB 上一点,AC 和DG 相交于点E.请先作出∠ABC 的平分线BF ,交AC 于点F ;然后证明:当AD∥BC,AD =BC ,∠ABC=2∠ADG 时,DE =BF.【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC=∠C ,∠CBF=∠ADG,则可证△DAE≌△BCF 【答案与解析】 证明: ∵AD∥BC,∴∠DAC=∠C∵BF 平分∠ABC ∴∠ABC=2∠CBF ∵∠ABC=2∠ADG ∴∠CBF=∠ADG在△DAE 与△BCF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C DAC BCAD CBF ADG ∴△DAE≌△BCF(ASA ) ∴DE=BF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下:(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形;(2)证明这两个三角形全等;(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等. 举一反三:【高清课堂:379110 全等三角形判定二,例7】【变式】已知:如图,在△MPN 中,H 是高MQ 和NR 的交点,且MQ =NQ .求证:HN =PM.【答案】证明:∵MQ 和NR 是△MPN 的高, ∴∠MQN =∠MRN =90°,又∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°,∠3=∠4 ∴∠1=∠2在△MPQ 和△NHQ 中,12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ (ASA ) ∴PM =HN类型二、全等三角形的判定4——“角角边”2、(2016•黄陂区模拟)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC ,过C 点作直线l ,点 D ,E 在直线l 上,连接AD ,BE ,∠ADC=∠CEB=90°.求证:△ADC ≌△CEB .【思路点拨】先证明∠DAC=∠ECB ,根据AAS 证△ADC ≌△CEB . 【答案与解析】证明:∵∠DAC +∠DCA=∠ECB +∠DCA=90°,∴∠DAC=∠ECB , 在△ADC 和△CEB 中,,∴△ADC ≌△CEB (AAS ).【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法,注意:AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角. 举一反三: 【变式】(2015•启东市模拟)如图,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF ,AC=DF ;②AB=DE,∠B=∠E .BC=EF ; ③∠B=∠E ,BC=EF ,∠C=∠F ; ④AB=DE,AC=DF ,∠B=∠E .其中,能使△ABC ≌△DEF 的条件共有( )A.1组B.2组C.3组D.4组【答案】C .解:第①组满足SSS ,能证明△ABC ≌△DEF .第②组满足SAS ,能证明△ABC ≌△DEF . 第③组满足ASA ,能证明△ABC ≌△DEF . 第④组只是SSA ,不能证明△ABC ≌△DEF . 所以有3组能证明△ABC ≌△DEF . 故符合条件的有3组. 故选:C .3、平面内有一等腰直角三角板(∠ACB =90°)和一直线MN .过点C 作CE ⊥MN 于点E ,过点B 作BF ⊥MN 于点F .当点E 与点A 重合时(如图1),易证:AF +BF =2CE .当三角板绕点A 顺时针旋转至图2的位置时,上述结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AF 、BF 、CE 之间又有怎样的数量关系,请直接写出你的猜想,不需证明.【思路点拨】过B 作BH ⊥CE 与点H ,易证△ACE ≌△CBH ,根据全等三角形的对应边相等,即可证得AF +BF =2CE . 【答案与解析】解:图2,AF +BF =2CE 仍成立, 证明:过B 作BH ⊥CE 于点H ,∵∠CBH +∠BCH =∠ACE +∠BCH =90° ∴∠CBH =∠ACE在△ACE 与△CBH 中,90ACH CBH AEC CHB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△CBH .(AAS ) ∴CH =AE ,BF =HE ,CE =EF ,∴AF +BF =AE +EF +BF =CH +EF +HE =CE +EF =2EC .【总结升华】正确作出垂线,构造全等三角形是解决本题的关键. 举一反三:【变式】已知Rt △ABC 中,AC =BC ,∠C =90°,D 为AB 边的中点,∠EDF =90°,∠EDF 绕D 点旋转,它的两边分别交AC 、CB 于E 、F .当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时(如图1),易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△;当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时,在图2情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请写出你的猜想,不需证明.【答案】解:图2成立; 证明图2:过点D 作DM AC DN BC ⊥⊥, 则90DME DNF MDN ∠=∠=∠=°在△AMD 和△DNB 中,AMD=DNB=90A BAD BD ∠∠︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AMD ≌△DNB (AAS ) ∴DM =DN∵∠MDE +∠EDN =∠NDF +∠EDN =90°, ∴∠ MDE =∠NDF 在△DME 与△DNF 中,图2ADBCEMN F90EMD FDN DM DNMDE NDF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DME ≌△DNF (ASA ) ∴DME DNF S S =△△∴DEF CEF DMCN DECF S =S =S S .+△△四边形四边形 可知ABC DMCN 1S =S 2△四边形, ∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△ 类型三、全等三角形判定的实际应用4、(2015春•龙岗区期末)小强为了测量一幢高楼高AB ,在旗杆CD 与楼之间选定一点P .测得旗杆顶C 视线PC 与地面夹角∠DPC=36°,测楼顶A 视线PA 与地面夹角∠APB=54°,量得P 到楼底距离PB 与旗杆高度相等,等于10米,量得旗杆与楼之间距离为DB=36米,小强计算出了楼高,楼高AB 是多少米?【思路点拨】根据题意可得△CPD ≌△PAB (ASA ),进而利用AB=DP=DB ﹣PB 求出即可. 【答案与解析】解:∵∠CPD=36°,∠APB=54°,∠CDP=∠ABP=90°,∴∠DCP=∠APB=54°, 在△CPD 和△PAB 中∵,∴△CPD ≌△PAB (ASA ), ∴DP=AB ,∵DB=36,PB=10, ∴AB=36﹣10=26(m ), 答:楼高AB 是26米.【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用,根据题意得出△CPD ≌△PAB 是解题关键.附录资料:《三角形》全章复习与巩固(基础)知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形,理解并会应用三角形三边之间的关系.2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念,通过作三角形的三条高、中线、角平分线,提高学生的基本作图能力,并能运用图形解决问题.3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算,证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性,知道四边形没有稳定性,了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用.5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念;掌握多边形内角和及外角和,并能灵活运用公式解决有关问题,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步培养说理和进行简单推理的能力. 【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系:定理:三角形任意两边之和大于第三边;三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释:(1)理论依据:两点之间线段最短.(2)三边关系的应用:判断三条线段能否组成三角形,若两条较短的线段长之和大于最长线段的长,则这三条线段可以组成三角形;反之,则不能组成三角形.当已知三角形两边长,可求第三边长的取值范围. 2.三角形按“边”分类:⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段:(1)三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高.要点诠释:三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种:锐角三角形交点在三角形内;直角三角形交点在直角顶点;钝角三角形交点在三角形外.(2)三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线.要点诠释:一个三角形有三条中线,它们交于三角形内一点,叫做三角形的重心.中线把三角形分成面积相等的两个三角形.(3)三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释:一个三角形有三条角平分线,它们交于三角形内一点,这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定,那么三角形的形状大小就完全固定了,这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释:(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变,大小固定指三条边长不改变.(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用.例如,房屋的人字梁具有三角形的结构,它就坚固而稳定;在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板,构成一个三角形,就可以使栅栏门不变形.大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构,也是这个道理.(3)四边形没有稳定性,也就是说,四边形的四条边长确定后,不能确定它的形状,它的各个角的大小可以改变.四边形的不稳定性也有广泛应用,如活动挂架,伸缩尺.有时我们又要克服四边形的不稳定性,如在窗框未安好之前,先在窗框上斜着钉一根木板,使它不变形.要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理:三角形的内角和为180°.推论:1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质:(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.(2)三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角.3.三角形的外角和:三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释:多边形通常还以边数命名,多边形有n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形,其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等.