导数及其应用 复习课 教案

复习课(一) 导数及其应用导数的概念及几何意义的应用(1)近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能出现．(2)利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点．[考点精要]；)0x ′(f ＝k ，即求该点处的导数值：k 求斜率))0x (f ，0x (A 已知切点(1) ；k ＝)1x ′(f ，即解方程))1x (f ，1x (A ，求切点k 已知斜率(2) ，0x (A 时，常需设出切点k 的切线斜率为)不是切点))(1x (f ，1x (M 已知过某点(3)求解．f(x1)－f(x0)x1－x0＝k ，利用))0x (f ＝y ，则曲线x －1－x －e＝)x (f 时，≤0x 为偶函数，当)x (f 已知Ⅱ)全国卷( ]典例[f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．.x ＋1－x e＝)x －(f ，0＜x ，则－0＞x 设 ]解析[ ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，.x ＋1－x e＝)x (f ∴ ，1＋1－x e ＝)x ′(f 时，0＞x 当∵ 2.＝1＋1＝1＋1－1e＝′(1)f ∴ ∴曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.[答案] 2x －y ＝0[类题通法](1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．②如果已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． ＝y 与l 处的切线(1,1)在3x ＝y 曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，(2)．8)，－2－(的图象还有一个交点3x [题组训练])(处的切线方程为1)，－1－(在点xx ＋2＝y ．曲线1 A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2，2(x ＋2)2＝x′(x ＋2)－x(x ＋2)′(x ＋2)2＝′y ∵ A 解析：选 ，2＝2(－1＋2)2＝1＝－x ′|y ＝k ∴ ∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.＝a 相切，则1＋x 2)＋a (＋2ax ＝y 处的切线与曲线(1,1)在点x ln ＋x ＝y ．已知曲线2________.，1x＋1＝′y ∴，x ln ＋x ＝y ∵解析： 2.＝|x ＝1′y ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.相切，1＋x 2)＋a (＋2ax ＝y 与曲线1－x 2＝y ∵法一： ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax2＋(a ＋2)x ＋1，由 0.＝2＋ax ＋2ax ，得y 消去 8.＝a ，解得0＝a 8－2a ＝Δ由 ．1)＋0x 2)＋a (＋20ax ，0x (相切于点1＋x 2)＋a (＋2ax ＝y 与曲线1－x 2＝y 法二：设 ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，．2)＋a (＋0ax 2＝|x ＝x0′y ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－12，a ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧2ax0＋(a ＋2)＝2，ax20＋(a ＋2)x0＋1＝2x0－1，由 答案：8导数与函数的单调性(1)题型既有选择题、填空题也有解答题，若以选择题、填空题的形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性等问题。

高中数学导数复习课教案主题：导数复习目标：通过复习导数的基本概念和求导法则，帮助学生复习巩固导数的相关知识，提高他们的求导能力。

时间：1课时教学步骤：一、复习导数的基本概念1. 导数的定义：导数表示函数在某一点处的变化率，即函数的斜率。

2. 导数的符号表示：记为f'(x)，读作f prime of x。

3. 导数的几何意义：导数表示函数图像在某一点处的切线斜率。

二、求导法则的复习1. 常数函数的导数：f'(x) = 02. 幂函数的导数：f'(x) = nx^(n-1) （n为常数）3. 指数函数的导数：f'(x) = a^x * ln(a)4. 对数函数的导数：f'(x) = 1 / (x * ln(a))5. 三角函数的导数：sin'(x) = cos(x)，cos'(x) = -sin(x)，tan'(x) = sec^2(x)三、求导实例练习1. 求函数f(x) = x^2 + 2x的导数2. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数3. 求函数h(x) = ln(x)的导数四、求导技巧和综合练习1. 复合函数的求导法则2. 链式法则的应用3. 综合练习：求函数i(x) = (x^2 + 1) * e^x的导数五、作业布置1. 完成课堂练习题目2. 预习下节课内容，复习导数的基本概念和求导法则教学反思：本节课通过复习导数的基本概念和求导法则，帮助学生加深对导数的理解，提高他们的求导能力。

同时，通过实例练习和综合练习，巩固学生的求导技巧和应用能力。

在后续的教学中，需要加强对导数在实际问题中的应用，引导学生将导数与现实生活相结合，提升他们的数学建模能力。

高三文科数学第二轮复习专题导数教案文科数学第二轮专题导数及其应用（一）教学目标1、知识与技能：1、利用导数求函数的单调区间、极值和最值2、解决基本的含参问题2、过程与方法：利用导数研究函数，作出图形，再通过图形反馈函数的性质，进一步体会数形结合及分类讨论的思3、情感态度与价值观：这是一堂复习课，教学难度有所增加。

培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心。

强化讨论意识，不断提高解题的灵活性和变通性（二）重点、难点教学重点：利用导数求多项式函数的单调性极值和最值教学难点：含参的讨论教具准备：与教材内容相关的资料教学设想：通过学习，培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心。

强化讨论意识，不断提高解题的灵活性和变通性（三）教学过程一、学生自学自探1、某物体的运动方程为s(t) 5t2（位移单位：m，时间单位：s）则它在t＝2s时的速度是2、曲线y 4x x3在点(-1，-3)处的切线方程是3、求f(x) lnx 4x的单调增区间4、121f(x) x4 x3 x2 1的极值点是4325、函数y x4 4x 3在区间[-2,3]上的最小值为二、合作交流分小组讨论：回顾以前做过的题目思考、讨论以下问题1、利用导数求瞬时变化率常见的问题及解决方法？2、利用导数研究函数的切线方程的方法和步骤？高三文科数学第二轮复习专题导数教案3、利用导数研究函数的单调性的方法和步骤？4、利用导数研究函数极值的方法和步骤？5、利用导数研究函数的最值的方法和步骤？三、展示评价以小组为单位:展示讨论的结论，其他小组可以补充。

