(完整版)四种命题、四种命题间的相互关系
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四种命题及其关系本节课主要讲解了命题的概念及其结构,命题是能够判断真假的陈述句,其中真命题为真实陈述,假命题为虚假陈述。
需要注意的是,不是任何语句都是命题,只有能够判断真假的陈述句才是命题。
命题通常可以改写成“若p,则q”的形式,其中p为命题的条件,q为命题的结论。
类型二:四种命题及其关系本节课还介绍了四种命题及其关系,包括原命题、逆命题、否命题和逆否命题。
其中,逆命题和否命题是互为逆命题的,逆否命题和原命题是互为逆否命题的。
需要注意的是,四种命题之间的真假关系并不总是有必然联系,只有互为逆否命题的两个命题同真同假。
因此,在判断命题真假时需要仔细分析其结构和关系。
本课程介绍了命题的概念和结构,以及四种命题及其关系。
命题是能够判断真假的陈述句,其中真命题为真实陈述,假命题为虚假陈述。
需要注意的是,只有能够判断真假的陈述句才是命题,而命题通常可以改写成“若p,则q”的形式,其中p 为命题的条件,q为命题的结论。
四种命题包括原命题、逆命题、否命题和逆否命题,其中逆命题和否命题是互为逆命题的,逆否命题和原命题是互为逆否命题的。
需要注意的是,四种命题之间的真假关系并不总是有必然联系,只有互为逆否命题的两个命题同真同假。
因此,在判断命题真假时需要仔细分析其结构和关系。
判断下列语句中哪些是命题,是命题的判断其是真命题还是假命题。
1) 末位是5的整数能被5整除。
2) 平行四边形的对角线相等且互相平分。
3) 两直线平行,则斜率相等。
4) 在三角形ABC中,若∠A=∠B,则sinA=sinB。
5) 余弦函数是周期函数吗?举一反三:变式1】判断下列语句是否为命题?若是,判断其真假。
1) x>1;2) 当x=1时,x>1;3) 你是男生吗?4) 求证:π是无理数。
变式2】下列语句中是命题的是()A。
|x+a|B。
{0}∈NC。
元素与集合D。
真子集变式3】判断下列语句是否是命题。
1) 这是一棵大树。
2) sin30°=1/2.3) x+1>0;4) 梯形是平行四边形。
1.1.3四种命题间的相互关系学习目标 1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.2.会利用命题的等价性解决问题.知识点一四种命题间的关系思考原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间是什么关系?答案原命题与其逆命题是互逆关系;原命题与其否命题是互否关系;原命题与其逆否命题是互为逆否关系.梳理四种命题间的关系知识点二四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系:(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.(1)两个互逆命题的真假性相同.(×)(2)原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同.(√)(3)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.(×)类型一 四种命题间的关系及真假判断例1 判断下列命题的逆命题、否命题与逆否命题的真假. (1)若ab ≤0,则a ≤0或b ≤0; (2)若a 2+b 2=0,则a ,b 都为0. 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假解 (1)逆命题:若a ≤0或b ≤0,则ab ≤0.它为假命题. 逆否命题:若a >0且b >0,则ab >0.它为真命题.所以原命题的逆命题与否命题为假命题,逆否命题为真命题.(2)原命题与其逆命题“若a ,b 都为0,则a 2+b 2=0”均为真命题,所以原命题的逆否命题与否命题也均为真命题.反思与感悟 互为逆否关系的两个命题真假性相同,准确判断两个命题之间的关系是解题的关键.跟踪训练1 下列命题为假命题的是( ) A .“若x 2+y 2≠0,则x ,y 不全为0”的否命题 B .“正三角形都相似”的逆命题C .“若m >0,则x 2+x -m =0有实根”的逆否命题D .“若x -2是有理数,则x 是无理数”的逆否命题 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假 答案 B解析 A 中,原命题的否命题为“若x 2+y 2=0,则x ,y 全为0”,是真命题.B 中,原命题的逆命题为“若两个三角形相似,则这两个三角形是正三角形”,是假命题.C 中,原命题的逆否命题为“若x 2+x -m =0无实根,则m ≤0”,∵方程无实根,∴Δ=1+4m <0,∴m <-14,∴原命题的逆否命题是真命题.D 中,原命题的逆否命题为“若x 不是无理数,则x -2不是有理数”,∵x不是无理数,∴x是有理数,又2是无理数,∴x-2是无理数,不是有理数,∴原命题的逆否命题是真命题.类型二 等价命题的应用例2 设m ,n ∈R ,证明:若m 2+n 2=2,则m +n ≤2. 考点 反证法逆否证法 题点 逆否证法证明 将“若m 2+n 2=2,则m +n ≤2”视为原命题, 则它的逆否命题为“若m +n >2,则m 2+n 2≠2”. 因为m +n >2,所以m 2+n 2≥12(m +n )2>12×22=2.