要点诠释:各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件,二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形,四个角都相等的四边形也不一定是正方形,只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.要点诠释:(1)从n边形一个顶点可以引(n-3)条对角线,将多边形分成(n-2)个三角形;(2)n边形共有(3)2n n条对角线.要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式:n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3,n是正整数) .要点诠释:(1)一般把多边形问题转化为三角形问题来解决;(2)内角和定理的应用:①已知多边形的边数,求其内角和;②已知多边形内角和,求其边数.2.多边形外角和:n边形的外角和恒等于360°,它与边数的多少无关.要点诠释:(1)外角和公式的应用:①已知外角度数,求正多边形边数;②已知正多边形边数,求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系:①n边形的内角和等于(n-2)·180°(n≥3,n是正整数),可见多边形内角和与边数n有关,每增加1条边,内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1、定义:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌).这里的多边形可以形状相同,也可以形状不相同.要点诠释:(1)拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°;相邻的多边形有公共边.(2)用正多边形实现镶嵌的条件:边长相等;顶点公用;在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面,当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时,就能铺成一个平面图形.事实上,只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1.(2016•丰润区二模)若三角形的两条边长分别为6cm和10cm,则它的第三边长不可能为()A.5cm B.8cm C.10cm D.17cm【思路点拨】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围,进而得出答案.【答案与解析】解:∵三角形的两条边长分别为6cm和10cm,∴第三边长的取值范围是:4<x<16,∴它的第三边长不可能为:17cm.故选:D.【总结升华】此题主要考查了三角形三边关系,正确得出第三边的取值范围是解题关键.【高清课堂:与三角形有关的线段例1】举一反三【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3,4,5; (2) 3,5,9 ; (3) 5,5,8.【答案】(1)能;(2)不能;(3)能.2.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9.【总结升华】三角形的两边a 、b ,那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4,8,则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5,注:答案不唯一,填写大于4,小于12的数都对.类型二、三角形中重要线段3. (江苏连云港)小华在电话中问小明:“已知一个三角形三边长分别为4,9,12,如何求这个三角形的面积?”小明提示:“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) .【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段.解答本题首先应找到最长边,再找到最长边所对的顶点.然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高.【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高,并且三条高所在的直线交于一点.这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部. 举一反三【变式】如图所示,已知△ABC ,试画出△ABC 各边上的高.【答案】解:所画三角形的高如图所示.4.如图所示,CD 为△ABC 的AB 边上的中线,△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ,BC =8cm ,求边AC 的长.【思路点拨】根据题意,结合图形,有下列数量关系:①AD =BD ,②△BCD 的周长比 △ACD 的周长大3.【答案与解析】解:依题意:△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ,故有:BC+CD+BD-(AC+CD+AD)=3.又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线,∴ AD =BD ,即BC-AC =3.又∵ BC =8,∴ AC =5.答:AC 的长为5cm .【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD =BD 是解答本题的关键,另外对图形中线段所在位置的观察,找出它们之间的联系,这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法.举一反三【变式】如图所示,在△ABC 中,D 、E 分别为BC 、AD 的中点,且4ABC S △,则S 阴影为________.【答案】1类型三、与三角形有关的角5、(2014春•新泰市期末)已知:如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,AE 是∠BAC 平分线,∠B=50°,∠DAE=10°,(1)求∠BAE 的度数;(2)求∠C 的度数.【思路点拨】(1)根据AD 是BC 边上的高和∠DAE=10°,求得∠AED 的度数;再进一步根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解;(2)根据(1)的结论和角平分线的定义求得∠BAC 的度数,再根据三角形的内角和定理就可求得∠C 的度数.【答案与解析】解:(1)∵AD是BC边上的高,∴∠ADE=90°.∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°,∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°.∵∠B+∠BAE=∠AED,∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°.(2)∵AE是∠BAC平分线,∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°.∵∠B+∠BAC+∠C=180°,∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°.【总结升华】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质.【高清课堂:与三角形有关的角例1、】举一反三:【变式】已知,如图,在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是AC边上的高,求∠DBC的度数.【答案】解:已知△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得:x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中, BD是AC边上的高,∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°-90°-72°=18°类型四、三角形的稳定性6. 如图所示,木工师傅在做完门框后,为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD),这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解:三角形的稳定性.【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用.实际生活中,将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性.类型五、多边形内角和及外角和公式7.一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍,它是几边形?【思路点拨】本题实际告诉了这个多边形的内角和是.【答案与解析】设这个多边形是边形,则它的内角和是,∴,解得.∴这个多边形是十二边形.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数,根据条件列出关于的方程,求出的值即可,这是一种常用的解题思路.举一反三【变式】(2015•徐州)若正多边形的一个内角等于140°,则这个正多边形的边数是.【答案】9.解:∵正多边形的一个内角是140°,∴它的外角是:180°﹣140°=40°,边数:360°÷40°=9.类型六、多边形对角线公式的运用8.一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式,把边数代入计算即可.【答案与解析】解:∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线,∴十二个顶点可以画12×9条对角线,但每条对角线在每个顶点都数了一次,∴实际对角线的条数应该为12×9÷2=54(条)∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数,我们可以总结出规律条,牢记这个公式,以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数,要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三【变式】一个多边形共有20条对角线,则多边形的边数是().A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C;类型七、镶嵌问题9.分别用形状、大小完全相同的①三角形木板;②四边形木板;③正五边形木板;④正六边形木板作平面镶嵌,其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C【总结升华】用多边形组合成平面图形,实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.。
