安徽省合肥一中10-11学年高一下学期期中考试(数学)

2022-2023学年安徽省高一下学期期中联考数学试题一、单选题1．若复数满足（是虚数单位），则（ ）z ()2i iz ⋅-=i z =A ．B ．C ．D ．12i 55+12i 55-12i 55-+12i 55--【答案】C【分析】根据复数的除法运算，化简即可得出答案.【详解】由已知可得，.()()()i 2i i 2i 112i 2i 2i 2i 555z +-====-+--+故选：C.2．正的边长为1，则（ ）ABC AB BC ⋅=A ．B ．CD ．1212-【答案】B【分析】根据，但要注意向量夹角的定义．cos a b a b θ⋅=【详解】．111cos1202AB BC ⋅=⨯⨯︒=-故选：B ．3．一货轮航行到处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距海里，随后货轮按北偏西MS 15︒S a的方向，以每小时海里的速度航行30分钟后到达处．又测得灯塔在货轮的东北30︒20N 方向，则（ ）=a A ．20B ．40C ．D ．40-40+【答案】A【分析】由题意得出，，，再由两角和的正弦公式求出，根据正弦定理MN SNM∠MSN ∠sin105︒即可求出的值．a 【详解】由题可知，，，200.510MN =⨯=4560105SNM ∠=︒+︒=︒，180105(3015)30MSN ∠=︒-︒-︒+︒=︒由两角和的正弦公式得：sin105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 60︒=︒+︒=︒︒+︒︒=在中，由正弦定理得：MNS，sin sin MN SM MSN SNM =∠∠sin105a=解得，20a =故选：A ．4．如图，在正六边形中，（ ）ABCDEF DE AF CB BE +--=A ．B ．C ．D ．ADBECF 【答案】A【分析】根据向量的线性运算法则和运算律求解.【详解】由已知，BE BA AF FE =++ 所以.DE AF CB BE DE AF C BA AF B FE +--=+---- 所以，B D E A FE E AF CB BE D CB +--=--- 又，,DE BA CB FE ==- 所以0DE AF CB BE +--=故选：A.5．已知圆锥的顶点为，过母线的截面面积是若的夹角是，且母线的A ,AB AC ,AB AC 60︒AC 长是高的2倍，则该圆锥的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．()6π【答案】B【分析】由已知可推得圆锥的母线作出圆锥的轴截面，即可得出底面圆的半径l =h =.r =【详解】设圆锥的母线长是，过母线的截面即为，l ,AB AC ABC由已知可得21sin 602ABC S l =︒= l =所以高h =作出圆锥的轴截面如下图为等腰三角形，底面圆的圆心为，半径，AMN O r ON =如图有AN l ==AO h ==ON ==r =所以该圆锥的体积是.2211ππ33h V r ⨯===故选：B.6．已知向量是非零向量，是单位向量，的夹角为，且，则（ ）a b ,a b 120︒()a ab ⊥+ a b -=A B ．C ．D ．341412【答案】A【分析】由已知结合数量积的运算律以及定义，即可得出.然后根据数量积的运算律，展开12a =，即可得出答案.2a b- 【详解】因为，所以，()a a b ⊥+ ()a ab ⋅+= 即，即.20a a b +⋅= 221cos12020a a b a a +⋅︒=-=因为，所以，0a ≠12a = 所以，2222a b a a b b -=-⋅+ 11172114224⎛⎫=-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭所以，a - 故选：A.7．长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小，1v 1||10km/h v =水流的速度的大小，设和所成角为，若游船要从航行到正北方向2v 2||4km/h v =1v 2v (0)θθπ<<A 上位于北岸的码头处，则等于（ ）B cos θA ．B ．C ．D ．25-35-45-【答案】B 【解析】由题意知由向量数量积的定义可得选项.()2120,v v v +⋅= 【详解】由题意知有即所以，()2120,v v v +⋅=2212||c ||os 0,v v v θ+= 2104cos 40,θ⨯+=2cos 5θ=-故选：B ．【点睛】本题考查向量的实际应用，关键在于理解向量的数量积的意义和熟练掌握向量数量积的定义，属于基础题.8．设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且111ABC A B C -40π，则此直三棱柱的表面积是（ ）1,120AB AC AA BAC ∠===A ．B ．C ．D ．16+8+8+16+【答案】D 【分析】设，由题意计算得外接圆的半径，从而计算出外接球的12AB AC AA m ===ABC 2r m =半径，根据球的表面积公式求得的值，从而得三棱柱各棱长，再利用三棱柱的表面积公式计算即m 可.【详解】设，因为，所以.12AB AC AA m ===120BAC ∠= 30ACB ∠= 于是（是外接圆的半径），.22sin30mr =r ABC 2r m =又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，ABC 1AA.=所以球的表面积为，解得)24π40π⋅=m =因此1AB AC AA BC ====于是直三棱柱的表面积是122162⨯+⨯⨯=+ 故选：D.二、多选题9．设是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（ ）z z A ．若，则B ．若，则z z =Rz ∈0z z +>0z >C ．若，则D ．若，则1R z z +∈1z =2z =4z z ⋅=【答案】ABD【分析】设，根据共轭复数的定义，复数相等，复数模的定义，复数除法运算逐i(,R)z a b a b =+∈项判断即可．【详解】设，则，i(,R)z a b a b =+∈i z a b =-对A ，，故A 正确；i i 0R a b a b b z +=-⇒=⇒∈对B ，，故B 正确；i i 000a b a b a z ++->⇒>⇒>对C ，或，222211i i R i a b z a b a b z a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++-∈ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭2200b b b a b ⇒-=⇒=+221a b +=故C 不正确；对D ，，故D 正确；222||4z z a b z ⋅=+==故选：ABD ．10．在三棱锥中，分别是的重心.则下列命题中正确的有（ ）A BCD -,G E ,BCD ACD A ．直线共面B ．直线相交,BG AE ,AG BE C ．D ．12A GBC A DBCV V --=3AB GE=【答案】ABD【分析】根据题意，由条件结合三角形重心的性质，对选项逐一判断即可得到结果.【详解】由于分别是的重心，所以分别延长交,G E ,BCD ACD ,BG AE CD 于中点.因此正确.F A 因为，所以，因此.:2:1,:2:1BG GF AE EF ==::2:1BG GF AE EF ==GE AB 直线相交，B 正确.,AG BE 因为是的重心，所以，因此，C 不正确.G BCD △13GBC DBC S S = 13A GBC A DBCV V --=因为，所以.因此，D 正确.GE AB ::3:1AB GE BF GF ==3AB GE =故选：ABD.11．在中，角的对边分别是，，，且的值可以是ABC ,,A B C ,,a b c 3a =7b =sin B =cos C （ ）A ．B ．C ．D ．171114-17-1114【答案】CD 【分析】由已知可得.分别求出当，以及时，的值，根据余弦定理，1cos 2B =±1cos 2B =1cos 2B =-c 即可得出答案.【详解】因为.sin B =1cos 2B =±当时，由余弦定理可知，1cos 2B =2222cos b a c ac B =+-，整理可得，，22217362c c =+-⨯23400c c --=解得，或（舍去），8c =5c =-所以，由余弦定理可得；2222227381cos 22737b a c C ab +-+-===-⨯⨯当时，由余弦定理可知，1cos 2B =-2222cos b a c ac B =+-，整理可得，，22217362c c ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭23400c c +-=解得，或（舍去），5c =8c =-所以，由余弦定理可得.22222273511cos 227314b a c C ab +-+-===⨯⨯综上所述，，或.1cos 7C =-11cos 14C =故选：CD.12．如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式P ABC ,,A B C ,,a b c 成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ⋅+⋅+⋅= △△△正确的有（ ）A ．若是等边三角形，为内任意一点，且点到三边的距离分别是ABC P ABC P BC,CA,AB ，则有123,,h h h 1230h PA h PB h PC ⋅+⋅+⋅=B ．若为内一点，且，则是的内心P ABC 0PA PB PC ++= P ABC C ．若为内一点，且，则P ABC 1255AP AB AC =+::2:1:2PBC PAC PABS S S = D ．若的垂心在内，是的三条高，则ABC P ABC ,,AD BE CF ABC 0PD PE PF PA PB PC AD BE CF ⋅+⋅+⋅= 【答案】ACD【分析】若是等边三角形，设其高为，用和表示出，代入奔驰ABC h 123,,h h h h ,,PBC PACPABS SS△△△定理，化简即可判断A ；由及奔驰定理，根据平面向量基本定理即可得出0PA PB PC ++=，即可判断B ；由得出，结合奔驰定理，PBC PACPAB S S S == 1255AP AB AC =+220PA PB PC ++= 根据平面向量基本定理得出，即可判断C ；点是的垂心，得出::PBC PAC PABS S S P ABC ， ，，代入奔驰定理即可判断D ．PBC ABCPDS S AD =PCA ABC PE S S BE = PAB ABC PF S S CF = 【详解】因为为内任意一点，所以两两不共线；P ABC ,,PA PB PC对A ：是等边三角形，设其高为，ABC h 则，，，1PBC ABC h S S h =⋅ 2PCA ABC hS S h =⋅ 3PAB ABC h S S h =⋅ 代入奔驰定理得，，3120ABC ABC ABC h h h S PA S PB S PC h h h ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 即，故A 正确；1230h PA h PB h PC ⋅+⋅+⋅=对B ：由且，根据平面向量基本定理得0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ⋅+⋅+⋅= 0PA PB PC ++= ，则是的重心，故B 不正确；PBC PAC PABS S S == P ABC 对C ：，即，()()12125555AP AB AC PB PA PC PA=+=-+-220PA PB PC ++= 又，0PBCPAC PAB S PA S PB S PC ⋅+⋅+⋅= 由平面向量基本定理得，故C 正确；::2:1:2PBC PAC PAB S S S = 对D ：由点是的垂心，则，P ABC PBC ABC S PDS AD = 所以，同理可得，，，PBC ABCPDS S AD = PCA ABC PE S S BE = PAB ABC PF S S CF = 代入，0PBCPAC PAB S PA S PB S PC ⋅+⋅+⋅= 得，0ABC ABC ABC PDPE PF S PA S PB S PC AD BE CF ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 即，故D 正确；0PD PE PF PA PB PC AD BE CF ⋅+⋅+⋅= 故选：ACD ．三、填空题13．已知向量.若，则实数的值是__________.()()3,6,1,a b x ==-//a bx 【答案】2-【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式求解即可得答案.【详解】因为，且，//a b()()3,6,1,a b x ==- 所以，得，()3610x -⨯-=2x =-故答案为：2-14．在中，，则角的大小是__________.ABC ()()cos24,cos66,2cos69,2cos21AB AC ==A 【答案】45【分析】根据向量的模长公式求，再由数量积坐标运算公式求，结合向量夹角公,AB ACAB AC ⋅ 式求角的大小.A 【详解】因为()()cos24,cos66,2cos69,2cos21AB AC ==又，cos 66sin 24,cos 21sin 69==所以，||1,||2AB AC ====2cos24cos692sin24sin692cos45AB AC ⋅=+=所以，又，cos cos ,AB AC A AB AC AB AC ⋅====⋅()0,πA ∈所以.45A ︒=故答案为：.4515．设点是外接圆的圆心，，则的值是__________.O ABC 1,2AC AOBC =⋅=-sin sin C B 【分析】作出辅助线，得到⊥，变形得到，从而列出方程，求出OD BC ()2212AO BC ACAB⋅=-.【详解】设点是边的中点，连接，则⊥，D BC OD OD BC 则()AO BC AD DO BC AD BC DO BC AD BC⋅=+⋅=⋅⋅=⋅+ ，()()()221122AB AC AC AB AC AB +⋅-==-即因此()2112,2AB AB -=-= sin sin C AB B AC ==16．依次连接棱长为2的正方体六个面的中心，得到的多面体的体积是1111ABCD A B C D -__________.【答案】43【分析】作出图形，根据图形可知得到的多面体是正八面体，然后利用锥体的体积计算公式即可求解.【详解】依次连接棱长为2的正方体六个面的中心，得到的多面体是正八面体，1111ABCD A B C D -如图，该正八面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，所以该正八面体的体积是.2142133⨯⨯⨯=故答案为：.43四、解答题17．如图，在中，，点是线段上一点.ABC 13AN AC= P BN(1)若点是线段的中点，试用和表示向量；P BN AB AC AP (2)若，求实数的值.311AP AB mAC=+m【答案】(1)1126AP AB AC=+ (2).833【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解；（2）根据向量线性运算利用表示，结合平面向量基本定理列方程求的值.,AB AC APm 【详解】（1）因为点是线段的中点，且，P BN 13AN AC=所以.()1122AP AB BP AB BN AB AN AB=+=+=+- 所以；11112226AP AB AN AB AC=+=+ （2）设，则BP BN λ= ，()()1AP AB BP AB BN AB AN AB AB ANλλλλ=+=+=+-=-+又，13AN AC= 所以，()13AP AB ACλλ=-+ 因为，311AP AB mAC=+ 所以，31,113m λλ-==所以.88,1133m λ==18．已知复数，其中是虚数单位，.((2123i,sin cos iz m m z μθθ=-+=++i ,,R m μθ∈(1)若为纯虚数，求的值；1z m (2)若，求的取值范围.12z z =μ【答案】(1)m =(2)7,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据纯虚数的特征，即可列式求解；（2）根据复数相等，转化为实部和虚部对应相等，将写为关于的二次函数，μsin θ列式求解.【详解】（1）因为为纯虚数，1z 所以，解得2300m m ⎧-=⎪⎨≠⎪⎩m=（2）由，得12z z =23sin cos m m μθθ⎧-=+⎪⎨=⎪⎩因此.222173cos sin sin sin 2sin 24μθθθθθ⎛⎫=--=-+=-+⎪⎝⎭因为，所以当时，；1sin 1θ-≤≤1sin 2θ=min 74μ=当时，，.故的取值范围是.sin 1θ=-max4μ=μ7,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．如图，在长方体中，，截面.1111ABCD A B C D -11111A C B D O ⋂=1B D ⋂11A BC P =(1)确定点的位置；P (2)若，，，求线段的长.3AB =4BC =16CC =DP 【答案】(1)点为线段与的交点P 1B D1BO (2)DP 【分析】（1）根据已知可得出点是平面与平面的公共点，又平面平面P 11BB D D 11A BC 11BB D D ⋂，即可根据基本事实3得出，即可得出点的位置；111A BC BO =1P BO ∈P （2）连接，连接，交于点.易证四边形为平行四边形，进而结合已知可知点BD 1BD 1DB M 11D DBB 是的重心，推得.然后根据长方体的棱长求出体对角线P 11BB D △123DP DB =1DB =答案.【详解】（1）因为，平面，1P B D ∈1B D ⊂11BB D D 所以平面.P ∈11BB D D 又平面，所以点是平面与平面的公共点.P ∈11A BC P 11BB D D 11A BC 又因为平面平面，11BB D D ⋂111A BC BO =根据基本事实3，可得.1P BO ∈又因为，所以，1P B D ∈11B D BO P = 即点为线段与的交点.P 1B D1BO （2）连接，连接，交于点.由（1）知点为与交点.BD 1BD 1DB M P 1BO 1BD 因为，，所以四边形为平行四边形，11DD BB ∥11DD BB =11D DBB 所以，是中点.M 1BD 又是的中点，1O 11B D 所以点是两条边上中线的交点，P 11BB D △111,B D BD 所以点是的重心，P 11BB D △所以，所以.1112133B P B M B D==123DP DB =又因为，，，3AB =4BC =16CC =所以1DB ===故123DP DB ==20．在中，角的对边分别是，且向量和向量互ABC ,,A B C ,,ab c ,2b m a c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,2a c n b +⎛⎫= ⎪⎝⎭相垂直.(1)求角的大小；C(2)若的周长是，，求外接圆的半径.ABC 3+3CA BC ⋅=-ABC 【答案】(1)π6C =(2)1【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示，化简整理可得.然后根据余弦定理，即222a b c +-=可得出答案；（2）由已知可推得根据正弦定理可得，.代入，=ab c R =3a b R +=222a b c +-=整理即可得出，求解即可得出答案.22(3)6R R --=【详解】（1）因为互相垂直，,m n所以，()()22a c b m n a c b +⋅=-⋅+⋅=整理可得.222a b c +-=由余弦定理得，.222cos 2a b c C ab +-===因为，所以.0πC <<π6C =（2）因为， ()cos π3CA BC ab C ⋅=-==-所以=ab由正弦定理知，，所以，则.2sin cR C =2sin c R C R ==3a b R +=又由（1）知，，222a b c +-=所以，222a b R +-=所以有，22()2a b ab R +--=即，解得.22(3)6R R --=1R =故外接圆的半径是1.ABC 21．三条侧棱两两垂直的三棱锥往往称为直三棱锥，在直三棱锥中，两两垂直.A BCD -AB AC AD ､､(1)设直三棱锥外接球的半径为，证明：；A BCD -R R =(2)若直三棱锥外接球的表面积为，求的最大值.A BCD -64πABC ACD ADBS S S ++ 【答案】(1)证明见解析(2)32【分析】（1）将图形补成长方体，则长方体的体对角线为外接球的直径，进而计算求解；（2）根据直三棱锥外接球的表面积为可得，也即，A BCD -64π4R =2222(2)64AB AC AD R ++==利用均值不等式即可求解.【详解】（1）由两两互相垂直，将之补成长方体如图所示，,,AB AC AD由长方体的性质可得：长方体的体对角线为外接球的直径，则.()22222AB AC AD R ++=即，()()()22222222222228222R AB AC AD AB AC AC AD AD AB BC CD DB =++=+++++=++故R =（2）由得，.因此.2644R ππ=4R =2222(2)64AB AC AD R ++==于是111222ABC ACD ADB S S S AB AC AC AD AD AB ++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ .222222222324442AB AC AC AD AD AB AB AC AD +++++≤++==当且仅当时取等号，AB AC AD ===故的最大值为32.ABC ACD ADBS S S ++22．如图，某学校有一块平面四边形空地，已知，，且ABCD 8AD CD +=120ADC ∠=︒ADC S =(1)求，两点间的距离；A C (2)设的角的对边分别是，且满足，现要在内做一个最ABC ,,A B C ,,a b c sin sin sin sin a b A Cc A B +-=-ABC 大的圆形花圃，求这个最大圆形花圃的面积.【答案】(1)7(2)49π12【分析】（1）由面积公式可得出.进而根据余弦定理，即可得出答案；15AD CD ⋅=（2）根据已知结合正弦定理边化角，可求得.设内切圆的半径是，根据等面积法可推π3B =ABC r得.根据正弦定理可得，，代入根据三角恒等变换化简)7r a c =+-a A =c C =可得，根据的范围得出的最大值，即可得出答案.π14sin 6a A c ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭A a c +【详解】（1）在中，因为，ACD 1sin1202ADC S AD CD ︒=⋅= 所以.15AD CD ⋅=由余弦定理可得2222cos120AC AD CD AD CD =+-⋅⋅︒2()AD CD AD CD=+-⋅，641549=-=所以，.7AC =故，两点间的距离是7.A C （2）由正弦定理得，，整理可得，sin sin sin sin a b A C a ccA B a b +--==--222a c b ac +-=由余弦定理得，.2221cos 222a c b ac B ac ac +-===又，所以.()0,πB ∈π3B =因为在内部的圆中，内切圆的面积最大，ABC ABC 设内切圆的半径是，ABC r 由（1）可知，则.2249a c ac +-=2()493a c ac +=+又，()11sin 22ABC S ac B a b c r ==++⋅ 因此.)2()49777ac a c r a c a c a c +-===+-++++在中，，，ABC 7b AC ==π3B =由正弦定理得，sin sin sin a c b A C B ====所以，，a A =c C =于是)()sin sin sin sin 120a c A C A A +=++︒-⎤⎦1sin sin 2A A A ⎫=+⎪⎪⎭.31πsin 14sin cos 14sin 226A A A A A ⎫⎛⎫⎛⎫==⋅=+⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭又，所以.2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ5π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭当时，取得最大值14，从而内切圆的半径ππ62A +=a c +r 故最大圆形花圃的面积是.249ππ12=。

安徽省合肥市第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．5107．在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为一个侧棱相等、高为1A ．M 有最小值，N 有最大值C ．M 有最大值，N 有最大值二、多选题9．下列关于复数21iz =-的四个命题，其中为真命题的是（A ．z 的虚部为1C ．z 的共轭复数为1i-+10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口是（）A ．AC AE BF -=BC ．AF AB CB CD⋅=⋅ D 11．有一个三棱锥，其中一个面为边长为2的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积可能是（）A ．33B ．23CA ．四边形ABCD 的面积为C ．4BO CD ⋅=-10DO DF ⋅=三、填空题13．已知向量(2,a =r 14．若复数(1z m =+________；15．已知ABC ，0P 是边00PB PC P B P C ⋅≥⋅ ．若16．我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，思是：夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为四、解答题(1)用a ，b表示向量AD ， (2)求证：B ，E ，F 三点共线．18．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角(1)求C ；(2)若tan 2tan B a cC c-=，求A ．19．如图，数轴,x y 的交点为由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量得12OP xe ye =+，我们把(指在斜坐标系xOy 中的坐标）(1)若90,OP θ=为单位向量，且(2)若45θ=，点P 的坐标为20．如图所示，在四棱锥P （1）求证：//BC AD ；（2）若M 是线段CE 上一动点，则线段理由．(1)设OBCθ∠=，记铺设的管道总长度为(2)当管道总长取最小值时，求22．数学史上著名的波尔约过相互拼接得到．它由法卡斯两位数学家分别在1833年和形，使它们的全面积都与原平面图形的面积相等：图1、图2），其中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；图正三角形三个角上剪出三个相同的四边形（阴影部分）形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．(1)试比较图1与图2剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；(2)如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图中，并作简要说明．。

