【100所名校】2018-2019学年江苏省无锡市天一中学高三11月月考 数学试题(解析版)

【点睛】
本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式、两角和的正切公式以及利用基本不等式求最值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，，利用基本不等式求最值，注意应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”.
13．
16．（1）5；（2） .
【解析】
【分析】
（1）在 中， , ,由余弦定理得 ，解得 ；（2）在 中，由正弦定理得 ，解得 ，利用三角形面积公式可得结果.
【详解】
（1）在 中，由余弦定理得 ，解得 .
（2）在 中，由正弦定理得 ， ，
解得 ，
所以
.
【点睛】
本题主要考查正弦定理、三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2） ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
②
（1） 时， 在 单调递减，
在 上没有零点.
又 ,故 在 上也没有零点，因此不满足题意.
(2) 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 上没有零点.
又 ，故 在 上也没有零点，因此不满足题意.
(3) 时， 在 上没有零点，
在 上只有零点2，满足条件.
(4) 时， 在 上没有零点，在 上有两个不相等的零点，
（1）借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．
（2）借助函数图象的性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需要注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现由“数”向“形”的转化．
10．
【解析】试题分析：由 可得 .又因为 所以 .又因为 .又因为 所以 .所以 .本小题关键是角的和差的余弦公式的正逆方向的应用.
3．
【解析】
【分析】
直接由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0 ,列不等式求解即可得结果.
【详解】
要使函数 有意义，
则 解得 ，
函数 的定义域为 ，故答案为 .
【点睛】
本题主要考查具体函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3)若已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域由不等式 求出.
考点：1.余弦和差公式的应用.2.解三角方程.
11．
【解析】
试题分析：由 得 ，即 ，所以 ，于是 ，又 ，即 ，所以 ；
考点：1.向量的数量积；
12．
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式化简 可得 ，由此得
，利用基本不等式可得结果.
【详解】
，
，
，
可得 ，
， ， ，
，故答案为-4.
14．
【解析】
【分析】
存在 ,使 ，等价于 ，化简 的解析式，判断 的单调性，讨论 的单调区间与区间 的关系，求出 在 上的最小值，令最小值小于或等于零解出 即可.
【详解】
存在 ,使 ，
，
当 时, ,
在 上单调递减；
当 时, ，
在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， ，
在 上单调递增，
(1)若 ，即 时， 在 上单调递增,
（方法2）依题意， ，则
．
（2）依题意， ， ，因为x y，所以 ，
整理得， ，令 ，
则 .
令 ，得 或 ，又 ，故 .
列表：
0
↘
极小值
↗
故当 时， ，此时实数 取最大值 .
考点：1.向量数量积的坐标公式；2.向量共线的坐标公式；3利用导数求函数的最值；
18．(1) 是“局部奇函数”，理由见解析；(2) ；(3)
,
解得 ；
(2)若 ，即 时， 在 上单调递减，
在 上单调递增，
，
解得 ，
综上， 的取值范围是 ，故答案为 .
【点睛】
本题主要考查不等式有解问题以及利用导数研究函数的单调性、求函数最值，考查了分类讨论思想的应用，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为 有解（ 即可）或转化为 有解（ 即可）.
7．
【解析】
试题分析：由题意得 ,实数 的最小值为
考点：三角函数周期
8．
【解析】
联立方程 与 可得 ，解之得 ，所以 ，因 到 轴的距离为 ，所以 的面积为 ，应填答案 。
9．
【解析】
试题分析：由题意 在 上单调递减，又 是偶函数，则不等式 可化为 ，则 ， ，解得 ．
【考点】利用函数性质解不等式
【名师点睛】利用数形结合解决不等式问题时，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：
4．1
【解析】
【分析】
求出原函数的导函数，可得到曲线 在 处的导数值,根据导数的几何意义可得结果.
【详解】
因为曲线 在 处的切线的斜率就是曲线 在 处的导数值，
由 得 ,
，
即曲线 在 处的切线的斜率为1，故答案为1.
【点睛】
本题考查了利角导数研究曲线上某点处的切线斜率,曲线在某点处的导数值,即为曲线上以该点为切点的切线的斜率，是中档题.
（Ⅰ）已知二次函数 ，试判断 是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（Ⅱ）若 是定义在区间 上的“局部奇函数”，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）若 为定义域 上的“局部奇函数”，求实数 的取值范围．
19．如图， 、 是海岸线 、 上的两个码头， 为海中一小岛，在水上旅游线 上．测得 ， ， 到海岸线 、 的距离分别为 ， ．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、填空题
1．设集合 ，则 _______．
2．命题：“ 使得 ”的否定为__________.
3．函数 的定义域为_________.
4．曲线 在 处的切线的斜率为_________.
