一、知识讲解：
1.等腰三角形是一种特殊的三角形,等边三角形又是特殊的等腰三角形.它们除其有一般三角形的边、内角、外角的性质之外,还有许多特殊性.
2.等腰三角形和等边三角形的性质和判定。 性 质
判 定
等腰三角形
1.由定义可得：等腰三角形两个腰相等。
2.定理：等腰三角形的两个底角相等。(同一三角形中,等边对等角)
3.定理推论：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线,底边上的高线互相重合。
4.对称性，等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴。（底边的中垂线）
1.用定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.定理：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。即同一三角形中，等角对等边。
等边三角形
1.由定义可得：三边相等。
2.定理推论,等边三角形的各角都相等且每个角都等于60°。
3.对称性：等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴，即三条边的垂直平分线。
4.具有等腰三角形的所有性质。
1.由定义：三边都相等的三角形是等边三角形。
2.定理推论：三个角都相等的三角形是等边三角形。
3.定理推论：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
直角三角形
1.直角三角形中两个锐角互余。
2.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3.勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。
1.由定义：有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。
2.勾股定理逆定理。
如果三角形的三边长a,b,c有下面关系：a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形。
二、例题精讲：
说明:等腰三角形具有两条腰相等以及两个底角相等的性质,这些性质不仅可以用于证明,而且也常常用于计算线段或角的大小.
例1.等腰三角形顶角的外角与一个底角的外角和等于245°,求它的顶角的度数.
分析: 这是关于等腰三角形角的计算.可考虑应用设未知数列方程的方法计算.
解: (一)设这个等腰三角形的顶角为x°,根据"同一三角形中等边对等角",则它的一个底角为，这个顶角的外角为，底角的外角为[180-.
由题意可得: (180-x)+[180-(180-x)]=245
∴180-x+180-90+x=245
∴-x=245-270
∴x=50
答:这个三角形顶角为50°.
解: (二)设顶角为x°,底角为y°,顶角外角为(180-x)°,底角外角为(180-y)°.
由三角形内角和定理可得:x+2y=180
由题意可
得: (180-x)+(180-y)=245, ∴x+y=115,
∴ 解方程组得
答:这个三角形顶角为50°.
例2.等腰三角形中的一个内角为50°,求另外两个角的度数.
分析:等腰三角形的顶角可以是锐角,也可以是直角或钝角,等腰三角形的底角必为锐角.因此这个50°的角既可以是顶角又可以是底角,所以要分类进行讨论.
解:若顶角为50°时,
由等腰三角形的两个底角相等和三角形内角和定理可得一底角为:=65°.
∴三角形另外两个角都为65°,
若底角为50°,
则另一底角也为50°,由内角和又可求另一角为
180°-(2×50°)=80°。
∴三角形另外两个角一个为50°,另一个为80°.
例3.等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm.求它的周长.
分析:等腰三角形的边有两种:一是等腰三角形的两条腰相等,另一是等腰三角形的底边.因此此题的已知条件中两边长为25cm和13cm,有可能腰为25cm或13cm，两种情况都可以构成三角形，因此要分类讨论.
解: (1)若腰长为25cm时,则另一腰也为25cm,底边长为13cm.
∴等腰三角形周长=25+25+13=63(cm)
(2)若底边长为25cm时,则腰长为13cm,
∴等腰三角形周长=25+13+13=51(cm)
说明:1.等腰三角形的两个底角相等是等腰三角形很重要的一条性质,由于等腰三角形图形的特殊性,特别要注意分类讨论思想的运用,需要看是顶角还是底角,边是腰还是底边,只有将这些内容考虑周全,才会使解答更加完整.
2.若等腰三角形两边长为25cm和12cm,求三角形周长时,腰长只能为25cm,周长只能为62cm.若腰长为12cm,则两腰长的和24cm<底边25cm,不符合三角形两边之和大于第三边的定理.
例4.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15cm和11cm两部分,求这个三角形的底边长.
分析:解这类的问题为了便于分析和解答先根据题意画出图形,写出已知和所求再解答.
已知:如图△ABC中,AB=AC,BD为AC中线,且BD将△ABC周长分为15cm和11cm两部分,求△ABC的底边BC的长.
分析:①由图中可知BD将△ABC周长即AB+AC+BC分成两部分为:AB+AD和BC+CD,题中的已知条件并没有指明哪一部分为15cm和11cm,因此应对这题进行分类讨论.②为便于解题可采用设元法用方程思想去解决.
