小题满分限时练(五)~(八)

40分写作规范限时练(五)写作(共两节，满分40分)第一节(满分15分)[2021·浙江嘉兴市测试]假定你是李华，你的英国朋友Alex即将来你校参加国际中学生汉语夏令营，请写一封电子邮件告知其相关信息，内容包括：1．表示欢迎；2．介绍活动内容；3．你的期待。

注意：1．词数80左右；2．可适当增加细节，以使行文连贯。

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限时练(一)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M ＝{x |x 2－4x ＜0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，则m ＋n 等于( ) A.9 B.8 C.7D.6解析 ∵M ＝{x |x 2－4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}， N ＝{x |m ＜x ＜5}，且M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，∴m ＝3，n ＝4，∴m ＋n ＝3＋4＝7.故选C. 答案 C2.《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( ) A.47尺 B.1629尺 C.815尺D.1631尺解析 依题意知，每天的织布数组成等差数列，设公差为d ，则5×30＋30×292d＝390，解得d ＝1629.故选B. 答案 B3.已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0相交于A ，B 两点，若△ABC 为等腰直角三角形，则m ＝( ) A.1 B.2 C.－5D.1或－3解析 △ABC 为等腰直角三角形，等价于圆心到直线的距离等于圆的半径的22.圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心到直线l 的距离d ＝|1＋m |2，依题意得|1＋m |2＝2，解得m ＝1或－3.故选D.答案 D4.多面体MN －ABCD 的底面ABCD 为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是( )A.16＋33B.8＋632C.163D.203解析 将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，如图所示，∵正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，∴四棱锥底面BCFE 为正方形，S BCFE ＝2×2＝4，四棱锥的高为2，∴V N －BCFE ＝13×4×2＝83.可将三棱柱补成直三棱柱，则 V ADM －EFN ＝12×2×2×2＝4，∴多面体的体积为203.故选D. 答案 D5.若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0，0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( )A.5π12 B.π4 C.π3D.π6解析 由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2，又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x 0＝5π12.答案 A6.已知向量a ，b 的模都是2，其夹角是60°，又OP →＝3a ＋2b ，OQ →＝a ＋3b ，则P ，Q 两点间的距离为( ) A.2 2 B. 3 C.2 3D. 2解析 ∵a ·b ＝|a |·|b |·cos 60°＝2×2×12＝2，PQ →＝OQ →－OP →＝－2a ＋b ，∴|PQ →|2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝12，∴|PQ →|＝2 3. 答案 C7.在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( ) A.45 B.60 C.120D.210解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36·C 04＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60， f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 06·C 34＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120. 答案 C8.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝( ) A.85 B.65 C.45D.25解析 由题意，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，3m ＋3，又E (X )＝5×3m ＋3＝3，∴m ＝2， 则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，35，故D (X )＝5×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝65.答案 B9.设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( ) A.192 B.11 C.12D.16解析 由双曲线定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，两式相加可得|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB |min ＝2b 2a ＝3，∴|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8≥3＋8＝11. 答案 B10.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A.c ≤3 B.3<c ≤6 C.6<c ≤9D.c >9解析 由题意，不妨设g (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，m ∈(0，3]，则g (x )的三个零点分别为x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝－1，因此有(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，则c －m ＝6，因此c ＝m ＋6∈(6，9]. 答案 C二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.把答案填在题中的横线上)11.若x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，若目标函数z ＝ax ＋3y 仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a 的取值范围为________.解析 画出关于x 、y 约束条件的平面区域如图中阴影部分所示，当a ＝0时，显然成立.当a ＞0时，直线ax ＋3y －z ＝0的斜率k ＝－a3＞k AC ＝－1，∴0＜a ＜3.当a ＜0时，k ＝－a3＜k AB ＝2，∴－6＜a ＜0.综上所得，实数a 的取值范围是(－6，3).答案 (－6，3)12.已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝8π，则{a n }前9项的和S 9＝________，cos(a 3＋a 7)的值为________.解析 由{a n }为等差数列得a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝8π，解得a 5＝8π3，所以{a n }前9项的和S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝9×8π3＝24π.cos(a 3＋a 7)＝cos 2a 5＝cos 16π3＝cos 4π3＝－12. 答案 24π －1213.函数f (x )＝4sin x cos x ＋2cos 2x －1的最小正周期为________，最大值为________.解析 f (x )＝2sin 2x ＋cos 2x ＝5sin(2x ＋φ)，其中tan φ＝12，所以最小正周期T＝2π2＝π，最大值为 5. 答案 π514.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3（x ＋1）|，－1<x ≤0，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，0<x <1，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33－1＝________，若f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，则实数a 的取值范围是________.解析 由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 333＝12，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝tan π4＝1.－1<a ≤0时，f (a )＝|log 3(a ＋1)|<1，－1<log 3(a ＋1)<1，解得－23<a <2，所以－23<a ≤0；当0<a <1时，f (a )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2a <1，0<π2a <π4，0<a <12，综上可得实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，12.答案 1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1215.已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2与圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r >0)在第一象限的一个公共点为P ，过点P 作与x 轴平行的直线分别交两圆于不同两点A ，B (异于P 点)，且OA ⊥OB ，则直线OP 的斜率k ＝________，r ＝________.解析 两圆的方程相减可得点P 的横坐标为 1.易知P 为AB 的中点，因为OA ⊥OB ，所以|OP |＝|AP |＝|PB |，又|AO |＝|OP |，所以△OAP 为等边三角形，同理可得△CBP 为等边三角形，所以∠OPC ＝60°.又|OP |＝|OC |，所以△OCP 为等边三角形，所以∠POC ＝60°，所以直线OP 的斜率为 3.设P (1，y 1)，则y 1＝3，所以P (1，3)，代入圆O ，解得r ＝2.答案3 216.已知偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，若区间[－1，3]上，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有3个零点，则实数k 的取值范围是________.解析 根据已知条件知函数f (x )为周期为2的周期函数；且x ∈[－1，1]时，f (x )＝|x |；而函数g (x )的零点个数便是函数f (x )和函数y ＝kx ＋k 的交点个数. ①若k ＞0，如图所示，当y ＝kx ＋k 经过点(1，1)时，k ＝12；当经过点(3，1)时，k ＝14，∴14＜k ＜12.②若k ＜0，即函数y ＝kx ＋k 在y 轴上的截距小于0，显然此时该直线与f (x )的图象不可能有三个交点，即这种情况不存在.③若k ＝0，得到直线y ＝0，显然与f (x )图象只有两个交点.综上所得，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1217.已知数列{a n }满足a 1＝－1，a 2＞a 1，|a n ＋1－a n |＝2n ，若数列{a 2n －1}单调递减，数列{a 2n }单调递增，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析 由题意得a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝－3，a 4＝5，a 5＝－11，a 6＝21，……，然后从数字的变化上找规律，得a n ＋1－a n ＝(－1)n ＋12n ，则利用累加法即得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝－1＋2－22＋…＋(－1)n 2n －1＝（－1）[1－（－2）n ]1－（－2）＝（－2）n －13.答案 （－2）n －13限时练(二)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若f (x )＝sin(2x ＋θ)，则“f (x )的图象关于x ＝π3对称”是“θ＝－π6”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析 若f (x )的图象关于x ＝π3对称，则2π3＋θ＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝－π6＋k π，k ∈Z ，此时θ的值不一定为－π6；若θ＝－π6时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π3＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，f (x )的图象关于x ＝π3对称.即“f (x )的图象关于x ＝π3对称”是“θ＝－π6”的必要不充分条件. 答案 B2.若1a ＜1b ＜0，则下列四个不等式恒成立的是( ) A.|a |＞|b | B.a ＜b C.a 3＜b 3D.a ＋b ＜ab解析 由1a ＜1b ＜0可得b ＜a ＜0，从而|a |＜|b |，b 3＜a 3，即A ，B ，C 项均不正确；a ＋b ＜0，ab ＞0，则a ＋b ＜ab ，即D 项正确. 答案 D3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC→＝b ，则AD →＝( )A.12a ＋b B.12a －b C.a ＋12b D.a －12b解析 连接CD 、OD ，∵点C 、D 是半圆弧AB 的两个三等分点，∴AC ︵＝BD ︵＝CD ︵，∴CD ∥AB ，∠CAD ＝∠DAB ＝13×90°＝30°，∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°，由此可得∠CAD ＝∠DAO ＝30°，∴AC ∥DO ，∴四边形ACDO 为平行四边形，∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .答案 A4.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝5b sin C ，且cos A ＝5cos B cos C ，则tan A 的值为( ) A.5 B.6 C.－4D.－6解析 由正弦定理得sin A ＝5sin B sin C ①，又cos A ＝5cos B cos C ②，②－①得，cos A －sin A ＝5(cos B cos C －sin B sin C )＝5cos(B ＋C )＝－5cos A ，∴sin A ＝6cos A ，∴tan A ＝6. 答案 B5.已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2 014＝( ) A.1 006×2 013 B.1 006×2 014 C.1 007×2 013D.1 007×2 014解析 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，∴a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2a 2＝2，∴a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，∴S 2 014＝2 014×2 0132＝1 007×2 013.答案 C6.北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者(编号分别是1，2，…，30号)，现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是( ) A.25 B.32 C.60D.100解析 要“确保6号、15号与24号入选并分配到同一厅”，则另外三人的编号或都小于6或都大于24，于是根据分类加法计数原理，得选取种数是(C 35＋C 36)A 22＝60. 答案 C7.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于( ) A.63 B.64 C.31D.32解析 逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.答案 A8.口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的数学期望E (X )的值是( ) A.4 B.4.5 C.4.75D.5解析 由题意知，X 可以取3，4，5，P (X ＝3)＝1C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝610＝35，所以E (X )＝3×110＋4×310＋5×35＝4.5. 答案 B9.椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba ＝( ) A.32 B.233 C.932D.2327解析 A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，AB 的中点为(x 中，y 中)，代入椭圆方程得ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，由两式相减整理得：b a ·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝ －1，即b a ·y 1－y 2x 1－x 2·y 中x 中＝－1，又y 中x 中＝y 中－0x 中－0＝32，可得b a ·(－1)·32＝－1，即ba ＝233. 答案 B10.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1D 1的中点，Q 是A 1B 1上任意一点，E 、F 是CD 上任意两点，且EF 长为定值，现有下列结论：①异面直线PQ 与EF 所成的角为定值； ②点P 到平面QEF 的距离为定值； ③直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值； ④三棱锥P －QEF 的体积为定值. 其中正确结论的个数为( ) A.0B.1C.2D.3解析 当点Q 与A 1重合时，异面直线PQ 与EF 所成的角为π2；当点Q 与B 1重合时，异面直线PQ 与EF 所成的角不为π2，即①错误；平面QEF 也是平面A 1B 1CD ，既然P 和A 1B 1CD 都是定的，所以P 到平面QEF 的距离是定值，即②正确；因为EF 是定长，Q 到EF 的距离就是Q 到CD 的距离也为定长，④也正确；当点Q 在A 1B 1上运动时，直线QP 与平面PEF 所成的角随点Q 的变化而变化，即③错误. 答案 C二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.把答案填在题中的横线上)11.α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号).解析 当m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确. 答案 ②③④12.以椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为顶点、长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是________，离心率为________.解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意得双曲线的顶点为(±3，0)，焦点为(±2，0)，所以a ＝3，c ＝2，所以b ＝1，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±33x ，离心率为e ＝c a ＝233. 答案 y ＝±33x 23313.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.解析 由图象知函数f (x )的周期为π，所以ω＝2πT ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ).把点(π，1)代入得2sin(2π＋φ)＝1，即sin φ＝12.因为|φ|<π2，所以φ＝π6. 答案 2 π614.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为________cm 3，表面积为________cm 2.解析 由三视图知该几何体为一个半球被割去14后剩下的部分，其球半径为1，所以该几何体的体积为12×34×43π×13＝π2，表面积为12×34×4π×12＋34×π×12＋2×14×π×12＝11π4. 答案π2 11π415.已知x ，y ∈R 且满足不等式组⎩⎨⎧x ≥1，2x ＋y －5≤0，kx －y －k －1≤0.当k ＝1时，不等式组所表示的平面区域的面积为________； 若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为7，则k 的值为________.解析当k ＝1时，不等式组为⎩⎨⎧x ≥1，2x ＋y －5≤0，x －y －2≤0，作出不等式组满足的平面区域如图中△ABC ，易求得A (1，3)，B (1，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，13，所以S △ABC ＝12×4×43＝83；由目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为7知⎩⎨⎧3x ＋y ＝7，2x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，则点(2，1)在kx －y －k －1＝0上，即2k －1－k －1＝0，解得k ＝2.答案 83 216.在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a 、b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ∈R ，a *0＝a ；(2)对任意a 、b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0). 关于函数f (x )＝(e x )*1e x 的性质，有如下说法：①函数f (x )的最小值为3；②函数f (x )为偶函数；③函数f (x )的单调递增区间为 (－∞，0].其中所有正确说法的序号为________.解析 依题意得f (x )＝(e x )*1e x ＝e x ·1e x ＋[(e x )*0]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x *0＝1＋e x ＋1e x ，其中x ∈R .∴f ′(x )＝e x －1e x ，令f ′(x )＝0，则x ＝0，∴函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴当x ＝0，f (0)min ＝3，即①正确，③错误.又f (－x )＝1＋e －x ＋1e－x ＝1＋e x＋1e x ＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，即②正确. 答案 ①② 17.若关于x 的方程|x |x ＋2＝kx 2有四个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.解析由于关于x的方程|x|x＋2＝kx2有四个不同的实根，x＝0是此方程的一个根，故关于x的方程|x|x＋2＝kx2有3个不同的非零的实数解.∴方程1k＝⎩⎨⎧x（x＋2），x＞0，－x（x＋2），x＜0有3个不同的非零的实数解，即函数y＝1k的图象和函数g(x)＝⎩⎨⎧x（x＋2），x＞0，－x（x＋2），x＜0的图象有3个交点，画出函数g(x)图象，如图所示，故0＜1k＜1，解得k＞1.答案(1，＋∞)限时练(三)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为α⊥β，b⊥m，α∩β＝m，b⊂β，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b；但直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B.答案 B2.已知a＝413，b＝log1413，c＝log314，则()A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.c＞b＞aD.b＞a＞c解析因为a＝413＞1，0＜b＝log1413＝log43＜1，c＝log314＜0，所以a＞b＞c，故选A.答案 A3.已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f′(x)＝12f(x)，则tan 2x的值是()A.－23 B.－43C.－34 D.34解析因为f′(x)＝cos x＋sin x＝12sin x－12cos x，所以tan x＝－3，所以tan 2x＝2tan x1－tan2x＝－61－9＝34，故选D.答案 D4.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是()A.36 cm3B.48 cm3C.60 cm3D.72 cm3解析由三视图可知，上面是个长为4，宽为2，高为2的长方体，下面是一个放倒的四棱柱，高为4，底面是个梯形，上、下底分别为2，6，高为2.所以长方体的体积为4×2×2＝16，四棱柱的体积为4×2＋62×2＝32，所以该几何体的体积为32＋16＝48，选B.答案 B5.已知x，y满足约束条件⎩⎨⎧x≥2，x＋y≤4，－2x＋y＋c≥0，目标函数z＝6x＋2y的最小值是10，则z 的最大值是( ) A.20 B.22 C.24D.26解析 由⎩⎨⎧6x ＋2y ＝10，x ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1.代入直线－2x ＋y ＋c ＝0得c ＝5，即直线方程为－2x ＋y ＋5＝0.平移直线3x ＋y ＝0，由⎩⎨⎧－2x ＋y ＋5＝0，x ＋y ＝4，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，即D (3，1)，当直线经过点D 时，直线的纵截距最大，此时z 取最大值，代入直线z ＝6x ＋2y 得z ＝6×3＋2＝20，故选A. 答案 A6.等差数列{a n }中的a 4，a 2 016是函数f (x )＝x 3－6x 2＋4x －1的极值点，则log 14a 1 010＝( ) A.12 B.2 C.－2D.－12解析 因为f ′(x )＝3x 2－12x ＋4，而a 4和a 2 016为函数f (x )＝x 3－6x 2＋4x －1的极值点，所以a 4和a 2 016为f ′(x )＝3x 2－12x ＋4＝0的根，所以a 4＋a 2 016＝4，又a 4、a 1 010和a 2 016为等差数列，所以2a 1 010＝a 4＋a 2 016，即a 1 010＝2，所以 log 14a 1 010＝－12，故选D. 答案 D7.将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1、2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( ) A.15 B.20 C.30D.42解析 四个篮球两个分到一组有C 24种，3个篮球进行全排列有A 33种，标号1、2的两个篮球分给一个小朋友有A 33种，所以有C 24A 33－A 33＝36－6＝30，故选C.答案 C8.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A.180 B.90 C.45D.360解析 依题意n ＝10，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 210的通项公式T r ＋1＝C r 10(x )10－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝ 2r C r 10x 5－52r . 令5－52r ＝0，得r ＝2.∴展开式中的常数项T 3＝22C 210＝180. 答案 A9.已知函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2，若a ∈{4，6，8}，b ∈{3，5，7}，则该函数有两个零点的概率为( ) A.13 B.23 C.59D.79解析 要使函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2有两个零点，即方程x 2－2ax ＋b 2＝0要有两个不等实根，则Δ＝16a 2－16b 2>0，即a >b ，又a ∈{4，6，8}，b ∈{3，5，7}，故a 、b 的取法共有3×3＝9种，其中满足a ＞b 的取法有(4，3)，(6，3)，(6，5)，(8，3)，(8，5)，(8，7)6种，所以所求的概率为69＝23. 答案 B10.已知点A 是抛物线y 2＝4x 的对称轴与准线的交点，点B 是其焦点，点P 在该抛物线上，且满足|P A |＝m |PB |，当m 取得最大值时，点P 恰在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( ) A.2－1 B.22－2 C.2＋1D.22＋2解析 设P (x ，y )，可知A (－1，0)，B (1，0)， 所以m ＝|P A ||PB |＝（x ＋1）2＋y 2（x －1）2＋y 2＝（x ＋1）2＋4x（x －1）2＋4x＝1＋4xx 2＋2x ＋1，当x＝0时，m ＝1；当x ＞0时，m ＝1＋4xx 2＋2x ＋1＝1＋4x ＋1x ＋2≤ 2.当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号，所以P (1，±2)，所以|P A |＝22，|PB |＝2，又点P 在以A ，B 为焦点的双曲线上，所以由双曲线的定义知2a ＝|P A |－|PB |＝22－2，即a ＝2－1，c ＝1，所以e ＝12－1＝2＋1，故选C.答案 C二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.把答案填在题中的横线上)11.△ABC 中，点M 是边BC 的中点，|AB →|＝4，|AC →|＝3，则AM →·BC →＝________.解析 AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB |2)＝12(9－16)＝－72. 答案 －7212.已知φ∈[0，π)，函数f (x )＝cos 2x ＋cos(x ＋φ)是偶函数，则φ＝________，f (x )的最小值为________.解析 因为函数f (x )为偶函数，所以cos 2x ＋cos(x ＋φ)＝cos(－2x )＋cos(－x ＋φ)，即cos(x ＋φ)＝cos(x －φ).因为φ∈[0，π)，所以x ＋φ＝x －φ，所以φ＝0，所以f (x )＝cos 2x ＋cos x ＝2cos 2x －1＋cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98，所以当cos x ＝－14时，f (x )取得最小值－98. 答案 0 －9813.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2 x ，x >0，x 2＋x ，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________，方程f (x )＝2的解为________.解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212＝－1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (－1)＝(－1)2－1＝0；当x ≤0时，由x 2＋x ＝2，解得x ＝－2，当x >0时，由log 2x ＝2，解得x ＝4.答案 0 －2或414.在数列{a n }中，如果对任意n ∈N *都有a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为等差比数列，k 称为公差比.现给出下列命题： ①等差比数列的公差比一定不为0； ②等差数列一定是等差比数列；③若a n ＝－3n ＋2，则数列{a n }是等差比数列； ④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比. 其中正确的命题的序号为________.解析 若k ＝0，{a n }为常数列，分母无意义，①正确；公差为0的等差数列不是等差比数列，②错误；a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝3，满足定义，③正确；设a n ＝a 1q n －1，则a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝a 1q n ＋1－a 1q na 1q n －a 1q n －1＝q ，④正确.答案 ①③④15.已知向量a ，b ，且|b |＝3，b ·(2a －b )＝0，则|a |的最小值为________；|t b ＋(1－2t )a |(t ∈R )的最小值为________.解析 设向量a ，b 的夹角为θ，则b ·(2a －b )＝2a ·b －b 2＝2|a ||b |cos θ－|b |2＝6|a |cos θ－9＝0，所以|a |cos θ＝32，当cos θ取得最大值1时，|a |取得最小值32；又由b ·(2a －b )＝0，得2a ·b ＝b 2＝9，所以|t b ＋(1－2t )a |2＝t 2b 2＋2a ·b (1－2t )t ＋(1－2t )2a 2＝9t 2＋9(1－2t )t ＋(1－2t )2a 2＝(4|a |2－9)t 2＋(9－4|a |2)t ＋|a |2＝(4|a |2－9)⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋94，因为|a |≥32，所以4|a |2－9≥0，所以当t ＝12时，|t b ＋(1－2t )a |2取得最小值94，所以|t b ＋(1－2t )a |的最小值为32. 答案 32 3216.罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X 为取得红球的次数，则E (X )＝________，D (X )＝________.解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，X 为取得红球(成功)的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，35，∴E (X )＝4×35＝125，D (X )＝4×35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝2425.答案 125 242517.若函数f (x )满足f (x －1)＝1f （x ）－1，当x ∈[－1，0]时，f (x )＝x ，若在区间[－1，1)上，g (x )＝f (x )－mx ＋m 有两个零点，则实数m 的取值范围是________. 解析 因为当x ∈[－1，0]时，f (x )＝x ，所以当x ∈(0，1)时，x －1∈(－1，0)，由f (x －1)＝1f （x ）－1可得，x －1＝1f （x ）－1，所以f (x )＝1x －1＋1，作出函数f (x )在[－1，1)上的图象如图所示，因为g (x )＝f (x )－mx ＋m 有两个零点，所以y ＝f (x )的图象与直线y ＝mx －m 有两个交点，由图可得m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12限时练(四)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥3}，Q ＝{x |2＜x ＜4}，则P ∩Q ＝( ) A.[3，4) B.(2，3] C.(－1.2) D.(－1，3]答案 A2.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( ) A.y ＝±14x B.y ＝±13x C.y ＝±12x D.y ＝±x答案 C3.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( ) A.14a ＋12b B.12a ＋14b C.23a ＋13bD.12a ＋23b解析 ∵AC →＝a ，BD →＝b ，∴AD →＝AO →＋OD →＝12AC →＋12BD →＝12a ＋12b ，因为E 是OD 的中点，∴|DE ||EB |＝13， ∴|DF |＝13|AB |，∴DF →＝13AB →＝13(OB →－OA →) ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12BD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AC → ＝16AC →－16BD →＝16a －16b ，AF →＝AD →＋DF →＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13b .答案 C4.将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图象，则f (x )的表达式可以是( ) A.f (x )＝－2sin xB.f (x )＝2sin xC.f (x )＝22sin 2x D.f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x )解析 将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 的图象，因为－sin 2x ＝－2sin x cos x ，所以f (x )＝－2sin x .答案 A5.设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A.若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B.若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C.若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D.若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0解析 A ，B 选项易举反例，C 中若0＜a 1＜a 2，∴a 3＞a 2＞a 1＞0，∵a 1＋a 3>2a 1a 3，又2a 2＝a 1＋a 3，∴2a 2>2a 1a 3，即a 2>a 1a 3成立. 答案 C6.在直角坐标系中，P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，Q 是第三象限内一点，|OQ |＝1且∠POQ＝3π4，则Q 点的横坐标为( ) A.－7210 B.－325 C.－7212D.－8213解析 设∠xOP ＝α，则cos α＝35，sin α＝45，x Q ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＝35·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－45×22＝－7210. 答案 A7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋π B.23＋π C.13＋2πD.23＋2π解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×1＝π＋13. 答案 A8.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎨⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( ) A.C 57⎝⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235B.C 27⎝⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135C.C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫135D.C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235 解析 S 7＝3即为7次摸球中，有5次摸到白球，2次摸到红球，又摸到红球的概率为23，摸到白球的概率为13.故所求概率为P ＝C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫135.答案 B9.设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A.±12 B.±22 C.±1D.± 2解析 不妨令B 在x 轴上方，因为BC 过右焦点F (c ，0)，且垂直于x 轴，所以可求得B ，C 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，又A 1，A 2的坐标分别为(－a ，0)，(a ，0)，所以A 1B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a ，b 2a ，A 2C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a ，－b 2a ，因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B →·A 2C →＝0， 即(c ＋a )(c －a )－b 2a ·b 2a ＝0，即c 2－a 2－b 4a 2＝0，所以b 2－b 4a 2＝0，故b 2a 2＝1，即b a ＝1，又双曲线的渐近线的斜率为±ba ，故该双曲线的渐近线的斜率为±1.答案 C10.现定义e i θ＝cos θ＋isin θ，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底，θ∈R ，且实数指数幂的运算性质对e i θ都适用，若a ＝C 05cos 5θ－C 25cos 3θsin 2θ＋ C 45cos θsin 4θ，b ＝C 15cos 4θsin θ－C 35cos 2θsin 3θ＋C 55sin 5θ，那么复数a ＋b i等于( )A.cos 5θ＋isin 5θB.cos 5θ－isin 5θC.sin 5θ＋icos 5θD.sin 5θ－icos 5θ解析 (e i θ＝cos θ＋isin θ其实为欧拉公式)a ＋b i ＝C 05cos 5θ＋C 15cos 4θ(isin θ)－C 25cos 3θsin 2θ－ C 35cos 2θ(isin 3θ)＋C 45cos θsin 4θ＋C 55(isin 5θ) ＝C 05cos 5θ＋C 15cos 4θ(isin θ)＋C 25cos 3θ(i 2sin 2θ)＋ C 35cos 2θ(i 3sin 3θ)＋C 45cos θ(i 4sin 4θ)＋C 55(i 5sin 5θ)＝(cos θ＋isin θ)5＝(e i θ)5＝e i ×5θ＝cos 5θ＋isin 5θ. 答案 A二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.把答案填在题中的横线上)11.若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________.解析 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程是x ＝－p2，双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点F 1(－2，0)，因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，所以－p2＝－2，解得p ＝2 2. 答案 2 212.计算：log 222＝________，2log 2 3＋log 4 3＝________.解析 log 222＝log 22－12＝－12，2log 23＋log 43＝232log 2 3＝2log 2332＝27＝3 3. 答案 －12 3 313.已知{a n }是等差数列，公差d 不为零.若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________.解析 由a 2，a 3，a 7成等比数列，得a 23＝a 2a 7，则2d 2＝－3a 1d ，则d ＝－32a 1.又2a 1＋a 2＝1，所以a 1＝23，d ＝－1. 答案 23 －114.函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________. 解析 由题可得f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32 ，所以最小正周期T ＝π，最小值为3－22. 答案 π3－2215.设函数f (x )＝－ln(－x ＋1)，g (x )＝⎩⎨⎧x 2 （x ≥0），f （x ） （x <0），则g (－2)＝________；函数y ＝g (x )＋1的零点是________.解析 由题意知g (－2)＝f (－2)＝－ln 3，当x ≥0时，x 2＋1＝0没有零点，当x <0时，由－ln(－x ＋1)＋1＝0，得x ＝1－e. 答案 －ln 3 1－e16.已知实数x 、y 满足⎩⎨⎧y ≤2，3x －y －3≤0，2x ＋y －2≥0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为________.解析 作出可行域如图所示：作直线l 0：3x ＋y ＝0，再作一组平行于l 0的直线l ：3x ＋y ＝z ，当直线l 经过点M 时，z ＝3x ＋y 取得最大值， 由⎩⎨⎧3x －y －3＝0，y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝2，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2，所以z max ＝3×53＋2＝7.答案 717.已知平面四边形ABCD 为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧)，且AB ＝2，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝3，则平面四边形ABCD 面积的最大值为________.解析 设AC ＝x ，在△ABC 中，由余弦定理有： x 2＝22＋42－2×2×4cos B ＝20－16cos B ， 同理，在△ADC 中，由余弦定理有： x 2＝32＋52－2×3×5cos D ＝34－30cos D ， 即15cos D －8cos B ＝7，①又平面四边形ABCD 面积为S ＝12×2×4sin B ＋12×3×5sin D ＝12(8sin B ＋15sin D )，即8sin B ＋15sin D ＝2S ，② ①②平方相加得64＋225＋240(sin B sin D －cos B cos D )＝49＋4S 2， 即S 2＝240[1－cos （B ＋D ）]4，当B ＋D ＝π时，S 取最大值230. 答案 230。

