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例说常用三角恒等变换技巧
【摘要】
解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。本文结合三角函数问题中常见的“角的差异、函数名的差异和运算种类的差异”等特点，从“角变换
技巧”、“名变换技巧”、“常数变换技巧”、“边角互化技巧”、“升降幂变换技巧”、
“公式变用技巧”、“辅助角变换技巧”、“换元变换技巧”、“万能置换技巧”九个方面解读
三角恒等变换的常用技巧。【关键词】 三角 公式 恒等变换 技巧
解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。
三角恒等变换的公式很多，主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、半角公式”、“辅助角公式（化一公式）”、“万能置换公式”等，这些公式间一般都存在三种差异，如角的差异、函数名的差异和运算种类的差异，只有灵活有序地整合使用这些公式，消除差异、化异为同，才能得心应手地解决问题，这是三角问题的特点，也是三角问题“难得高分”的根本所在。本文从九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。
1 “角变换”技巧
角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。
例1 已知
，
，求
的值。
【分析】考虑到“已知角”是，而“未知角”是和，注意到
，可
直接运用相关公式求出
和。
【简解】因为
，所以，
又因为
，所以
，
，从而
，. 原式=
.
【反思】（1）若先计算出，则在计算时，要注意符号的选取；（2）本题的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出和. 但很繁琐，易出现计算错误；（3）本题也可由
，运用诱导
公式和倍角公式求出。
例2 已知
，其中，求证：
【分析】所给条件中出现的“已知角”是与，涉及的“未知角”是与
，将三个角比较分析发现
，，把“未知”角转化
为两个“已知”角的代数和，然后用相关公式求解。
【简证
】
【反思】（1）以上除了用到了关键的角变换技巧以外，还用到了“弦化切”技巧.；（2）本题也可由已知直接求出与的关系，但与目标相差甚远，一是函数名称不同，二是角不同，所以较为困难；（3）善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，是有效进行角变换的
前提。常用的角变换关系还有：
，，
，
，
，等.
2 “名变换”技巧
名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“切弦互化”，但实际上，诱导公式、倍角公式和万能置换公式，平方关系也能进行名变换。
例3
已知向量，，求的定义域和值域；
【分析】易知，这是一个“切弦共存”且“单、倍角共在”的式子，因此既要通过“切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函数式更简明。
【简
解】
由
得，
，
所以，.的定义域是，值域是.
【反思】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”，变形后再进行“切化弦”求解.
例4 已知都是锐
角，且，求的值。
【分析】已知条件中，等式的右边是分式，符合和差解的正切公式特征，可考虑“弦化切”，另一方面，若是“切化弦”，则很快出现待求式，与目标很近.
【简解1】显然时，，
因为都是锐
角，所以，
所以，.
【简解2】由
得，，
设，则
，
所以，，，即.
【反思】简解1说明当分子分母都是同角的正弦、余弦的齐次式时，很容易“弦化切”；简解2很巧妙，其基本思想是整体换元后利用平方关系消元.
3 “常数变换”技巧
在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于
完善式子结构，运用相关公式求解，如
，，等.
例5 （1）求证: ；（2）化简：.
【分析】第（1）小题运用和把分子、分母都变成齐次式后进行转化；第（2）小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的的形式，有利于系统研究函数的图象与性质.
【简解】（1）左边
=
.
（2）原式
=
【反思】“1”的变换应用是很多的，如万能置换公式的推导，实际上是利用了
把整式化成分式后进行的，又如例4
中，也是利用了，把分式变成
了整式.
4 “边角互化”技巧
解三角形时，边角交互呈现，用正、余弦定理把复杂的边角关系或统一成边，运用代数运算方法求解，或统一成角，运用三角变换求解.
例6 在中，分别为角的对边，且2a sin A = (2b+c sin B + (2c+b sin C，
（1）求角的大小；
（2）若，证
明是等腰三角形.
【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身，看似复杂，但等式是关于三边长和三个角的正弦的齐次式，所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解。
【简解】（1）（角化边）由正弦定理得，
，整理得，，
所以，因为
，所以.
（2）法一：（边化角）由已知和正弦定理
得，
即
，从而，
又，所以.
所以
，是等腰三角形.
法二：由（1）知
，，代入得，，所以
，，
所以
，，是等腰三角形.
【反思】第（1）小题“化角为边”后，把已知条件转化为边的二次齐次式，符合余弦定理的结构
，第（2）小题的法一之所以“化边为角”，是因为不易把条件化为边的关系，而把条件转化为边的关系却很容易；法二的基本思路是消元后统一角，再利用“化一公式”简化方程.
