优化设计案例分析
优化设计是在给定的设计指标和限制条件下,运用最优化原理和方法,在电子计算机上进行自动调优计算,从而选定出最优设计参数,使设计指标达到最优值。该最优设计参数就是一个最优设计方案。所谓设计指标,就机械设计而言,一般是指重量轻、能耗小、刚性大、成本低等;所谓限制条件,是指强度要求、刚度要求、尺寸范围要求等。
设计变量选择
一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本参数可以是构件尺寸等几何量，也可以是质量等物理量，还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量。在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基本参数，称作设计变量，又叫做优化参数。在充分了解设计要求的基础上，根据各设计参数对目标函数的影响程度分析其主次，尽量减少设计变量的数目，以简化优化设计问题。注意各设计变量应相互独立，避免耦合情况的发生，否则会使目标函数出现“山脊”或“沟谷”，给优化带来困难。
目标函数与约束的确定
对于一般机械，可按重量最轻或体积最小建立目标函数；对应力集中现象突出的构件，以应力集中系数最小为目标；对精密仪器，应按其精度最高或误差最小的要求建立目标函数。约束条件是就工程设计本身而提出的对设计变量取值范围的限制条件，目前尚无一套完整的评价方法来检验哪些约束是必须，哪些约束是可忽略的，通常是凭经验取舍，不可避免会带来模型和现实系统的不相吻合。在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。对于复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、完善的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为复杂。这时要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使问题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节省时间，有时也会改善优化结果。
数学模型确立
数学模型越精确，设计变量越多，维数越大，建模越复杂，优化进程越慢；但数学模型忽略过多元素，则难以确切凸现结构的特殊之处。故要结合工程实际和优化设计经验，把握与研究目标相关程度大的因素，尽可能的建立确切、简洁的数学模型。然后通过基于统计理论的检验方法———t 检验/F 检验/ X2检验/ 拟合优度检验等，分析模型的置信区间，对模型有效性进行评价，提高模型的准确度。
下面以机票销售策略案例进行说明
某航空公司每天有三个航班服务于A, B, C, H四个城市,其中城市H是可供转机使用的, 三个航班的出发地-目的地分别为AH, HB, HC,可搭乘旅客的最大数量分别为120人, 100人, 110人, 机票的价格分头等舱和经济舱两类. 经过市场调查,公司销售部得到了每天旅客的相关信息, 见表1. 该公司应该在每条航线上分别分配多少头等舱和经济舱的机票?
问题分析
公司的目标应该是使销售收入最大化, 由于头等舱的机票价格大于对应的经济舱的机票价格, 于是想到先满足所有头等舱的顾客需求:
AH 上的头等舱数量为33+24+12=69;
HB上的头等舱数量为24+44=68;
HC上的头等舱数量为12+16=28;
这种贪婪算法是否一定得到最好的销售计划?
模型建立
设起终点航线i (i=1,2,…,5) 上销售的头等舱机票数为xi ,销售的经济舱机票数为yi , 这就是决策变量.
目标函数
Max Z=190x
1+90y
1
+244x
2
+193y
2
+261x
3
+199y
3
+140x
4
+80y
4
+186x
5
+103y
5
约束条件
(1) 三个航班上的容量限制:
例如, 航班AH上的乘客应当是购买AH, AB, AC机票的所有旅客, 所以x1+ x2+ x3+ y1+ y2+ y3≤ 120,
同理, 有x2+ x4+ y2+ y4≤ 100,
x3+ x5+ y3+ y5≤ 110.
(2) 每条航线上的需求限制:
0 ≤ x1≤ 33, 0 ≤ x2≤ 24, 0 ≤ x3≤12, 0 ≤ x4≤ 44, 0 ≤ x5≤16,
0 ≤ y1≤ 56, 0 ≤ y2≤ 43, 0 ≤ y3≤ 67, 0 ≤ y4≤ 69, 0 ≤ y5≤17.
线性规划模型
Max Z=190x
1+90y
1
+244x
2
+193y
2
+261x
3
+199y
3
+140x
4
+80y
4
+186x
5
+103y
5
x1+x2+x3+y1+y2+y3≤120
x2+x4+y2+y4≤100
x3+x5+y3+y5≤110
0≤x1≤33，0≤x2≤24，
0≤x3≤12, 0≤x4≤44, 0≤x5≤16
0≤y1≤56, 0≤y2≤43, 0≤y3≤67
0≤y4≤69, 0≤y5≤17
编写Lingo 程序:
max=190*x1+90*y1+244*x2+193*y2+261*x3+199*y3+140*x4+80*y4+186*x5+103* y5;
x1+x2+x3+y1+y2+y3<=120;
x2+x4+y2+y4<=100; x3+x5+y3+y5<=110; x1<=33;x2<=24; x3<=12;x4<=44; x5<=16;
y1<=56;y2<=43; y3<=67;y4<=69; y5<=17; 求解结果为:
Global optimal solution found.
Objective value: 39334.00 Total solver iterations: 6 Variable Value Reduced Cost X1 33.00000 0.000000 Y1 0.000000 74.00000 X2 10.00000 0.000000 Y2 0.000000 51.00000 X3 12.00000 0.000000 Y3 65.00000 0.000000 X4 44.00000 0.000000 Y4 46.00000 0.000000 X5 16.00000 0.000000 Y5 17.00000 0.000000 最优解为:
航线AH, AB, AC, HB, HC 上分别销售33, 10, 12, 44, 16张头等舱机票, 0,0,65,46,17 张经济舱机票, 总收入为39344元.
模型建立
设起终点航线 i (i=1,2,…,5) 上销售的头等舱机票数为 xi ,销售的经济舱机票数为 yi , 这就是决策变量.
考虑5个起终点航线 AH, AB, AC, HB, HC, 依次编号为i (i=1,2,…,5), 相应的头等舱需求记为 ai , 价格记为 pi ;相应的经济舱需求记为 bi , 价格记为 qi .三个航班 AH, HB, HC 的顾客容量分别是:c1=120, c2=100, c3=110.
目标函数 Max
∑=+5
1
i i
i i
i y q x p
约束条件
(1) 三个航班上的容量限制:
例如, 航班AH 上的乘客应当是购买AH, AB, AC 机票的所有旅客 , 所以
x 1 + x 2 + x 3 + y 1 + y 2 + y 3 ≤ c 1 ,
同理, 有 x 2 + x 4 + y 2 + y 4 ≤ c 2 ,
x 3 + x 5 + y 3 + y 5 ≤ c 3 .