广东省廉江市实验学校2020届高三数学上学期限时训练试题（8）理（高补班）考试时间2019年10月5日 11:20-12:00（2-16班使用）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|60}A x x x =+-<，(2,2)B =-，则A C B =（ ）A ．(3,2)--B ．(3,2]--C ．(2,3)D ．[2,3)2．已知向量(1,2),(2,1),(1,)a b c λ==-=，若()a b c +⊥，则λ的值为（ ）A ．3-B ．13-C ．13D ．33．已知z 是复数z 的共轭复数，(1)(1)z z +-是纯虚数，则||z =（ ）A ．2B ．32C ．1D ．124．若3sin(2)25πα-= ，则44sin cos αα-的值为（ ） A ．45 B ．35 C ．45-D ．35-5．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人， 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务 的工作时间（单位：min ）绘制了如右茎叶图：则下列结论中表述不正确．．．的是（ ） A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟 B. 第二种生产方式比第一种生产方式效率更高 C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.EDCBA6. 函数()f x 在[0,)+∞单调递减，且为偶函数．若(12)f =-，则满足3()1x f -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．[1,5]B ．[1,3]C ．[3,5]D ．[2,2]-7.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ） A ．5003π B ．23 C.1253π D ．125238．某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为（ ） A ．6 B ．12 C ．24 D ．489. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>两焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为（ ） A 51B 51+C ．32D ．210. 右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC 为直角三角形，四边形DEFC 为它的内接正方形，记正方 形为区域Ⅰ，图中阴影部分为区域Ⅱ，在△ABC 上任取一点，此点取 自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为1p 、2p ，则（ ）A ．12p p =B ．12p p <C ．12p p ≤D ．12p p ≥11．已知△ABC 中，AB=AC=3，sin 2sin ABC A ∠= ，延长AB 到D 使得BD=AB ，连结CD ，则CD 的长为（ ） A ．33 B 310C 36D ．3612．已知函数()cos f x x π=，1()(0)2axg x e a a =-+≠，若12[0,1]x x ∃∈、，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1[,0)2-B ．1[,)2+∞C ．()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,210, D ．11[,0)(0,]22-姓名： 座位号： 班别： 总分：13、 14、 ．15、 ．16、 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“对2[1,1],310x x x ∀∈-+->”的否定是 _______； 14．在曲线()sin cos f x x x =-，(,)22x ππ∈-的所有切线中，斜率为1的切线方程为 .15．已知圆锥的顶点为S ，底面圆周上的两点A 、B 满足SAB ∆为等边三角形，且面积为又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的表面积为 .16. 已知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=上，M 00(,)x y 为PQ 的中点，且0021y x >+，则y x 的取值范围是 .递增，由()(22)1f f =-=-，则23215x x -≤-≤⇒≤≤.故选D. 法二：由3()1x f -≥-得()2)3(f x f ≥-或3()(2)x f f ≥--，即303532x x x -≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩或301332x x x -<⎧⇒≤<⎨-≥-⎩，综合得15x ≤≤. 8. 第一步：将两节数学捆在一起与语文先进行排列有22A 种排法，第二步：将物理、化学在第一步排后的3个空隙中选两个插进去有23A 种方法，根据乘法原理得不同课程安排种数为222312=A A .9.将x c =代入双曲线的方程得4222b b y y a a =⇒=±，则222b c ac c a a =⇒=-11e e⇒-=，解得e =. 10. 法一：设△ABC 两直角边的长分别为,a b ，其内接正方形的边长为x ，由x b xa b-=得abx a b=+， 则122()ab p a b =+，222122211()()ab a b p p a b a b +=-=-=++22()aba b ≥+（当且仅当a b =时取等号）．法二（特殊法）：设1,2,BC AC ==CD x =，则23x =，故12445,1999p p ==-=，从而排除A 、D ，当△ABC 为等腰直角三角形时12p p =，排除B ，故选C ． 11. 由sin 2sin ABC A ∠=结合正弦定理得1322BC AC ==，在等腰三角形ABC 中，311cos 434ABC ∠=⨯=，从而1cos 4DBC ∠=-，由余弦定理得：2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-⋅⋅∠272=，故CD =.12. 设F 、G 分别为函数()f x 与()g x 定义在区间上[0,1]上的值域，则[1,1]F =-,当a >0时，1a e >，1()()2a x g x e a =-+单调递增，当a <0时，()g x 单调递减，31[,],(0);2213[,],(0).22a a a e a a G e a a a ⎧-+-+>⎪⎪=⎨⎪-+-+<⎪⎩12[0,1]x x ∃∈、使得12()()f x g x =FG φ⇔≠()()003111122131122a a a a a e a e a a ⎧⎧⎪⎪><⎪⎪⎪⎪⇔-+≤-+≤⎨⎨⎪⎪⎪⎪-+≥--+≥-⎪⎪⎩⎩或2，因为1()2ah a e a =-+在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递减，所以3()(0)2h a h >=， 所以解得()1式12a ⇔≥，()2式⇔∅. 二、填空题解析：14.设切点为00(,)x y ，则由000'()cos sin 1f xx x =+=且0(,)22x ∈-，得00x =，01y =-，故所求的切线方程为10x y --=（或1y x =-）.15. 设圆锥母线长为l ,由SAB ∆为等边三角形，且面积为24l =⇒=，又设圆锥底面半径为r ，高为h ，则由轴截面的面积为8得8rh =，又2216r h +=，解得r =，（或设轴截面顶角为S ，则由21sin 82l S =得90S =︒，可得圆锥底面直径2r =，）故 2=1)S rl r πππ+=表.16.因直线210x y +-=与230x y ++=平行，故点M 的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，其方程为210x y ++=，即点M 00(,)x y 满足00210x y ++=，而满足不等式0021y x >+的点在直线21y x =+的上方，易得直线210x y ++=与21y x =+的交点为31(,)55--，故问题转化为求射线（不含端点）00210x y ++=（035x <-）上的点M 00(,)x y 与坐标原点(0,0)连线斜率、即00y x 的取值范围, 故0011(,)23OM y k x =∈-.。