所以m 2+n 2≠2,所以原命题得证.反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,即互为逆否命题的命题具有等价性,因此我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题.跟踪训练2 证明:若a 2-4b 2-2a +1≠0,则a ≠2b +1. 考点 反证法和逆否证法 题点 逆否证法证明 命题“若a 2-4b 2-2a +1≠0,则a ≠2b +1”的逆否命题为“若 a =2b +1,则a 2-4b 2-2a +1=0”.由a =2b +1,得a 2-4b 2-2a +1=(2b +1)2-4b 2-2×(2b +1)+1=4b 2+4b +1-4b 2-4b -2+1=0,显然原命题的逆否命题为真命题,所以原命题也为真命题.故原命题得证.1.命题“若(綈p ),则q ”的逆否命题为( ) A .若p ,则(綈q ) B .若(綈q ),则(綈p ) C .若(綈q ),则pD .若q ,则p考点 四种命题的概念 题点 按要求写命题 答案 C2.下列命题为真命题的是( ) A .命题“若x >y ,则x >|y |”的逆命题 B .命题“若x =1,则x 2>1”的否命题 C .命题“若x =1,则x 2+x -2=0”的否命题 D .命题“若x 2>1,则x >1”的逆否命题 考点 四种命题间的相互关系题点 写出四种命题利用四种命题的关系判断真假 答案 A解析 对A ,即判断:若x >|y |,则x >y 的真假,显然是真命题.3.命题“若x >1,则x >0”的逆命题是________________,逆否命题是__________________. 考点 四种命题的概念 题点 按要求写命题答案 若x >0,则x >1 若x ≤0,则x ≤1 4.有下列命题:①“若k >0,则方程x 2+2x +k =0有实根”的否命题; ②“若1a >1b ,则a <b ”的逆命题;③“梯形不是平行四边形”的逆否命题. 其中是假命题的是________. 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数 答案 ①②解析 对于①,其否命题为:若k ≤0,则方程x 2+2x +k =0无实根,显然为假命题;对于②,若a <b ,则1a >1b ,为假命题;③则为真命题,故假命题为①②.5.已知命题p :“若ac ≥0,则二次不等式ax 2+bx +c >0无解”. (1)写出命题p 的否命题; (2)判断命题p 的否命题的真假. 考点 四种命题间的相互关系题点 写出四种命题利用四种命题的关系判断真假解 (1)命题p 的否命题为:“若ac <0,则二次不等式ax 2+bx +c >0有解”. (2)命题p 的否命题是真命题.判断如下: 因为ac <0,所以-ac>0,Δ=b2-4ac>0⇒二次方程ax2+bx+c=0有实根⇒ax2+bx+c>0有解,所以该命题是真命题.写一个命题的否命题时,要对命题的条件和结论都进行否定,避免出现不否定条件,而只否定结论的错误.若由p经逻辑推理得出q,则命题“若p,则q”为真;确定“若p,则q”为假时,则只需举一个反例说明即可.一、选择题1.以下说法错误的是()A.如果一个命题的逆命题为真命题,那么它的否命题也必为真命题B.如果一个命题的否命题为假命题,那么它本身一定为真命题C.原命题、否命题、逆命题、逆否命题中,真命题的个数一定为偶数D.一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假答案 B2.一个命题和它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数不可能为()A.0 B.1C.2 D.4考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 B解析互为逆否关系的两个命题的真假性相同.3.“若x2-3x+2=0,则x=2”为原命题,则它的逆命题、否命题与逆否命题中真命题的个数是()A.0 B.1C.2 D.3考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 C解析只有其逆命题、否命题为真命题.4.若命题p的否命题为q,命题p的逆否命题为r,则q与r的关系是()A.互逆命题B.互否命题C.互为逆否命题D.以上都不正确考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假答案 A解析设p为“若A,则B”,那么q为“若綈A,则綈B”,r为“若綈B,则綈A”.故q与r为互逆命题.5.命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是()A.若x<y,则x2<y2B.若x≤y,则x2≤y2C.若x>y,则x2>y2D.若x≥y,则x2≥y2考点四种命题的概念题点按要求写命题答案 B解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系,得命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”.6.