四、规律总结1、利用导数求瞬时速度、加速度问题：规律如下：路程对时间求导得到的是瞬时速度；瞬时速度对时间求导得到的是加速度。

s (t) v(t)，v (t) a(t)步骤如下：先求导，再把对应的时刻，带进导数式子，就是所求的某时刻的瞬时速度，加速度。

2、利用导数求切线问题：步骤如下：先求导，把切点(x0,y0)的横坐标x0带入导数，得到切线的斜率k f (x0)，然后用点斜式y y0 k(x x0)得出切线方程3、利用导数求函数的单调区间的方法和步骤：(1) 确定函数的定义域(2) 求函数的导数f (x)(3) ①若求单调区间（或证明单调性）只需要在函数f(x)的定义域内解（或证明）不等式f (x) 0（或f (x) 0）②若已知f(x)的单调性，则转化成不等式f (x) 0或f (x) 0在单调区间上恒成立问题求解4、利用导数求函数的极值的步骤（1）求函数的导数f (x)（2）求方程f (x)=0的根x0（3）检验f (x)在方程f (x)=0的根x0的左右的符号，高三文科数学第二轮复习专题导数教案若当x x0，若当x x0，f (x) 0，当x x0，f (x) 0，则x0是极小值点，f(x0)是函数的极小值 f (x) 0，当x x0，f (x) 0，则x0是极大值点，f(x0)是函数的极大值5、利用导数研究函数的最值的方法和步骤？（1）求函数的导数f (x)（2）求方程f (x)=0的根x0（3）①定义域是[a,b]，若x0 [a,b]，比较f(x0),f(a),f(b)之间的大小，最大的是最大值，最小的是最小值，若x0 [a,b]，比较f(a),f(b)的大小，最大的是最大值，最小的是最小值。

导数及其应用复习课教案（共三课时）复习目标：1．熟记微积分的的基本概念及微积分基本定理，并能根据事例正确理解。

2．熟悉微积分的基本知识结构，记住并理解其联系。

3．会正确地求给定函数的导数，会正确地求给定函数在已知区间上的定积分。

4．能熟练应用导数研究函数的单调性、极值和最值。

5．能熟练解决定积分在几何和物理方面的应用。

复习重点：1．熟记微积分的的基本概念及微积分基本定理，并能根据事例正确理解。

2．正确地求给定函数的导数，会正确地求给定函数在已知区间上的定积分。

3．熟练应用导数研究函数的单调性、极值和最值。

4．熟练解决定积分在几何和物理方面的应用。

复习难点：1．熟记微积分的的基本概念及微积分基本定理，并能根据事例正确理解。

2．正确地求给定函数的导数，会正确地求给定函数在已知区间上的定积分。

3．熟练应用导数研究函数的单调性、极值和最值。

4．熟练解决定积分在几何和物理方面的应用。

第一课时一．知识结构二．知识点精析（一）求函数的导数1．导数的基本概念、变化率。

2．记住基本初等函数的导数公式3．记住导数的四则运算4．理解复合函数的求导，即[]'(())f x ϕ=''(())()f x x ϕϕ（1）求初等函数的导数注：'()a x =1a ax -（a 为常数） '()x a =ln x a a （a 0,1a >≠常数） '()x e =x e（二）导数的应用1．求函数的单调区间与极值步骤：①求出函数的定义域，求导函数。

②求出导数为0的点（驻点）或导数不存在点。

③列表讨论④总结2．求函数的最大值与最小值①闭区间[a ,b ]上连续函数()f x 一定能取到最大与最小值且最大值与最小值点一定包含在区间内部的驻点或内部导数不存在点及端点之中。

②应用题的最大与最小值。

设所求的量为y ，设于有关量为x ，建立()y f x =，x D ∈，求()f x 的最大值或最小值。

高三数学二轮复习教案导数及其应用专题一、高考要求：⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．⑵熟记基本导数公式（,n C x (n 为有理数),sin .cos ,log ,,,ln x x a x x x a e x 的导数）．掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．二、复习要点：（1）近几年各地高考题一直保持对导数知识考查力度，体现了在知识网络交汇点出题的命题风格，重点考查导数概念、单调性、极值等传统、常规问题，这三大块内容是本专题复习的主线，在复习中应以此为基础展开，利用问题链展示题目间的内在联系，揭示解题的通法通解，如利用导数处理函数单调性问题时，可设计这样的问题链：已知函数求单调区间→知函数在区间上单调求参数→若函数不单调如何求参数．（2）要认识到新课程中增加了导数内容，增添了更多的变量数学，拓展了学习和研究的领域，在复习中要明确导数作为一种工具在研究函数的单调性、极值等方面的作用，这种作用体现在导数为解决函数问题提供了有效途径。

（3）有意识的与解析几何（特别是切线、最值）、函数的单调性，函数的最值极值，二次函数，方程，不等式，代数不等式的证明等进行交汇，综合运用。

特别是精选一些以导数为工具分析和解决一些函数问题、切线问题的典型问题，以及一些实际问题中的最大（小）值问题三、知识点回顾（多媒体演示）四、典型问题剖析题型一：导数的概念及几何意义导数的几何意义即是曲线在某点的切线的斜率，进而可解决有关切点、切线方程等相关问题。

1①过点(1,1)作曲线y=x 4的切线, 求切线方程。

②过点(1,0 )作曲线y=x 2的切线, 求切线方程。

第三章导数及其应用（复习）学习目标提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力.学习过程___________________________________________________ 2导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0'x x y =，即'0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆3切线：0()f x '是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为000()()(y f x f x x x '-=-3导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数'()f x ，从而构成了一个新的函数'()f x , 称这个函数'()f x 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数， 4 常见函数的导数公式：1.'0C=； 2.1)'(-=n n nx x ；3.x x e e =)'(a a a x x ln )'(=；4.x x 1)'(ln =；e x x a a log 1)'(log =； 5.x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=8和差的导数：)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．9积的导数：[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '=10商的导数：'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭1.若0()2f x '=,求0lim→k kx f k x f 2)()(00--2.下列函数的导数 ①2(1)(231)y x x x =-+- ②2(32)y sin x =+典型例题1.求曲线的切线例1：求曲线122+=x xy 在点（1，1）处的切线方程.〖跟踪练习〗1、已知直线y kx =是32y x =+的切线，则切点坐标为________2、函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为_____________2.利用导数研究函数的单调性1．利用导数求函数的单调区间 （1）求()f x '；（2）确定()f x '在(,)a b 内符号；（3）若()0f x '>在(,)a b 上恒成立，则()f x 在(,)a b 上是增函数；若()0f x '<在(,)a b 上恒成立，则()f x 在(,)a b 上是减函数1设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数1a ≥(Ⅰ)讨论()f x 的单调性;〖跟踪练习〗1、已知函数32()1f x x ax x =+++，a R ∈．①讨论函数()f x 的单调区间； ②设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．2、已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x=-+->，讨论()f x 的单调性.2．已知函数的单调性，利用导数求参量 例（08-湖北-7）若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是CA. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1)-∞-〖跟踪练习〗 1、已知0a>,函数3()f x x ax =-在[1,)+∞上时单调函数，则a 的取值范围是____________+2、已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．（1）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．3.利用导数研究函数的极值1极大值： 一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作0()()f x f x =极大值， 0x 是极大值点2极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >，就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作0()()f x f x =极小值，0x 是极小值点3极大值与极小值统称为极值（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4判别0()f x 是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值5 求函数()f x 的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数(f x '(2)求方程()0f x '=的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则()f x 在这个根处无极值6函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． ⑶)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 7利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值3： 函数的极值与最值 例6：（08-山东-文）设函数2132()x f x x e ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点．Ⅰ）求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）设322()3g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小4:求参变量的范围例7.（08-安徽）设函数1()(0ln f x x x x=>且1)x ≠（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知12a xx >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。