阅读限时练(五)满分:50分时间50分钟I.完形填空(10分)Once upon a time, there was a man who loved birds very much. He wanted to 1._______ a parrot. So he went into a 2. _______ shop. There were three parrots in the shop. One was $5,000,Another one was ＄10,000.And the 3. _______ one was＄30,000. The man asked the shop owner(主人）,“How come this one is $5,000? That's so 4. _______ for this kind of parrot." The owner said, “ 5. _______ I have trained(训练）him and he can talk." Then the man asked him, “How about this one? It's $10,000.”The owner said, “Well, he can not only 6. _______,but he can do some funny actions,7. _______ jumping, dancing and so on. That's why he's so expensive.”Then the man said, “H ow about the third one? 8. _______ makes him so expensive?" The owner of the shop said, “I don't know. I have 9 . _______ heard him talk or seen him jump or dance. In fact, he can do nothing at all! But the other two10. _______ him ‘Boss(老板)’．”1.A.help B.draw C.buy D.catch2.A.pet B.gift C.book D.food3.A.fourth B.third C.second D.first4.A.expensive B.beautiful C.cheap D.popular5.A.And B.After C.Before D.Because6.A.play B.sing C.talk D.write7.A.by B.like C.for D.with8.A.What B.Which C.Who D.When9.A.sometimes ually C.always D.never10.A.read B.ask C.call D.tellII.阅读理解(20分)AA.32 Long RoadB.54 Now StreetC.603 Baker StreetD. Foxdale Park12.Linda Green may be a________.A.dancerB.writerC.cookD.cleaner13.You need to pay ________to learn how to make cakes.A.$100B.$15C.$5D.$114.Which of the following is TRUE about the last club?A. You need to go to the park.B. You must work for two hours.C. You should be 13 years old.D. You have to pay to plant a tree.15.Where may the reading come from?A.A storybook.B.A dictionary.C.A history book.D.A newspaper.BThere was a river in a country. It was home to many golden swans (金色的天鹅). Every six months, they would pay the king of the country a golden feather for using the river.One day, a homeless bird saw the river. “It looks so cool. I will make my home here,” thought the bird. When the bird flew near the river, the golden swans saw her. They shouted, “This river is ours. Wepay golden feathe rs to the king. You can't live here.”“I am homeless. I will pay, too. Please let me stay here,” the bird pled(请求）.“How will you？You don't have golden feathers. Leave at once,” said the swans. The bird pled many times, but the swans drovethe bird away.“I will teach them a lesson!” decided the bird. She went to the king and said, “Oh, King, theswans in your river are unkind. I want to live near the river, too, but they said they bought the river.”The king was angry. He asked his soldiers to bring the swans to his court. All the golden swans arrived quickly.“Do you think the river is yours? You can't decide who lives by the river. Leave the river at once, or I’ll kill you!” shouted the king.The swans were very scared. And they flew away. The bird built her home near the river and lived there happily. Many other birds also came to live by the river.16.The swans needed to pay_______ golden feather(s) to the king every year.A.oneB. twoC. threeD. six17.According to the passage, we can learn that the river _______.A. was popularB. was very longC. was the swans'D. was very dirty？A. flyB. liveC. payD. teach19.Why was the king angry?A. Because the bird was too bad.B. Because the bird didn't like the swans.C. Because the swans were not kind to the king.D .Because the swans didn't let the bird live near the river.20.Which of the following is TRUE?A. The bird liked the river.B. The bird had golden feathers, too.C. The swans returned to the river in the end.D. The king didn't let any bird live near the river.III.任务阅读(10分)阅读短文，根据短文内容，从短文后的方框中所给的七个选项中，选出能填入空白处的最佳选项。