第1⻚/共4⻚合肥⼀中2024—2025学年第⼀学期⾼三年级教学质量检测数学学科试卷时⻓：120分钟分值：150分⼀、单选题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.2.若，则（）A.或 B.或C.D.3.已知函数，则“”是“函数的是奇函数”的（）A 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数在上单调，则a 的取值范围是（）A.B.C.D.5.在中，内⻆A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知的外接圆半径为1，且，则的⾯积是（）A.B. C.1 D.26.已知⼀个正整数，且N 的15次⽅根仍是⼀个整数，则这个数15次⽅根为（）．（参考数据：）A.3B.4C.5D.67.已知函数，，若，使得，则实数a 的取值范围是（）A.B.第2⻚/共4⻚C.D.8.已知正数x ，y 满⾜，则的最⼩值为（）A.1B.2C.3D.4⼆、多项选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知关于x 的不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A. B.的最⼤值为 C.的最⼩值为D.的最⼩值为10.如图是函数的部分图象，A 是图象的⼀个最⾼点，D 是图象与y 轴的交点，B ，C 是图象与x 轴的交点，且的⾯积等于，则下列说法正确的是（）A.函数的最⼩正周期为B.函数图象关于直线对称C.函数图象可由的图象向右平移个单位⻓度得到D.函数与在上有2个交点11.已知函数及其导函数的定义域均为R ，若，且是奇函数，令，则下列说法正确的是（）第3⻚/共4⻚A.函数是奇函数B.CD.三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．12.已知幂函数在上单调递减，则______.13.已知，且，则________．14.设函数，下列说法正确的有________．①函数的⼀个周期为；②函数的值域是③函数的图象上存在点，使得其到点的距离为；④当时，函数的图象与直线有且仅有⼀个公共点．四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．15.已知命题“”为假命题，命题“在上为增函数”为真命题，设实数a 的所有取值构成的集合为A .（1）求集合；（2）设集合，若是必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16.已知函数．（1）若的图象在点处的切线经过点，求；（2）若是的两个不同极值点，且，求实数a 的取值范围．17.已知定义域为的函数满⾜对任意，都有（1）求证：是奇函数；第4⻚/共4⻚（2）当时，．若关于x 的不等在上恒成⽴，求a 的取值范围．18.记的内⻆A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．（1）求A 取值的范围；（2）若，求周⻓的最⼤值；（3）若，求的⾯积．19.已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处的切线⽅程；（2）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极⼤值还是极⼩值；若不存在，说明理由；（3）讨论函数在上零点的个数.第1⻚/共22⻚合肥⼀中2024—2025学年第⼀学期⾼三年级教学质量检测数学学科试卷时⻓：120分钟分值：150分⼀、单选题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意，将集合化简，再结合交集的运算，即可得到结果.【详解】或，，所以，故选：C 2.若，则（）A.或 B.或C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据，将原式上下同时除以，化简求解即可.【详解】根据题意可知，所以，若，则，与⽭盾故，将其上下同时除以，可得，化简可得，解之得或.故选：B第2⻚/共22⻚3.已知函数，则“”是“函数的是奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由是奇函数确定的取值范围，即可判断.【详解】由为奇函数，可得：，即，即恒成⽴，即恒成⽴，即恒成⽴，解得，所以是函数为奇函数的充分不必要条件.故选：A 4.函数在上单调，则a 的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利⽤导数求得其导函数并使其恒⼤于0，再根据分段函数单调性得出不等式即可.【详解】由题意可知时，，时，；第3⻚/共22⻚⼜因为，所以在上单调递增，因此可得时，恒成⽴，可得，⼜，可得；综上可得a 的取值范围是.故选：D 5.在中，内⻆A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知的外接圆半径为1，且，则的⾯积是（）A.B. C.1 D.2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利⽤余弦定理求出，利⽤三⻆恒等变换求出，再利⽤正弦定理及三⻆形⾯积公式计算得解.【详解】在中，由及余弦定理，得，解得，⼜，则，由，得，整理得，即，两边平⽅得，⼜，，则，即，由正弦定理得，所以的⾯积是.故选：C6.已知⼀个正整数，且N 的15次⽅根仍是⼀个整数，则这个数15次⽅根为（）．（参考数据：）第4⻚/共22⻚A.3B.4C.5D.6【答案】C 【解析】【分析】设这个15次⽅根为，则，利⽤对数的运算性质求即可．【详解】设这个15次⽅根为，则，其中且，故，，,，故，，，由于,故．故选：C ．7.已知函数，，若，使得，则实数a 的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利⽤导函数证明在区间上单调递增，从⽽得出的值域；同理得出的单调区间和值域，由题意可知，这两个函数值域需要有交集，得出不等式组，从⽽得出范围.【详解】，∴时，，∴在区间上单调递增，∴当时，，令，则，令，则，∵，∴时，，∴单调递增，∴，∴在上单调递增，第5⻚/共22⻚∴，由题意可知，∴.故选：B8.已知正数x ，y 满⾜，则的最⼩值为（）A.1 B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】应⽤三⻆换元，令，且，结合已知、平⽅关系、和⻆正弦公式得，进⽽有，最后利⽤基本不等式“1”的代换求⽬标式最⼩值.【详解】，由，得，令，且，所以，有，即，故，所以，则，当且仅当，即时取等号，第6⻚/共22⻚所以的最⼩值为1.故选：A【点睛】关键点点睛：根据已知等量关系及三⻆函数的性质，应⽤三⻆换元将已知等式化为是关键.⼆、多项选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知关于x 的不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A. B.的最⼤值为 C.的最⼩值为D.的最⼩值为【答案】BC 【解析】【分析】由已知结合⼆次不等式与⼆次⽅程的关系可得，然后结合基本不等式的乘“1”法可判断C ，利⽤向量的性质可求解B ，根据⼆次函数的性质可判断D ．【详解】因为关于的不等式，的解集为,所以，所以，，所以，A 错误；因为，，所以，当且仅当时取等号，故，由于设，由于，故，当且仅当时等号成⽴，故B 正确；第7⻚/共22⻚，当且仅当，即时取等号，C 正确；，当且仅当时取等号，故最⼩值为，D 错误．故选：BC ．10.如图是函数的部分图象，A 是图象的⼀个最⾼点，D 是图象与y 轴的交点，B ，C 是图象与x 轴的交点，且的⾯积等于，则下列说法正确的是（）A.函数的最⼩正周期为B.函数的图象关于直线对称C.函数的图象可由的图象向右平移个单位⻓度得到D.函数与在上有2个交点【答案】ABC 【解析】【分析】根据部分图像求出的表达式，再由函数图像平移及正弦函数性质可判断各项.【详解】设的最⼩正周期为，第8⻚/共22⻚由图像可知，，即，可得，故A 正确；且，所以，解得，⼜因为图像过点，可得，即，且，可得，所以.对于选项B ：因为，为最⼩值，所以函数的图象关于直线对称，故B 正确；对于选项C ：将的图象向右平移个单位⻓度，得到，所以函数的图象可由的图象向右平移个单位⻓度得到，故C 正确；对于选项D ：注意到，在同⼀坐标系内，分别作出函数与在上的图象，由图象可知：函数与在上有3个交点，故D 错误；故选：ABC.11.已知函数及其导函数的定义域均为R ，若，且是奇第9⻚/共22⻚函数，令，则下列说法正确的是（）A.函数是奇函数B.C.D.【答案】BCD 【解析】【分析】把已知等式中换成，再移项变形可得A 错误；求导令可得，再由是奇函数，再求导可得B 正确；由奇函数的性质得到①，在令，可得，再由已知等式得到④，进⽽得到，然后可得C 正确；由原函数和导函数的奇偶性可得，进⽽可得D 正确；【详解】对于A ，因为，把换成，则，移项化简可得，即，为偶函数，故A 错误；对于B ，由A 中求导可得，令，可得，⼜是奇函数，即，求导可得，即，令，则，所以，故B 正确；对于C ，由B 中可得，①由A 中，②把①中换成可得，③由②③可得，所以:第10⻚/共22⻚故C 正确；对于D ，由B 中，⼜由可得，即，所以所以令可得；令可得；，所以，故D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题C 选项的关键在于理解抽象复合函数求导，原函数为奇函数则导函数为偶函数这⼀性质，再利⽤函数的奇偶性解答.三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．12.已知幂函数在上单调递减，则______.【答案】【解析】【分析】先根据函数是幂函数计算求参得出或，最后结合函数的单调性计算得出符合题意的参数.【详解】由题意可得为幂函数，则，解得或.当时，为增函数，不符合题意；当时，在单调递减，符合题意.故答案为:.第11⻚/共22⻚13.已知，且，则________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利⽤同⻆公式求出，再利⽤和差⻆的余弦公式求出即可.【详解】由，得，，由，得，，由，得，即，则，因此，所以.故答案为：14.设函数，下列说法正确的有________．①函数的⼀个周期为；②函数的值域是③函数的图象上存在点，使得其到点的距离为；④当时，函数的图象与直线有且仅有⼀个公共点．【答案】①④【解析】【分析】利⽤函数的周期性定义结合余弦函数的周期性可判断①；采⽤三⻆代换，利⽤导数判断函数单调性，利⽤函数单调性求解函数值域，判断②；利⽤，结合两点间距离公式可判断③；结合解，根据解的情况判断④，即得答案.第12⻚/共22⻚【详解】对于①，，，故是函数的⼀个周期，①正确；对于②，，需满⾜，即，令，，则即为，当时，在上单调递增，则；当时，，（，故）此时在上单调递减，则，综上，的值域是，②错误；对于③，由②知，，当时，满⾜此条件下的图象上的点到的距离；当时，,满⾜此条件下的图象上的点到的距离第13⻚/共22⻚，当且仅当且时等号成⽴，⽽时，或，满⾜此条件的x 与⽭盾，即等号取不到，故函数的图象上不存在点，使得其到点的距离为，③错误；对于④，由②的分析可知，则，即，⼜，故当且仅当时，，即当时，函数的图象与直线有且仅有⼀个公共点，④正确．故答案为：①④【点睛】关键点点睛：对于函数，先求出定义域，再采⽤换元法令，，得函数，利⽤单调性求其值域.四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．15.已知命题“”为假命题，命题“在上为增函数”为真命题，设实数a 所有取值构成的集合为A .（1）求集合；（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）或（2）或【解析】第14⻚/共22⻚【分析】（1）由：“，”为假命题时，可转化为关于的⼀元⼆次⽅程⽆解，然后利⽤判别式即可，命题q 可利⽤对勾函数的性质求解，取交集即可得a 的取值范围，则集合A 可求，再结合补集运算可得答案；（2）由是的必要不充分条件可得B，然后分为空集和⾮空集两种情况讨论即可.【⼩问1详解】因为命题为假命题，所以关于的⼀元⼆次⽅程⽆解，即，解得，因为命题q 为真命题，当时，在上为增函数，满⾜题意；当时，结合对勾函数的性质可知在上单调递减，不满⾜题意；故集合，所以或；【⼩问2详解】由是的必要不充分条件，则B，当时，，解得，此时满⾜B，当时，则或，解得或，综上所述，的取值范围是或.16.已知函数．（1）若的图象在点处的切线经过点，求；（2）若是的两个不同极值点，且，求实数a 的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】第15⻚/共22⻚【分析】（1）求出函数的导数，利⽤导数的⼏何意义求出切线⽅程即可求解作答.（2）利⽤极值点的意义，结合⻙达定理、根的判别式列出不等式，求解作答.【⼩问1详解】函数，求导得，则，，于是函数的图象在点处的切线⽅程为，即，⽽切线过点，则，整理可得，解得或，所以或【⼩问2详解】由（1）知，⽅程，即有两个不等实根，则，解得，且，于是，由，得，解得，因此，所以实数的取值范围是.17.已知定义域为的函数满⾜对任意，都有（1）求证：是奇函数；（2）当时，．若关于x 的不等在上恒成⽴，求a 的取值范围．【答案】（1）证明⻅解析第16⻚/共22⻚（2）【解析】【分析】（1）利⽤赋值法，先求出及的值，再证明即可；（2）由题意得，构造函数，得出的奇偶性及在上的单调性，继⽽可得，结合题意可得，令，利⽤导数求出在上的最⼤值即可求解.【⼩问1详解】证明：令，得，即，令，得，即，令，，所以是奇函数.【⼩问2详解】，，且，所以，令，因，所以，则，设，则，所以，因为，所以在上是减函数，第17⻚/共22⻚，所以为偶函数，所以在上恒成⽴，即或，即或（负值，舍去），令，即，，令，解得，所以，，单调递增，所以，所以.故的取值范围是.18.记的内⻆A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．（1）求A 取值的范围；（2）若，求周⻓的最⼤值；（3）若，求的⾯积．【答案】（1）；（2）6；（3）.【解析】【分析】（1）根据题意利⽤正弦定理结合三⻆恒等变换分析可得，在利⽤余弦定理结合基本不等式分析运算即可；（2）由（1）可得，结合基本不等式分析运算；（3）根据题意结合正弦定理可求得，利⽤正弦定理以及⾯积公式分析运算.【⼩问1详解】第18⻚/共22⻚由题设，所以，，⼜，则，根据正弦边⻆关系，易得，则，⼜，则，当且仅当时取等号，所以，结合，可得；【⼩问2详解】由（1）有，⼜，⼜，则，所以，当且仅当取等号，所以周⻓的最⼤值6.【⼩问3详解】由，且，所以，⽽，则，由，显然，故，即，结合，可得，由，⽽，由，整理得，可得（负值舍），第19⻚/共22⻚所以，故.19.已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处的切线⽅程；（2）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极⼤值还是极⼩值；若不存在，说明理由；（3）讨论函数在上零点的个数.【答案】（1）；（2）答案⻅解析；（3）答案⻅解析.【解析】【分析】（1）求出、，利⽤点斜式可得出所求切线的⽅程；（2）对实数的取值进⾏分类讨论，分析导数在上的符号变化，由此可得出结论；（3）对实数的取值进⾏分类讨论，分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可得出结论.【详解】（1）当时，，则，所以，，，所以，曲线在点处的切线⽅程为，即；（2），设，则对任意的恒成⽴，故在上单调递减.所以，，当时，.①若，即时，由零点存在定理可知，存在，使得，第20⻚/共22⻚当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减.所以，在处取得极⼤值，不存在极⼩值；②若，则，对任意的恒成⽴，此时，函数在上单调递增，此时函数⽆极值.综上所述，当时，函数有极⼤值，⽆极⼩值；当时，函数⽆极值；（3）分以下情况讨论：①若，函数在上单调递增，则，此时，函数在上⽆零点；②若，由（2）可知，由零点存在定理可知，存在，使得，且函数在上单调递增，在上单调递减.从⽽有，设，则对任意的恒成⽴，从⽽当增⼤时，也增⼤.（i ）若，此时，此时函数在上单调递减，若，可得或（舍去）.此时函数在上⽆零点；第21⻚/共22⻚若，可得，此时函数在上有且只有⼀个零点.当时，，，此时函数在上只有⼀个零点；（ii ）当时，此时，此时函数在上单调递增，在上单调递减.，，所以，，设，则对任意恒成⽴，所以，函数在上单调递增，所以，，若，即，即，此时函数在上⽆零点；若，即，即时，此时函数在上有且只有⼀个零点.综上所述，当时，函数在上⽆零点；当时，函数在上有且只有⼀个零点.【点睛】⽅法点睛：利⽤导数解决函数零点问题的⽅法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的⽅法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的⼯具作⽤，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应⽤；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；第22⻚/共22⻚（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.。

某某一中2010～2011学年第二学期期中考试高一数学试卷一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。

每小题4分，共40分。

） 1. 在ABC ∆中，已知2a =，2b =，45B =︒，则角A =( )A.30︒B.60︒C. 60︒或120︒D.30︒或150︒2.数列{}n a 中，11a =，12,()2nn n a a n N a ++=∈+，则5a =（ ） A.25 B. 13 C. 23 D. 123．方程2640x x -+=的两根的等比中项是（）A ．3B ．2±C ．6±D ．2 4．不等式112x <的解集是 ( ) A ．(,0)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．()(,0)2,-∞⋃+∞5.已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k 等于( ）A. 6B ．7C ．8D ．96.已知在⊿ABC 中，BCb c cos cos =，则此三角形为（ ） A ． 直角三角形 B. 等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形7.若不等式2()0f x ax x c =-->的解集是{}|21x x -<<，则函数()y f x =-的图象是（ ）8．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ）A ．138B ．135C ．95D ．239. 设a 、b ∈R +，且4a b +=，则有（ ）A ．211≥ab B ．111≥+ba C ．2≥abD ．41122≥+b a10. 数列{}n x 满足12531332211-+=⋯=+=+=+n x x x x x x x x n n ，且126n x x x ++⋯+=， 则首项1x 等于（ ）A ．12-nB ．2nC ．621n - D ．26n二、填空题(请把答案填在题中横线上，每小题4分，共16分） 11．函数)3(31>+-=x x x y 的最小值为_____________. 12. 已知数列}{n a 成等差数列，且π41371=++a a a ，则)tan(122a a +＝ 13. 设数列{}n a 为公比1q >的等比数列，若45,a a 是方程24830x x -+=的两根，则67a a +=_________.14. 在ABC ∆中，∠A:∠B=1:2，∠C 的平分线CD 分⊿ACD 与⊿BCD 的面积比是3:2，则cos A =选择题答题卡(请务必把答案填写在答题卡内) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案三、解答题(解答应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤，共44分)15、（本小题满分8分）在锐角ABC ∆中，a b c 、、分别是角A B C 、、的对边，5cos 5A =，310sin 10B =．(1)求cos()A B +的值；(2)若4a =，求ABC ∆的面积．座位号：16（本小题满分8分）已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)证明.111112312<-++-+-+n n a a a a a a17（本小题满分8分）在数列{}n a 中，nn n a a a 22,111+==+（1）设12-=n nn a b ，证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18（本小题满分10分）某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为8m ，最大装水量为723m ，池底和池壁的造价分别为2a 元2/m 、a 元2/m ，怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最低？最低造价是多少？19．（本小题满分10分）如图，在y 轴的正半轴上依次有点 ,,,,21n A A A 其中点)10,0(),1,0(21A A ，且||3||11+-=n n n n A A A A ),4,3,2( =n ，在射线)0(≥=x x y 上依次有点 ,,,,21n B B B 点1B 的坐标为（3，3），且22||||1+=-n n OB OB ),4,3,2( =n ⑴用含n 的式子表示||1+n n A A ； ⑵用含n 的式子表示n n B A ,的坐标； ⑶求四边形n n n n B B A A 11++面积的最大值。

2022~2023学年第二学期期中考试高一年级数学试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确答案）1.复平面内表示复数1ii z -=的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】化简复数可得1i z =--，即可根据复数的几何意义得出答案.【详解】根据复数的除法运算求解()1i i 1i i 11i i i i 1z --+====--⋅-，所以，复平面内表示该复数的点为()1,1--，所以，复平面内表示复数1iiz -=的点位于第三象限.故选：C.2.平面向量a 与b的夹角为π3，若()2,0,1a b == ，则2a b += （）A.B. C.4D.12【答案】B 【解析】【分析】确定2= a ，计算22224412a b a a b b +=+⋅+=，得到答案.【详解】()2,0a =r ，则2= a ，222π2444421cos 4123a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=，故2a b +=故选：B3.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为（）A.34B.33C.32D.【答案】D 【解析】【分析】由侧面为等边三角形，结合面积公式求解即可..【详解】设底面棱长为2(0)a a >，正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则侧面为等边三角形，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为()()2232442a a ⨯=.故选：D4.定慧禅寺位于江苏省如皋市，是国家AAA 级旅游景区．地处如皋古城东南隅，寺门正对玉带河，东临放生池，西南傍玉莲池，寺院平面布置呈"回"字形，楼堂环绕四周，宝殿坐落中央，形成"水环寺，楼抱殿"独特格局．某同学为测量寺内观音塔的高度MN ，在观音塔的正北方向找到一座建筑物AB ，高约为22.5m ，在地面上点C 处（B ，C ，N 三点共线）测得建筑物顶部A ，观音塔顶部M 30°和45°，在A 处测得观音塔顶部M 的仰角为15°，观音塔的高度约为（）A.32mB.39mC.45mD.55m【答案】C 【解析】【分析】先在Rt ABC △中求出AC 的长度，然后再求出ACM △中CAM ∠，AMC ∠，利用正弦定理求出MC ，最后利用三角函数定义求出MN 的长度.【详解】由题意得，在Rt ABC △中，45sin 30ABAC ==︒，在ACM △中，301545CAM ∠=︒+︒=︒，1804530105ACM ∠=︒-︒-︒=︒，30AMC ∴∠=︒.由正弦定理得，sin sin AC MC AMC CAM =∠∠，得sin 45452sin 30ACMC =⋅︒=︒，在Rt CMN 中，sin 4545MN MC =⋅︒=.故选：C.5.已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1：3，其侧面展开图所在扇形的圆心角为π2，则圆台的高为（）A.23B.15C.4D.32【答案】B 【解析】【分析】首先画出几何体，根据几何关系，求解圆台的高.【详解】如图，将圆台还原为圆锥，上底面圆的半径为r ，下底面圆的半径为3r ，底面圆周长为6πr ，因为圆台的母线长为4，根据上下底面圆的半径为为1：3，所以上圆锥的母线长为2，则圆台所在圆锥的母线长为6，因为圆台展开图所在扇形的圆心角为π2，所以π66π2r ⨯=，得12r =，如图，圆台的高224415h r =-=故选：B6.如图所示，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB mAM = ，(,0)AC nAN m n => ，则14m n+的最小值为（）A.2B.3C.92D.5【答案】C 【解析】【分析】根据向量基本定理及向量共线定理的推论得到122m n+=，再利用基本不等式求出最小值.【详解】若,,C D E 三点共线，FC FD FE λμ=+，则1λμ+=，理由如下：因为,,C D E 三点共线，则有CD xDE =，即()FD FC x FE FD -=- ，即()1FC x FD xFE =+-，故1,x x λμ=+=-，故1λμ+=，其中1()2AO AB AC =+ 22m n AM AN =+ ，M 、O 、N 三点共线，∴122m n+=，∴14145259()()2222222m n n m m n m n m n +=++=++≥+=，当且仅当22n m m n=，即423n m ==时，等号成立．故选：C ．7.ABC 中，已知()()()()sin sin sin b c A C a c A C ++=+-，设D 是BC 边的中点，且ABC ，则()AB DA DB ⋅+等于()A.2 B.4C.-4D.-2【答案】A 【解析】【分析】根据正、余弦定理求出A ；根据三角形面积公式求出bc ；再根据D 是BC 边的中点，将DA，DB 用AB 和AC表示，再根据数量积的定义，即可求出结果．【详解】∵()()()()sin sin sin b c A C a c A C ++=+-，∴()()()sin sin sin b c B a c A C +=+-，∴()()()b c b a c a c +=+-，即222b c a bc +-=-，∴2221cos 22b c a A bc +-==-，又角A 是ABC 的内角，∴23A π=，又1sin 2ABC bc S A ==122bc =⨯，∴4bc =；又D 是BC 边的中点∴()11=()22AB DA DB AB AB AC CB ⎡⎤⋅+⋅-++⎢⎥⎣⎦111()()cos 42222AB AB AC AB AC AB AC bc A ⎡⎤⎛⎫=⋅-++-=-⋅=-⋅=-⨯-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.故选：A ．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，同时考查了平面向量基本定理和数量积运算，属中档题．8.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则bc的取值范围为（）A.1,22⎛⎫⎪⎝⎭B.23,32⎛⎫⎪⎝⎭C.34,43⎛⎫⎪⎝⎭D.35,53⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，利用余弦定理和面积公式，结合倍角公式求得tan2A,进而求得A 的各个三角函数值，再利用正弦定理边化角求得b c关于C 的函数表达式，根据锐角三角形的条件得到022C A ππ<-<<，利用三角函数的性质求得取值范围即可．【详解】解：△ABC 中2222cos a b c bc A =+-，1sin 2S bc A =，由222()S a b c =--，得sin 22cos bc A bc bc A =-，∴sin 2(1cos )A A =-；即22sincos 4sin 222A A A =，∵sin 02A >，∴1tan 22A =，∴21242tan 3112A ⨯==⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴43sin ,cos 55A A ==，∴sin sin()sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5b B A C A C A Cc C C C C ++====+，∵△ABC 为锐角三角形，∴2A C π+>,∴022C A ππ<-<<，∴140tan tan tan 23C A C π⎛⎫<=-<= ⎪⎝⎭，∴34344325555tan 5535153C <+<⨯+==,∴35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D ．二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多项符合题目要求）9.下列说法中正确的是（）A.平面向量的一个基底{}12,e e 中，1e ，2e一定都是非零向量.B.在平面向量基本定理中，若0a =，则120λλ==.C.若单位向量1e ､2e 的夹角为23π1e 在2e 方向上的投影向量是212e - .D.表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.【答案】ABC 【解析】【分析】由平面向量基本定理，依次判定即可【详解】选项A ：作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，因此1e ，2e一定都是非零向量，故A 正确；选项B ：12000a e e ==⋅+⋅，由在同一基底下向量分解的唯一性，有120λλ==，故B 正确；选项C ：1e 在2e 方向上的投影向量为：1222212||e e e e e ⋅=-，故C 正确；选项D ：平面内任何两个不共线的向量都可作为基底，因此基底不是唯一的，故D 错误故选：ABC10.已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（）A.若复数3i z =+，则13i 1010z =-.B.复数z 满足2i 1z -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()2221x y +-=.C.若复数1z ，2z 满足12z z =，则120z z ≥.D.复数3i 1z =-+的虚部是1.【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，直接利用复数的除法运算求解，对于B ，利用复数的模求解，对于C ，直接复数的乘法运算求解判断，对于D ，利用虚部的定义判断【详解】对于A ，因为3i z =+，所以113i 3i 3i 3i (3i)(3i)101010z --====-++-，所以A 正确，对于B ，因为z 在复平面内对应的点为(),x y ，所以2i (2)i z x y -=+-，因为2i 1z -=，所以()2221x y +-=，所以B 正确，对于C ，令2i(,)z a b a b R =+∈，因为12z z =，所以1i(,)z a b a b R =-∈，所以()()2212i i 0z z a b a b a b =-+=+≥，所以C 正确，对于D ，复数3i 1z =-+的虚部为3-，所以D 错误，故选：ABC11.对于ABC ，有如下命题，其中正确的有（）.A.若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形B.若ABC 是锐角三角形，则不等式sin cos A B >恒成立C.若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 为钝角三角形D.若AB =1AC =.π6B =，则ABC 的面积为2【答案】BC 【解析】【分析】A 选项，由正弦值相等，得到22A B =或22πA B +=，故A 错误；B 选项，由锐角三角形和正弦函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性进行求解；C 选项，先由正弦定理得到222a b c +<，再使用余弦定理即可求出C 为钝角；D 选项，先用余弦定理得到BC ，进而利用面积公式进行求解.【详解】在ABC ，πA B C ++=，A 选项，∵sin 2sin 2AB =，∴22A B =或22πA B +=，∴A B =或π2A B +=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形，A 错误，B 选项，∵ABC 是锐角三角形，则ππ022B A <-<<，又()sin f x x =在02π⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递增，∴πsin sin()cos 2A B B >-=即sin cos A B >恒成立，B 选项正确，C 选项，∵222sin sin cos 1A B C ++<，∴2222sin sin 1cos sin A B C C +<-=，由正弦定理可得222a b c +<，∴222cos 02a b c C ab+-=<，∴C 为钝角，则ABC 为钝角三角形，C 对，D 选项，∵AB =.1AC =.π6B =，设BC x =，由余弦定理可得2221cos6x π=+-⋅，化为2320x x -+=，解得1x =或2，经检验，均符合要求，则11sin 264ABC S π=⨯=或Δ12sin 262ABC S π=⨯=，D 错误，故选：BC.12.棱长为1的正方体1111A B C D ABCD 中，M 为底面ABCD 的中心，Q 是棱11A D 上一点，且111D Q D A λ=，[]0,1λ∈，N 为线段AQ 的中点，下列命题中正确的是（）A.三棱锥A DMN -的体积与λ的取值无关B.当12λ=时，点Q 到直线AC 的距离是4C.当14λ=时，0AM QM ⋅=D.当13λ=时，过,,A Q M 三点的平面截正方体所得截面的周长为3【答案】ABD 【解析】【分析】根据锥体体积计算、点线距离、线线垂直、正方体的截面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对选项A ：由A DMN N ADM V V --=，因为N 到平面ABCD 的距离为定值12，且ADM △的面积为定值14，所以三棱锥A DMN -的体积跟λ的取值无关，所以A 正确；对选项B ：当12λ=时，Q 是11A D的中点，53,22AQ AC QC =====，59244cos QAC +-∠==，所以QAC ∠为锐角，所以sin QAC ∠==,所以点Q 到直线AC的距离是sin 24AQ QAC ⨯∠==，所以B正确.对选项C ：当14λ=时，134AQ =，可得212AM =，2221192511616AQ AA A Q =+=+=，取11,AD A D 的中点分别为,N E ，连接,EN EM ，则222EM MN EN =+，在直角三角形MEQ 中，222222112112416QM EM EQ ⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22222212921616AM QM AQ ⎛+=+=> ⎪⎝⎭，所以0AM QM ⋅= 不成立，所以C 不正确．对选项D ：当13λ=时，取11113D H D C =uuuu r uuuu r ，连接HC ，则11//HQ AC ，又11//AC AC ，所以//HQ AC ，所以,,,,A M C H Q 共面，即过,,A Q M 三点的正方体的截面为ACHQ ，由3AQCH ===，则ACHQ 是等腰梯形，且111233QH AC ==，所以平面截正方体所得截面的周长为2l ==，所以D 正确；故选：ABD三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个底平行于x '轴，底角为45︒，两腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是__________．【答案】8+8+【解析】【分析】根据斜二测画法规则画出原平面图形，即可求出其面积【详解】由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，如图所示：这个平面图形的面积：4(2282⨯++=+故答案为：8+14.已知锐角三角形ABC 内接于单位圆，且BC =ABC 面积的最大值是___________.【答案】12【解析】【分析】由题意可知90BOC ∠=︒，由圆的性质可知45BAC ∠=︒，在ABC 中，使用余弦定理和基本不等式，可得2AB AC ⋅≤+，再根据三角形面积公式1=sin 2ABC S AB AC BAC ⋅∠ ，即可求出结果.【详解】如图，设圆O 的半径为1，因为BC =BOC 是直角三角形，即90BOC ∠=︒，所以角45BAC ∠=︒，由余弦定理可知2222cos 4BC AB AC AB AC π=+-⋅由基本不等式可知(2222cos24AB AC AB AC AB AC π=+-⋅≥-⋅，当且仅当AB AC =时，取等号；所以2AB AC⋅≤=+，又(11=sin=2+=2442ABCS AB AC BAC AC+⋅∠⋅≤⨯.所以ABC的面积的最大值为12.15.根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为4cm，高为10cm，里面注入高为1cm的水，将一个半径为4cm的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为______cm．1.26≈）【答案】1.48【解析】【分析】根据祖暅原理，建立体积等量关系，代入体积运算公式求解即可.【详解】设铁球沉到容器底端时，水面的高度为h，由图2知，容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等于圆柱的体积，由图1知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于圆柱的体积，故容器内水的体积等于相应圆台的体积，因为容器内水的体积为2π4116πV=⨯⨯=水，相应圆台的体积为()()()3224π1164ππ44π443333hh h-⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯-=-，所以()34π64π16π33h-=-，解得44421.26 1.48h==-≈-⨯=cm，故答案为：1.4816.已知一个圆台内部的球与圆台的上、下底面以及每条母线均相切，设球与圆台的表面积分别为1S，2S，体积分别为1V，2V，若1247SS=，则12VV=______．【答案】47【解析】【分析】找到球半径与圆台上、下底面半径之间的关系，用1r ，2r 表示出圆台和球的表面积，由条件求出1r ，2r 之间的关系，结合球的体积公式求12V V .【详解】第一步：找到球半径与圆台上、下底面半径之间的关系设圆台的母线长为l ，高为h ，上、下底面圆心分别为1O ，2O ，半径分别为1r ，()212r r r <，球的球心为O ，半径为R ，作出该组合体的轴截面如图所示，连接12O O ，易知点O 为12O O 的中点，则122O O h R ==．设D 为球O 与圆台侧面的一个切点，连接OD ，根据切线长定理可得12l r r =+，（切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等）所以()()()22221122R r r r r +-=+（勾股定理的应用）所以212R r r =，第二步：用1r ，2r 表示出圆台和球的表面积则21124π4πS R r r ==，()()2222212121122πππ2πS r r l r r r r r r =+++=++，（圆台的表面积公式）第三步：根据1247S S =得到1r ，2r 之间的关系故()1121222222112211224π2472πS r r r r S r r r r r r r r ===++++，第四步：求出12V V 所以()()3311222222221122112211224π2443172π3R V r r R V r r r r R r r r r r r r r h ====++++++．故答案为：47.三､解答题（本大题共5小题，共70分）17.已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，,m n 为实数．（1）若1n =，1z 为纯虚数，求12||z z +的值；（2）若()212z z =，求,m n 的值．【答案】(1)12 z z +=(2)m=0,n=-1【解析】【分析】（1）利用复数的运算法则，结合纯虚数的概念，根据模的计算公式即可得出；（2）利用复数的运算法则、复数相等即实部与虚部分别相等可得出最终结果．【详解】（1）因为12z m i =－为纯虚数，所以0m =．又1n =，所以12z i =-，21z i =-，从而1213z z i +=-．因此12z z +==（2）因为()212z z =，所以()221m i ni -=+，即()2212m i nni -=-+．又m ，n 为实数，所以21,22,m n n ⎧=-⎨-=⎩解得0,1.m n =⎧⎨=-⎩【点睛】本题主要考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.18.已知向量()()1,2,4,3a b ==-.（1）若向量//c a，且c = ，求c 的坐标；（2）若向量a kb + 与a kb -互相垂直，求实数k 的值.【答案】（1）()2,4c = 或()2,4c =-- （2）55k =±【解析】【分析】（1）因为//c a r r，所以可以设c a λ= 求出c 坐标，根据模长，可以得到参数λ的方程.（2）由于已知条件()()1,2,4,3a b ==- 可以计算出a kb + 与a kb -坐标（含有参数k ）而两向量垂直，可以得到关于k 的方程，完成本题.【详解】（1）法一:设c a λ=，则222c a λ=，所以()222221λ=+解得2λ=±所以()2,4c =r或()2,4c =--r 法二:设(),c x y =，因为//c a r r ，()1,2a =，所以2x y =，因为c =r，所以2220x y +=解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩，所以()2,4c =r或()2,4c =--r （2）因为向量a kb + 与a kb -互相垂直所以()()0a kb a kb +-= ，即222a k b 0-= 而()1,2a =r ，()4,3b =- ，所以225,25a b == ，因此25250k -=，解得55k =±【点睛】考查了向量的线性表示，引入参数，只要我们能建立起引入参数的方程，则就能计算出所求参数值，从而完成本题.19.如图，一个圆锥的底面半径3cm R =，高4cm H =，在其内部有一个高为cm x 的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上）．（1）求圆锥的侧面积；（2）当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值．【答案】（1）215cm π（2）当2x =时，圆柱的侧面积最大，最大面积为26πcm 【解析】【分析】(1)由条件求圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解；(2)由圆柱的侧面积公式求圆柱的侧面积的表达式，再根据二次函数性质求其最值.【小问1详解】圆锥的母线长为5cm ===L ，所以圆锥的侧面积为23515cm =⋅⋅=⨯⨯=侧S R L πππ．【小问2详解】设圆柱的底面半径为r ，如图可得-=x R r H R ，即343-=x r，得33(04)4=-<<r x x ．所以圆柱的侧面积()223324=(2)4(04)22S r x x x x x πππ⎡⎤=⋅⋅=⋅-+⋅--+<<⎣⎦．所以当2(0,4)x =∈时，S 取得最大值6π．即当2x =时，圆柱的侧面积最大，最大面积为26πcm ．20.在①cos cos a b c B b C +=-cos )sin c A b a C -=，sinsin 2A Bc A +=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且_________．（1）求角C 的大小；（2）若c =，sin sin 4sin sin A B A B +=⋅，求ABC 的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）23C π=；（2【解析】【分析】（1）根据所选条件，应用正弦定理边角关系、和角正弦公式、三角形内角性质化简条件得到关于角C 的三角函数值，即可得结果；（2）由已知及正弦定理可得a b ab +=，再由余弦定理有222122a b c ab +-=-，进而求得4ab =，最后应用三角形面积公式求面积.【小问1详解】选①：由正弦定理得：sin sin sin cos sin cos A B C B B C +=-，而sin sin()A B C =+，所以sin sin cos cos sin sin cos sin cos B B C B C C B B C +-+=，整理得：2sin cos sin 0B C B +=，又sin 0B >，可得1cos 2C =-，而0C π<<，则23C π=.cos sin )sin sin C A B A C -=，而sin sin()B A C =+，cos sin cos cos sin )sin sin C A A C A C A C --=，则cos sin sin A C A C =，而sin 0A >，可得tan C =而0C π<<，则23C π=.sin sin sin 2A BA C A +=，而sin 0A >且ABC π+=-，sin()2sin cos 22222C C C C π-==，又022C π<<，所以sin22C =，则23C π=，即23C π=.【小问2详解】由c =，则4sin sin sin a b cA B C ===，故1414,sin sin A a B b==，而sin sin 4sin sin A B A B +=⋅，则11444sin sin A B a b+=+=，可得a b ab +=，又2221cos 22a b c C ab +-==-，整理得22120a b ab ++-=，则22()12()12(4)(3)0a b ab ab ab ab ab +--=--=-+=，可得4ab =，所以ABC的面积为112πsin 4sin 223S ab C ==⨯⨯=.21.如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中,,2AB a B BC π=∠==.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道MN ，且两边是两个关于走道MN 对称的三角形（AMN ∆和A MN '∆）.现考虑方便和绿地最大化原则，要求点M 与点,A B 均不重合，A '落在边BC 上且不与端点,B C 重合，设AMN θ∠=.（1）若3πθ=，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，,AN A N '的长度最短，求此时绿地公共走道MN 的长度.【答案】(1)29a ；(2)23a .【解析】【详解】分析：（1）由题意可得1122BM A M AM ='=，23AM a =，则22329AMN S S a ∆==；（2）由题意可得22aAM A M sin θ='=，由正弦定理有223aAN sin sin πθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，记2122362t sin sin sin ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合三角函数的性质可得3πθ=时，t 取最大，AN 最短，则此时23MN AM a ==.详解：（1）由图得：23BMA ππθ∠=-='∴1122BM A M AM ='=，又BM AM a AB +==∴32AM a =∴23AM a =，∴222142223929AMN S S AM sin a a π∆==⋅⋅⋅=⋅=；（2）由图得：()2AM A Mcos AB a πθ-='+=且AM A M ='，∴()212122a a aAM A M cos cos sin πθθθ====+--'，在AMN ∆中，由正弦定理可得:3ANAMsin sin πθπθ=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴22233AMsin aAN sin sin sin θππθθθ==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记22222333t sin sin sin sin cos cos sin πππθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2121222262cos cos sin sin θπθθθθθ-⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴262ππθ-=，∴3πθ=时，t 取最大，AN 最短，则此时23MN AM a ==.点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.22.在平面直角坐标系中，已知()23,,8,8,7,0,,,02A t B m m C m t m R t t ⎛⎛⎫---∈≠ ⎪⎭ ⎪⎝⎝⎫⎭．（1）若1,4,t m Р==为x 轴上的一动点，点()1,2'-A ．①当,,A P B '三点共线时，求点P 的坐标；②求PA PB +的最小值﹔（2）若()sin ,0,t θθπ=∈，且CA 与CB 的夹角0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，求m 的取值范围．【答案】（1）①5,02⎛⎫⎪⎝⎭；②5；（2）5m <．【解析】【分析】（1）①设(),0P x ，根据题意，可得,A P A B ''坐标，根据,,A P B '三点共线，可得A P ' 与AB '共线，根据向量共线的坐标运算，即可求得答案；②因为()1,2A 关于x 轴的对称点为()1,2'-A ，所以当,,A P B '三点共线时，PA PB '+取得最小值，代入两点间距离公式，即可得答案.（2）根据题意，求得,CA CB 坐标，根据题意可得0CA CB ⋅>恒成立，根据数量积公式，化简整理，可得()2sin 7sin 16,0,3sin m θθθπθ-+<∈-恒成立，令3sin k θ-=，利用换元法，可得2441k k m k k k++<=++，[2,3)k ∈恒成立，结合对勾函数的性质，即可得答案.【详解】解：（1）①设(),0,1,4P x t m ==，则(4,2)B ，所以()()1,2.3,4A P x A B ''=-= ，因为A P ' 与A B ' 共线所以()416x -=，解得52x =，所以当,,A P B '三点共线时，点P 的坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭②因为()1,2A 关于x 轴的对称点为()1,2'-A 所以AP PB PA PB '+=+，所以当,,A P B '三点共线时，PA PB '+取得最小值，最小值即为5A B '== 所以PA PB +取得最小值5.（2）因为()sin ,0,t θθπ=∈，所以2sin ,sin A θθ⎛⎫ ⎪⎝⎭，第21页/共21页所以23sin 7,,1,8sin 2CA m CB m θθ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为CA 与CB 的夹角0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以0CA CB ⋅> 恒成立，所以32sin 7802sin CA CB m m θθ⎛⎫⋅=+-+-> ⎪⎝⎭，又因为()0,θπ∈，所以sin 0θ>，所以2sin 7sin sin 1630m m θθθ-++->，即()23sin sin 7sin 16m θθθ-<-+恒成立，又因为3sin 0θ->，所以()2sin 7sin 16,0,3sin m θθθπθ-+<∈-恒成立，令3sin k θ-=，则[2,3)k ∈，换元可得2441k k m k k k++<=++，[2,3)k ∈，因为4115k k++≥+=，当且仅当2k =时等号成立，所以当2k =时，41k k ++有最小值5，所以m 的取值范围是：5m <【点睛】解题的关键是熟练掌握向量共线、数量积公式、对勾函数等知识，并灵活应用，易错点为，在应用换元法时，应写出新元的范围，再根据自变量范围，结合对勾函数的性质求解，属中档题。