解:设腰长AB=AC=2x,底边BC=y,
∵BD为AC中线(已知) ∴AD=CD=x(线段中点定义)
∴AB+AD=2x+x=3x,BC+CD=y+x.
1)当AB+AD=15,即3x=15,BC+CD=11,即x+y=11时，
解方程组得
∴底边长为6cm.
2)当AB+AD=11,即3x=11,BC+CD=15,即x+y=15时.
解方程组得 ∴底边长为cm.
两种解都能构成三角形，且都符合题意
答:这个等腰三角形的底边长为6cm或cm.
说明:在这二种情况中一定要注意求出底边长之后应养成检验的好习惯,看是否符合题意.由(1)中可知BC=6,则腰长AB=2x=10, ∴AB+AC>BC符合题意.同理(2)中BC=,AB+AC=4x=>BC,也符合题意.若AB+AC
例5.如图AB=AC，D是AE上一点，且BD=DC。 求证：AE⊥BC。
分析：由AB=AC可知ΔABC是等腰三角形应联想它的性质，要证明AE⊥BC须证AE平分∠BAC，根据已知AB=AC，BD=DC，AD=AD，可得ΔABD≌ΔACD，得出∠1=∠2，再由性质证出AE⊥BC。
证明：在ΔABD和ΔACD中，
∵
∴ΔABD≌ΔACD（SSS）
∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）
又∵AB=AC（已知）
∴AE⊥BC（等腰三角形顶角的平分线是底边的高线）。
例6.如图在ΔABC中，AB=AC，E在BA延长线上，且AE=AF，求证：EF⊥BC。
分析：要证明EF⊥BC不大好入手，但是否可以找到一条垂直于BC的直线，再证EF与之平行呢？这个设想是可以完成的。因为图形有等腰ΔABC，BC边的中线、高线与∠BAC的平分线三线合一。
证明：作∠A的平分线AD交BC于D，延长EF交BC于M，
∵ΔABC中，AB=AC（已知），
∴AD⊥BC于D
（等腰三角形顶角平分线是底边的高线）
∵∠BAC是ΔAEF的外角（如图）
∴∠BAC=∠3+∠4
（三角形外角等于和它不相邻的两个内角和）
∵AE=AF（已知） ∴∠3=∠4（同一三角形中等边对等角）
∴∠BAC=2∠4（等式性质）∴∠4=∠BAC，
又∵∠2=∠1（作图），∴∠2=∠BAC（角平分线定义）
∴∠2=∠4（等量代换）
∴AD//EF（内错角相等两直线平行）
∴∠EMB=∠ADB（两直线平行同位角相等）
∵AD⊥BC（已证） ∴∠ADB=90°（垂直定义）
∴∠EMB=90°（等量代换）
∴EF⊥BC（垂直定义）。
说明：如果补充定理：若a//b,且a⊥c, 则b⊥c，则可不作EF延长线，证出AD//EF后，再由AD⊥BC，直接可证出EF⊥BC。
例7.如图△ABC是等边三角形, △ADE是以AD,AE为腰的等腰三角形,∠DAE=80°,∠BAD=15°,求∠CAE和∠EDC的度数.
分析:题中除有两个角的具体度数外,还隐含了等边三角形每个角都是60°的条件.这样可以从∠DAC=∠BAC-∠BAD求得∠DAC度数,也就求得了∠CAE的度数.又可由△ADE为等腰三角形,则∠ADE=(180°-∠DAE),以及∠ADC是△ABD的外角,也可求得∠EDC的度数.
解:∵△ABC为等边三角形(已知)
∴∠B=∠BAC=60°(等边三角形的每一个角为60°)
∵∠2=∠BAC-∠1(全量等于部分之和)
∵∠1=15°(已知)
∴∠2=60°-15°=45°(等式性质)
又∵∠3=∠DAE-∠2(全量等于部分之和)
∵∠DAE=80°(已知) ∠2=45°(已求)
∴∠3=80°-45°=35°(等式性质),即∠CAE=35°
在△ADE中, ∵AD=AE(已知)
∴∠ADE=AED(同一三角形中,等边对等角)
又∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°(三角形内角和定理)
∴∠ADE=(180°-∠DAE)=(180°-80°)=50°(等式性质)
∵∠ADC是△ABD外角,
∵∠1=15° ∠B=60°(已求)
∴∠ADC=∠1+∠B(三角形外角等于和它不相邻的两个内角和),
=15°+60°=75°(等式性质)
∵∠EDC=∠ADC-∠ADE(全量等于部分之和)
=75°-50°(等量代换)
=25°
答: ∠CAE为35°, ∠EDC为25°.