给出下列四个命题:①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④如果两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中为真命题的是()A.①②B.②③C.③④D.②④考点反证法和逆否证法题点逆否证法答案 D解析根据面面垂直的判定定理可知②是真命题;根据面面垂直的性质定理“若两个平面垂直,则在一个平面内垂直于它们的交线的直线必垂直于另一个平面”,可知④是真命题.7.原命题为“若a n+a n+12<a n,n∈N*,则{an}为递减数列”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( ) A .真、真、真 B .假、假、真 C .真、真、假D .假、假、假考点 四种命题间的相互关系 题点 利用四种命题的关系判断真假 答案 A解析 从原命题、逆命题的真假入手,a n +a n +12<a n ⇔a n +1<a n ⇔{a n }为递减数列,即原命题、逆命题都为真命题,则其逆否命题、否命题也为真命题. 8.有下列四个命题:①“若x +y =0,则x ,y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q ≤1,则x 2+2x +q =0有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题. 其中真命题为( )A .①②B .②③C .①③D .③④ 考点 四种命题间的关系题点 利用四种命题的关系判断真假 答案 C解析 ①逆命题为“若x ,y 互为相反数,则x +y =0”,真命题;②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”,假命题;③当q ≤1时,Δ=4-4q ≥0,所以原命题是真命题,其逆否命题也是真命题;④逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”,假命题.故选C. 二、填空题9.命题“若a >b ,则ac 2>bc 2(a ,b ∈R )”的否命题的真假性为________.(填“真”或“假”) 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假 答案 真解析 其否命题为:若a ≤b ,则ac 2≤bc 2,它为真命题.10.已知命题p :若a >b >0,则12log a <12log b +1,则命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为________. 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 2解析 ∵a >b >0,∴12log a <12log b ,∴命题p 为真命题,其逆命题为“若12log a <12log b +1,则a >b >0”,∵当a =2,b =2时,12log a <12log b +1成立,而a =b ,∴逆命题为假命题.∵原命题与其逆否命题的真假相同,逆命题与否命题互为逆否命题, ∴命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2.11.在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是________.(只填序号) 考点 四种命题间的相互关系 题点 利用四种命题的关系判断真假 答案 ②解析 ①的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.我们用正方体AC 1为模型来观察:上底面A 1B 1C 1D 1中任何三个顶点都不共线,但A 1,B 1,C 1,D 1四点共面,所以①的逆命题是假命题.②的逆命题是:若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点.易知其是真命题. 三、解答题12.判断下列命题的真假.(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形; (2)若x ∉A ∩B ,则x ∉A 且x ∉B ; (3)若x 2+y 2≠0,则xy ≠0. 考点 四种命题间的相互关系 题点 利用四种命题的关系判断真假解 (1)该命题的逆否命题是“若一个四边形是等腰梯形,则它的对角线相等”,它为真命题,故原命题为真.(2)该命题的逆否命题是“若x ∈A 或x ∈B ,则x ∈A ∩B ”,它为假命题,故原命题为假. (3)该命题的逆否命题是“若xy =0,则x 2+y 2=0”,它为假命题,故原命题为假. 13.判断命题:“若b ≤-1,则关于x 的方程x 2-2bx +b 2+b =0有实根”的逆否命题的真假.考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致,所以只需判断原命题真假即可.方程判别式为Δ=4b2-4(b2+b)=-4b,因为b≤-1,所以Δ≥4>0,故此方程有两个不相等的实根,即原命题为真,故它的逆否命题也为真.方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2-2bx+b2+b=0无实根,则b>-1”.方程判别式为Δ=4b2-4(b2+b)=-4b,因为方程无实根,所以Δ<0,即-4b<0,所以b>0,所以b>-1成立,即原命题的逆否命题为真.