作弊?三角形9级全等三角形的经典模型(二)三角形8级全等三角形的经典模型(一)三角形7级 倍长中线与截长补短 满分晋级漫画释义3全等三角形的 经典模型(一)DCBA45°45°CBA等腰直角三角形数学模型思路:⑴利用特殊边特殊角证题(AC=BC 或904545︒︒°,,).如图1; ⑵常见辅助线为作高,利用三线合一的性质解决问题.如图2; ⑶补全为正方形.如图3,4.图1 图2图3 图4思路导航知识互联网题型一:等腰直角三角形模型ABCOMN AB COMN【例1】 已知:如图所示,Rt △ABC 中,AB =AC ,90BAC ∠=°,O 为BC 的中点,⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系(不要求证明)⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动,且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状,并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动,且在移动中保持AN =CM ,试判断⑵中结论是否依然成立,如果是请给出证明. 【解析】 ⑴OA =OB =OC⑵连接OA ,∵OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM∴△ANO ≌△CMO∴ON =OM∴∠=∠NOA MOC∴90∠+∠=∠+∠=︒NOA BON MOC BON ∴90∠=︒NOM∴△OMN 是等腰直角三角形 ⑶△ONM 依然为等腰直角三角形,证明:∵∠BAC =90°,AB =AC ,O 为BC 中点 ∴∠BAO =∠OAC =∠ABC =∠ACB =45°, ∴AO =BO =OC ,∵在△ANO 和△CMO 中,AN CM BAO C AO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ANO ≌△CMO (SAS ) ∴ON =OM ,∠AON =∠COM , 又∵∠COM -∠AOM =90°,典题精练A BCOMNFE DCB AN M 12A BCDEF3∴△OMN 为等腰直角三角形.【例2】 两个全等的含30,60角的三角板ADE 和三角板ABC ,如图所示放置,,,E A C 三点在一条直线上,连接BD ,取BD 的中点M ,连接ME ,MC .试判断EMC △的形状,并说明理由.【解析】EMC △是等腰直角三角形.证明:连接AM .由题意,得,90,90.DE AC DAE BAC DAB =∠+∠=∠=∴DAB △为等腰直角三角形. ∵DM MB =,∴,45MA MB DM MDA MAB ==∠=∠=. ∴105MDE MAC ∠=∠=, ∴EDM △≌CAM △.∴,EM MC DME AMC =∠=∠.又90EMC EMA AMC EMA DME ∠=∠+∠=∠+∠=. ∴CM EM ⊥,∴EMC △是等腰直角三角形.【例3】 已知:如图,ABC △中,AB AC =,90BAC ∠=°,D 是AC 的中点,AF BD ⊥于E ,交BC 于F ,连接DF . 求证:ADB CDF ∠=∠. 【解析】 证法一:如图,过点A 作AN BC ⊥于N ,交BD 于M .∵AB AC =,90BAC ∠=°, ∴345DAM ∠=∠=°. ∵45C ∠=°,∴3C ∠=∠. ∵AF BD ⊥,∴190BAE ∠+∠=° ∵90BAC ∠=°,∴290BAE ∠+∠=°. ∴12∠=∠.在ABM △和CAF △中, 123AB AC C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABM CAF △≌△.∴AM CF =. 在ADM △和CDF △中,M EDCBA MEDCBAM12A BCDEF 3P C B A PCBAD AD CD DAM C AM CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADM CDF △≌△. ∴ADB CDF ∠=∠.证法二:如图,作CM AC ⊥交AF 的延长线于M . ∵AF BD ⊥,∴3290∠+∠=°, ∵90BAC ∠=°, ∴1290∠+∠=°, ∴13∠=∠.在ACM △和BAD △中, 1390AC ABACM BAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩° ∴ACM BAD △≌△. ∴M ADB ∠=∠,AD CM = ∵AD DC =,∴CM CD =. 在CMF △和CDF △中, 45=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩CF CF MCF DCF CM CD ° ∴CMF CDF △≌△.∴M CDF ∠=∠ ∴ADB CDF ∠=∠.【例4】 如图,等腰直角ABC △中,90AC BC ACB =∠=,°,P 为ABC △内部一点,满足 PB PC AP AC ==,,求证:15BCP ∠=︒.【解析】 补全正方形ACBD ,连接DP ,易证ADP △是等边三角形,60DAP ∠=︒,45BAD ∠=︒, ∴15BAP ∠=︒,30PAC ∠=︒,∴75∠=︒ACP ,∴15BCP ∠=︒.【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型 在解有关等腰直角三角形中的一些问题,若遇到不易解决或解法比较复杂时,可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形,再利用正方形的一些性质来解,常常可以起到化难为易的效果,从而顺利地求解。
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)本文讲述了全等三角形的判定方法,重点是边角边和角边角。
边角边指两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,可以简写成“SAS”。
需要注意的是,必须是两边及其夹角,不能是两边和其中一边的对角。
例如,在图中的△ABC和△ABD中,虽然有一个角和两边相等,但是这两个三角形不全等。
但是在例1中,如果AC=AD,且∠CAB=∠DAB,则可以证明△ACB≌△ADB。
在例2中,如果AD∥BC,且∠ABC=∠DCB,AB=DC,AE=DF,则可以证明BF=CE。
角边角是指两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,可以简写成“ASA”。
例如,在例2中,如果AD平分∠BAC,且∠ABD=∠ACD,则可以直接判定△ABD≌△ACD。
在例3中,如果在Rt△ABC中,BC=2cm,CD⊥AB,且EC=BC,EF=5cm,则可以求出AE的长度。
除了边角边和角边角外,还有三种判定全等三角形的条件。
在例5中,如果在△ABC和△DEF中,AB=DE,BC=EF,且有一个角相等,则可以证明△ABC≌△DEF。
在例6中,如果AB∥DE,AB=DE,BF=CE,则可以证明△ABC≌△DEF。
在例7和例8中,分别是通过角平分线和垂线的判定方法来证明两个三角形全等。
总之,掌握全等三角形的判定方法对于解决几何问题非常重要。
1.如图所示,在三角形ABC中,已知AB=DC,∠ABC=∠DCB。
根据角角边相等可知,∠ACB=∠DCB。
又因为AB=DC,所以BC=AC。
因此,根据SSS(边边边)相等可知,△ABC≌△DCB。
同时,∠ACB=∠DCB,AC=BC=DC。
2.如图所示,在三角形ABD和ABF中,已知AD=AE,∠1=∠2,BD=CE。
根据角角边相等可知,∠ABD=∠BCE。
又因为AD=CE,所以BD=BE。
因此,根据SAS(边角边)相等可知,△ABD≌△BCE。
同时,∠ABD=∠BCE,AD=CE=BE。
田块互换合同协议书背景本协议书适用于甲方和乙方之间的田块互换事务。
甲方为现有土地的所有人, 乙方为有意与甲方进行田块互换的土地所有人。
本协议旨在规范田块互换的各项事宜, 确保双方权益的合理保护。
协议内容1.交换土地描述1.1 甲方拥有的土地: [详细描述甲方拥有的土地, 包括位置、面积等信息]1.2 乙方拥有的土地: [详细描述乙方拥有的土地, 包括位置、面积等信息]2.互换田块2.1 甲方同意将其拥有的土地(详见1.1小节)与乙方拥有的土地(详见1.2小节)进行互换。
2.2 互换后, 甲方将拥有乙方所有的土地, 并享有相应的权益。
2.3 互换后, 乙方将拥有甲方所有的土地, 并享有相应的权益。
3.权益和义务3.1 甲方的权益和义务:3.1.1 自互换之日起, 甲方需承担乙方现有土地的一切权益和义务, 包括但不限于土地后续维护和管理等。
3.2 乙方的权益和义务:3.2.1 自互换之日起, 乙方需承担甲方现有土地的一切权益和义务, 包括但不限于土地后续维护和管理等。
4.互换条件和程序4.1 互换条件:4.1.1 双方确认拥有的土地没有任何纠纷或法律争议。
4.1.2 双方同意进行互换, 并在本协议上签字确认。
4.2 互换程序:4.2.1 双方共同委托第三方地产估价机构对双方拥有的土地进行评估。
4.2.2 评估完成后, 双方确认土地评估结果并确定互换的比例和价值差额(如果存在)。
4.2.3 甲方和乙方共同起草互换合同, 并由双方共同签字确认。
4.2.4 甲方和乙方办理相关土地权籍调整手续, 并确保土地权益正式转移。
5.保密条款5.1 甲乙双方同意在互换谈判和执行过程中保持对本协议内容的保密, 不得向第三方披露。
5.2 保密期限为永久, 除非在法律允许的范围内或经对方书面同意, 否则不得泄露协议的任何信息。
6.争议解决6.1 一方违约应向对方支付相应的违约金。
6.2 双方应友好协商解决因本协议引起的任何争议或纠纷。
全等三角形判定一(SSS ,SAS )(提高)【学习目标】1.理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”,和判定方法2——“边角边”; 2.能把证明一对角或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等. 【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边边边” 全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.(可以简写成“边边边”或“SSS ”).要点诠释:如图,如果''A B =AB ,''A C =AC ,''B C =BC ,则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边” 1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS ”).要点诠释:如图,如果AB = ''A B ,∠A =∠'A ,AC = ''A C ,则△ABC ≌△'''A B C . 注意:这里的角,指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.如图,△ABC 与△ABD 中,AB =AB ,AC =AD ,∠B =∠B ,但△ABC 与△ABD 不完全重合,故不全等,也就是有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边”1、如图,在△ABC 和△ADE 中,AB =AC ,AD =AE ,BD =CE ,求证:∠BAD =∠CAE.【答案与解析】证明:在△ABD 和△ACE 中,AB AC AD AE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE (SSS )∴∠BAD =∠CAE (全等三角形对应角相等).【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等,综合应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD =∠CAE ,先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA 和△CAE ,然后证这两个三角形全等. 举一反三:【变式】已知:如图,AD =BC ,AC =BD.试证明:∠CAD =∠DBC.【答案】证明:连接DC ,在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边∴△ACD≌△BDC(SSS )∴∠CAD =∠DBC (全等三角形对应角相等)类型二、全等三角形的判定2——“边角边”2、如图,AD 是△ABC 的中线,求证:AB +AC >2AD .【思路点拨】延长AD 到点E ,使AD =DE ,连接CE .通过证全等将AB 转化到△CEA 中,同时也构造出了2AD .利用三角形两边之和大于第三边解决问题. 【答案与解析】证明:如图,延长AD 到点E ,使AD =DE ,连接CE .在△ABD 和△ECD 中,AD =DE ,∠ADB =∠EDC ,BD =CD . ∴△ABD ≌△ECD . ∴AB =CE . ∵AC +CE >AE ,∴AC +AB >AE =2AD .即AC +AB >2AD .【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路:(1)两点之间线段最短;(2)三角形的两边之和大于第三边.要证明AB +AC >2AD ,如果归到一个三角形中,边的大小关系就是显然的,因此需要转移线段,构造全等三角形是转化线段的重要手段.可利用旋转变换,把△ABD 绕点D 逆时针旋转180°得到△CED ,也就把AB 转化到△CEA 中,同时也构造出了2AD .若题目中有中线,倍长中线,利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法.3、已知,如图:在△ABC 中,∠B =2∠C ,AD ⊥BC ,求证:AB =CD -BD .【思路点拨】在DC 上取一点E ,使BD =DE ,则△ABD ≌△AED ,所以AB =AE ,只要再证出EC =AE 即可. 【答案与解析】证明:在DC 上取一点E ,使BD =DE ∵ AD ⊥BC ,∴∠ADB =∠ADE在△ABD 和△AED 中, BD =DE ,AD =AD . ∴△ABD ≌△AED (SAS ).∴AB =AE ,∠B =∠AED . 又∵∠B =2∠C =∠AED =∠C +∠EAC . ∴∠C =∠EAC .