圆锥曲线的统一定义2

圆锥曲线的统一定义教案(苏教版选修2-1)2．5 圆锥曲线的统一定义●三维目标 1．知识与技能(1)圆锥曲线统一定义及其应用． (2)圆锥曲线的准线及其应用． 2．过程与方法(1)通过对圆锥曲线的统一定义的研究，体会三种曲线的内在统一性，培养学生归纳、总结能力．(2)通过对圆锥曲线统一定义的应用，培养学生对圆锥曲线的准线的理解，培养学生转换角度，认识问题的能力．(3)通过例题变式训练的求解，培养学生数学建模、解决问题的能力．体会特殊到一般，具体到抽象的认识规律．3．情感、态度与价值观在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念分析事物之间的联系，培养学生严谨的科学态度，勇于探索和敢于创新的科学精神．●重点难点重点：圆锥曲线统一定义的推导．难点：对圆锥曲线统一定义的理解与运用．(教师用书独具)●教学建议以前已学过求圆锥曲线的标准方程和利用圆锥曲线方程研究曲线几何性质的初步知识．本节是在这个基础上学习圆锥曲线的统一定义，研究它们的共同性质，使学生掌握这三种曲线的特点，以及它们之间的区别与联系，进一步熟悉和掌握坐标法．通过设计导学提纲引导学生做好课前预习，明确本节的重难点，主动思考，发现问题，在课堂上分组讨论交流，合作探究，展示交流成果，学生主讲，学生板书，学生点评，当堂进行达标测试，及时反馈学生知识掌握水平，从而完成预定教学目标．引导学生在探究中发现问题、研究问题并解决问题．在感性活动的基础上，上升到理性的数学知识的形成，养成良好学习习惯和思维习惯．●教学流程设置情景，导入新课．上课开始，先回顾椭圆、双曲线、抛物线的定义，提出问题，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l的(F不在l上)距离的比等于1的动点P的轨迹是抛物线，那么，当比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹又是什么呢？师生x－c2＋y2c互动，探求新知．思考：在推导椭圆标准方程时，我们得到一个变形式：＝a.a2－xc同学们能解释它的几何意义吗？设计说明：使学生学会从多个角度(如代数的、几何的角度)认识同一个对象．学生归纳圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．当01时，它表示双曲线；当e＝1时，它表示抛物线．设计说明：使学生对圆锥曲线的共同性质有理性的认识．通过例1及变式训练，使学生掌握已知准线求圆锥曲线方程的方法，领会准线、离心率与基本量之间的关系，掌握圆锥曲线统一定义的实质，认识到准线在统一定义中的重要性．通过例2及变式训练，使学生掌握圆锥曲线统一定义的应用，利用圆锥曲线的统一定义，可将曲线上一点到焦点与到准线的距离灵活转换，从而达到解题的目的．利用圆锥曲线的统一定义，在已知焦点坐标和准线方程情形下求解圆锥曲线的方程．通过例3及变式训练，使学生掌握焦点弦问题的求解方法，体会利用统一定义求解焦点弦长的简捷性，从而简化计算过程．通过易错易误辨析，体会圆锥曲线统一定义的严谨性，尤其对于椭圆、双曲线，利用统一定义时，要注意焦点与准线相对应．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成力基本能.课标解读 1.了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念．(重点) 2.理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．(难点) 【问题导思】圆锥曲线的统一定义如何求圆锥曲线的统一方程呢？【提示】如图，过点M作MH⊥l，H为垂足，圆锥曲线的统一定义可知M∈{M||FM|＝e|MH|}．取过焦点F，且与准线l垂直的直线为x轴，F(O)为坐标原点，建立直角坐标系．设点M的坐标为(x，y)，则|OM|＝x2＋y2. |MH|＝|x＋p|. x2＋y2＝e|x＋p|. 两边平方，化简得(1－e2)x2＋y2－2pe2x－p2e2＝0.这就是圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)在直角坐标系中的统一方程．1．平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．当01时，它表示双曲线；当e＝1时，它表示抛物线．其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线． x2y2a2y2x22．椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的准线方程为x＝±，2＋2＝1(a＞b＞0)的准线方程为yabcaba2＝±. cx2y2a2双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的准线方程为x＝±。

