同济大学课程考核试卷（A 卷） 2008 — 2009 学年第 一 学期命题教师签名： 审核教师签名： 课号：030192 课名： 弹性力学 考试考查：考试此卷选为：期中考试( )、期终考试(√ )、重考( )试卷年级 专业 学号 姓名 得分一．是非题（正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。
）(共30分，每小题2分) 1. 三个主应力方向必定是相互垂直的。
（ ） 2. 最小势能原理等价于平衡方程和面力边界条件。
（ ） 3. 轴对称的位移对应的几何形状和受力一定是轴对称的。
（ ） 4. 最大正应变是主应变。
（ ）5. 平面应力问题的几何特征是物体在某一方向的尺寸远小于另两个方向的尺寸。
（ ）6. 最大剪应力对应平面上的正应力为零。
（ ）7. 弹性体所有边界上的集中荷载均可以按照圣维南原理放松处理边界条件。
（ ） 8. 用应力函数表示的应力分量满足平衡方程，但不一定满足协调方程。
（ ） 9. 经过简化后的平面问题的基本方程及不为零的基本未知量(应力、应变和位移)均为8个。
（ ）10. 运动可能的位移必须满足已知面力的边界条件。
（ ） 11. 实对称二阶张量的特征值都是实数。
（ ） 12. 对单、多连通弹性体，任意给出的应变分量只要满足协调方程就可求出单值连续的位移分量。
（ ）13. 若整个物体没有刚体位移，则物体内任意点处的微元体都没有刚体位移。
（ ） 14. 出现最大剪应力的微平面和某两个应力主方向成45度角。
（ ） 15. 对任意弹性体，应力主方向和应变主方向一致。
（ ）二．分析题（共20分，每小题10分）1．已知应力张量为()()2211e e e e σ⊗-+⊗+=b a b a ，0>>a b(1) 设与xy 平面垂直的任意斜截面的法向矢量为21sin cos e e n θθ+=，试求该斜截面上的正应力与剪应力。
(2) 求最大和最小剪应力值。
2.已知应变张量:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=0000203a a a a ij ε试求:(1)主应变;(2)主应变方向;(3)应变不变量三．计算题（共50分）1、(13分) 如图1所示为一等截面简支梁，抗弯刚度为EI ，长为L ，受均布荷载q 和集中力P 作用，试采用瑞利——李兹(Rayleigh-Ritz) 法或者伽辽金(Galerkin)法（二法只选一种）求挠度函数w 。
提示：挠度函数可假设为：221)]1([)1()(ξξξξξ-+-=a a w ，其中L x /=ξ。
图12、（10分）证明应力函数2Mϕθπ=可以满足双调和方程，并求出相对应的应力分量。
设有内半径为a ，外半径为b 的圆环发生了上述应力(如图2)，试求出边界上的面力，并图示之。
图23、(13分)如图3所示悬臂梁承受均布荷载q的作用（h<<l），设该问题的应力函数为523322Ay Bx y Cy Dx Ex yϕ=++++，试求出其应力分量。
图34、(14分)已知楔形的悬臂梁在0θ=的边界上受载荷作用（如图4），试计算各应力分量。
注：设应力函数为2(cos2sin2)2rA B C D ϕθθθ=+++图4qyOq1h同济大学本科课程期终考试统一命题纸 A 卷 标准答案2008—2009学年第 一 学期一．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。
）(每小题2分) 1. 三个主应力方向必定是相互垂直的。
（×）2. 最小势能原理等价于平衡方程和面力边界条件。
（√）3. 轴对称的位移对应的几何形状和受力一定是轴对称的。
（√）4. 最大正应变是主应变。
（√）5. 平面应力问题的几何特征是物体在某一方向的尺寸远小于另两个方向的尺寸。
（√）6. 最大剪应力对应平面上的正应力为零。
（×）7. 弹性体所有边界上的集中荷载可以按照圣维南原理放松处理边界条件。
（×） 8. 用应力函数表示的应力分量满足平衡方程，但不一定满足协调方程。
（√） 9. 经过简化后的平面问题的基本方程及不为零的基本未知量(应力、应变和位移)均为8个。
（×）10. 运动可能的位移必须满足已知面力的边界条件。
（×） 11. 实对称二阶张量的特征值都是实数。