限时练(一)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M ＝{x |x 2－2x ＜0}，N ＝{－2，－1，0，1，2}，则M ∩N ＝( ) A.∅ B.{1}C.{0，1}D.{－1，0，1}解析 ∵M ＝{x |0＜x ＜2}，N ＝{－2，－1，0，1，2}，∴M ∩N ＝{1}. 答案 B2.设(2＋i)(3－x i)＝3＋(y ＋5)i(i 为虚数单位)，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( ) A.5B.13C.2 2D.2解析 易得6＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i(x ，y ∈R ). ∴⎩⎨⎧6＋x ＝3，3－2x ＝y ＋5，∴⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝4，故|x ＋y i|＝|－3＋4i|＝5. 答案 A3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 8＝0，S 11＝33，则公差d 的值为( ) A.1B.2C.3D.4解析 ∵a 2＋a 8＝2a 5＝0，∴a 5＝0， 又S 11＝（a 1＋a 11）×112＝11a 6＝33，∴a 6＝3，从而公差d ＝a 6－a 5＝3. 答案 C4.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A.存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB.存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC.存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD.存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析 对于A ，a ∥α，a ∥β，则平面α，β可能平行，也可能相交，所以A 不是α∥β的一个充分条件.对于B ，a ⊂α，a ∥β，则平面α，β可能平行，也可能相交，所以B 不是α∥β的一个充分条件.对于C ，由a ∥b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α可得α∥β或α，β相交，所以C 不是α∥β的一个充分条件.对于D ，存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α，如图，在β内过b 上一点作c ∥a ，则c ∥α，所以β内有两条相交直线平行于α，则有α∥β，所以D 是α∥β的一个充分条件.答案 D5.设双曲线的一条渐近线为方程y ＝2x ，且一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点相同，则此双曲线的方程为( ) A.54x 2－5y 2＝1 B.5y 2－54x 2＝1 C.5x 2－54y 2＝1D.54y 2－5x 2＝1解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为点(1，0)，则双曲线的一个焦点为(1，0)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a 2＋b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝55，b ＝255，所以双曲线方程为5x 2－54y 2＝1. 答案 C6.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“4名同学所报项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目，则P (A |B )的值为( ) A.14B.34C.29D.59解析 ∵P (B )＝3344，P (AB )＝A 3344， 由条件概率P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝A 3333＝29.答案 C7.在如图所示的△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，CD 上，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，BD ＝2AD ，CE ＝2ED ，则向量BE →·AB→＝( )A.9B.4C.－3D.－6解析 根据题意，AB ＝3，BD ＝2AD ，则AD ＝1， 在△ADC 中，又由AC ＝2，∠BAC ＝60°， 则DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos ∠BAC ＝3， 即DC ＝3，所以AC 2＝AD 2＋DC 2， 则CD ⊥AB ，故BE →·AB →＝(BD →＋DE →)·AB →＝BD →·AB →＋DE →·AB →＝BD →·AB →＝3×2×cos 180°＝－6. 答案 D8.设定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (x )＝f (4－x )，且当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －e x ＋1，若a ＝f (2 022)，b ＝f (2 019)，c ＝f (2 020)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.a <b <c C.c <a <bD.b <a <c解析 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (4－x )，则f (x )的周期为4，则a ＝f (2 022)＝f (2)，b ＝f (2 019)＝f (3)＝f (4－3)＝f (1)，c ＝f (2 020)＝f (0). 又当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －e x ＋1，知f ′(x )＝1－e x <0. ∴f (x )在区间[0，2]上单调递减， 因此f (2)<f (1)<f (0)，即a <b <c . 答案 B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020·聊城模拟)已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( )A.C 的方程为x 23－y 2＝1 B.C 的离心率为 3C.曲线y ＝e x －2－1经过C 的一个焦点D.直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点解析 ∵双曲线的渐近线为y ＝±33x ，∴设双曲线C 的方程为x 23－y 2＝λ(λ≠0).又双曲线C 过点(3，2)，∴323－(2)2＝λ，解得λ＝1，故A 正确.此时C 的离心率为3＋13＝233，故B 错误.双曲线C 的焦点为(－2，0)，(2，0)，曲线y ＝e x －2－1经过点(2，0)，故C 正确.把直线方程代入双曲线C 的方程并整理，得x 2－6x ＋9＝0，所以Δ＝0，故直线x －2y －1＝0与双曲线C 只有一个公共点，所以D 错误.故选AC. 答案 AC10.(2020·青岛质检)已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ，x ∈R ，则( ) A.－2≤f (x )≤2B.f (x )在区间(0，π)上只有1个零点C.f (x )的最小正周期为πD.直线x ＝π3为函数f (x )图象的一条对称轴解析 已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈R ，则－2≤f (x )≤2，A 正确；令2x －π6＝k π，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，则f (x )在区间(0，π)上有2个零点，B 错误；f (x )的最小正周期为π，C 正确；当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin(2×π3－π6)＝2，所以直线x ＝π3为函数f (x )图象的一条对称轴，D正确.故选ACD.答案ACD11.在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的竞赛成绩(单位：分)统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列说法中正确的是()A.成绩在[70，80)的考生人数最多B.不及格的考生人数为1 000C.考生竞赛成绩的平均数约为70.5D.考生竞赛成绩的中位数约为75解析由频率分布直方图可知，成绩在[70，80)的考生人数最多，所以A正确.不及格的人数为4 000×(0.01＋0.015)×10＝1 000，所以B正确.考生竞赛成绩的平均数约为(45×0.01＋55×0.015＋65×0.02＋75×0.03＋85×0.015＋95×0.01)×10＝70.5，所以C正确.设考生竞赛成绩的中位数约为x0，因为(0.01＋0.015＋0.02)×10＝0.45<0.5，(0.01＋0.015＋0.02＋0.03)×10＝0.75>0.5，所以0.45＋(x0－70)×0.03＝0.5，解得x0≈71.7，D错误.故选ABC.答案ABC12.下列结论正确的是()A.若a>b>0，c<d<0，则一定有b c> a dB.若x>y>0，且xy＝1，则x＋1y>y2x>log2(x＋y)C.设{a n}是等差数列，若a2>a1>0，则a2>a1a3D.若x∈[0，＋∞)，则ln(1＋x)≥x－1 8x2解析对于A，由c<d<0，可得－c>－d>0，则－1d>－1c>0，又a>b>0，所以－ad>－bc，则bc>ad，故A正确.对于B，取x＝2，y＝12，则x＋1y＝4，y2x＝18，log2(x＋y)＝log 252>1，故B 不正确.对于C ，由题意得a 1＋a 3＝2a 2且a 1≠a 3，所以a 2＝12(a 1＋a 3)>12×2a 1a 3＝a 1a 3，故C 正确.对于D ，设h (x )＝ln(1＋x )－x ＋18x 2，则h ′(x )＝11＋x －1＋x 4＝x （x －3）4（x ＋1），当0<x <3时，h ′(x )<0，则h (x )单调递减，h (x )<h (0)＝0，故D不正确.故选AC. 答案 AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)与双曲线E ：x 2－y 2＝1的渐近线相切，则r ＝________.解析 ∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0.依题意，得r ＝21＋1＝1. 答案 114.已知等差数列{a n }，其前n 项和为S n .若a 2＋a 5＝24，S 3＝S 9，则a 6＝________，S n 的最大值为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析 由S 3＝S 9，得a 4＋a 5＋…＋a 9＝0，则a 6＋a 7＝0.又a 2＋a 5＝24，所以设等差数列{a n }的公差为d ，可得⎩⎨⎧a 1＋5d ＋a 1＋6d ＝0，a 1＋d ＋a 1＋4d ＝24，解得⎩⎨⎧a 1＝22，d ＝－4，所以a 6＝a 1＋5d ＝2，S n ＝－2n 2＋24n ＝－2(n －6)2＋72，故当n ＝6时，S n 取得最大值72. 答案 2 7215.若(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为20，则a ＝________. 解析 由已知得C 25·22＋a ·C 35·23＝20，解得a ＝－14. 答案 －1416.(2020·河南百校大联考)魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图所示)，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.若“牟合方盖”的体积为163，则正方体的外接球的表面积为________.解析因为“牟合方盖”的体积为163，又正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4，所以正方体的内切球的体积V球＝π4×163＝43π.则内切球的半径r＝1，正方体的棱长为2.所以正方体的体对角线d＝23，因此正方体外接球的直径2R＝d＝23，则半径R＝ 3.所以正方体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π(3)2＝12π.答案12π限时练(二)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位，复数z＝1－3i1＋i在复平面内对应的点位于()A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限解析z＝1－3i1＋i＝（1－3i）（1－i）（1＋i）（1－i）＝－1－2i，∴复数z在复平面内对应的点(－1，－2)在第三象限.答案 B2.若集合A＝{x|x(x－2)＞0}，B＝{x|x－1≤0}，则A∩(∁R B)＝()A.{x|x＞1或x＜0}B.{x|1＜x＜2}C.{x|x＞2}D.{x|x＞1}解析易知A＝{x|x＞2或x＜0}，∁R B＝{x|x＞1}，∴A∩(∁R B)＝{x|x＞2}.答案 C3.某公司一种型号的产品近期销售情况如下表：根据上表可得到回归直线方程y ^＝0.75x ＋a ^，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为( ) A.19.5万元 B.19.25万元 C.19.15万元D.19.05万元解析 易知x －＝4，y －＝16.8.∵回归直线y ^＝0.75x ＋a ^过点(4，16.8)，∴a ^＝16.8－4×0.75＝13.8，则y ^＝0.75x ＋13.8.故7月份的销售额y ^＝0.75×7＋13.8＝19.05(万元). 答案 D4.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－x 43的展开式中的常数项为( ) A.－3 2B.3 2C.6D.－6解析 通项T r ＋1＝C r 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 23－r(－x 4)r＝C r 3(2)3－r(－1)r x －6＋6r ， 当－6＋6r ＝0，即r ＝1时为常数项，T 2＝－6. 答案 D5.已知等比数列{a n }中，a 1＝2，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，且b 2＋b 3＋b 4＝9，则a 5＝( ) A.8B.16C.32D.64解析 由{a n }是等比数列，且b n ＝log 2a n ， ∴{b n }是等差数列，又b 2＋b 3＋b 4＝9，所以b 3＝3.由b 1＝log 2a 1＝1，知公差d ＝1，从而b n ＝n ， 因此a n ＝2n ，于是a 5＝25＝32. 答案 C6.(2020·青岛质检)某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”“升级题型”“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答.已知某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率是( ) A.112125B.80125C.113125D.124125解析 某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”“升级题型”“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答.某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相应独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率：P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫453＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝112125. 答案 A7.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π，且x ≠0)的图象可能为( )解析 由f (－x )＝－f (x )及－π≤x ≤π，且x ≠0判定函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，排除A ，B 选项；当x >0且x →0时，－1x →－∞，cos x →1，此时f (x )→－∞，排除C 选项，故选D. 答案 D8.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，点D 为BC 边上的一点，且BD →＝2DC →，则AB →·AD →＝( ) A.13B.23C.1D.2解析 以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示.则A (0，0)，B (3，0)，C (－1，3)，∵BD→＝2DC →，∴BD →＝23BC →＝23(－4，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，233，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，∴AD→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，AB →＝(3，0)， 所以AB →·AD→＝3×13＋0×233＝1. 答案 C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020·淄博模拟)甲、乙、丙三家企业的产品成本(万元)分别为10 000，12 000，15 000，其成本构成比例如图，则下列关于这三家企业的说法正确的是( )A.成本最大的企业是丙B.其他费用支出最高的企业是丙C.支付工资最少的企业是乙D.材料成本最高的企业是丙解析 由扇形统计图可知，甲企业的材料成本为10 000×60%＝6 000(万元)，支付工资10 000×35%＝3 500(万元)，其他费用支出为10 000×5%＝500(万元)； 乙企业的材料成本为12 000×53%＝6 360(万元)，支付工资为12 000×30%＝ 3 600(万元)，其他费用支出为12 000×17%＝2 040(万元)；丙企业的材料成本为15 000×60%＝9 000(万元)，支付工资为15 000×25%＝ 3 750(万元)，其他费用支出为15 000×15%＝2 250(万元).所以成本最大的企业是丙，其他费用支出最高的企业是丙，支付工资最少的企业是甲，材料成本最高的企业是丙.故选ABD.答案 ABD10.(2020·海南模拟)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，则下列说法正确的是( )A.φ＝π6B.函数f (x )的最小正周期为πC.函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0成中心对称D.函数f (x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12解析 由题意可知函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，B 正确；将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，所以sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以－π2＋φ＝π6，所以φ＝2π3∈(0，π)，A 错误；f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，令2x ＋2π3＝k π，k ∈Z ，则x ＝k π2－π3，k ∈Z ，C 错误；令2k π＋π2≤2x ＋2π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12，D 正确.故选BD.答案 BD11.已知实数a >b >0，则下列不等关系正确的是( ) A.b a <b ＋4a ＋4B.lga ＋b 2>lg a ＋lg b2C.a ＋1b <b ＋1aD.a －b >a －b解析 对于A ，因为b a －b ＋4a ＋4＝b （a ＋4）－a （b ＋4）a （a ＋4）＝4（b －a ）a （a ＋4），又a >b >0，所以b a <b ＋4a ＋4，故A 正确；因为lg a ＋lgb 2＝lg ab ，又a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，由a >b >0，得a ＋b 2>ab ，所以lg a ＋b 2>lg ab ，即lg a ＋b 2>lg a ＋lg b2，故B 正确；因为a ＋1b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1a ＝(a －b )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a －b )＋a －b ab ＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab ，又a >b >0，所以a ＋1b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1a >0，即a ＋1b >b ＋1a ，故C 错误；因为a >b >0，所以a－b >0，则(a －b )2＝a ＋b －2ab ，而(a －b )2＝a －b ，即(a －b )2－(a －b )2＝2b －2ab ＝2(b －ab )，又a >b >0，所以b －ab <0，所以(a －b )2<(a －b )2，即a －b <a －b ，故D 错误.故选AB. 答案 AB12.(2020·临沂模拟)已知点P 在双曲线C ：x 216－y 29＝1上，点F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点.若△PF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的是( ) A.点P 到x 轴的距离为203 B.|PF 1|＋|PF 2|＝503 C.△PF 1F 2为钝角三角形 D.∠F 1PF 2＝π3解析 由双曲线C ：x 216－y 29＝1可得，a ＝4，b ＝3，c ＝5，不妨设P (x P ，y P )，由△PF 1F 2的面积为20，可得12|F 1F 2||y P |＝c |y P |＝5|y p |＝20，所以|y P |＝4，选项A 错误.将|y P |＝4代入双曲线C 的方程x 216－y 29＝1中，得x 2P16－429＝1，解得|x P |＝203.由双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫203，4，可知|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫203－52＋（4－0）2＝133.由双曲线的定义可知|PF 1|＝|PF 2|＋2a ＝133＋8＝373，所以|PF 1|＋|PF 2|＝373＋133＝503，选项B 正确.在△PF 1F 2中，|PF 1|＝373>2c ＝10>|PF 2|＝133，且cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝－513<0，则∠PF 2F 1为钝角，所以△PF 1F 2为钝角三角形，选项C 正确.由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝319481≠12，所以∠F 1PF 2≠π3，选项D 错误.故选BC. 答案 BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.某年级有1 000名学生，一次数学考试成绩服从正态分布X ～N (105，102)，P (95≤X ≤105)＝0.34，则该年级学生此次数学成绩在115分以上的人数大约为________.解析 ∵数学考试成绩服从正态分布X ～N (105，102)，∴考试成绩关于X ＝105对称.∵P (95≤X ≤105)＝0.34，∴P (X >115)＝12×(1－0.68)＝0.16，∴该年级学生此次数学成绩在115分以上的人数大约为0.16×1 000＝160. 答案 160 14.曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________. 解析 ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2，∴y ′＝x ＋2－x （x ＋2）2＝2（x ＋2）2，∴y ′|x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋1＝0.答案 2x －y ＋1＝015.已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n >12a n＋1成立的n 的最小值为________，此时S n ＝________.(本小题第一空3分，第二空2分)解析 所有的正奇数和2n (n ∈N *)按照从小到大的顺序排列构成{a n }，在数列{a n }中，25前面有16个正奇数，即a 21＝25，a 38＝26.当n ＝1时，S 1＝1<12a 2＝24，不符合题意；当n ＝2时，S 2＝3<12a 3＝36，不符合题意；当n ＝3时，S 3＝6<12a 4＝48，不符合题意；当n ＝4时，S 4＝10<12a 5＝60，不符合题意；……；当n ＝26时，S 26＝21×（1＋41）2＋2×（1－25）1－2＝441＋62＝503<12a 27＝516，不符合题意；当n ＝27时，S 27＝22×（1＋43）2＋2×（1－25）1－2＝484＋62＝546>12a 28＝540，符合题意.故使得S n >12a n ＋1成立的n 的最小值为27. 答案 27 54616.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段BC 1上运动，有下列判断：①平面PB 1D ⊥平面ACD 1； ②A 1P ∥平面ACD 1；③异面直线A 1P 与AD 1所成角的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3；④三棱锥D 1－APC 的体积不变.其中，正确的是________(把所有正确判断的序号都填上). 解析 在正方体中，B 1D ⊥平面ACD 1，B 1D ⊂平面PB 1D ，所以平面PB 1D ⊥平面ACD 1，所以①正确.连接A 1B ，A 1C 1，如图，容易证明平面A 1BC 1∥平面ACD 1，又A 1P ⊂平面A 1BC 1，所以A 1P ∥平面ACD 1，所以②正确.因为BC 1∥AD 1，所以异面直线A 1P 与AD 1所成的角就是直线A 1P 与BC 1所成的角，在△A 1BC 1中，易知所求角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，所以③错误.VD 1－APC ＝VC －AD 1P ，因为点C 到平面AD 1P 的距离不变，且△AD 1P 的面积不变，所以三棱锥D 1－APC 的体积不变，所以④正确. 答案 ①②④限时练(三)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2020·河南联检)已知集合A ＝{x ∈N |x 2<8x }，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则B ∪(∁A C )＝( ) A.{2，3，4，5} B.{2，3，4，5，6} C.{1，2，3，4，5，6}D.{1，3，4，5，6，7}解析 因为A ＝{x ∈N |0<x <8}＝{1，2，3，4，5，6，7}，所以∁A C ＝{1，4，5，6}，所以B∪(∁A C)＝{1，2，3，4，5，6}.故选C.答案 C2.若z＝(3－i)(a＋2i)(a∈R)为纯虚数，则z＝()A.163i B.6i C.203i D.20解析因为z＝3a＋2＋(6－a)i为纯虚数，所以3a＋2＝0，解得a＝－23，所以z＝203i.故选C.答案 C3.(2020·潍坊模拟)甲、乙、丙、丁四位同学各自对变量x，y的线性相关性进行试验，并分别用回归分析法求得相关系数r，如下表：哪位同学的试验结果能体现出两变量有更强的线性相关性？()A.甲B.乙C.丙D.丁解析由于丁同学求得的相关系数r的绝对值最接近于1，因此丁同学的试验结果能体现出两变量有更强的线性相关性.故选D.答案 D4.设a＝ln 12，b＝－5－12，c＝log132，则()A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c解析由题意易知－a＝ln 2，－b＝5－12，－c＝log32.因为12＝log33<log32<ln 2<1，0<5－12<4－12＝12，所以－b<－c<－a，所以a<c<b.故选B.答案 B5.(2020·青岛质检)已知某市居民在2019年用手机支付的个人消费额ξ(元)服从正态分布N(2 000，1002)，则该市某居民在2019年用手机支付的消费额在(1 900，2 200]内的概率为()附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.A.0.975 9B.0.84C.0.818 6D.0.477 2解析 ∵ξ服从正态分布N (2 000，1002)，∴μ＝2 000，σ＝100，则P (1 900<ξ≤ 2 200)＝P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＋12[P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)－P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)]≈0.682 7＋12(0.954 5－0.682 7)＝0.818 6.故选C. 答案 C6.设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，斜率为k 的直线过F 交C 于点A ，B ，且AF →＝2FB →，则直线AB 的斜率为( ) A.2 2 B.2 3 C.±2 2D.±2 3解析 由题意知k ≠0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入抛物线方程消去x ，得y 2－2p k y －p 2＝0.不妨设A (x 1，y 1)(x 1＞0，y 1＞0)，B (x 2，y 2).因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.又y 1y 2＝－p 2.所以y 2＝－22p ，x 2＝p 4，所以k AB＝－22p －0p 4－p 2＝2 2.根据对称性，直线AB 的斜率为±2 2. 答案 C7.已知点A (1，0)，B (1，3)，点C 在第二象限，且∠AOC ＝150°，OC →＝－4OA →＋λOB →，则λ＝( ) A.12B.1C.2D.3解析 设|OC→|＝r ，则OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ，由已知，得OA →＝(1，0)，OB →＝(1，3)，又OC→＝－4OA →＋λOB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ＝－4(1，0)＋λ(1，3)＝(－4＋λ，3λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－32r ＝－4＋λ，12r ＝3λ，解得λ＝1.答案 B8.在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD＝3BD，将△ADE 沿DE折起，连接AB，AC，当四棱锥A－BCED体积最大时，二面角A－BC－D 的大小为()A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析因为AB＝AC，所以△ABC为等腰三角形，过A作BC的垂线AH，垂足为H，交DE于O，∴当△ADE⊥平面BCED时，四棱锥A－BCED体积最大.由DE⊥AO，DE⊥OH，AO∩OH＝O，可得DE⊥平面AOH，又BC∥DE，则BC⊥平面AOH，∴∠AHO为二面角A－BC－D的平面角，在Rt△AOH中，由AOOH＝ADDB＝3，∴tan∠AHO＝AOOH＝3，则二面角A－BC－D的大小为π3.答案 C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020·济宁模拟)“悦跑圈”是一款社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况.某人根据2019年1月至2019年11月每月跑步的里程(十公里)的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是()A.月跑步里程数逐月增加B.月跑步里程数的最大值出现在9月C.月跑步里程的中位数为8月份对应的里程数D.1月至5月的月跑步里程数相于6月至11月波动性更小，变化比较平稳 解析 根据折线图可知，2月跑步里程数比1月小，7月跑步里程数比6月小，10月跑步里程数比9月小，A 错误.根据折线图可知，9月的跑步里程数最大，B 正确.一共11个月份，将月跑步里程数从小到大排列，根据折线图可知，跑步里程的中位数为8月份对应的里程数，C 正确.根据折线图可知D 正确.故选BCD. 答案 BCD10.下列各式中，值为12的是( ) A.sin 15°cos 15°B.cos 2π6－sin 2π6C.1＋cos π62D.tan 22.5°1－tan 222.5°解析 sin 15°cos 15°＝sin 30°2＝14，排除A ；cos 2π6－sin 2π6＝cos π3＝12，B 正确；1＋cos π62＝1＋322＝2＋32，排除C ；tan 45°＝2tan 22.5°1－tan 222.5°，得tan 22.5°1－tan 222.5°＝12，D 正确.故选BD.答案 BD11.已知{a n }是等比数列，若a 6＝8a 3＝8a 22，则( )A.a n ＝2n －1B.a n ＝2nC.S n ＝2n －1D.S n ＝2n ＋1－2解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 6＝8a 3，得a 3·q 3＝8a 3，则q 3＝8，所以q ＝2.又8a 3＝8a 22，则a 2·q ＝a 22，又a 2≠0，所以a 2＝2，即a n ＝a 2q n －2＝2n －1，所以a 1＝1，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2n －1，故选AC.答案 AC12.数列{F n }：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列{F n }的前n项和为S n，则下列结论正确的是()A.F n＝F n－1＋F n－2(n≥3)B.S4＝F6－1C.S2 019＝F2 020－1D.S2 019＝F2 021－1解析根据题意有F n＝F n－1＋F n－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2 019＝F2 021－1.答案ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.设a＝210＋1211＋1，b＝212＋1213＋1，则a，b的大小关系为________.解析法一由题意知，a－b＝210＋1211＋1－212＋1213＋1＝（210＋1）（213＋1）－（212＋1）（211＋1）（211＋1）（213＋1）＝3×210（211＋1）（213＋1）>0，故a>b.法二可考虑用函数的单调性解题.令f(x)＝2x＋12x＋1＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12x＋1＋1，则f(x)在定义域内单调递减，所以a＝f(10)>b＝f(12).答案a>b14.(2020·深圳统测)很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全.某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如0123).已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为________.解析由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成的“递增型验证码”共有C410个，而首位数字是1的“递增型验证码”有C38个.因此某人收到的“递增型验证码”的首位数字是1的概率p＝C38C410＝415.答案4 1515.设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，|OP|＝|OF|，则双曲线C的右焦点的坐标为________，离心率为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析如图，∵直线4x－3y＋20＝0过点F，∴F(－5，0)，半焦距c＝5，则右焦点为F2(5，0).连接PF2.设点A为PF的中点，连接OA，则OA∥PF2.∵|OP|＝|OF|，∴OA⊥PF，∴PF2⊥PF.由点到直线的距离公式可得|OA|＝205＝4，∴|PF2|＝2|OA|＝8.由勾股定理，得|FP|＝|FF2|2－|PF2|2＝6.由双曲线的定义，得|PF2|－|PF|＝2a＝2，∴a＝1，∴离心率e＝ca＝5.答案(5，0) 516.(2020·厦门质检)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点N是棱A1B1的中点，点T是棱CC1上靠近点C的三等分点，动点Q在侧面D1DAA1(包含边界)内运动，且QB∥平面D1NT，则动点Q所形成的轨迹的长度为________.解析因为QB∥平面D1NT，所以点Q在过点B且与平面D1NT平行的平面内，如图，取DC的中点E1，取A1G＝1，则平面BGE1∥平面D1NT.延长BE1，交AD 的延长线于点E，连接EG，交DD1于点I.显然，平面BGE∩平面D1DAA1＝GI，所以点Q的轨迹是线段GI.∵DE1綊12AB，∴DE1为△EAB的中位线，∴D为AE的中点.又DI∥AG，∴DI＝12AG＝1，∴GI＝（2－1）2＋32＝10.答案10限时练(四)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{x|y＝log2(x－2)}，B＝{x|x2≥9}，则A∩(∁R B)＝()A.[2，3)B.(2，3)C.(3，＋∞)D.(2，＋∞)解析A＝{x|y＝log2(x－2)}＝(2，＋∞)，∵B＝{x|x2≥9}＝(－∞，－3]∪[3，＋∞)，∴∁R B＝(－3，3)，则A∩(∁R B)＝(2，3).答案 B2.设x，y∈R，i为虚数单位，且3＋4iz＝1＋2i，则z＝x＋y i的共轭复数在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析z＝3＋4i1＋2i＝（3＋4i）（1－2i）5＝115－25i，则z－＝115＋25i，z－对应点⎝⎛⎭⎪⎫115，25在第一象限.答案 A3.(2020·福建漳州适应性测试)如图是某地区从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.若该地区从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列{a n}，{a n}的前n项和为S n，则下列说法中正确的是()A.数列{a n}是递增数列B.数列{S n}是递增数列C.数列{a n}的最大项是a11D.数列{S n}的最大项是S11解析因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确诊人数，即a7>a8，所以{a n }不是递增数列，所以A 错误；因为2月23日新增确诊病例数为0，所以S 33＝S 34，所以数列{S n }不是递增数列，所以B 错误；因为1月31日新增病例数最多，从1月21日算起，1月31日是第11天，所以数列{a n }的最大项是a 11，所以C 正确；由a n ≥0，知S n ＋1≥S n ，故数列{S n }的最大项是最后一项，所以D 错误.故选C. 答案 C4.大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为( ) A.112B.12C.13D.16解析 大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总个数n ＝C 24A 33＝36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m ＝A 33＋C 23A 22＝12，所以小明恰好分配到甲村小学的概率p ＝m n ＝1236＝13. 答案 C5.(2020·荆门模拟)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12＋12x 7的展开式中，有理项的项数为( ) A.1B.2C.3D.4解析 该二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 7x7－r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r＝C r 7⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·x 7－3r 2，r ＝0，1，2，…，7.当r ＝1，3，5，7时，T r ＋1为有理项，共有4项.故选D. 答案 D6.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，BC ＝2，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与A 1C 所成的角为( )A.π2 B.π3 C.π4D.π6解析 以A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，A 1(0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，∴AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，A 1C →＝(0，2，－2)， ∴cos 〈AD →，A 1C →〉＝AD →·A 1C →|AD →||A 1C →|＝12，∴〈AD →，A 1C →〉＝π3. 答案 B7.已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB→|＝2，OC →＝13OA →＋23OB →，若M是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )A. 3B.2 3C.2D.3解析 由OC→＝13OA →＋23OB →，又OM →＝12(OA →＋OB →)， 所以OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13OA →＋23OB →·12(OA →＋OB →)＝16(OA →2＋2OB →2＋3OA →·OB →)， 又△OAB 为等边三角形，所以OA →·OB →＝2×2cos 60°＝2，OA →2＝4，OB →2＝4，所以OC →·OM →＝3. 答案 D8.(2020·天津适应性测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，2x －4x ，x >0.若函数F (x )＝f (x )－|kx －1|有且只有3个零点，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，916 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫916，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－116，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，916解析 当k ＝12时，|kx －1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1，x ≥2，1－12x ，x <2.作出函数y ＝f (x )与y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x －1的图象，如图.此时两函数的图象有且只有3个交点，此时F (x )有且只有3个零点，排除B ，C.当k ＝－120时，|kx －1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－120x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧－120x －1，x ≤－20，1＋120x ，x >－20，作出函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－120x －1的图象，如图.由图可得函数y ＝f (x )的图象与y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－120x －1的图象有且只有3个交点，此时F (x )有且只有3个零点，排除A.故选D. 答案 D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知0<c <1，1>a >b >0，则下列不等式成立的是( )A.c a <c bB.a a ＋c <b b ＋cC.ba c >ab cD.log a c >log b c解析 构造函数y ＝c x ，因为0<c <1，所以函数y ＝c x 是减函数，而a >b >0，根据指数函数的单调性得c a<c b，故A 正确；由题意得a ＋c a ＝1＋c a ，b ＋c b ＝1＋cb ，因为0<c <1，1>a >b >0，所以0<c a <c b ，即0<a ＋c b <b ＋c b ，取倒数得a a ＋c >b b ＋c ，故B 错误；由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c <a b ，整理得ba c <ab c ，故C 错误；由已知得log a c >0，log b c >0，又0<log c a <log c b ，所以1log c a >1log c b ，则log a c >log b c ，故D 正确.故选AD.答案 AD10.已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则函数f (x )的对称中心可以为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1 解析 由图象知A ＝3＋12＝2，B ＝3－12＝1，又T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，所以ω＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )且|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝－π6＋k π2(k ∈Z )，取k ＝0，有x ＝－π6；k ＝1，x ＝π3. 答案 CD11.对于函数f (x )＝ln xx ，下列说法正确的是( )A.f (x )在x ＝e 处取得极大值1eB.f (x )有两个不同的零点C.f (4)＜f (π)＜f (3)D.π4＜4π解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e.∴f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，因此f (x )在x ＝e 处取得极大值f (e)＝1e ，A 正确.令f (x )＝0，解得x ＝1，故函数f (x )有且仅有一个零点，B 错误.由f (x )在(e ，＋∞)上单调递减，得f (4)＜f (π)＜f (3)，则C 正确.因为f (4)＜f (π)，即ln 44＜ln ππ，所以ln 4π＜ln π4，则4π＜π4，D 错误.综上知，正确的为AC. 答案 AC12.(2020·烟台诊断)已知P 是双曲线C ：x 23－y 2m ＝1(m >0)上任意一点，A ，B 是双曲线C 上关于坐标原点对称的两点.设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|≥t 恒成立，且实数t 的最大值为233，则下列说法正确的是( )A.双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1 B.双曲线C 的离心率为2C.函数y ＝log a (x －1)(a >0，a ≠1)的图象恒过双曲线C 的一个焦点D.直线2x －3y ＝0与双曲线C 有两个交点解析 设A (x 1，y 1)，P (x 2，y 2).由A ，B 是双曲线C 上关于坐标原点对称的两点，得B (－x 1，－y 1)，则x 213－y 21m ＝1，x 223－y 22m ＝1.两式相减，得x 21－x 223＝y 21－y 22m ，所以y 21－y 22x 21－x 22＝m 3.又直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，所以k 1k 2＝y 1－y 2x 1－x 2×－y 1－y 2－x 1－x 2＝y 21－y 22x 21－x 22＝m3.所以|k 1|＋|k 2|≥2|k 1||k 2|＝2m3，当且仅当|k 1|＝|k 2|时取等号.又|k 1|＋|k 2|≥t 恒成立，且实数t 的最大值为233，所以2m 3＝233，解得m ＝1.因此双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1，则A 项正确.因为a ＝3，b ＝1，所以c ＝a 2＋b 2＝2，所以双曲线C 的离心率e ＝c a ＝23＝233，则B 项不正确.双曲线C 的左、右焦点分别为(－2，0)，(2，0)，而当x ＝2时，y ＝log a (2－1)＝log a 1＝0，所以函数y ＝log a (x －1)(a >0，a ≠1)的图象恒过双曲线C 的一个焦点(2，0)，则C 项正确.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝0，x 23－y 2＝1消去y ，得x 2＝－9，此方程无实数解，所以直线2x －3y ＝0与双曲线C 没有交点，则D 项不正确.故选AC. 答案 AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和.已知S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝5，则数列{a n }的通项公式为________.解析 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 22＝S 1S 4，即(2a 3－3d )2＝(a 3－2d )·(4a 3－2d ).又a 3＝5，所以(10－3d )2＝(5－2d )(20－2d )，解得d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1. 答案 a n ＝2n －114.已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点，若点M 为线段EF 的中点，且|NF |＝12，则p ＝________. 解析 由题意知，直线EF 的斜率存在且不为0，故设直线EF 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与抛物线方程y 2＝2px 联立，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋p 2k 24＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，点M 为线段EF 的中点，得x 1＝p 22＝p 4.由|NF |＝x 2＋p 2＝12，得x 2＝12－p2.由x 1x 2＝p 4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－p 2＝p 24，得p ＝8或p ＝0(舍去).答案 815.(2020·长郡中学适应性考试)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，E 分别为棱AA 1，AB ，AD 的中点，以A 为圆心，1为半径，分别在面ABB 1A 1和面ABCD 内作弧MN 和NE ，并将两弧各五等分，分点依次为M ，P 1，P 2，P 3，P 4，N 以及N ，Q 1，Q 2，Q 3，Q 4，E .一只蚂蚁欲从点P 1出发，沿正方体的表面爬行至点Q 4，则其爬行的最短距离为________.(参考数据：cos 9°≈0.987 7，cos 18°≈0.951 1，cos 27°≈0.891 0)解析 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，E 分别为棱AA 1，AB ，AD 的中点，以A 为圆心，1为半径，分别在平面ABB 1A 1和平面ABCD 内作弧MN 和NE .将平面ABCD 绕AB 旋转至与平面ABB 1A 1共面的位置，如图(1)，则∠P 1AQ 4＝180°10×8＝144°，所以P 1Q 4＝2sin 72°.将平面ABCD 绕AD 旋转至与平面ADD 1A 1共面的位置，将ABB 1A 1绕AA 1旋转至与平面ADD 1A 1共面的位置，如图(2)，则∠P 1AQ 4＝90°5×2＋90°＝126°，所以P 1Q 4＝2sin 63°.因为sin 63°<sin 72°，且由诱导公式可得sin 63°＝cos 27°，所以最短距离为|P 1Q 4|＝2sin 63°≈2×0.891 0＝1.782 0.图(1)图(2)答案 1.782 016.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ＜a ，x 2，x ≥a ，若函数f (x )在R 上是单调的，则实数a 的取值范围是________；若对任意的实数x 1＜a ，总存在实数x 2≥a ，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，则实数a 的取值范围是________(本小题第一空2分，第二空3分).解析 令x ＋2＝x 2，得x ＝－1或x ＝2.作出函数y ＝f (x )的图象如图所示，若函数f (x )在R 上单调，只需a ≥2.若对任意的实数x 1＜a ，总存在实数x 2≥a ，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，可得x 1＋2＋x 22＝0，即－x 22＝x 1＋2，即有a ＋2≤0，解得a ≤－2.答案 [2，＋∞) (－∞，－2]限时练(五)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数z ＝i1＋i(i 是虚数单位)的虚部是( ) A.12B.－12C.12iD.－12i解析 z ＝i 1＋i ＝i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝i 2＋12，∴z 的虚部为12.答案 A 2.已知集合A ＝{－1，0，1，2，3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －2x ＋1≥0，则A ∩B 中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由x －2x ＋1≥0，得x ≥2或x ＜－1，则B ＝{x |x ≥2，或x ＜－1}，∴A ∩B ＝{2，3}，A ∩B 中有2个元素.答案 B3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，x ≤0，2x ＋1，x ＞0，则f (－2)＋f (1)＝( )A.6＋32B.6－32C.72D.52解析 f (－2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝12，f (1)＝21＋1＝3.∴f (－2)＋f (1)＝3＋12＝72. 答案 C4.在某项检测中，测量结果服从正态分布N (2，1)，若P (X <1)＝P (X >1＋λ)，则λ＝( ) A.0B.2C.3D.5解析 依题意，正态曲线关于x ＝2对称，又P (X <1)＝P (X >1＋λ)，因此1＋λ＝3，∴λ＝2. 答案 B5.(2020·天津适应性测试)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为36，E 为棱CC 1上的点，且CE ＝2EC 1，则三棱锥E －BCD 的体积是( )A.3B.4C.6D.12解析 ∵CE ＝2EC 1，∴V E －BCD ＝13×12×23×V ABCD －A 1B 1C 1D 1＝19×36＝4.故选B. 答案 B6.函数f (x )＝x 2－2ln|x |的图象大致是( )。