导数及其应用复习课教学设计教学目标1、知识与技能(1)导数的几何意义及其应用；(2)利用导数求函数的单调区间；(3)利用导数求函数的极值以及函数在闭区间上的最值。

2、过程与方法1)能够利用函数性质作图像，反过来利用函数的图像研究函数的性质如交点情况，能合理利用数形结合解题。

2)学会利用熟悉的问答过渡到陌生的问题。

3、情感态度与价值观这是一堂复习课，教学难度有所增加，培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心。

重点和难点：重点：应用导数求单调性，极值，最值难点：利用导数求含参数的函数的单调性问题教学过程：(_)、导入.基础自测：给出五道题(1)函数y = x3在(1,1)处的切线方程为(2)已知函数/(x) = sinx+lnx,贝炉⑴.=(3)函数"sin(2x2一*的导数是(4)函数f3) = X5-X3-2X的单调递增区间为(5)函数y =尸一3x的极大值为n,极小值为:,贝I］秫+7?=设计意图：数学的教学要遵循循序渐近的原则，五道题是导数应用中基础的题型。

其中(1) 是求切线方程，(2) (3)是对导数的公式的考察，(4)是求简单函数的单调区间，注意区间的写法，(5)是利用导数求函数的极大值或者极小值，通过一些比较简单题目的求解，加深学生对题目的本质的理解，掌握基础知识。

(二)、典例精析例1(2014广西高考灯)曲线y = 在点(1,1)处切线的斜率等田).(2)已知曲线C： y = X3-%+2,求曲线在点P(l,2)的切线方程教师：分别提问学生来回答这两个小题，回答过程中注意先说自己的思路，再说答案，同时需要注意，学生分析完了以后教师给予评价。

学生：分别找两名学生起来回答归纳总结：这一部分还是找学生回答考察的知识点。

即时训练1(1)若曲线v = kx+\nx在点(1, A)处的切线平行于X轴，贝以=(2)已知曲线y = 2x2-7,求曲线过点尸(3,9)的切线方程.设计意图：通过对例题的讲解，加深学生学习的印象与思路，加深学生对本部分知识点的理解与掌握。

导数专题及其应用教案教案标题：导数专题及其应用教案教案目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 熟悉导数在实际问题中的应用。

教学重点：1. 导数的定义和计算方法；2. 导数在函数图像、极值和曲线的切线方程中的应用。

教学难点：1. 理解导数的概念和意义；2. 运用导数解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、计算工具；2. 学生准备：教材、笔记、计算器。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念，提问学生对导数的理解；2. 通过一个简单的例子，引导学生思考导数的意义。

二、导数的定义和计算方法（15分钟）1. 介绍导数的定义和符号表示；2. 讲解导数的计算方法，包括用极限定义导数和使用导数公式计算导数；3. 通过示例演示导数的计算过程。

三、导数在函数图像中的应用（15分钟）1. 讲解导数与函数图像的关系，包括导数与函数的增减性、极值和拐点；2. 指导学生根据导数的正负判断函数的增减性，并绘制函数图像；3. 引导学生通过导数的零点判断函数的极值和拐点，并绘制函数图像。

四、导数在曲线的切线方程中的应用（15分钟）1. 引入导数与曲线的切线方程的关系；2. 讲解切线方程的一般形式和求解步骤；3. 指导学生根据导数和给定点求解曲线的切线方程，并进行实际问题的应用练习。

五、导数在实际问题中的应用（15分钟）1. 介绍导数在实际问题中的应用领域，如物理、经济等；2. 提供一些实际问题，引导学生运用导数解决问题；3. 学生个别或小组完成导数应用问题的解答和讨论。

六、总结（5分钟）1. 简要回顾导数的概念和计算方法；2. 强调导数在实际问题中的应用；3. 鼓励学生继续深入学习导数的相关知识。

教学延伸：1. 提供更多的导数计算练习题，巩固学生的计算能力；2. 引导学生在实际生活中寻找更多导数的应用案例，并进行讨论和分享。

教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现；2. 学生完成课后作业，包括导数计算和应用题目；3. 学生进行小组或个人报告，展示导数在实际问题中的应用案例。

导数及其应用（复习教案）
杭州市源清中学徐益强【教学目标】
通过几个基本问题的解决，进一步掌握函数在某一点处的导数的几何意义，利用导数求函数图象上某一点处的切线方程；
【教学重点】
导数的基本应用——切线.
【教学难点】
导数的综合应用.
①函数y=f(x)的递增区间是
导数及其应用（学案）
杭州市源清中学徐益强【学习目标】
掌握函数在某一点处的导数的几何意义，会利用导数求函数图象上某一点处的切线方程；
【学习重点】
导数的基本应用——切线
【课堂程序】
三、实践探究→综合能力提升
8、如图所示，曲线段OMB：y=x3(0<x<2)在点x=t（即点
M）处的切线PQ交x轴于点P，交线段AB于点Q，且BA⊥x
轴于A.
⑴试用t表示切线PQ的方程；
⑵求△QAP的面积g(t)的最大值.
9、设t>0，点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处的切线相同.
⑴用t示a、b、c；
⑵若函数y=f(x)–g(x)在(–1,3)上单调递减，求t的取值范围.
四、反思总结
1、本节课所用到的主要知识有哪些？主要的方法有哪些？
2、你能用本节课所用到的主要知识解决哪些问题？解决相应的问题的一般
过程如何？。

导数综合复习教案教案标题：导数综合复习教案教案目标：1. 复习导数的定义和基本概念。

2. 强化学生对导数的计算和应用能力。

3. 培养学生解决导数相关问题的思维能力。

教学重点：1. 导数的定义和基本概念。

2. 导数的计算方法。

3. 导数在实际问题中的应用。

教学难点：1. 导数的应用问题解决思路的培养。

2. 复杂函数的导数计算。

教学准备：1. 教师准备：教案、课件、导数相关的练习题。

2. 学生准备：课本、笔记、计算器。

教学过程：Step 1: 导入导数的定义和基本概念（10分钟）1. 回顾导数的定义：导数是函数在某一点上的瞬时变化率。

2. 引导学生回顾导数的符号表示和几何意义。

Step 2: 导数的计算方法（30分钟）1. 复习导数的基本公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