四、探究与拓展14.已知命题“非空集合M 中的元素都是集合P 中的元素”是假命题,那么下列命题中真命题的个数为( )①M 中的元素都不是P 的元素;②M 中有不属于P 的元素;③M 中有属于P 的元素;④M 中的元素不都是P 的元素.A .1B .2C .3D .4考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 B解析 由于“M ⊆P ”为假命题,故M 中至少有一个元素不属于P ,∴②④正确.M 中可能有属于P 的元素,也可能都不是P 的元素,故①③错误.故选B.15.已知条件p :|5x -1|>a >0,其中a 为实数,条件q :12x 2-3x +1>0,请选取一个适当的a 值,利用所给出的两个条件p ,q 分别作为集合A ,B ,构造命题“若A ,则B ”,并使得构造的原命题为真命题,而其逆命题为假命题,这样的一个原命题可以是什么? 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假解 由|5x -1|>a >0,得5x -1<-a 或5x -1>a ,即x <1-a 5或x >1+a 5. 由12x 2-3x +1>0,得2x 2-3x +1>0, 解得x <12或x >1. 为使“若A ,则B ”为真命题,而其逆命题为假命题,则需A B .令a =4,得p :x <-35或x >1, 满足题意,故可以选取a =4,此时原命题是“若|5x -1|>4,则12x 2-3x +1>0”.。
四种命题四种命题间的相互关系1、四种命题的概念,写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联系。
3、会用命题的等价性解决问题。
【核心扫描】:1、结合命题真假的判定,考查四种命题的结构。
(重点)2、掌握四种命题之间的相互关系。
(重点)3、等价命题的应用。
(难点)1、四种命题的概念(1) 互逆命题:对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫原命题,另一个叫做原命题的逆命题。
若原命题为“若p,则q”则逆命题为“若q,则P”(2) 互否命题:对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,这样的两个命题叫做互否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的否命题。
也就是说,若原命题为若p,则q”则否命题为若非p,则非q。
(3) 互为逆否命题:对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,这样的两个命题叫做互为逆否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆否命题•也就是说,若原命题为若p,则q”,则逆否命题为若非q,则非p。
任何一个命题的结构都包含条件和结论,通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题,因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题的相互关系3、四种命题的真假性(1)四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况:⑵四种命题的真假性之间的关系:①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.在四种命题中,真命题的个数可能会有几种情况?因为原命题与逆否命题,逆命题和否命题互为逆否命题,它们同真同假,所以真命题的个数可能为0, 2, 4.一般地,用p和q分别表示原命题的条件和结论,用非p和非q分别表示p与q的否定,则四种命题的形式可表示为:原命题:若P,则q;逆命题:若q,则p;否命题:若非P,则非q;逆否命题:若非q,则非p.(1) 关于四种命题也可叙述为:①交换命题的条件和结论,所得的新命题就是原命题的逆命题;②同时否定命题的条件和结论,所得的新命题就是原命题的否命题;③交换命题的条件和结论,并且同时否定,所得的新命题就是原命题的逆否命题.(2) 已知原命题,写出它的其他三种命题:首先,将原命题写成若p,则q”的形式,然后找出条件和结论,再根据定义写出其他命题。
四种命题四种命题间的相互关系1、四种命题的概念,写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联系。
3、会用命题的等价性解决问题。
【核心扫描】:1、结合命题真假的判定,考查四种命题的结构。
(重点)2、掌握四种命题之间的相互关系。
(重点)3、等价命题的应用。
(难点)1、四种命题的概念(1)互逆命题:对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫原命题,另一个叫做原命题的逆命题。
若原命题为“若p,则q”,则逆命题为“若q,则P”。
(2)互否命题:对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,这样的两个命题叫做互否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的否命题。