填写板块限时模拟训练08语法填空+应用文写作+读后续写时间：45分钟满分：55分Ⅰ.语法填空（共10小题，每小题1.5分，满分15分）（2022·河北正定中学）Did you grow up in one culture, your parents came from another, and you are now living in a ___36___ (total) different country? If so, then you are a third-culture kid.The term “third-culture kid” ___37___ (use) in the 1960s for the first time by Dr. Ruth. She first came across this phenomenon while ___38___ (research) North American children living in India. In general, third-culture kids benefit ___39___ their intercultural experience and they often reach excellent academic results.Yet many ___40___ (difficulty) may arise from this phenomenon. Third-culture kids may not be able to adapt ___41___ (they) completely to their new surroundings. Also, they often find it hard ___42___ (develop) new friendship. Additionally, for a third-culture kid, it is often ___43___ (easy) to move to a new country than to return to his homeland. For example, after living in Australia for many years, Louis finally returned to the country ___44___ she was born. She didn’t know anything about current TV shows ____45____ fashion trends. And she didn’t share the same values as other teens of her age.【答案】36. totally37. was used38. researching39. from40. difficulties41. themselves42. to develop43. easier44. where45. or【导语】这是一篇说明文。

小题满分限时练五一、填空题(本题共6小题,每空1分,共14分)1.在学习物理的过程中,同学们接触到很多物理量,有些物理量只有大小没有方向,如质量、等;有些物理量既有大小又有方向,如力、等.2.生活中有许多成语、俗语涉及声学的知识.例如:“隔墙有耳”说明(选填“固体和液体”“气体和固体”或“气体和液体”)能够传声;从声音的特性分析,“震耳欲聋”描述的是(选填“音调”或“响度”).3.如图所示,气缸中密封了一定质量的气体,对气缸中的气体缓慢加热,气体的温度升高,内能增大,这是通过的方式改变气体内能的;气缸中单个气体分子的动能(选填“一定”或“不一定”)增大;气缸中气体分子的(选填“体积”或“间距”)变大,活塞向左运动.4.如图所示,滑轮A、B的重力均为10 N,物体M的重力为200 N,分别用A、B两滑轮在5 s内把物体M匀速提升1 m,作用在绳端的拉力分别为F A、F B,不计绳重和摩擦,则F A∶F B=,拉力F B的功率是W.5.如图所示,已知电源电压保持不变,R1=5 Ω.当断开开关S3,闭合开关S1、S2时,电压表的示数为1 V;当断开开关S2,闭合开关S1、S3时,电压表的示数为3 V,则电阻R2=Ω.当S1、S2、S3均闭合时,通过R2的电流为A,R1在1 min内产生的热量是J.6.如图所示,将粗细不同的塑料管依次连接,在塑料管侧壁开大小相同的小孔A、B、C,将塑料管水平放置并将小孔朝上.某次在管中装满水后推动活塞,则从(选填“A”“B”或“C”)孔中喷出的水柱的高度最高,这是因为.二、选择题(本题共8小题,每小题2分,共16分.第7~12题每小题只有一个选项符合题目要求,第13~14题每小题有两个选项符合题目要求,全部选对得2分,选对但不全的得1分,有选错的得0分)7.关于电磁现象,下列说法正确的是( )A.通电导体在磁场中所受力的方向跟电流方向、磁场方向有关B.能够自由转动的小磁针静止时N极指向地理南极C.导体在磁场中做切割磁感线运动会产生感应电流D.电动机是根据电磁感应现象制成的8.小明将装有冰块的烧杯放在天平的左盘,在右盘中增减砝码并移动游码,使天平平衡.过了一会儿,他发现冰块开始熔化,烧杯壁变得模糊;同时,天平的指针偏向分度盘中央刻度线的左侧.下列相关说法正确的是( )A.冰熔化时吸收热量,温度升高B.烧杯壁变模糊是因为烧杯中的水汽化生成了水蒸气C.天平失衡是因为空气中的水蒸气遇冷液化,使左盘中物体的总质量增大D.天平失衡说明物体的质量与状态有关9.如图所示是击打网球的瞬间,网球被迅速压扁并反弹.下列关于此过程的说法正确的是( )A.网球被迅速压扁说明球拍对网球的力大于网球对球拍的力B.网球接触球拍被压扁的过程中,动能转化为重力势能C.网球被击出后仍能继续飞行一段距离,说明网球受到惯性力的作用D.网球被击中后迅速反弹,说明力可以改变物体的运动状态10.下列现象中,不能．．用静电知识解释的是( )A.晚上脱毛衣时会有“闪光”和轻微“噼啪”声B.油罐车尾部常拖一条铁链C.擦黑板时粉笔灰四处飘落D.电视机屏幕上会吸附灰尘11.在“探究凸透镜的成像规律”实验中,当凸透镜的焦距为15 cm时,将蜡烛、凸透镜和光屏放在合适位置,在光屏上得到了倒立、放大的实像.现将另一个焦距为10 cm的凸透镜放到原凸透镜的位置,蜡烛的位置不变,下列情形不可能．．．发生的是( )A.在光屏上得到一个放大的实像B.在光屏上得到一个等大的实像C.在光屏上得到一个缩小的实像D.透过凸透镜观察到放大的虚像12.关于家庭电路,下列说法正确的是( )A.在电能表上可以直接读出应该交的电费B.空气开关的作用是保持电路中的电压不变C.只有36 V的电压对人体才安全D.用试电笔可以检测出家庭电路中的火线和零线13.(双选)在甲、乙、丙三个相同的容器中分别盛有质量相同的同种液体,将三个质量相同、体积不同的小球分别放入三个容器内的液体中,当小球静止时,观察到三个小球均浸没且沉底,容器底部受到小球的压力的大小关系是F甲>F乙>F丙.小球在三个容器中受到的浮力以及三个容器底部受到液体压强的大小关系正确的是( ) A.F甲浮<F乙浮<F丙浮B.F甲浮>F乙浮>F丙浮C.p甲<p乙<p丙D.p甲>p乙>p丙14.(双选)电梯为居民上、下楼带来很大的便利,出于安全考虑,电梯设置了超载自动报警系统,其工作原理如图所示.电梯轿厢底部装有压敏电阻R1,R2为保护电阻,K为动触点,A、B为静触点,超载时,电铃将发出报警声.下列说法正确的是( )A.电磁铁的下端为S极B.电磁铁磁性的强弱与线圈中电流的大小有关C.当电铃发出报警声时,左边的弹簧处于压缩状态D.电梯超载时会报警,说明压敏电阻的阻值随压力的增大而减小三、作图题(本题共2小题,每小题2分,共4分)15.如图所示,A是水池底某点,请大致作出光线AO的折射光线,并利用图中的两条光路找出人从岸上看到的A的像A'的位置.16.如图所示,一个小球被两根轻绳挂在天花板上,小球静止,绳a 沿竖直方向.请画出小球受力的示意图.小题满分限时练五1.长度(合理即可) 速度(合理即可)【解析】 初中物理涉及的物理量中,只有大小没有方向的有长度、温度、时间、质量、密度、热量等,既有大小又有方向的有力、速度等.2.气体和固体 响度【解析】 “隔墙有耳”是指有人在墙的这边说话,墙那边的人也可能听到说话声,这说明空气和墙都能传声,即气体和固体都能传声;“震耳欲聋”描述的是声音的响度很大.3.热传递 不一定 间距【解析】 通过加热使气体的内能增加,这是通过热传递的方式改变气体内能的;气缸中的气体分子在不停地做无规则运动,当气体的温度升高时,气缸内气体分子的平均动能增大,单个气体分子的动能不一定增大;气体的温度升高后,单个气体分子的体积不变,气体分子之间的间距变大,宏观上表现为气体的体积增大.4.40∶21 42【解析】 A 是定滑轮,B 是动滑轮.定滑轮不改变力的大小,在不计绳重和摩擦的情况下,F A =G M =200 N ;使用动滑轮B 可省一半力,在不计绳重和摩擦的情况下,F B =G M +G滑2=200N+10N 2=105 N .因此F A ∶F B =200 N ∶105 N =40∶21.拉力F B 做的功W=F B s=F B ×2h=105 N ×2×1 m =210 J ,做功时间是5 s ,F B 的功率P=W t =210J 5s=42 W . 5.10 0 108【解析】 当断开开关S 3,闭合开关S 1、S 2时,R 1、R 2串联,电压表测量的是R 1两端的电压;当断开开关S 2,闭合开关S 1、S 3时,R 1、R 2串联,电压表测量的是电源电压,由串联电路的电压规律可知,此时R 2两端的电压为3 V-1 V=2 V ,由串联电路的分压原理可知,R 2=2R 1=10 Ω.当S 1、S 2、S 3均闭合时,R2被短路,通过R2的电流为0 A,由焦耳定律可得R1在 1 min内产生的热量Q=U12R1t=(3V)25Ω×60s=108 J.6.A流体流速大的位置压强小【解析】依题意,在管中装满水后推动活塞,水流经粗管时的流速小,流经细管时的流速大,由于流体流速大的位置压强小,所以,从A孔喷出的水柱最高,从C孔喷出的水柱最低.7.A【解析】能够自由转动的小磁针静止时N极指向地理北极,故B错误;必须是闭合电路中的一部分导体在磁场中做切割磁感线运动时,导体中才会有电流产生,故C错误;电动机是根据通电导体在磁场中受力运动的原理制成的,故D错误.8.C【解析】冰是晶体,熔化时吸收热量,但温度不变,A错误;烧杯壁变模糊是因为空气中的水蒸气遇冷液化,凝结成小水滴附着在烧杯壁上,这会使天平左盘中物体的总质量增大,从而导致天平失衡,B错误、C正确;物体的质量与状态无关,D错误.9.D【解析】球拍对网球的力与网球对球拍的力是一对相互作用力,大小相等,A错误;网球接触球拍被压扁的过程中,动能转化为弹性势能,B错误.网球被击出后仍能在空中飞行一段距离,是因为网球具有惯性,C错误.10.C【解析】晚上脱毛衣时,会看到“闪光”并听到轻微的“噼啪”声,这是摩擦起电所造成的现象,A不符合题意;铁具有良好的导电性,可以把油罐车运输过程中由于振动、摩擦产生的静电导走,故油罐车尾部常拖一条铁链,B不符合题意;擦黑板时粉笔灰四处飘落是力改变了粉笔灰的运动状态,不能用静电知识解释,C符合题意;电视机屏幕上经常有许多灰尘,这是因为电视机工作时,屏幕表面有静电,静电会吸引灰尘,D不符合题意.11.D【解析】当凸透镜的焦距为15 cm时,在光屏上得到了倒立、放大的实像,则15cm<u<30 cm,当保持蜡烛位置不变,在原凸透镜的位置换上焦距为10 cm的凸透镜时,物距可能大于二倍焦距、等于二倍焦距、在一倍焦距和二倍焦距之间,故A、B、C选项中的情形都有可能发生;物距不可能小于一倍焦距,故不可能成虚像,D选项中的情形不可能发生.12.D【解析】电能表是测量在一段时间内消耗电能多少的仪表,不能显示应交多少电费,故A 错误;空气开关与保险丝的作用相同,当电路中电流过大时,它能自动切断电路,从而起到保护电路的作用,同时空气开关还具有闸刀开关的作用,但无保持电路中电压不变的作用,故B错误;一般情况下,不高于36 V的电压对人体是安全的,故C错误.13.AC【解析】小球受浮力、重力和容器底的支持力而静止,故小球对容器底部的压力F=F支=G-F浮=mg-F浮.由于三个小球的质量相同,容器底部受到小球的压力的大小关系是F甲>F乙>F丙,则三个小球所受浮力的大小关系为F甲浮<F乙浮<F丙浮,A正确、B错误;由F浮=ρ液gV排可知,三个小球的体积关系为V甲<V乙<V丙,容器中装有质量相同的同种液体,故小球浸没后三个容器中液面高度的大小关系为h甲<h乙<h丙,由p=ρ液gh可得,三个容器底部受到液体压强的大小关系为p甲<p乙<p丙,C正确、D错误.14.BD【解析】利用安培定则可判断出电磁铁的下端为N极,上端为S极,故A错误;电磁铁磁性的强弱与线圈中电流的大小有关,故B正确;电梯超载时,衔铁被电磁铁吸下来,弹簧处于伸长状态,C错误;电梯超载时,电磁铁线圈中的电流应变大,从而使其磁性增强,将衔铁吸下,使动触点K与静触点B接触,电铃报警,此时控制电路总电阻应变小,故压敏电阻的阻值应随压力的增大而减小,D正确.15.如图所示.【解析】光从水中斜射入空气中时,折射角大于入射角,因此AO的折射光线会向远离法线的方向偏折;同时,因为光线AO的入射角小于光线AO'的入射角,故AO的折射光线的折射角也小于AO'的折射光线的折射角,据此可大致作出光线AO的折射光线;把两条折射光线反向延长,交于一点,这一点就是人眼所看到的A的像A'.16.如图所示.【解析】小球处于静止状态,受力是平衡的,因此小球只受竖直向下的重力G和竖直向上的绳a 的拉力F,这两个力大小相等、方向相反,绳b对小球没有力的作用.。