2. 指导学生通过求导法则计算简单函数的导数。

3. 强调链式法则和乘积法则在复杂函数导数计算中的应用。

Step 3: 导数在实际问题中的应用（30分钟）1. 引导学生思考导数在实际问题中的应用，如速度、加速度等。

2. 通过实际问题的例子，让学生应用导数解决相关问题。

3. 引导学生思考导数在最值、曲线形状等方面的应用。

Step 4: 综合练习和讨论（20分钟）1. 分发练习题，让学生独立或小组完成。

2. 引导学生讨论解题思路和方法，解答疑惑。

3. 针对学生易错的问题进行重点讲解和澄清。

Step 5: 总结和作业布置（10分钟）1. 总结导数的定义、基本概念和计算方法。

2. 强调导数在实际问题中的应用。

3. 布置作业，要求学生进一步巩固和应用导数的知识。

教学反思：本节课通过复习导数的定义和基本概念，强化了学生对导数的理解。

通过导数的计算方法和实际应用，提高了学生的计算和解决问题的能力。

在教学过程中，要注重引导学生思考和讨论，培养他们的解决问题的思维能力。

同时，对于复杂函数的导数计算，需要给予学生足够的练习和指导，以提高他们的运算能力。

导数及其应用复习课教学设计教学目标1、知识与技能(1)利用导数求函数的单调区间；(2)利用导数求函数的极值以及函数在闭区间上的最值；(3)解决很成立问题2、过程与方法1）能够利用函数性质作图像，反过来利用函数的图像研究函数的性质如交点情况，能合理利用数形结合解题。

2）学会利用熟悉的问答过渡到陌生的问题。

3、情感态度与价值观这是一堂复习课，教学难度有所增加，培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心。

重点和难点：重点是应用导数求单调性，极值，最值难点是恒成立问题教学过程:(一)、导入.给出三道题（1）曲线3231y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 （ ）A. 34y x =-B. 32y x =-+C. 43y x =-+D. 45y x =-(2)过原点作曲线x y e =的切线，切线的斜率____________(3)函数3223125y x x x =--+在[0,3]上的最大值____________[设计意图: 数学的教学要遵循循序渐近的原则，三道题是导数应用中基础的题型。

其中（1），（2）两题同是求切线方程，却不同类型题，学生不易识别其间的不同之处容易出错。

通过题目的求同存异，加深学生对题目的本质的理解]（二）、例题剖析例1.已知函数32()25f x x ax x =+-+若()f x 在2(1,)3-上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，求实数a 的值提问：本题已知函数在给定区间上的单调性，求解析式中参数。

由条件得到什么？ 学生：'(1)f 是极小值师：为什么？没有回答师：在学习极值的时候，要成为极值点，首先要保证在这个点上的导数等于0，现在导数=0不能保证，怎么能说取得极小值。

举反例：如图：函数的单调性能满足题中条件，但是在1上并不是取极小值师：看来这样的一种题型并不是大家说熟悉的，那么我们能由熟悉的题型加以过渡吗？跟这样的题目类似的题型，你们会想到什么？学生：已知函数的解析式，求函数的单调性师：对，刚好是已知，未知交换一下。

