选修4-1几何证明选讲习题一

一、选择题1．过点(0,1)且倾斜角为3π的直线l 交圆2260x y y +-=于A ，B 两点，则弦AB 的长为（ ） A ．10B ．210C ．22D ．422．若直线y x m =+与曲线21y x =-有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(]{}1,12-⋃-B ．{}2,2-C ．[){}1,12-D ．(1,2⎤⎦3．已知圆()221:24C x y +-=，抛物线22:2(0)C y px p =>， 1C 与2C 相交与,A B 两点，且855AB =，则抛物线2C 的方程为（ ） A ．285y x =B ．2165y x =C ．2325y x =D ．2645y x = 4．已知点是圆内的一点，则该圆上的点到直线的最大距离和最小距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．不确定5．已知AC 、BD 分别为圆O ：x 2+y 2=4的两条垂直于坐标轴的弦，且AC 、BD 相交于点M（1，），则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．2B ．3C ．D ．6．已知直线x+ay ﹣1=0是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ） A ．2 B ．6 C ．4D ．27．已知点(,)M a b ，(0)ab ≠是圆222:O x y r +=内一点，直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，直线n 的方程是2ax by r +=，那么（ ） A ．//m n 且n 与圆O 相离 B ．//m n 且n 与圆O 相交C ．m 与n 重合且n 与圆O 相离D ．m n ⊥且n 与圆O 相交 8．如图，四边形ABCD 内接于O ，:1:2AD BC =，35AB =，40PD =，则过点P 的O 的切线长是（ ）．A ．60B ．240C ．235D ．509．在⊙O 外，切⊙O 于，交⊙O 于、，则（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知圆O :221x y +=，点()00,M x y 是直线20x y -+=上一点，若圆O 上存在一点N ，使得6NMO π∠=，则0x 的取值范围是（ ）A ．[]2,0-B ．()0,3C ．[]2,4D ．()1,3-11．直线0ax by a b +++=与圆222x y +=的位置关系为（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切12．从原点O 引圆m kx y m y m x 当的切线,1)2()(222=+=-+-变化时，切点P 的轨迹方程是 A ．322=+y x B ．2)1(22=+-y x C ．3)1()1(22=-+-y x D ．222=+y x二、填空题13．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，点A 在E 上，以A 为圆心的圆与y 轴相切，且交AF 于点B ，若2AB BF =，则圆A 截线段AF 的垂直平分线所得弦长为7，则p =______．14．若直线cos ,sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩(t 为参数，且2πθ≠)与圆42cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）相切，则直线的倾斜角θ=______.15．（几何证明选讲选做题）如图，是圆的直径，直线与圆相切于点，AD CE ⊥于点，若圆的面积为4π，30ABC ∠=，则AD 的长为______．16．已知直线l 的参数方程为24x a t y t =-⎧⎨=-⎩ (t 为参数),圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数).若直线l 与圆C 有公共点,则实数a 的取值范围是__________.17．已知两点()()2,0,2,0-M N ，若直线()3y k x =-上存在四个点()1,2,3,4=i P i ，使得MNP ∆是直角三角形，则实数k 的取值范围是______.18．在平面直角坐标系xOy 中，(2,1)A ，求过点A 与圆22:4C x y +=相切的直线方程___．19．（选修4—1：几何证明选讲）如图，已知切线PA 切圆于点A ，割线PBC 分别交圆于点,B C ，点D 在线段BC 上，且2DC BD =，BAD PAB ∠=∠，210PA =，4PB =，则线段AB 的长为________．20．已知点P(x, y)是圆(x －3)2+(y －)2=6上的动点，则的最大值为_______ ；三、解答题21．如图，△ABC 内接于直径为BC 的圆O ，过点作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，AE 交BC 和圆O 于点D 、E ，且DBCDAB AC =，若PA=2PB=10.（Ⅰ）求证：AC=2AB ； （Ⅱ）求AD•DE 的值.22．已知圆22222240x y ax ay a a ++-+-=（04a <≤）的圆心为点C ，直线l ：y x m =+．（1）若4m =，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；（2）若直线l 是圆心C 下方的切线，当a 在(0,4]上变化时，求m 的取值范围． 23．已知直线:l 022=++y x 及圆y y x C 2:22=+． （1）求垂直于直线l 且与圆C 相切的直线'l 的方程；（2）过直线l 上的动点P 作圆C 的一条切线，设切点为T ，求PT 的最小值． 24．（本小题满分10分）已知圆C 的圆心在y 轴上，且圆C 与直线1:l y x =相切于点(1,1)． （1）求圆C 的方程；（2）若线段AB 为圆C 的直径，点P 为直线2:43210l x y -+=上的动点，求PA PB ⋅的最小值．25．（本题满分12分）已知圆221:2C x y +=和圆2C ，直线l 与圆1C 相切于点()1,1A ，圆2C 的圆心在射线()200x y x -=≥上，圆2C 过原点O ，且被直线l 截得的弦长为43．（1）求直线l 的方程； （2）求圆2C 的方程． 26．已知圆的方程：，（Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）当圆与圆：相外切时，求直线:被圆，所截得的弦的长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】写出直线l 的方程，求圆心到直线l 的距离，再利用弦长公式进行求解即可． 【详解】过点()0,1且倾斜角为3π的直线l 为3x 310x y -+=, ∵圆()22226039x y y x y +-=+-=即，∴圆心（0，3），半径r =3， 圆心到直线l 310x y -+=的距离d =312-+=1，∴直线被圆截得的弦长l 2231-=42 故选：D ． 【点睛】本题考查了直线被圆截得的弦长公式222l r d =-2．C解析：C 【解析】 【分析】运用几何意义，当直线与半圆相切或者只有一个公共点时满足题意 【详解】21y x =-直线y x m =+与曲线21y x =- ①()22111m d ==+-，解得2m 2m =-（舍去）②代入（-1，0）可得011m m =-+=， 代入（1，0）可得011m m =+=-， 结合图象，综上可得11m -≤<或2m 故选C 【点睛】本题考查了直线与半圆之间的位置关系，为满足题意中只有一个交点，则需要进行分类讨论，运用点到直线距离和点坐标代入计算出结果3．C解析：C【解析】根据直线与圆相交的弦长公式可知22285224R d d -=-=，解得255d =，设直线AB 的方程为y kx =，圆心()0,2到直线的距离2251d k==+ ，解得2k =-（舍）或2k =， ()222{24y x x y =+-= ，解得0{0x y == 或85{165x y == ，代入抛物线方程2168255p ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭ ，解得： 3225p = ，所以抛物线方程为2325y x =，故选C. 【点睛】本题考查了直线与圆，直线与抛物线和圆与抛物线的位置关系，如果直接选择圆与抛物线联立，那不易得到两个交点坐标，所以首先看成直线与圆的位置关系，根据弦心距公式得到直线方程，再让直线与抛物线联立，得到交点的坐标，求出抛物线方程.4．B解析：B 【解析】由题意得,所以圆心到直线距离为,因此该圆上的点到直线的最大距离和最小距离之和为,选B.点睛：与圆有关的距离的最值问题，一般根据距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．5．A解析：A【解析】试题分析：求出|AC|，|BD|，代入面积公式S=•|AC||BD|，即可求出四边形ABCD的面积．解：由题意圆心O到AC、BD的距离分别为、1，∴|AC|=2=2，|BD|==2，∴四边形ABCD的面积为：S=•|AC|（|BM|+|MD|）=•|AC||BD|==2，故选：A．考点：直线与圆的位置关系．6．B解析：B【解析】试题分析：求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．∵AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|===6．故选：B．考点：直线与圆的位置关系．7．A解析：A【解析】，所以m的斜率为试题分析：直线m是以点M为中点的弦所在直线，所以m POab-，所以//n m ，圆心到直线n 的距离为222r a b+，因为M 在圆内，所以2ax by r +<，所以222r r a b>+，所以直线n 与圆相离，故选A ．考点：直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及应用，属于中档试题，对于直线和圆的位置关系分为相交、相离、相切三种情形，常利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断，本题解答中利用直线m 是以点M 为中点的弦所在直线可求得其斜率，进而根据直线n 的方程可判断出两直线平行，表示出点到直线n 的距离，根据点M 在园内判断出,a b 和r 的关系，进而判断长圆心到直线n 的距离大于半径，判断长二者的关系是相离．8．A解析：A 【解析】考点：圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定． 分析：作切线PE ，由切割线定理推出 PA PC = PAPB，说明△PAD ∽△PBC ，求出PB=80，然后求出PE ．解：作切线PE ，由切割线定理知，PE 2=PD•PC=PA•PB ，所以PA PC = PAPB， 又△PAD 与△PBC 有公共角P ，∠PDA=∠PBC ，所以△PAD ∽△PBC ． 故PD PB = AD BC =12，即40PB =12所以PB=80， 又AB=35，PE 2=PA•PB=（PB-AB ）•PB=（80-35）×80=602， PE=60． 故选A ．9．C【解析】试题分析：由∠PCA 是弦切角，且弦CA 所对的圆周角是∠B ，知∠PCA=∠B ． 解：如图，PC 切⊙O 于C ，PAB 交⊙O 于A 、B ， ∵∠PCA 是弦切角， 且弦CA 所对的圆周角是∠B ， ∴∠PCA=∠B ， 故选C ．点评：本题考查弦切角的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．A解析：A 【解析】试题分析：过()00,M x y 作圆O 切线交圆O 于R ，根据圆的切线性质，有OMR OMN ∠≥∠．反过来，如果6OMR π∠≥，则圆O 上存在一点N 得6OMN π∠=故若圆O 上存在一点N ，使6OMN π∠=，则6OMR π∠≥12OR OR MR OM =⊥∴≤，，．又22222220000000000222442444M x x OM x y x x x x x x +=+=++=++∴++≤（，），（），，解得，020x -≤≤．0x ∴取值范围是[]2,0-，选A考点：直线与圆的位置关系【思路点睛】本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考察了学生的转化能力，计算能力，属于中档题．解题时过()00,M x y 作圆O 切线交圆O 于R ，则OMR OMN ∠≥∠．由题意可得6OMR π∠≥，2OM ≤．再根据2200002244M x x OMx x +=++（，），求得0x 的取值范围．11．D解析：D 【解析】试题分析：由不等式知，222222b a b a b a b a +≥+∴+≤+)2(，因此圆心到直线的距离22ba b a d ++=2≤，即圆心到直线距离小于等于半径，故直线与圆相交或相切．选D ．考点：①直线与圆的位置关系；②重要不等式的应用．【方法点睛】（1）判断直线与圆的位置关系的方法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则：①若r d <，则直线与圆相交；②若r d ≤，则直线与圆相交或相切；③若r d >，则直线与圆相离；④若r d ≥，则直线与圆相离或相切．（2）需记忆常用的重要不等式①若,,00>>b a 则ab b a 2≥+；②22222b a b a ab +≤+≤)(． 12．A解析：A 【解析】试题分析：设圆心为(),2C m ，切点(),P x y ，由题意知222OP PC OC+=；而22222222,4,1OP x y OC m PC r m =+=+==+，代入化简得322=+y x ，故选A ．考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系．二、填空题13．【解析】【分析】根据条件以A 为圆心的圆与y 轴相切且交AF 于点B 求出半径然后根据垂径定理建立方程求解【详解】设以为圆心的圆与轴相切则半径由抛物线的定义可知又∴解得则圆A 截线段AF 的垂直平分线所得弦长为 解析：2【解析】 【分析】根据条件以A 为圆心的圆与y 轴相切，且交AF 于点B ，2AB BF =，求出半径，然后根据垂径定理建立方程求解 【详解】设11(,)A x y ，以A 为圆心的圆与y 轴相切，则半径1r x =， 由抛物线的定义可知，12pAF x =+，又2AB BF =， ∴111122p AF x x x =+=+，解得1x p =，则32pAF =，圆A 截线段AF 即2297164p p -=，解得2p =．故答案为2． 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义，合理利用圆的弦长是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．14．或【解析】【分析】先把直线的方程转化为普通方程再根据直线与圆的位置关系求解【详解】直线的普通方程为圆的普通方程为当它们相切时有解得故直线的倾斜角或【点睛】本题主要考查直线的参数方程与普通方程的转化以解析：6π或56π 【解析】 【分析】先把直线的方程转化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系求解。