专项限时集训(八) 函数最值、恒成立及存在性问题(限时：60分钟)1．(本小题满分14分)(镇江市2019届高三上学期期末)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝λ(x 2－1)(λ为常数)．(1)若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )在x ＝1处有相同的切线，求实数λ的值； (2)若λ＝12，且x ≥1，证明：f (x )≤g (x )；(3)若对任意x ∈[1，＋∞)，不等式f (x )≤g (x )恒成立，求实数λ的取值范围． [解](1)f ′(x )＝ln x ＋1，则f ′(1)＝1且f (1)＝0. 所以函数y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为：y ＝x －1， 从而g ′(x )＝2λx ，g ′(1)＝2λ＝1，即λ＝12.2分(2)证明：由题意知：设函数h (x )＝x ln x －12(x 2－1)，则h ′(x )＝ln x ＋1－x ，设p (x )＝ln x ＋1－x ，从而p ′(x )＝1x－1≤0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，所以p (x )＝ln x ＋1－x ≤p (1)＝0，即h ′(x )≤0， 因此函数h (x )＝x ln x －12(x 2－1)在[1，＋∞)上单调递减，即h (x )≤h (1)＝0，所以当x ≥1时，f (x )≤g (x )成立. 6分(3)设函数H (x )＝x ln x －λ()x 2－1，从而对任意x ∈[1，＋∞)，不等式H (x )≤0＝H (1)恒成立． 又H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ，当H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≤0，即ln x ＋1x≤2λ恒成立时，函数H (x )单调递减．设r (x )＝ln x ＋1x ，则r ′(x )＝－ln x x2≤0， 所以r (x )max ＝r (1)＝1，即1≤2λ⇒λ≥12，符合题意；当λ≤0时，H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≥0恒成立，此时函数H (x )单调递增． 于是，不等式H (x )≥H (1)＝0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，不符合题意；当0＜λ＜12时，设q (x )＝H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ，则q ′(x )＝1x －2λ＝0⇒x ＝12λ＞1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12λ时，q ′(x )＝1x －2λ＞0，此时q (x )＝H ′(x )＝ln x ＋1－2λx 单调递增，所以H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ＞H ′(1)＝1－2λ＞0， 故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12λ时，函数H (x )单调递增．于是当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12λ时，H (x )＞0成立，不符合题意； 综上所述，实数λ的取值范围为λ≥12.14分2．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝a ln x －bx 3，a ，b 为实数，b ≠0，e 为自然对数的底数，e≈2.71828.(1)当a ＜0，b ＝－1时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求g (a )的最大值； (2)若关于x 的方程f (x )＝0在区间(1，e]上有两个不同的实数解，求a b的取值范围.【导学号：56394114】[解](1)b ＝－1时，f (x )＝a ln x ＋x 3，则f ′(x )＝a ＋3x 3x，令f ′(x )＝0，解得：x ＝3－a3，∵a ＜0，∴3－a3＞0， x ，f ′(x )，f (x )的变化如下：故g (a )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3－a 3＝a 3ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－a3， 令t (x )＝－x ln x ＋x ，则t ′(x )＝－ln x ，令t ′(x )＝0，解得：x ＝1， 且x ＝1时，t (x )有最大值1， 故g (a )的最大值是1，此时a ＝－3；8分(2)由题意得：方程a ln x －bx 3＝0在区间(1，e]上有2个不同的实数根，故a b ＝x 3ln x在区间(1，e]上有2个不同实数根， 即函数y 1＝a b 的图象与函数m (x )＝x 3ln x 的图象有2个不同的交点，∵m ′(x )＝x 2 3ln x －1 ln x 2，令m ′(x )＝0，得：x ＝3e ， x ，m ′(x )，m (x )的变化如下：∴x ∈(1，3e)时，m (x )∈(3e ，＋∞)，x ∈(3e ，e]时，m (x )∈(3e ，e 3]， 故a ，b 满足的关系式是3e ＜a b≤e 3，即a b的范围是(3e ，e 3].14分3．(本小题满分14分)(江苏省镇江市丹阳高中2019届高三下学期期中)已知函数f (x )＝x －1x，(1)函数F (x )＝f (e x)－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 36，其中k 为实数， ①求F ′(0)的值；②对∀x ∈(0,1)，有F (x )＞0，求k 的最大值；(2)若g (x )＝x 2＋2ln xa(a 为正实数)，试求函数f (x )与g (x )在其公共点处是否存在公切线，若存在，求出符合条件的a 的个数，若不存在，请说明理由． [解](1)由F (x )＝e x－1e x －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 36得F ′(x )＝e x＋1e x －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 22，①F ′(0)＝2－k ，②记h (x )＝F ′(x )，则h ′(x )＝e x－1ex －kx ，记m (x )＝h ′(x )，则m ′(x )＝e x ＋1e x －k ，当x ∈(0,1)时，e x＋1e x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，e ＋1e .3分(ⅰ)当k ≤2时，m ′(x )＞2－k ≥0，x ∈(0,1)，即m (x )在(0,1)上是增函数， 又m (0)＝0，则h ′(x )＞0，x ∈(0,1)，即h (x )在(0,1)上是增函数，又F ′(0)＝2－k ≥0， 则F ′(x )＞0，x ∈(0,1)，即F (x )在(0,1)上是增函数，故F (x )＞F (0)＝0，x ∈(0,1)． (ⅱ)当k ＞2时，则存在x 0∈(0,1)，使得m ′(x )在(0，x 0)小于0，即m (x )在(0，x 0)上是减函数，则h ′(x )＜0，x ∈(0，x 0)， 即h (x )在(0，x 0)上是减函数，又F ′(0)＝2－k ＜0， 则F ′(x )＜0，x ∈(0，x 0)，又F ′(0)＝2－k ＜0， 即F (x )在(0，x 0)上是减函数， 故F (x )＜F (0)＝0，x ∈(0，x 0)，矛盾． 故k 的最大值为2.8分(2)设函数f (x )与g (x )在其公共点x ＝x 1处存在公切线，则⎩⎨⎧x 1－1x 1＝x 21＋2ln x 1a， ①1＋1x 21＝2x 1＋2x 1a ， ②由②得(2x 1－a )(x 21＋1)＝0，即x 1＝a2，代入①得8ln a －8ln2－a 2＋8＝0，记G (a )＝8ln a －8ln2－a 2＋8，则G ′(a )＝8a－2a ，得G (a )在(0,2)上是增函数，(2，＋∞)上是减函数， 又G (2)＝4＞0，G (4)＝8ln2－8＜0，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ＝－4e 2＜0， 得符合条件的a 的个数为2.(未证明小于0的扣2分)14分4．(本小题满分16分)(无锡市2019届高三上学期期末)已知f (x )＝x 2＋mx ＋1(m ∈R )，g (x )＝e x.(1)当x ∈[0,2]时，F (x )＝f (x )－g (x )为增函数，求实数m 的取值范围； (2)若m ∈(－1,0)，设函数G (x )＝f xg x ，H (x )＝－14x ＋54，求证：对任意x 1，x 2∈[1,1－m ]，G (x 1)＜H (x 2)恒成立．[解](1)∵F (x )＝x 2＋mx ＋1－e x ，∴F ′(x )＝2x ＋m －e x. ∵当x ∈[0,2]时，F (x )＝f (x )－g (x )为增函数， ∴F ′(x )≥0即2x ＋m －e x≥0在[0,2]上恒成立， 即m ≥e x－2x 在[0,2]上恒成立． 令h (x )＝e x－2x ，x ∈[0,2]，则h ′(x )＝e x－2，令h ′(x )＝0，则x ＝ln2.∴h (x )在[0，ln2]上单调递减，在[ln2,2]上单调递增． ∵h (0)＝1，h (2)＝e 2－4＞1， ∴h (x )max ＝h (2)＝e 2－4， ∴m ≥e 2－4.6分(2)证明：G (x )＝x 2＋mx ＋1ex，则G ′(x )＝－x 2＋ 2－m x ＋m －1e x ＝－ x －1 [x － 1－m ]e x. 要证任给x 1，x 2∈[1,1－m ]，G (x 1)≤H (x 2)恒成立，即证G (x )max ≤H (x )min ， ∵x ∈[1,1－m ]，∴G (x )在[1,1－m ]上单调递增，G (x )max ＝G (1－m )＝2－me 1－m ，∵H (x )在[1,1－m ]上单调递减，H (x )min ＝H (1－m )＝－14(1－m )＋54.10分要证G (x )max ≤H (x )min ，即证2－m e 1－m ≤－14(1－m )＋54，即证4(2－m )≤e1－m[5－(1－m )]．令1－m ＝t ，则t ∈(1,2)．设r (x )＝e x(5－x )－4(x ＋1)，x ∈[1,2]，即r (x )＝5e x－x e x－4x －4.r ′(x )＝(4－x )e x －4≥2e x －4＞0，∴r (x )＝e x(5－x )－4(x ＋1)在[1,2]上单调递增， ∵r (1)＝4e －8＞0，∴e x(5－x )≥4(x ＋1)，从而有－14(1－m )＋54≥2－m e ，即当x ∈[1,1－m ]时，G (x )max ≤H (x )min 成立.16分5．(本小题满分16分)(苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2019届高三上学期期末)已知函数f (x )＝x 22e－ax ，g (x )＝ln x －ax ，a ∈R .(1)解关于x (x ∈R )的不等式f (x )≤0； (2)证明：f (x )≥g (x )；(3)是否存在常数a ，b ，使得f (x )≥ax ＋b ≥g (x )对任意的x ＞0恒成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.【导学号：56394115】[解](1)当a ＝0时，f (x )＝x 22e，所以f (x )≤0的解集为{0}；当a ≠0时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2e －a ， 若a ＞0，则f (x )≤0的解集为[0,2e a ]． 若a ＜0，则f (x )≤0的解集为[2e a,0]． 综上所述，当a ＝0时，f (x )≤0的解集为{0}；当a ＞0时，f (x )≤0的解集为[0,2e a ]； 当a ＜0时，f (x )≤0的解集为[2e a,0].4分(2)证明：设h (x )＝f (x )－g (x )＝x 22e －ln x ，则h ′(x )＝x e －1x ＝x 2－ee x.令h ′(x )＝0，得x ＝e ，列表如下：所以函数h (x )所以h (x )＝x 22e－ln x ≥0，即f (x )≥g (x ).8分(3)假设存在常数a ，b 使得f (x )≥ax ＋b ≥g (x )对任意的x ＞0恒成立， 即x 22e≥2ax ＋b ≥ln x 对任意的x ＞0恒成立． 而当x ＝e 时，ln x ＝x 22e ＝12，所以12≥2a e ＋b ≥12，所以2a e ＋b ＝12，则b ＝12－2a e ，所以x 22e －2ax －b ＝x 22e －2ax ＋2a e －12≥0(*)恒成立，①当a ≤0时，2a e －12＜0，所以(*)式在(0，＋∞)上不恒成立；②当a ＞0时，则4a 2－2e (2a e －12)≤0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1e 2≤0，所以a ＝12e，则b ＝－12. 令φ(x )＝ln x －1ex ＋12，则φ′(x )＝e －x e x，令φ′(x )＝0，得x ＝e ，当0＜x ＜e 时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，e)上单调递增； 当x ＞e 时，φ′(x )＜0，φ(x )在(e ，＋∞)上单调递减． 所以φ(x )的最大值为φ(e)＝0.所以ln x －1ex ＋12≤0恒成立．所以存在a ＝12e，b ＝－12符合题意.16分6．(本小题满分16分)(江苏省南京市、盐城市2019届高三第一次模拟)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋a －1x－3(a ∈R )． (1)当a ＝2时，解关于x 的方程g (e x)＝0(其中e 为自然对数的底数)；(2)求函数φ(x )＝f (x )＋g (x )的单调增区间；(3)当a ＝1时，记h (x )＝f (x )·g (x )，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2λ≥h (x )有解？若存在，请求出λ的最小值：若不存在，请说明理由．(参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986)[解](1)当a ＝2时，方程g (e x )＝0即为2e x＋1e x －3＝0，去分母，得2(e x )2－3e x ＋1＝0，解得e x ＝1或e x＝12，故所求方程的根为x ＝0或x ＝－ln2. 2分(2)因为φ(x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax ＋a －1x－3(x ＞0)， 所以φ′(x )＝1x ＋a －a －1x 2＝ax 2＋x － a －1 x2＝ ax － a －1 x ＋1x2(x ＞0)， ①当a ＝0时，由φ′(x )＞0，解得x ＞0； ②当a ＞1时，由φ′(x )＞0，解得x ＞a －1a； ③当0＜a ＜1时，由φ′(x )＞0，解得x ＞0； ④当a ＝1时，由φ′(x )＞0，解得x ＞0； ⑤当a ＜0时，由φ′(x )＞0，解得0＜x ＜a －1a . 综上所述，当a ＜0时，φ(x )的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，a －1a ； 当0≤a ≤1时，φ(x )的增区间为(0，＋∞)；a ＞1时，φ(x )的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫a －1a ，＋∞.6分(3)法一：当a ＝1时，f (x )＝ln x ，g (x )＝x －3，h (x )＝(x －3)ln x ，所以h ′(x )＝ln x ＋1－3x 单调递增，h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32＋1－2＜0，h ′(2)＝ln2＋1－32＞0， 所以存在唯一x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，使得h ′(x 0)＝0，即ln x 0＋1－3x 0＝0，当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0，当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )＞0，所以h (x )min ＝h (x 0)＝(x 0－3)ln x 0＝(x 0－3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 0－1＝－ x 0－3 2x 0＝6－⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋9x 0，记函数r (x )＝6－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋9x ，则r (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2上单调递增，所以r ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜h (x 0)＜r (2)，即h (x 0)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，由2λ≥－32，且λ为整数，得λ≥0，所以存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0. 16分法二：当a ＝1时，f (x )＝ln x ，g (x )＝x －3， 所以h (x )＝(x －3)ln x ，由h (1)＝0得，当λ＝0时，不等式2λ≥h (x )有解，下证：当λ≤－1时，h (x )＞2λ恒成立，即证(x －3)ln x ＞－2恒成立． 显然当x ∈(0,1]∪[3，＋∞)时，不等式恒成立， 只需证明当x ∈(1,3)时，(x －3)ln x ＞－2恒成立． 即证明ln x ＋2x －3＜0.令m (x )＝ln x ＋2x －3， 所以m ′(x )＝1x －2 x －3 2＝x 2－8x ＋9x x －3 2，由m ′(x )＝0，得x ＝4－7，当x ∈(1,4－7)时，m ′(x )＞0；当x ∈(4－7，3)时，m ′(x )＜0； 所以m (x )max ＝m (4－7)＝ln(4－7)－7＋13＜ln(4－2)－2＋13＝ln2－1＜0. 所以当λ≤－1时，h (x )＞2λ恒成立．综上所述，存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0. 16分。