第一章导数及其应用复习课本章知识网络知识点精析(一)求函数的导数1．导数的基本概念、变化率；2．记住基本初等函数的导数公式；3．记住导数的四则运算法则；4．理解复合函数的求导，即[f(φ(x))]′＝f′(φ(x))φ′(x)．(二)导数的应用1．求函数的单调区间与极值步骤：①求出函数的定义域，求导数；②求出导数为0的点或导数不存在点；③列表讨论；④总结．2．求函数的最大值与最小值①闭区间[a，b]上连续函数f(x)一定能取到最大值与最小值，且最大值点与最小值点一定包含在区间内部导数值为0的点或内部导数不存在点或端点之中．②实际应用问题的最大与最小值．设所求的量为y，设与y有关量为x，建立y＝f(x)，x∈D，求f(x)的最大值或最小值．注意：若f(x0)为唯一极值，若f(x0)为极大值，则f(x0)为最大值；若f(x0)为极小值，则f(x0)为最小值．3．关于证明题(1)证明方程根的存在性；(2)证明不等式．(三)定积分（理科）1．定积分的概念(四个步骤、本质)(求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程)．2．微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，b f(x)dx＝F(b)－F(a)．并且F′(x)＝f(x)，那么⎠⎛a这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．3．应用定积分求面积的基本步骤和注意事项．整体设计教材分析导数是高中数学新教材中新增的知识之一，体现了现代数学思想，在研究函数的性质时，有独到之处．纵观近几年各地的新课程试卷，内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关．作为新教材的新增内容，复习中注重导数在解决科技、经济、社会中的某些实际问题中的应用．课时分配2课时．第1课时教学目标知识与技能目标1．复习巩固导数与积分的基础知识，理清知识网络．2．理解和掌握导数与积分及其有关概念，会求一些实际问题的最大值与最小值．过程与方法目标提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力，注意数形结合、分类讨论、函数等思想的应用．情感、态度与价值观在解决问题的过程中，培养学生独立思考问题、解决问题的能力，增强其学习积极性和提高其数学交流能力．重点难点重点：掌握导数与积分及其有关概念，巩固导数与积分的基础知识．难点：运用导数的知识解决有关函数问题．教学过程提出问题请同学们解答下列问题：1．函数f(x)的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f(f(0))＝________，0lim x ∆→f (1＋Δx )－f (1)Δx＝__________.2．函数f(x)＝13x 3－x 2－3x ＋6的单调递增区间为__________单调递减区间为__________．3．函数y ＝x 4－4x ＋3在区间[－2,3]上的最小值为( ) A ．72 B ．36 C ．12 D ．0 答案：1.2 －2基础知识聚焦：函数在某一点处的导数的定义为f ′(x 0)＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 及其变形，特别注意函数值的增量与自变量的增量．f ′(x 0)的几何意义表示曲线在点(x 0，f(x 0))处的切线的斜率．2．(－∞，－1)，(3，＋∞) (－1,3)评析：函数的单调递增区间是两个区间(－∞，－1)，(3，＋∞)，但是不能写成(－∞，－1)∪(3，＋∞)．有关函数单调区间的合并主要依据是函数f(x)在(a ，b)内单调递增，在(b ，c)内单调递增，又知函数在x ＝b 处连续，因此f(x)在(a ，c)内单调递增．3．D 解析：y ′＝4x 3－4，令y ′＝0，即4x 3－4＝0，所以x ＝1. 当x<1时，y ′<0；当x>1时，y ′>0.所以y 极小值＝y|x ＝1＝0，而端点的函数值y|x ＝－2＝27，y|x ＝3＝72，因此ymin ＝0.基础知识聚焦：考查利用导数求最值． 典型示例类型一 导数的概念例1(1)用导数的定义求函数f(x)＝1x在x ＝1处的导数；(2)用导数的定义求函数f(x)＝1x ＋2的导数． 思路分析：用导数的定义求导数时，先求平均变化率，再求极限．解：(1)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝11＋Δx －1Δx＝1－1＋Δx Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )Δx 1＋Δx (1＋1＋Δx )＝－ΔxΔx (1＋Δx ＋1＋Δx ) ＝－11＋Δx ＋1＋Δx，f ′(1)＝0lim x ∆→ ΔyΔx ＝0lim x ∆→－11＋Δx ＋1＋Δx＝－12.(2)Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝1x ＋2＋Δx －1x ＋2Δx ＝(x ＋2)－(x ＋2＋Δx )Δx (x ＋2)(x ＋2＋Δx ) ＝－1(x ＋2)(x ＋2＋Δx )，所以f ′(x)＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝0lim x ∆→ －1(x ＋2)(x ＋2＋Δx )＝－1(x ＋2)2.点评：(1)用导数定义求函数的导数，必须把分式ΔyΔx 中的分母Δx 这一因子约掉才能求出极限，所以目标就是分子中出现Δx ，从而对分子、分母约分．(2)第(1)小题中用到的技巧是“分子有理化”，“有理化”是处理根式问题常用的方法．(3)注意在某点处的导数与导数定义式的区别． 变式练习：设函数f(x)在x 0处可导，则下列极限等于f ′(x 0)的是( )A. 0lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0) B. 0lim x ∆→ f (x 0＋3Δx )－f (x 0)C. 0lim x ∆→f (x 0)－f (x 0＋Δx )Δx D. 0lim x ∆→ f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx答案：D类型二 导数的基本运算例2求导：(1)y ＝(x ＋1)(x 2＋2x)；(2)y ＝cos(2x 2＋1)；(3)y ＝sinxx. 思路分析：运用求导公式及导数运算法则求导．解：(1)y ′＝3x 2＋6x ＋2；(2)y ′＝－4xsin(2x 2＋1)；(3)y ′＝xcosx －sinxx 2. 点评：要熟记常见函数的求导公式及导数运算法则．在求复合函数的导数时，关键是分清函数的复合关系，逐步求导直到最后，把中间变量转变为自变量的函数．变式练习：求y ＝sin 2(3x ＋1)的导数．解：y ′＝[sin 2(3x ＋1)]′＝2sin(3x ＋1)[sin(3x ＋1)]′＝2sin(3x ＋1)cos(3x ＋1)(3x ＋1)′＝6sin(3x ＋1)cos(3x ＋1)＝3sin(6x ＋2)．类型三 导数的几何意义例3若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为…( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0 思路分析：导数值对应函数在该点处的切线斜率．解析：设与直线x ＋4y －8＝0垂直的直线l 为4x －y ＋m ＝0，即y ＝x 4在某一点的导数为4，而y ′＝4x 3，所以y ＝x 4在(1,1)处的导数为4，此点的切线方程为4x －y －3＝0，故选A.答案：A点评：有关导数几何意义的题目一般有两类：一类是求曲线的切线方程，这类题目要注意审好题，看到底是“在某点处的切线”还是“过某点的切线”；第二类是已知曲线的切线求字母参数．变式练习：过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( )A ．2x ＋y ＋2＝0B ．3x －y ＋3＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：y ′＝2x ＋1，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线的斜率为2x 0＋1，且y 0＝x 20＋x 0＋1，于是切线方程为y －x 20－x 0－1＝(2x 0＋1)(x －x 0)．因为点(－1,0)在切线上，可解得x 0＝0或x 0＝－2，代入可验证知D 正确，选D.答案：D类型四 定积分的计算（理科） 例4计算下列定积分的值．(1)∫3－1(4x －x 2)dx ；(2)∫21(x －1)5dx ；(3)∫π20(x ＋sinx)dx. 解：∫3－1(4x －x 2)dx ＝(2x 2－x 33)|3－1＝(2×32－333)－[2×(－1)2－(－1)33]＝203；(2)因为[16(x －1)6]′＝(x －1)5，所以∫21(x －1)5dx ＝16(x －1)6|21＝16；(3)∫π20(x ＋sinx)dx ＝(x 22－cosx)|π20＝[(π2)22－cos π2]－(0－1)＝π28＋1.变式练习：求∫π2－π2cos 2xdx 的值．解：∫π2－π2cos 2xdx ＝∫π2－π21＋cos2x 2dx ＝x 2|π2－π2＋14sin2x|π2－π2＝π2.类型五 求函数的极值与最值例5f(x)＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4思路分析：本题考查求函数最值，可用导数法先求其极值，再与端点值进行比较．解析：f ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)，令f ′(x)＝0，可得x ＝0或x ＝2(x ＝2舍去)．当－1≤x<0时，f ′(x)>0；当0<x ≤1时，f ′(x)<0，所以当x ＝0时，f(x)取得极大值为2.又f(－1)＝－2，f(1)＝0，所以f(x)在[－1,1]上的最大值为2.选C. 答案：C点评：此题较为基础，求完极值点，要注意与题目已知区间结合起来综合考虑问题．变式练习：a 为何值时，函数f(x)＝asinx ＋13sin3x 在x ＝π3处具有极值？是极大值还是极小值？试求此极值．解：a ＝2，极大值为f(π3)＝ 3.类型六 求函数的单调区间例6设函数f(x)＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b,0<a<1.求函数f(x)的单调区间．思路分析：本题考查用导数法求单调区间，需注意参数a ，有时候需要对其进行讨论．解：f ′(x)＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －3a)(x －a)， 令f ′(x)＝0，得x 1＝a ，x 2＝3a.列表如下：∴f(x)在(a,3a)上单调递增，在(－∞，a)、(3a ，＋∞)上单调递减． 点评：本题考查内容为利用导数求单调区间．但涉及到参数问题，参数讨论是难点．本题在0<a<1这个条件下降低了难度，若去掉此条件，难度会加大．变式练习：已知函数f(x)＝x 2＋alnx.