高考专题训练二十八 几何证明选讲(选修4－1) 班级________ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：100分 总得分_______一、填空题(每小题6分，共30分)1．(2011·陕西)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析：由∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，知△ABE ∽△ADC ，∴AE AC ＝AB AD ，∴AE ＝AB AD ·AC ＝6×412＝2，∴BE ＝AB 2－AE 2＝32＝4 2.答案：4 22.(2011·湖南)如图，A 、E 是半圆周上的两个三等分点，直线BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________．解析：如图所示，∵A 、E 是半圆周上两个三等分点，∴△ABO 和△AOE 均为正三角形．∴AE ＝BO ＝12BC ＝2.∵AD ⊥BC ， ∴AD ＝22－12＝3，BD ＝1.又∠BOA ＝∠OAE ＝60°，∴AE ∥BD .∴△BDF ∽△EAF ，∴DF AF ＝BD AE ＝12. ∴AF ＝2FD ，∴3AF ＝2(FD ＋AF )＝2AD ＝23，∴AF ＝233. 答案：2333．(2011·深圳卷)如图，A ，B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，则DE ＝________.解析：连接AB ，设BC ＝AD ＝x ，结合图形可得△CAB 与△CED 相似，于是AC EC ＝CB CD. 即4x ＋10＝x 4＋x⇒x ＝2. 又因为AC 是小圆的直径，所以∠CBA ＝90°，由于∠CDE ＝∠CBA ，所以∠CDE ＝90°.在直角三角形CDE 中，DE ＝CE 2－CD 2＝122－62＝6 3.答案：6 34．(2011·佛山卷)如图，过圆外一点P 作⊙O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE 、BE ，∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于点C 、D ，若∠AEB ＝30°，则∠PCE ＝________.解析：由切割线性质得：PE 2＝PB ·PA ，即PE PA ＝PB PE， ∴△PBE ∽△PEA ，∴∠PEB ＝∠PAE ，又△PEA 的内角和为2(∠CPA ＋∠PAE )＋30°＝180°，所以∠CPA ＋∠PAE ＝75°，即∠PCE ＝75°.答案：75°5.如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD＝a ，CD ＝a 2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________.分析：本题考查勾股定理及三角形中位线的性质．解析：连接BD 、DE ，由题意可知DE ⊥AB ，DE ＝32a ，BC ＝DE ＝32a ，∴BD ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝a ，∴EF ＝12BD ＝a 2. 答案：a 2二、解答题(每小题10分，共70分) 6．如图，已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，∠B ＝60°，F 在AC 上，且AE ＝AF .(1)求证：B ，D ，H ，E 四点共圆；(2)求证：CE 平分∠DEF .证明：(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，所以∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF.7．如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD.(1)求证：∠EDF＝∠CDF；(2)求证：AB2＝AF·AD.证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDF＝∠ABC.又∠ADB与∠EDF是对顶角，∴∠ADB＝∠EDF.又∠ADB＝∠ACB，∴∠EDF＝∠CDF.(2)由(1)知∠ADB ＝∠ABC .又∵∠BAD ＝∠F AB ，∴△ADB ∽△ABF ，∴AB AF ＝AD AB，∴AB 2＝AF ·AD . 8．(2011·辽宁)如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．证明：(1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD .因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC ＝∠EBA ，故∠ECD ＝∠EBA .所以CD ∥AB .(2)由(1)知，AE ＝BE ，因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ，从而∠FED ＝∠GEC .连接AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠F AE ＝∠GBE .又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠F AB ＝∠GBA ，所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°，故A ，B ，G ，F 四点共圆．9．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AB 的垂线，交直线AC 于点E ，交AD 于点F ，过G 作⊙O 的切线，切点为H .求证：(1)C ，D ，F ，E 四点共圆；(2)GH 2＝GE ·GF .证明：(1)连接CB ，∵∠ACB ＝90°，AG ⊥FG ，又∵∠EAG ＝∠BAC ，∴∠ABC ＝∠AEG .∵∠ADC ＝180°－∠ABC ＝180°－∠AEG ＝∠CEF ，∴∠ADC ＋∠FDC ＝∠CEF ＋∠FDC ＝180°，∴C ，D ，F ，E 四点共圆．(2)由C ，D ，F ，E 四点共圆，知∠GCE ＝∠AFE ，∠GEC ＝∠GDF ，∴△GCE ∽△GFD ，故GC GF ＝GE GD，即GC ·GD ＝GE ·GF .∵GH 为圆的切线，GCD 为割线，∴GH 2＝GC ·GD ，∴GH 2＝GE ·GF .10．(2011·课标)如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径． 解：(1)证明：连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ，即AD AC ＝AE AB.又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB .所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC .从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5 2.11.(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学第一次联考)已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；(2)求证：QT＝TS.证明：(1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90°，∴Q、H、K、P四点共圆．(2)∵Q、H、K、P四点共圆，∴∠HKS＝∠HQP，①∵∠PSR＝90°，∴PR为圆的直径，∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP，②而∠QSP＝∠QRH，③由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK，又∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS.12．(2011·河南省教学质量调研)如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.(1)求证：FB ＝FC ；(2)求证：FB 2＝FA ·FD ；(3)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6 cm ，求AD 的长．解：(1)证明：∵AD 平分∠EAC .∴∠EAD ＝∠DAC .∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC .∵∠EAD ＝∠F AB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC .(2)证明：∵∠F AB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ，∴△FBA ∽△FDB ，∴FB FD ＝FA FB， ∴FB 2＝FA ·FD .(3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°. ∴∠D ＝30°.∵BC ＝6 cm ，∴AC ＝23cm ，∴AD ＝2AC ＝43cm.。

1．(2011·全国新课标文)（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为A B C ∆的边AB ，AC 上的点，且不与A B C ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根． （I ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．2．(2011·辽宁理)（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC =ED ． （I ）证明：CD //AB ；（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF =EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．3.(2011江苏)选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分） 如图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为1r 与212()r r r >，圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上）， 求证：:A B A C 为定值。

4.（2011陕西文) B.（几何证明选做题）如图，,,B D AE BC ∠=∠⊥090,ACD ∠=且6A B =，4A C =，12,AD =则AE =_______.5．(2011广东文)（几何证明选讲）如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E 、F 分别为AD 、BC 上点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为 ．21-A 第图6(2011天津文)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且若CE与圆相切,则线段CE的长为 .【答案】27.（2011北京理）如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G。