也就是说,若原命题为“若p,则q”则否命题为“若非p,则非q”。
(3)互为逆否命题:对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,这样的两个命题叫做互为逆否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆否命题.也就是说,若原命题为“若p,则q”,则逆否命题为若非q,则非p。
任何一个命题的结构都包含条件和结论,通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题,因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题的相互关系(2)四种命题的真假性之间的关系:①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.在四种命题中,真命题的个数可能会有几种情况?因为原命题与逆否命题,逆命题和否命题互为逆否命题,它们同真同假,所以真命题的个数可能为0,2,4.一般地,用p和q分别表示原命题的条件和结论,用非p和非q分别表示p与q的否定,则四种命题的形式可表示为:原命题:若P,则q;逆命题:若q,则p;否命题:若非P,则非q;逆否命题:若非q,则非p.(1)关于四种命题也可叙述为:①交换命题的条件和结论,所得的新命题就是原命题的逆命题;②同时否定命题的条件和结论,所得的新命题就是原命题的否命题;③交换命题的条件和结论,并且同时否定,所得的新命题就是原命题的逆否命题.(2)已知原命题,写出它的其他三种命题:首先,将原命题写成“若p,则q”的形式,然后找出条件和结论,再根据定义写出其他命题。
然后,对于含有大前提的命题,在改写时大前提不动。
如“已知a,b为正数,若a>b,则|a|>|b|”中,“已知a,b为正数”在四种命题中是相同的大前提,写其他命题时都把它作为大前提。
原命题为真,它的逆命题不一定为真;原命题为真,它的否命题不一定为真;原命题为真,它的逆否命题一定为真;原命题的逆命题为真,它的否命题一定为真???四种命题的等价关系的应用:判断某个命题的真假,如果直接判断不易,可转化为判断它的逆否命题的真假。
例如带有否定词的命题真假的判断。
因此,证明某一问题时,若直接证明不容易入手,可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.四种命题之间的转换【例1】写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题.(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于平面;(2)如果x>10,那么x>0;(3)当x=2时,x2+x-6=0.思路探索:可先分清命题的条件和结论,写成“若p,则q”的形式,再写出逆命题、否命题和逆否命题。
解:(1)逆命题:如果直线垂直于平面,那么直线垂直于平面内的两条相交直线;否命题:如果直线不垂直于平面内的两条相交直线,那么直线不垂直于平面;逆否命题:如果直线不垂直于平面,那么直线不垂直于平面内的两条相交直线.(2)逆命题:如果x>0,那么x>10;否命题:如果x≤10,那么x≤0;逆否命题:如果x≤0,那么x≤10.(3)逆命题:如果x2+x-6=0,那么x=2;否命题:如果x≠2,那么x2+x-6≠0;逆否命题:如果x2+x-6≠0,那么x≠2.规律方法:1、写命题的四种形式时,首先要找出命题的条件和结论,然后写出命题的条件的否定和结论的否定,再根据四种命题的结构写出所求命题。
2、在写命题时,为了使句子更通顺,可以适当的添加一些词语,但不能改变条件和结论。
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题。
(1)垂直于同一平面的两直线平行;(2)若m·n<0,则方程mx2-x+n=0有实根.解(1)逆命题:如果两条直线平行,那么这两条直线垂直于同一个平面.否命题:如果两条直线不垂直于同一平面,那么这两条直线不平行.逆否命题:如果两条直线不平行,那么这两条直线不垂直于同一平面.(2)逆命题:若方程mx2-x+n=0 有实数根,则m·n<0.否命题:若m·n≥0,则方程mx2-x+n=0 没有实数根.逆否命题:若方程mx2-x+n=0 没有实数根,则m·n≥0.题型二四种命题真假的判断【例2】有下列四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;②“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;③“若x≤-3,则x2-x-6>0”的否命题;④“同位角相等”的逆命题.其中真命题的个数是________.[思路探索] 可先逐一分清两个命题的条件和结论,再利用有关知识判断真假.解析①“若x+y≠0,则x,y不是相反数”,是真命题.②“若a2≤b2,则a≤b”,取a=0,b=-1,a2≤b2,但a>b,故是假命题.③“若x>-3,则x2-x-6≤0”,解不等式x2-x-6≤0可得-2≤x≤3,而x=4>-3不是不等式的解,故是假命题.④“相等的角是同位角”是假命题.答案1规律方法:要判断四种命题的真假:首先,要熟练四种命题的相互关系,注意它们之间的相互性;其次,利用其他知识判断真假时,一定要对有关知识熟练掌握.