聚焦考点直线和圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的热点；试题具有一定的综合性，覆盖面大，不仅考查“三基”掌握的情况，而且重点考查学生的作图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算，以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力。在近几年的高考中，每年风格都在变换，考查思维的敏捷性，在探索中求创新。
具体来说，这些问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点问题，垂直问题，对称问题。与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等是近几年命题的新趋向。
纵观近几年高考和各类型考试，可以发现：
1．研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系。
2．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便。
3．充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用。灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题。
热点透析
题型1：直线与圆锥曲线的交点个数问题
例1已知双曲线C:2x2－y2=2与点P(1，2)
(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.
(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.
解:(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得
(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 .(*)
(ⅰ)当2－k2=0,即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点
(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时
Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)
①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.
②当Δ＞0,即k＜,又k≠±,
故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.
③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点.
综上知:当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；
当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点；
当k＞时，l与C没有交点.
(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，
则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得:2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即k AB==2
但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.
[分析]第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题.第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法——“点差法”.
易错点提醒:第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论.第二问，算得以Q为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了.
技巧与方法:涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.
热身训练1直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B。（1）求实数k的取值范围。
（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
【解】（1）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程后，整理得
。
①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，故
解得k的取值范围为
（2）设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得②假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点，则由得：，即
。
整理得。③
把②式及代入③式，化简得。
解得或（舍去）。
∴存在使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。
题型2：有关弦长问题
【例2】如图所示，已知椭圆与抛物线有公共焦点
，M是它们的一个交点，若，且。
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）是否存在过F的直线l被椭圆及抛物线截得的弦长相等，若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。
【解】（1）的焦点，
准线：，∴p=2c。设，
由，得，
由，得，
∵，
∴，∴c=2。∴，代入，解得，
∴椭圆方程为，抛物线方程为。
（2）设直线l的方程为，与联立，得。
。
将l的方程与椭圆方程联立，得：
∴
由。
∴存在直线l，其方程为：
或。
题型3：与中点弦有关的问题
【例3】已知双曲线方程。
（1）过M（1，1）的直线交双曲线于A、B两点，若M为弦AB中点，求直线AB 的方程。
（2）是否存在直线l，使为l被双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。
【解】本题涉及弦的中点问题，可以选用差分法解决。
（1）设，则，
则有①
②
①-②得。
∵，∴。
若，由知，则点A、B均不在双曲线上，与题设矛盾，∴。∴。
∴直线AB的方程为，即x-2y+1=0。
∵双曲线的一条渐近线方程为，而，
∴直线x-2y+1=0与双曲线交于两点，∴x-2y+1=0为所求。