例8.如图,在直角△ABC中, ∠BAC=90°,D,E在BC上,且BE=AB,CD=AC,求∠DAE的度数.
分析: 如图（1）先观察∠DAE在图形中的位置,首先, ∠DAE是△ADE的内角,则∠DAE=180°-(∠1+∠2),而∠1,∠2又分别是等腰△ABE和等腰△ADC的底角,又可从中找到∠1,∠2与∠B,∠C的关系,又∠B+∠C=90°,这样理清这样一串角之间的关系,就可以从中求得∠DAE.
解: (一) ∵BE=AB(已知) ∴∠1=∠BAE(同一三角形中,等边对等角)
∵∠1+∠BAE+∠B=180°(三角形内角和定理)
∴∠1=(180°-∠B) (等式性质)
同理可求∠2=(180°-∠C)
在△ADE中,∵∠DAE=180°-(∠1+∠2)(三角形内角和定理)
∴∠DAE=180°-[(180°-∠B)+(180°-∠C)](等量代换)
=180°-(180°-∠B-∠C)
=(∠B+∠C)
又∵∠BAC=90°(已知) ∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理)
∴∠B+∠C=180°-90°=90°(等式性质)
∴∠DAE=(∠B+∠C)(已证)
=×90°(等量代换)
=45°
答: ∠DAE的度数为45°.
解法二： 分析： 如图（2） 由上可知∠DAE与∠1、∠2是ΔAED的三个内角，同时∠DAE与∠3和∠4又能组成直角，且∠2=∠DAC，∠1=∠BAE，都与∠EAD有关，因此可设元找它们之间的关系，用方程思想去解决。
解：设∠EAD=x°, ∠3=y°, ∠4=z°,
∵CA=CD（已知）
∴∠CAD=∠2（同一三角形中等边对等角）
∴∠CAD=∠2=x+y,
又∵AB=BE（已知），
∴∠1=∠EAB（同一三角形中，等边对等角）
∴∠EAB=∠1=x+z,
∵∠EAD+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理)，
∴x+(x+z)+(x+y)=180°, 即3x+y+z=180°,
又∵∠3+∠EAD+∠4=∠CAB（全量等于部分之和），
即y+x+z=90°,
∴
由（2）-（1） ∴2x=90°, ∴ x=45°,
答：∠EAD为45°。
例9.如图在ΔABC
中，∠A，∠B的外角平分线分别交对边CB、AC的延长线于D，E且AD=AB=BE，求∠BAC的度数。
分析：题目的已知条件中，没有出现一个角的具体数值，却有着相当多的角的关系：两个等腰三角形，两个外角平分线。点B的周围是这些角的汇集处。可以从两个方面分析，向点B集中。为了使思维清楚表达方便，设∠BAC=x°，从∠BAD出发，通过AD是ΔABC外角的平分线以及ΔABD是等腰三角形，可用x表示∠ABD。而另一个方向是从∠BAC出发，通过ΔABE是等腰三角形，BE是ΔABC外角平分线，用x表示∠CBF，最终通过对顶角∠ABD=∠CBF关系，列出关于x的方程，解得x，即求出∠BAC。
解：设∠BAC=x,
∵∠BAG是ΔABC外角，∴∠BAG=180°- x（平角定义），
∵AD是∠BAG平分线（已知），
∴∠DAB=∠BAG（角平分线定义），
∴∠DAB=(180°-x)=90°-x（等式性质）
ΔABD中，∵AB=AD（已知）
∴∠ABD=∠D（同一三角形中等边对等角）
又∵∠D+∠ABD+∠DAB=180°（三角形内角和定理），
∴∠ABD=∠D=(180°-∠DAB)（等式性质）
=[180°-(90°-x)]（等量代换）
=45°+
∵AB=BE（已知），∴∠BAE=∠E（同一三角形中等边对等角），
∴∠E=x°（等量代换），
∵∠FBE是ΔABE外角（如图），
∴∠FBE=∠BAE+∠E（三角形外角等于和它不相邻的两个内角和），
=2x（等式性质），
∵BE是∠CBF的角平分线（已知），
∴∠FBC=2∠FBE（角平分线定义）
=2(2x)=4x(等式性质)，
∵∠ABD=∠FBC（对顶角相等），
∴45+=4x(等量代换)，
解方程得x=12°, 答：∠BAC的度数为12°。
例10、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
分析：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。
解：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0.