∴AE =EC .∴AB =AE =EC =CD —DE =CD —BD .【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想,就是利用翻折变换,构造的全等三角形,把条件集中在基本图形里面,从而使问题加以解决.如图,要证明AB =CD -BD ,AED C B把CD -BD 转化为一条线段,可利用翻折变换,把△ABD 沿AD 翻折,使线段BD 运动到DC 上,从而构造出CD -BD ,并且也把∠B 转化为∠AEB ,从而拉近了与∠C 的关系. 举一反三:【变式】已知,如图,在四边形ABCD 中,AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB 于E ,并且AE=12(AB +AD ),求证:∠B +∠D =180°.【答案】证明:在线段AE 上,截取EF =EB ,连接FC ,∵CE ⊥AB ,∴∠CEB =∠CEF =90° 在△CBE 和△CFE 中,CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△CBE ≌△CFE (SAS ) ∴∠B =∠CFE ∵AE =12(AB +AD ),∴2AE = AB +AD ∴AD =2AE -AB ∵AE =AF +EF ,∴AD =2(AF +EF )-AB =2AF +2EF -AB =AF +AF +EF +EB -AB =AF +AB -AB , 即AD =AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义)∴△AFC ≌△ADC (SAS ) ∴∠AFC =∠D∵∠AFC +∠CFE =180°,∠B =∠CFE. ∴∠AFC +∠B =180°,∠B +∠D =180°. 类型三、全等三角形判定的实际应用4、如图,公园里有一条“Z 字形道路ABCD ,其中AB ∥CD ,在AB ,BC ,CD 三段路旁各有一个小石凳E ,M ,F ,且BE =CF ,M 在BC 的中点.试判断三个石凳E ,M ,F 是否恰好在一条直线上?为什么?【答案与解析】三个小石凳在一条直线上 证明:∵AB 平行CD (已知)∴∠B =∠C (两直线平行,内错角相等) ∵M 在BC 的中点(已知) ∴BM =CM (中点定义) 在△BME 和△CMF 中BE CF B C BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BME ≌△CMF (SAS )∴∠EMB =∠FMC (全等三角形的对应角相等)∴∠EMF =∠EMB +∠BMF =∠FMC +∠BMF =∠BMC =180°(等式的性质) ∴E ,M ,F 在同一直线上【总结升华】对于实际应用问题,首先要能将它化成数学模型,再根据数学知识去解决. 由已知易证△BME ≌△CMF ,可得∠EMB =∠FMC ,再由∠EMF =∠EMB +∠BMF =∠FMC +∠BMF =∠BMC =180°得到E ,M ,F 在同一直线上. 【巩固练习】 一、选择题1. 如图,已知AB =AC ,D 为BC 的中点,结论:①AD ⊥BC ;②AD 平分∠BAC ;③∠B =∠C ;④△ABC 是等边三角形.其中正确的是( ). A.①② B. ②③ C. ①②③ D. ③④2.如图,AD 是ABC ∆的中线,E 、F 分别是AD 和AD 延长线上的点,且DE DF =,连接BF 、CE ,下列说法:①CE BF =;② ABD ∆和ACD ∆的面积相等;③//BF CE ;④ BDF ∆≌CDE ∆,其中正确的有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个3. AD为△ABC中BC边上的中线, 若AB=2, AC=4, 则AD的范围是( )A .AD<6 B. AD>2 C. 2<AD<6 D. 1<AD<34.如图,AB=DC,AD=BC,E、F是DB上两点,且BF=DE,若∠AEB=120°,∠ADB=30°,则∠BCF=().A.150°B.40°C.80°D.90°5. 根据下列条件能唯一画出△ABC的是()A.AB=3,BC=4,AC=8B.AB=4,BC=3,∠A=30°C.AB=5,AC=6,∠A=45°D. ∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°6. 如图,在△ABC中,∠A=50°,∠B=∠C,点D,E,F分别在AB,BC,AC上,并且BD=CE,BE=CF,则∠DEF等于()A.50°B.60°C. 65°D. 70°二、填空题7. 如图,AB=CD,AC=DB,∠ABD=25°,∠AOB=82°,则∠DCB=_________.8. 如图,△ABC是三边均不等的三角形,DE=BC,以D、E为两个顶点画位置不同的三角形,使所作的三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以画个.9. 如图,已知AE=AF,AB=AC,若用“SAS”证明△AEC≌AFB,还需要条件 .10. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD互相平分,则图中全等三角形共有_____对.11. 如图所示,BE⊥AC于点D,且AD=CD,BD=ED,若∠ABC=54°,则∠E=°.AA BB的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳),12. 把两根钢条','如图,若测得AB=5厘米,则槽宽为厘米.三、解答题13. 如图,将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A、B、D三点共线,AB=CB,EB=DB,∠ABC=∠EBD=90°),连接AE、CD,试确定AE与CD的位置与数量关系,并证明你的结论.14. 如图, ∠B=∠C, BD=CE, CD=BF.求证: ∠EDF = 90︒-12∠A15. 已知:如图,BE、CF是△ABC的高,且BP=AC,CQ=AB,求证:AP⊥AQ.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C【解析】由SSS证全等可得①②③是正确的.2. 【答案】D;3. 【答案】D;【解析】用倍长中线法;4. 【答案】D;【解析】证△ABE≌△CDF,△ADE≌△BCF;5. 【答案】C;【解析】A不能构成三角形,B没有SSA定理,D没有AAA定理.6. 【答案】C;【解析】证△DBE≌△ECF,∠DEF=180°-∠DEB-∠FEC=180°-∠DEB-∠BDE=∠B =180502︒-︒=65°.二.填空题7. 【答案】66°;【解析】可由SSS 证明△ABC ≌△DCB ,∠OBC =∠OCB =82412︒=︒,所以∠DCB = ∠ABC =25°+41°=66°8. 【答案】4;【解析】在DE 的两侧可以各画2个. 9. 【答案】∠EAB =∠FAC ; 【解析】答案不唯一. 10.【答案】4;【解析】△AOD ≌△COB ,△AOB ≌△COD ,△ABD ≌△CDB ,△ABC ≌△CDA. 11.【答案】27;【解析】可证△ADB ≌△CDB ≌△CDE. 12.【答案】5;三.解答题13.【解析】AE =CD ,并且AE ⊥CD 证明:延长AE 交CD 于F ,∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形 ∴AB =AC ,BD =BE 在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD (SAS ) ∴AE =CD ,∠1=∠2又∵∠1+∠3=90°,∠3=∠4(对顶角相等) ∴∠2+∠4=90°,即∠AFC =90° ∴AE ⊥CD14.【解析】证明:在△ABC 中,∠B =∠C , ∴∠B =90︒-12∠A 在△DBF 和△ECD 中BD CE B C BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DBF ≌△ECD (SAS ) ∴∠BFD =∠CDE∴∠EDF =180°-∠BDF -∠CDE =180°-(∠BDF +∠BFD )=∠B =90︒-12∠A .15.【解析】证明:∵BE ⊥AC ,CF ⊥AB (已知)∴∠ACF +∠BAC =90°,∠ABE +∠BAC =90°,(三角形内角和定理) ∠ACF =∠ABE (等式性质)在△ACQ 和△PBA 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BP AC ABP ACF AB CQ ∴△ACQ ≌△PBA (SAS )∴∠Q =∠BAP (全等三角形对应角相等)∵CF ⊥AB (已知) ∴∠Q +∠QAF =90°,(垂直定义) ∴∠BAP +∠QAF =90°,(等量代换)∴AP ⊥AQ.(垂直定义)。
人教版数学八年级上期第十二章全等三角形证明题提高篇——位置关系1.如图1,AB⊥BD,DE⊥BD,点C是BD上一点,且BC=DE,CD=AB.(1)试判断AC与CE的位置关系,并说明理由;(2)如图2,若把△CDE沿直线BD向左平移,使△CDE的顶点C与B重合,此时第(1)问中AC与BE的位置关系还成立吗?(注意字母的变化)2.如图,在△ABC中,AC=BC,D是AB上的一点,AE⊥CD于点E,BF⊥CD于点F.若CE=BF,AE=EF+ BF,试判断AC与BC的位置关系,并说明理由.3.如图,△ADC中,DB是高,点E是DB上一点,AB=DB,EB=CB,M,N分别是AE,CD上的点,且AM=DN.(1)求证:△ABE≌△DBC.(2)探索BM和BN的位置关系,并证明你的结论.4.如图,BE、CF是△ABC的高且相交于点P,AQ // BC交CF延长线于点Q,若BP=AC,CQ=AB.(1)试找理由说明△ACQ≌△PBA;(2)线段AP与AQ的位置关系如何?说明理由.5.如图,在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,C,D,E三点在同一条直线上,连结BD.(1)求证:BD=CE;(2)BD、CE有何位置关系?请证明你的结论.6.如图,四边形ABCD中,CD=BC=2AB,AB∥CD,∠B=90°,E是BC的中点,AC与DE相交于点F,连接AE.(1)求证:△ABC≌△ECD;(2)判断线段AC与DE的数量关系及位置关系,并说明理由;(3)若AB=2,试求△ADE的面积.7.如图所示,点D是等腰Rt△ABC的斜边BC上一动点,连接AD,作等腰Rt△ADE,使AD=AE,且∠DAE=90°连接BE、CE.(1)判断BD与CE的数量关系与位置关系,并进行证明;(2)当四边形ADCE的周长最小值是6时,求BC的值.8.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC.(1)问线段EC与BF数量关系和位置关系?并给予证明.(2)连AM,请问∠AME的大小是多少,如能求写出过程;不能求,写出理由.9.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点.将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合,连结BE、EC.(1)求证:△ABE≌△DCE.(2)试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.10.如图,Rt△ABC≌Rt△CED(∠ACB=∠CDE=90°),点D在BC上,AB与CE相交于点F.(1)如图1,直接写出AB与CE的位置关系;(2)如图2,连接AD交CE于点G,在BC的延长线上截取CH=DB,射线HG交AB于K,求证:HK=BK.11.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,D为AB的延长线上的一点,点E在BC边上,且BD=BE,连接AE、DE、DC .(1)△ABE与△CBD全等吗?请说明理由;(2)猜想AE与CD的位置关系,并证明你的结论.12.以点A为顶点作两个等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,AB=AC,AE=AD,如图1所示放置,使得一直角边重合,连接BD,CE.(1)在图1中,直接写出线段BD与EC的关系(数量关系、位置关系)(2)如图2放置,上面的结论还成立吗?请说明理由(3)在图2中,连接AF,求证:AF平分∠EFB.13.如图,△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,F为EC的中点,连接AF.写出AF与BD的数量关系和位置关系,并说明理由.14.如图,在△ABC中,DA⊥AB,AD=AB,EA⊥AC,AE=AC.(1)试说明△ACD≌△AEB;(2)若∠ACB=90°,连接CE,①说明EC平分∠ACB;②判断DC与EB的位置关系,请说明理由.15.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=∠AED=90°,∠EAD=∠EDA=45°,AE=ED,AC=2AB,D是AC的中点,试猜想线段BE和EC的关系(关系包括数量关系和位置关系),并证明你的猜想.16.如图所示,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E三点在同一直线上,连接BD.(1)求证:△BAD≌△CAE;(2)试猜想BD,CE有何特殊位置关系,并证明.17.我们知道,如果两个三角形全等,则它们面积相等,而两个不全等的三角形,在某些情况下,可通过证明等底等高来说明它们的面积相等.已知△ABC与△DEC是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,连接AD、BE.(1)如图1,当∠BCE=90°时,求证S△ACD=S△BCE(2)如图2,当0°<∠BCE<90°时,上述结论是否仍然成立?如果成立,请证明;如果不成立,说明理由.(3)如图3,在(2)的基础上,如果G点为AD 的中点,连接CG,延长GC交BE于F,试猜想GF与BE的位置关系,并证明你的结论.。
