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练习
1.点(2a, 1 a)在圆x2 + y2 = 4的内部,求实数 a 的 取值范围. 2.根据下列条件，求圆的方程：
（1）求过两点A(0,4)和B(4,6),且圆心在直线xy+1=0上的圆的标准方程。
（2）圆心在直线5x-3y=8上，又与两坐标轴相 切，求圆的方程。
（3）求以C(1,3)为圆心，且和直线3x-4y-7=0
程，并判断点 M1(5,7)， M2( 5,1)是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3，) 半径长等于5的圆的标准方程 是：
(x2)2(y3)225
把 M1(5,7的)坐标代入方程 (x2)2(y3)225 左右两边相等，点M 1 的坐标适合圆的方程，所以点
M
在这个圆上；
1
把点 M2( 5,1的)坐标代入此方程，左右两边不 相等，点 M的2坐标不适合圆的方程，所以点 M不2在 这个圆上．
跟踪训练 已知两点M(3,8)和N(5,2)． (1)求以MN为直径的圆C的方程； (2)试判断P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圆上，在 圆内，还是在圆外？
解：(1)法一：设圆心 C(a，b)，半径为 r， 则由 C 为 MN 的中点得 a＝3＋2 5＝4，b＝8＋2 2＝5， 由两点间的距离公式得
解2:设圆C的方程为 (xa)2(yb)2r2,
∵圆心在直线l:x-y+1=0上 圆经过A(1,1),B(2,-2)
待定系数法
a b1 0 (1a)2 (1b)2 r2
(2a)2 (2b)2 r2
a 3
b
2
r 5
圆 心 为 C 的 圆 的 标 准 方 程 为 ( x + 3 ) 2 ( y 2 ) 2 2 5 .
圆心在y轴上且过原点: x 2 + (y-b)2 = b2 (b≠0)
圆与x轴相切:
(x a)2 + (y-b)2 = b2 (b≠0)
圆与y轴相切:
(x a)2 + (y-b)2 = a2 (a≠0)
圆与x,y轴都相切: (x a)2 + (y±a)2 = a2 (a≠0)
典型例题
例1 写出圆心为 A(2,3)，半径长等于5的圆的方
(x-a)2+(y-b)2=r2
y M(x,y)
OC
x
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
想一想?
问题：是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合 这个方程的坐标的点都在圆上？
(xa)2(yb)2r2
点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标 适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这 就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上．
知识点一：圆的标准方程
y
标准方程
M(x,y)
(xa)2(yb)2r2
OC
x
圆心C(a,b),半径r 特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2y2 r2
应用举例 1.说出下列圆的方程： (1)圆心在点C(3, -4), 半径为7. (2) 经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3).
2. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径： (1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36 (2) x2 + y2 4x + 10y + 28 = 0 (3) (x a)2 + y 2 = m2
即：x-3y-3=0
联 立 直 线 l,C D 的 方 程 ： x x 3 y y 1 3 0 0 ,解 得 ： x y 3 2
∴圆心C(-3,-2)
rA C(13)2(12)25.
圆 心 为 C 的 圆 的 标 准 方 程 为 ( x + 3 ) 2 ( y 2 ) 2 2 5 .
r＝|CM|＝ 4－32＋5－82＝ 10，
∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.
.
9
知识探究二：点与圆的位置关系
探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关
系？
M
M
OM
O
O
点在圆内
点在圆上
|OM|<r
|OM|=r
(x0-a)2+(y0-b)2>r2; (x0-a)2+(y0-b)2=r2
点在圆外 |OM|>r
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
知识点二：点与圆的位置关系
点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
特殊位置的圆的方程:
圆心在原点:
x2 + y2 = r2 (r≠0)
圆心在x轴上:
(x a)2 + y2 = r2 (r≠0)
圆心在y轴上:
x2+ (y b)2 = r2 (r≠0)
圆过原点:
(x a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b2≠0)
圆心在x轴上且过原点: (x a)2 + y2 = a2 (a≠0)
解：设所求圆的方程为：
(xa)2(yb)2r2
待定系数 法
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5a)2 (1b)2 r2 (7 a)2 (3b)2 r2 (2a)2 (8b)2 r2
a 2,
b
3,
r 5 .
所求圆的方程为 (x2)2(y3)225
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在 直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在 直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
解:∵A(1,1),B(2,-2)
线 线 段 段 A A B B 的 的 垂 中 直 点 平 D ( 分 3 2 ,线 1 C 2 D ),的 k A 方 B 3 .1 ( x 3 ) . 23 2
4.1.1 圆的标准方程
y
OA
x
r
复习引入 探究新知
复习引入
问题1：平面直角坐标系中，如何确定一个 圆？
应用举例 课堂小结
圆心：确定圆的位置 半径：确定圆的大小
课后作业
探究新知
问题2：圆心是A(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。
(xa)2(yb)2r