一、单选题1．已知集合或，则（ ） {32},{3A x x B x x =-<<=<-∣∣1}x >()R A B ⋂=ðA ． B ． ][(),32,-∞-⋃+∞()[),32,-∞-⋃+∞C ． D ．()[),31,-∞-⋃+∞[)2,+∞【答案】B【分析】由交集，补集定义可得答案.【详解】由，可得或， {32}A xx =-<<∣{3A x x =≤-R ∣ð2}x ≥所以或. (){3A B xx ⋂=<-R ∣ð2}x ≥故选：B. 2．（ ） ()3i12i i+--=A ． B ．C ．D ．i -5i 14i -1i +【答案】A【分析】运用复数运算法则化简即可. 【详解】由题可知. ()3i12i 3i 112i i i+--=-+-+=-故选：A.3．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） 03x <<2log x a >a A ． B ．C ．D ．()1,8()0,1(]0,1()0,∞+【答案】C【分析】将所求问题转化为真子集求参数问题，结合对数不等式即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件， 03x <<2log x a >所以 ，()0,3()2log ,a +∞所以，解得， 22log 0log 1a ≤=01a <≤故即实数的取值范围是. a (]0,1故选：C.4．打糍粑流行于中国南方地区，如图为一种打糍粑用的石臼，其可看成从正方体的一面挖去一个半球后形成的几何体.若该正方体的棱长为，半球的半径为，石臼的体积为，则（ ）a R 334a a R=A ．B ．CD ．【答案】B【分析】根据正方体内切球及球的体积公式计算可得.【详解】由题可知正方体的体积为，挖去的半球的体积为，3a 323R π所以，即，33323π34a R a -=3312π43a R =所以a R =故选：B.5．已知某圆柱的轴截面的斜二测画法直观图如图所示，分别对应圆柱两底面的直径，,AO BC '，则该圆柱的表面积为（ ） 45AO CO AO C ∠'''===A ．B ．C ．D ．6π4π3π2π【答案】C【分析】根据直观图可得圆柱得底面半径及高，再根据圆柱的表面积公式即可得解. 【详解】作出圆柱的轴截面的原图形，如图，由题可知圆柱的底面半径为12OA =OC =所以该圆柱的表面积为.22ππ3π⨯+=故选：C.6．已知是半径为1的圆上的两个动点，，则的夹角的余弦值为,A B O ||||OA OB OA OB +=⋅ ,OA OB（ ）A B C ．D ．112-【答案】C【分析】将已知条件两边平方，结合数量积定义可解.【详解】由题可知，，设的夹角为.||||1OA OB == ,OA OBθ因为||||OA OB OA OB +=⋅ 所以，即，2222cos OA OB OB OA θ++⋅=2cos 2cos 20θθ--=解得的夹角的余弦值为cos 1θ=1,OA OB1故选：C7．已知函数为正整数，在区间上单调，且，()()sin (f x x ωϕω=+0π)ϕ<<π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭()3ππ2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭则（ ） ϕ=A ．B ．C ．D ．π6π4π32π3【答案】B【分析】由单调区间可知周期范围，进而可得，再由结合正弦函数的对称性可解.ω()3ππ2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】设的最小正周期为.由题可得，故，又为正整数，()f x T 2ππ3π2π42T ω⎛⎫=≥-= ⎪⎝⎭43ω≤ω所以.因为，所以的图象的一条对称轴为直线.所以1ω=()3ππ2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 3ππ5π224x +==，解得.又，所以. 5πππ,42k k ϕ+=+∈Z 3,4k k πϕπ=-∈Z 0πϕ<<π4ϕ=故选：B8．已知奇函数的定义域为，且对任意的且，都有与()f x R ()12,0,x x ∈+∞12x x ≠12x x -同号，若，则（ ）()()2112x f x x f x -()()()0.50.50.50.520.5e 22e ,,e 2e 2f f f a b c --===--A ． B ． C ． D ．a cb <<a bc <<b<c<a b a c <<【答案】D 【分析】令，由题意可知，当时，为增函数，且为偶函数，由于()(),0f x h x x x=≠0x >()h x ()h x ，，，结合函数的单调性即可得解.0.5)0.5e (h a =(e 2)b h =-0.5(2)c h =()h x 【详解】因为对任意的且，都有与同号， ()12,0,x x ∈+∞12x x ≠12x x -()()2112x f x x f x -即与即同号.12x x -()()211212x f x x f x x x -()()1212f x f x x x -令，所以，当时，为增函数. ()(),0f x h x x x=≠0x >()h x 由题可知为奇函数，则， ()f x ()()f x f x -=-因为，所以为偶函数， ()()()()f x f x h x h x x x---===--()h x 由于，，()()0.50.50.50.50.5()20.5e 0.5e 0.5ee0.5ef f a h ===()2e (2e)(e 2)2ef b h h -==-=--，()0.50.50.50.52(2)(2)2f ch h -==-=-因为，即， 0.50.50.50.5e 1,0.5e 0.8e 2,21=<==>=>->0.50.520.5e e 2>>-所以. b a c <<故选：D.二、多选题9．用一个平面去截棱长为1的正方体，则下列结论中正确的是（ ） 1111ABCD A B C D -A．若该平面过点，则截面的周长为61,,A C B B ．若该平面过点，则截得的两个几何体的外接球体积相等 1,,A C B C ．若该平面过点，则截得的两个几何体的表面积均为1,,A D B 3D ．若该平面过点，则其截正方体的外接球所得的截面面积不是定值 1,D B 1111ABCD A B C D -【答案】BC【分析】作出过点的截面直接计算可判断A ；分析两个几何体的外接球和正方体的外接球1,,A C B 的关系可判断B ；直接计算两个几何体的表面积可判断C ；由过的截面过正方体外接球的球心1,D B 可判断D.【详解】若该平面过点，则截面为正三角形，则截面的周长为1,,A C B 1ACB A A 错误；若该平面过点，则截得的两个几何体的外接球均为正方体的外接球， 1,,A C B 1111ABCD A B C D -故外接球体积相等，B 正确；当该平面过点时，截面为，则截得的两个几何体为相同的三棱柱，1,,A D B 11AB C D且三棱柱的表面积均为正确；2212121132⨯+⨯⨯+=若该平面过点，则其过正方体的外接球球心， 1,D B 1111ABCD A B C D -所以截面面积是定值，D 错误. 故选：BC.10．已知向量，则（ ）()()1,2,1,3a b =-=A ．()a ab +∥ B ．的夹角为,a b34πC ．与共线的单位向量ae = D ．在上的投影向量为a b 13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】求出的坐标，再利用共线向量的坐标表示判断A ；求出夹角判断B ；由单位向量的意a b +义判断C ；求出投影向量的坐标判断D 作答.【详解】依题意，，显然，即与不共线，A 错误；()2,1a b += ()112250⨯-⨯-=≠a a b +，又，则的夹角为，B 正确；c os ,a b a a b b =〈⋅=〉=[],0,πab 〈〉∈,a b 34π与共线的单位向量，C 错误；a e =±在上的投影向量为，D 正确. a b313cos ((,422b a bπ⋅==-- 故选：BD11．已知的内角的对边分别为，则使得的ABC A ,,AB C ,,a b c sin ,2Ba b==2c =条件可以为（ ） A ．B ．sin B C =4sin bA =C ． D ．2BC A +=CB CACA⋅=【答案】AD【分析】先利用正弦定理边化角可求得角A.利用正弦定理角化边，结合余弦定理可得c ，然后可判断A ；由求b ，再利用余弦定理求c 可判断B ；利用内角和等于求出角A 可判断C ；根4sin b A =π据数量积定义可得角C ，进而可判断D. 【详解】，所以sin Bb =1=3sin A A=，可得tanA =因为，所以.由，利用正弦定理，可得， 0πA <<π6A =sin B C =b =由余弦定理，可得，解得，故A 正确； 2222cos a b c bc A =+-224)2c c =+-⨯2c =由，可得，又因为，所以是以为顶角的等腰三角形， 4sin b A =π4sin26b ==2a =ABC A C 所以，可得，由正弦定理，可得，解得，故B π6A B ==2π3C =sin sin a c A C =2π2πsin sin 63c=c =错误；由于，又因为，所以，这与矛盾，则这样的三角形不存在，故2B C A +=πA B C ++=π3A =π6A =错误；C由于，所以，所以，故D cos CB CA CB C CA ⋅==cos C =()0,πC ∈π6C =2a c ==正确. 故选：AD12．已知函数，则下列结论中正确的是（ ） ()2πsin2243xf x x x =-+A ．的一个周期为1 ()f x B ．的图象是轴对称图形()f x C ．若恒成立，则实数的取值范围为 ()f x m ≤m [)1,+∞D ．直线与的图象没有公共点 1y =-()f x 【答案】BCD【分析】A.利用周期函数的定义判断；B.利用函数对称性判断；C.由判断；D.由()1f x ≤()1f x >-判断.【详解】依题意，，故1不是的周期，A 错()()()()22ππsin1cos 2212(1)41321x x f x f x x x x ++==≠+-+++()f x 误；而，故是图象的一条对称轴，B 正确； ()22ππsin (1)cos 221(1)2(1)4(1)321x xf x f x x x x --===+---++1x =()f x 二次函数的，2243y x x =-+Δ0<故，且在处取得最小值1， 22430x x -+>2243y x x =-+1x =而在处取得最大值1，故，则正确； sin 2y x π=1x =()1f x ≤1,C m ≥因为，且当时，， πsin12y x =≥-1x =πsin 12y ==又当时，，所以， 1x ≠22431y x x =-+>()1f x >-所以直线与的图象没有公共点，D 正确. 1y =-()f x 故选：BCD三、填空题13．已知复数且其虚部大于0，则实数__________. ()21i z m m =+-m =【答案】/1.895【分析】根据模长公式及虚部大于0，列式求解即得.【详解】,或， =95m =1m =-且， 210m ->所以. 95m =故答案为:.9514．若平面上不共线的四点满足，且，则__________.,,,O A B C 34OA OC OB +=2BC = AB = 【答案】6【分析】由已知利用向量的线性运算得，即可得解.3AB BC =【详解】由已知得.()()330,3OA OB OC OB BA BC AB BC -+-=+=∴=又. ||2,||3||6BC AB BC =∴==故答案为：6. 15．已知函数，记关于的方程的所有实数根的乘积为，若()()ln ex af x a -=∈R x ()e f x =()g a ，则实数的取值范围是__________. ()2231g m m --<m 【答案】()1,3-【分析】求出方程的所有实数根，得到的解析式，然后利用其单调性解不等式即可.()e f x =()g a 【详解】由，得，所以或，故，()e f x =ln 1x a -=1e a x +=1e a -()2e ag a =则函数在上单调递增，又，()g a R ()01g =则，即为，()2231g m m --<()()2230g m m g --<所以，解得的取值范围是. 2230m m --<m ()1,3-故答案为：.()1,3-16．已知在等腰中，，点为边的中点，则在上的投影向量的ABC A 1cos ,38A BC =-=F AC FB FA 长度为__________.【答案】/1.25 54【分析】利用余弦定理求AC ，作出AC 边上的高BD ，由三角函数定义可得AD ，然后根据投影向量的几何意义可得.【详解】如图，由题可知.设，由余弦定理可得，解得. AB AC =AB AC x ==22223128x x x +-=-2x =作AC 边上的高BD ，因为，所以，1cos 8BAC ∠=-1cos 8BAD ∠=所以，11cos 284AD AB BAD =∠=⨯=由投影向量的几何意义可知，投影向量的长度为. 15144DF AF AD =+=+=故答案为：. 54四、解答题17．油纸伞是世界上最早的雨伞，是中国古人智慧的结晶.它以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面.伞面可近似看成圆锥形.若某种油纸伞的伞面下边沿所在圆的半径为，顶点到下边沿上任一点的长度为.90cm 100cm(1)若将该伞的伞面沿一条母线剪开，展开后所得扇形的圆心角为多少弧度？(2)若伞面的内外表面需要各刷1次桐油，每平方米需要刷桐油，则刷一个这样的油纸伞需要πkg 30多少千克桐油？（参考数据：） 2π9.9≈【答案】(1) 9π5(2) 0.594【分析】（1）求出扇形的弧长，再根据弧长公式即可得解； （2）求出圆锥的侧面积，进而可求出答案.【详解】（1）由题可知圆锥的底面周长为， ()2π90180πcm ⨯=所以展开后所得扇形的圆心角为； ()180π9πrad 1005=（2）由题可知圆锥的侧面积，()212π901009000πcm 2S =⨯⨯⨯=所以刷一个这样的油纸伞需要桐油. ()42π29000π100.06π0.069.90.594kg 30-⨯⨯⨯=≈⨯=18．已知在复平面内表示复数的点为.()()22234i z m m m m =--++-Z (1)若点在函数的图象上，求实数的值；Z 26y x =--m (2)若为坐标原点，点A 在轴的正半轴上，且向量与的夹角为钝角，求实数的取值范O x OZ OAm 围.【答案】(1)或 1m =-23m =(2) ()()1,11,2-⋃【分析】（1）将点Z 的坐标代入函数求解即可； 26y x =--（2）根据题意可知，点Z 在第二、三象限，据此列不等式求解即可.【详解】（1）由题可知，复数在复平面内对应的点的坐标为.z ()222,34m m m m --+-又该点位于函数的图象上，26y x =--所以，()2234226m m m m +-=----即， 2320m m +-=解得或. 1m =-23m =（2）由题可知，点在第二象限或第三象限， Z 所以且，220m m --<2340m m +-≠即且且，12m -<<4m ≠-1m ≠所以的取值范围为.m ()()1,11,2-⋃19．已知中角的对边分别为，且. ABC A ,,A B C ,,a b c π4πsin cos cos sin 33C B C B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求；A (2)若，求的周长的最小值.16bc =ABC A 【答案】(1)π3(2)12【分析】（1）由，利用诱导公式和两角和与差的三角函数求π4πsin cos cos sin 33C B C B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解；（2）由，利用余弦定理得到，利用基16bc =a =a b c b c ++=+本不等式求解.【详解】（1）∵， π4πsin cos cos sin 33C B C B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ππsin cos cos sin 033C B C B ⎛⎫⎛⎫∴+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. πsin 03B C ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭， 0πB C <+< . ππ4π333B C ∴<++<，即. ππ3B C ∴++=2π3B C +=. π3A ∴=（2），16bc = 由余弦定理，可得，∴22222222cos 16a b c bc A b c bc b c =+-=+-=+-a ∴==a b c b c ∴++=+≥，8=12=当且仅当时，等号成立.4b c ==故的周长的最小值为12.ABC A 20．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且的图()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭π2()f x象经过点.3π2⎛ ⎝(1)求的解析式；()f x(2)设函数，若在区间上的取值范围是，求实数()()22g x f x x x =()g x π,8m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,1的取值范围.m 【答案】(1) ()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2) π3π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据题意可得函数的最小正周期，即可求出，再利用待定系数法求出即可； ωϕ（2）根据根据三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的性质结合整体思想即可得()g x 解.【详解】（1）由题可知的最小正周期，则， ()f x π2π2T =⨯=2ω=因为的图象经过点，()f x 3π2⎛ ⎝所以， 3π3πsin 222f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin ϕ=因为，所以， π2ϕ<π4ϕ=-所以； ()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）()()22g x f x x x =πsin 24x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭x x x =x x =， πsin 24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，可得， π,8x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ20,244x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦若在区间上的取值范围是， ()g x π,8m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,1则， ππ224m π≤+≤解得， π3π88m ≤≤所以实数的取值范围是. m π3π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦21．如图，在四边形中，OABC ()()212,,01,3OA CB BM BA CP xCB x BA BC BO BA BC BO ===≤≤⋅+=+⋅(1)证明；:OA OC ⊥(2)设，求的最大值，并求取得最大值时的值为多少.OM CA OP λμ=+ λμ⋅λμ⋅x 【答案】(1)证明见解析 (2)，0 89【分析】（1）由题中条件，结合向量的线性运算及数量积运算可得，即可得证；0OC OA ⋅= （2）依题意，可知，，又2133AM OC OA =- 2233OM OA OC =+ 2x CP OA = ，由平面向量基本定理可得的方程组，进而得出()2x OM CA OP OA OC μλμλμλ⎛⎫=+=++- ⎪⎝⎭ ,λμ的解析式，利用二次函数的性质求最值即可.λμ⋅【详解】（1）， ()2BA BC BO BA BC BO ⋅+=+⋅ 20BA BC BC BO BO BA BO ∴⋅-⋅+-⋅= 即， ()()0BC BA BO BO BA BO ⋅--⋅-= 得，， 0BC OA BO OA ⋅-⋅= ()0BC BO OA -⋅= 得，.0OC OA ⋅= OA OC ∴⊥（2）依题意， 12,23CB OA AM AB == ， ()()2222122133333333AM OB OA OC CB OA OC OA OA OC OA ∴=-=+-=+-=- 由题可知. 21223333OM OA AM OA OC OA OA OC =+=+-=+，. ()2,01OA CB CP xCB x ==≤≤ 2x CP OA ∴= ， ()()()2x OM CA OP OA OC OC CP OA OC μλμλμλμλ⎛⎫∴=+=-++=++- ⎪⎝⎭ 又不共线，即 ,OA OC 2,232,3x μλμλ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩()8,322.3x μλμ⎧=⎪+⎪⎨⎪=-⎪⎩， 2211339λμμμμ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 8401,93x μ≤≤∴≤≤ 当时，取得最大值，且最大值为，此时. ∴43μ=λμ⋅890x =22．已知函数是偶函数.()()2log 4x f x a x =+-(1)求实数的值；a (2)求方程的实根的个数；()1f x x -=(3)若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围.()()2f xg x =()()12xh x n n =--n【答案】(1)1a =(2)1 (3) {{2}2nn >⋃--∣【分析】（1）利用偶函数的定义求解； （2），结合函数在上的单调性与值域求解； ()21log 14x f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭21log 14x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭R （3）令，可得．令，，所以()()h x g x =()11222x x x n n --=+2x t =()0,t ∈+∞()2210n t nt ---=，令函数，结合二次函数的性质求解.()()221s t n t nt =---【详解】（1）因为函数是偶函数，()()2log 4x f x a x =+-所以，即， ()()=f x f x -()()22log 4log 4x x a x a x -+-=++也即， ()()222log 4log 41log 4x x x a x a x +-=⋅+-+，()()22log 4log 41x x a a +=⋅+，. 441x x a a +=⋅+()()1410x a --=因为对定义域内的任意上式恒成立，所以.x 1a =（2）由（1）可知的解析式为. ()f x ()()221log 41log 22x x x f x x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭所以. ()2211log 2log 124x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为函数在上单调递减， 21log 14x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭R 又，所以函数在上的值域为. 104x >21log 14x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭R ()0,∞+所以方程的实根的个数为1.()1f x x -=（3）由题可知. ()122x xg x =+由，可得. ()()h x g x =()11222x x xn n --=+令，则.2x t =()0,t ∈+∞所以可化为. ()11222x x x n n --=+()2210n t nt ---=令函数.()()221s t n t nt =---当，即时，，舍去. 20n -=2n =1210,2t t --==-当，即时，的图象开口向上，20n ->2n >()s t 因为，所以一定存在唯一的正根，符合题意. ()010s =-<()s t 当，即时，的图象开口向下，20n -<2n <()s t 因为，()010s =-<令，解得.()2Δ420n n =+-=2n =-±又，所以对称轴，所以（舍去）或. 0t >()022n t n =>-2n >0n <所以2n =--综上，实数的取值范围是. n {{2}2n n >⋃--∣。