圆锥曲线第二定义内容及推论本系列将介绍圆锥曲线的基础知识。

圆锥曲线主要有椭圆、抛物线、双曲线。

下面主要介绍它们的定义、标准方程、几何性质和一些特征量。

同时，圆锥曲线的统一定义，即第二种定义，也将在下面介绍。

本文首发于如下：数学那些事sunsnow。

概述了双曲线的定义和几何性质。

1 双曲线定义1 第一定义平面内与两个定点f_1、f_2的距离之差的绝对值等于常数2a( 0 < 2a < |f_1f_2| )的点的轨迹称为双曲线。

即双曲线上的点m满足\left\|m f_{1}|-| m f_{2}\right\|=2 a \\其中f_1、f_2为双曲线的焦点，2c=|f_1f_2|为双曲线的焦距，2a为双曲线的实轴。

2 第二定义平面上到定点f与到定直线l距离之比为常数e( e>1 )的点的轨迹为双曲线。

其中，定点f为双曲线的焦点，定直线l为双曲线的准线，常数e为双曲线的离心率。

2 几何性质标准方程双曲线的标准方程为\begin{aligned} &\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\ &\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 \end{aligned} \\上面表达式所表示的双曲线焦点在x轴上；下面表达式所表示的双曲线焦点在y轴上。

可见，哪个坐标前面的系数为正，双曲线焦点就在哪个轴上。

下面以焦点在x轴上的双曲线为例进行介绍。

即：\begin{aligned} &\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \end{aligned} \\几何图形离心率双曲线的离心率e定义为e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1 +\frac{b^{2}}{a^{2}}} \\显然双曲线的离心率范围为 e>1 。

圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线是一种特殊的曲线，它的性质与普通的曲线有很大的不同。

它有一个共同的特性，即它们的线段是圆滑的，没有折点。

圆锥曲线的一个统一性质是它的曲线是由椭圆的切线组成的。

椭圆的切线是由两个相交的椭圆组成的，它们相交点的坐标是(
0,0)，切线的形状是一条抛物线，抛物线的方程式是
y=ax^2+bx+c。

这里a,b,c分别是抛物线的系数，x是抛物线的参数。

圆锥曲线的参数是一条椭圆的参数，参数是由两个圆组成的，一个圆在x轴上，另一个圆在y轴上。

圆锥曲线的方程式是x^2/a^2+y^2/b^2=
1，这里a和b是圆锥曲线的参数。

圆锥曲线的另一个统一性质是它的切线是一条直线。

这个直线的方程是y=mx+c，m是直线的斜率，c是直线的截距。

圆锥曲线的切线斜率m可以由方程式算出，m=2ax+b。

圆锥曲线的另一个统一特性是它的曲线是完整的，没有折点，也就是说它们是平滑的。

这是由于圆锥曲线的方程式是一
个二次方程，它的解是一个完整的曲线，没有折点，没有断点，也就是说它是一个完整的曲线。

总之，圆锥曲线有几个统一性质，它的曲线是由椭圆的切线组成的，它的切线是一条直线，它的曲线是完整的，没有折点，也没有断点，这也是它的一个重要特性。

这些特性使得圆锥曲线在几何图形中有着重要的作用，并且在工程学、物理学、数学等领域都有着重要的应用。

圆锥曲线公式及知识点总结圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e的点的轨迹。

数学里有很多公式，为了帮助大家更好的学习数学，小编特地为大家整理了圆锥曲线公式及知识点总结，希望对大家的数学学习有帮助。

圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²；y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

且当01时为双曲线。

圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)y²=2px(p>0)范围x∈[-a,a]x∈(-∞，-a]∪[a,+∞)x∈[0,+∞)y∈[-b,b]y∈Ry∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/cx=±a²/cx=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x—————离心率。

《圆锥曲线的统一定义》教学设计作者：姚圣海来源：《新课程·教研版》2010年第16期【教材分析】《圆锥曲线的统一定义》是苏教版高中数学选修2-1第二章第五节的内容。

本教科书对本章总体设计思路是“总—分—总”,即先从整体上认识圆锥曲线的概念,了解椭圆、双曲线和抛物线的内在关系,再运用方程思想分别研究椭圆、双曲线和抛物线的几何性质,进而通过统一定义从总体上进一步认识三种圆锥曲线的关系。

