机械振动大作业
姓名：徐强
学号：SX1302106
专业：航空宇航推进理论与工程
能源与动力学院
2013年12月
简支梁的振动特性分析
题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。 解答：
一、 单自由度简支梁的振动特性
如图1，正方形截面（取5mm ×5mm ）的简支梁，跨长为l =1m ，质量m 沿杆长均匀分布，将其简化为单自由度模型，忽略阻尼，则运动微分方程为0=+•
•kx x m ,固有频率ωn =
eq
eq m k ，其中k 为等效刚度，
eq m 为等效质量。因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有
频率。
根据材料力学的结果，由于横向载荷F 作用在简支梁中间位置而
引起的变形为）（2
24348EI F -)(x l x x y -=（2
0l x ≤≤）, 48EI F -3max l y =为最大挠
度，则： eq k =δF
=
348EI
l
梁本身的最大动能为：
）（224348EI F -
)(x l x
x y -==）（223
max
43x l l x y -
T max =2×dx x y l m l 2
20)(21⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧•⎰=2max 351721•y m ）
（
如果用eq m 表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小，它的最大动能可表示为：
T max =2max
21
•y m eq
所以质量为m 的简支梁，等效到中间位置的全部质量为： m m eq 35
17=
故单自由度简支梁横向振动的固有频率为：
ωn =
eq
eq m k =
3
171680ml
EI
m
k
图1 简支梁的单自由度模型
二、 双自由度简支梁的振动特性
如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等,因此只要求出在3/l 处的等效质量即可。在6/l 至2/l 之间积分，利用最大动能进行质量等效，略去小量得：
m m eq 258≈
所以，质量矩阵为：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→
1001258m m
双自由度简支梁的柔度矩阵：
在b=3/2l 处作用单位力，挠曲线方程为：）（222
6EI b -
)(b x l l
x x y --=则3/l 处的变形为：δ712=a ，同理可求：δ721=a ，δ82211==a a ，其中EI
l 4863
=δ。
所以，柔度矩阵为：
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=→
8778δa
动力矩阵：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=
→
877825
8δm D
令特征行列式为零，得到频率方程为：
=-=∆→
→
D I λ
其中，2
1
ωλ=
，将上式整理得：
116158177812=+-=---=
∆a a a
a a a
-
其中，25
82582
δωλδm m a ==。 解上述方程的根为：
15
1
1=
a ,δωm 245
1= 12=a ,δ
ωm 825
2=
由式→
→
→
→=-0)(）（i i X D I λ，2,1=i
其中⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=→
)(2)(1i i i X X X
）（，分别将1ω、2ω代入上式，得 第一、二阶主振型分别为：
⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→
11)1(1
1X X
）（， ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=→1-1)1(12X X ）（
图2 简支梁的双自由度模型
三、 三自由度简支梁的振动特性
如图3，将简支梁简化为三自由度模型，按照双自由度类似的等效思想，可得等效质量：
m m m 41m 231≈
≈=
因此，质量矩阵为：
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→
1000100014m m 由机械振动中文教材例6.6可知，系统的柔度矩阵为：
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=→
91171116117119δa
其中，EI
l 7683=δ。 动力矩阵：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=→
911711161171194δm D
令特征行列式为零，得到频率方程为： 0=-=∆→
→D I λ
其中，2
1
ω
λ=
，将上式整理得：
091117111611171191=---------=∆a
a a a a a a
a
a
其中，442
δωλδm m a ==。
利用Matlab 软件,求解上述方程的根为：
0317
.01=a ,δωm a 1
14=
5.02=a ,δωm a 2
24=
254.23=a ,δ
ωm a 3
34=
由式→
→
→
→=-0)(）（i i X
D I λ，3,2,1=i
其中⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→
)(3)(2)
(1i i i i X X X X ）（，分别将1ω、2ω、3ω代入上式，得 第一、二、三阶主振型分别为：
⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→
121)1(11X X
）（， ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→1-01)2(12X X ）（, ⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→
12-1)1(13X X ）（