1一,证明边或角相等方法:证明两条线段相等或角相等,如果这两条线段或角在两个三角形内,就证明这两个三角形全等;如果这两条线段或角在同一个三角形内,就证明这个三角形是等腰三角形;如果看图时两条线段既不在同一个三角形内,也不在两个全等三角形内,那么就利用辅助线进行等量代换,同样如果角不在同一个三角形内,也不在两个全等三角形内,也是用等量代换(方法是:(1)同角(等角)的余角相等(2)同角(等角)的补角相等,此类型问题一般不单独作一大题,往往是通过得出角相等后用来证明三角形全等,而且一般是在双垂直的图形中)1.已知,如图,AB ⊥AC ,AB =AC ,AD ⊥AE ,AD =AE 。
求证:BE =CD 。
2.如图,在四边形ABCD 中,E 是AC 上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6.3.已知:如图△ABC 中,AB=AC ,BD ⊥AC ,CE ⊥AB ,BD 、CE 交于H 。
求证:HB=HC 。
2、如图, 已知:AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF .求证:AC=EF .A ED C B654321E DCBAFGE D CBAFMNE 1234134****70432EDC BA 二.证明线段和差问题 (形如:AB+BC=CD,AB=AD - CD)证明两条线段和等于另一条线段,常常使用截长补短法。
①截长法即为在这三条最长的线段截取一段使它等于较短线段中的一条,然后证明剩下的一段等于另一条较短的线段。
②补短法即为在较短的一条线段上延长一段,使它们等于最长的线段,然后证明延长的这一线段等于另一条较短的线段。
证明两条线段差等于另一条线段,只需把差化成和来解决即可。
1.如图,已知AD ∥BC ,∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ,CE 的连线交AP 于D .求证:AD +BC =AB .2、如图,已知:△ABC 中,∠BAC =90, AB =AC ,AE 是过A 一直线,且点B 、C 在AE 的异侧,BD ⊥AE 于D ,CE ⊥AE 于E . 求证:BD =DE +CE ;3、如图,AB ∥CD ,DE 平分∠ADC ,AE 平分∠BAD ,求证:AB=AD - CD三.证明线段的2倍或21关系 ( AB CE =2, MN BN =12) P E D CB A134****704331. 利用含30角的直角三角形的性质证明例1. 已知,如图1,∆ABC 是等边三角形,在AC 、BC 上分别取点D 、E ,且AD =CE ,连结AE 、BD 交于点N ,过B 作BM AE ⊥,垂足为M ,求证:MN BN =12(提示:先证∠=BNE 60)2. 利用等线段代换(充分利用中点)例1.如图,△ABC 中,∠BAC =90度,AB =AC ,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延长线于F . 求证:BD =2CE .3.转化为线段和问题,利用截长补短法例5. 已知:如图5,四边形ABCD 中,∠=D 90,对角线AC 平分∠BAD ,AC BC =,求证:AD AB =12四.证明二倍角关系利用三角形外角和定理和等量代换如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线,且AB =AC +CD ,求证:∠C =2∠B FE DCB ADCBA134****7043 4。
人教版八年级上册数学全等三角形(提升篇)(Word版含解析)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,AB=10cm,点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,则P,A(P,A两点不重合)两点间的最短距离为______cm.-【答案】10310【解析】解:连接BD,在菱形ABCD中,∵∠ABC=120°,AB=BC=AD=CD=10,∴∠A=∠C=60°,∴△ABD,△BCD都是等边三角形,分三种情况讨论:①若以边BC为底,则BC垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意,此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”,即当点P与点D重合时,PA最小,最小值PA=10;②若以边PB为底,∠PCB为顶角时,以点C为圆心,BC长为半径作圆,与AC相交于一点,则弧BD(除点B外)上的所有点都满足△PBC是等腰三角形,当点P在AC上时,AP-;最小,最小值为10310③若以边PC为底,∠PBC为顶角,以点B为圆心,BC为半径作圆,则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形,当点P与点A重合时,PA最小,显然不满足题意,故此种情况不存在;-(cm).综上所述,PA的最小值为10310-.故答案为:10310点睛:本题考查菱形的性质、等边三角形的性质,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.2.△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠D=90°,6.现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起,使△ABC保持不动,△DEF运动,且满足点E在边BC上运动(不与B,C重合),边DE始终经过点A,EF与AC交于点M.在△DEF 运动过程中,若△AEM能构成等腰三角形,则BE的长为______.【答案】363【解析】【分析】分若AE=AM 则∠AME=∠AEM=45°;若AE=EM;若MA=ME 则∠MAE=∠AEM=45°三种情况讨论解答即可;【详解】解:①若AE=AM 则∠AME=∠AEM=45°∵∠C=45°∴∠AME=∠C又∵∠AME>∠C∴这种情况不成立;②若AE=EM∵∠B=∠AEM=45°∴∠BAE+∠AEB=135°,∠MEC+∠AEB=135°∴∠BAE=∠MEC在△ABE和△ECM中,BBAE CENAE EIIC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE≌△ECM(AAS),∴CE=AB6,∵AC=BC2AB=3∴BE=36;③若MA=ME 则∠MAE=∠AEM=45°∵∠BAC=90°,∴∠BAE=45°∴AE平分∠BAC∵AB=AC,∴BE=1BC=3.2故答案为23﹣6或3.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定,掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键.3.如图,在△ABC和△DBC中,∠A=40°,AB=AC=2,∠BDC=140°,BD=CD,以点D为顶点作∠MDN=70°,两边分别交AB,AC于点M,N,连接MN,则△AMN的周长为___________.【答案】4【解析】【分析】延长AC至E,使CE=BM,连接DE.证明△BDM≌△CDE(SAS),得出MD=ED,∠MDB=∠EDC,证明△MDN≌△EDN(SAS),得出MN=EN=CN+CE,进而得出答案.【详解】延长AC至E,使CE=BM,连接DE.∵BD=CD ,且∠BDC=140°,∴∠DBC=∠DCB=20°,∵∠A=40°,AB=AC=2,∴∠ABC=∠ACB=70°,∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°,同理可得∠NCD=90°,∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°,在△BDM 和△CDE 中,BM CE MBD ECD BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩==,=∴△BDM ≌△CDE (SAS ),∴MD=ED ,∠MDB=∠EDC ,∴∠MDE=∠BDC=140°,∵∠MDN=70°,∴∠EDN=70°=∠MDN ,在△MDN 和△EDN 中,MD ED MDN EDN DN DN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩==,=∴△MDN ≌△EDN (SAS ),∴MN=EN=CN+CE ,∴△AMN 的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4;故答案为:4.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识;证明三角形全等是解题的关键.4.如图,在ABC 中,点A 的坐标为()0,1,点B 的坐标为()0,4,点C 的坐标为()4,3,点D在第二象限,且ABD与ABC全等,点D的坐标是______.【答案】(-4,2)或(-4,3)【解析】【分析】【详解】把点C向下平移1个单位得到点D(4,2),这时△ABD与△ABC全等,分别作点C,D关于y轴的对称点(-4,3)和(-4,2),所得到的△ABD与△ABC全等.故答案为(-4,2)或(-4,3).∠内任意一点,OP=5 cm,点M和点N分别是射线OA和射线5.如图,点P是AOB++的最小值是5 cm,则AOBOB上的动点,PN PM MN∠的度数是__________.【答案】30°【解析】试题解析:分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,如图所示:∵点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C,∴PM=DM,OP=OD,∠DOA=∠POA;∵点P关于OB的对称点为C,∴PN=CN ,OP=OC ,∠COB=∠POB ,∴OC=OP=OD ,∠AOB=12∠COD , ∵PN+PM+MN 的最小值是5cm ,∴PM+PN+MN=5,∴DM+CN+MN=5,即CD=5=OP ,∴OC=OD=CD , 即△OCD 是等边三角形,∴∠COD=60°,∴∠AOB=30°.6.如图,1AB A B =,1112A B A A =,2223A B A A =,3334A B A A =,…,当2n ≥,70A ∠=︒时,11n n n A A B --∠=__________.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出121B A A ∠,232B A A ∠及343B A A ∠的度数,再找出规律即可得出11n n n A A B --∠的度数.【详解】解:∵在1ABA ∆中,70A ∠=︒,1AB A B =∴170BA A A ∠==︒∠∵1112A A A B =,1BA A ∠是121A A B ∆的外角∴12111211703522B A A A B A BA A ︒∠=∠===︒∠ 同理可得,2321217017.542B A A BA A ︒∠===︒∠,343131708.7582B A A BA A ︒∠===︒∠ ∴111702n n n n A A B ---︒∠=. 故答案为:1702n -︒ 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质,根据特殊情况找出规律是解题关键.7.