2023年云南省初中学业水平考试英语阶段限时练(八年级上册)全卷三个部分满分：70分时间：90分钟班级：________姓名：________第一部分英语知识运用(共两节，满分25分)第一节单项填空(共15小题，每小题1分，满分15分)( B)1.—You don't look very well.________？—I have a headache.A.What about youB.What's wrong with youC.Shall we go shoppingD.Are you right( A)2.Mary can play ________ football but she can't play ________ piano.A./；theB.the；/C.a；anD.an；a( C)3.I have a bad cold，I don't feel like ________ anything.A.eatB.to eatC.eatingD.ate( C)4.—(2022·河北)Do I have to hand in my report now?—Of course，you ________.We're going to discuss it.A.canB.can'tC.mustD.mustn't( B)5.(2022·重庆B卷)Roy is a great dancer.He dances ________ than others.A.beautifullyB.more beautifullyC.less beautifullyD.most beautifully( C)6.—(2022·连云港)________ do you play volleyball，Amy?—Three days a week.A.How longB.How soonC.How oftenD.How much( B)7.—(2022·乐山改编)Jane，I called you last night but nobody answered.—Oh，my parents and I ________ a walk in the park at that time.A.are takingB.were takingC.have takenD.took( A)8.There ________ an English party in our school next month.A.is going to beB.is going to haveC.isD.have( C)9.—Miss Li teaches ________ English this term.—You're so lucky.________ is a very good teacher.A.our；She；He；SheD.ours；He( A)10.—Look at this model ship.I made it all by ________ last week.—Wow，you are so smart.A.myselfB.meC.yourselfD.yourselves( C)11.—(2022·自贡改编)This math exercise is ________ difficult ________ I can't work it out.—Come on! Use your head and you will find a way.A.such；thatB.so；whichC.so；thatD.too；that( B)12.Because of the heavy rain，I took the bus to school ________ riding a bike this morning.A.such asB.instead ofC.in factD.at first( C)13.—Are your parents doctors?—No，they are teachers.________ of them love teaching.A.AllB.SomeC.BothD.None( C)14.________we sing English songs，________ we enjoy learning English.A.The more；the muchB.The many；the manyC.The more；the moreD.The many；the much( A)15.—(2022·黄冈Would you like to have a picnic with us?—________.Thanks.A.Yes，I'd love toB.It doesn't matterC.I'm sorry to hear thatD.I don't think so第二节完形填空(共10小题，每小题1分，满分10分)Planting flowers is my favorite hobby.I can learn something new __16__ it.I bought a flower pot(盆)and some flower seeds (种子) last week.Then I __17__ some seeds in the pot.After a few days，__18__ happened.But I didn't give up watering(浇水).Another ten days later，I saw the young plants __19__.I felt very __20__because I could grow something.Just like growing flowers，we can also plant happiness.Our life is __21__an empty pot.We have lots of things to do，but we __22__ do them.That means we __23__ many things.What are the lost things? Yes，they're the seeds of hope，love and dreams.What should we plant in life? If we plant negative thoughts(消极思想)inside our __24__，we will feel sad in the future days.If we plant seeds of hope，we will get __25__.( B)16.A.at B.from C.for D.with( D)17.A.put B.sold C.bought D.planted( A)18.A.nothing B.something C.everything D.anything( C)19.A.look out B.leave for e out D.get up( B)20.A.interesting B.excited C.interested D.exciting( B)21.A.in B.like C.with D.as( C)22.A.often B.always C.seldom D.never( C)23.A.record B.grow C.lose D.send( A )24.A.hearts B.yards C.pots D.houses( D)25.A.illness B.homework C.teamwork D.happiness第二部分阅读理解(共三节，满分25分)第一节(共5小题，每小题1分，满分5分)根据短文内容，判断正误(正确“T”，错误“F”)。

40分钟限时练习（5）一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）下列各数中，比﹣4小的数是（ ）A．﹣2.5B．﹣5C．0D．2【分析】找出比﹣4小的数即可．【解答】解：比﹣4小的数是﹣5，故选：B．【点评】此题考查了有理数大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解本题的关键．2．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（ ）A．B．C．D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看是两个同心圆，内圆要画成实线．故选：C．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．3．（3分）下列计算正确的是（ ）A．a2+a3＝a2B．a3•a3＝a9C．（a3）2＝a6D．（ab）2＝ab2【分析】根据合并同类项、积的乘方与幂的乘方以及同底数幂的乘法逐项进行判断即可．【解答】解：A．a2与a3不是同类项，不能合并，a2+a3不能再计算，因此选项A不正确；B．因为a3•a3＝a3+3＝a6≠a9，所以选项B不正确；C．因为（a3）2＝a3×2＝a6，所以选项C正确；D．（ab）2＝a2b2，因此选项D不正确；故选：C．【点评】本题考查合并同类项、积的乘方与幂的乘方以及同底数幂的乘法，掌握合并同类项、积的乘方与幂的乘方以及同底数幂的乘法的运算性质是正确计算的前提．4．（3分）若关于x的方程x2+mx﹣2n＝0的一个根是2，则m﹣n的值是（ ）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【分析】根据一元二次方程的解的定义得到22+2m﹣2n＝0，易得到m﹣n的值．【解答】解：依题意得：22+2m﹣2n＝0，整理，得4+2（m﹣n）＝0．解得m﹣n＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．5．（3分）已知⊙O的半径为3，点P在⊙O外，则OP的长可以是（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】由⊙O的半径及点P在⊙O外，可得出OP的长大于3，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径为3，点P在⊙O外，∴OP的长大于3．故选：D．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，牢记“①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d ＝r；③点P在圆内⇔d＜r”是解题的关键．6．（3分）甲、乙、丙、丁四位选手各进行了10次射击，射击成绩的平均数和方差如表：选手甲乙丙丁平均数（环）9.09.09.09.0方差0.251.002.503.00则成绩发挥最稳定的是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据方差的意义比较出甲、乙、丙、丁的大小，即可得出答案．【解答】解：∵甲的方差最小，∴成绩发挥最稳定的是甲，故选：A．【点评】此题考查方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．7．（3分）如图，在矩形ABCD中，点C的坐标为（2，3），则BD的长为（ ）A．3B．32C．13D．4【分析】利用矩形的性质得出BD＝AC，求得线段AC的长即可得出BD的长．【解答】解：连接AC、BD，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC，∵点A的坐标是（0，0），点C的坐标是（2，3），∴AC=22+32=13，∴BD＝AC=13，故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、两点间的距离，能够求得对角线AC 的长是解答本题的关键．8．（3分）如图是某商场到地下停车场的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示地下停车场、商场电梯口处地面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长约是52m，则乘电梯从点B 到点C上升的高度h是（ ）A．522m B．5m C．52m D．10m【分析】如图，作CH⊥AB于H，在R t△CBH中，根据sin45°=CHBC，即可求出CH．【解答】解：如图，作CH⊥AB于H．在R t△CBH中，∵∠CHB＝90°，BC＝52m，∠CBH＝45°，∴sin45°=CH BC，∴CH＝BC×22=5（m）．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数等知识，解题的关键是记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）9．（4分）要使分式x+1x―4有意义，则x的取值应满足　x≠4　．【分析】根据分式有意义得出x﹣4≠0，求出不等式的解集即可．【解答】解：要使分式x+1x―4有意义，必须x﹣4≠0，解得：x≠4，故答案为：x≠4．【点评】本题考查了分式有意义的条件和解一元一次不等式，能熟记分式有意义的条件的内容是解此题的关键，注意：分式yx中x≠0．10．（4分）请你写一个能先提公因式，再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果　2x2+4x+2＝2（x+1）2　．（答案不唯一）【分析】本题属于开放型的题目，题目要求写一个三项式，也就是能用完全平方公式分解因式，但要先提公因式，即三项式中的每一项要有公因式．【解答】解：如2x2+4x+2，应先提公因式，再用公式，2x2+4x+2＝2（x+1）2（答案不唯一）．【点评】本题考查提公因式法，公式法分解因式，把符号完全平方公式形式的多项式都乘以一个因式，即可构造出符合要求的多项式．11．（4分）大量事实证明，环境污染治理刻不容缓，据统计，全球每秒钟约有19.2万吨污水排入江河湖海，把19.2万吨用科学记数法表示为　1.92×105　吨．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：19.2万吨＝192000吨＝1.92×105吨．故答案为：1.92×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（4分）已知a+b＝5，ab＝3，ba+ab=　193　．【分析】将a+b＝5、ab＝3代入原式=b2+a2ab=(a+b)2―2abab，计算可得．【解答】解：当a+b＝5、ab＝3时，原式=b2+a2ab=(a+b)2―2abab=52―2×33=19 3，故答案为：19 3．【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则和完全平方公式．13．（4分）小虎同学在解方程组y=kx+by=3x的过程中，错把b看成了6，其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为x=―2y=―6．又已知直线y＝kx+b过点（1，﹣8），则b的值为　﹣14　．【分析】根据二元一次方程组的解可得﹣2k+6＝﹣6，解出k的值，再根据直线y＝kx+b 过点（1，﹣8）即可求出b的值．【解答】解：根据题意，将（﹣2，﹣6）代入y＝kx+6，得﹣2k+6＝﹣6，解得k＝6，∵y＝kx+b过点（1，﹣8），∴6+b＝﹣8，解得b＝﹣14，故答案为：﹣14．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．14．（4分）菱形的周长是40cm，两邻角的比是1：2，则较短的对角线长　10cm　．【分析】作出草图，先求出菱形的边长，再根据邻角互补求出较小的内角，从而判定出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等解答即可．【解答】解：如图，∵菱形的周长是40cm，∴AB＝40÷4＝10cm，∵两邻角的比是1：2，∴∠B=11+2×180°＝60°，∵菱形的边AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴较短的对角线AC＝AB＝10cm．故答案为：10cm．【点评】本题考查了菱形的四条边都相等，邻角互补的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．15．（4分）一副三角板如图所示放置，已知斜边互相平行，则∠1的度数为　75°　．【分析】根据平行线的性质得出∠ACD＝45°，再根据三角板的特点得出∠GCD的度数，然后根据三角形内角和定理得出∠DGC，最后根据对顶角的性质即可得出∠1的度数．【解答】解：∵两三角板的斜边互相平行，∴∠EFC＝∠ACD＝45°．∵∠ACB＝30°，∴∠GCD＝∠ACD﹣∠ACB＝45°﹣30°＝15°，又∵∠GDC＝90°，∴∠DGC＝180°﹣90°﹣15°＝75°，∴∠1＝75°．故答案为：75°．【点评】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及对顶角的性质，利用平行线的性质及求出∠ACD 的度数是解题的关键．16．（4分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，以点C 为圆心的圆与AB 相切，⊙C 的半径为2.4，则AB ＝　5　．【分析】如图，设切点为D ，连接CD ，根据切线的性质得到CD ⊥AB ，根据勾股定理得到BD =BC 2―CD 2=95，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图，设切点为D ，连接CD ，∵AB 是⊙C 的切线，∴CD ⊥AB ，∵⊙C 的半径为2.4，∴CD ＝2.4，∴BD =BC 2―CD 2=95，∵∠CDB ＝∠ACB ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△BCD ∽△BAC ，∴BC AB =BD BC ，∴3AB =953，∴AB ＝5，故答案为：5．【点评】此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．三．解答题（共4小题，满分44分）17．（10分）计算：（1）3―8+(―1)2―364×1 4；（2）(―4)2―3―1+102―62．【分析】（1）先计算立方根，算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法；（2）先计算立方根，算术平方根，再计算加减法．【解答】解：（1）原式=―2+1―4×1 2＝﹣1﹣2＝﹣3；（2）原式=4+1+64＝5+8＝13．【点评】此题考查了实数的混合运算，正确计算立方根及算术平方根是解题的关键．18．（10分）解方程：（1）2x+1―1x=0（2）x―2x+2―16x2―4=1．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：2x﹣x﹣1＝0，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解；（2）去分母得：x2﹣4x+4﹣16＝x2﹣4，解得：x＝﹣2，经检验：x＝﹣2是增根，则原方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（12分）从一副扑克牌中取出红桃J、Q、K和黑桃J、Q、K这两种花色的六张扑克牌，将这三张红桃分为一组，三张黑桃分为另一组，分别将这两组牌背面朝上洗匀，然后从这两组牌中各随机抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求其中一张是J，另一张是Q的概率．【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果，找出一张是J ，另一张是Q 的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果，其中其中一张是J ，另一张是Q 的结果数为2，所以其中一张是J ，另一张是Q 的概率=29．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式计算事件A 或事件B 的概率．20．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是对角线AC 中点，过点O 作EF ⊥AC 分别交边AB ，CD 于点E ，F ．（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）当AF 平分∠CAD 时，且CF ＝5，DF ＝2，求AD 的值．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB ∥DC ，则∠FCO ＝∠EAO ，∠CFO ＝∠AEO ，再由AAS 证得△CFO ≌△AEO ，得出CF ＝AE ，则四边形AECF 是平行四边形，再由对角线垂直的平行四边形是菱形即可得出结论；（2）由菱形的性质与角平分线定义得出∠DAF ＝∠BAC ，再由平行四边形的性质得出AB＝CD ＝7，AD ＝BC ，∠ADF ＝∠ABC ，则△ADF ∽△ABC ，得出DF BC =AD AB，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，∴∠FCO ＝∠EAO ，∠CFO ＝∠AEO ，∵点O 是对角线AC 中点，∴CO ＝AO ，在△CFO 和△AEO 中，∠FCO=∠EAC∠CFO=∠AEOCO=AO，∴△CFO≌△AEO（AAS），∴CF＝AE，∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，∴∠FAC＝∠BAC，∵AF平分∠CAD，∴∠DAF＝∠FAC，∴∠DAF＝∠BAC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝CF+DF＝5+2＝7，AD＝BC，∠ADF＝∠ABC，∴△ADF∽△ABC，∴DFBC=ADAB，即AD2＝DF•AB＝2×7＝14，∴AD=14．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△ADF∽△ABC是解题的关键．。