第1题图 第6题图第9题图 选修4-1《几何证明选讲》综合复习一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.1.如图4所示,圆O 的直径AB =6,C 为圆周上一点,BC =3过C 作 圆的切线l ,过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则∠DAC =( ) A .15︒ B .30︒ C .45︒ D .60︒2.在Rt ABC ∆中,CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线,该图中共有x 个三角形与ABC ∆相似,则x =( ) A .0 B .1 C .2 D .33.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm 和18cm 两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为( ) A .11cm B .33cm C .66cm D .99cm4.如图,在ABC ∆和DBE ∆中,53AB BC AC DB BE DE ===,若ABC ∆与 DBE ∆的周长之差为10cm ,则ABC ∆的周长为( ) A .20cm B .254cm C .503cm D .25cm 5.O 的割线PAB 交O 于,A B 两点,割线PCD 经过圆心,已知226,12,3PA PO AB ===,则O 的半径为( )A .4 B.6C.6D .8 6.如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥于点D , 且DB AD 3=,设COD θ∠=,则2tan 2θ＝( )A .13B .14C.4- D .37.在ABC ∆中,,D E 分别为,AB AC 上的点,且//DE BC ,ADE ∆的面积是22cm ,梯形DBCE 的面积为26cm ,则:DE BC 的值为( )A. B .1:2 C .1:3 D .1:4 8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个. A .2 B .3 C .4 D .5 9.如图甲,四边形ABCD 是等腰梯形,//AB CD .由4个这样的 等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形, 则四边形ABCD 中A ∠度数为 ( )A .30︒B .45︒C .60︒D .75︒10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠 压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑 直径为10mm ,若所用钢珠的直径为26 mm ,则凹坑深度为( ) A .1mm B .2 mm C .3mm D .4 mmA B CDE第4题图∙第 14 1题图O CDBA第12题图二、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在题中横线上.11.如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,∠C ＝720,⊙O 过A 、B 两点且 与BC 相切于点B ,与AC 交于点D ,连结BD , 若BC ＝15-,则AC ＝12.如图,AB 为O 的直径,弦AC 、BD 交于点P , 若3,1AB CD ==,则sin APD ∠=13.如图，EF 是O 的直径，MN 是O 的弦，10,EF cm =8MN cm =，则E F、两点到直线MN 的距离之和等于__________(第13题图) (第14题图)14.如图，1O 过O 的圆心O ，与O 交于A B 、两点，C 在O 上，CB 延长线交1O 于点D ，CO 延长线交1O 于E ，108EDC ∠= ，则C ∠=__________15.相交两圆1O 与2O 的公共弦长3AB =，延长AB 到P 作PC 切1O 于C ，PD 切2O 于D ，若2PC =，则PD =__________16.如图，AB 的延长线上任取一点C ，过C 作圆的切线CD ，切点为D ，ACD ∠的平分线交AD 于E ,则CED ∠=__________(第16题图) (第17题图)17.如图，AB 是O 的直径，D 是O 上一点，E 为 BD的中点，O 的弦AD 与BE 的延长线相交于C ，若18,AB =12,BC =则AD =__________18.如图，AD CE 、分别是ABC的两条高，则 (1) A E D C 、、、四点__________（是否共圆） (2) BDE __________BAC(∽,≌),为什么？(3) 10,AC =4sin 5B =，则DE =__________ 19.如图，PC 是O 的切线， C 为切点，PAB 为割线，4,PC =8,PB =30B ∠= ，则BC =__________(第19题图) (第20题图)20.如图ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D ，若1,AB =AD =30ADB ∠= ，则ABCACDS S = __________.21.如图，PQ 为半圆O 的直径，A 为以OQ 为直径的半圆A 的圆心，O 的弦PN 切A 于点N ，8,PN =则A 的半径为__________(第21题图) (第22题图)22.如图ABC中，D 是AB 的一个三等分点，//DE BC ，//EF BC ，2AF =，则AB =__________ 23.如图，在ABC中，AD 是BC 边上中线，AE 是BC 边上的高，DAB DBA ∠=∠,18AB =,12BE =,则CE =__________.(第23题图)(第24题图)A CP D OE F B第26题图 第25题图第27题图C24.如图，AD 是ABC 的高，AE 是ABC 外接圆的直径，圆半径为5，4AD =，则AB AC = __________三、解答题:本大题共3小题,共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25.(本小题满分8分)如图:,EB EC 是O 的两条切线,,B C 是切点,,A D 是 O 上两点,如果46,32E DCF ∠=︒∠=︒,试求A ∠的度数.26.(本小题满分10分)如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ,E 为⊙O 上一点,AE AC =,DE 交AB 于点F ,且42==BP AB ,求PF 的长度.27.(本小题满分12分)如图,A 是以BC 为直径的O 上一点,AD BC ⊥于点D ,过点B 作O 的切线,与CA 的延长线相交于点E G ，是AD 的中点,连结CG 并延长与BE 相交于点F ,延长AF 与CB 的延长线相交于点P . (1)求证:BF EF =；(2)求证:PA 是O 的切线；(3)若FG BF =,且O 的半径长为求BD 和FG 的长度.。

选修4－1 几何证明选讲第1课时 相似三角形的进一步认识(对应学生用书(理)179～181页)1. 如图，△ABC 中， DE ∥BC, DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，求BF 的长． 解：DE BC ＝AE AC 6BC ＝35BC ＝10，∴ BF ＝10－6＝4.2. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，若AD ＝4，DB ＝2，求DE 与BC 的长度比．解：因为DE ∥BC ，所以DE BC ＝AD AB ＝46＝23.3. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD.且AB ＝2，AD ＝2，求AF 的长．解：设AF ＝x ，则由AD DB ＝AE EC ＝AF DF ，22－2＝x2－x，解得x ＝1.4. 如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB.连结BD 、EC ，若BD ∥EC ，求△BCD 和四边形ABCD 的面积．解：S △BCD ＝S △BDE ＝12·BE ·DF ＝12×1×3＝32，S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝12·AE ·DF ＝12×4×3＝6.5. 如图，平行四边形ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2，△AEF 的面积为6，求△ADF 的面积．解：由题意可得△AEF ∽△CDF ，且相似比为1∶3，由△AEF 的面积为6，得△CDF 的面积为54.又S △ADF ∶S △CDF ＝1∶3，所以S △ADF ＝18.1. 平行截割定理(1) 平行线等分线段定理及其推论①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．②推论：经过梯形一腰的中点而平行于底边的直线平分另一腰． (2) 平行截割定理及其推论①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例． ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形的边与原三角形的对应边成比例．(3) 三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比． (4) 梯形的中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 2. 相似三角形(1) 相似三角形的判定 ①判定定理a. 两角对应相等的两个三角形相似．b. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．c. 三边对应成比例的两个三角形相似．②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． ③直角三角形相似的特殊判定．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． (2) 相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．(3) 直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．[备课札记]题型1平行线分线段成比例问题例1如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，E是AB边的中点，求证：ED＝EC.证明：如图，过E点作EF∥BC交DC于点F.在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥EF∥BC.∵E是AB的中点，∴F是DC的中点．∵∠ADC＝90°，∴∠DFE＝90°.∴EF是DC的垂直平分线，∴ED＝EC.备选变式（教师专享）如图，在△ABC中，作直线DN平行于中线AM，设这条直线交边AB于点D，交边CA的延长线于点E，交边BC于点N.求证：AD∶AB＝AE∶AC.证明：∵ AM ∥EN ，∴ AD ∶AB ＝NM ∶MB ，NM ∶MC ＝AE ∶AC. ∵ MB ＝MC ，∴ AD ∶AB ＝AE ∶AC. 题型2 三角形相似的证明与应用例2 已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，过点D 作AC 的平行线DE ，交BA 的延长线于点E.求证：(1) △ABC ≌△DCB ； (2) DE·DC ＝AE·BD.证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是等腰梯形，∴ AC ＝DB. ∵ AB ＝DC ，BC ＝CB ，∴ △ABC ≌△BCD. (2) ∵ △ABC ≌△BCD ，∴ ∠ACB ＝∠DBC ，∠ABC ＝∠DCB ，∵ AD ∥BC ，∴ ∠DAC ＝∠ACB ，∠EAD ＝∠ABC. ∵ ED ∥AC ，∴ ∠EDA ＝∠DAC ， ∴ ∠EDA ＝∠DBC ，∠EAD ＝∠DCB. ∴ △ADE ∽△CBD.∴ DE ∶BD ＝AE ∶CD ， ∴ DE ·DC ＝AE·BD. 变式训练如图，在矩形ABCD 中，AB>12·AD ，E 为AD 的中点，连结EC ，作EF ⊥EC ，且EF交AB 于F ，连结FC.设ABBC＝k ，是否存在实数k ，使△AEF 、△ECF 、△DCE 与△BCF 都相似？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．解：假设存在实数k 的值，满足题设． ①先证明△AEF ∽△DCE ∽△ECF. 因为EF ⊥EC ，所以∠AEF ＝90°－∠DEC ＝∠DCE. 而∠A ＝∠D ＝90°，故△AEF ∽△DCE.故得CE EF ＝DE AF .又DE ＝EA ，所以CE EF ＝AE AF.又∠CEF ＝∠EAF ＝90°， 所以△AEF ∽△ECF.②再证明可以取到实数k 的值，使△AEF ∽△BCF ，由于∠AFE ＋∠BFC ≠90°，故不可能有∠AFE ＝∠BFC ，因此要使△AEF ∽△BCF ，应有∠AFE ＝∠BFC ， 此时，有AE AF ＝BC BF ，又AE ＝12BC ，故得AF ＝12BF ＝13AB.由△AEF ∽△DCE ，可知AE AF ＝CDDE ，因此，⎝⎛⎭⎫12BC 2＝13AB 2， 所以AB 2BC 2＝34，求得k ＝AB BC ＝32.可以验证，当k ＝32时，这四个三角形都是有一个锐角等于60°的直角三角形，故它们都相似．题型3 射影定理的应用例3 已知：如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F.求证：AE·BF·AB ＝CD 3.证明：∵ ∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴ CD 2＝AD ·BD ，故CD 4＝AD 2·BD 2. 又在Rt △ADC 中，DE ⊥AC ， Rt △BDC 中，DF ⊥BC ， ∴ AD 2＝AE·AC ，BD 2＝BF·BC. ∴ CD 4＝AE·BF·AC·BC. ∵ AC ·BC ＝AB·CD ， ∴ CD 4＝AE·BF·AB ·CD ，即AE·BF·AB ＝CD 3. 备选变式（教师专享）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，垂足为E ，∠ABC ＝45°，过E 作AD 的垂线交AD 于F ，交BC 于G ，过E 作AD 的平行线交AB 于H.求证：FG 2＝AF·DF ＋BG·CG ＋AH·BH.证明：因为AC ⊥BD ，故△AED 、△BEC 都是直角三角形． 又EF ⊥AD ，EG ⊥BC ， 由射影定理可知AF·DF ＝EF 2， BG ·CG ＝EG 2.又FG 2＝(FE ＋EG)2＝FE 2＋EG 2＋2FE·EG ＝AF·DF ＋BG·CG ＋2FE·EG ，∠ABC ＝45°，如图，过点H 、A 分别作直线HM 、AN 与BC 垂直，易知，AH ＝2FE ，BH ＝2EG ，故AH·BH＝2EF·EG.所以FG2＝AF·DF＋BG·CG＋2FE·EG＝AF·DF＋BG·CG＋AH·BH.1. 如图，在ABCD中，BC＝24，E、F为BD的三等分点，求BM－DN的值．解：∵ E、F为BD的三等分点，四边形为平行四边形，∴M为BC的中点．连CF交AD于P，则P为AD的中点，由△BCF∽△DPF及M为BC中点知，N为DP的中点，∴BM－DN＝12－6＝6.2. 如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CAB＝∠CDB.再由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA.因此∠DBA＝∠CDB，所以AB∥CD.3. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中位线，BD交EF于P，已知EP∶PF＝1∶2，AD＝7 cm，求BC的长．解：EF是梯形中位线，得EF∥AD∥BC，∴PEAD＝PE7＝BEAB＝12，PFBC＝FDCD＝12.∵PE∶PF＝1∶2,∴BC＝2PF＝14cm.4. 如图，已知A、B、C三点的坐标分别为(0，1)、(－1，0)、(1，0)，P是线段AC上一点，BP交AO于点D，设三角形ADP的面积为S，点P的坐标为(x，y)，求S关于x的函数表达式．解：如图，作PE ⊥y 轴于E ，PF ⊥x 轴于F ，则PE ＝x ，PF ＝y. ∵ OA ＝OB ＝OC ＝1，∴ ∠ACO ＝∠FPC ＝45°， ∴ PF ＝FC ＝y ，∴ OF ＝OC －FC ＝1－y ， ∴ x ＝1－y ，即y ＝1－x ， ∴ BF ＝2－y ＝1＋x.∵ OE ∥FP ，∴ △BOD ∽△BFP ， ∴OD PF ＝BO BF ，即OD y ＝11＋x， ∴ OD ＝y 1＋x ＝1－x 1＋x，∴ AD ＝1－OD ＝1－1－x 1＋x ＝2x1＋x ，S △ADP ＝12AD ·PE ＝12·2x 1＋x ×x ＝x 21＋x ，∴ S ＝x 21＋x(0<x ≤1)．1. 在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，求|PA|2＋|PB|2|PC|2.解：不失一般性，取特殊的等腰直角三角形，不妨令|AC|＝|BC|＝4，则|AB|＝42，|CD|＝12|AB|＝22，|PC|＝|PD|＝12|CD|＝2，|PA|＝|PB|＝|AD|2＋|PD|2＝（22）2＋（2）2＝10，所以|PA|2＋|PB|2|PC|2＝10＋102＝10.2. 如图，在ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD.(1) 求证：△ABF ∽△CEB ；(2) 若△DEF 的面积为2，求ABCD 的面积． (1) 证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ ∠A ＝∠C ，AB ∥CD ， ∴ ∠ABF ＝∠CEB ，∴ △ABF ∽△CEB. (2) 24.3. 如图，四边形ABCD 是正方形，E 是AD 上一点，且AE ＝14AD ，N 是AB 的中点，NF ⊥CE 于F ，求证：FN 2＝EF·FC.证明：连结NC 、NE ，设正方形的边长为a ， ∵ AE ＝14a ，AN ＝12a ，∴ NE ＝54a.∵ BN ＝12a ，BC ＝a ，∴ NC ＝52a.∵ DE ＝34a ，DC ＝a ，∴ EC ＝54a.又NE 2＝516a 2，NC 2＝54a 2，EC 2＝2516a 2，且NE 2＋NC 2＝EC 2，∴ EN ⊥NC.∵ NF ⊥CE ，∴ FN 2＝EF·FC.4. 在梯形ABCD 中，点E 、F 分别在腰AB 、CD 上，EF ∥AD ，AE ∶EB ＝m ∶n.求证：(m ＋n)EF ＝mBC ＋nAD.你能由此推导出梯形的中位线公式吗？解：如图，连结AC ，交EF 于点G. ∵ AD ∥EF ∥BC ， ∴ DF FC ＝AE EB ＝m n， ∴AE AB ＝m m ＋n ，CF CD ＝n m ＋n. 又EG ∥BC ，FG ∥AD ， ∴AE AB ＝EG BC ＝m m ＋n ，CF CD ＝GF AD ＝n m ＋n， ∴ EG ＝m m ＋n ·BC ，GF ＝nm ＋n ·AD.又EF ＝EG ＋GF ，∴ (m ＋n)EF ＝mBC ＋nAD.∴ 当m ＝n ＝1时，EF ＝12(BC ＋AD)，即表示梯形的中位线．比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a b ＝cd(或a ∶b ＝c ∶d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1) 在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成统一单位． (2) 当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(3) 比例线段是有顺序的，如果说a 是b ，c ，d 的第四比例项，那么应得比例式为：bc ＝d a.请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。