∵(a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0.
∴a=3,b=4,c=5.
∵32+42=52,
∴a2+b2=c2.
由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。
评注：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的
例11.求证等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
说明：此题是文字题，把文字题“翻译”成“已知”，“求证”等符号语言， 是我们这段学习中应当掌握的。
已知：ΔABC中，AB=AC，BD⊥AC于D。 求证：∠DBC=∠BAC。
分
析：要证明∠DBC=∠BAC，则需找出一个角使它等于∠DBC的二倍，再证其与∠BAC相等。因此以BD为一边，以B为顶点，在BD另一旁作∠EBD=∠CBD，得∠EBC=2∠CBD，再证∠EBC=∠BAC。
证法（一）：以BD为一边，以B为顶点，在BD的另一旁作
∠EBD=∠CBD，BE交AC于E，
∴∠EBC=2∠CBD，
∵BD⊥AC于D（已知），
∴∠EDB=90°， ∠BDC=90°（垂直定义），
∴∠EDB=∠BDC（等量代换），
在ΔBED和ΔBCD中，
∵
∴ΔBED≌ΔBCD（ASA）
∴∠BEC=∠C（全等三角形对应角相等）
在ΔEBC中，∵∠EBC=180°-∠BEC-∠C（三角形内角和定理），
∴∠EBC=180°-2∠C（等式性质），
又∵AB=AC（已知），∴∠ABC=∠C（同一三角形中等边对等角），
∵∠A=180°-∠ABC-∠C（三角形内角和定理），
∴∠A=180°-2∠C（等式性质），
∴∠EBC=∠A（等量代换），
∵∠EBC=2∠DBC（已证），∴∠A=2∠DBC（等量代换），
∴∠DBC=∠BAC（等式性质）。
方法（二）：分析要证明∠CBD=∠BAC，则需找
一个角使它等于∠BAC，再证其与∠DBC相等，
作∠BAC平分线AF得到∠2=∠BAC，
由AB=AC AF⊥BC，由∠DBC=90°-∠C，∠2=90°-∠C ∠2=∠DBC，即∠DBC=∠BAC。
方法（三）：分析：直接应用定理进行计算出
∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-2∠C=2(90°-∠C)，
又因为 ∠DBC=90°-∠C，可证出∠DBC=∠BAC。
方法（四）：类似法（一）如图作
∠CBE=∠DBC，BE交AC延长线于E，
很容易推出∠ACB=∠2+∠E，
∠ABC=∠1+∠3 ∠3=∠E，
由垂直条件 ∠3+∠A=90°，∠1+∠2+∠E=90°，则∠1+∠2=∠A，∴∠DBC=∠A。
说明：证明一个角等于另一个角的二倍或一半时，常用以下几种方法：（1）先作一个角等于小角的二倍，再证其与大角相等（如法一，法四）
（2）先作一个角等于大角的一半，再证其与小角相等（如法二）
（3）运用代数运算来推导（如法三）
附录：
一、教学内容及要求： 单元
节次
知识要点
教学要求
四
等
腰
三
角
形
3.12——3.13
等腰三角形的性质,判定.
(1)等腰三角形的性质和判定.
(2)等边三角形的性质和判定.
(3)三角形边、角不等的关系.
D
D
C
3.14线段垂直平分线.
线段垂直平分线的性质定理及逆定理. C(D)
3.15轴对称和轴对称图形.
(1)轴对称及轴对称图形.
(2)作轴对称图形.
B(C)
B
C
五
勾股定理
3.16—3.17勾股定理,逆定理.
(1)勾股定理及其逆定理.
(2)直角三角形的判定.
(3)直角三角形的性质.
D
C
注:A.了解. B.理解 C.掌握 D.灵活运用.
二.技能要求:
1.掌握等腰三角形,等边三角形的有关性质,判定定理及其证明,并能灵活运用定理进行有关的论证和计算.
2.掌握直角三角形有关性质,判定定理,掌握勾股定理及逆定理,运用这些知识进行有关论证和计算.
3.掌握角平分线性质,定理和逆定理,掌握线段垂直平分线的性质定理,逆定理及证明,并能运用这些知识进行有关论证和计算.
4.会画出线段,角,等腰三角形等图形的对称轴,会画出简单图形关于某直线成轴对称的图形.