如图,△ABC中,AB=8,AC=6,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E,则△ADE的周长为_____.【答案】14.【解析】【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质得BD=DF,CE=EF,则△ADE的周长=AB+AC=14.【详解】∵BF平分∠ABC,∴∠DBF=∠CBF,∵DE∥BC,∴∠CBF=∠DFB,∴∠DBF=∠DFB,∴BD=DF,同理FE=EC,∴△AED的周长=AD+AE+ED=AB+AC=8+6=14.故答案为:14.【点睛】此题考查角平分线的性质,平行线的性质,等腰三角形的等角对等边的性质.8.如图,在第一个△A1BC中,∠B=30°,A1B=CB,在边A1B上任取一D,延长CA2到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D,在边A2B上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第三个△A2A3E,…按此做法继续下去,第n个等腰三角形的底角的度数是_____度.【答案】1752n - 【解析】 【分析】 先根据∠B =30°,AB =A 1B 求出∠BA 1C 的度数,在由A 1A 2=A 1D 根据内角和外角的关系求出∠DA 2A 1的度数,同理求出∠EA 3A 2=754,∠FA 4A 3=758,即可得到第n 个等腰三角形的底角的度数=1752n . 【详解】∵在△ABA 1中,∠B =30°,AB =A 1B ,∴∠BA 1C =1802B ︒-∠=75°, ∵A 1A 2=A 1D ,∠BA 1C 是△A 1A 2D 的外角, ∴∠DA 2A 1=12∠BA 1C =12×75°=37.5°; 同理可得,∠EA 3A 2=754,∠FA 4A 3=758, ∴第n 个等腰三角形的底角的度数=1752n . 故答案为1752n -. 【点睛】 此题考查等腰三角形的性质,利用等边对等角求出等腰三角形底角的度数.9.如图,已知AB=A 1B ,A 1B 1=A 1A 2,A 2B 2=A 2A 3,A 3B 3=A 3A 4,…若∠A=70°,则锐角∠A n 的度数为______.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.【详解】在△1ABA 中,AB=A 1B ,∠A=70°可得:∠1BAA =∠1BA A =70°在△112B A A 中,A 1B 1=A 1A 2可得:∠112A B A =∠121A A B根据外角和定理可得:∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B∴∠112A B A =∠121A A B =702︒ 同理可得:∠232A A B =2702︒ ∠343A A B =3702︒ …….以此类推:∠A n =1702n -︒ 故答案为:1702n -︒. 【点睛】本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索,准确识图,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..10.如图,在平面直角坐标系中,点 A,B 的坐标分别是(1,5)、(5,1), 若点 C 在 x 轴上,且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形,则这样的 C 点共有_____________个【答案】5【解析】【分析】分别以A、B为圆心,AB为半径画圆,及作AB的垂直平分线,数出在x轴上的点C的数量即可【详解】解:由图可知:点 C 在 x 轴上,且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形,则这样的 C 点共有5个故答案为:5【点睛】本题考查了等腰三角形的存在性问题,掌握“两圆一线”找等腰三角形是解题的关键二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)11.已知:如图,点D ,E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上,AE 与BD 相交于点F ,给出下面四个条件:①∠1=∠2;②AD=BE ;③AF=BF ;④DF=EF ,从这四个条件中选取两个,不能判定△ABC 是等腰三角形的是( )A .①②B .①④C .②③D .③④【答案】C【解析】【分析】 根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可.【详解】选取①②:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 ={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定的应用,关键是熟练地运用定理进行推理,是一道开放性的题目,能培养学生分析问题的能力.12.如图,ABC ,分别以AB 、AC 为边作等边三角形ABD 与等边三角形ACE ,连接BE 、CD ,BE 的延长线与CD 交于点F ,连接AF ,有以下四个结论:①BE CD =;②FA 平分EFC∠;③FE FD=;④FE FC FA+=.其中一定正确的结论有()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据等边三角形的性质证出△BAE≌△DAC,可得BE=CD,从而得出①正确;过A作AM⊥BF于M,过A作AN⊥DC于N,由△BAE≌△DAC得出∠BEA=∠ACD,由等角的补角相等得出∠AEM=∠CAN,由AAS可证△AME≌△ANC,得到AM=AN,由角平分线的判定定理得到FA平分∠EFC,从而得出②正确;在FA上截取FG,使FG=FE,根据全等三角形的判定与性质得出△AGE≌△CFE,可得AG=CF,即可求得AF=CF+EF,从而得出④正确;根据CF+EF=AF,CF+DF=CD,得出CD≠AF,从而得出FE≠FD,即可得出③错误.【详解】∵△ABD和△ACE是等边三角形,∴∠BAD=∠EAC=60°,AE=AC=EC.∵∠BAE+∠DAE=60°,∠CAD+∠DAE=60°,∴∠BAE=∠DAC,在△BAE和△DAC中,∵AB ADBAE DACAE AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BAE≌△DAC(SAS),∴BE=CD,①正确;过A作AM⊥BF于M,过A作AN⊥DC于N,如图1.∵△BAE≌△DAC,∴∠BEA=∠ACD,∴∠AEM=∠ACN.∵AM⊥BF,AN⊥DC,∴∠AME=∠ANC.在△AME和△ANC中,∵∠AEM=∠CAN,∠AME=∠ANC,AE=AC,∴△AME≌△ANC,∴AM=AN.∵AM⊥BF,AN⊥DC,AM=AN,FA平分∠EFC,②正确;在FA上截取FG,使FG=FE,如图2.∵∠BEA=∠ACD,∠BEA+∠AEF=180°,∴∠AEF+∠ACD=180°,∴∠EAC+∠EFC=180°.∵∠EAC=60°,∴∠EFC=120°.∵FA平分∠EFC,∴∠EFA=∠CFA=60°.∵EF=FG,∠EFA=60°,∴△EFG是等边三角形,∴EF=EG.∵∠AEG+∠CEG=60°,∠CEG+∠CEF=60°,∴∠AEG=∠CEF,在△AGE和△CFE中,∵AE ACAEG CEF EG EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AGE≌△CFE(SAS),∴AG=CF.∵AF=AG+FG,∴AF=CF+EF,④正确;∵CF+EF=AF,CF+DF=CD,CD≠AF,∴FE≠FD,③错误,∴正确的结论有3个.故选C.【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质,正确作辅助线是解答本题的关键.13.如图所示,在ABC 中,AC BC =,90ACB ︒∠=,AD 平分BAC ∠,BE AD ⊥交AC 的延长线F ,E 为垂足.则有:①AD BF =;②CF CD =;③AC CD AB +=;④BE CF =;⑤2BF BE =,其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4【答案】D【解析】【分析】 利用全等三角形的判定定理及其性质以及等腰三角形的三线合一的性质逐项分析即可得出答案.【详解】解:∵AC BC =,90ACB ︒∠=∴45CAB ABC ︒∠=∠=∵AD 平分BAC ∠∴22.5BAE EAF ︒∠=∠=∵90EAF F FBC F ︒∠+∠=∠+∠=∴EAF FBC ∠=∠∴ADC BFC ≅∴AD=BF ,CF=CD ,故①②正确;∵CD=CF,∴AC+CD=AC+CF=AF∵67.5F ︒∠=∵18018067.54567.5ABF F CAB ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=∴AF=AB ,即AC+CD=AB ,故③正确;由③可知,三角形ABF 是等腰三角形,∵BE AD ⊥∴12BE BF = 若BE CF =,则30CBF ∠=︒与②中结论相矛盾,故④错误;∵三角形ABF 是等腰三角形,∵BE AD ⊥∴12 BE BF∴BF=2BE,故⑤正确;综上所述,正确的选项有4个.故选:D.【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理及其性质,等腰三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,掌握以上知识点是解此题的关键.14.如图,∠AOB=60°,点P是∠AOB内的定点且OP=3,若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点,则△PMN周长的最小值是()A 36B33C.6 D.3【答案】D【解析】分析:作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB于M、N,如图,利用轴对称的性质得MP=MC,NP=ND,3∠BOP=∠BOD,∠AOP=∠AOC,所以∠COD=2∠AOB=120°,利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小,作OH⊥CD于H,则CH=DH,然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可.详解:作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB于M、N,如图,则MP=MC,NP=ND,3∠BOP=∠BOD,∠AOP=∠AOC,∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC,∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°,∴此时△PMN周长最小,作OH⊥CD于H,则CH=DH,∵∠OCH=30°,∴OH=1233OH=3 2 ,∴CD=2CH=3.故选D.点睛:本题考查了轴对称﹣最短路线问题:熟练掌握轴对称的性质,会利用两点之间线段最短解决路径最短问题.15.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠A =30°,在直线AC 上取一点P ,使得△PAB 为等腰三角形,则符合条件的点P 共有( )A .6个B .5个C .4个D .3个【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论.【详解】解:根据题意,∵△PAB 为等腰三角形,∴可分为:PA=PB ,PA=AB ,PB=AB 三种情况,如图所示:∴符合条件的点P 共有4个;故选择:C.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题,其关键是根据等腰三角形的判定定理解答.16.如图,Rt ABC ∆中,90ACB ∠=,3AC =,4BC =,5AB =,将边AC 沿CE 翻折,使点A 落在AB 上的点D 处;再将边BC 沿CF 翻折,使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处,两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ,则线段EF 的长为( )A .52B .125C .4D .53【答案】B【解析】【分析】先利用折叠的性质证明出△ECF 是一个等腰直角三角形,因此EF=CE ,然后再根据文中条件综合得出S △ABC =12AC∙BC=12AB∙CE ,求出CE 进而得出答案即可. 