(1)当a ＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若函数g(x)＝f(x)＋2x 在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f ′(x)＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下：由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)；单调递增区间是(1，＋∞)；极小值是f(1)＝1.(2)由g(x)＝x 2＋alnx ＋2x ，得g ′(x)＝2x ＋a x －2x 2.又函数g(x)＝x 2＋alnx＋2x 在[1，＋∞)上是单调增函数，则g ′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x －2x 2＋a x ≥0在[1，＋∞)上恒成立，也即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，又φ(x)＝2x －2x 2在[1，＋∞)上为减函数，所以[φ(x)]max ＝φ(1)＝0，因此a ≥0.拓展实例：设函数f(x)＝2x 3－3(a －1)x 2＋1，其中a ≥1. (1)求f(x)的单调区间； (2)讨论f(x)的极值．思路分析：f(x)的单调性取决于f ′(x)的正负，而函数的极值取决于导数值为零的点的两侧的点对应的导数值的符号，即导数值为零的点两侧函数的单调性．解：由已知，得f ′(x)＝6x[x －(a －1)]，令f ′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2＝a －1.(1)当a ＝1时，f ′(x)＝6x 2，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>1时，f ′(x)＝6x[x －(a －1)]，f ′(x)，f(x)随x 的变化情况如下表：从上表可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递增；在(0，a －1)上单调递减；在(a －1，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，当a ＝1时，函数f(x)没有极值；当a>1时，函数f(x)在x ＝0处取得极大值1；在x ＝a －1处取得极小值1－(a －1)3.点评：本小题主要考查利用导数研究函数的极值的基础知识，以及运用数学知识解决问题的能力．达标检测 1．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2D.e 22 2．设函数f(x)＝ax 2＋c(a ≠0)，若∫10f(x)dx ＝f(x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为__________．答案：1.D 解析：y ′＝e x ，曲线在点(2，e 2)处的切线斜率为e 2，因此切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，则切线与坐标轴交点为A(1,0)，B(0，－e 2)．所以S △AOB ＝12×1×e 2＝e 22.2.33 解析：∫10f(x)dx ＝∫10(ax 2＋c)dx ＝(13ax 3＋cx)|10＝a 3＋c.而f(x 0)＝ax 20＋c ，所以ax 20＋c ＝a 3＋c.又0≤x 0≤1，所以x 0＝33. 课堂小结1．知识收获：导数作为工具研究函数的相关问题的方法，以及定积分的简单运算．2．方法收获：数形结合、分类讨论的方法．3．思维收获：数形结合思想、分类讨论思想以及将代数式子视为函数的意识和转化化归的思想．让学生自己小结，这是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程．设计意图布置作业补充练习1．函数f(x)＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)内是减函数，则( ) A ．a<1 B ．a<13C ．a<0D ．a ≤02．已知f(x)为偶函数，且∫60f(x)dx ＝8，则∫6－6f(x)dx 等于( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．163．函数y ＝lnx －x 在x ∈(0，e]上的最大值为__________． 答案：1.D 2.D 3.－1 拓展练习4．已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值． (1)求函数f(x)的解析式；(2)求证：对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有f(x 1)－f(x 2)≤4；思路分析：本小题主要考查应用导数研究函数的极值，利用导数为工具解决函数与不等式的有关综合问题，运用导数的几何意义来解决函数与解析几何的综合问题，这是高考的热点问题．解：(1)f ′(x)＝3ax 2＋2bx －3，依题意，得f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0，解得a ＝1，b ＝0.∴f(x)＝x 3－3x. (2)证明：∵f(x)＝x 3－3x ，∴f ′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．当－1<x<1时，f ′(x)<0，故f(x)在区间[－1,1]上为减函数，f(x)max ＝f(－1)＝2，f(x) min ＝f(1)＝－2.∵对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |，∴|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |≤2－(－2)＝4.第2课时教学目标 知识与技能目标 1．在复习巩固导数基础知识的基础上，进一步理解利用导数解决函数单调性、极值、最值等问题的处理方法．2．提高学生转化化归意识，体会导数在解决实际问题中的作用． 过程与方法目标掌握利用导数解决问题的方法、规律，深化学生对导数知识的理解及把握．情感、态度与价值观培养学生的观察、分析问题的能力，以及转化、化归的数学思想，让学生学会用数学方法认识世界、改造世界．重点难点重点：巩固常见导数题型，并培养学生解决实际问题的能力． 难点：运用导数知识解决有关问题的方法．教学过程典型示例类型一 求函数的导数例1函数y ＝x 3lnx ＋2x ＋cos2x －3e ＋sinπ的导数为________．思路分析：本题考查函数求导公式及导数运算法则，且搞清变量是x ，一般在不做任何说明的情况下，将x 视为变量．答案：y ′＝3x 2lnx ＋x 2＋2x ln2－2sin2x点评：本题一方面考查了导数求导公式及导数运算法则，另一方面学生容易出现诸如“(sinπ)′＝cosπ”的错误，因此本题有助于帮助学生克服思维定势．变式练习1．函数y ＝e x ＋x 2cosx ＋lnx 的导数为__________． 2．下列函数求导运算正确的是( )A ．(x ＋1x )′＝1＋1x 2B ．(log 2x)′＝1xln2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2sinx)′＝2xcosx 答案：1.y ′＝e x ＋2xcosx －x 2sinx ＋1x2.B类型二 用导数研究函数的性质(单调性、极值和最值) 例2设函数f(x)＝ln(2x ＋3)＋x 2， (1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间[－34，14]上的最大值和最小值． 思路分析：f(x)的单调性取决于f ′(x)的正负，而函数的最值取决于函数的极值以及端点函数值的大小．解：f(x)的定义域为(－32，＋∞)． (1)f ′(x)＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3. 当－32<x<－1时，f ′(x)>0；当－1<x<－12时，f ′(x)<0；当x>－12时，f ′(x)>0.从而，f(x)在区间(－32，－1)，(－12，＋∞)上单调递增，在区间(－1，－12)上单调递减． (2)由(1)知f(x)在区间[－34，14]上的最小值为f(－12)＝ln2＋14. 又f(－34)－f(14)＝ln 32＋916－ln 72－116＝ln 37＋12＝12(1－ln 499)<0. 所以f(x)在区间[－34，14]上的最大值为f(14)＝116＋ln 72. 点评：(1)对数形式的函数求导一定要注意定义域；(2)注意求闭区间上函数最值的基本方法．变式练习：设函数f(x)＝x 3－3ax ＋b(a ≠0)．(1)若曲线y ＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．思路分析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．解：(1)f ′(x)＝3x 2－3a ，∵曲线y ＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y ＝8相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.∴a ＝4，b ＝24. (2)∵f ′(x)＝3(x 2－a)(a ≠0)，当a<0时，f ′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点；当a>0时，由f ′(x)＝0，得x ＝±a.当x ∈(－∞，－a)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x ∈(－a ，a)时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增．∴此时x ＝－a 是函数f(x)的极大值点，x ＝a 是函数f(x)的极小值点． 类型三 不等式证明例3当x>0时，证明不等式e x >1＋x ＋12x 2成立． 思路分析：在高中数学学习过程中，我们常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，几种常用的证法都一一尝试，却很难奏效．这时我们不妨变换一下思维角度，从所证不等式的结构和特点出发，结合自己已有知识，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明．用导数方法证明不等式，其步骤一般是：构造可导函数——研究单调性或最值——得出不等关系——整理得出结论．证明：设f(x)＝e x －1－x －12x 2，则f ′(x)＝e x －1－x. 令g(x)＝e x －1－x ，则g ′(x)＝e x －1.当x>0时，g ′(x)＝e x －1>0. ∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0.∴g(x)>g(0)＝0.∴g(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立． ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(0)＝0，∴e x －1－x －12x 2>0，即x>0时，e x >1＋x ＋12x 2成立． 点评：利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面，也成为命题的一个新热点，其关键是构造合适的函数，通过构造函数转化为研究这个函数的单调性和区间端点值或最值问题，其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性，通过单调性证明不等式．变式练习：利用导数证明不等式lnx ＋1≤x 恒成立．解：设函数f(x)＝lnx ＋1－x(x>0)，则f ′(x)＝1x－1，则0<x<1时，f ′(x)>0；当x>1时，f ′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，故f(x)≤f(1)＝0，即lnx ＋1－x ≤0，即lnx ＋1≤x.点评：一般地，证明f(x)<g(x)，x ∈(a ，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F ′(x)<0，则F(x)在(a ，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b)时，有F(x)<0，即证明了f(x)<g(x)．类型四 微积分基本定理及其应用例4(1)求∫21(1x＋x ＋e x ＋cosx)dx 的值；(2)求∫2－24－x 2dx.（理科） 思路分析：(1)本题考查微积分基本定理，需结合导数公式记忆该定理．(2)本题若用微积分基本定理，不易求解，可考虑几何意义，即半径为2的半圆面积．解：(1)∫21(1x ＋x ＋e x ＋cosx)dx ＝(lnx ＋x 22＋e x ＋sinx)|21＝ln2＋32＋e 2－e ＋sin2－sin1.点评：求导问题和求微积分问题可以看做互逆的两个过程，因此须牢记求导公式．(2)∫2－24－x 2dx ＝2π. 点评：对于某些比较难求的积分，可考虑其几何意义，数形结合． 变式练习：1．求∫a －aa 2－x 2dx 的值，其中a>0. 2．求由y ＝1x，y ＝1，y ＝2，x ＝0所围成的图形的面积． 3．物体A 以速度v ＝6t ＋1在一直线上运动，同时物体B 在A 的正前方2米处以v ＝6t 的速度运动，两物体速度方向相同，两物体何时相遇？相遇处与物体A 的出发地距离是多少？答案：1.∫a －a a 2－x 2dx 几何意义为半径为a 的半圆的面积，故其值为πa 22. 2．本题以y 为变量较好，故面积S ＝∫211ydy ＝lny|21＝ln2－ln1＝ln2. 3．解：设在时刻t 0时相遇，则由题意，知∫t 00(6t ＋1)dt ＝2＋∫t 006tdt ， ∴(3t 2＋t)|t 00＝2＋3t 2|t 00.∴3t 2＋t ＝2＋3t 2.∴t ＝2.相遇处与物体A 的出发地距离是s ＝∫20(6t ＋1)dt ＝(3t 2＋t)|20＝14(米)．类型五 导数在实际问题中的应用例5某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入—成本)思路分析：建立利润函数，利用导数求其最值．解：每月生产x 吨时的利润为f(x)＝(24 200－15x 2)x －(50 000＋200x)＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)． 由f ′(x)＝－35x 2＋24 000＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)． 因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－15×(200)3＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元． 点评：此题考查导数的实际应用，注意建立数学模型，将实际问题化为数学问题，最后一定要还原为实际问题来作答．变式练习：某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元．已知每生产x 件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x ＋136x 3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这样的产品？最大利润是多少？解：设生产x 件产品的利润为L(x)元，则L(x)＝500x －2 500－C(x)＝300x －136x 3－2 500(x 为正整数)． ∴L ′(x)＝300－112x 2. 令L ′(x)＝0，得到x ＝60(x ＝－60舍去)．当0≤x<60时，L ′(x)>0；当x>60时，L ′(x)<0.∴x ＝60是L(x)的唯一极大值点．故[L(x)]max ＝L(60)＝9 500.因此，要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元．变练演编1．已知f(x)＝xlnx ＋e x ，则下列关系正确的是( )A ．f ′(x)＝1＋e xB ．f ′(1)＝1＋eC ．f(1)>f(2)D ．f ′(1)>f ′(2)2．对R 上可导的任意函数f(x)，若满足(x －1)f ′(x)≥0，则必有( )A ．f(0)＋f(2)<2f(1)B ．f(0)＋f(2)≤2f(1)C ．f(0)＋f(2)≥2f(1)D ．f(0)＋f(2)>2f(1)3．已知函数f(x)＝f ′(π4)cosx ＋sinx ，则f(π4)的值为__________． 4．求∫20(4－x 2＋|x －1|)dx 的值．5．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 答案：1.B 2.C 3.1 4.π＋1.5．解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)＝(560＋48x)＋2 160×10 0002 000x ＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈Z *)． f ′(x)＝48－10 800x 2，令f ′(x)＝0，得x ＝15. 当x>15时，f ′(x)>0；当0<x<15时，f ′(x)<0.因此，当x ＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2 000.答：为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层． 工作者又g(a)在(0,1]上只有一个极值，所以g(23)＝43为g(a)在(0,1]上的最大值，且最小值为g(1)＝0.所以b 2∈[0，43]，即b 的取值范围为[－233，233]． 达标检测1．函数y ＝x 3＋x 的递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，＋∞)D ．(1，＋∞)2．f(x)＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193B.163C.133D.1033．当x ≠0时，有不等式( )A ．e x <1＋xB ．当x>0时，e x <1＋x ；当x<0时，e x >1＋xC ．e x >1＋xD ．当x<0时，e x <1＋x ；当x>0时，e x >1＋x4．已知f(x)＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为…( )A ．－1<a<2B ．－3<a<6C ．a<－1或a>2D ．a<－3或a>65．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是__________．6．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是__________．7．已知函数f(x)＝13x 3＋a 2x 2＋ax ＋b ，当x ＝－1时，函数f(x)的极值为－712，则f(2)＝__________. 答案：1.C 2.D 3.C 4.D 5.(－∞，－53)，(1，＋∞) 6.(0，＋∞) 7.53课堂小结1．知识收获：导数在解决函数极值与最值、不等式证明以及在解决实际问题中的应用．2．方法收获：转化化归的思想方法．3．思维收获：分类讨论思想以及转化化归的思想．设计意图注重基础，由学生总结导数常见题型，培养学生的总结能力以及对知识的梳理能力，这样可以帮助学生尽快建立完整的知识体系．布置作业1．已知函数f(x)＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f ′(x)＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m ，n 的值及函数y ＝f(x)的单调区间；(2)若a>0，求函数y ＝f(x)在区间(a －1，a ＋1)内的极值．2．设函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 在点x ＝1处有极值－2，(1)求常数a ，b 的值；(2)求曲线f(x)与x 轴所围成图形的面积．答案：1．解：(1)由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－3.①由f(x)＝x 3＋ mx 2＋nx －2，得f ′(x)＝3x 2＋2mx ＋n ，则g(x)＝f ′(x)＋6x ＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n.而g(x)图象关于y 轴对称，所以－2m ＋62×3＝0.所以m ＝－3.代入①得n ＝0，于是f ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)．由f ′(x)>0，得x>2或x<0.故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；由f ′(x)<0，得0<x<2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)．(2)由(1)得f ′(x)＝3x(x －2)．令f ′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：由此可得：当0<a<1时，f(x)在(a －1，a ＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值； 当a ＝1时，f(x)在(a －1，a ＋1)内无极值；当1<a<3时，f(x)在(a －1，a ＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值； 当a ≥3时，f(x)在(a －1，a ＋1)内无极值．综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1<a<3时，f(x)有极小值－6.2．解：(1)a ＝0，b ＝－3.(2)92.。

