弹塑性力学 第四章 弹性力学的求解方法

衡方程——位移法控制方程
2. 应力法：以应力作为基本未知量。将相容方程用 应力表示——应力控制方程
3. 应力函数法：先引入应力函数，相容方程用应力
函数表示——应力函数表示的控制方程。
1. 位移法：将几何方程代入物理方程，得到用位移
表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边
界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。不需要用
第四章 弹性力学问题的求解方法
§7-1 弹性力学基本方程
1. 平衡微分方程方程
x x
yx y
zx z
X
0
xy x
y y
zy z
Y
0
xz
yz
z
Z
0
x y z
2. 几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
yx
v x
u y
百度文库
yz
zy
w y
v
z
2G
3
2G
xy
xy G
yz
yz G
zx
zx G
✓ 各种弹性常数之间的关系
xyz
G 2 1 E , 1 E 1 2 ,K 3 1 E 2
4. 相容方程
2 x y2
2 y x2
2 xy xy
2 y z2
2 z y2
2 yz yz
2 z x2
2 x z2
几何方程 6个 本构方程 6个
共15个方程
15个基本方程求解15个未知量，数学上有解。
协调方程是应变解的条件，保证变形前后物体连续。
微分方程求解过程需要积分，积分常数由边界条件确 定。
§7-2 弹性力学求解方法
• 求解弹性力学问题有位移法、应力法和应力函 数法三种方法。
1. 位移法：以位移作为基本未知量用，位移表述平
二. 解的唯一性定理：
在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体， 其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚 体位移受到约束，则位移解也是唯一的。
无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方 程和边界条件，就一定是问题的真解。
三.圣维南原理: 提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则
此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。
提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该 力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离 的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可 忽略不计。
提法三：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效 的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，则离此区域较 远的部分所受影响可以忽略不计。
• 利用圣维南原理可放宽边界条件，扩大弹 性力学的解题范围。
实际结构件往往同时受到几组载荷作用，如果 直接求所有载荷作用下的弹性力学问题的解，可 能很复杂。而求单一载荷作用下的弹性力学问题 的解，一般更简单。
通过求不同单一载荷作用下的弹性力学问题的 解，再用叠加方法获得复杂载荷的解的过程称为 解的叠加原理。
叠加原理：弹性体受几组外力同时作用时的解 等于每一组外力单独作用时对应解的和。
END
2 zx xz
2
2 x yz
x
yz x
zx y
xy z
2
2 y zx
y
yz
x
zx y
xy z
2
2 z xy
z
yz
x
zx y
xy z
• 求解物理量：6个应力分量 6个应变分量 3个位移分量
共15个未知量
用于求解的方程：平衡微分方程 3个
相容方程。
G
2u x
(
G
)
x
X
0
G 2u y
(
G )
y
Y
0
G 2uz
(
G)
z
Z
0
2 x22 y22 z22
x y z
ux uy uz x y z
位移控制方程指标表示：
G 2 u i ( G )u j,ji F i 0
力边界条件也可用位移表述。
3个位移表述的平衡微分方程，包含3个位 移未知数。
结合边界条件，解上述方程，可求出位移分 量，由几何方程求应变，再由本构方程求应力。
2. 应力解法：将由应力表示的应变本构方程式代 入协调方程式，得应力表示的协调方程（应力控 制方程）。
2x
1
1
2I1 x2
0
2y
1
1
2I1 x2
0
2z
1
1
2I1 x2
0
2xy
1
1
2I1 xy
0
2yz
1
1
2I1 yz
说明：
1、数学上可证明, 当为线弹性小变形情况，求解的 基本方程和边界条件为线性，叠加原理成立。
2、对大变形情况，几何方程出现二次非线性项，平 衡微分方程将受到变形的影响，叠加原理不再适 用。
3、对非线弹性或弹塑形材料，应力应变关系是非线 性的，叠加原理不成立。
4、对载荷随变形而变的非保守力系或边界为 用非线性弹簧支承的情况，边界条件是非 线性的，叠加原理也将失效。
zx
xz
w x
u
z
ij12(ui,j uj,i)
3. 物理方程
x 2 G x y 2 G y
z 2 G z xy G xy
yz G yz
zx G zx
kkxyz
ij ij2G ij
x
x 2G
2G
3
2G
y
y 2G
2G
3
2G
z
z 2G
0
2zx
1
1
2I1 zx
0
2ij 11kk,ij 0
3. 应力函数法：先引入应力函数，满足微分平衡方
程。由微分平衡方程得应力函数与应力分量的关系， 再将用应力函数表示的应力分量代入相容方程，得到 一组用应力函数表示的相容方程，即应力函数表示的 控制方程。
§7-1 弹性力学解的性质
一、解的叠加原理