【详解】根据折叠性质可知:CD=AC=3,BC=B C '=4,∠ACE=∠DCE ,∠BCF=∠B 'CF ,CE ⊥AB , ∴∠DCE+∠B 'CF=∠ACE+∠BCF ,∵∠ACB=90°,∴∠ECF=45°,又∵CE ⊥AB ,∴△ECF 是等腰直角三角形,∴EF=CE , 又∵S △ABC =12AC∙BC=12AB∙CE , ∴AC∙BC=AB∙CE , ∵3AC =,4BC =,5AB =,∴125CE =, ∴EF 125=. 所以答案为B 选项.【点睛】本题主要考查了直角三角形与等腰三角形性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.17.如图,已知等边△ABC 的边长为4,面积为3D 为AC 的中点,点E 为BC 的中点,点P 为BD 上一动点,则PE+PC 的最小值为( )A.3 B.42C.23D.43【答案】C【解析】【分析】由题意可知点A、点C关于BD对称,连接AE交BD于点P,由对称的性质可得,PA=PC,故PE+PC=AE,由两点之间线段最短可知,AE即为PE+PC的最小值.【详解】解:∵△ABC是等边三角形,点D为AC的中点,点E为BC的中点,∴BD⊥AC,EC=2,连接AE,线段AE的长即为PE+PC最小值,∵点E是边BC的中点,∴AE⊥BC,∴PE+PC的最小值是224223-=.-=22AC E C故选C.【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题,熟知等边三角形的性质是解答此题的关键.18.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这个三角形为特异三角形.若△ABC是特异三角形,∠A=30°,∠B为钝角,则符合条件的∠B有()个.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】【详解】如下图,当30°角为等腰三角形的底角时有两种情况:∠B=135°或90°,当30°角为等腰三角形的顶角时有一种情况:∠B=112.5°,所以符合条件的∠B有三个.又因为∠B为钝角,则符合答案的有两个,故本题应选B.点睛:因为不确定这个等腰三角形的底边,所以应当以点A为一个确定点进行分类讨论:①当以B为顶点时,即以B为圆心,AB长为半径画弧交AC于点D,构成等腰△BAD;②当以点A为顶点时,即以点A为圆心,AB长为半径画弧,交AC于点D,构成等腰△ABD;或作线段AB的垂直平分线交AC于点D构成等腰△DAB.19.如图,在△ABC中,BI,CI分别平分∠ABC,∠ACB,过I点作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,给出下列结论:①△DBI是等腰三角形;②△ACI是等腰三角形;③AI平分∠BAC;④△ADE周长等于AB+AC.其中正确的是( )A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】①∵IB平分∠ABC,∴∠DBI=∠CBI.∵DE∥BC,∴∠DIB=∠CBI,∴∠DBI=∠DIB,∴BD=DI,∴△DBI是等腰三角形.故本选项正确;②∵∠BAC不一定等于∠ACB,∴∠IAC不一定等于∠ICA,∴△ACI不一定是等腰三角形.故本选项错误;③∵三角形角平分线相交于一点,BI ,CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线,∴AI 平分∠BAC .故本选项正确;④∵BD =DI ,同理可得EI =EC ,∴△ADE 的周长=AD +DI +EI +AE =AD +BD +EC +AE =AB +AC . 故本选项正确;其中正确的是①③④.故选C .【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质,熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键.20.如图,在平面直角坐标系中,A(1,2),B(3,2),连接AB ,点P 是x 轴上的一个动点,连接AP 、BP ,当△ABP 的周长最小时,对应的点P 的坐标和△ABP 的最小周长分别为( )A .(1,0),224+B .(3,0),224+C .(2,0), 25D .(2,0),252+【答案】D【解析】 作A 关于x 轴的对称点N (1,-2),连接BN 与x 轴的交点即为点P 的位置,此时△ABP 的周长最小.设直线BN 的解析式为y kx b =+,∵N (1,-2),B (3,2),∴232k b k b +=-⎧⎨+=⎩ , 解得24k b =⎧⎨=-⎩, ∴24y x =-,当0y =时,240x -=,解得,2x =,∴点P 的坐标为(2,0);∵A (1,2),B (3,2),∴AB //x 轴,∵AN ⊥x 轴,∴AB ⊥x 轴,在Rt △ABC 中,AB =2,AN =4,由勾股定理得,BN ==∵AP =NP ,∴△ABP 的周长最小值为:AB +BP +AP =AB +BP +PN =AB +BN 故选D.点睛:本题考查最短路径问题.利用轴对称作出点P 的位置是解题的关键.。
H F ED CB A FED CBA 三角形全等的判定1.如图,点B ,E ,C ,F 在一条直线上,AB =DE ,AC =DF , BE =CF . 求证∠A =∠D .2.已知,如图,AB=AD ,DC=CB .求证:∠B=∠D 。
3.如图, AD =BC, AB =DC, DE =BF. 求证:BE =DF.4.如图,△ABC ≌△A B C ''',AD ,A D ''分别是△ABC ,△A B C '''的对应边上的中线,AD 与A D ''有什么关系?证明你的结论.5.如图,已知AC ⊥AB ,DB ⊥AB ,AC =BE ,AE =BD ,试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系,并证明你的结论.6.已知:如图AD ∥BC ,AD=CB ,AE=CF 。
求证:△AFD ≌△CEB .7.已知,如图,AB=AC ,AD=AE ,∠1=∠2。
求证:△ABD ≌△ACE .8.已知:如图,AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE .求证:BE ∥CF .9.如图, 在△ABC 中, 分别延长中线BE 、CD 至F 、H, 使EF =BE, DH =CD, 连结AF 、AH .求证:(1) AF =AH ; (2)点A 、F 、H 三点在同一直线上; (3)HF ∥BC.AC EDBAE B CFD 2 AC B ED 1AD C BA B C D E FA B C DEP Q N M 10.如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, AC =BC, 直线EF 交AC 于F, 交AB 于E, 交BC 的延长线于D, 连结AD 、BF, CF =CD. 求证:BF =AD, BF ⊥AD.11.证明:如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等,那么这两个三角形全等.(提示:首先分清已知和求证,然后画出图形,再结合图形用数学符号表示已知和求证)12.证明:如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等,那么这两个三角形全等.13.已知:如图,正方形ABCD ,BE =CF ,求证:(1)AE =BF ; (2)AE ⊥BF .14.已知:E 是正方形ABCD 的边长AD 上一点,BF 平分∠EBC ,交CD 于F ,求证BE=AE+CF.(提示:旋转构造等腰)15.如图,△ABD 和△ACE 是△ABC 外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=900.(1)判断CD 与BE 有怎样的数量关系;(2)探索DC 与BE 的夹角的大小.2.如图,∠ACB =90°,AC =BC ,BE ⊥CE ,AD ⊥CE 于D ,AD =2.5cm ,DE =1.7cm . 求BE 的长.3.已知,D 是△ABC 的边AB 上的一点,DE 交AC 于点E ,DE=FE ,FC ∥AB 。
全等三角形的有关证明(提高篇)关键:三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边(角)放入正确的三角形中”,去说明“相等的边(角)所在的三角形全等”,利用三角形全等来说明两个角相等(两条边相等)是初中里面一个非常常见而又重要的方法。
要说明两边相等,两角相等,最常用的方法就是说明三角形全等直角三角形的全等问题:直角三角形的研究是整个中学几何图形部分里的重点!直角三角形有关的全等问题中,除了特用的HL 定理之外,在条件的寻找上首先就有了一组直角相等;而多个直角,多个垂直的图形组合在一块时,就很容易利用“同(等)角的余角相等”来得到其他的角相等。
例一:图1,已知D O ⊥BC ,O C =O A ,O B =O D ,问CD =AB 吗? [分析]:此图形可看作绕O 点旋转得到,由垂直得到一组直角,把结合其他两组边,很容易找到他们所在的三角形。
[变形1]:请说明△BCE 是直角三角形。
(利用全等三角形的对应角相等,以及直角三角形的两个锐角互余这两个性质进行代换和转换)解:易得△AOB ≌△COD (此过程较简单,略过不描述)∴ ∠B=∠D (全等三角形的对应角相等) 又 ∠OAB=∠DAE (对顶角相等)而在Rt △AOB 中,∠OAB+∠B=90°(直角三角形的两个锐角互余) ∴ ∠DAE+∠D=90°(等量代换)∴ 在△ADE 中,∠DEA=180° (∠DAE+∠D )=90°(三角形内角和定理)∴ ∠BEC=90°(补角性质) 故△BCE 是直角三角形[变形2]:(2008 威海)把两个含有45°角的直角三角板如图1放置,点D 在BC 上,连结BE ,AD ,AD 的延长线交BE 于点F .求证:AF ⊥BE .[分析]:此图中要说明AF ⊥BE ,与上题中△BCE 是直角三角形是一样的意思,只需要说明∠BFD=90°即可 [变形3]:两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B C E ,,在同一条直线上,连结CD . (彩图为提示)(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母);(2)证明:CD ⊥BEC 图1图2B图1B[变形4]、如图2,在△ABC 中,高AD 与BE 相交于点H ,且AD=BD ,问△BHD ≌△ACD ,为什么?[分析]:此题实际上就是[变形1]的反问,已经存在一组直角(由垂直得到),一组相等的边(已知),再利用“同(等)角的余角相等”来得到第二组角相等![变形5]:如图3, 已知ED ⊥AB ,EF ⊥BC ,BD =EF ,问BM =ME 吗?说明理由。
经典全等三角形各种判定(提高版)1.三角形全等的判定一(SSS )1.如图,AB =AD ,CB =CD .△ABC 与△ADC 全等吗?为什么?2.如图,C 是AB 的中点,AD =CE ,CD =BE .求证△ACD ≌△CBE .3.如图,点B ,E ,C ,F 在一条直线上,AB =DE ,AC =DF,BE =CF . 求证∠A =∠D .CABACE2.三角形全等的判定二(SAS )1.如图,AC 和BD 相交于点O ,OA =OC ,OB =OD .求证DC ∥AB .2.如图,△ABC ≌△A B C ''',AD ,A D ''分别是△ABC ,△A B C '''的对应边上的中线,AD 与A D ''有什么关系?证明你的结论.3.如图,已知AC ⊥AB ,DB ⊥AB ,AC =BE ,AE =BD ,试猜想线段CE 与DE 的大小与位CD置关系,并证明你的结论.4.已知:如图,AD ∥BC ,AD=CB ,求证:△ADC ≌△CBA .5.已知:如图AD ∥BC ,AD=CB ,AE=CF 。
求证:△AFD ≌△CEB .6.已知,如图,AB=AC ,AD=AE ,∠1=∠2。