最后在学生对直线、圆及圆锥曲线的感性认识的基础上建立曲线方程的概念,并用方程观点认识和研究曲线交点等问题。

这一设计体现了数学的文化价值、科学价值及应用价值,反映了数学的美学意义,遵循了“适度形式化”的课程理念。

【教学目标】1.知识与技能目标:通过本节的学习,了解圆锥曲线的统一定义,掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法以及圆锥曲线的统一定义的简单应用。

2.过程与方法目标:教材通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线,通过观察、类比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质。

3.情感、态度与价值观目标:通过本节的学习,可以培养我们观察、猜想、归纳、推理的能力,感受圆锥曲线的统一美。

【重点与难点】重点:圆锥曲线统一定义的推导。

难点:对圆锥曲线统一定义的理解与运用。

【教法分析】将椭圆、双曲线的统一定义安排在学习抛物线之后集中处理,是从整体、统一以及追求和谐的理念出发的设计。

教学时以抛物线的定义作为新知识的生长点,设计了用电脑实验探索的问题情境,为猜想的形成提供足够的感性认识的基础。

再通过建立方程加以证实。

根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法以及圆锥曲线的统一定义的简单应用也需要学生掌握。

所以,在教学中也设计了形式多样的练习,如填表等,让学生在趣味中形成新的认知结构。

【学法分析】对圆锥曲线的统一定义和性质,鼓励学生根据方程形式、图形特征进行直觉猜想,通过对特殊情形的研究引发从特殊到一般的归纳猜想。

同时,也不忽视让学生适当运用方程等工具进行逻辑探索,从各个侧面、不同层次上提高学生的数学素养。

2 12丄2(X ∙ a)a y_ 2b2 2.22b丄 b2・・讨=X — Xa a圆锥曲线间的三个统一内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内在的和谐与统一，通过对圆锥曲 线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。

一、 四种圆锥曲线的统一定义动点P 到定点F 的距离到定直线L 的距离之比等于常数e,则当O ：：： e ：：： 1时， 动点P 的轨迹是椭圆：当e=1时，动点P 的轨迹是抛物线；当e 1时，动点P 的轨迹是双曲线；若e = O ,我们规定直线L 在无穷远处且P 与F 的距离为定值(非零)，则此时动点P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率，F 为 焦点，L 为准线。

二、 四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。

为了实现统一我们 把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们2的半通径为P ,则P =L 。

a2 2如图1 ,将椭圆罕■笃=1(a b O)按向量(a,O )平移a b二椭圆的方程可写成 y 2 = 2 px ' (e 2 -1) χ2( O ：：: e ：：: 1 )2 2类似的，如图2，将双曲线 —--^2 -1(a - O, b - O)按向量(-a, O)平移得到a b得到2(X -a)2a2 2bb2…y = X ~ Xaa•••椭圆的半通径 b 2 IF I M I |= p =—，ab 2~ =1 —eT 双曲线的半通径IF 2M 2I = L , b y =e 2 一1a a∙°∙双曲线方程可写成y = 2 px ∙ (e? 一 1)χ2 (e . 1)对于抛物线y 2 =2px(x .0) P 为半通径，离心率e =1，它也可写成2 2 2y 2 px (e -1) X (e =1)对于圆心在(P ，0)，半径为P 的圆，其方程为(X- p)2 + y 2 = p2，它也可 写成『=2 px 亠(e T)x?(^= 0)于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程y 2 =2px (e 2 -1)x 2 ,其中P 是曲线的半通径长，当e=0，0 ::： e ::： 1， e =1,e . 1时分别表示圆、椭圆、 抛物线、双曲线。

圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。

掌握圆锥曲线的相关知识对于解决数学问题和理解数学的应用具有重要意义。

一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。

（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。

3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。

（2）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。

点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。

（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。

二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。

（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。

圆锥曲线的统一定义一、椭圆的第二定义及其推导过程1.定义:当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()01ce e a=<<时,这个点的轨迹是椭圆.一般称之为椭圆的第二定义,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率. 2.推导过程:例1 点()M x y ,与定点()0F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数()0ca c a>>,求点M 的轨迹.解:设d 是点M 到直线l 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合|MF c P M d a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭. 由此得222()x c y c aa x c-+=-. 将上式两边平方,并化简,得22222222()()a c x a y a a c -+=-. 设222a cb -=,就可化成22221(0)x y a b a b+=>>.这是椭圆的标准方程,所以点M 的轨迹是长轴长为2a ,短轴长为2b 的椭圆. 二、双曲线的第二定义及其推导过程1.定义:当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()1ce e a=>时,这个点的轨迹是双曲线圆.一般称之为双曲线的第二定义,定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数e 是双曲线的离心率. 2.推导过程:例2 点()M x y ,到定点()0F c ，的距离和它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数()0cc a a>>,求点M 的轨迹. 解:设d 是点M 到直线l 的距离.根据题意,所求轨迹就是集合|MF c P M d a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭, 由此得222()x c y c aa x c-+=-,化简,得22222222()()c a x a y a c a --=-. 设222c a b -=,就可化为22221(00)x y a b a b-=>>,这是双曲线的标准方程,所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线(如图1).对于双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，,相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c =,根据双曲线的对称性,相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-,所以双曲线有两条准线.三、几点说明:1.圆锥曲线的统一定义:平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离之比等于常数e 的点的轨迹:0<e <1时, 它表示椭圆；e >1时, 它表示双曲线；e =1时, 它表示抛物线,这里e 为离心率, F 为焦点,l 为准线2.第二定义中的定直线是任意直线,定点也是任意的(不在定直线上),这样得到的圆锥曲线方程不一定是标准形式.3.应用圆锥的第二定义要把握两个关键点:①必须是点到焦点的距离与点到相应准线的距离的比；②必须是焦点距与对应准线距的比.四、第二定义的典型应用 1、直接应用与求焦点弦长.例 1 (1)椭圆22110064x y +=上有一点P ,它到椭圆的左准线的距离等于10,则点P 到它的右焦点的距离为 ；(2)过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,A x y B x y ,,,若126x x +=,则AB 的长为 .解:(1) 解:∵2210064a b ==，,∴22100646c a b =-=-=.∴63105c e a ===. 依椭圆的第二定义,设P 点到椭圆左焦点的距离为x ,则3105x =.∴6x =. ∴点P 到椭圆右焦点距离为210614⨯-=.(2)设AB 的中点为E,点A 、E 、B 在抛物线准线l :1x -=上的射影分别为G 、H 、M.由第二定义知:8)1(2x x 2|EH |2|BM ||AG ||BF ||AF ||AB |21=--+==+=+=. 2、求离心率及其取值范围.例2 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为1F ,右准线为l 1,若过F 1且垂直于x 轴的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离,求椭圆的离心率.解:如图,AB 是过F 1垂直于x 轴的弦,|C F |1为F 1到准线l 1的距离,AD ⊥l 1于D,则|AD|=|F 1C|,由题意知|AB |21|AF |1=.由椭圆的第二定义知:21|AB ||AB |21|C F ||AB |21|AD ||AF |e 11==== 例3 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>,12F F ,分别是左、右焦点,若椭圆上存在点P ,使∠F 1PF 2=90°,求椭圆的离心率e 的取值范围.解:设点P(00y x ，),则由第二定义得0201ex a c a x e |PF |+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=,0022ex a x c a e |PF |-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. 