5．若函数 是偶函数，则实数 ______．
6．已知 ，函数 和 存在相同的极值点，则 ________．
7．已知函数 .若 ，则实数 的最小值为______.
8．已知函数 与函数 的图象交于 三点，则 的面积为________.
9．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（− ，0）上单调递增.若实数a满足f（2|a-1|）＞f（ ），则a的取值范围是______.
所以
．
来自百度文库令 ，
得 ，所以函数 的单调增区间是 ， ．
【点睛】
本题主要考查三角函数的单调性、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及正弦函数的单调性，属于中档题.函数 的单调区间的求法：(1)代换法：①若 ,把 看作是一个整体，由 求得函数的减区间， 求得增区间；②若 ,则利用诱导公式先将 的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2)图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.
15．（1） ；（2） ,
【解析】
【分析】
（1）由 ，两边平方可得 ，结合 ，可得 ，即 ；（2）由（1）知， ，利用二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数 化为 ，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数 的递增区间.
【详解】
（1）由 ，得 ，
即 ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，即 ．
（2）由（1）知， ，
（1）求水上旅游线 的长；
（2）海中 ，且 处的某试验产生的强水波圆 ，生成 小时时的半径为 ．若与此同时，一艘游轮以 小时的速度自码头 开往码头 ，试研究强水波是否波及游轮的航行？
20．已知函数 ， .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）证明：当 时，曲线 恒在曲线 的下方；
（3）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
5．1
【解析】
【分析】
由函数 是偶函数，利用 求得 ，再验证即可得结果.
【详解】
是偶函数，
，即 ，解得 ，
当 时， 是偶函数，合题意，故答案为1.
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由 求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
且和为 ,故满足题意的范围是 .
综上所述， 的取值范围为 ，故答案为 .
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与零点以及分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.
17．（1） ；（2） ；
【解析】
试题分析：（1）向量数量积问题可以先求向量的坐标，再利用坐标运算；或者先符号运算进行化简，再代入坐标；（2）由向量共线得到 与 的关系式，用 表示出 ，再利用导数求该函数的最大值，为了便于运算，可以求 的最小值；
试题解析：（1）（方法1）当 ， 时， ， ( )，
则 ．
【解析】
【分析】
对 分四种情况讨论，分别判断函数的单调性与最值，根据单调性、最值，判断函数是否有零点，若函数有零点，判断所有零点的和是否不大于6，综合各种讨论结果，即可得结论.
【详解】
① ，
时， 在 单调递减，
且 在 有一个小于0的零点；
时， 在 单调递增，
， 在 有一个小于1的零点，因此满足条件.
2．
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题，既要改写量词，又要否定结论，可得原命题的否定形式.
【详解】
因为特称命题的否定是全称命题,
既要改写量词，又要否定结论，
故命题“ ”
的否定是 ，故答案为 .
【点睛】
本题主要考查特称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.
10．已知 ，且 ， ，则 ______．
11．在平行四边形 中， ，则线段 的长为．
12．已知 ， ，且 ，则 的最大值为______．
13．设 是自然对数的底数，函数 有零点，且所有零点的和不大于6，则 的取值范围为______．
14．设函数 （ ）．若存在 ，使 ，
则 的取值范围是____．
二、解答题
【解析】
试题分析：（Ⅰ）判断方程 是否有解；（Ⅱ）在方程 有解时，通过分离参数求取值范围；（Ⅲ）在不便于分离参数时，通二次函数的图象判断一元二次方程根的分布.
2018-2019学年江苏省无锡市天一中学
高三11月月考 数学试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
2018-2019学年江苏省无锡市天一中学
高三11月月考 数学试题
数学答案
参考答案
1．
【解析】
【分析】
直接利用集合并集的定义求解即可.
【详解】
因为集合 ,
所以 ，故答案为 .
【点睛】
研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 或属于集合 的元素的集合.
6．3
【解析】
【分析】
(1)求出函数 的导数，可得极值点,通过与 有相同的极值点，列方程求 的值.
【详解】
，
则 ，
令 ，得 或 ，
可得 在 上递增；
可得 在 递减，极大值点为 ，极小值点为 ，
因为函数 和 存在相同的极值点，
而 在 处有极大值，
所以 ，所以 ，故答案为3.
【点睛】
本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函数 极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数 ；(3)解方程 求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 在 处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.
15．已知 ， ．
（1）求 的值；
（2）设函数 ， ，求函数 的单调增区间．
16．如图，在 中，已知 是边 上的一点， ， ，求：
（1） 的长；
（2） 的面积.
17．在平面直角坐标系 中，已知向量 ,设向量 ，其中 .
（1）若 ， ，求 的值；
（2）若 ，求实数 的最大值，并求取最大值时 的值.
18．对于函数 ，若在定义域内存在实数 ，满足 ，则称 为“局部奇函数”．