2015-2016学年安徽省合肥一中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC中，一定成立的等式是（）A．asinA=bsinB B．acosA=bcosB C．asinB=bsinA D．acosB=bcosA 2．等差数列{a n}中，a4+a5+a6=36，则a1+a9=（）A．12 B．18 C．24 D．363．以下列函数中，最小值为2的是（）A．y=x+B．y=3x+3﹣xC．y=1gx+（0＜x＜1）D．y=sinx+（0＜x＜）4．已知变量x、y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值是（）A．﹣B．4 C．﹣4 D．﹣85．若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A． B．2 C．2D．46．若数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N+），则该数列的前10项的乘积a1•a2•a3…a10等于（）A．3 B．1 C．D．7．关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），则关于x的不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集为（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）8．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，a=7，b=14，A=30°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解10．已知数列{a n} 满足{a n}=，若对于任意的n∈N*都有a n＞a n+1，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，） D．（，1）11．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定12．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A． B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在锐角△ABC中，a=3，b=4，S△ABC=3，则角C= ．14．已知数列{a n}为等比数列，前n项和为S n，且a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q= ．15．对于任意的实数m∈[0，1]，mx2﹣2x﹣m≥2，则x的取值范围是．16．把正整数排成如图（a）的三角形阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图（b）三角形阵，现将图（b）中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列{a n}，若a k=2017，则k= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知a＜0，解关于x的不等式ax2+（1﹣a）x﹣1＞0．18．设数列{a n}的前n项和S n满足：S n=n2，等比数列{b n}满足：b2=2，b5=16（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．19．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，己知c﹣b=2bcosA．（1）若a=2，b=3，求c；（2）若C=，求角B．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=S n．求证：（1）数列{}成等比；（2）S n+1=4a n．21．滨湖区拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD，其中三角形区城ABC为主题活动区，其中∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12m；AD、CD为游客通道（不考虑宽度），且∠ADC=120°，通道AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心，供游客休憩．（1）求AC的长度；（2）记游客通道AD与CD的长度和为L，求L的最大值．22．已知数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2，n∈N）．（1）试判断数列是否为等比数列，并说明理由；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n；（3）设c n=a n sin，数列{c n}的前n项和为T n．求证：对任意的n∈N*，T n＜．2015-2016学年安徽省合肥一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC中，一定成立的等式是（）A．asinA=bsinB B．acosA=bcosB C．asinB=bsinA D．acosB=bcosA 【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理表示出a，b，sinA及sinB的关系式，变形后即可得到答案C一定正确．【解答】解：根据正弦定理得：=，即asinB=bsinA．故选C2．等差数列{a n}中，a4+a5+a6=36，则a1+a9=（）A．12 B．18 C．24 D．36【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列{a n}中，当p+q=2m时，a p+a q=2a m，即可算出正确的结论．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a4+a5+a6=3a5=36，∴a5=12；∴a1+a9=2a5=24．故选：C．3．以下列函数中，最小值为2的是（）A．y=x+B．y=3x+3﹣xC．y=1gx+（0＜x＜1）D．y=sinx+（0＜x＜）【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式求最值的形式，逐个选项验证“一正，二定，三相等”即可．【解答】解：A中不满足x＞0；B中，y=3x+3﹣x≥2，当且仅当3x=3﹣x即x=0时取等号；C中，因为0＜x＜1，故lgx＜0，不满足条件；D中，因为0＜sinx＜1，故“=”取不到；故选：B．4．已知变量x、y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值是（）A．﹣B．4 C．﹣4 D．﹣8【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣2，2），化目标函数z=x﹣3y为，由图可知，当直线过A（﹣2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2﹣3×2=﹣8．故选：D．5．若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A． B．2 C．2D．4【考点】基本不等式．【分析】由+=，可判断a＞0，b＞0，然后利用基础不等式即可求解ab的最小值【解答】解：∵+=，∴a＞0，b＞0，∵（当且仅当b=2a时取等号），∴，解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C．6．若数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N+），则该数列的前10项的乘积a1•a2•a3…a10等于（）A．3 B．1 C．D．【考点】数列递推式．【分析】可判断数列{a n}的周期为4，从而求得．【解答】解：∵a1=，a n+1=，∴a2==3，a3==﹣2，a4=﹣，a5=，故数列{a n}的周期为4，∵a1•a2•a3•a4=1，∴a1•a2•a3…a10=a1•a2=，故选C．7．关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），则关于x的不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集为（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）【考点】一元二次不等式的应用．【分析】利用不等式的解集与方程根的关系，求出a，b的值，即可求得不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），∴﹣1，2是ax2+bx+2=0（a＜0）的两根∴∴a=﹣1，b=1∴不等式bx2﹣ax﹣2＞0为x2+x﹣2＞0，∴x＜﹣2或x＞1故选B．8．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】利用的等差数列的前n项和公式将已知数列的通项化简，利用裂项求和的方法求出数列的前n项和．【解答】解：∵所以数列的前n项和为==故选B9．在△ABC中，a=7，b=14，A=30°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理及已知可求sinB=1，结合B的范围可求B为直角，即可判断此三角形的解的情况．【解答】解：∵在△ABC中，a=7，b=14，A=30°，∴由正弦定理，得：sinB===1，∴由B∈（0，180°），可得：B=90°，∴C=180°﹣A﹣B=60°，∴此三角形有一解．故选：A．10．已知数列{a n} 满足{a n}=，若对于任意的n∈N*都有a n＞a n+1，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，） D．（，1）【考点】数列的函数特性．【分析】对于任意的n∈N*都有a n＞a n+1，可知：数列{a n}单调递减，可得0＜a＜1．再分类讨论即可得出．【解答】解：∵对于任意的n∈N*都有a n＞a n+1，∴数列{a n}单调递减，可知0＜a＜1．①当时，n＞8，单调递减，而（n≤8）单调递减，∴，解得，因此．②当时，n＞8，单调递增，应舍去．综上可知：实数a的取值范围是．故选D．11．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定【考点】余弦定理．【分析】先设出原来的三边为a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．【解答】解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．而（a+x）2+（b+x）2﹣（c+x）2=x2+2（a+b﹣c）x＞0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=＞0，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A12．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A． B． C．D．【考点】数列的应用．【分析】设{a n}的公比为q（q＞0），由等比数列的通项公式化简a7=a6+2a5，求出q，代入a m a n=16a12化简得m，n的关系式，由“1”的代换和基本不等式求出式子的范围，验证等号成立的条件，由m、n的值求出式子的最小值．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），因为a m a n=16a12，所（a1q m﹣1）（a1q n﹣1）=16a12，则q m+n﹣2=16，解得m+n=6，+=×（m+n）×（+）=×（17++）≥×（17+2）=，当且仅当=，解得：m=，n=，因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到， +＞，验证可得，当m=1、n=5时，取最小值为．故答案选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在锐角△ABC中，a=3，b=4，S△ABC=3，则角C= ．【考点】正弦定理．【分析】利用三角形面积公式求得sinC，进而求得C．【解答】解：∵S△ABC=a•b•sinC=•3•4•sinC=3，∴sinC=，∵△ABC为锐角三角形，∴C=．故答案为：14．已知数列{a n}为等比数列，前n项和为S n，且a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q= 3 ．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】已知两式相减结合等比数列的求和公式可得．【解答】解：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，∴两式相减可得a6﹣a5=2（S5﹣S4），∴a6﹣a5=2a5，∴a6=3a5，∴公比q==3故答案为：3．15．对于任意的实数m∈[0，1]，mx2﹣2x﹣m≥2，则x的取值范围是（﹣∞，﹣1] ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】不等式mx2﹣2x﹣m≥2化为mx2﹣2x﹣m﹣2≥0，设函数f（x）=mx2﹣2x﹣m﹣2，对于m∈[0，1]时f（x）≥0恒成立，转化为g（m）=（x2﹣1）m﹣2x﹣2在区间[0，1]上的最小值大于或等于0；讨论一次项系数x2﹣1的取值，求出g（m）的最小值，列出不等式即可求出x的取值范围．【解答】解：不等式mx2﹣2x﹣m≥2可化为mx2﹣2x﹣m﹣2≥0，函数f（x）=mx2﹣2x﹣m﹣2，则f（x）=（x2﹣1）m﹣2x﹣2对于m∈[0，1]时，f（x）≥0恒成立，即不等式（x2﹣1）m﹣2x﹣2≥0恒成立；令g（m）=（x2﹣1）m﹣2x﹣2，则函数g（m）在区间[0，1]上的最小值大于或等于0；因为函数g（m）的一次项系数为x2﹣1，当x2﹣1=0时，x=±1，且x=1时，g（m）=﹣4不合题意；x=﹣1时，g（m）=0满足题意；当x2﹣1＞0时，有x＞1或x＜﹣1，函数g（m）在区间[0，1]上单调递增，g（m）的最小值是g（0）=﹣2x﹣2≥0，解得x≤﹣1，应取x＜﹣1；当x2﹣1＜0时，有﹣1＜x＜1，函数g（m）在区间[0，1]上单调递减，g（m）的最小值是g（1）=x2﹣2x﹣3≥0，解得x≤﹣1或x≥3，此时x不存在；综上，x的取值范围是x≤﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1]．16．把正整数排成如图（a）的三角形阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图（b）三角形阵，现将图（b）中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列{a n}，若a k=2017，则k= 1031 ．【考点】归纳推理．【分析】由题意可以得出，图1中第n行有2n﹣1个数，且每行的最后一个数恰好是行号的平方，由此可以确定出a k=2017在图a中的位置，图b中每行的数字数等于行号，由此可以计算出前n行共有多少个数字，结合图a即可求出2017在图b中的位置，从而得出k 的值．【解答】解：由题意，图a中第n行有2n﹣1个数，前n行有n×=n×n=n2个数，图b知各行数字个数等于行数，故前n行共有n×=，∵图a每行的最后一个数恰好是行号的平方，45×45=2025，故2017是第45行倒数第9个数，由图b知各行数字个数等于行数，故前45行共有45×=1035，由于最后一个数是奇数，按图b规则知，2017是第45行倒数第5个数，故k=1035﹣4=1031，故答案为：1031．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知a＜0，解关于x的不等式ax2+（1﹣a）x﹣1＞0．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】对a分类讨论，先判断其相应方程的解集的情况，再把二次项的系数变为大于0，进而可求出不等式的解集．【解答】解：原不等式可化为（ax+1）（x﹣1）＞0，∵a＜0，∴（x+）（x﹣1）＜0，且不等式对应方程的两个实数根为﹣和1；当﹣1＜a＜0时，﹣＞1，不等式的解集为{x|1＜x＜﹣}；当a=﹣1时，﹣=1，不等式为（x﹣1）2＜0，其解集为∅；当a＜﹣1时，﹣＜1，不等式的解集为{x|﹣＜x＜1}．18．设数列{a n}的前n项和S n满足：S n=n2，等比数列{b n}满足：b2=2，b5=16（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由数列的通项和前n项和的关系，可得an的通项，由等比数列的通项可得；（2）由错位相减法，可得数列{a n b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）{a n}的前n项和S n满足：S n=n2，n=1时，a1=S1=1，n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，n=1也成立．故a n=2n﹣1，等比数列{b n}满足：b2=2，b5=16，q3==8，解得q=2．则有b n=b2q n﹣2=2n﹣1；（2）前n项和T n=1•1+3•2+5•4+7•8+…+（2n﹣1）•2n﹣1，2T n=1•2+3•4+5•8+7•16+…+（2n﹣1）•2n，两式相减．得﹣T n=1+2•2+2•4+2•8+2•16+…+2•2n﹣1﹣（2n﹣1）•2n，即有﹣T n=1+﹣（2n﹣1）•2n，则有．19．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，己知c﹣b=2bcosA．（1）若a=2，b=3，求c；（2）若C=，求角B．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由余弦定理化简已知等式，整理可得：a2=b2+bc，代入已知即可解得c的值．（2）由题意A+B=，可得sinA=cosB，cosA=sinB，由正弦定理化简已知等式可得：2sin2B+sinB﹣1=0，解得sinB，即可求B=．【解答】解：（1）∵c﹣b=2bcosA．∴由余弦定理可得：c﹣b=2b×，整理可得：a2=b2+bc，∵a=2，b=3，∴24=9+3c，解得：c=5．（2）∵C=，∴A+B=，可得sinA=cosB，cosA=sinB，∴c﹣b=2bcosA，由正弦定理可得：sin（A+B）=2sinBcosA+sinB，可得：sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA+sinB，解得：cos2B+sin2B=2sin2B+sinB=1，即：2sin2B+sinB﹣1=0，可得：sinB=或﹣1（舍去）．即B=．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=S n．求证：（1）数列{}成等比；（2）S n+1=4a n．【考点】数列递推式；等比关系的确定．【分析】（1）由a n+1=S n，知S n﹣S n﹣1=﹣，从而=，进而，（n≥2），由此能证明{}是首项为1，公比为2的等比数列．（2）由（1）可知S n=n•2n﹣1，a n=（n+1）•2n﹣2．由此能证明S n+1=（n+1）•2n=4a n．【解答】证明：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=S n，∴S n=，S n﹣1=，n≥2∴a n=S n﹣S n﹣1=﹣，即2n×=，∵n≠0，∴=，∴，（n≥2）即： =2，n=1时， ==1，∴{}是首项为1，公比为2的等比数列．（2）∵{}是首项为1，公比为2的等比数列，∴=2n﹣1，∴S n=n•2n﹣1，∴a n+1=S n==（n+2）•2n﹣1，∴a n=（n+1）•2n﹣2．∴S n+1=（n+1）•2n=4a n．21．滨湖区拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD，其中三角形区城ABC为主题活动区，其中∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12m；AD、CD为游客通道（不考虑宽度），且∠ADC=120°，通道AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心，供游客休憩．（1）求AC的长度；（2）记游客通道AD与CD的长度和为L，求L的最大值．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）利用正弦定理，求AC的长度．（2）求出AD，CD，可得出L关于θ的关系式，化简后求L的最大值．【解答】解：（1）由已知由正弦定理，得，又∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12cm，所以AC==24m．（2）因为∠ADC=120°∠CAD=θ，∠ACD=60°﹣θ，在△ADC中，由正弦定理得到，所以L=CD+AD=16 [sin（60°﹣θ）+sinθ]=16 [sin60°cosθ﹣cos60°sinθ+sinθ]=16sin（60°+θ），因0°＜θ＜60°，当θ=30°时，L取到最大值 16m．22．已知数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2，n∈N）．（1）试判断数列是否为等比数列，并说明理由；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n；（3）设c n=a n sin，数列{c n}的前n项和为T n．求证：对任意的n∈N*，T n＜．【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和．【分析】（1）根据题意，对进行变形可得，从而证得结论；（2）根据（1）求出数列a n，从而求得b n，利用分组求和法即可求得结果；（3）首先确定出数列{c n}的通项公式，利用放缩的思想将数列的每一项进行放缩，转化为特殊数列的求和问题达到证明不等式的目的．【解答】解：（1）∵，∴，又∵，∴数列是首项为3，公比为﹣2的等比数列．（2）依（1）的结论有，即．b n=（3•2n﹣1+1）2=9•4n﹣1+6•2n﹣1+1．．（3）∵，∴．当n≥3时，则＜=．∵T1＜T2＜T3，∴对任意的n∈N*，．。

合肥2019年第二学期期中考试高一数学试题第二学期期中考试高一数学试题是查字典数学网为您整理的考试资讯，请您详细阅读!一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、数列2，5，8，11，，则23是这个数列的( )A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项2、已知△ABC中，a=4，b=43，A=30，则B等于 ( ).A、60 B.60或120 C.30 D.30或1503、等差数列中，已知前15项的和，则等于( ).A. B.12C. D.64、在△ABC中，若则的值为( )A、 B、 C、 D、5、已知数列{an}首项为1，且满足，那么an等于 ()A、 B、 C、 D、6、已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若asinAsinB+bcos2A=2a，则ba的值为()A.23B.22C.3D.27、等差数列{an}中a10，S5=S8，则当Sn取最大值时n的值是()A.6B.7C.6或7D.不存在8、如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45和30，已知CD=100米，点C位于BD上，则山高AB 等于( )A.100米B. 米C. 米D. 米9、定义：称np1+p2++pn为n个正数p1，p2，，pn的均倒数，若数列{an}的前n项的均倒数为12n-1，则数列{an}的通项公式为()A.2n-1B.4n-3C. 4n-1D.4n-510、已知数列，，它们的前项和分别为，，记 ( )，则数列的前10项和为( )A、 B、 C、 D、二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11、2-1与2+1的等比中项是________.12、在△ABC中，若，C=150，BC=1，则AB=______.13、已知是数列的前项和，若，则的值为14、三角形一边长为14，它对的角为60，另两边之比为8：5，则此三角形面积为_ ___.15、等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a11，a99a100-10，a99-1a100-10.给出下列结论：①0三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16、(本小题满分12分)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边长，已知a2-c2=b2-bc，求：(1)角A的大小; (2)若，求的大小.17、(本题共12分)已知是等差数列的前项和，满足 ; 是数列的前项和，满足：。