因为21F PF ∆为直角三角形,所以2212221|F F ||PF ||PF |=+.即222020c 4)c 2()ex a ()ex a (==-++解得2222e a c 2x -=,由椭圆方程中x 的范围知220a x 0≤≤.2222a e a c 20<-≤∴,解得1e 22<≤. 3、求点的坐标例4 双曲线2213y x -=的右支上一点P ,到左焦点F 1与到右焦点F 2的距离之比为2:1,求点P 的坐标.解:设点P(00y x ，)(0x 0>),双曲线的左准线为l 1:21x -=,右准线为l 2:21x =,则点P 到l 1、l 2的距离分别为21x d 21x d 0201-=+=，.所以,1221x 21x d d PF PF 002121=-+==,解得23x 0=. 将其代入原方程,得215y 0±=.因此,点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±21523，. 4、求最值例5 已知点()23A -，,设点F 为椭圆2211612x y +=的右焦点,点M 为椭圆上一动点,求2MA MF +的最小值,并求此时点M 的坐标.解:如图,过点A 作右准线l 的垂线,垂足为N,与椭圆交于点M.∵椭圆的离心率21e =∴由第二定义得|MN ||MF |2= ∴|MF |2|AM |+的最小值为|AN|的长,且1082|AN |=+=∴|MF |2|AM |+的最小值为10,此时点M 的坐标为(32,3).巩固练习:1.椭圆222214x y b b+=上一点到右准线的距离是23b ,则该点到椭圆左焦点的距离为 .解:设该椭圆的的左右焦点分别是12,F F ,该椭圆的离心率为3e =,由圆锥曲线的统一定义可知,23232332PF e b b b =⋅=⨯=所以,12443PF b PF b b b =-=-=即该点到椭圆左焦点的距离为b .2.点P 在椭圆225x +29y =1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P 的横坐标是_____.12253.椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则2PF 等于 .27解法一:(如下图)设椭圆的右焦点为F 1,左焦点为F 2,过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P .∵42x +y 2=1,∴a =2,b =1,c =3.∴F 1(3,0).设P (3,y P )代入42x +y 2=1,得y P =21,∴P (3,21),|PF 1|=21.又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4,∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=27.解法二:椭圆的左准线方程为x =－c a 2=－334.∵|)334(3|||2--PF =e =23,∴|PF 2|=27. 解法三:由解法一得P (3,21),又F 2(－3,0),∴|PF 2|=22)021()]3(3[-+--=27.4.如果双曲线264x －236y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8,那么P 到它的右准线距离是 .532解析:利用双曲线的第二定义知P 到右准线的距离为e 8=8×108=532. 5.点M 与点()4,0F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1,则点M 的轨迹方程为 . 解:可知原条件⇔M 点到(4,0)F 和到4x =-距离相等,由抛物线的定义,点M 的轨迹是以(4,0)F 为焦点,4x =-为准线的抛物线.∴8=p ∴所求方程是x y 162=.6.已知P 为抛物线24y x =上任一动点,记点P 到y 轴的距离为d ,对于给定点A (4,5),则PA d +的最小值为 .134-7.已知点()()3220A F ，,，,在双曲线2213y x -=上求一点P ,使12PA PF +的值最小.解:∵1a b ==，∴2c =,∴2e =.设点P 到与焦点(20)F ，相应的准线的距离为d ,则2PFd=, ∴12PF d =.∴12PA PF PA d +=+,该问题就转化为在双曲线上求点P ,使点P 到定点A 的距离与到准线的距离和最小,即直线PA 垂直于准线时符合题意,∴23P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.8.定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动,设点M 为线段AB 的中点,求点M 到y 轴的最小距离. 解:抛物线焦点1(,0)4F ,准线l :14x =-, 设点A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ,设点00(,)M x y , 则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+≥,又11111||(||||)||22MM AA BB AB =+≥, 又101|4MM x =+,||3AB =,∴01342x +≥,所以054x ≥,即0x 的最小值是54.∴点M 到y 轴的最小距离是54,当且仅当AB 过点F 是取得最小距离.9.已知双曲线22x a -22y b=1的离心率e >12+,左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为l ,能否在双曲线的左支上找一点P ,使得212PF PF d =⋅(其中d 是P 到l 的距离)?解:设在左支上存在P 点,使|PF 1|2=|PF 2|·d ,由双曲线的第二定义知d PF ||1=||||12PF PF =e ,即|PF 2|=e |PF 1|. ①再由双曲线的第一定义,得|PF 2|－|PF 1|=2a . ②由①②,解得|PF 1|=12-e a ,|PF 2|=12-e ae ,∵|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|,∴12-e a +12-e ae≥2c . ③ 利用e =ac,由③得e 2－2e －1≤0,解得1－2≤e ≤1+2.∵e >1, ∴1<e ≤1+2与已知e >1+2矛盾.∴在双曲线的左支上找不到点P ,使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项.10.已知点P 在双曲线221169x y -=上,并且P 到这条双曲线的右准线的距离恰好是P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,求P 点的横坐标.M1M。

