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北京市朝阳区高三年级二模
数学试卷（理工类）
2014．5
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
（1）已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2
{320}B x x x =∈-+ B = （A ）32x x ⎧⎫≥ ⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ （C ）{} 12x x << （D ）322x x ⎧⎫ <<⎨⎬⎩⎭ （2）如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是 （A ）33log log a b < （B ）11()()44 a b > （C ）11a b < （D ）22 a b < （3）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整 数a 的可能取值的集合是 （A ）{}1,2,3,4,5 （B ）{}1,2,3,4,5,6 （C ）{}2,3,4,5 （D ）{}2,3,4,5,6 （4）已知函数()π ()sin (0,0,)2 f x A x A ωϕωϕ=+>><的 部分图象如图所示，则ϕ= （A ）π6 - （B ）6π （C ）π3 - （D ）π 3 （5）已知命题p ：复数1i i z += 在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是 （A ）()()p q ⌝∧⌝ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）p q ∧ （6）若双曲线2 2 21(0)y x b b -=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则 双曲线离心率的取值范围是 （A ）(1,2] （B ）[2,)+∞ （C ） （D )+∞ （7）某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示． 若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是 （A ）60万元 （B ）80万元 （C ）90万元 （D ）100万元 （8）如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向 滚动．当△PMN 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位 置时，点P 的轨迹长度是 （A ） 83π （B ）163 π （C ）4π （D ）5π 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． （9）已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b ____． （10）5 (12)x -的展开式中3 x 项的系数为___．（用数字表示） （11）如图，AB 为圆O 的直径，2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延 长线于点C ，过点M 作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点，则AC BC ⋅=_____． （12）由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积 B A 是 ． （13）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24()n n S a n *=-∈N ，则n a = ； 数列2{log }n a 的前n 项和为 ． （14）若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,)+∞ 上是有界函数．下列函数 ①1()1f x x = -； ②2()1x f x x =+； ③ln ()x f x x =； ④()sin f x x x =， 其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分） 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3 A 2π = ，3b =，△ABC 的面积为 4 ． （Ⅰ）求边a 的长； （Ⅱ）求cos 2B 的值． （16）（本小题满分13分） A （第11题图） 2 2 俯视图 侧视图 正视图 （第12题图） 某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90， [)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计 从全市高中学生中任意选取一人，其参 加社区服务时间不少于90小时的概率； （Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ． （17）（本小题满分14分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是 正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PA ，BD 中点，2PA PD AD ===． （Ⅰ）求证：EF ∥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角E DF A --的余弦值； （Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点G ，使 GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的 位置；若不存在，说明理由． （18）（本小题满分13分） 已知函数21()e 1x f x ax +=-+，a ∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围． （19）（本小题满分14分） 服务时间/小时 F A B C D P E