[选修4－1：几何证明选讲]一、填空题1．(2021·广东卷)如图，在矩形中ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，那么ED ＝__________.解析：在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝3， ∴AC ＝32＋32＝23.∵AB2＝AE·AC， ∴AE ＝3223＝32.过E 作EF ⊥AD ，得：AEAC ＝EFCD. ∴3223＝EF 3，∴EF ＝34， 又∵EF ∥CD ，∴AFAD ＝AEAC，∴AF 3＝3223，∴AF ＝34. ∴FD ＝3－34＝94.在△EFD 中，DE ＝EF 2＋DF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫942＝844＝212. 答案：2122．(2021·陕西卷)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，那么PE ＝__________. 解析：如图，∵PE ∥BC ， ∴∠PED ＝∠C ， 又∵∠A ＝∠C ，∴∠PED ＝∠A ， 又∵∠P 是公共角． ∴△PDE ∽△PEA.∴PEPA ＝PDPE ，∴PE2＝PA·PD＝3×2＝6. ∴PE ＝ 6. 答案：63．(2021·天津卷)如图，在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC ，过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E.假设AB ＝AD ＝5，BE ＝4，那么弦BD 的长为__________． 解析：∵AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠BCD ，∠2＝∠3， 又∵∠ABE ＝∠ADC ，∠1＝∠2， ∴∠ADC ＝∠BCD ， ∴BC ＝AD ＝5， 又AE 为切线，∴AE2＝EB·EC＝4×9＝36，∴AE ＝6. 又∠BAE ＝∠1，∠1＝∠2， ∴∠BAE ＝∠3，又∠DCB ＝∠ABE ， ∴△DCB ∽△ABE.∴DB AE ＝BC BE ，∴DB ＝6×54＝152. 答案：152二、解答题4．(2021·新课标全国卷Ⅰ)如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D. (1)证明：DB ＝DC ； (2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．解析：(1)连接DE ，交BC 为G ，由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE ，BE ＝CE ，又因为DB ⊥BE ，因此DE 为直径，由勾股定理得DB ＝DC ，(2)由(1)，∠CDE ＝∠DBE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，故BG ＝32，圆心为O ，连接BO ，那么∠BOG＝60°，∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，因此CF ⊥BF ，故外接圆半径为32.5．(2021·新课标全国卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 别离为弦AB 与弦AC 上的点，且BC·AE＝DC·AF，B ，E ，F ，C 四点共圆． (1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)假设DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．解析：(1)因为CD 为△ABC 外接圆的切线，因此∠DCB ＝∠A ，由题设知BC FA ＝DCEA ，故△CDB ∽△AEF ，因此∠DBC＝∠EFA.因为B ，E ，F ，C 四点共圆，因此∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°，因此∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连结CF ，因为∠CBE ＝90°，因此过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC2＝DB·BA＝2DB2，因此CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.6．(2021·辽宁卷)如图，AB 为⊙O 直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE.证明： (1)∠FEB ＝∠CEB ； (2)EF2＝AD·BC.证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB. 由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2，从而∠FEB ＝∠EAB.故∠FEB ＝∠CEB.(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边， 得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，因此BC ＝BF ， 类似可证：Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF. 又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF2＝AF·BF， 因此EF2＝AD·BC.[选修4－4：坐标系与参数方程] 一、填空题1．(2021·广东卷)已知曲线C 的极坐标方程ρ＝2cosθ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴成立直角坐标系，那么曲线C 的参数方程为__________．解析：将极坐标化为直角坐标得：ρ2＝2ρ·cosθ. ∴x2＋y2＝2x ，即(x －1)2＋y2＝1. 令x －1＝cosθ，y ＝sinθ.得参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cosθ，y ＝sinθ.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cosθ，y ＝sinθ.2．(2021·湖南卷)在平面直角坐标系xOy 中，假设直线l1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t为参数)平行，那么常数a 的值为__________．解析：利用消参法化l1，l2的方程为一样形式是：x －2y －2＝0,2x －ay －a ＝0，由l1∥l2可得－a －(－2)×2＝0，解得a ＝4. 答案：43．(2021·陕西卷)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝2t ，(t 为参数)的核心坐标是__________．解析：化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝2t 为一般方程为y2＝4x ，∴核心坐标为(1,0)． 答案：(1,0)4．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cosαy ＝3sinα(α为参数)的交点个数为__________．解析：将直线化为一样方程为x ＋y －1＝0，曲线转化为一样方程为x2＋y2＝9，圆心(0,0)到直线的距离d ＝12＝22＜r ＝3，故直线与曲线的交点个数为2.答案：25．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asinθy ＝3cosθ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，那么a ＝__________.解析：曲线C1：y ＝3－2x 与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，此点也在曲线C2：x2a2＋y29＝1上，代入可得a ＝32.答案：326．已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt (t 为参数)，其中p ＞0，核心为F ，准线为l.过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E.假设|EF|＝|MF|.点M 的横坐标为3，那么p ＝__________.解析：消参得抛物线方程为y2＝2px ， ∵|EF|＝|MF|＝|ME|，∴△MEF 为正三角形，那么|EM|＝2|DF|， 即3＋p2＝2p ，得p ＝2.答案：27．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝t －12，(t 为参数)相交于A ，B 两点，那么线段AB 的中点的直角坐标为__________． 解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －12化为直角坐标方程是y ＝(x －2)2，射线θ＝π4化为直角坐标方程是y ＝x(x≥0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －22，y ＝x x≥0，消去y 得x2－5x ＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4.因此y1＝1，y2＝4.故线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x1＋x22，y1＋y22，即⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫52，528．(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1与C2的参数方程别离为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t(t 为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cosθy ＝2sinθ(θ为参数)，那么曲线C1与C2的交点坐标为__________．解析：C1与C2的一般方程别离为：y ＝x 和x2＋y2＝2，联立方程解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴其交点为(1,1)．答案：(1,1)二、解答题9．(2021·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cost ，y ＝5＋5sint ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ. (1)把C1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ≤2π)．解析：(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cost ，y ＝5＋5sint ，消去参数，得(x －4)2＋(y －5)2＝25即x2＋y2－8x －10y ＋16＝0，故C1极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0. (2)C2的一般方程为x2＋y2－2y ＝0，联立C1，C2得方程，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，因此交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.10．(2021·新课标全国卷Ⅱ)已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cost ，y ＝2sint (t 为参数)上，对应参数别离为t ＝α与l ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判定M 的轨迹是不是过坐标原点．解析：(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cosα，sinα＋sin2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cosα＋cos2α，y ＝sinα＋sinα，(α为参数，0＜α＜2π)． (2)M 点到坐标原点的距离 d ＝x2＋y2＝2＋2cosα(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．11．(2021·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，圆C1，直线C2的极坐标方程别离为ρ＝4sinθ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P 为C1的圆心，Q 为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t3＋a ，y ＝b2t3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解析：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y －2)2＝4， 直线C2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋y －22＝4，x ＋y －4＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝0，y1＝4.⎩⎪⎨⎪⎧x2＝2，y2＝2.因此C1与C2交点的极坐标别离为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标别离为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1，因此⎩⎪⎨⎪⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.12．在直角坐标系xOy 中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x －2)2＋y2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，别离写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程． 解析：(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2ρ＝4cosθ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C1与圆C2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.(2)方式一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，得圆C1与C2交点的直线坐标别离为(1，3)，(1，－3)．故圆C1与C2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t≤ 3.⎝⎛⎭⎪⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y ，－3≤y≤3 方式二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，得ρcosθ＝1，从而ρ＝1cosθ. 于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tanθ，－π3≤θ≤π3. 13．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N的极坐标别离为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cosθy ＝－3＋2sinθ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判定直线l 与圆C 的位置关系．解析：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标别离为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x.(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标别离为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，233，因此直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0.又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2， 圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交． 14．已知曲线C1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cosφy ＝3sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的极点都在C2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针顺序排列，点A的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围． 解析：(1)由已知可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2， 即A(1，3)，B(－3，1)，C(－1，－3)，D(3，1)．(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S ＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，那么S ＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. 因为0≤sin2φ≤1，因此S 的取值范围是[32,52]．[选修4－5：不等式选讲]一、填空题1．(2021·陕西卷)设a ，b ∈R ，|a －b|＞2，那么关于实数x 的不等式|x －a|＋|x －b|＞2的解集是__________． 解析：由数轴上两点间距离的几何意义，可知|x －a|＋|x －b|≥|a－b|＞2.∴不等式|x －a|＋|x －b|＞2的解集为(－∞，＋∞)．答案：(－∞，＋∞)2．假设存在实数x 使|x －a|＋|x －1|≤3成立，那么实数a 的取值范围是______________．解析：存在实数x 使不等式|x －a|＋|x －1|≤3成立，只要|x －a|＋|x －1|的最小值小于等于3即可，由于|x －a|＋|x －1|≥|(x－a)－(x －1)|＝|a －1|，故|a －1|≤3即可，解得－2≤a≤4.答案：－2≤a≤43．不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0的解集为__________．解析：令f(x)＝|2x ＋1|－2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x≤－12，4x －1，－12＜x ＜1，3，x≥1.f(x)＝0的根为x ＝14，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＞14.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞14 二、解答题4．(2021·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集； (2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f(x)≤g(x)，求a 的取值范围． 解析：当a ＝－2时，令y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x ≤12，－x －2，12≤x≤1，3x －6，x ＞1做出函数图象可知，当x ∈(0,2)时，y ＜0，故原不等式的解集为{x|0＜x ＜2}； (2)依题意，原不等式化为1＋a≤x＋3，故x≥a－2对⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立，故－a 2≥a－2，故a≤43，故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－1，43. 5．(2021·新课标全国卷Ⅱ)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ca≤13； (2)a2b ＋b2c ＋c2a≥1. 证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc ＋ca. 由题设得(a ＋b ＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.因此3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca≤13. (2)因为a2b ＋b≥2a，b2c ＋c≥2b，c2a＋a≥2c， 故a2b ＋b2c ＋c2a ＋(a ＋b ＋c)≥2(a＋b ＋c)，即a2b ＋b2c ＋c2a≥a＋b ＋c. 因此a2b ＋b2c ＋c2a≥1. 6．(2021·辽宁卷)已知函数f(x)＝|x －a|，其中a ＞1.(1)当a ＝2时，求不等式f(x)＝4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 析不等式|f(2x ＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a 的值．解析：(1)当a ＝2时，f(x)＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x≥4.当x≤2时，由f(x)≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x≤1；当2＜x ＜4时，f(x)≥4－|x －4|无解；当x≥4时，由f(x)≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x≥5；因此f(x)≥4－|x －4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．(2)记h(x)＝f(2x ＋a)－2f(x)，那么h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x≥a.由|h(x)|≤2，解得a －22≤x≤a ＋12. 又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，因此⎩⎪⎨⎪⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.7．已知函数f(x)＝m －|x －2|，m ∈R ，且f(x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m 的值；(2)假设a ，b ，c ∈R ，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c≥9. 解析：(1)因为f(x ＋2)＝m －|x|，f(x ＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m 有解，得m≥0，且解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，又a ，b ，c ∈R ，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.。