2023-2024学年合肥市一中高一数学（下）期中考试卷（考试时间：150分钟满分：120分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z 满足()2i i z -=（i 是虚数单位），则在复平面内z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C =（）A ．23-B ．14-C ．13-D ．143．非零向量a ，b 满足2a b a b +=- ，若a b = ，则a ，b 的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的侧面积为（）A ．B ．4πC ．D ．8π5．圆台上底面半径为2cm ，下底面半径为4cm ，母线8cm AB =，A 在上底面上，B 在下底面上，从AB 中点M 拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B 点，则绳子最短距离为（）cm A ．10B ．12C ．16D ．206．安徽省肥西县紫蓬山风景秀丽，紫蓬山山顶有座塔.某同学为了测量塔高，他在地面C 处时测得塔底B 在东偏北45︒的方向上，向正东方向行走50米后到达D 处，测得塔底B 在东偏北75︒的方向上，此时测得塔顶A 的仰角为45︒，则塔顶A 离地面的高度AB 为（）A ．米B ．50米C ．25+米D ．50米7．已知直角ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，I 是ABC 的内心，P 是IBC 内部（不含边界）的动点，若(),AP AB AC λμλμ=+∈R，则λμ+的取值范围为（）A ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．17,212⎛⎫⎪⎝⎭C ．7,112⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭8．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知1AB =，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有（）A B ．该半正多面体过A ，B ，C 三点的截面面积为334C ．该半正多面体外接球的表面积为8πD ．该半正多面体的表面积为6+二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．如图，A B C ''' 是水平放置的ABC 的斜二测直观图，其中2O C O A O B ''''''==，2O B ''=.则以下正确的有（）A ．4OA =B ．ABC 是等腰直角三角形C ．4OB =D ．ABC 的面积为810．已知平面向量()2,3a =-r，()2,1b = ，则（）A ．()2a b b⊥-B ．a 与b可作为一组基底向量C ．a 与bD ．a 在b方向上的投影向量的坐标为21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知a ，b ，c 分别是ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，其中正确的命题有（）A ．已知60A ∠=︒，4b =，2c =，则ABC 有两解B ．若90A ∠=︒，3b =，4c =，ABC 内有一点P 使得PA ，PB ，PC两两夹角为120︒，则22230PA PB PC ++= C ．若90A ∠=︒，1b =，c =ABC 内有一点P 使得PA 与PB 夹角为90︒，PA 与PC夹角为120︒，则3tan 4PAC ∠=D ．已知60A ∠=︒，4b =，设a t =，若ABC 是钝角三角形，则t 的取值范围是()()4+∞ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r 的半圆，且该圆锥的体积为3π，则r =.13．甲船在B 岛的正南方向A 处，10AB =千米，甲船以4千米/小时的速度向正北方向航行，同时，乙船自B 岛出发以6千米/小时的速度向北偏东60︒的方向驶去，航行时间不超过2.5小时，则当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是小时.14．如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域ABCD 市民健身用地，为提高安全性，拟在点A 处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角PAQ ∠始终为45︒（其中P ，Q 分别在边BC ，CD 上），则AP AQ ⋅的取值范围.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图所示，底面边长为P ABCD -被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥1111P A B C D -.(1)求棱台1111A B C D ABCD -的体积；(2)求棱台1111A B C D ABCD -的表面积.16．如图，在ABC 中，已知2,4,60AB AC BAC ==∠=︒，M 是BC 的中点，N 是AC 上的点，且,,AN xAC AM BN=uuu r uuu r 相交于点P ．设,AB a AC b ==.(1)若13x =，试用向量,a b表示,AM PN uuu r uuu r ;(2)若AM PN ⊥，求实数x 的值．17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin C C a =，b =(1)求角B ；(2)若2a c +=，求边AC 上的角平分线BD 长；(3)求边AC 上的中线BE 的取值范围.18．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin sin cos sin cos sin sin a A a C B b C A b B c A ++=+.(1)若2a =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 的周长的取值范围；(2)若2b ac =，且外接圆半径为2，圆心为O ，P 为圆O 上的一动点，试求PA PB ⋅的取值范围.19．现定义“n 维形态复数n z ”：cos isin n z n n θθ=+，其中i 为虚数单位，*n ∈N ，0θ≠.(1)当π4θ=时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；(2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求πsin 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(3)若正整数m ，()1,2n m n >>，满足1m z z =，2n m z z =，证明：存在有理数q ，使得12m q n q =⋅+-.1．B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ,求出复数z 在复平面内对应的点的坐标即可．【详解】由()2i i z -=,得()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 55z +===-+--+,∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限．故选:B ．2．B【分析】根据正弦定理及余弦定理求解.【详解】由正弦定理可知，::2:3:4a b c =，设2,3,4a k b k c k ===，则22222213161cos 2124a b c k k C ab k +--===-.故选：B 3．B【分析】由题意利用求向量的模的方法，求得22a b b ⋅= ，从而利用向量的夹角公式求解即可.【详解】∵非零向量a ，b满足2a b a b +=- ，且a b = ，设a ，b的夹角为θ，则2222244a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，且22a b = ，所以22a b b ⋅= .∴22112cos 2b a b a b bθ⋅===⋅ .∵[]0,πθ∈，∴π3θ=.故选:B ．4．C【分析】根据正三角形绕一边所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的全等圆锥,根据圆锥的侧面积公式求解．【详解】如图，正三角形ABC 绕AB 所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的全等圆锥，底面半径3r =母线长2l =,由圆锥的侧面积公式可得该几何体的侧面积为2π3243π⨯=.故选:C.5．D【分析】由题意需先画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，则所求的最短距离是平面图形两点连线，根据条件求出扇形的圆心角以及半径长，再求出最短的距离．【详解】画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为O ,由图得：所求的最短距离是MB '，设OA R =，圆心角是α，则由题意知，4πR α=①，()8π8R α=+②，由①②解得，π,82R α==，∴12,16OM OB '==，则22121620cm MB '=+=．则则绳子最短距离为20cm ．故选:D ．6．A【分析】设塔高为h 米，利用仰角的正切表示出BD h =，在BCD △中利用正弦定理列方程求得h 的值.【详解】设雷锋塔AB 的高度为h 米,在地面C 处时测得塔顶A 在东偏北45︒的方向上，45BCD ∠=︒,测得塔顶A 在东偏北75︒的方向上,仰角为45︒，在Rt △ABD 中，45ADB ∠=︒，tan 45hBD h ==︒，在BCD △中,754530CBD ∠=︒-︒=︒，由正弦定理得，sin 30sin 45CD BD=︒︒，即5012=h =.故选：A.7．C【分析】由题意得AB AC ⊥，以A 为坐标原点，,AB AC 所在的直线分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，利用等面积法先求出I 的位置，设(),P x y ，根据AP AI IP =+ ，可得1134IP AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,34x yλμ==，34x y λμ+=+，根据线性规划即可求解.【详解】因为3AB =，4AC =，5BC =，所以222AB AC BC +=，即AB AC ⊥.如图建立平面直角坐标系：设内切圆的半径为r ，则()()()0,0,3,0,0,4A B C ．∵ABC ABI BCI ACI S S S S =++V V V V ,∴2222AB AC AB r BC r AC r⋅⋅⋅⋅=++,即3434562222r r r r ⨯=++=,解得1r =，所以()1,1I ，∴1134AI AB AC =+ .∴1134AP AI IP AB AC IP =+=++ ，即1134AB AC AB AC IP λμ+=++ ，可得1134IP AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设(),P x y ，则()()()()111,13,00,431,4134x y λμλμ⎛⎫⎛⎫--=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴3,4x y λμ==，即,34x yλμ==，∴34x y λμ+=+.∵()()3,0,0,4B C ，∴直线BC 的方程为134x y+=.设34x y z λμ=+=+，表示与134x y+=平行的直线，平移34x y z =+，当34x y z =+经过点I 时，1173412z =+=；当34x y z =+与134x y +=重合时，134x y z =+=.因为P 是IBC 内部（不含边界）的动点，所以7,112z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即7,112λμ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.故答案为:7,112⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：设(),P x y ，求出34x yλμ+=+，根据线性规划求解λμ+的范围.8．D【分析】先将该半正多面体补形为正方体，利用正方体与棱锥的体积公式判断A ，利用该半正多面体的对称性，得到截面为正六边形与外接球的球心位置，从而判断BC ，利用正三角形与正方体的面积公式判断D.【详解】A ：如图，因为1AB =，的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该半正多面体的体积为：2311832223V ⎛⎫=-⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故A 错误；B ：根据该半正多面体的对称性可知，过,,A B C 三点的截面为正六边形ABCFED ，又1AB =，所以正六边形面积为261S ==，故B 错误；C ：根据该半正多面体的对称性可知，该半正多面体的外接球的球心为正方体的中心，即正六边形ABCFED 的中心，故半径为1AB =，所以该半正多面体外接球的表面积为224π4π14πS R ==⨯=，故C 错误；D ：因为该半正多面体的八个面为正三角形、六个面为正方形，棱长皆为1，所以其表面积为2281616+⨯=+，故D 正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键有二，一是将该半正多面体补形为正方体，二是充分利用该半正多面体的对称性，从而得解.9．ABC【分析】根据直观图画出原图，进而判断出正确答案.【详解】画出原图如下图所示，根据斜二测画法的知识可知：4OC OA OB ===，三角形ABC 是等腰直角三角形，面积为()1444162⨯+⨯=.所以ABC 选项正确，D 选项错误.故选：ABC10．BC【分析】对A ：计算()2a b b -⋅即可得；对B ：借助基底向量的定义即可得；对C ：借助平面向量夹角公式计算即可得；对D ：借助投影向量定义计算即可得.【详解】对A ：()22,5a b -=--，则()()222519a b b +⋅-=-⨯-⨯=- ，故A 错误；对B ：易得a 与b 为不共线的向量，故a 与b可作为一组基底向量，故B 正确；对C ：cos ,a b a b a b ====⋅C 正确；对D：121,555a bb b bb⋅⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭ ，故D 错误.故选：BC.11．CD【分析】对A ：由余弦定理可计算出a 有唯一解；对B ：借助余弦定理与等面积法计算即可得；对C ：设PAC θ∠=，由余弦定理可得sin sin AP ACACP APC=∠∠，代入数据计算即可得解；对D ：分B ∠为钝角及C ∠为钝角，结合直角的临界状态计算即可得.【详解】对A：a ==ABC 有唯一解，故A 错误；对B ：在PBC 、PAC △、PAB 中，分别有2222342cos120PB PC PB PC +=+-⋅︒，即2225PB PC PB PC =++⋅，22232cos120PA PC PA PC =+-⋅︒，即229PA PC PA PC =++⋅，22242cos120PA PB PA PB =+-⋅︒，即2216PA PB PA PB =++⋅，即有()222259162PA PB PC PA PB PB PC PA PC ++=+++⋅+⋅+⋅，即()222502PA PB PB PC PA PC PA PB PC -⋅+⋅+⋅++=，又13462ABC PBC PAC PAB S S S S =++=⨯⨯= ，即()1sin12062PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅︒=，即PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=，即有22225PA PB PC ++=-，故B错误；对C ：设PAC θ∠=，则在直角三角形PAB 中，APB θ∠=，PA θ=，在PAC △中，有sin sin AP ACACP APC=∠∠1sin120=︒，313222=4sin θθ=，即3tan 4θ=，故C 正确；对D ：若B ∠为钝角，如图，作CD AB ⊥于点D ，有CD BC AC <<，即sin b A a b ⋅<<，即234t <<，若C ∠为钝角，如图，作CD AC ⊥于点C ，有BC CD >，即tan a b A >⋅，即43t >综上所述，t 的取值范围是()()23,43,∞⋃+，故D 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：D 选项中关键点在于分B ∠为钝角及C ∠为钝角，分别找出直角的临界情况求出范围.12．23【分析】设圆锥的底面圆的半径为R ，高为h ，则母线长为r 且2R r =，根据勾股定理求得32h r =，结合圆锥的体积公式计算即可求解.【详解】由题意知，设圆锥的底面圆的半径为R ，高为h ，则圆锥的母线长为r ，且12π2π2R r =⨯，得2R r =，所以2232h r R r -=，又圆锥的体积为3π，所以211π33V Sh R h ==，即2133ππ()322r r =⨯，解得23r =.故答案为：13．514【分析】设经过x 小时距离最近,分别表示出甲乙距离B 岛的距离,由余弦定理表示出两船的距离,根据二次函数求最值的方法得到答案.【详解】设经过x 小时两船之间的距离为s 千米,甲船由A 点到达C 点，乙船由B 点到达D 点，则4,104,6AC x BC x BD x ==-=，11820060CBD ∠︒=︒-.由余弦定理可得()()()2222110462104628201002s x x x x x x ⎛⎫=-+--⋅⋅-=-+ ⎪⎝⎭，当205 2.522814x ==<⨯时，2s 最小,则两船之间的距离最小,此时它们航行的时间为514小时.故答案为:514.14．8,4⎡⎤⎣⎦【分析】设,tan PAB t θθ∠==，可得2tan 2BP t θ==,()[]21,0,11t DQ t t-=∈+，以点A 为坐标原点,,AB AD 所在直线分别为,x y 轴建立坐标系,然后求出,AP AQ 的坐标,结合数量积的运算和对勾函数的性质求解.【详解】设,tan PAB t θθ∠==,则2tan 2BP t θ==，()()[]21tan 21π2tan ,0,141tan 1t DQ t t θθθ--⎛⎫=-=∈ ⎪++⎝⎭.以点A 为坐标原点,,AB AD 所在直线分别为,x y 轴建立坐标系,则()()()210,0,2,2,,21t A P t Q t ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，()()212,2,,21t AP t AQ t ⎛⎫-== ⎪+⎝⎭,所以()412441211t AP AQ t t t t -⎛⎫⋅=+=++- ⎪++⎝⎭ .令1u t =+，[]1,2u ∈，则242AP AQ u u ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭ ，[]1,2u ∈.由对勾函数的性质可得()2f u u u =+在(上单调递减，在)2上单调递增，所以()min f u f ==又()()13,23f f ==，所以()2f u u u =+在[]1,2u ∈上的值域为⎡⎤⎣⎦，所以2428,4AP AQ u u ⎛⎫⎡⎤⋅=+-∈- ⎪⎣⎦⎝⎭ .故答案为:8,4⎡⎤⎣⎦.15．(1)2243(2)112【分析】（1）借助正四棱锥于棱台的性质可得棱台的高，结合棱台体积公式计算即可得；（2）求出棱台各个面的面积后相加即可得.【详解】（1）过点P 作PO ⊥底面ABCD 于点O ，PO 交平面1111D C B A 于点1O ，由正四棱锥及棱台的性质可知，O 为底面ABCD 的中心，则111114O O PO PO PO PO PO =--==，即棱台1111A B C D ABCD -的高4h =，(1111111113A B C D ABCD ABCD A B C D V S S h-=⨯+⨯((22112244564333⎡=⨯+⨯=⨯⨯=⎢⎣，（2）连接OA，则22422AO AB ==，则112AA AP ===作1A M AB ⊥于点M ，则1A M =故1111114ABCD A B C DA ABB S S S S=++表正方形正方形梯形(((22142=++⨯⨯32872112=++=.16．(1)1122AM a b =+ ，11412PN a b =-+uuu r r r (2)25【分析】（1）根据向量的加法运算即可求得AM ；设()PN tBN t AN AB ==-uuu r uuu r uuu r uu u r ，利用向量的线性运算结合图形关系可得1(1)3AP t b ta =-+uu u r r r ，再由向量共线的性质得到14t =，最后表示出所求向量即可；（2）利用向量垂直的性质和数量积的定义式计算可得.【详解】（1）111()222AM AB AC a b =+=+uuu r uu u r uuu r r r ，设()PN tBN t AN AB ==-uuu r uuu r uuu r uu u r ，因为13AN AC = ，所以1()(1)(1)3AP AN NP AN t AN AB t AN t AB t AC t AB =+=--=-+=-+uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r，即1(1)3AP t b ta =-+uu u r r r ，由,AP AM uu u r uuu r 共线得：1(1)3t t -=，解得：14t =，所以1111()124124PN t BN t AN AB AC AB b a ==-=-=-uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r r r ，所以1111,22412AM a b PN a b =+=-+ .（2）BN BA AN AB x AC a xb =+=-+=-+uuu r uu r uuu r uu u r uuu r r r ，因为AM PN ⊥，由于,BN PN uuu r uuu r 共线，故AM BN ⊥ ，所以1111()28402222AM BN a b a xb x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，解25x =．17．(1)π3(2)6(3)33,22⎤⎥⎝⎦【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；（2）依据余弦定理及已知得13ac =，然后利用面积分割法列方程求解即可；（3）利用向量的加法运算及数量积模的运算得()1324BE ca =+ ，利用正弦定理得π2sin 216ac A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.【详解】（1）因为sin C C a +=，根据正弦定理sin sin sin b A C C B=，即()sin sin cos sin B C B C b A B C =+,即sin sin sin B C B C =，又sin 0C ≠，所以tan B =，因为()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由π3B =及余弦定理得22π32cos 3c a ac =+-，即()22233c a ac a c ac =+-=+-，又因为2a c +=，所以13ac =，所以111sin sin sin 22222ABC ABD BCD B B S S S c BD a BD ac B =+=⋅⋅+⋅⋅= ，所以()ππsin sin 63BD a c ac ⋅+⋅=，即132122BD =⨯（3）因为E 是AC 的中点，所以()12BE BA BC =+ ，则()()2222211322444ca BE BA BA BC BC c a ac +=+⋅+=++= ，由正弦定理得，2sin 4sin sin 4sin sin πsin sin 3b b ac A C A C A A B B ⎛⎫=⋅==- ⎪⎝⎭即2πcos 2sin sin 2cos 212sin 216ac A A A A A A ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭，因为()()20,π,π0,π3A C A ∈=-∈，所以20,π3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π172π,π666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以π1sin 2,162A ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以(]π2sin 210,36ac A ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，所以23239,444ca BE +⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，所以322BE ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，即边AC 上的中线BE 的取值范围为3322⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.18．(1)(3++;(2)[]2,6-.【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求出角B ,利用正弦定理将周长转化为关于角A 的三角函数，利用三角函数的值域即可求解；（2）易得ABC 为等边三角形，取AB 中点M ，可得2223PA PB PM MA PM ⋅=-=- ，由P 为圆O 上的一动点，可得[]1,3PM ∈，进而可求PA PB ⋅ 的取值范围.【详解】（1）因为sin sin cos sin cos sin sin a A a C B b C A b B c A ++=+，所以由正弦定理可得22cos cos a ac B bc A b ac ++=+，由余弦定理可得2222222222a c b b c a a b ac +-+-++=+，即222a c b ac +=+，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为0πB <<，所以π3B =；由ABC 为锐角三角形，π3B =，所以π022ππ032A C A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩,可得ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.由正弦定理sin sin sin a bcA B C ==,得22πsin sin 32cA A ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2π2sin 31sin A b c A ⎛⎫- ⎪⎝⎭====则ABC的周长为22cos cos 12333sin 2sin cos tan 222AA a b c A A A A +++==+=+.由ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ,2124A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.因为2π2tanππ12tan tan 2π6121tan 12⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭-整理得2ππtan 101212+-=，解得πtan 212=πtan 212=-（舍），所以()tan 22A ∈，所以(33tan 2A ++，即ABC的周长的取值范围为(3+.（2）由正弦定理2sin bR B =（R 为ABC的外接圆半径），则212b ac b ===.由222a c b ac +=+，可得2224a c +=，则a c ==ABC 为等边三角形.取AB 中点M，如图所示：则()()PA PB PM MA PM MB ⋅=+⋅+ ()2PM PM MA MB MA MB =+⋅++⋅ 2223PM MA PM =--= .由2,1OP OM ==，则[]1,3PM ∈，则[]2,6PA PB ⋅∈- ．19．(1)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】(1)当π4θ=时,ππcos isin 44n z n n =+,)11i z =+,2i z =，由221z z =,即可证明“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；(2)由“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,可得cos 2i sin 2cos3i sin 3θθθθ+=+，利用复数相等的条件得到()2πk k θ=∈Z ,即可求πsin 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(3)由1m z z =得cos i sin cos i sin m m θθθθ+=+,利用复数相等的条件得到()112π1k k m θ=∈-Z 和()222π2k k n θ=∈-Z ,则()12122π2π,12k k k k m n =∈--Z ,则()11221,2k m k k n k -=∈-Z ,进一步得()()111122222211,k k k m n n k k k k k =-+=⋅+-∈Z ,即可证明存在有理数12k q k =,使得12m q n q =⋅+-.【详解】（1）当π4θ=时,ππcos isin 44n z n n =+,则)1ππcos isin 1i 44z =++,2ππcos isin 2i 2z +==.因为)()2221211i 12i i i 22z z ⎤=+=++==⎥⎣⎦，故“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系.（2）因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,所以cos 2i sin 2cos3i sin 3θθθθ+=+,因此cos 2cos3sin 2sin 3θθθθ=⎧⎨=⎩，解cos 2cos3θθ=，得()322πk k θθ=+∈Z 或()322πk k θθ+=∈Z ,解sin 2sin 3θθ=，得()322πk k θθ=+∈Z 或()322ππk k θθ+=+∈Z ,由于两个方程同时成立,故只能有()322πk k θθ=+∈Z ,即()2πk k θ=∈Z .所以πππsin sin 2πsin 444k θ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）由1m z z =，得cos i sin cos i sin m m θθθθ+=+,由(2)同理可得()112πm k k θθ=+∈Z ,即()()1112πm k k θ-=∈Z .因为1m >,所以()112π1k k m θ=∈-Z .因为221n m z z z ==,由(1)知221z z =,所以2n z z =.由(2)同理可得()2222πn k k θθ=+∈Z ,即()()2222πn k k θ-=∈Z .因为2n >,所以()222π2k k n θ=∈-Z ,所以()12122π2π,12k k k k m n =∈--Z ,又因为0θ≠,所以120k k ≠,所以()11221,2k m k k n k -=∈-Z ,即()()111122222211,kk km n n k k k k k =-+=⋅+-∈Z ，所以存在有理数12kq k =,使得12m q n q=⋅+-.【点睛】关键点点睛：利用复数相等求出参数然后求解.。

【最新】安徽省合肥一中高一下期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ） A ．sin sinB a A b = B ．cos cos a A b B = C ．sin sin a B b A =D ．cos cos a B b A =2．等差数列{}n a 中，45636a a a ++=，则19a a +=（ ）A ．12B ．18C ．24D ．36 3．以下函数中，最小值为2的是（ ） A ．1y x x=+B ．33x x y -=+C ．1lg (01)lg y x x x=+<< D ．1sin (0)sin 2y x x x π=+<< 4．已知变量x 、y 满足约束条件：222y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值是（ ）A ．43-B ．4C ．4-D ．8- 5．若正实数,a b满足12a b+=ab 的最小值为（ ）AB ．2 C． D ．4 6．若数列{}n a 满足()1111,21n n na a a n N a +++==∈-，则该数列的前10项的乘积12310...a a a a ⋅⋅⋅⋅等于（ ）A ．3B ．1C ．32 D ．237．关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为(1,2)-，则关于x 的不等式220bx ax -->的解集为（ ）A ．(2,1)-B ．(,2)(1,)-∞-+∞C ．(,1)(2,)-∞-+∞D ．(1,2)-8．已知数列1111,,,...,,...,12123123...n+++++++则其前n 项的和等于（ ） A ．1n n + B ．21n n + C ．11n + D ．21n +9．在ABC ∆中，7,14,30a b A ︒===，则此三角形解的情况是（ ）A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解10．已知数列{}n a 满足()712,83,8n n a n n a n a n *-⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩N ，若对于任意n *∈N 都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭11．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定12．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a14a =,则116m n+的的最小值为（ ） A ．8 B ．215 C ．92 D ．256二、填空题13．在锐角ABC ∆中，3,4,ABC a b S ∆===C =________．14．已知数列{}n a 为等比数列，前n 项的和为n S ，且5443a S =+，6543a S =+，则此数列公比q =_______．15．对于任意的实数[]20,1,22m mx x m ∈--≥，则x 的取值范围是________．16．把正整数排成如图()a 的三角形阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图()b 三角形阵，现将图()b 中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列{}n a ，若2017k a =，则k =________．三、解答题17．已知0a <，解关于x 的不等式()2110ax a x +-->.18．设数列{}n a 的前n 项的和n S 满足：2n S n =，等比数列{}n b 满足：252,16b b ==. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项的和n T .19．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos c b b A -=. （1）若26,3a b ==，求c ； （2）若2C π=，求角B .20．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()1121,n n n a a S n N n*++==∈. （1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）求证：14n n S a +=.21．滨湖区拟建 一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD ，其中三角形区域ABC 为主题活动区，其中60,45,126ACB ABC AB m ∠=︒∠=︒=；AD 、CD 为游客通道(不考虑宽度), 且120ADC ∠=︒，通道AD 、CD 围成三角形区域ADC 为游客休闲中心，供游客休憩.（1）求AC 的长度；（2）记游客通道AD 与CD 的长度和为L ，求L 的最大值.22．已知数列{}n a 满足()()1111,2,412n n nn a a a n n N a --==≥∈--. （1）试判断数列()11n n a ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭是否为等比数列，并说明理由；（2）设21n n b a =，求数列{}n b 的的前n 项的和n S ； （3）设()21sin2n n n c a π-=，数列{}n c 的前n 项的和为n T .求证：对任意4,7n n N T *∈<.参考答案1．C 【解析】本题考查正弦定理. 在ABC ∆中，由正弦定理得,sin sin .sin sin a ba Bb A A B==即故选C 2．C 【解析】试题分析：在等差数列中，间隔相同的项任然能够组成等差数列，利用等差中项有6452a a a +=所以由45636a a a ++=知1236355=⇒=a a ，则242591==+a a a ，故本题选项为C.考点：等差中项的运用. 3．B 【解析】 试题分析：因,故（当且仅当取等号），所以应选B.考点：基本不等式的运用及条件． 4．D 【解析】试题分析：由题意可知可行域是由直线围成的多边形，而目标函数是一直线，可知该目标函数在可行域的多边形顶点处取得最大值，由约束条件可求得顶点分别为)2,2(),32,32(),2,2(---分别代入目标函数中可求得4,34,8321=-=-=z z z ，从中取最大的81-==z z ，股本体的正确选项为D. 考点：线性约束条件的最值问题.【方法点睛】对于线性规划问题，共有两种情况：1,直线过定点时在可行域中旋转时的最大斜率，2，直线斜率一定而在可行域中平移时的截距的最值．可以再直角坐标系中画出可行域，然后在画出直线，通过观察求出待求量的最值；因为直线在可行域中的最值都是在围城可行域的顶点处取得，所以也可以先求得可行域顶点坐标，将这些坐标分别代入待求量的表达式中，从中选择最大值或最小值． 5．C【解析】试题分析：对于正实数,a b ，由重要不等式可知abb a 2221≥+，当且仅当将b a 21=时取等号，也即2222≥⇒≥ab abab ，故本题正确选项为C. 考点：重要不等式的运用. 6．C 【解析】 试题分析：31111111111212112111-----+=-=-+-=------=---=-+-=n n n n n n n n n a a a a a a a a a ，即1-24==++n n n n a a a a ，由已知可求得32=a 所以12310...a a a a ⋅⋅⨯⨯10910986754231))()()((a a a a a a a a a a a a ==，又2321109==a a a a 所以12310...a a a a ⋅⋅⨯⨯23=，本题正确选项为C. 考点：递推公式的运用. 7．B 【解析】设2()2f x ax bx =++， ()0f x > 解集为12-（，）所以二次函数图像开口向下，且与x 交点为(10),(20)，，-，由韦达定理得 121,2112b a ab a -⎧-+=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪-⨯=⎪⎩所以220x x +-> 的解集为{|21}x x x <->或 ，故选B. 8．B 【解析】试题分析：由题意可知数列的通项为122)1(2......3211+-=+=+++=n n n n n a n ，所以数列的前n 项和为12122122212......3232222212+=+-=+-+--++-+-=n nn n n n n S n ，故考点：拆项法求数列前n 项和. 9．A 【解析】试题分析：ABC ∆中，有正弦定理B b A a sin sin =得 901sin sin =⇒==B A abB ,即ABC ∆为直角三角形，三角形只有一个解，本题正确选项为A. 考点：求解三角形解得个数. 10．C 【分析】由条件可得011031923a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪⎛⎫>-⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎩，解出即可.【详解】因为对于任意n *∈N 都有1n n a a +>，所以011031923a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪⎛⎫>-⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得112a <<故选：C 11．A 【解析】试题分析：假设直角三变为222,,c b a c b a =+且，给每条边同时都增加k ，有余弦定理有))(()2())((2)()()(cos 222k b k a kc b a k k b k a k c k b k a C +++-+=+++-+++=，因为c b a >+，所以有022>+-+⇒>++kc b a c k b a .即0cos >C ,C 为锐角，同理可证得B A ,也为锐角，股考点：余弦定理，判断三角形形状.【思路点睛】本题主要考察余弦定理的运用，因为当),0(πα∈时，αcos 为单调递减函数，所以可通过求余弦值来确定角三角形的内角是锐角，直角或钝角，根据题中所给条件可得三条边的平方和关系，即222c b a =+，其中c 为斜边，将增加后的边长k c k b k a +++,,代入余弦定理))((2)()()(cos 222k b k a k c k b k a +++++++=α通过αcos 的符号来确定α的范围，从而确定三角形形状． 12．B 【解析】试题分析：将q a a q a a 56257,==代入7652a a a =+中，可求得2=q （数列为正向数列，舍去负值），则11-=n n q a a 14a =有61621221=+⇒==-+n m a q a a a n m n m ，所以625617386))(161(61161≥++=++=+n m m n n m n m n m ，当且仅当56386=⇒=m n m m n ，显然m 是整数，所以116m n +不能取得最小值256，单可取56=m 相邻整数的值，即2,1==m m 与时116m n +的值，可求得最小值为215，股本题正确选项为B.考点：等比数列的公比与重要不等式的运用. 【思路点睛】因为2211111))((-+--==n m n m n m q a q a qa a a ，所以只要求得公比q ，便可通过14a =求得n m +的和，将等比数列通项代入7652a a a =+，化简解方程便可求得公比，从而进一步求得6=+n m ，对116m n+乘以n m +，化简整理后，再利用重要不等式求最值，最后要注意，取最值时，看n m ,能否满足取等号的条件)(00n m ，如果不能满足，则可取)(00n m 的相邻两个整数值，从中取最小的代数值即可． 13．3π 【解析】试题分析：本题主要考察三角形面积公式的运用，,代入数据可求得，又三角形为锐角三角形，所以有.考点：三角形的面积. 14．5 【解析】试题分析：5443a S =+,①6543a S =+②，由②-①可得，所以公比.考点：求等比数列的公比. 15．(),1-∞- 【解析】试题分析：将不等式转化为关于的恒成立不等式；也即在恒成立；当时均不满足，当时，有，显然成立，当时，有，即，显然此时无解，当时，有，即，显然此时也无解，综上所述，x 的取值范围是(),1-∞-．考点：解不等式.【方法点睛】本题主要考察含参数不等式的解的问题．对于含参数的不等式问题，可将不等式转化为有关参数的不等式，即将问题转化为在参数区间上恒成立而求x 的范围，此时参数与x 发生了根本性变化，所以在解不等式的时候要对x 的取值进行分情况讨论，如果不等式的一侧能够分解因式，则分解因式，这样方便对确定x 的不同取值范围． 16．1031 【解析】试题分析：假设第行列的数字为，仔细观察第一列数字与行数的关系可知.从图()b 可知每行数字从左到右组成首项为，公差为的等差数列，所以有，即，因为，所以在第行，则有，可求得，所以在第行列，在数列{}n a 中，其对应的项数为．考点：数阵，数列的通项.【思路点睛】对于数阵问题的解决，关键在于通过观察数阵，能够建立一个二维数列，表示数阵中的任意一个数字．观察数阵，可知每行的数字个数与行数相同，每行数字从左到右构成等差数列，公差为，所以只要求得数阵中第一列的数字，便可很容易的求得数阵中任一位置的数字，而在已知数字的情况下，求该数字的行列位置，可先确定行数，在确定列数，最后再确定其序数．17．当10a -<<时，解集为11x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭，当1a =-时，解集为∅，当1a <-时，解集为11x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． 【解析】试题分析：0a <，即不等式为一元二次不等式，所以有方程01)1(2=--+x a ax 的两根为,1,121=-=x ax ，对21x x >，21x x <，及21x x =分别进行讨论并求得解集即可．试题解析：①当10a -<<时，11a ->，且原不等式可化为()110x x a ⎡⎤⎛⎫---< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴其解集为11x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭；②当1a =-时，11a=-，且原不等式可化为()210x -<，其解集为∅； ③当1a <-时，11a >-，且原不等式可化为()110x x a ⎡⎤⎛⎫---< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴其解集为11x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.考点：解含参数的不等式.18．（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）()2323n n T n =-+．【解析】试题分析：（1）先由11S a =求得1a ，再由1,1>-=-n S S a n n n 求得1>n a n ，，由252,16b b ==可求得公比2=q 代入通项公式22-=n n q b b 便可求得通项公式；（2）将前面所求的{}n a ，{}n b 的通项公式代入n n b a 便可求得{}n n a b 的通项12)12(--=n n n n b a ，可用错位求差（和）法来求前n 项的和n T .试题解析：（1）{}n a 的前n 项的和n S 满足：2n S n =，1n =时，111,1a S n ==>时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，1n =也成立，故21n a n =-，等比数列{}n b 满足：252,16b b ==，3528b q b ==，解得2q =，则有2122n n n b b q --==. （2）前n 项的和为()111325478 (212)n n T n -=⨯+⨯+⨯+⨯++-⨯，()2123458716...212n n T n =⨯+⨯+⨯+⨯++-⨯，两式相减，得()11222428216 (22)212n n n T n --=+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯,即有()()141212212n n n T n ---=+---，则有()2323n n T n =-+.考点：数列的通项与前n 项和. 19．（1）5c =；（2）6B π=．【解析】试题分析：（1）将余弦定理bc a c b A 2cos 222-+=代入2cos c b b A -=中，可求得bc b a +=22，代入3a b ==便可求得c ；（2）利用正弦定理有A B B C cos sin 2sin sin =-，又2C π=，则有A B cos sin =代入前式便可得到B sin 的方程，解方程求B sin ，得到角B .试题解析：（1）2cos c b b A -=，∴由余弦定理可得：22222b c a c b b bc+--=⨯，整理可得：22,26,3,2493a b bc a b c =+==∴=+，解得：5c =.（2）,22c A B ππ=∴+=，可得sin cos ,cos sin A B A B ==，2cos c b b A ∴-=,由正弦定理可得：A B B C cos sin 2sin sin =-,可得：01sin sin 22=-+B B ，解得：1sin 2B =或1sin -=B （舍去），即6B π=.考点：正余弦定理的运用.20．（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）将n n n S S a -=++11代入n n S n n a 21+=+并进行化简整理，最后凑出1,1++n S n S n n 便可证明n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，且公比为2q =；（2）1>n 时，将1-21-n S n S n n =代入1-1-1n nS n n a +=中可得n S n S n n a n n n 2)1(1-11-+=+=，121+=+n S n S n n 代入前式可得4n n S a =，即14n n S a +=，在对1=n 时进行验证便可证明14n n S a +=恒成立． 试题解析：（1）证明：n n n n S S S n n a -=+=++112，122)21(+=+=++n n n S S nn S n n 即1121n n S S n n +=⨯+，即121n n S S n n +=⋅+，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比2q =的等比数列. （2）证明：由（1）知，当2n ≥时，()111111n n n S n a S n n n --+==+--()()111414n n S S n n ++=+=+. 经检验，1n =时，原式亦成立，12n n S a +∴=. 考点：等比数列的证明.21．（1）m 24；（2）． 【解析】试题分析：（1）由正弦定理B AC ACB AB ∠=∠sin sin 可知BACBAB AC ∠∠=sin sin ,代入数据便可求得AC 的长度；（2）在三角形ADC 中， 60=∠+∠DAC CAD ,可假设,60DAC DAC θθ∠=∠=︒-，利用正弦定理可求得CD AD ,,从而将L 转化为关于θ的三角函数，再利用三角恒等变换及函数的最值求得L 的最大值. 试题解析：（1）由已知由正弦定理，得sin 60sin 45AB AC=︒︒得24AC m =. （2）在ABC ∆中，设,60DAC DAC θθ∠=∠=︒-，由正弦定理sin sin sin AC AD CDADC ACD CAD==∠∠∠，()60,AD CDθθ=︒-=，()60L AD CDθθ∴=+=︒-+()1sin602θθθ⎫=+=+︒⎪⎪⎭≤因060θ︒<<︒，当30θ=︒时，L取到最大值.考点：正弦定理，三角恒等变换，函数的最值.【方法点睛】本题主要考查正弦定理的运用及利用三角恒等变换求最值。