二次函数的导数及其应用复习教案一、教学目标1.学习二次函数的导数及其意义；2.理解二次函数的导数在解决实际问题中的应用；3.掌握解决复合函数求导的方法。

二、教学内容1.二次函数的导数及其意义二次函数是指 y=ax^2+bx+c 类型的函数，其中 a、b、c 为常数且a≠0。

对于二次函数，其导数为 y'=2ax+b。

其中：①当 a>0（二次函数开口向上），当 x 取值较小时，y' 取值为负数，当 x 取值较大时，y' 取值为正数；当 x 取值为顶点处的横坐标时，y' 取值为 0，即导数的零点。

这说明当二次函数向上开口时，其导数在顶点处达到最小值；②当 a<0（二次函数开口向下），当 x 取值较小时，y' 取值为正数，当 x 取值较大时，y' 取值为负数；当 x 取值为顶点处的横坐标时，y' 取值为 0，即导数的零点。

这说明当二次函数向下开口时，其导数在顶点处达到最大值。

2.二次函数的导数在解决实际问题中的应用二次函数的导数在解决实际问题中，具有很强的应用价值。

例如：①判断二次函数的增减性二次函数的导数代表着函数增长的斜率，利用二次函数的导数可以判断函数在某一点上升或下降，从而判断函数的增减性。

②二次函数最大值或最小值当二次函数导数为 0 时，即 y'=0，此时便可以求出函数的最值点，从而得到函数的最大值或最小值。

③相关问题的求解例如，已知二次函数 y=2x^2+3x-5，求其从 (1,0) 到点 (2,0) 的切线长度。

求解二次函数的导数 y'=4x+3，然后求出过 (1,0) 和 (2,0) 的切线方程 y=7x-7，最后利用勾股定理求出切线长度为7√2。

3.解决复合函数求导的方法复合函数是指由两个或多个函数构成的一个函数，例如 f(g(x)) 就是一个复合函数。

在求复合函数的导数时，需要使用链式法则。

链式法则是指：若 u=g(x) 和 y=f(u)，则有(y)′=f′(u)·u′，其中 y' 表示复合函数的导数，f'(u) 表示第一个函数的导数，u' 表示第二个函数的导数。

同课异构教案六安二中张苏二零一六年三月二十一日《导数及其应用复习课》教学设计六安二中高二数学组张苏课程说明：利用导数解决函数问题在高考中经常以压轴题的形式出现，很多同学直接选择放弃，其实在高考中的导数问题并不像很多同学想象的那样，在高考试卷中的导数部分我们还是有很多的得分点，只是我们缺少对它的研究才觉得它高不可攀，下面我们通过具体的实例来揭开导数在高考中的神秘面纱。

教学目标（1）利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率问题也是导数的一个重要应用，并且也是高考考查的重点内容之一（2）运用导数的有关知识，研究函数的单调性是导数的重点应用，在高考试卷中，所占的地位是比较重的（3）运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容．利用函数的导数可以顺利地解决这些函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题．教学重点：能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间、极值和最值．教学难点：导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用，方程根及恒成立问题.知识结构教学过程：一．导函数的几何意义例1.(2011年全国卷理数节选)21（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x b f x x x=++，曲线()y f x = 在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

（Ⅰ）求a 、b 的值；例2.（2014年全国卷理数节选）21. (本小题满分12分)设函数x be x ae x f x x1ln )(-+=，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b例3.(2015年全国卷理数节选)（21）（本小题满分12分）已知函数f （x ）=31,()ln 4x ax g x x ++=-. (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线二．利用导数研究含参函数的性质例1.(2014年全国卷)11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为（ ）A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）例2. (2015年全国卷)12. 设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数x 0，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ）A.[-，1）B. [-，）C. [，）D. [，1）例3.[2014·新课标全国卷Ⅱ节选] 已知函数f(x)＝ex－e－x－2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x＞0时，g(x)＞0，求b的最大值三．利用导数解决不等式证明例1.(2013年全国卷理数)（21）（本小题满分共12分）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2（Ⅰ）求a，b，c，d的值（Ⅱ）若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围例2.（2014年新课标全国卷）21.设函数f(x)＝a e x ln x＋b e x－1x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)>1.教学反思：1.本教案的亮点是：首先以近几年高考中导数的比例引入新课，直观简明；其次，总结导数的知识点，从三个方面指出了导数在高考题中的具体出题形式，.再次，例题选择典型，对知识点的覆盖面广;再次，讲练结合，学生落实较好.最后，在作业的布置上，选择高考和各地市摸底考试中的部分难度不大的题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用.2.本教案的弱项：由于课时安排和时间关系，本节课内容较多，学生在课下预习时应下功夫，基础薄弱的同学可能有点跟不上或者有点吃力，课下应注意消化.。