圆锥曲线知识点一、圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过该定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。

其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率。

当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e ＞1时，轨迹为双曲线。

二、椭圆、双曲线、抛物线椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F 1,F 2的距离之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（0<e<1）1．到两定点F 1F 2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F 1F 2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：({M ｜｜MF 1+｜MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜2a}点集：{M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜.=±2a,｜F 2F 2｜＞2a}.点集{M ｜ ｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}. 图形标准方程12222=+b y a x ( a>b>0) 12222=-b y a x (a>0,b>0) px y 22=有界性 ─a ≤x ≤a ，─b ≤y ≤b |x| ≥ a ，y ∈R x ≥0 中心对称性 原点O （0，0） 原点O （0，0） 顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0), (-a,0) (0,0)对称轴x 轴，y 轴；长轴长2a,短轴长2bx 轴，y 轴;实轴长2a, 虚轴长2b. x 轴焦点F 1(c,0), F 2(─c,0)F 1(c,0), F 2(─c,0))0,2(p F 准 线x=±ca 2准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=±ca 2准线垂直于实轴，在两顶点的内侧.x=-2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.Abc 关系 a 2=b 2+c 2 c 2= a 2 + b 21、 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0） 通径：a b 222、双曲线 22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ） 通径：a b 22（1）等轴双曲线：双曲线222a y x±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e .（2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-2222by a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-by ax .3、抛物线 ①x c by ay =++2顶点)244(2aba b ac --.②)0(22≠=p px y 则焦点半径2P x PF +=; )0(22≠=p py x 则焦点半径为2P y PF +=.③通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.。

曲线与方程【要点梳理】要点一：圆锥曲线的统一定义当点P 到定点(,0)F c 的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)cc a a >>时，这个点的轨迹是双曲线，方程为22221x y a b-=（其中222b c a =-），这个常数就是双曲线的离心率．这样，圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上） 的距离的比等于常数e 的点的轨迹．当01e <<时，它表示椭圆； 当1e >时，它表示双曲线； 当1e =时，它表示抛物线． 其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，与焦点12(,0),(,0)F c F c -对应的准线方分别为22,a a x x c c=-=． 要点二：曲线与方程概念的理解一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程,0f x y =（）的实数解建立了如下的关系：（1）曲线C 上所有点的坐标都是方程,0f x y =（）的解； （2）以方程,0f x y =（）的解为坐标的点都在曲线C 上.那么，方程,0f x y =（）叫做曲线C 的方程；曲线C 叫做方程,0f x y =（）的曲线. 要点诠释：（1）如果曲线C 的方程为,0f x y =（），那么点00(,)P x y 在曲线C 上的充要条件为00,0f x y =（）； （2）曲线C 可看成是平面上满足一定条件的点的集合，而,0f x y =（）正是这一定条件的解析表示.因此我们可以用集合的符号表示曲线C ：{(,)|,0}C x y f x y ==（）. （3）曲线C 也称为满足条件,0f x y =（）的点的轨迹.定义中的条件(1)叫轨迹纯粹性，即不满足方程,0f x y =（）的解的点不在曲线C 上；条件(2)叫做轨迹的完备性，即符合条件的所有点都在曲线上.“纯粹性”和“完备性”是针对曲线C 是否为满足方程,0f x y =（）的点的轨迹而言. （4）区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念，轨迹是“形”，轨迹方程是“数”．要点三：关于坐标法与解析几何1.解析几何是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题的一门数学学科.2.解析几何的两个基本问题：①根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； ②通过方程，研究平面曲线的性质.3.根据曲线与方程的关系可知，曲线与方程是同一关系下的两种不同的表现形式.曲线的性质完全反映在它的方程上，而方程的的性质也完全反映在它的曲线上，这正好说明了几何问题与代数问题可以互相转化，这就是解析几何的基本思想方法，也就是数形结合，形与数达到了完美的统一.我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法，又称解析法. 定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x ，y ）所满足的方程(,)0f x y =表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.要点四：求曲线方程①建系：建立适当的直角坐标系； ②设点：设动点坐标P(x,y)；③列式：写出动点P 满足的几何条件，把条件坐标化，得方程F(x, y)=0；④化简：化方程F(x, y)=0为最简形式，特殊情况，予以补充说明，删去增加的或者补上丢失的解； ⑤证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线是。