第二学期期中教学质量检测高一数学试卷A 卷考试时间：120分钟；总分：150分一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知a 为实数,i 为虚数单位,若复数为纯虚数,则复数在复平面内对应的234(4)z a a a i =--+-a ai -点位于 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】根据纯虚数的知识求得，由此求得在复平面内对应的点所在的象限.a a ai -【详解】∵复数为纯虚数, 234(4)z a a a i =--+-2340,40,a a a ⎧--=∴⎨-≠⎩41,4,a a a ==-⎧∴⎨≠⎩或,∴复数,在复平面内对应的点的坐标为,位于第二象限.1a ∴=-1a ai i -=-+(1,1)-故选：B.【点睛】本小题主要考查纯虚数的概念，考查复数对应点所在象限，属于基础题.2. 已知角的终边经过点，且（ ） α()2P x ，cos α=x =A. B.C.D.4-2-24【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数的定义即可求解.【详解】解：由题意，， ，OP =cos α=又，cos α=0x < =，4x ∴=-故选：A.3. 若，则（ ） tan (π)3θ+=2cos sin cos θθθ+=A. B. C.D.25-35-3525【答案】D 【解析】【分析】结合诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】，tan (π)tan 3θθ+== 2222cos sin cos cos sin cos cos sin θθθθθθθθ++=+.221tan 1321tan 135θθ++===++故选：D4. 已知是平面内两个不共线的向量，，且12,e e()12121242,,1AB e e BC e e CD e e λλ=+=-+=+- 三点共线，则（ ）,,A C D λ=A.B. 2C. 4D.1214【答案】D 【解析】【分析】由，求出向量，根据平面向量共线定理，设，从而列出关于AC AB BC =+ ACAC CD μ= λ和的方程组即可求解．μ【详解】解：，， 1242AB e e =+ 12BC e e λ=-+ ， ∴123(2)AC AB BC e e λ=+=++，，三点共线，A C D 设，即， ∴AC CD μ=1212123(2)(1)(1)e e e e e e λμλμμλ⎡⎤++=+-=+-⎣⎦ ，解得．∴32(1)μλμλ=⎧⎨+=-⎩314μλ=⎧⎪⎨=⎪⎩故选：D ．5. 已知为虚数单位，且复数满足，则的值为（ ）i z ()201912z i i +=+12z i ++A.B.C.D.122【答案】B 【解析】【分析】首先根据题意得到，再带入，计算模长即可.1322z i =-12z i ++【详解】因为，()201931222z i ii i +=+=+=-所以. 22(2)(1)22131(1)(1)222i i i i i i z i i i i -----+====-++-11311=122222z i i i i ++-++=-==故选：B【点睛】本题主要考查复数的模长，同时考查了复数的运算，属于简单题. 6. 若，则（ ） π2cos 63a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 26a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. B. C.D.19-19【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因， π2cos()63a +=则. 22π21sin(2)sin[(2)]cos 2()2cos ()12()16236639ππππαααα-=-+=+=+-=⨯-=-故选：A7. 水车（如图1）是一种圆形灌溉工具，它是古代中国劳动人民充分利用水力发展出来的一种运转机械．根据文献记载，水车大约出现于东汉时期．水车作为中国农耕文化的重要组成部分，体现了中华民族的创造力，为水利研究史提供了见证．图2是一个水车的示意图，它的半径为2m ，其中心（即圆心）O 距水面1m ．如果水车每60s 逆时针转1圈，在水车轮边缘上取一点P ，我们知道在水车匀速转动时，P 点距水面的高度h （单位：m ）是一个变量，它是关于时间t （单位：s ）的函数．为了方便，不妨从P 点位于水车与水面交点Q 时开始计时（），则我们可以建立函数关系式0=t ()()sin h t A t k ωϕ=++（其中，，）来反映h 随t 变化的周期规律．下面说法中正确的是（ ） 0A >0ω>π02ϕ-<<A. 函数的最小正周期为40 ()h tB.()ππ2sin 1303h t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭C. 当时，水车P 点离水面最高 40t =D. 当时，水车P 点距水面2m 150t =【答案】D 【解析】【分析】先求出，．对于选项A ：直接求出的最小正周期；()ππ2sin 1306h t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭[)0,t ∈+∞()h t 对于选项B ：由解析式直接判断；对于选项C ：直接带入求出，即可判断；对于选项D ：直接()400h =带入即可求出．【详解】依题意可知，水车转动的角速度（rad/s ）， 2ππ6030ω==由，，解得，， 21A k +=+21A k -+=-+2A =1k =由，得．又，则， ()0sin 2sin 10h A k ϕϕ=+=+=1sin 2ϕ=-π02ϕ-<<π6ϕ=-所以，．()ππ2sin 1306h t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭[)0,t ∈+∞对于选项A ：函数的最小正周期为60．所以A 错误； ()h t 对于选项B ：，所以B 错误；()ππ2sin 1306h t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭对于选项C ：，所以C 错误；()ππ402sin 4010306h ⎛⎫=⨯-+=⎪⎝⎭对于选项D ：，所以D 正确．()ππ1502sin 15012306h ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭故选：D ．8. 设函数在区间上单调，且，当时，()()sin f x A x ωθ=+ππ62⎡⎤⎢⎥⎣⎦，π2ππ236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭π12x =取到最大值，若将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍得到函数的图象，()f x 2()f x 2()g x 则不等式的解集为（ ） ()1g x >A.B.ππ2π2π62k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，，ππ2π2π32k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，，C.D.ππ2π2π63k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，，ππ2π2π33k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，，【答案】A 【解析】【分析】根据函数的对称性和周期公式以及函数的单调性，并利用函数性质求解不等式即可. 【详解】函数的最大值为，2， ()()2sin f x x ωϕ∴=+在区间上单调，()f x ππ62⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以， πππ2263T ≥-=即，2π3T ≥， 2π2π3ω∴≥即，03ω<≤，π2π23f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 是函数的对称轴， 7π12x ∴=， ππ26f f⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是函数的对称中心，π03⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 2π3T ≥和是函数相邻的对称轴和对称中心， 7π12x ∴=π03⎛⎫⎪⎝⎭，即， 2π17ππ4123ω⨯=-得，2ω=当时，取到最大值， π12x =()f x 2，ππ22π122k ϕ∴⨯+=+k ∈Z ，π2π3k k ϕ=+∈Z ，当时，，0k =π3ϕ=，()π2sin 23f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭根据题意可知， ()π2sin 3g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()ππ112sin 1sin 332g x x x ⎛⎫⎛⎫∴>⇔+>⇔+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. ππ5π2π2π636k x k ∴+<+<+k ∈Z 解得：，．ππ2π2π62k x k -+<<+k ∈Z 的解集是．()1g x ∴>ππ2π2π62k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，，故选：．A 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9. 已知，，则下列结论中正确的是（ ）()4,3a =r()23,18a b += A.13b =B.16a b ⋅= C. 与共线的一个单位向量是 a34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 在上的投影向量是a b 1613b【答案】AB【解析】【分析】根据向量线性运算的坐标表示求出，求模即可判断A ，计算数量积判断B ，求的同向或反b →a →向的单位向量判断C ，根据向量的射影向量计算判断D.【详解】设，则，(,)b x y →=()23,18(8,6)(,)(8,6)a b x y x y +==+=++所以，即，5,12x y =-=(5,12)b →=-所以，故A 正确；13b == ，故B 正确；(4,3)(5,12)203616a b →→⋅=⋅-=-+=与共线的一个单位向量为，故C 错误； a43(,)55||aa →→±=±在上的投影向量为，故D 错误. a b 21616169||||||a b b b b b b b →→→→→→→→⋅⋅==故选：AB10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） ()0,πx ∈2sin cos 3x x +=-A. B. πsin 4x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭5sin 29x=-C. D.sin cos x x -=1tan 0x -<<【答案】ABD 【解析】【分析】辅助角公式化简已知，即可得出A 项；由已知可得，，展开即可得出B ()24sin cos 9x x +=项；先得出，根据已知可得，开方即可判断C 项；根据()29s s 4n co 1i x x -=sin cos 0x x ->，结合三角函数的符号，即可推出，进而得出，即可得2sin cos 03x x +=-<sincos x x<tan 1x <出D项.【详解】对于A 项，因为， sin cosx x x x ⎫+=+⎪⎪⎭π243x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭所以，故A 项正确； πsin 4x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭对于B 项，由已知可得，， ()24sin cos 9x x +=即，224sin cos 2sin cos 1sin 29x x x x x ++=+=所以，，故B 项正确；5sin 29x =-对于C 项，. ()2229s s in c 2o 14sin cos 2in cos s 1sin x x x x x x x +-=-=-=由已知，，可知，所以， 2sin cos 3x x +=-()0,πx ∈π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos 0x x ->所以，，故C 项错误； sin cos x x -=对于D 项，因为，，，所以， 2sin cos 03x x +=-<sin 0x >cos 0x <sin cos x x <所以，. sin tan 1cos xx x=<又，所以，故D 项正确. tan 0x <1tan 0x -<<故选：ABD.11. 已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（ ） ,,a b c ABC A ,,A B C A. 若是锐角三角形，则 ABC A sin cos A B >B. 若，则是等腰三角形 cos cos a A b B =ABC A C. 若，则是等腰三角形 cos cos b C c B b +=ABC A D. 若是等边三角形，则 ABC A cos cos cos a b cA B C==【答案】ACD 【解析】【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质可判断A ，由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断B ，由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C ，利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断D.【详解】对于A ，因为是锐角三角形，所以，所以，即ABC A 2A B π+>sin sin 2A B π⎛⎫>- ⎪⎝⎭，故A 正确；sin cos A B >对于B ，由及正弦定理，可得，即，所以cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B B =sin 2sin 2A B =或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B 错22A B =22A B π+=A B =2A B π+=ABC A误；对于C ，由及正弦定理化边为角，可知，即cos cos b C c B b +=sin cos sin cos sin B C C B B +=，因为为的内角，所以，所以是等腰三角形，故C 正确；sin sin A B =,A B ABC A A B =ABC A 对于D ，由是等边三角形，所以，所以，由正弦定理ABC A A B C ==tan tan tan A B C ==，故D 正确. cos cos cos a b cA B C==故选：ACD.12. 己知函数，有以下结论，则说法正确的为（ ） ()sin cos f x x x =π3π,22x ⎡∈-⎤⎢⎥⎣⎦A. 的图象关于直线轴对称 ()f x yB. 在区间上单调递减()f x 3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 的一个对称中心是 ()f x π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 的最大值为()f x 12【答案】BD 【解析】【分析】分别就，时化简解析式，并作出图象，观察图象可判断ABC ,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π3π,22x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()f x 是否正确；对D ：求出当时的最大值即可. ,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【详解】当时，，,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()1sin cos sin cos sin 22f x x x x x x ===当时，，π3π,22x ⎛⎤∈⎥⎝⎦()1sin cos sin cos sin 22f x x x x x x ==-=-作出函数的图象如图：()f x则函数关于轴不对称，故A 错误，y区间的中点坐标为，区间的中点坐标为， π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π43ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦5π4则在区间上单调递减，故B 正确，()f x 3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦由图象知关于对称，故C 错误， ()f x π2x =当时，，当时，取得最大值，,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]2π,πx ∈-π22x =()f x 12由图象知关于对称，故当时，最大值也是，故D 正确. ()f x π2x =π3π,22x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()f x 12故选：BD ．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知扇形的面积为4cm ，该扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为______cm ． 212【答案】10 【解析】 【详解】，故周长为.故答案为：10 2211114,4,422222S r r r l r αα==⋅⋅====⋅=210l r +=14. 求值：__________． ()cos 40110︒︒=【答案】1 【解析】【分析】利用三角函数切化弦，辅助角公式与诱导公式求解即可.【详解】 ()sin10cos 40110cos 401cos 40cos10︒⎛⎫︒︒=︒=︒ ⎪︒⎝⎭ ()2sin 30cos10cos30sin102sin40sin80cos 40cos40cos10cos10cos10︒︒+︒︒︒︒=⨯︒=⨯︒=︒︒︒．()sin 9010cos101cos10cos10︒-︒︒===︒︒故答案为：．115. 已知函数，则下列说法正确的是__________填序号()1πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()①的周期是()f x π;②的值域是，且 ()f x {|y y ∈R 0};y ≠③直线是函数图象的一条对称轴 5π3x =()f x ④的单调递减区间是， ()f x 2ππ2π,2π33k k ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦.k ∈Z 【答案】④ 【解析】【详解】函数的周期与的周期相同，即，错误； ①()1πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∣∣1πtan 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π2π12=①函数的值域明显是非负，错误；②②对称轴的横坐标是函数零点或不在定义域内，因为，错误；③5π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭③函数的单调递减区间满足，， ④()f x π1πππ226k x k -+<-≤k ∈Z ，正确， 2ππ2π2π33k x k k ∴-+<≤+∈Z ，④故答案为：．④16. 在△ABC 中，角A，B ，C 的对边分别是a ，b ，C .且满足.且△ABC 为锐角三222,4a b c ab b +=+=角形，则△ABC 面积的取值范围为________. 【答案】 【解析】【分析】由余弦定理求出角，，要求△ABC 面积的取值范围，只需求出边取值范C 1sin 2ABC S ab C =A a 围，根据正弦定理，将用角表示，结合范围，即可求解.a B B【详解】,2222221,cos 22a b c a b c ab C ab ++=-+==，0,3C C ππ<<∴=由正弦定理得， 4sin sin sin a b A B B==所以4sin()322sin B a B π+==+=+又△ABC 为锐角三角形，,022032πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩B B得1,tan 62tan B B Bππ<<><<所以，. 28a <<1sin 2ABC S ab C==∈△故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知向量，满足，，.a b||1a = ||3b = (2)()6a b a b -⋅+=- （1）求与夹角的余弦值；a bθ（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.2a b + a kb -k 【答案】(1)；(2). 1cos 3θ=113(,)(,2211-∞-⋃-【解析】【分析】(1)利用平面向量数量积运算法则结合已知求出即可得解；a b ⋅(2)先求出，然后由此数量积大于0及与不共线即可作答.(2)()b kb a a +⋅- 2a b + a kb -【详解】(1)因，，则，即有，||1a = ||3b = 22(2)()276a b a b a b a b a b -⋅+=-+⋅=-+⋅=- 1a b ⋅=所以； 1cos 3||||a b a b θ⋅==⋅(2)由(1)知，22(2)()22311b kb a ka b a b kb a k a +⋅-=-⋅+⋅-=- 因与的夹角为锐角，于是得且与不共线，2a b + a kb - (2)()0a a b kb +⋅-> 2a b + a kb -从而得，即， 3110k ->311k <当与共线时，，即，而与不共线，则，2a b + a kb - 210k +=12k =-2a b + a kb - 12k ≠-于是有且， 311k <12k ≠-所以实数的取值范围是. k 113(,(,)2211-∞-⋃-18. 已知为锐角，，． αβ，1tan 2α=()cos αβ+=（1）求的值； cos 2α（2）求的值． αβ-【答案】（1）；（2）.3cos 25α=4παβ-=-【解析】【分析】（1）由于，所以代值求解即可； 222222cos sin 1tan cos 2cos sin 1tan ααααααα--==++（2）由求出的值，从而可求出的值，而()cos αβ+=()sin αβ+()tan αβ+，进而可求得结果()()()()tan 2tan tan tan 21tan 2tan ααβαβααβααβ-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+⋅+【详解】（1） 22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++（2）因为为锐角，所以，， αβ，()0αβπ+∈，22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，又，所以， ()cos αβ+=()sin αβ+===，()()()sin tan 7cos αβαβαβ++===-+又，22tan 4tan 21tan 3ααα==-所以()()()()tan 2tan tan tan 21tan 2tan ααβαβααβααβ-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+⋅+47314173+==--⨯因为，所以.22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，4παβ-=-19. 在中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满. ABC A 22sin cos 212B CA ++=（1）求角A 的大小； （2）若，，求的周长.a =3BA AC ⋅=-ABC A 【答案】（1）；（2）.3π5+【解析】 【分析】（1）由二倍角的余弦公式和特殊角的三角函数值，可得所求值；（2）由向量的数量积的定义和余弦定理，结合配方法，整理可得所求的周长． 【详解】（1）， 22sincos 212B CA ++=即为， cos()cos 20BC A +-=可得， 22cos cos 10A A +-=解得舍去），1cos (12A =-由，可得；0A π<<3A π=（2），即为， 3BA AC ⋅=- 2πcos 33cb =-可得，6bc =由， ()22222cos 27a b c bc A b c bc bc =+-=+--=可得，5b c +==则的周长为.ABC A 5a b c ++=+【点睛】关键点睛：利用数量积与余弦定理构建方程组，通过整体思想得到结果.20. 在三角形中，，D 是线段上一点，且，F 为线段ABC 2,1,2AB AC ACD π==∠=BC 12BD DC =上一点．AB（1）若，求的值；AD xAB y AC =+x y -（2）求的取值范围； CF FA ⋅【答案】（1），（2） 1313,16⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据平面向量基本定理，由题中条件，得到，从而可求出的值，2133AD AB AC =+,x y 进而可求得的值；x y -（2）根据题意先求出，设，再由平面向量数量积运算，即可求得结果,3CAB BC π∠==AF x =【详解】解：（1）因为，所以，12BD DC = 1()2AD AB AC AD -=-得，2133AD AB AC =+ 因为，所以，AD xAB y AC =+ 21,33x y ==所以，13x y -=（2）因为在三角形中，，ABC 2,1,2AB AC ACD π==∠=所以，,3CAB BC π∠==所以，()CF FA CA AF FA CA FA AF FA ⋅=+⋅=⋅+⋅ ，由题意得，AF x =[0,2]x ∈所以， 2cos CF FA CA FA AF FA CA FA CAB AF ⋅=⋅+⋅=⋅∠- ， 221112416x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭因为，所以，[0,2]x ∈21113,41616x ⎛⎫⎡⎤--+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以的取值范围为 CF FA ⋅ 13,16⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21. 已知函数，()2sin cos 2sin f x x x a x a b =-+++[0,]2x π∈5() 1.f x ≤≤-（1）求常数，的值. a b （2）若，设，且求的单调区间 0a >π()(2g x f x =+()1g x >()g x 【答案】（1），或，b=-5；2a =-1b =2a =（2）单调递增区间为：，递减区间为：. π(π,π()6k k k Z ⎫+∈⎪⎭(πππ,π)63k k k Z ++∈【解析】【分析】（1）化简后，根据的最值讨论的范围，然后列方程求解即可；()f x ()f x a （2）根据求出，从而求出的解集，在解集范围内求出的单调区间即可. ()f x ()g x ()1g x >()g x 【小问1详解】()2sin 2sin cos 2sin i cos 22π=2s n(2)26f x x a x a ba bx x a x a b x a =--+=+++++-++因为，所以，[0,]2x π∈ππ7π2[,666x +∈因此当时，当时，函数有最小值，即， 0a >ππ262x +=2255a a b b -++=-⇒=-当时，函数有最大值，即，而，解得； π7π266x +=12()212a ab -⋅-++==5b -2a =当时，当时，函数有最大值，即， a<0ππ262x +=2211a a b b -++=⇒=当时，函数有最小值，即，而，解得， π7π266x +=12(252a ab -⋅-++=-1b =2a =-所以，或，； 2a =-1b =2a ==5b -【小问2详解】因为，所以，，即， 0a >2a ==5b -()π4sin(2)16f x x =-+-，()ππ()4sin(2)126g x f x x =+=+-由得：()1g x >，π1ππ5πsin(22π22π()62666x k x k k Z +>⇒+<+<+∈当时，函数单调递增，πππ2π22π()262k x k k -<+<+∈Z 而， ππ5π2π22π()666k x k k Z +<+<+∈所以当时，函数单调递增，πππ2π22π()662k x k k Z +<+<+∈即时，函数单调递增，πππ()6k x k k Z <<+∈当时，函数单调递减， ππ3π2π22π()262k x k k Z +<+<+∈而， ππ5π2π22π()666k x k k Z +<+<+∈所以时， ππ5π2π22π()266k x k k Z +<+<+∈即时，函数单调递减，ππππ()63k x k k Z +<<+∈故函数的单调递增区间为：，递减区间为：. π(π,π()6k k k Z ⎫+∈⎪⎭(πππ,π)()63k k k Z ++∈22. 杭州市为迎接2022年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE ，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计需要预留出BD ，BE 为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED ，DC ，CB ，BA ，AE 为赛道，． 2,,8km 34BCD BAE CBD CD DE ππ∠=∠=∠===（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE 的长度； ①；②712∠=CDE π3cos 5DBE ∠=（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE 最长（即最大），最长值为多+BA AE 少？【答案】（1）答案见解析；（2【解析】【分析】(1)在中，利用正弦定理，可求得BD =6. BCD △选①：先由三角形的内角和可得∠BDC =，从而知为直角三角形，然后由勾股定理，得解;12πBDE △选②：在中，由余弦定理可得关于BE 的方程，解之即可. BDE △(2)在中，结合余弦定理和基本不等式，即可得解.ABE A 【详解】（1）在中，由正弦定理知，BCD △sin sin BD CD BCD CBD=∠∠2sin 3BD π∴=6BD =，选①：，， 2,34BCD CBD ππ∠=∠= 2()(3412BDC BCD CBD πππππ∴∠=-∠+∠=-+=，712122BDE CDE BDCπππ∴∠=∠-∠=-=在中，；Rt BDE ∆10BE ===若选②，在中，由余弦定理知 ，，化简BDE △cos DBE ∠=2222BD BE DE BD BE +-⋅222368526BE BE+-∴=⨯⨯得，解得或（舍负）， 2536BE BE --1400=10BE =145-故服务通道BE 的长度 ；10BE =（2）在中，由余弦定理知，，ABE A 2222cos BE BA AE BA AE BAE =+-⋅⋅∠，22100BA AE BA AE ∴=++⋅，即，当且仅当2()100BA AE BA AE ∴+-⋅=22()()1004BA AE BA AE BA AE ++-=⋅≤BA AE =时，等号成立，此时，． 23()1004BA AE +=+BA AE 【点睛】关键点睛：本题主要考查解三角形的实际应用，还涉及利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握正弦定理、余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.。