第十一章⎪⎪⎪几何证明选讲(选修4－1)第一节 相似三角形的判定及有关性质1．平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． (2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． (3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似． 3．相似三角形的性质定理(1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．4．直角三角形相似的判定定理(1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． (2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． (3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．5．直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF＝12 cm ，则BC 的长为________ cm.解析：由⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点， 又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm. ∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：242.(教材习题改编)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，故S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：451．在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误．3．射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用．[小题纠偏]1.(2016·鞍山模拟)如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于点F ，则BF ∶FD 的值为________．解析：因为AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， 所以BE ∶AD ＝2∶5，因为AD ∥BC ， 所以BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5， 所以BF ∶FD 的值为25.答案：252.如图，在Rt △ABC 中 ，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，则AD ∶BC 为________．解析：设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ， ∴AC 2＝CD ·BC ， ∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ， ∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5. 答案：2∶5考点一 平行线分线段成比例定理的应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，求EF 的值．解：∵AD ∥BC ， ∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53， ∴OB BD ＝58.∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58.∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15.2．如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC 的值．解：如图，过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM . 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.[谨记通法]平行线分线段成比例定理及推论的应用的一个注意点及一种转化(1)一个注意点：利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．(2)一种转化：解决此类问题往往需要作辅助的平行线，要结合条件构造平行线组，再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题．考点二 相似三角形的判定及性质 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC . 证明：设AB ＝AC ＝3a ， 则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角， 故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC ＝90°，得∠EFC ＝90°， 故EF ⊥BC .(2)由(1)得EF ＝FC AC ·AB ＝2a ， 故AE EF ＝a 2a ＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22，∴AE EF ＝AD BF， ∴△ADE ∽△FBE ， 所以∠ADE ＝∠EBC .[由题悟法]证明相似三角形的一般思路(1)先找两对内角对应相等．(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例． (3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．[即时应用]如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠BCE .又因为AD ＝AC ，所以∠ADC ＝∠ACB.所以△ABC ∽△FCD.(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ， 垂足为点M .因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ， 所以S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20. 因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BDBM . 因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.考点三 直角三角形中的射影定理 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图所示，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，F ，G 分别为垂足．求证：AF ·AC ＝BG ·BE . 证明：因为CD 垂直平分AB ， 所以∠ADC ＝∠BDC ＝90°，AD ＝D B.在Rt △ADC 中，因为DF ⊥AC ， 所以AD 2＝AF ·AC . 同理BD 2＝BG ·BE . 所以AF ·AC ＝BG ·BE .[由题悟法]对射影定理的理解和应用(1)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影．(2)要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式．(3)注意射影定理与勾股定理的结合应用．[即时应用]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，求tan ∠BCD 的值． 解：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 又BD ∶AD ＝1∶9， 令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2， ∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.1.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，求EF BC ＋FGAD 的值．解：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ，故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC ＝1.2.如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，求△DEF 的边长．解：设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MH AH ， 所以x4＝3－32x 3＝2－x 2，解得x ＝43.故△DEF 的边长为43.3.如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，求AFAC的值． 解：∵AD ∥BC ， ∴△AEF ∽△CNF ， ∴AF CF ＝AE CN ， ∴AF AF ＋CF ＝AEAE ＋CN.∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AMBM ＝1，∴AE ＝BN ， ∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE 2AE ＋BC. ∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6， ∴AF AC ＝22×2＋6＝15.4.如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中， 因为∠H ＋∠BAC ＝90°， ∠GBF ＋∠BAC ＝90°，所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠BFG ＝90°， 所以△AFH ∽△GFB ， 所以HF BF ＝AF GF ， 所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ， 所以DF 2＝AF ·BF . 所以DF 2＝GF ·HF .5.(2016·大连模拟)如图，已知D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝8，求AE 的长．解：因为AE ∥BC ，D 为AC 的中点， 所以AE ＝CF ，AE BF ＝AG BG ＝13.设AE ＝x ，又BC ＝8， 所以x x ＋8＝13，所以x ＝4. 所以AE ＝4.6.(2016·大连模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .(1)求BFFC 的值；(2)若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面积为S 2，求S 1∶S 2的值． 解：(1)过点D 作DG ∥BC ，并交AF 于点G ，因为E 是BD 的中点，所以BE ＝DE . 又因为∠EBF ＝∠EDG ，∠BEF ＝∠DEG ， 所以△BEF ≌△DEG ，则BF ＝DG ， 所以BF ∶FC ＝DG ∶FC .又因为D 是AC 的中点，则DG ∶FC ＝1∶2， 则BF ∶FC ＝1∶2，即BF FC ＝12.(2)若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底， 则由(1)知BF ∶BC ＝1∶3，又由BE ∶BD ＝1∶2，可知h 1∶h 2＝1∶2， 其中h 1，h 2分别为△BEF 和△BDC 的高， 则S △BEF S △BDC ＝13×12＝16， 则S 1∶S 2＝1∶5. 故S 1∶S 2的值为15.7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D.(1)求证：PC AC ＝PDBD ；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为∠CPD ＝∠ABC ，∠PDC ＝∠PDC ， 所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD . 又AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为∠ABC ＋∠APC ＝180°，∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∠ABC ＝∠ACB ， 所以∠ACD ＝∠APC .又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ， 所以AP AC ＝AC AD. 所以AP ·AD ＝AC 2＝9.8.△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于点P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PF PE .证明：过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线及DC 于M ，N .对△MEF ，有PF PE ＝AMAE ，因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AM AF. 对△MBN ，有AB AM ＝BDDN ， 因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DCDN . 对△ADC ，有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝ACAF . 所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PF PE .第二节 直线与圆的位置关系1．圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等； ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角； ②90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3．弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (2)推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． 4．圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设垂足为D ，⊙O 的半径等于R ， ∵AB ，BC 是⊙O 的两条弦， AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22， ∴AD ＝1，∴R 2＝2＋(R －1)2， ∴R ＝1.5.故⊙O 的半径为1.5. 答案：1.52.如图，AC 为⊙O 的直径，OB ⊥AC ，弦BN 交AC 于点M .若OC ＝3，OM ＝1，则MN 的长为________．解析：由题意得： CM ＝CO ＋OM ＝3＋1， AM ＝AO －OM ＝3－1， BM 2＝OB 2＋OM 2＝4，BM ＝2， 根据相交弦定理有CM ·AM ＝BM ·MN ，代入数值可解得MN ＝CM ·AM BM ＝(3＋1)(3－1)2＝1.答案：13.如图，⊙O 的直径AB ＝6 cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若∠CPA ＝30°，PC ＝________ cm.解析：连接OC ，则OC ⊥PC .又OC ＝3，∠CPA ＝30°， ∴CP ＝OCtan 30°＝3 3.答案：3 31．解决圆周角、圆心角及弦切角问题时，角之间关系易于混淆导致错误．2．使用相交弦定理与切割线定理时，注意对应线段成比例及相似三角形知识的应用．[小题纠偏]1.如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B 在圆O 上，BC ＝2，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析：设圆O的半径为r，过B作⊙O的直径BA，连接AC，则∠ACB＝90°.又由弦切角定理得∠CAB＝∠BCD＝30°，∴AB＝2BC＝4.∴r＝2，∴S＝πr2＝4π.答案：4π2.如图所示，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA＝3，AB＝4，PO＝5，则⊙O的半径为________．解析：设⊙O的半径为r.由割线定理得PA·PB＝PC·PD,3×7＝(PO－r)(PO＋r)，即21＝25－r2，∴r2＝4，∴r＝2.答案：2考点一圆周角、弦切角和圆的切线问题(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.(2016·黄冈模拟)已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A，∠ACB的平分线分别交AB，AE于D，F两点，求∠AFD的大小．解：因为AC为圆O的切线，由弦切角定理，得∠B＝∠EAC.又因为CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠BCD，所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD.根据三角形外角定理，∠ADF＝∠AFD.因为BE是圆O的直径，则∠BAE＝90°，所以△ADF是等腰直角三角形．所以∠ADF＝∠AFD＝45°.2．(2015·广东高考改编)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，求OD的长．解：由题意得OP ＝12BC ＝12，OA ＝2，于是PA ＝CP ＝22－⎝⎛⎭⎫122＝152. 因为∠DCP ＝∠B ＝∠POA ，又∠DPC ＝∠APO ，所以△DCP ∽△AOP ， 故PD PA ＝PCPO， 即PD ＝15212×152＝152，所以OD ＝152＋12＝8.[谨记通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．考点二 圆内接四边形的性质及判定 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·昆明模拟)如图所示，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2的另一交点为G .(1)求证：A ，E ，G ，F 四点共圆；(2)若AG 切⊙O 2于G ，求证：∠AEF ＝∠ACG . 证明：(1)如图，连接GD ，四边形BDGE ，四边形CDGF 分别内接于⊙O 1，⊙O 2， ∴∠AEG ＝∠BDG ， ∠AFG ＝∠CDG ，又∠BDG ＋∠CDG ＝180°， ∴∠AEG ＋∠AFG ＝180°，∴A，E，G，F四点共圆．(2)∵A，E，G，F四点共圆，∴∠AEF＝∠AGF，∵AG与⊙O2相切于点G，∴∠AGF＝∠ACG，∴∠AEF＝∠ACG.[由题悟法]证明四点共圆的常用方法(1)若四个点到一定点等距离，则这四个点共圆．(2)若一个四边形的一组对角的和等于180°，则这个四边形的四个顶点共圆．(3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．[即时应用](2016·吉林实验中学)如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F.(1)求证：BC∥DE；(2)若D，E，C，F四点共圆，且AC＝BC，求∠BAC.解：(1)证明：因为DE为圆的切线，所以∠EDC＝∠DAC.又因为∠DAC＝∠DAB，∠DAB＝∠DCB，所以∠EDC＝∠DCB，所以BC∥DE.(2)因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA＝∠CED，由(1)知∠ACF＝∠CED，所以∠CFA＝∠ACF.设∠DAC＝∠DAB＝x，因为AC＝BC，所以∠CBA＝∠BAC＝2x，所以∠CFA＝∠FBA＋∠FAB＝3x，在等腰△ACF中，180°＝∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝7x，则x≈25.7°，所以∠BAC＝2x≈51.4°.考点三 与圆有关的比例线段 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2015·陕西高考)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA;(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径． 解：(1)证明：因为DE 为⊙O 的直径， 所以∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°， 从而∠CBD ＝∠BED.又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ， 所以∠CBD ＝∠DBA . (2)由(1)知BD 平分∠CBA ， 则BA BC ＝ADCD＝3. 又BC ＝2，从而AB ＝3 2. 所以AC ＝AB 2－BC 2＝4， 所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ， 即AE ＝AB 2AD ＝6，故DE ＝AE －AD ＝3， 即⊙O 的直径为3.[由题悟法]与圆有关的比例线段解题思路(1)见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理． (2)见到圆的两条割线就要想到割线定理． (3)见到圆的切线和割线就要想到切割线定理．[即时应用]1．(2015·天津高考改编)如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，求线段NE 的长．解：由题意可得CM ·MD ＝AM ·MB ， 则2×4＝2AM 2，AM ＝2. 又CN ·NE ＝AN ·NB ， 即3NE ＝4×2，解得NE ＝83.2．(2015·湖北高考改编)如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，求ABAC的值． 解：因为PA 是圆的切线， A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理，知PA 2＝PB ·PC ＝PB (PB ＋BC )， 因为BC ＝3PB ，所以PA 2＝4PB 2，即PA ＝2PB. 由弦切角定理，得∠PAB ＝∠PCA ， 又∠APB ＝∠CPA ，故△PAB ∽△PCA ， 所以AB AC ＝PB PA ＝12.1．(2015·重庆高考改编)如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA ＝6，AE ＝9，PC ＝3，CE ∶ED ＝2∶1，求BE 的长．解：由切割线定理，知PA 2＝PC ·PD ， 即62＝3PD ， 解得PD ＝12，所以CD ＝PD －PC ＝9， 所以CE ＝6，ED ＝3.由相交弦定理，知AE ·EB ＝CE ·ED ，即9BE ＝6×3，解得BE ＝2.2．(2016·兰州双基测试)如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P .求证：(1)P ，D ，C ，E 四点共圆； (2)AP ⊥CP .证明：(1)在正△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，知：△ABD ≌△BCE ，∴∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝180°， ∴P ，D ，C ，E 四点共圆．(2)连接DE ，在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD ＝60°， 由正弦定理知∠CED ＝90°，由P ，D ，C ，E 四点共圆知，∠DPC ＝∠DEC ， ∴AP ⊥CP .3．(2016·陕西一检)如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC ＝PD.(1)求证：l 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径OA ＝5，AC ＝4，求CD 的长．解：(1)证明：连接OP ， ∵AC ⊥l ，BD ⊥l ， ∴AC ∥BD.又OA ＝OB ，PC ＝PD ， ∴OP ∥BD ，从而OP ⊥l .∵点P 在⊙O 上，∴l 是⊙O 的切线． (2)由(1)可得OP ＝12(AC ＋BD )，∴BD ＝2OP －AC ＝10－4＝6. 过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ， 则BE ＝BD －AC ＝6－4＝2. ∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝102－22＝4 6. ∴CD ＝4 6.4.(2015·全国卷Ⅰ)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC交⊙O 于点E .(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； (2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小． 解：(1)证明：如图，连接AE ，由已知得AE ⊥BC ，AC ⊥AB. 在Rt △AEC 中，由已知得DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE . 连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB. 又∠ACB ＋∠ABC ＝90°， 所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED ＝90°，即DE 是⊙O 的切线． (2)设CE ＝1，AE ＝x .由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2. 由射影定理可得AE 2＝CE ·BE ， 所以x 2＝12－x 2，即x 4＋x 2－12＝0. 解得x ＝3，所以∠ACB ＝60°.5．(2015·沈阳一模)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的两个点，CE ⊥AB 于E ，BD 交AC 于G ，交CE 于F ，CF ＝FG .(1)求证：C 是劣弧BD 的中点； (2)求证：BF ＝FG .证明：(1)∵CF ＝FG ，∴∠CGF ＝∠FCG . ∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝π2.∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝π2.∵∠CBA ＝π2－∠CAB ，∠ACE ＝π2－∠CAB ，∴∠CBA ＝∠ACE .∵∠CGF ＝∠DGA ，∠DGA ＝∠ABC ， ∴π2－∠DGA ＝π2－∠ABC ， ∴∠CAB ＝∠DAC ， ∴C 为劣弧BD 的中点．(2)∵∠GBC ＝π2－∠CGB ，∠FCB ＝π2－∠GCF ，∴∠GBC ＝∠FCB ，∴CF ＝FB ，∴BF ＝FG .6．(2016·贵州七校联考)如图，⊙O 1和⊙O 2的公切线AD 和BC 相交于点D ，A ，B ，C 为切点，直线DO 1交⊙O 1于E ，G 两点，直线DO 2交⊙O 2于F ，H 两点．(1)求证：△DEF ∽△DHG ；(2)若⊙O 1和⊙O 2的半径之比为9∶16，求DEDF 的值． 解：(1)证明：∵AD 是两圆的公切线， ∴AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ， ∴DE ·DG ＝DF ·DH ，∴DE DH ＝DF DG ， 又∵∠EDF ＝∠HDG ， ∴△DEF ∽△DHG .(2)连接O 1A ，O 2A ， ∵AD 是两圆的公切线， ∴O 1A ⊥AD ，O 2A ⊥AD ， ∴O 1，A ，O 2共线，∵AD 和BC 是⊙O 1和⊙O 2的公切线， DG 平分∠ADB ，DH 平分∠ADC ， ∴DG ⊥DH ，∴AD 2＝O 1A ·O 2A .设⊙O 1和⊙O 2的半径分别为9x 和16x ，则AD ＝12x ， ∵AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ，∴144x 2＝DE (DE ＋18x )，144x 2＝DF (DF ＋32x )， ∴DE ＝6x ，DF ＝4x ， ∴DE DF ＝32.7．(2016·沈阳模拟)如图，已知圆O 1与圆O 2外切于点P ，直线AB 是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A ，B 两点，AC 是圆O 1的直径，过C 作圆O 2的切线，切点为D.(1)求证：C ，P ，B 三点共线； (2)求证：CD ＝CA .证明：(1)连接PC ，PA ，PB ，BO 2，∵AC是圆O1的直径，∴∠APC＝90°.连接O1O2必过点P，∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，∴设∠BAP＝∠ACP＝α，∴∠AO1P＝2α.由于O1A⊥AB，O2B⊥AB，∴∠BO2P＝π－2α，∴∠O2BP＝α.又∠ABP＋∠O2BP＝90°，∴∠ABP＋∠BAP＝90°，∴C，P，B三点共线．(2)∵CD切圆O2于点D，∴CD2＝CP·CB.在△ABC中，∠CAB＝90°，又∵AP⊥BC，∴CA2＝CP·CB，故CD＝CA.8．(2015·全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3， 所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033. 所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.。