圆锥曲线与方程知识点详细圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。

它们在数学、物理等领域都有着广泛的应用。

接下来，让我们详细了解一下圆锥曲线与方程的相关知识点。

一、椭圆1、定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

2、标准方程焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为椭圆的长半轴长，＄b$为椭圆的短半轴长，＄c ＝＼sqrt{a^2 b^2}＄为半焦距。

焦点在$y$轴上：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$）。

3、椭圆的性质（1）范围：对于焦点在$x$轴上的椭圆，＄a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆，＄b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。

（2）对称性：椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。

（3）顶点：焦点在$x$轴上的椭圆的顶点为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上的椭圆的顶点为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b, 0)＄。

（4）离心率：＄e ＝＼frac{c}｛a}＄（＄0 ＜ e ＜ 1$），离心率反映了椭圆的扁平程度，＄e$越接近$0$，椭圆越圆；＄e$越接近$1$，椭圆越扁。

二、双曲线1、定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之差的绝对值等于常数（小于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

2、标准方程焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$，其中$a ＞ 0$，＄b ＞ 0$，＄c ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄。

圆锥曲线的统一定义学习目标：1.了解圆锥曲线的共同性质并能够解决简单问题.2.能够熟练运用直接法和定义法求曲线方程.课前预学阅读教材P55-56页内容，完成以下问题：问题1:我们通常把 、 、 统称为圆锥曲线.问题2: 圆锥曲线的统一定义椭圆:动点P 到定点F 的距离与到定直线l (不经过定点F )的距离之比是一个 的常数时,动点P 的轨迹是一个椭圆,定点F 是椭圆的 ,定直线l 是椭圆的一条准线,比值常数是椭圆的离心率.双曲线:动点P 到定点F 的距离与到定直线l (不经过定点F )的距离之比是一个 的常数时,动点P 的轨迹是一个双曲线,定点F 是双曲线的 ,定直线l 是双曲线的一条准线,比值常数是双曲线的离心率.抛物线:动点P 到定点F 的距离与到定直线l (不经过定点F )的距离之比 时,动点P 的轨迹是一个抛物线,定点F 是抛物线的 ,定直线l 是抛物线的 ,比值常数是抛物线的离心率.问题3:圆锥曲线的共同性质圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e.当 时,圆锥曲线是椭圆;当 时,圆锥曲线是双曲线;当 时, 圆锥曲线是抛物线.我的疑惑：预学检测1.动点M (x ,y )到定点F (5,0)的距离和它到定直线l :x=错误！未找到引用源。

的距离的比是错误！未找到引用源。

,则动点M 的轨迹形状是 .2.直线y=kx-k+1与椭圆14922=+y x 的位置关系是 . 3.若双曲线的一个焦点为F (0,2),相应准线方程是y=1,则双曲线方程是 .4.已知曲线上的点M (x ,y )到定点F (2,0)的距离和它到定直线l :x=8的距离相等,求曲线方程. 课堂探究【问题1】已知曲线上的点M (x ,y )到定点F (2,0)的距离和它到定直线l :x=8的距离的比是错误！未找到引用源。

, 求曲线方程.变式1：若双曲线错误！未找到引用源。

的一条渐近线和一条准线的交点是(1,错误！未找到引用源。

圆锥曲线的统一方程
根据圆锥曲线第二定义，到定点到定直线距离成比例
设定直线为ax+by+c=0，定点为(m,n)，比例为e（离心率）
则有
虽然这个式子已经能完全能表示任意圆锥曲线，但是含有根号，相当复杂设直线方程为y=kx+b
则k=tanθ，θ为直线与x轴的夹角
sinθ/cosθ=tanθ= k带入y=kx+b得
化简得xsinθ－ycosθ+d=0
则 |d| 为原点到直线xsinθ－ycosθ+d=0的距离
那么圆锥曲线的一般方程可以写成
焦点为(m,n)，离心率为e，准线为方程xsinθ－ycosθ+d=0
其中，θ为准线的倾斜角，|d| 为原点到准线的距离
当0<e<1时，为椭圆，半长轴：
当e=1时，为抛物线，半通径：
当e>1时，为双曲线，半长轴：。