求证:△ABD ≌△ACE . AE B CF DA BCD2 AC B17.已知:如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:AC∥DF.8.已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE.求证:BE∥CF.9.如图, 在△ABC中, 分别延长中线BE、CD 至F、H, 使EF=BE, DH=CD, 连结AF、AH.求证:(1) AF=AH;AH F(2)点A 、F 、H 三点在同一直线上; (3)HF ∥BC.10.如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, AC =BC, 直线EF 交AC 于F, 交AB 于E, 交BC 的延长线于D, 连结AD 、BF, CF =CD. 求证:BF =AD, BF ⊥AD.AB C DE F11.证明:如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等,那么这两个三角形全等.(提示:首先分清已知和求证,然后画出图形,再结合图形用数学符号表示已知和求证)12.证明:如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等,那么这两个三角形全等.13.已知:如图,正方形ABCD,BE=CF,求证:(1)AE =BF ;(2)AE ⊥BF . 14.已知:E 是正方形ABCD 的边长AD 上一点,BF 平分∠EBC ,交CD 于F ,求证BE=AE+CF.(提示:旋转构造等腰)15.如图,△ABD 和△ACE 是△ABC 外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=900.(1)判断CD 与BE 有怎样的数量关系;(2)探索DC 与BE 的夹角的大小.(3)取BC 的中点M ,连MA ,探讨MA 与DE 的位置关系。
A B C D E FGFE DC A B3~4.三角形全等的判定三、四(ASA、AAS)1.如图,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD.求证AB=DE,AC=DF.2.如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD ⊥CE于D,AD=2.5cm,DE=1.7cm.求BE的长.A D EF3.已知,D 是△ABC 的边AB 上的一点,DE 交AC 于点E ,DE=FE ,FC ∥AB 。
求证:AE=CE 。
4.已知:如图 , 四边形ABCD 中 , AB ∥CD , AD ∥BC .求证:△ABD ≌△CDB5.如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, CE ⊥AB 于E, AF 平分∠CAB 交CE 于点F, 过F 作FD ∥BCA DBCFEA BCDEPQNM交AB 于点D. 求证:AC =AD.6.如图, AD ∥BC, AB ∥DC, MN =PQ. 求证:DE =BE.7.如图, 在ABC 中, ∠A =90°, BD 平分B, DE ⊥BC 于E, 且BE =EC,(1)求∠ABC 与∠C 的度数; (2)求证:BC =2AB.8.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,E是CD上一点,且AE、BE分别平分∠.(1)求证:AE⊥BE;(2)求证:E是CD的中点;(3)求证:AD+BC=AB.9.已知,如图Rt △ABC ,∠BAC =90°,AD ⊥BC ,D 为垂足,∠ABD 的平分线交AD 于E 点,EF ∥AC ,求证:AE =EF .10.△ABC 是等腰直角三角形 ,∠BAC=90°,AB=AC. ⑴若D 为BC 的中点,过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N , 求证:DM =DN 。
⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。
问DM 和DN 有何数量关系。
A B CED F MND C B A11.已知:C 点的坐标为(4,4),A 为y 轴负半轴上一动点,连CA ,CB ⊥CA 交x 轴于B 。
① 求证:CA =CB ;② 问OB -OA值。
MNDCBA12.已知A(-4,0),B(0,4),C(0,-4),过O作OM⊥ON分别交AB、AC于M、N两点。
①求证:OM=ON;②连MN,MN交x轴于Q,若M点的纵坐标为3,求M与N的坐标。
5.三角形全等的判定五(HL)1.如图,△ABC中,AB=AC,AD是高.求证:(1)BD=CD;(2)∠BAD=∠CAD.2.如图,AC⊥CB,DB⊥CB,AB =DC.求证:∠ABD=∠ACD.3.已知:如图,AB =CD ,DE ⊥AC ,BF ⊥AC ,E ,F 是垂足,DE BF =. 求证:(1)AF CE =;(2)AB CD ∥.4.如图,AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,且DB=DC ,求证:EB=FC5.如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别是E ,F ,BE =CF . 求证:AD 是△ABC 的角平分线.AD EC BF6.角的平分线的性质1.如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,OB=OC.求证∠1=∠2.2.如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上的一点,PD⊥OA交OA于D,PE⊥OB交OB 于E.F是OC上的另一点,连接DF,EF.求证DF=EF.3.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:AD是△ABC的角平分线.4.如图, 在ABC中, ∠A=90°, BD平分B, DE ⊥BC于E, 且BE=EC,(1)求∠ABC与∠C的度数;(2)求证:BC=2AB.7.倍长中线法与截长补短法1.在△ABC中,AB=5,AC=3,AD为BC边的中线,则AD的长的取值范围是().A.1<<4B.3<<5C.2<<3D.0<<52.AD是△ABC中BC边上的中线,AB=4,AC=6,则AD的取值范围是 .3.如图,△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=900.(1)判断CD与BE有怎样的数量关系;(2)探索DC与BE的夹角的大小.(3)取BC的中点M,连MA,探讨MA与DE的位置关系。
4.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,E是CD上一点,且AE、BE分别平分∠.(1)求证:AE⊥BE;(2)求证:E是CD的中点;O EDCBA(3)求证:AD +BC =AB .5.如图△ABC 中,∠A =500,AB >AC ,D 、E 分别在AB 、AC 上,且BD=CE ,∠BCD =∠CBE ,BE 、CD 相交于O 点,求∠BOC 的度数.6.△ABC 中,D 是BC 中点,DE ⊥DF ,E 在AB 边上,F 在AC 边上,判断并证明BE+CF 与EF 的大小?.7.已知:如图,在△ABC 中,∠A =90°,AB =AC ,∠1=∠2, 求证:BC =AB +AD . (分别用截长法和补短法各证一次)8.已知,如图,在正方形ABCD中A B CDEF ADFA21 CB DAB=AD,∠B=∠D=90°.(1)如果BE+DF=EF,求证:①∠EAF=45°;②FA平分∠DFE.(2)如果∠EAF=45°,求证:①BE+DF=EF.②FA平分∠DFE.(3)如果点F在DC的延长线上,点E在CBO FEDCBA EDCBA的延长线上,且DF -BE=EF ,求证:①∠EAF =45°;②FA 平分∠DFE .(画图并证明)全等三角形检测一.选择题:1.在△ABC 、△DEF 中如果∠C =∠D ,∠B =∠E ,要使△ABC ≌△FED ,还需要的条件是( ) A.AB=ED B.AB=FDC.AC=FDD.∠A =∠F 2.如图:AB ∥CD ,AD ∥BC ,AC 、BD 交于点O ,AE ⊥BD 于E ,CF ⊥BD 于F 点,那么图中全等三角形共有( ) A.5对 B.6对 C.7对D.8对3.如图,D 在AB 上,E 在AC 上且∠B =∠C ,那么补充下列一个条件后,仍无法判定△ABE≌△ACD的是()A.AD=AEB.∠AEB=∠ADCC.BE=CDD.AB=AC4.如图:某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块,现有要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是()A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去5.下列说法中,正确的个数是()①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;②两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等;③两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等;④有两边相等的直角三角形全等;⑤腰和一个角分别对应相等的两等腰三角形全等。
A.1个B.2个C.3个D.4个6.在△ABC中,AB=5,AC=3,AD为BC边的中线,则AD的长的取值范围是().A.1<<4B.3<<5C.2<<3A BC DEFD.0<<57.下列四个命题: ①直角三角形只有一条高线;②有两边对应相等的两个直角三角形一定全等;③两内角之差等于第三个内角的三角形必为直角三角形;④腰和底角对应相等的两个等腰三角形一定全等.其中正确的命题有( ). A.1个 B.2个C.3个D.4个8.等腰三角形周长为a ,一腰的中线将周长分成5:3两部分,则它的底边长为( ).A.6aB.2aC.6a或2a D.45a 9.下列条件中,能判断两个等腰三角形全等的条件的个数是( ).①顶角和一条腰对应相等; ②一条腰和底边对应相等;③顶角和底边对应相等; ④两条腰和底角对应相等. A.1个 B.2个 C.3个D.4个MEDCB AG FE DCBA P10.已知:如图,BD 为△ABC 的的角平分线,且BD =BC ,E 为BD 延长线上的一点,BE =BA ,过E 作EF ⊥AB ,F 为垂足. 下列结论:①△ABD ≌△EBC ; ②∠BCE +∠BCD =180°; ③AD =AE =EC ; ④BA +BC =2BF . 其中正确的是( ).A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④11.如图:已知AD ⊥AB ,AE ⊥AC ,AD =AB ,AE =AC 则下列结论:①∠DAC =∠BAE;②△DAC ≌△BAE ;③DC ⊥BE ;④MA 平分∠DME;O ED B A⑤△BMC≌△CEA;正确个数是()A.2个B.3个C.4个D.5个12.如图P是等腰Rt△ABC斜边AC上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥BC于F,PG⊥EF于G ,在GP的延长线上取一点D,使PD=PB,则BC与DC关系是()A.BC=DCB.BC=DC,且BC⊥DCC.BC>DCD.BC⊥DC二.填空题:13.AD是△ABC中BC边上的中线,AB=4,AC=6,则AD的取值范围是 .14.如图△ABC中,∠A=500,AB>AC,D、E分别在AB、AC上,且321E DC BAF7654321BD=CE ,∠BCD =∠CB E ,BE 、CD 相交于O 点,则∠BOC 的度数为 . 15.已知:如图,点A 在线段DE 上,点F 在线段AB 上,且∠1=∠2=∠3,要使得△ABC ≌△EDC ,需要添加的一个条件是 _____________(只需写出一个满足的条件) 16.已知△ABC 中,高AD 与高BE 交于H 点,BH =AC ,则∠ABC的度数等于 .17.如图,∠1=∠2=25°,∠3=∠4,∠5=∠6,则∠7= .18.有一张等腰三角形纸片, 若能从一个底角的顶点出发, 将其剪成两个等腰三角形纸片, 则原等腰三角形纸片的顶角为 度.EDCBA三.解答题:19.如图,已知:AB =AC ,AD =AE ,∠BAC =∠DAE . 求证:△ABD ≌△ACE .20.如图,AB =AD ,BC =DE ,∠1=∠2,求证:(1)AC =AE ;(2)∠CAE =∠CDEA BCDE2121.已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:AF=EF.22.如图,在四边形ABCD中,AC平分AB CDE F∠BAD ,过C 作CE ⊥AB 于E ,并且AE =21(AB +AD ).①求证:BC=DC .②求∠ABC +∠ADC 的度数.23.如图,△ABE 和△ACF 分别是以△ABC 的AB 、AC 为一边在形外所作的等边三角形,BF 与CE 相交于O .①求证:BF=EC .②求∠EOB 的度数.③求证:OA 平分∠EOF .E AABCDE。