第1讲平行截割定理与相似三角形【高考会这样考】考查相似三角形的判定和性质定理的应用及直角三角形的射影定理的应用．【复习指导】复习本讲时，只要掌握好教材上的内容，熟练教材上的习题即可达到高考的要求，该部分的复习以基础知识、基本方法为主，掌握好解决问题的基本技能即可.基础梳理1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理及其推论①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．②推论：经过梯形一腰的中点而且平行于底边的直线平分另一腰．(2)平行截割定理及其推论①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．(3)三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．(4)梯形的中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．2．相似三角形(1)相似三角形的判定①判定定理a．两角对应相等的两个三角形相似．b ．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．c ．三边对应成比例的两个三角形相似．②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．③直角三角形相似的特殊判定斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． (2)相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方． (3)直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．双基自测1．如图所示，已知a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与a 、b 、c 交于点A ，B ，C 和A ′，B ′，C ′，如果AB ＝BC ＝1，A ′B ′＝32，则B ′C ′＝________.解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案．答案 322．如图所示，BD 、CE 是△ABC 的高，BD 、CE 交于F ，写出图中所有与△ACE 相似的三角形________．解析 由Rt △ACE 与Rt △FCD 和Rt △ABD 各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE ＝∠A ，故Rt △ACE ∽Rt △FBE . 答案 △FCD 、△FBE 、△ABD3．(2011·西安模拟)如图，在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、BC 的中点，AN 、CM 交于点O ，那么△MON 与△AOC 面积的比是________． 解析 ∵M 、N 分别是AB 、BC 中点，故MN 綉12AC ， ∴△MON ∽△COA ，∴S △MON S △AOC ＝MN 2AC 2＝14.答案 1∶44．如图所示，已知DE ∥BC ，BF ∶EF ＝3∶2，则AC ∶AE ＝______，AD ∶DB ＝________.解析 ∵DE ∥BC ，∴AE AC ＝DE BC ＝EFBF .∵BF ∶EF ＝3∶2，∴AE AC ＝EF BF ＝23.∴AC ∶AE ＝3∶2.同理DE ∥BC ，得AB ∶AD ＝3∶2，即AB AD ＝32. ∴AD AB ＝23，即AD AB －AD ＝23－2＝2.即ADBD ＝2.∴AD ∶BD ＝2∶1. 答案 3∶2 2∶15．(2010·广东)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E 、F 分别为线段AB 、AD 的中点，则EF ＝________.解析 连接DE 和BD ，依题知，EB ∥DC ，EB ＝DC ＝a2，∴EBCD 为平行四边形，∵CB ⊥AB ，∴DE ⊥AB ，又E 是AB 的中点，故AD ＝DB ＝a ，∵E ，F 分别是AD 、AB 的中点，∴EF ＝12DB ＝12a . 答案 a 2考向一 平行截割定理的应用【例1】►(2011·广州测试(二))在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝5，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且EF ∥AD ，若AE EB ＝34，则EF 的长为________． [审题视点] 把梯形的两腰BA 、CD 分别延长交于一点，利用平行截割定理可求解．解析 如图所示，延长BA 、CD 交于点P ，∵AD ∥BC ，∴P A PB ＝AD BC ＝25，∴P A AB ＝23，又∵AE EB ＝34，∴AE AB ＝37，∴P A AE ＝149，∴P A PE ＝1423.∵AD ∥EF ，∴AD EF ＝P A PE ＝1423，又AD ＝2，∴EF ＝237. 答案 237在解题时要注意添加辅助线．【训练1】 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________．解析由⎩⎨⎧DE ∥BC ，EF ∥CD ，BC ＝3，DE ＝2⇒AE AC ＝AF AD ＝DE BC ＝23，又DF ＝1，故可解得AF ＝2，∴AD ＝3，又AD AB ＝23，∴AB ＝92. 答案 92考向二 相似三角形的判定和性质的应用【例2】►已知，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，点D 是垂足． 求证：BC 2＝2CD ·AC .[审题视点] 作AE ⊥BC ，证明△AEC 和△BDC 相似即可．证明 过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， ∴CE ＝BE ＝12BC ，由BD ⊥AC ，AE ⊥BC . 又∴∠C ＝∠C ，∴△AEC ∽△BDC . ∴EC DC ＝ACBC ，∴12BC CD ＝AC BC ， 即BC 2＝2CD ·AC.判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到． 【训练2】 (2011·惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析 因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以AE AC ＝DE BC ，即35＝6BC ，所以BC ＝10.又DF ∥AC ，所以四边形DECF 是平行四边形，故BF ＝BC －FC ＝BC －DE ＝10－6＝4. 答案 4考向三直角三角形射影定理的应用【例3】►已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，则AD＝________.[审题视点] △ACB为直角三角形，可直接利用射影定理求解．解析如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°设AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD＞BD，∴AD＝9.答案9注意射影定理的应用条件．【训练3】在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3.则△ACD 与△CBD的相似比为________．解析如图所示，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得：CD2＝AD·BD，又∵AD∶BD＝2∶3，令AD＝2x，BD＝3x(x＞0)，∴CD2＝6x2，∴CD＝6x.又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.易知△ACD与△CBD的相似比为ADCD＝2x6x＝63.即相似比为6∶3.答案6∶3高考中几何证明选讲问题(一)从近两年新课标高考试题可以看出，高考主要以填空题的形式考查平行截割定理和相似三角形判定定理的应用，难度不大．【示例1】►(2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.【示例2】►(2011·广东)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．。