安徽省合肥市第一中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分．）1．已知＝2+i，则复数z＝（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1﹣3i D．1+3i2．下列说法正确的是（）A．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台B．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等C．通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线D．球面上四个不同的点一定不在同一个平面内3．已知平面向量，满足||＝2，||＝1，⊥（+4），则向量，的夹角为（）A．B．C．D．4．梯形A1B1C1D1（如图）是一水平放置的平面图形ABCD的直观图（斜二测），若A1D1∥y′轴，A1B1∥x′轴，A1B1＝C1D1＝4，A1D1＝2，则平面图形ABCD的面积是（）A．20 B．10 C．D．5．在△ABC中，a＝20，b＝10，B＝32°，则此三角形的解的情况是（）A．有两解B．有一解C．有无数个解D．无解6．设是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A．且B．C．D．7．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A．B．C．D．8．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，其中bc＝2且满足，则△ABC面积为（）A．B．C．D．9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝4，AB⊥AC，M为BB1的中点，点N 在棱CC1上，CN＝3NC1，则异面直线A1N与CM所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是（）A．B．C．D．11．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为2的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（）A．12 B．10 C．9 D．812．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a：b＝ln2：ln4，且，则k的范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知i为虚数单位，若z＝1+2i，则|z﹣i|＝．14．给出下列说法：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若空间中三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c一定垂直；④垂直于同一直线的两条直线平行．其中正确说法的是．15．已知非零向量与满足且，若，则△ABC的面积为．16．把四个半径分别为9，9，9，19的小球同时放入一个大球中，使四个小球两两外切并均与大球内切，则大球的半径为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知向量，，．（Ⅰ）若点A，B，C不能构成三角形，求x，y应满足的条件；（Ⅱ）若，求x，y的值．18．已知圆锥SO的底面半径R＝6，高H＝8．（1）求圆锥SO的表面积和体积；（2）圆锥SO的内接圆柱OO′的高为h，当h为何值时，圆锥SO的内接圆柱OO′的侧面积最大，并求出最大值．19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积记为S△ABC，满足a2+b2﹣c2＝．（1）求∠C；（2）若c＝，求2a﹣4sin B的取值范围．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC是边长为2的等边三角形，BB1＝4，E为棱A1C1的中点，F为棱A1B1的中点，BC1∩B1C＝O．（Ⅰ）若M为线段BC上一动点，证明：A1M∥平面EFO；（Ⅱ）求三棱锥A1﹣OEF的体积．21．为了美校园环境，某中学欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝6百米，AD＝2百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈（，π）．（1）当cosθ＝﹣时，求小路AC的长度；（2）试求小路BD的长度．使得草坪ABCD的面积最大．22．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P﹣ABCD．点E在棱PB上，满足，点F在棱PC上，满足，要求同学们按照以下方案进行切割：（1）试在棱PC上确定一点G，使得EF∥平面ABG；（2）过点A，E，F的平面α交PD于点H，沿平面α将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H点的位置，请求出的值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知＝2+i，则复数z＝（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1﹣3i D．1+3i解：＝2+i，∴z＝（1+i）（2+i）＝2﹣1+（2+1）i＝1+3i，则复数z＝1+3i．故选：D．2．下列说法正确的是（）A．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台B．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等C．通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线D．球面上四个不同的点一定不在同一个平面内解：对于A：当用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故A错误；对于B：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故B错误；对于C：通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线，故C正确；对于D：球面上四个不同的点不一定不在同一个平面内，故D错误．故选：C．3．已知平面向量，满足||＝2，||＝1，⊥（+4），则向量，的夹角为（）A．B．C．D．解：∵，∴，∴，且，∴，且，∴．故选：C．4．梯形A1B1C1D1（如图）是一水平放置的平面图形ABCD的直观图（斜二测），若A1D1∥y′轴，A1B1∥x′轴，A1B1＝C1D1＝4，A1D1＝2，则平面图形ABCD的面积是（）A．20 B．10 C．D．解：梯形A1B1C1D1中，A1B1＝C1D1＝4，所以C1D1＝6，A1D1＝2，所以梯形面积为S′＝×（4+6）×2×sin45°＝5，所以原平面图形ABCD的面积是5×2＝20．故选：A．5．在△ABC中，a＝20，b＝10，B＝32°，则此三角形的解的情况是（）A．有两解B．有一解C．有无数个解D．无解解：在△ABC中，a＝20，b＝10，B＝32°，∴根据正弦定理，，∴sin A＝2sin32°，∵，∴sin A＞1，∴△ABC不存在，即此三角形无解．故选：D．6．设是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A．且B．C．D．解：A．若||＝||且∥，则，两个向量为相等向量或相反向量，当＝﹣时，＝不成立，所以A不是充分条件．B．当＝﹣时，＝不成立，所以B不是充分条件．C．当∥时，且，两个向量方向相反时，＝不成立，所以C不是充分条件．D．当＝4时，满足，同向共线，满足＝，所以D是充分条件．故选：D．7．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A．B．C．D．解：取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MN＝BC1＝，MC1＝BN＝，∴梯形的高为，∴梯形的面积为（）×＝，故选：C．8．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，其中bc＝2且满足，则△ABC面积为（）A．B．C．D．解：因为＝＝所以2c cos A＝b cos A+a cos B，由正弦定理得2sin C cos A＝sin B cos A+sin A cos B＝sin（A+B）＝sin C，由C为三角形内角得sin C＞0，所以cos A＝，由A为三角形内角得A＝，则△ABC的面积S＝bc sin A＝＝．故选：B．9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝4，AB⊥AC，M为BB1的中点，点N 在棱CC1上，CN＝3NC1，则异面直线A1N与CM所成角的余弦值为（）A．B．C．D．解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（0，0，4），N（0，1，3），C（0，1，0），M（1，0，2），＝（0，1，﹣1），＝（1，﹣1，2），设异面直线A1N与CM所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线A1N与CM所成角的余弦值为．故选：B．10．一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是（）A．B．C．D．解：棱长为4的正四面体放入一个棱长为的正方体中，则外接球的直径为，故外接球的半径为，棱长为4的正四面体的高h＝，所以过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则顶点到截面的距离为，则球心到截面的距离为，所以截面圆的半径＝，则截面圆的面积是＝．故选：A．11．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为2的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（）A．12 B．10 C．9 D．8解：据题意：圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为2的等边三角形．点P为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：则A（﹣4，0），B（﹣3，），C（﹣1，）．圆D的方程为x2+y2＝，可设P（cosα，sinα）所以＝（3，），＝（cosα+3，sinα−）．故＝sinα+cosα+6＝3（sinα+cosα）+6＝3sin（α+）+6≤3+6＝9．故选：C．12．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a：b＝ln2：ln4，且，则k的范围是（）A．B．C．D．解：因为a：b＝ln2：ln4＝ln2：2ln2＝1：2，所以b＝2a，因为三角形三边长分别为，a，2a，c，所以a+2a＞c，且a+c＞2a，即3a＞c，且c＞a，于是，所以，因为＝b•a cos C＝2a2cos C＝kc2，所以k＝＝＝，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知i为虚数单位，若z＝1+2i，则|z﹣i|＝．解：∵i为虚数单位，z＝1+2i，∴|z﹣i|＝|1+i|＝＝，故答案为：．14．给出下列说法：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若空间中三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c一定垂直；④垂直于同一直线的两条直线平行．其中正确说法的是③．解：对于①，若直线l平行于平面α内的任意一条直线，则l∥α，故①错误；对于②，若直线a在平面α外，当直线a与平面α相交时，则a∥α错误，故②错误；对于③，若空间中三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c一定垂直，故③正确；对于④，只有在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故④错误．故答案为：③．15．已知非零向量与满足且，若，则△ABC的面积为．解：因为，所以∠BAC的平分线与BC边垂直，所以AB＝AC，取AC中点D，连接AD，AD⊥BC，因为cos∠BAC＝，所以∠BAC＝120°，于是∠B＝∠C＝30°，AD＝AD•tan30°＝2•，所以＝．故答案为：．16．把四个半径分别为9，9，9，19的小球同时放入一个大球中，使四个小球两两外切并均与大球内切，则大球的半径为．解：如图，设三个半径为9的球的球心分别为A、B、C，半径为19的球的球心为D，连接AB、BC、AC、AD、BD、CD，则D在平面ABC上的射影为底面正三角形ABC的外心G，可得BG＝＝，三棱锥D﹣ABC为正三棱锥，侧棱DB＝28，则DG＝．再设大球的球心为O，由对称性可得，O在线段DG上，要使大球与四个小球都内切，则OD+19＝OB+9，设OB＝x，则OG＝，∴OD＝DG﹣OG＝26﹣，则，解得x＝．∴大球的半径为x+9＝．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知向量，，．（Ⅰ）若点A，B，C不能构成三角形，求x，y应满足的条件；（Ⅱ）若，求x，y的值．解：（Ⅰ）若点A、B、C不能构成三角形，则A、B、C三点共线由，，得＝（3，1），＝（2﹣x，1﹣y）∵A、B、C三点共线，得∥∴3（1﹣y）＝2﹣x，即x、y满足的条件为x﹣3y+1＝0；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∵＝（﹣1﹣x，﹣y）且，∴（2﹣x，1﹣y）＝2（﹣1﹣x，﹣y）可得2﹣x＝﹣2﹣2x，1﹣y＝﹣2y，解之得x＝﹣4，y＝﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知圆锥SO的底面半径R＝6，高H＝8．（1）求圆锥SO的表面积和体积；（2）圆锥SO的内接圆柱OO′的高为h，当h为何值时，圆锥SO的内接圆柱OO′的侧面积最大，并求出最大值．解：（1）∵圆锥SO的底面半径R＝6，高H＝8，∴圆锥SO的母线长L＝＝10，则侧面积S＝πRL＝60π，体积V＝＝96π；（2）作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，其中SO＝8，OA＝OB＝6，OK＝h（0＜h＜8）．设圆柱底面半径为r，则，即r＝（8−h）．设圆柱的侧面积为S′＝2πr•h＝2π•（8−h）•h＝（−h2+8h）．∴当h＝4时，S′有最大值为24π．19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积记为S△ABC，满足a2+b2﹣c2＝．（1）求∠C；（2）若c＝，求2a﹣4sin B的取值范围．解：（1）因为a2+b2﹣c2＝，所以2ab cos C＝，所以tan C＝，由C为三角形内角得C＝；（2）由正弦定理得＝2，所以a＝2sin A，所以2a﹣4sin B＝4sin A﹣4sin B＝4sin A﹣4sin（）＝4sin A﹣2cos A﹣2sin A ＝2sin A﹣2cos A＝4sin（A﹣），由0＜A＜得﹣＜A﹣，所以﹣＜sin（A﹣）＜，﹣24sin（A﹣）．故2a﹣4sin B的取值范围（﹣2）．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC是边长为2的等边三角形，BB1＝4，E为棱A1C1的中点，F为棱A1B1的中点，BC1∩B1C＝O．（Ⅰ）若M为线段BC上一动点，证明：A1M∥平面EFO；（Ⅱ）求三棱锥A1﹣OEF的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵O为B1C的中点，F为A1B1的中点，∴OF∥A1C，∵OF⊄平面A1CB，A1C⊂平面A1CB，∴OF∥平面A1CB，∵E为A1C1的中点，F为A1B1的中点，∴EF∥B1C1，而BC∥B1C1，∴EF∥BC，∵EF⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，∴EF∥平面A1CB，又OF∩EF＝F，∴平面OEF∥平面A1CB，∵M为线段BC上一动点，∴A1M⊂平面A1CB，则A1M∥平面EFO；（Ⅱ）解：取B1C1的中点为D，连接OD，则OD∥BB1，由直三棱柱可得BB1⊥平面A1B1C1，则OD⊥平面A1B1C1，且OD＝BB1＝2，由△A1B1C1是边长为2的等边三角形，可得，而E为A1C1的中点，F为A1B1的中点，∴，∴×OD＝．21．为了美校园环境，某中学欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝6百米，AD＝2百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈（，π）．（1）当cosθ＝﹣时，求小路AC的长度；（2）试求小路BD的长度．使得草坪ABCD的面积最大．解：（1）△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD cosθ＝36+20﹣2××＝80，所以BD＝4，由题意得sinθ＝，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝，因为△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，，CD＝BD＝4，所以cos∠ADC＝﹣sin∠ADB＝﹣，△ADC中，由余弦定理得AC2＝AD2+DC2﹣2AD•CD cos∠ADC＝+（4）2﹣2××（﹣）＝2；（2）由（1）得BD2＝56﹣24cosθ，因为ABCD的面积S＝S△ABD+S△BCD＝6×sinθ+＝6sinθ﹣12cosθ+28＝28+30sin（θ﹣φ），其中sinφ＝，cosφ＝，φ∈（0，），当θ﹣φ＝，即θ＝φ+时，S取得最大值，此时BD2＝56﹣24cosθ＝104，所以BD＝2．22．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P﹣ABCD．点E在棱PB上，满足，点F在棱PC上，满足，要求同学们按照以下方案进行切割：（1）试在棱PC上确定一点G，使得EF∥平面ABG；（2）过点A，E，F的平面α交PD于点H，沿平面α将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H点的位置，请求出的值．解：（1）当PG＝3GC时，EF∥平面ABG．理由：设PB＝PC＝3t，因为，，可得PE＝2t，EB＝t，PF＝FC＝t，因为PG＝3GC，可得PG＝t，可得＝＝，所以EF∥BG，而EF⊄平面ABG，BG⊂平面ABG，则EF∥平面ABG；（2）延长FE，与延长CB交于M，连接MA，并延长与CD的延长线交于N，连接FN，交PD于H，由（1）可得FG＝GC＝，即G为CF的中点，由EF∥BC，可得B为MC的中点，由AD∥BC，可得D为CN的中点，在等腰三角形PCD中，F为PC的中点，取CD的中点K，连接FK，则PD＝2KF，DH＝FK，所以PD＝3DH，即＝．。