小题满分练8一、单项选择题1．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|y＝1－x}，则A∩B等于( ) A．{1} B．(0，＋∞)C．(0,1) D．(0,1]【答案】 D【解析】∵A＝{y|y>0}，B＝{x|x≤1}，∴A∩B＝(0,1]．2．复数5i1－2i等于( )A．2－i B．1－2i C．－2＋i D．－1＋2i 【答案】 C【解析】5i1－2i＝5i1＋2i1－2i1＋2i＝－2＋i.3．(2020·新高考全国Ⅰ)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A．62% B．56% C．46% D．42%【答案】 C【解析】用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.4. (2020·新高考全国Ⅰ)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )A ．20°B ．40°C ．50°D ．90° 【答案】 B【解析】 如图所示，⊙O 为赤道平面，⊙O 1为A 点处的日晷面所在的平面，由点A 处的纬度为北纬40°可知∠OAO 1＝40°，又点A 处的水平面与OA 垂直，晷针AC 与⊙O 1所在的面垂直， 则晷针AC 与水平面所成角为40°.5．(2020·郑州模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位长度得到函数g (x )的图象，在g (x )图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为( ) A ．x ＝－π24B ．x ＝π4C ．x ＝5π24D ．x ＝π12【答案】 A【解析】 将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，再将所得图象向左平移π12个单位长度得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3，由4x ＋2π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝14k π－π24，k ∈Z ，当k ＝0时，所得对称轴离原点最近，即离原点最近的对称轴方程为x ＝－π24.6．已知定义在R 上的函数f (x )，对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，若函数y ＝f (x ＋1)的图象关于直线x ＝－1对称，则f (2 025)等于( ) A ．0 B ．2 025 C ．3 D ．－2 013 【答案】 A【解析】 ∵函数y ＝f (x ＋1)的图象关于直线x ＝－1对称， ∴函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝0，即y 轴对称， ∴y ＝f (x )为R 上的偶函数，又对任意x ∈R ，均有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)， 令x ＝－3，得f (6－3)＝f (－3)＋f (3)＝2f (3)， ∴f (3)＝0，∴f (x ＋6)＝f (x )， ∴函数y ＝f (x )是以6为周期的函数， ∴f (2 025)＝f (337×6＋3)＝f (3)＝0.7. (2020·大庆模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与函数y ＝x (x ≥0)的图象交于点P ，若函数y ＝x 的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点F (－4,0)，则双曲线的离心率是( )A.17＋44 B.17＋34 C.17＋24D.17＋14【答案】 D【解析】 设P 的坐标为(m ，m )，又左焦点F (－4,0)，函数的导数y ′＝12x，则在P 处的切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝12m ＝mm ＋4，即m ＋4＝2m ，得m ＝4， 则P (4,2)，设右焦点为A (4,0)，则2a ＝|PF |－|PA |＝64＋4－0＋4＝2(17－1)， 即a ＝17－1，∵c ＝4，∴双曲线的离心率e ＝c a ＝17＋14. 8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x ≤1，1x ，x >1，若0<a <b 且满足f (a )＝f (b )，则af (b )＋bf (a )的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1e ＋1B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1e ＋1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1e ＋1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ＋1【答案】 A【解析】 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x ≤1，1x ，x >1，若0<a <b 且满足f (a )＝f (b )， 则－ln a ＝1b且由0<－ln a <1，得1e<a <1， 又af (b )＋bf (a )＝a ·1b ＋b (－ln a )＝－a ln a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <a <1， 令g (x )＝－x ln x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <x <1， 则g ′(x )＝－ln x －1， 令g ′(x )＝0，则x ＝1e ，当1e<x <1时，g ′(x )<0， ∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上单调递减，∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1e ＋1. 即af (b )＋bf (a )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1e ＋1.二、多项选择题9．随着移动网络的发展，网上购物已经从当时雾里看花、遥不可及的状态，变成了当今非常流行的一种购物方式，大学生作为对网络很敏感的人群，他们对网上购物接受很快，是未来购物市场的主力军．某市场调查员对某市部分在校大学生在一定时间内的网购次数进行了随机调查，其相关数据统计如图所示．则下面结论中错误的是( )A ．每月最多网购1次的百分比小于每月至少网购4次的百分比B ．每周网购5次的百分比为2.1%C ．每月网购8次及以上的百分比为9.10%D ．每月网购不多于3次的百分比为69.93% 【答案】 ABC【解析】 对于选项A ，每月最多网购1次的百分比为16.08%＋21.68%＝37.76%，每月至少网购4次的百分比为1－(37.76%＋32.17%)＝30.07%，故A 错误；对于选项B ，不能认为每周网购5次的百分比是每周网购4～5次的百分比的一半，故B 错误；对于选项C ，每月网购8次及以上的百分比为4.90%＋4.20%＋6.29%＝15.39%，故C 错误；对于选项D ，每月网购不多于3次的百分比为37.76%＋32.17%＝69.93%，故D 正确．10．(2020·山东新高考名校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，S △ABC ＝23，且c cos B ＋b cos C －2a cos A ＝0，则有( )A ．A ＝π3B ．C ＝π2C ．a ＝ 3D ．c ＝2【答案】 AB【解析】 由正弦定理知，c cos B ＋b cos C －2a cos A ＝0可化为sin C cos B ＋sin B cos C －2sinA cos A ＝0，即sin(B ＋C )－2sin A cos A ＝0，因为sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A >0，所以cos A ＝12，又0<A <π，所以A ＝π3.由b ＝2，S △ABC ＝12bc sin A ＝23，得c ＝4.由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝22＋42－2×2×4×12＝12，所以a ＝23，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，则sin C ＝c ·sin A a ＝4×sinπ323＝1，又C ∈(0，π)，所以C ＝π2.11．在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n >a 1a 2a 3…a n 的正整数n的值可以为( )A ．10B ．11C ．12D ．13 【答案】 ABC【解析】 ∵正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝a 5(q ＋q 2)＝3，∴q 2＋q ＝6(q >0)． 解得q ＝2或q ＝－3(舍)， ∴a 1＝132，∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1321－2n1－2＝2n－132，∴2n －132>132n ×()122n n -.化简得2n－1>2111022n n -+，即2n－2111022n n -+>1，由于n 为正整数，当n ＝1时，上式不成立，所以n >1时，只需n >n 2－11n ＋102，即n 2－13n ＋10<0， 解得1<n ≤12(n ∈N *)，故选ABC.12．(2020·山东新高考名校联考)已知抛物线C ：x 2＝3y 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为4，则( ) A ．直线l 的倾斜角为30°或150° B ．|AF |－|BF |＝4 C.|AF ||BF |＝13或3 D ．S △AOB ＝92【答案】 ACD【解析】 由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34， 故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋34，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y ，y ＝kx ＋34，消去y ，得4x 2－12kx －9＝0，Δ＝144k 2＋144>0恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝3k ，x 1x 2＝－94，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝3(1＋k 2)＝4，∴k ＝±33. 设直线l 的倾斜角为θ，则θ＝30°或θ＝150°. 设|AF ||BF |＝λ， 则当θ＝30°时，|AF |＋|BF |＝(λ＋1)|BF |＝4，又由抛物线的定义易知|AF |－|BF |＝(λ－1)|BF |＝2，∴λ＋1|BF |λ－1|BF |＝42＝2，∴λ＋1λ－1＝2，∴λ＝3，即|AF ||BF |＝3. 由抛物线的对称性知，当θ＝150°时，λ＝13，即|AF ||BF |＝13.S △AOB ＝12×|OF |×|x 1－x 2|＝12×34×[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝12×34×⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＝92. 三、填空题13．(2020·天津)已知直线x －3y ＋8＝0和圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB |＝6，则r 的值为________． 【答案】 5【解析】 设圆心为O (0,0)，圆心到直线的距离d ＝|0－3×0＋8|1＋3＝4.取AB 的中点M ，连接OM (图略)，则OM ⊥AB .在Rt △OMA 中，r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝5. 14．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－17，则cos 2α＝________. 【答案】 －725【解析】 方法一 因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－17，所以tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－tanπ41＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4tan π4＝－17－11－17＝－43，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝－725. 方法二 tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α＝－17，所以tan α＝－43，即sin α＝－43cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.15.如图，在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝10，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H ，且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________．【答案】 15【解析】 取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，SG ∩BG ＝G ，SG ，BG ⊂平面SGB ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF ∥AC 且HF ＝12AC ，DE ∥AC 且DE ＝12AC ， 所以HF ∥DE 且HF ＝DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形．因为AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12SB ＝15.16．(2020·新高考全国Ⅰ)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC ＝35，BH ∥DG ，EF ＝ 12 cm ，DE ＝2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________ cm 2.【答案】5π2＋4【解析】 如图，连接OA ，过A 作AP ⊥EF ，分别交EF ，DG ，OH 于点P ，Q ，R .由题意知AP ＝EP ＝7，又DE ＝2，EF ＝12，所以AQ ＝QG ＝5，所以∠AHO ＝∠AGQ ＝π4. 因为OA ⊥AH ，所以∠AOH ＝π4，∠AOB ＝3π4. 设AR ＝x ，则OR ＝x ，RQ ＝5－x .因为tan ∠ODC ＝35，所以tan ∠ODC ＝5－x 7－x ＝35， 解得x ＝2，则OA ＝2 2.所以S ＝S 扇形AOB ＋S △AOH －S 小半圆＝12×3π4×(22)2＋12×4×2－12π×12 ＝⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋4cm 2.。

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1． .已知矩阵27b A a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵是273a B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，则=+b a 8 ． 2．设曲线22:41C x y +=在(,)(2,)x y x y y →-对应的变换下变成另一条曲线'C ,则曲线'C 的方程为______22':(2)41C x y y ++= 评卷人
得分 二、解答题
3．(选修4—2：矩阵与变换)（本小题满分10分）
设矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
M （其中00a b ＞，＞），若曲线C ：221x y +=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线2
214
x C y '+=：，求a b +的值．
4．已知矩阵M=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡x 221的一个特征值为3，求其另一个特征值。

高考数学艺术生冲刺精准训练(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.若集合A ＝{y |y ＝lg x }，B ＝{x |y ＝x }，则集合A ∩B ＝( ) A.(0，＋∞) B.[0，＋∞) C.(1，＋∞) D.∅【答案】 B【解析】 集合A ＝{y |y ＝lg x }＝{y |y ∈R }＝R ，B ＝{x |y ＝x }＝{x |x ≥0}，则A ∩B ＝{x |x ≥0}＝[0，＋∞).2.已知复数z 满足z ＝2＋a i1＋i (i 为虚数单位，a ∈R )，若复数z 对应的点位于直角坐标平面内的直线y ＝－x上，则a 的值为( ) A.0 B.1C.－1D.2【答案】 A【解析】 复数z 满足z ＝2＋a i 1＋i ＝（2＋a i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋a 2＋a －22i ，复数z 对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a 2，a －22位于直角坐标平面内的直线y ＝－x 上，∴－2＋a 2＝a －22，解得a ＝0.3.设函数f (x )＝x 2－2x －3，若从区间[－2，4]上任取一个实数x 0，则所选取的实数x 0满足f (x 0)≤0的概率为( ) A.23 B.12 C.13D.14【答案】 A【解析】 由f (x 0)≤0，得到x 20－2x 0－3≤0，且x 0∈[－2，4]，解得－1≤x 0≤3，∴P ＝3＋14＋2＝23.4.已知三个不同的平面α，β，γ，且α⊥γ，那么“β⊥γ”是“α∥β”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】 B【解析】 当α⊥γ，β⊥γ时，不一定有α∥β，如图所示，α∩β＝l .显然当α∥β，α⊥γ时，有β⊥γ，所以“β⊥γ”是“α∥β”的必要不充分条件.5.中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.其意是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里.若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为( )A.17532里 B.1 050里C.22 57532里 D.2 100里【答案】 C6.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为( )A.9πB.18πC.36πD.144π【答案】 C【解析】由三视图可知：该几何体为一个横放的直三棱柱，高为4，底面是一个直角边长分别为2，4的直角三角形，其中下面的一个侧面为边长为4的正方形.将该三棱柱补成一个长方体，从同一顶点出发的三条棱长为4，4，2.设外接球的半径为R ，则2R ＝42＋42＋22，R ＝3. 因此外接球的表面积S ＝4πR 2＝36π.学_科网7.已知|AB →|＝3，|AC →|＝23，∠BAC ＝30°，且2AC →＋3DC →＝5BC →，则AC →·CD →等于( ) A.－2 B.3 C.4 D.－5【答案】 B【解析】 由2AC →＋3DC →＝5BC →得2AB →＝3BD →，即AD →＝53AB →，∴AC →·CD →＝AC →·(CA →＋AD →)＝－12＋|AC →|·|AD →|cos A＝3.8.若实数x ，y 满足|x |≤y ≤1，则x 2＋y 2＋2x 的最小值为( ) A.12 B.－12C.22D.22－1 【答案】 B【解析】 x ，y 满足|x |≤y ≤1，表示的可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1的几何意义是可行域内的点到D (－1，0)的距离的平方减1.显然D (－1，0)到直线x ＋y ＝0的距离最小，最小值为12＝22，故所求表达式的最小值为12－1＝－12. 9.执行下面的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S ＝( )A.2B.3C.4D.5【答案】 B10.将函数f (x )＝2sin 2x －2cos 2x ＋1的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数y＝g (x )的图象，则下列关于函数y ＝g (x )的说法错误的是( ) A.函数y ＝g (x )的最小正周期为πB.函数y ＝g (x )的图象的一条对称轴为直线x ＝π8C.D.函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π8上单调递减 【答案】 D【解析】 把f (x )＝2sin 2x －2cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象，再向下平移1个单位，得到函数y ＝g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象.对于A ，由于T ＝2π2＝π，故正确. 对于B ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝2为最大值，∴g (x )关于x ＝π8对称，正确.对于C ，∫π202sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4d x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎪⎪⎪⎪π20＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos 5π4－cos π4＝2，C 正确.对于D ，由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，得函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π8上单调递增，故错误.11.已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10【答案 】A【解析】 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 2直线的斜率为－1k ，故l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1），消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，由抛物线定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k2.同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4k2≥8＋216＝16.当且仅当1k2＝k 2，即k ＝±1时取等号.故|AB |＋|DE |的最小值为16.12.已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的单调函数，且对∀x ∈(0，＋∞)，都有f [f (x )－ln x ]＝e ＋1，设f ′(x )为f (x )的导函数，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3【答案】 B【解析】 根据题意，对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f [f (x )－ln x ]＝e ＋1，又由f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，则f (x )－ln x 为定值，设t ＝f (x )－ln x ，则f (x )＝ln x ＋t ， 又由f (t )＝e ＋1，即ln t ＋t ＝e ＋1，解得t ＝e ， 则f (x )＝ln x ＋e ，f ′(x )＝1x>0，故g (x )＝ln x ＋e －1x ，则g ′(x )＝1x ＋1x2>0，故g (x )在(0，＋∞)上递增.又g (1)＝e －1>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1<0， 所以存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，使得g (x 0)＝0，故函数g (x )有且只有1个零点. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.) 13.某校高一年级有900名学生，其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________.【答案】 25【解析】 由题意知，男生人数＝900－400＝500，所以抽取比例为男生∶女生＝500∶400＝5∶4，样本容量为45，所以抽取的男生人数为45×59＝25.14.若(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 3a 2＝________. 【答案】 －2【解析】 由通项公式，得T r ＋1＝C r5(－2x )r＝(－2)r C r 5x r，令r ＝3，则a 3＝(－2)3C 35＝－80；令r ＝2，则a 2＝(－2)2C 25＝40.因此a 3a 2＝－8040＝－2.15.在平面直角坐标系中，直线x ＝32与双曲线x 23－y 2＝1的两条渐近线分别交于点P ，Q .其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________. 【答案】 2 316.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos C ＝19，且a cos B ＋b cos A ＝2，则△ABC 面积的最大值为________.【答案】52【解析】 由a cos B ＋b cos A ＝2及余弦定理，得a 2＋c 2－b 22c ＋b 2＋c 2－a 22c＝2，∴c ＝2.∴4＝a 2＋b 2－2ab cos C ≥2ab －29ab ，则ab ≤94，当且仅当a ＝b ＝32时等号成立.又cos C ＝19，C ∈(0，π)，得sin C ＝459.∴S △ABC ＝12ab sin C ≤12×94×459＝52.。

专题03 小题限时练三一．选择题（共8小题） 1．复数31ii+-的虚部为( ) A ．4- B ．2- C ．2 D ．42的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的体积为( )A ．3π B ．23π C D ．π3．中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等，如图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图：则下列结论中不正确的是( )A ．这一星期内甲的日步数的中位数为11600B ．乙的日步数星期四比星期三增加了1倍以上C ．这一星期内甲的日步数的平均值大于乙D ．这一星期内甲的日步数的方差大于乙 4．“0a b <<”是“11a b a b-<-”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00G G L L D=，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：20.3010lg ≈，30.4771)(lg ≈ ) A ．11B ．22C ．227D ．4816．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为3π的直线交C 于A ，B 两点，线段AB ||(AB = ) A ．83B ．4C ．8D ．247．甲烷是一种有机化合物，分子式为4CH ，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分．如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离(H H d H H --键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离(C H d C H --键长）均相等，任意两个H C H --键之间的夹角为（键角）均相等，且它的余弦值为13-，即1cos 3HCH ∠=-，若C H d a -=，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为( )ABC D 8．已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且(22)()AP AB AC R λλλ=+-∈，则PA PC ⋅的最小值为( ) A ．16B ．12C ．5D ．4二．多选题（共4小题）9．已知点M 在直线:4(3)l y k x -=-上，点N 在圆22:9O x y +=上，则下列说法正确的是( )A ．点N 到l 的最大距离为8B ．若l 被圆O 所截得的弦长最大，则43k =C ．若l 为圆O 的切线，则k 的取值范围为{0，7}24D ．若点M 也在圆O 上，则O 到l 的距离的最大值为3 10．设1z ，2z 为复数，则下列命题正确的是( ) A ．若12||0z z -=，则12z z = B ．若12||||z z =，则2212z z =C ．若120z z +>，则21z z =D ．若120z z =，则10z =或20z =11．平面向量,m n 满足||||1m n ==，对任意的实数t ，1||||2m n m tn -+恒成立，则( )A ．m 与n 的夹角为60︒B ．22()()m tn m tn ++-为定值C ．||n tm -的最小值为12D ．m 在m n +上的投影向量为1()2m n +12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为线段1BD 上的动点（含端点），则( )A ．存在点M ，使得CM ⊥平面1A DB B ．存在点M ，使得//CM 平面1A DBC ．不存在点M ，使得直线1C M 与平面1A DB 所成的角为30︒D ．存在点M ，使得平面ACM 与平面1A BM 所成的锐角为45︒ 三．填空题（共4小题）13．函数()1x f x e =-的图象在0x =处的切线方程为 ． 14．5(1)x x -的展开式中2x 项的系数是 ．（用数字作答） 15．已知等比数列{}n a 的公比15241131,,84q a a a a >+=⋅=，则2n a = ． 16．在平面直角坐标系xOy 中，已知1F ，2F 为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，1A ，2A 为C 的左、右顶点，P 为C 左支上一点，若PO 平分12A PF ∠，直线1PF 与1PA 的斜率分别为1k ，2k ，且12kk =-=C 的离心率等于 ．。