数学解答题练习试题答案及解析1.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四点在同一圆上，与的延长线交于点，点在的延长线上.（1）若，，求的值；（2）若，证明：.【答案】（1）（2）见解析【解析】⑴四点共圆，，又为公共角，∴∽∴∴.∴ 6分⑵，，又，∽，，又四点共圆，，，10分2.选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的参数方程为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长．【答案】（1）（2）2【解析】(1)圆的普通方程是，又;所以圆的极坐标方程是. 5分(2)设为点的极坐标，则有，解得.设为点的极坐标，则有解得由于，所以，所以线段的长为2. 10分3.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知，.（1）求的最小值；（2）证明：.【答案】（1）3（2）见解析【解析】（Ⅰ）因为，，所以，即，当且仅当时，取最小值3． 5分（Ⅱ）．又，所以． 10分4.从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量ξ是这两点间的距离．（1）求概率；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．【答案】（1）（2）P()【解析】（1）从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有种．因为正方体的棱长为1，所以其面对角线长为，正方体每个面上均有两条对角线，所以共有条．因此． 3分（2）随机变量的取值共有1，，三种情况．正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，于是． 5分从而． 7分所以随机变量的分布列是P()8分因此． 10分5.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－2,2]．（Ⅰ）求m的值；(Ⅱ) 若，恒成立，求实数的取值范围．.【答案】（Ⅰ） (Ⅱ)或【解析】(Ⅰ)因为，所以等价于，由有解，得，且其解集为．又的解集为，故. 5分(Ⅱ) 等价于不等式，记，则， 8分故，则有，即，解得或 10分【考点】本题考查绝对值不等式的解法、分段函数等基础知识，意在考察逻辑思维能力和基本运算求解能力.6.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ），使得函数在的切线斜率，求实数的取值范围；（Ⅱ）求的最小值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ），由题意知，不等式在上有解，2分不等式等价变形为，，记，则．………………4分设，则，则有，易知单调递增，故，所以，故，即实数的取值范围的是．……6分（Ⅱ）令，即，∵，∴方程的两个根为（舍去），，……8分因为，则，且当时，；时，，故函数可能在或处取得最小值，∵，，故当，即时，函数最小值为；当，函数最小值为.…………11分综上所述：当时，函数最小值为；当时，函数最小值为．…………12分【考点】本题主要考查导数的几何意义和利用导数求函数的最值，意在考查运用数形结合思想的能力和运算求解能力．7.（本小题满分13分）已知椭圆（）的离心率为，且短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若与两坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，，求直线的方程．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】解：（Ⅰ）短轴长， 1分又，所以，所以椭圆的方程为 4分（Ⅱ）设直线的方程为，，消去得，， 6分即即 8分即 10分，解得，所以 12分【考点】本题考查椭圆的标准方程和几何性质及直线与椭圆的位置关系等知识，意在考查解析几何中处理问题的基本思想和方法，分析问题、解决问题已及运算求解能力.8.如图，五面体中，四边形ABCD是矩形，DA面ABEF，且AB//EF，，P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点．（1）求证：PQ//平面BCE；（2）求证：AM平面ADF；【答案】见解析【解析】(1) 证明：连接AC,因为四边形ABCD是矩形，Q是BD的中点，所以，Q为AC的中点，又在中，P是AE的中点，所以PQ//EC，因为.（2）因为M是EF的中点，所以，,又，所以，四边形是平行四边形.所以，，又所以，S是直角三角形且. .又，所以，，由，所以，.【考点】本题考查线线平行与线面平行的转化、线线垂直与线面垂直的转化以及平面几何等知识，意在考查学生的空间思维能力和转化化归能力.9.（本题满分14分）已知函数的周期（Ⅰ）若直线与函数的图象在是两个公共点，其横坐标分别为求的值；（Ⅱ）已知三角形的内角的对边分别为且若向量共线，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）且周期为.的图像关于对称，所以当时，与函数图像的交点关于对称，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.又.，.10.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的倾斜角；（Ⅱ）若直线与曲线C相交于A、B两点，求|AB|.【答案】（Ⅰ）600（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）直线参数方程可以化为，根据直线参数方程的意义，这是经过点（0，），倾斜角为600的直线.因此直线的倾斜角为600． 5分（Ⅱ）直线的直角坐标方程为，因为的直角坐标方程为，所以圆心到直线l的距离，因此．10分【命题意图】本题考查直线的参数方程数、圆的极坐标方程和直角坐标方程的转化、点到直线的距离等基础知识，意在考查学生转化和化归思想的应用能力和基本运算能力．11.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，Δ是内接于圆，,直线切于点，弦，与相交于点．（1）求证：≌；（2）若求．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）在ΔABE和ΔACD中，∵，∠ABE=∠ACD．又∠BAE=∠EDC，∵BD∥MN，∴∠EDC=∠DCN，∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD，∴∠BAE=∠CAD，∴Δ≌Δ（角、边、角）． 5分（2）∵∠EBC=∠BCM，∠BCM=∠BDC，∴∠EBC=∠BDC=∠BAC，BC=CD=4，又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB，∴BC=BE=4．设AE=，易证ΔABE∽ΔDEC，∴，从而.又，，∴，解得.因此. 10分【命题意图】本题考察弦切角定理、等腰三角形的性质、三角形相似等基础知识，意在考察学生推理证明和逻辑思维能力.12.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的参数方程为，(为参数，).以为极点，轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为.写出圆心的极坐标，并求当为何值时，圆上的点到直线的最大距离为3.【答案】见解析【解析】由已知得，圆心的直角坐标为，故，，因为点在第三象限，故，则圆心的极坐标为． 4分由，展开得，故直线的直角坐标方程为，圆心到直线的距离.圆上的点到直线的最大距离为，解得. 10分【命题意图】本题考查极坐标、参数方程与普通方程互化的基础知识，意在考查转化与化归能力和基本运算能力．13.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围。