2023-2024学年安徽省合肥市高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．已知集合{}14A x x =-≤≤，(){}2ln 4B x y x==-，则A B ⋃=（）A ．[)1,2-B ．[]1,4-C ．(]2,4-D ．(][),12,-∞-⋃+∞【正确答案】C【分析】先化简集合B ，再去求A B ⋃即可解决.【详解】因为(){}{}2ln 422B x y xx x ==-=-<<,则{}{}{}142224A B x x x x x x ⋃==-≤≤⋃-<<=-<≤，故选：C2．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【正确答案】D【分析】根据圆锥的结构特征即可判断A 选项；根据棱台的定义即可判断选项B;结合圆柱、圆锥、圆台的旋转特征，举出反例即可判断选项C ；由棱柱的定义即可判断选项D.【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．解决空间几何体结构特征问题的3个策略(1)把握几何体的结构特征，提高空间想象力．(2)构建几何模型、变换模型中的线面关系．(3)通过反例对结构特征进行辨析．3．在边长为2的正方形ABCD 中，()AB AD CD -⋅=（）A ．-4B ．-2C ．2D ．4【正确答案】A【分析】作出图形，利用向量的三角形法则与数量积运算即可求得结果.【详解】根据题意，如图可知，2DC =，DB = 45BDC ∠=︒，()AB AD CD DB CD DB DC -⋅=⋅=-⋅cos 2cos 454DB DC BDC =-⋅∠=-︒=-．故选：A．4．在ABC 中，π3B =，8AB =，5BC =．则ABC 外接圆的面积为（）A ．49π3B ．16πC ．47π3D ．15π【正确答案】A【分析】设ABC 外接圆的半径为R ，由余弦定理可得AC ，再由正弦定理得R 可得答案.【详解】设ABC 外接圆的半径为R ，由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⨯，即216425285492=+-⨯⨯⨯=AC ，所以7AC =，由正弦定理得2sin 2==AC RB，所以R =则ABC 外接圆的面积为249ππ3=R .故选：A.5．刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆，径二寸，高二寸，又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一（如图一）．记正方形OABC 的边长为r ，设OP h =，过P 点作平面PQRS 平行于平面OABC ．OS OQ r ==，由勾股定理有PS PQ =PQRS 面积是22r h -．如果将图一的几何体放在棱长为r 的正方体内（如图二），不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于2h ．（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h ，不难发现对于任何高度h ，此截面面积必为2h ，根据祖暅原理计算牟合方盖体积（）注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”、意思是两个同高的立体图形，如在等高处的截面积相等，则体积相等．A ．383rB ．38π3rC ．3163r D ．316π3r 【正确答案】C【分析】计算出正方体的体积，四棱锥的体积，根据祖暅原理可得图一中几何体体积，从而得结论．【详解】V棱锥23111333Sh r r r ==⨯⨯=，由祖暅原理图二中牟合方盖外部的体积等于V 棱锥313r =所以图1中几何体体积为3331233V r r r =-=，所以牟合方盖体积为31683V r =．故选：C ．6．已知函数()()π12sin sin cos 2032f x x x x ωωωω⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭，若函数()f x 在[]0,π有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围是（）A ．1117,66⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1117,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】D【分析】由三角恒等变换化简函数解析式为()πsin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由0πx ≤≤可计算出π26x ω+的取值范围，再根据已知条件可得出关于ω的不等式，解之即可.【详解】因为()112sin sin cos cos 2222f x x x x x ωωωω⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭211cos 21cos sin cos 2sin 2cos 22222x x x x x x x ωωωωωωω-=++-=++-1πsin 2cos 2sin 2226x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当0πx ≤≤时，πππ22π666x ωω≤+≤+，因为函数函数()f x 在[]0,π有且仅有两个零点，则π2π2π3π6ω≤+<，解得11171212ω≤<.故选：D.7．已知O 为ABC 的外心，3450++=OA OB OC ，则cos ABC ∠的值为（）A B ．10C ．10D ．5【正确答案】A【分析】设ABC 的外接圆的半径为R ，将3450++= OA OB OC 平方后求出3cos 5AOC ∠=-，找到2AOC ABC =∠∠，利用二倍角公式求出cos ABC∠【详解】设ABC 的外接圆的半径为R ，∵3450++= OA OB OC ，∴354OA OC OB +=-，且圆心在三角形内部，∴()()22354OA OCOB+=- ∴()()()2229253016OA OCOA OC OB ++⋅= ，∴222292530cos 16R R R AOC R ++∠=3cos 5AOC ∴∠=-根据圆心角等于同弧对应的圆周角的两倍得：2AOC ABC=∠∠∴232cos 1cos 5ABC AOC ∠-=∠=-解得cos ABC ∠故选：A方法点睛：（1)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算；（2）求向量夹角通常用cos ,||||a ba b a b ⋅=⨯，还要注意角的范围.8．若函数()f x 的定义域为R ，()21f x +是偶函数，且()()226f x f x -++=．则下列说法正确的个数为（）①()f x 的一个周期为2；②()223f =；③()f x 的一条对称轴为5x =；④()()()121957f f f +++= ．A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】根据给定条件，结合奇偶函数的定义，可得(2)()f x f x -=，(2)(2)0f x f x -+++=，由此推理计算即可判断各命题作答.【详解】对于①：()21f x +是偶函数，设2t x =，得()()11f t f t +=-+，因()()226f x f x -++=，所以()()46f x f x +-=，故()()136f t f t ++-=，故()()136f t f t -++-=，即()()26f x f x ++=，故()()246f x f x +++=，所以()()4f x f x =+，所以()f x 的一个周期为4，故①错误.对于②：由于()()226f x f x -++=，令0x =，得()23f =.()()()2245223f f f =⨯+==.故②正确.对于③：由(2)()f x f x -=知函数的一条对称轴为1x =，因为()f x 的一个周期为4，所以5x =也是函数()f x 的一条对称轴，故③正确.对于④：因()23f =，(2)()f x f x -=得()03f =，即()43f =.因()()226f x f x -++=，所以()()136f f +=，()()()()()()()()()12195123420512457f f f f f f f f f +++=+++-=⨯-=⎡⎤⎣⎦ ，故④正确故选：C.二、多选题9．设向量(2,0)a = ，(1,1)b =，则（）A ．=a bB ．a 与b 的夹角是4πC ．()a b b-⊥ D ．与b 同向的单位向量是11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】BC【分析】由条件算出a r ，b ，即可判断A ，算出cos ,a b 的值可判断B ，算出()a b b -⋅的值可判断C ，与b同向的单位向量是22⎛ ⎝⎭，可判断D.【详解】因为(2,0)a = ，(1,1)b =，所以2a =，b = A 错误因为cos ,2a b a b a b ⋅===⋅，所以a 与b 的夹角是4π，故B 正确因为()()()1,11,1110a b b -⋅=-⋅=-= ，所以()a b b -⊥，故C 正确与b同向的单位向量是22⎛ ⎝⎭，故D 错误故选：BC 10．已知复数z =z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（）A ．z的虚部为2B ．||1z =C ．3z 为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限．【正确答案】BD【分析】先利用复数的除法得到1i 22z =+，再利用复数的虚部概念判定选项A 错误，利用模长公式判定选项B正确，利用复数的乘方运算得到3z，再利用复数的分类判定选项C错误，利用共轭复数的概念、复数的几何意义判定选项D正确.【详解】因为12z==，则z的虚部为2，即选项A错误；||1z==，即选项B正确；因为12z=，所以3323119(i)i+i i228888z=+=++19188=-=-，即3z为实数，即选项C错误；因为12z=，所以12z=-，则z在复平面上对应的点1(,2在第四象限，即选项D正确.故选：BD.11．已知函数()()sin cos sin cosf x x x x x=+⋅-，下列说法正确的是（）A．()f x的最正周期为2πB．若()()122f x f x+=，则()12πZ2kx x k+=∈C．()f x在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上是增函数D．()y f x=的对称轴是()ππZ4x k k=+∈【正确答案】ABD【分析】把函数()f x化成分段函数，作出函数图象，根据图象判断AC，由余弦函数的性质判断C，再结合图象利用函数对称性的性质判断D.【详解】依题意，3ππcos2,2π2π44()(Z)π5πcos2,2π2π44x k x kf x kx k x k⎧-+<<+⎪⎪=∈⎨⎪-+≤≤⎪⎩，函数()f x部分图象如图，由图象知函数()f x 是周期函数，周期为2π，故A 正确；因()11f x ≤且()21f x ≤，则当()()122f x f x +=时，1|cos 2|1x =且2|cos 2|1x =，则11π2k x =且22π2k x =，12,Z k k ∈，因此，1212()ππ22k k k x x ++==，12Z k k k +=∈，B 正确；观察图象知，()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，所以()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不是增函数，故C 不正确；观察图象知，π4x =，3π4x =-是函数()y f x =图象的相邻两条对称轴，且相距半个周期长，事实上ππππ()[sin()cos()]|sin()cos()|()22222f x x x x x f x π-=-+-⋅---=，即()y f x =图象关于π4x =对称，同理有()y f x =图象关于3π4x =-对称，而函数()f x 的周期是2π，所以函数()y f x =图象对称轴ππ,Z 4x k k =+∈，D 正确.故选：ABD12．在ABC 中，若3B π=，角B 的平分线BD 交AC 于D ，且2BD =，则下列说法正确的是（）A ．若BD BC =，则ABC 的面积是332B ．若BD BC =，则ABC 的外接圆半径是22C ．若BD BC =，则312AD DC +=D ．AB BC +833【正确答案】ACD【分析】A 、B 、C 选项由已知结合正弦定理和差角公式及同角的基本关系进行变形即可判断，D 选项用角θ表示出AB BC +结合三角恒等变换以及均值不等式即可判断.【详解】因为3B π=，角B 的平分线BD 交AC 于D ，所以6ABD CBD π∠=∠=，2BD BC ==，所以56212C BDC πππ-∠=∠==，51234A ∠=--=ππππ，由正弦定理得22sin sin BC AB A C==所以52222sin 22sin cos cos sin 3112646464AB ⎛⎫⎛⎫==+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππππππ，所以)11sin 1222ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠=⨯+⨯ A 正确；因为BD BC =，所以4A π=，设ABC 的外接圆半径是R ，由正弦定理，2sin BC R A==所以R ，故B 错误；因为BD BC =，由正弦定理,sin sin sinsin 66ADAB CD BCADB BDC ==∠∠ππ，因为ADB ∠和BDC ∠互补，所以sin sin ADB BDC ∠=∠，所以12AD AB DC BC ==，故C 正确；设A θ∠=，则2,36C BDC ∠=-∠=+ππθθ，因为,sin sin sin sin BD AB BD BCA ADBC BDC==∠∠，所以2sin 2sin 662sin sin 3AB BC ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=+=⎛⎫- ⎪⎝⎭ππθθπθθ若90θ=，则AB BC +=若()()0,9090,180∈θ，则11tan tan AB BC +=+θ1tan =t θ，(),00,3t ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，)21t AB BC t t +=+++33≥+=，当且仅当)13+3t =或t=tan θ=或tan θ=，故3πθ=或56πθ=（舍去），综上：当ABC 为等边三角形时，AB BC +，故D 正确.故选：ACD.解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.三、填空题13．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos c A C =，则C =______.【正确答案】3π/60︒【分析】根据正弦定理，结合同角三角函数的关系求解即可【详解】由正弦定理可得，sin sin cos C A A C ，又sin 0A ≠，故sin C C =，又显然cos 0C ≠，故tan C =()0,C π∈，故3C π=故3π14．设z 为复数，若(1i)z +为实数（i 为虚数单位），则|2|z +的最小值为___________.【分析】设()i ,z a b a b R =+∈，根据(1i)z +为实数（i 为虚数单位），得到=-b a ，再利用复数的模求解.【详解】解：设()i ,z a b a b R =+∈，则()()(1i ,)i +=-++∈a z a b b b a R ，因为(1i)z +为实数（i 为虚数单位），所以0a b +=，即=-b a ，所以|2|+=z当1a =-时，min |2|+z ，15．半径为4的球的球面上有四点,,,A B C D ，已知ABC 为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为________.【正确答案】【分析】根据题意，设ABC 的中心为O '，三棱锥D ABC -外接球的球心为O ，进而得当体积最大时，点D ，O '，O 在同一直线上，且垂直于底面ABC ，再结合几何关系计算即可求解.【详解】设ABC 的中心为O '，三棱锥D ABC -外接球的球心为O ，则当体积最大时，点D ，'O ，O 在同一直线上，且垂直于底面ABC ，如图，因为ABC 为等边三角形且其面积为93，所以ABC 的边长x 23934=6x =，所以'3AO =4DO AO ==，故22'16122OO AO AO '=-=-=，故三棱锥的高6DO DO OO ''=+=，所以19361833V =⨯=故18316．已知平面向量a ，b ，c 满足1a = ，2b = ，2a a b =⋅ ，22c b c =⋅，则22c a c b -+- 的最小值为________.【正确答案】732【分析】令OA a = ，OB b = ，OC c = ，OB 的中点为D ，AB 的中点为E ，OD 的中点为F ，a 与b的夹角为θ，由题意，计算π3θ=，3AB = C 的轨迹为以OD 为直径的圆，利用向量基底表示，将()()222222+=+-- c b BC a AC c 转化为()222243-+-=+ c b CE c a ，然后转化为圆上任意一点到定点距离的最小值进而求解()222+--c ab c 最小值.【详解】令OA a = ，OB b = ，OC c =，OB 的中点为D ，AB 的中点为E ，OD 的中点为F ，a 与b的夹角为θ，连接CA 、CB 、CD 、CO 、EF .由1a = ，2b = ，2a a b =⋅ ，得112cos θ=⨯⨯，1cos 2θ=，因为[]0,πθ∈，所以π3θ=，在OAB 中，由余弦定理得3AB = .又由22c b c =⋅，得02⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭b c c ，即()0OC OC OD OC DC ⋅-=⋅= ，所以点C 的轨迹为以OD 为直径的圆.因为()()222222+=+-- c b BCa AC c 2222112422EC AB EC AB CE AB⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦uu ur uu u r uu u r uu u r uur uu ur 222114343437222CE EF ⎫⎛⎫=+≥-+≥-+=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当点C 、E 、F 共线，且点C 在点E 、F 之间时，等号成立.所以22c a c b -+-的最小值为72故答案为.72本题解题关键是通过平面向量的几何表示，将问题转化为圆上任意一点到定点距离的最值从而根据几何知识得解.四、解答题17．已知向量1,2m ⎛= ⎝⎭，(),cos sin x n x = ．(1)若m∥n，求tan x 的值；(2)若13m n ⋅= 且π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos x 的值．【正确答案】(1)(2)16+.【分析】（1）由两向量平行可得1sin 2x x =，即可得tan x 的值；（2）由13m n ⋅= 可得π1cos()33x +=，进而可得πsin()33x +=，最后利用ππcos cos[()]33x x =+-求解【详解】（1）解：因为m ∥n ，所以1sin 22x x =-，即sin x x =，所以tan x =（2）解：因为13m n ⋅= ，即11cos sin 23x x =，所以π1cos()33x +=，又因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π,336x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πsin()33x +==，所以ππππππ1cos cos[()]cos()cos sin()sin 3333336x x x x +=+-=+++=18．如图所示，现有一张边长为10cm 的正三角形纸片ABC ，在三角形的三个角沿图中虚线剪去三个全等的四边形11ADA F ，11BD B E ，11CE C F （剪去的四边形均有一组对角为直角），然后把三个矩形111A B D D ，111B C E E ，111A C FF 折起，构成一个以111A B C 为底面的无盖正三棱柱．(1)若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为3，求该三棱柱的高；(2)求所折成的正三棱柱的表面积为【正确答案】(1)()103c m3(2)123cm 【分析】（1）设出1A D ,表达出11A B ,利用正三棱柱的底面边长与高之比求出1A D 的长，即为该三棱柱的高；（2）设出1A D ,表达出11A B ,表达出所折成的正三棱柱的表面积，求出1A D 的长，进而求出该三棱柱的【详解】（1）由题意及几何知识得，设1A D x =,则AD =，1110A B =-.因为1113A B A D =，所以()1033x =，∴该三棱柱的高为()103c m 3.（2）由题意，（1）及几何知识得，正三棱柱的表面积为设1A D x =,则AD =，1110A B =-，∴表面积())2211113310221644S A D DD B x =⋅+=⋅-+-=解得：x =∴1A D =，3AD ==，11104A B =-=∴该三棱柱的体积为：22111412V B A D =⋅=⨯3cm 19．已知θ为三角形的一个内角，复数cos isin z θθ=+，且满足11z +=．(1)求21z z ++；(2)设z ，2z -，21z z ++在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求ABC 的面积．【正确答案】(1)0(2)2【分析】（1）由11z +=求出cos θ，得出z ，再由复数的四则运算求21z z ++；（2）求出复数对应复平面上点的坐标，计算三角形的边长，利用三角形面积公式求解.【详解】（1）1(cos 1)isin z θθ+=++ 且11z +=，22(cos 1)sin 22cos 1θθθ∴++=+=，1cos 2θ∴=-且(0,π)θ∈，1sin 2z θ∴==-，213144222z ∴=--=--，21111i 02222z z ∴++=-+--=.（2）复数12z =-，122(12z -=---=+，210z z ++=，在复平面上对应的点分别为1((0,0)2A B C -，1CA ∴=，2CB =，AB =由余弦定理可得2221431cos 2222CA CB AB ACB CA CB +-+-∠===⋅⨯，且(0,π)ACB ∠∈，sin 2ACB ∴∠=，11sin 1222ABC S CA CB ACB ∴=⋅⋅∠=⨯⨯△20．已知函数()x xk f x a ka -=+（Z k ∈，0a >且1a ≠）.(1)若11()32f =，求1(2)f 的值；(2)若()k f x 为定义在R 上的奇函数，且01a <<，是否存在实数m ，使得()21(5)k k f mx mx f m --+->0对任意的[1,3]x ∈恒成立，若存在，请写出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)47；(2)存在，6(,)7-∞.【分析】(1)3，由此计算1a a +即可计算1(2)f 的值.(2)由给定条件求出k ，再探求函数()k f x 的单调性，然后脱去函数对应法则，分离参数并求出函数最值作答.【详解】（1）依题意，1()x xf x a a -=+，由11()32f =3=，两边平方得129a a ++=，解得17a a+=，所以22211(2)()247f a a a a-=+=+-=.（2）因()k f x 为定义在R 上的奇函数，则R x ∀∈，()()0k k f x f x -+=，即0x x x x a ka a ka --+++=，则(01)()x x k a a -++=，而0x x a a -+>，解得1k =-，因此，()1x xf x a a --=-，因01a <<，则x a 在R 上单调递减，x a -在R 上单调递增，从而得()1x xf x a a --=-在R 上单调递减，()()()()()2211111150155f mx mx f m f mx mx f m f m -------+->⇔-->--=-2215(1)6mx mx m x x m --<-⇔-+<⇔，而22131(024x x x -+=-+>，则261m x x <-+，依题意，[1,3]x ∀∈，261m x x <-+成立，显然21x x -+在[1,3]上单调递增，261x x -+在[1,3]上单调递减，则当3x =时，min2166()7x x =-+，于是得67m <，所以存在实数m 满足条件，m 的取值范围是6(,)7-∞.21．已知ABC 满足()22sin sin 2sin sin sin C B A A C B -=-．(1)试问：角B 是否可能为直角？请说明理由；(2)若ABC 为锐角三角形，求sin sin CA的取值范围．【正确答案】(1)角B 不可能为直角，理由见解析(2)15,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）使用反证法，假设角B 为直角，根据题目条件证明假设不成立，得到角B 不可能为直角；（2）将sin sin CA的取值范围转化为sin (0)sin C c t t A a ==>的取值范围，通过ABC 为锐角三角形，列出关于t 的不等式，进而求得结果.【详解】（1）假设角B 为直角，则π2A C +=，所以sin cos ,sin cos A C C A ==，因为()22sin sin 2sin sin sin C B A A C B -=-，所以2cos cos 2sin cos 1A A A A =-，所以1cos2sin21A A +=-，所以πsin 24A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭显然πsin 214A ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，所以矛盾，故假设不成立，所以角B 不可能为直角．（2）因为()22sin sin 2sin sin sin C B A A C B -=-，所以22sin sin cos 2sin cos sin 2sin sin sin C B A C B A A C B -=-，由正弦定理，得22cos 2cos 2bc A ac B ac b -=-，由余弦定理化简，得22322b ac a =+，因为ABC 为锐角三角形，所以π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩222222222cos 00cos 00,cos 00A b c a B a c b C a b c ⎧⎧>+->⎪⎪⇒>⇒+->⎨⎨⎪⎪>+->⎩⎩令sin (0)sin C ct t A a ==>，则有222321032103250t t t t t t ⎧+->⎪-+>⇒⎨⎪-++>⎩113R 513t t t t ⎧><-⎪⎪∈⎨⎪⎪-<<⎩或1533t ⇒<<，所以sin sin C A 的取值范围为15,33⎛⎫⎪⎝⎭．22．如图所示ABC 的两边1BC =，2AC =，设G 是ABC 的重心，BC 边上的高为AH ，过G 的直线与AB ，AC 分别交于E ，F ，已知AE AB λ= ，AF AC μ=；(1)求11λμ+的值；(2)若1cos 4C =，920AEF ABC S S =△△，λμ>，求()()EH AF HF EA +⋅+ 的值；(3)若BF CE ⋅ 的最大值为518-，求边AB 的长.【正确答案】(1)3(2)321100-(3)2或15【分析】（1）利用重心的性质以及三点共线的充要条件即可求解（2）先解出λ与μ，再利用解三角形的知识求出EF 和AH ，最后将()()EH AF HF EA +⋅+ 化简即可求解（3）以AB 和AC为基底表示BF CE ⋅ ，引入参数1,22t λη⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，通过分类讨论求解【详解】（1）1AE AB AB AE λλ=⇒= ，1AF AC AC ABμμ=⇒=如图所示，连接AG 并延长交BC 于点D ，则D 为BC 中点因为G 为ABC 重心所以()22111113323333AG AD AB AC AB AC AE AF λμ⎡⎤==+=+=+⎢⎥⎣⎦因为AG ，A E，AF 起点相同，终点共线所以11133λμ+=，所以113λμ+=（2）设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∴1a =，2b = 22212cos 1421244c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=2c ∴=()11sin sin 22AEF S AE AF EAF AB AC EAF λμ=⨯⨯∠=⨯⨯∠△1sin 2ABC S AB AC BAC =⨯⨯∠△所以920AEF ABC S S λμ∆==△,由113920λμλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解之得3435λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩33362,24255AE AF ∴=⨯==⨯=在ABC 中2227cos 28b c a A bc +-==在AEF △，222272cos 50EF AE AF AE AF A =+-⨯⨯=,在Rt AHC，中sin AH AC C =⨯=EH AF AH AE AF AH EF +=-+=+ HF EA AF AH AE EF AH+=--=- ()()()()22EH AF HF EA EF AH EF AH EF AH ∴+⋅+=+⋅-=- =2715504-=321100-（3）()()()221cos BF CE AC AB AB AC bc A c bμλλμλμ⋅=-⋅-=+-- =2231432c c λμλμ++⎛⎫+⋅--⎪⎝⎭=22235321266c c c λμ⎛⎫+---+ ⎪⎝⎭222353*********c c c λμλη⎛⎫⎛⎫+--=-++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()()222532115121818c c c λμμλ⎡⎤--⎢⎥=+-+⎢⎥⎣⎦令1,22t λη⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，BF CE ∴⋅= ()()2221511532121818c c t c t ⎡⎤+--+-⎢⎥⎣⎦3c ≤<1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()2max15218c BF CE⋅=+ 185=-，得：42452924480c c -+=解得：2c =或15②若1c <<2>()222max 15121253218182c c BF CE c ⎡⎤-⋅=+-+-⎢⎥⎣⎦ =219436c -=518-，解得：2199c =（舍去）综上可得：2c =或152023-2024学年安徽省合肥市高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．若复数()242i z a a =-+-为纯虚数，则实数a 的值为（）A ．2B ．2或2-C ．2-D ．4-【正确答案】C【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答.【详解】因为复数()242i z a a =-+-为纯虚数，则有24020a a ⎧-=⎨-≠⎩，解得2a =-，所以实数a 的值为2-.故选：C2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2cos c a B =，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【正确答案】A【分析】已知条件用正弦定理边化角，由()sin sin C A B =+展开后化简得tan tan A B =，可得出等腰三角形的结论.【详解】2cos c a B =，由正弦定理，得()sin sin 2sin cos C A B A B =+=，即sin cos cos sin 2sin cos ,A B A B A B +=∴sin cos cos sin A B A B =，可得tan tan A B =，又0π,0πA B <<<<，∴A B =，则ABC 的形状为等腰三角形.故选：A.3．某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120︒的扇形，则该圆锥的体积为（）A ．BC ．D ．π3【正确答案】D【分析】求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面半径，由勾股定理得到圆锥的高，利用圆锥体积公式求解即可.【详解】因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120︒的扇形，所以该扇形的弧长为120π32π180⨯=，设圆锥的底面半径为r ，则2π2πr =，解得：1r =，因为圆锥的母线长为3，所以圆锥的高为h =，该圆锥的体积为2211ππ1π333r h =⨯⨯=.故选：D4．ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知π4A =，a =b =B 的大小为（）A ．π6B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π3【正确答案】D【分析】根据正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin sin sin 22a Bb A B B =⨯⇒=,由于()0,πB ∈,b a >，所以B =π3或2π3,故选：D5．设点P 为ABC ∆内一点，且220PA PB PC ++=，则:ABP ABC S S ∆∆=（）A ．15B ．25C ．14D ．13【正确答案】A【分析】设AB 的中点是点D ，由题得14PD PC =-，所以点P 是CD 上靠近点D 的五等分点，即得解.【详解】设AB 的中点是点D ，∵122PA PB PD PC +==- ，∴14PD PC =- ，∴点P 是CD 上靠近点D 的五等分点，∴ABP ∆的面积为ABC ∆的面积的15.故选：A本题主要考查向量的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB BC ==，15AA =，E 为11B C 的中点，则异面直线BD 与CE 所成角的余弦值为（）A ．10B ．34C D ．13【正确答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义，利用几何法找到所成角，结合余弦定理即可求解.【详解】取11C D 的中点F ，连接EF ，CF ，11B D ，易知11EF B D BD ∥∥，所以CEF ∠为异面直线BD 与CE 所成的角或其补角.因为1112EF B D ==CE CF ====所以由余弦定理得222cos226EF EC CF CEF EF EC +-∠==⋅.故选：C7．在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台ABCD A B C D -''''是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中22AB A B ''==，2BC B C ''==，则该“刍童”外接球的表面积为（）A ．20πB ．20π3C D ．【正确答案】A【分析】根据刍童的几何性可知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为O ，根据几何关系求出外接球半径即可求其表面积．【详解】如图，连接AC 、BD 、A C ''、B D ''，设AC ∩BD ＝M ，A C ''∩B D ''＝N ，连接MN ．∵棱台ABCD A B C D -''''侧棱相等，∴易知其外接球球心在线段MN 所在直线上，设外接球球心为O ，如图当球心在线段MN 延长线上时，易得224124AC AB BC =+=+=，MC ＝2，22132A C A B B C ''''''++=，1NC '=，MN ＝1，由OC OC '=得，2222NC ON OM MC '+=+，即()()2222141141OM MN OM OM OM OM ++=+⇒++=+⇒=，故OC ＝22125OC =+=∴外接球表面积为(24π520π⋅=．如图当球心在线段MN 上时，由OC OC '=得，2222NC ON OM MC '+=+，即()()2222141141MN OM OM OM OM OM +-=+⇒+-=+⇒=-舍去，故选：A关键点睛：利用刍童的几何性确定外接球的球心是解题的关键.8．如图，直角ABC ∆的斜边BC 长为2，30C ∠=︒，且点,B C 分别在x 轴，y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方．设OA xOB yOC =+ ，（,x y ∈R ），记M OA OC =⋅，N x y =+，分别考查,M N 的所有运算结果，则A ．M 有最小值，N 有最大值B ．M 有最大值，N 有最小值C ．M 有最大值，N 有最大值D ．M 有最小值，N 有最小值【正确答案】B【分析】设OCB α∠=，用α表示出,M N ，根据α的取值范围，利用三角函数恒等变换化简,M N ，进而求得,M N 最值的情况.【详解】依题意30,2,90BCA BC A ∠==∠= ，所以1AC AB ==.设OCB α∠=，则30,090ABx αα∠=+<< ，所以()())30,sin 30Aαα++ ，()()2sin ,0,0,2cos B C αα，所以()()12cos sin 30sin 2302M OA OC ααα==+=++⋅ ，当23090,30αα+== 时，M 取得最大值为13122+=.OA xOB yOC =+ ，所以()()30sin 30,2sin 2cos x y αααα++==，所以()()30sin 302sin 2cos N x y αααα++=+=+1=，当290,45αα== 时，N 有最小值为12+.故选B.本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、多选题9．下列关于复数21iz =-的四个命题，其中为真命题的是（）A ．z 的虚部为1B ．22i z =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．2z =【正确答案】AB【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可结合选项逐一求解.【详解】()()()21i 21i 1i 1i 1i z +===+--+,故虚部为1，共轭复数为1i -，z ==()221i 2i z =+=，故AB 正确，CD 错误，故选：AB10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF ，下列说法正确的是（）A ．AC AE BF -=B ．32AE AC AD+= C ．AF AB CB CD⋅=⋅ D ．AD 在AB 上的投影向量为AB【正确答案】BCD【分析】对A ，利用向量的减法和相反向量即可判断；对B ，根据向量的加法平行四边形法则即可判断；对C ，利用平面向量的数量积运算即可判断；对D ，利用向量的几何意义的知识即可判断．【详解】连接,,,,,AE AC AD BF BD CE ，CE 与AD 交于点H ，如图所示，对于A ：AC AE AC EA EC -=+= ，显然由图可得EC 与BF为相反向量，故A 错误；对于B ：由图易得AE AC =，直线AD 平分角EAC ∠，且ACE △为正三角形，根据平行四边形法则有2AC AE AH += ，AH 与AD共线且同方向，易知EDH ，AEH △均为含π6角的直角三角形，故AH =u u u r u u r，EH u u u r u u u r ，即3AH DH =u u u r u u u u r ，所以34AD AH DH DH DH DH =+=+= ，又因为26AH DH = ，故232AH AD = ，故32AE AC AD +=，故B 正确；对于C ：设正六边形ABCDEF 的边长为a ，则22π1cos 32AF AB AF AB a ⋅=⋅=- ，22π1cos 32CB CD CB CD a ⋅=⋅=- ，所以AF AB CB CD ⋅=⋅，故C 正确；对于D ：易知π2ABD ∠=，则AD 在AB 上的投影向量为AB，故D 正确，故选：BCD ．11．有一个三棱锥，其中一个面为边长为2的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积可能是（）A ．33B ．23C ．223D ．233【正确答案】BCD【分析】分三种情况讨论，作出图形，确定三棱锥中每条棱的长度，即可求出其体积.【详解】如图所示：①若AB ⊥平面BCD ，BCD △为边长为2的正三角形，2AB =，ABD △，ABC 都是等腰直角三角形，满足题目条件，故其体积1123222sin 60323V =⨯⨯⨯⨯⨯︒=②若AB ⊥平面BCD ，ACD 为边长为2的正三角形，2AB =ABD △，ABC 都是等腰直角三角形，满足题目条件，故其体积11222232V ==③若BCD △为边长为2的正三角形，ABD △，ABC 都是等腰直角三角形，2AB BC CD AD ====，22AC =，满足题目条件，取AC 中点E ，因为BE AC ⊥，而222DE B D E B +=，所以BE DE ⊥，即有BE ⊥平面ACD ，故其体积为1122222323V =⨯⨯=故选：BCD12．如图，已知O 的内接四边形ABCD 中，2AB =，6BC =，4AD CD ==，下列说法正确的是（）A ．四边形ABCD 的面积为3B 2213C ．4BO CD ⋅=-D ．过D 作DF BC ⊥交BC 于F 点，则10DO DF ⋅=【正确答案】BCD【分析】A 选项，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出1cos 7D =-，1cos 7B =，进而求出sin ,sin B D ，利用面积公式进行求解；B 选项，在A 选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；C 选项，作出辅助线，利用数量积的几何意义进行求解；D 选项，结合A 选项和C 选项中的结论，先求出∠DOF 的正弦与余弦值，再利用向量数量积公式进行计算.【详解】对于A ，连接AC ，在ACD 中，21616cos 32AC D +-=，2436cos 24AC B +-=，由于πB D +=，所以cos cos 0B D +=，故22324003224AC AC --+=，解得22567AC =，所以1cos 7D =-，1cos 7B =，所以143sin sin 1497B D ==-=，故1143243sin 262277ABC S AB BC B =⋅=⨯⨯=1143323sin 442277ADC S AD DC D =⋅=⨯⨯⨯=，故四边形ABCD 的面积为338377+=，故A错误；对于B ，设外接圆半径为R ，则25642172sin 3437AC R B ==，故该外接圆的直径为3B 正确；对于C ，连接BD ，过点O 作OG ⊥CD 于点F ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，则由垂径定理得：122CG CD ==，由于πA C +=，所以cos cos 0A C +=，即22416163601648BD BD +-+-+=，解得BD =1cos 2C =，所以π3C =，且1cos 632CE BC C =⋅=⨯=，所以321EF =-= ，即BO 在向量CD 上的投影长为1，且EG 与CD反向，故4BO CD EG CD ⋅=-⋅=- ，故C 正确；对于D ，由C 选项可知：π3C =，故sin 6042DF CD =⋅︒=⨯= 30CDF ∠=︒，因为AD CD =，由对称性可知：DO 为∠ADC 的平分线，故1302ODF ADC ∠=∠-︒，由A 选项可知：1cos 7ADC ∠=-，显然12ADC ∠为锐角，故1cos 2ADC ∠，1sin 2ADC ∠，所以1cos cos 302ODF ADC ⎛⎫∠=∠-︒ ⎪⎝⎭11cos cos 30sin sin 302214ADC ADC =∠⋅︒+∠⋅︒=，所以cos 34101DO DF DO ODF DF ∠==⋅=⋅ ，故D 正确.故选：BCD 三、填空题13．已知向量()2,4a =r ，(),3b m = ，若a b ⊥，则m =________．【正确答案】6-【分析】依题意可得0a b ⋅=，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；【详解】因为()2,4a =r ，(),3b m = 且a b ⊥ ，所以2430a b m ⋅=⨯+⨯=，解得6m =-.故6-14．若复数()16z m i i =++所对应复平面内的点在第二象限，则实数m 的取值范围为________；【正确答案】60m -<<【分析】先化成复数代数形式得点坐标，再根据条件列不等式解得实数m 的取值范围.【详解】因为()6z m m i =++对应复平面内的点为6m m +，，又复数()16z m i i =++所对应复平面内的点在第二象限，所以06060m m m <⎧∴-<<⎨+>⎩本题重点考查复数的概念，属于基本题.复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 15．已知ABC ，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB = ，且对于AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅．若π3A =，4AC = ，则ABC 的面积为________．【正确答案】【分析】建立直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算公式，结合二次函数的性质、三角形面积公式进行求解即可.【详解】以AB 所在的直线为横轴，以线段AB 的中垂线为纵轴建立如图所示的直角坐标系，设()40AB t t =>，()2,0A t -，()2,0B t ，因为014P B AB =，所以()0,0P t ，设(),C a b ，()(),022P x t x t -≤≤，()()()()002,0,,,,0,,PB t x PC a x b P B t P C a t b =-=-==-，由()()()()2200220PB PC P B P C t x a x t a t x x a t at t ⋅≥⋅⇒--≥-⇒-+++≥ ，设()()222f x x x a t at =-++，该二次函数的对称轴为：22a tx +=，当222a tx t +=<-时，即6a t <-，则有()()222042203f t t t a t at t a t -≥⇒++++≥⇒≥-，所以无实数解，当222a tx t +=>时，即2a t >，则有()()22204220f t t t a t at t a t ≥⇒-+++≥⇒≤，所以无实数解，当2222a tt t +-≤≤时，即62t a t -≤≤，则有()()2222400a t at t a ∆=-+-+≤⇒≤⎡⎤⎣⎦，而20a ≥，所以0a =，显然此时()0,C b 在纵轴，而π3A =，所以该三角形为等边三角形，故ABC的面积为14422⨯⨯⨯=，故关键点睛：建立合适的直角坐标系，利用二次函数对称轴与区间的位置关系关系分类讨论是解题的关键.16．我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异．意思是：夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k ，则两个几何体的体积比也为k ．已知线段AB 长为4，直线l 过点A 且与AB 垂直，以B 为圆心，以1为半径的圆绕l 旋转一周，得到环体M ；以A ，B 分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N ；过AB 且与l 垂直的平面为β，平面//αβ，且距离为h ，若平面α截圆柱体N 所得截面面积为1S ，平面α截环体M 所得截面面积为2S ，我们可以求出12S S 的比值，进而求出环体M 体积为________．【正确答案】28π【分析】画出示意图的截面，结合图形可得1S 和2S 的值，进而求出圆柱的体积，乘以2π，可得环体M 的体积，得到答案.【详解】画出示意图，可得2212141S h h =-=-222ππS r r =-外内，其中(22241hr =-外，(22241r h =-内，故221161π2πS h S =-=，即1212πS S =，环体M 体积为22π2π4π8πV =⨯=柱.故28π四、解答题17．如图所示，在ABC 中D 、F 分别是BC 、AC 的中点，23AE AD = ，AB a = ，AC b = ．(1)用a ，b 表示向量AD ，BF ；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．【正确答案】(1)()12AD a b =+ ，12BF b a =- (2)证明见解析【分析】（1）由向量的线性运算法则求解；（2）用a ，b 表示向量BF 、BE ，证明它们共线即可得证．【详解】（1）∵AB a = ，AC b = ，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，。

2021－2021学年度第一学期高一年级期中教学质量检测数学试卷合肥市第十一中学教科室命题中心命制温馨提示：1.本试卷总分值150分，考试时间120分钟。

2.本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部。

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第I 卷〔选择题，共60分〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，总分值60分.每题4个选项中，只有1个选项符合题目要求.〕1.假设U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3}，那么C U (M ∪N)=( ) A.{2} B.{4}C.{1,3,4D.{1,2,3}2.. 幂函数()a f x x =图像经过经过点12,16⎛⎫⎪⎝⎭，那么指数a 的值为( ) A. 4B.14- C.14D. -43.以下各组函数中，表示同一函数的是( ) A.与B.与C. 与D. 与4.以下命题中是全称量词命题，并且又是真命题的是( )A.π是无理数B. 0x N ∃∈，使02x 为偶数C. 对任意x R ∈，都有2210x x ++>D. 所有菱形的四条边都相等5..30.3a =，0.33b =，C=0.3-3，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A.a b c <<B.c a b <<C.b a c <<D.c b a <<6.4)(3-+=bx ax x f ,假设6)2(=f ,那么=-)2(f 〔 〕 A...6 B. 10 C.14 D.-147..函数()f x =112x +⎛⎫⎪⎝⎭的图象大致为( )A. B. C. D.8..假设不等式()20f x ax x c =-+>的解集为{}21x x -<<，那么函数y=f(-x)的图象为( )A. B. C. D.9.函数213y x x =+-的值域是( )A.2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.25,24⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.25,24⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦D.2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 10.设所有被4除余数为1，2，的整数组成的集合为，即，那么以下结论中错误的选项是A.B.，那么，C.D.，，那么11.定义在R 上的函数f 〔x 〕在()2,+∞上单调递增且f(0)=0，假设f(x+2)为奇函数，那么不等式f(x)<0的解集为( )A ()(),20,4-∞-⋃ B. ()(),02,4-∞⋃ C. 〔0，4) D. ()(),20,2-∞-⋃. 12. 函数满足：对任意，恒有成立；当时，假设，那么满足条件的最小的正实数a 的值为A.100B. 28C. 34D. 36第二卷〔非选择题，共90分〕二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，总分值20分，把答案填在题中的横线上.〕 13. 假设正实数x ，y 满足211x y +=，恒有227x y m m +>+，那么实数m 的取值范围14.假设函数()f x 的的定义域为(]0,4，那么函数f(x 2)-f(x+1)的定义域是15.设函数，假设()1f x >，那么的取值范围是________．16.函数f(x)=min{2,2x x -}，其中min{a,b}=()()a a b b a b ⎧≤⎪⎨>⎪⎩，，，假设动直线：y=m 与函数y=f(x) 的图像有三个不同的交点，那么实数m 的取值范围是______________．三、解答题〔本大题共6小题，总分值70分.解答题应写出文字说明及演算步骤.〕 17.〔本小题总分值10分〕求值：；解不等式：．18．〔本小题总分值12分〕()f x 为定义在R 上的奇函数，且0≥x 时，()22=-+f x x x .〔1〕求0<x 时，函数()f x 的解析式； 〔2〕写出函数()f x 的单调区间〔不需证明〕. 19.〔本小题总分值12分〕p ：，q ：．假设p 是真命题，求对应x 的取值范围； 假设p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．20.〔本小题总分值12分〕幂函数f(x)=(m-1)2243m m X -+〔m R ∈〕在()0,+∞上单调递增．〔1〕.求m 值及f(x)的解析式；〔2〕.假设函数()()23g 21x f x ax =-++a -在[0,2]上的最大值为3，求实数a 的值． 21.〔本小题总分值12分〕一个生产公司投资A 生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元，该公司通过引进先进技术，在A 生产线上的投资减少了x 万元，且每万元的利润提高了0.5x%；假设将少用的x 万元全部投入B 生产线，每万元创造的利润为1.5(a-13x 1000)万元，其中a>0．(1)假设技术改良后A ．生产线．．．的利润不低于原来A 生产线的利润，求x 的取值范围； (2)假设B 生产线的利润始终不高于技术改良后A 生产线的利润，求a 的最大值． 22.〔本小题总分值12分〕定义在R 上的函数f(x)满足对任意,x y R ∈,恒有f 〔xy 〕=f(x)+f(y)且f(x)不恒为0．求f(1)和f(-1)的值；()()()()()()xx x f x xx x f x f x f x f x x x f x x 20220-,0222+=<∴+=∴-=-∴--=-∴><时，为奇函数，又则设 ()()[][)()()[](]()[](][)∞+∞∴∞∴-=+=<∞+∴=+-=≥，，，，单调递减区间为的单调递增区间为综上，，，单调递减区间为的单调递增区间为对称轴方程为时，，，单调递减区间为的单调递增区间为，对称轴方程为时，11--1,1-1--0,1-12011,012022x f x f x x x x f x x f x x x x f x 试判断f(x)的奇偶性，并加以证明；假设x ≥0时,f(x)为增函数，求满足不等式f(x+1)-f(2-x)≤0的x 的取值集合．答案第I 卷〔选择题，共60分〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，总分值60分.每题4个选项中，只有1个选题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDCDAACACBBD二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，总分值20分，把答案填在题中的横线上.〕 13.14.15.16.三、解答题〔本大题共6小题，总分值70分.解答题应写出文字说明及演算步骤.〕 17．〔本小题总分值10分〕 解：原式；-----------分原不等式可化为：，由函数在R 上单调递增可得，解得；故原不等式的解集为；---------分18、〔本小题总分值12分〕 〔6分〕〔1〕-----------(6分)(2)-----------(12分)19〔本小题总分值12分〕解：：是真命题，，，解得，的取值范围是；-----------分由知：p：，q：，p是q的必要不充分条件，当a>2时，q：，故满足，即，当时，q：，满足条件；当时，q：，故满足，即．综上所述a的取值范围是．-----------(12分)20〔本小题总分值12分〕解：幂函数在上单调递增，故：解得：．故：．-----------分由于．所以：函数，，函数为开口方向向下的抛物线，对称轴为．由于在上的最大值为3，当时，在上单调递增，故：，解得．当时，在上单调递减，故：，解得：．当时，在上单调递增，在上单调递减，故：，解得：舍去或舍去，综上所述：．-----------(12分)21〔本小题总分值12分〕解：由题意得：，整理得：，故．-----------分由题意知，生产线B的利润为万元，技术改良后，生产生A的利润为万元，那么恒成立，，且，．又，当且仅当时等号成立，，的最大值为．-----------(12分)22.〔本小题总分值12分〕解：令，得，，令，得，-----------(4分)是偶函数，证明如下：令，那么，是偶函数．-----------(8分)由式得式，由得，函数是偶函数，那么不等式等价为，时为增函数，不等式等价为，平方得，即，即，即满足不等式的x取值集合为．-----------(12分)。