下列命题中是真命题的是:().A、命题“若0<log a b<1,则0<a<1<b”的逆命题B、命题“若b=3,则b2=9”的逆命题C、命题“当x=2时,x2-3x+2=0”的否命题D、命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题解析对于A,逆命题为“若0<a<1<b,则0<log a b<1”,由对数函数图象得,当0<a<1<b时,log a b<0,∴A为假;B项,逆命题是“若b2=9,则b=3”,它未必成立,因为b可能等于-3,所以B 为假;C项,否命题是“当x≠2时,x2-3x+2≠0”,因为x=1时也可以使x2-3x+2=0成立,所以为假;D项,逆否命题是“两个三角形对应角不相等,则这两个三角形不相似”,因为原命题与逆命题同真假,且原命题为真,所以逆否命题为真,故选D.答案D等价命题的应用判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集,则a≥1”的逆否命题的真假.审题指导:本题的命题意图是考查逆否命题的应用,由于原命题与它的逆否命题同真同假,所以可写出原命题的逆否命题,再判断其真假,或者由判断原命题的真假得出逆否命题的真假。
[规范解答]法一:原命题的逆否命题:已知a,x为实数,若a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.真假判断如下:3分∵抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上,判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7,6分若a<1,则4a-7<0.即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点.9分所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.故原命题的逆否命题为真.12分法二:先判断原命题的真假.因为a,x为实数,且关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集,所以Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,4分即4a-7≥0,又因为原命题与其逆否命题等价,所以逆否命题为真。
12分由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,即互为逆否命题的命题具有等价性,所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题。
判断命题“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题的真假.解∵m>0,∴12m>0,∴12m+4>0.∴方程x2+2x-3m=0的判别式Δ=12m+4>0.∴原命题“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”为真.又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题也为真.反证法的应用1、反证法的理论基础:反证法就是证明结论的反面不成立,从而证明原结论成立。
由于互为逆否命题的两个命题具有等价性,从逻辑角度看,原命题为真,则它的逆否命题也为真。
在直接证明原命题有困难时,就可转化为证明它的逆否命题成立。
2、反证法的思想方法:命题“若p,则q”的逆否命题是“若非q,则非p”,假设q不成立,即非q成立,由此进行推理,则非p一定成立,这与p成立矛盾,那么就说明“假设q不成立”为假,从而可以导出“若p,则q”为真,达到论证的目的,这就是反证法的思想方法.3、反证法证明命题的步骤:(1)反设:假设命题的结论不成立,即假设结论的否定成立;(2)归谬:从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;(3)说明:由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.否定结论是反证法的第一步,它的正确与否,对于反证法有直接影响.若a2+b2=c2,求证:a,b,c不可能都是奇数。
思路分析:可以证明原命题的逆否命题为真命题,也可以运用反证法。
法一:依题意,就是证明命题“若a2+b2=c2,则a,b,c不可能都是奇数”为真命题。
为此,只需证明其逆否命题“若a,b,c都是奇数,则a2+b2≠c2.”为真命题即可。
∵a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数。
于是a2+b2为偶数,而c2为奇数,即a2+b2≠c2。
∴原命题的逆否命题为真命题,所以原命题成立。
法二:假设a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数。
得a2+b2为偶数,而c2为奇数,即a2+b2≠c2,与a2+b2=c2矛盾。
所以假设不成立,从而原命题成立。
方法点评:上述两种证明方法的本质是一致的,只是叙述的格式不同罢了,而以什么方式表达某一数学事实,这仅是阐述理由的外在表现形式,绝不影响数学事实的本质特点。
两种方法相比较,反证法更具有“程式化”特点.注意含有否定词的命题常用反证法证明。