第1讲 相似三角形的判定及有关性质1.如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，求BC 的长．解：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 的中点，M 为BC 的中点．又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ， 所以BC ＝2MC ＝24 cm.2.在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ∶EB ＝1∶2，DE 与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6 cm 2，求△ABC 的面积．解：在平行四边形ABCD 中，AB 綊CD .因为AE ∶EB ＝1∶2，所以AE ∶DC ＝1∶3，所以△AEF 与△CDF 对应边AE 与DC 上的高的比为1∶3， 所以△AEF 与△ABC ，AE 与AB 边上的高的比为1∶4. 因为AE ∶AB ＝1∶3，所以S △AEF ∶S △ABC ＝1∶12，所以S △ABC ＝6×12＝72(cm 2)． 3.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE .连接ED 并延长，交AB 于F ，交AH 于H .若AB ＝4AF ，EH ＝8，求DF 的长． 解：因为AH ∥BE ，所以HF HE ＝AF AB. 因为AB ＝4AF ，所以HF HE ＝14.因为HE ＝8，所以HF ＝2.因为AH ∥BE ，所以HD DE ＝AD DC. 因为D 是AC 的中点，所以HDDE＝1.因为HE ＝HD ＋DE ＝8，所以HD ＝4. 所以DF ＝HD －HF ＝4－2＝2.4.如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E .求证：AE ·BF ＝2DE ·AF .证明：取AC 的中点M ，连接DM 交CF 于点N .在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，所以DN ＝12BF .因为DN ∥AF ，所以△AFE ∽△DNE ， 所以AE AF ＝DE DN. 又因为DN ＝12BF ，所以AE AF ＝2DEBF，即AE ·BF ＝2DE ·AF . 5.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF ∥AB ，BP 的延长线交AC 、CF 于E 、F 两点，求证：PB 2＝PE ·PF . 证明：如图，连接PC .易证PC ＝PB ，∠ABP ＝∠ACP . 因为CF ∥AB ， 所以∠F ＝∠ABP . 从而∠F ＝∠ACP .又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角，从而△CPE ∽△FPC ，所以CP FP ＝PE PC. 所以PC 2＝PE ·PF .又PC ＝PB ，所以PB 2＝PE ·PF . 6.已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠1.又因为AD ＝AC ，所以∠2＝∠ACB .所以△ABC ∽△FCD .(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M .因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ，所以S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20.因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BD BM .因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，BD ＝12BC ＝5，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.。

高三数学解析几何试题答案及解析1.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,是圆的直径，是半径的中点，是延长线上一点，且，直线与圆相交于点、（不与、重合），与圆相切于点，连结，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）证明目标可看做线段成比例，即证明思路确定为证明三角形相似：利用切割线定理得：，又由与相似，得；所以（Ⅱ）由（1）知，，与相似，则，所以试题解析：（1）连接，,,为等边三角形，则，可证与相似，得；又，则（2）由（1）知，，与相似，则因为，所以【考点】三角形相似，切割线定理2.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆的方程为．（Ⅰ）求直线的普通方程和圆的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线和圆的交点为、，求弦的长．【答案】（Ⅰ）的普通方程为，圆心；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）消去参数即可将的参数方程化为普通方程，在直角坐标系下求出圆心的坐标，化为极坐标即可；（Ⅱ）求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长即可.试题解析：（Ⅰ）由的参数方程消去参数得普通方程为 2分圆的直角坐标方程, 4分所以圆心的直角坐标为，因此圆心的一个极坐标为. 6分(答案不唯一，只要符合要求就给分)（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心到直线的距离, 8分所以. 10分【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化.：的焦点，且抛物线3.（本题满分12分）如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1C1上点P处的切线与圆C2：相切于点Q．（Ⅰ）当直线PQ的方程为时，求抛物线C1的方程；（Ⅱ）当正数变化时，记S1，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】第一问要求抛物线的方程，任务就是求的值，根据导数的几何意义，设出切点坐标，从而求得，再根据切点在切线上，得，从而求得，进而得到抛物线的方程，第二问根据三角形的面积公式，利用题中的条件，将两个三角形的面积转化为关于和切点横坐标的关系式，从而有，利用基本不等式求得最值．试题解析：（Ⅰ）设点，由得，，求导，……2分因为直线PQ的斜率为1，所以且，解得，所以抛物线C1的方程为．（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：，即，根据切线又与圆相切，得，即，化简得，由，得，由方程组，解得，所以，点到切线PQ的距离是，所以，，所以，当且仅当时取“＝”号，即，此时，，所以的最小值为．【考点】导数的几何意义，三角形的面积，基本不等式．4.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1（-3,0），F2（3,0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．（Ⅰ）若三角形AF1F2的周长为，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）直接由题意和椭圆的概念可列出方程组，进而可求出椭圆的标准方程即可；（Ⅱ）首先设出点，然后联立直线与椭圆的方程并整理可得一元二次方程，进而由韦达定理可得，再结合可列出等式并化简即可得到等式，最后结合已知，即可求出参数的取值范围，进而得出椭圆离心率e的取值范围即可．试题解析：（Ⅰ）由题意得，得．结合，解得，．所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）由得．设．所以，易知，，因为，，所以．即，将其整理为．因为，所以，即，所以离心率．【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的相交综合问题；5.（本小题满分12分）椭圆（）的上顶点为，是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点．（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在两个定点，．【解析】（1）由题设可得①，又点P在椭圆C上，可得②，又③，由①③联立解得c，b2，即可得解．（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消去y，整理得（﹡），由△=0，得，假设存在，满足题设，则由对任意的实数k恒成立．由即可求出这两个定点的坐标．试题解析：（1），，由题设可知，得①又点在椭圆上，，②③①③联立解得，，故所求椭圆的方程为（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去，整理得（）方程（）有且只有一个实根，又，所以，得假设存在，满足题设，则由对任意的实数恒成立，所以，解得，或当直线的斜率不存在时，经检验符合题意．总上，存在两个定点，，使它们到直线的距离之积等于．……12分【考点】1、直线与圆锥曲线的关系；2、椭圆的标准方程．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的解法，考查了直线与圆锥曲线的关系，综合性较强，属于中档题．处理直线与圆锥曲线的关系问题时，注意韦达定理的应用，同时还得特别注意直线斜率不存在时的情况的验证．6.直线被圆截得的弦长为（）A．1B．2C．4D．【答案】C【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为.故选Ｃ.【考点】点到直线的距离.7.（本小题12分）己知、、是椭圆：（）上的三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且，。

一、相似三角形的判定及有关性质平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。

所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。

预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。

判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

第1页 （共4页）选修4-1 《几何证明选讲》一，几何证明选讲基础知识填空：1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________。

推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________。

2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段___________。

3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______； 相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；4. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项。

5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半。

圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是_______；90o的圆周角所对的弦是________。

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________。

6.圆内接四边形的性质定理与判定定理：圆的内接四边形的对角_______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_________。

如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点__________；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________。