（√） 12. 对单、多连通弹性体，任意给出的应变分量只要满足协调方程就可求出单值连续的位移分量。
（×）13. 若整个物体没有刚体位移，则物体内任意点处的微元体都没有刚体位移。
（×） 14. 出现最大剪应力的微平面和某两个应力主方向成45度角。
（√） 15. 对任意弹性体，应力主方向和应变主方向一致。
（×）二．分析题（共20分，每小题10分） 1．(1) 利用方程j i ij n n n σσ=⋅⋅=n σn ，即得()()θθθσ2cos sin cos 22b a b a b a n +=-++=再利用()()()()θθτσ222222sin cos b a b a n n -++=⋅⋅⋅=+n σn σ，可得()()()θθθθτ2sin 2cos sin cos 22222222b b a b a b a n =+--++= (6分)(2) 由于应力张量σ的剪应力分量全为零，因此3个正应力均为主应力。
又由于最大主应力为0>+=b a x σ，最小主应力为0<-=b a y σ，因此最大最小剪应力分别为b =max τ和b -=min τ，它们所对应的微分面法矢量与z 轴垂直，且与x 轴和y 轴的夹角（不计方向）均为45度。
(4分)2． (1)由0)(=-I εε解得主应变为,255,255321=+-=--=εεεa a (4分)(2)主应变方向 由1,1=i i n n ε得1n由1,2=i i n n ε得2n由1,3=ii n n ε得3n(4分)(3)应变不变量为0,5,53221==-=J a J a J(2分)三．计算题（共50分）1、采用瑞利——李兹 (Rayleigh-Ritz) 法（1） 设挠度函数为221)]1([)1()(ξξξξξ-+-=a a w ，其中L x /=ξ。
（2） 检查位移边界条件：当0=x 时，即0=ξ时，0=w ，满足； 当L x =时，即1=ξ时，0=w ，也满足。
（2分）（3） 求梁的总势能∏Ldx d 1=ξ )]21)(1(2)21([121ξξξξξξ--+-==a a Ldx d d dw dx dw )121222(1))((22221222ξξξξa a a a Ldx d dx dw d d dx w d +-+-== 200222)(21L x L L w P qwdx dx dx w d EI =--∏⎰⎰＝)16141()30161()544(2121213a a P a a qL a a LEI +-+-=＋ （6分）（4） 按采用瑞利——李兹 (Rayleigh-Ritz) 法，令01=∂∏∂a ，即P qL a LEI 4161413+= 解得：)32(4831P qL EIL a +=02=∂∏∂a ，即 P qL a LEI 1613015423+= 解得：)161301(4532P qL EI L a +=于是挠度近似函数为：)]554)(1([64)]1)(1([242324ξξξξξξξξ-+-+-+-=PL EI qL w（5分）2、（1）证明应力函数2Mϕθπ=自动满足双调和方程 （4分） （2）（6分）210,2r r M rθθσστπ===内边r=a 处 212r Ma θτπ=外边r=b 处 212r Mbθτπ=（1）将523322Ay Bx y Cy Dx Ex y ϕ=++++代入双调和方程：220ϕ∇∇=241200By Ay +=5B A ϕ∴=-时，可作为应力函数， 523322y 5A Ax y Cy Dx Ex y ϕ∴=-+++(3分)（2）232220306x Ay Ax y Cy yϕσ∂==-+∂ 2321022y Ay D Ey xϕσ∂==-++∂22302xyAxy Ex x yϕτ∂=-=-∂∂(3分)（3）边界条件/2:,0/2:0,0y xy y xy y h q y h στστ=-=-====2222220:000h h xy h h x h h x x dy dy ydy τσσ---====⎰⎰⎰将x σ、y σ代入上述边界条件可解出各系数 (5分)（4）将参数代入可得323332346353412632x y xy q q q y x y y h h h q y y h h q q xy x h hσστ=--⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭=-(2分)检查该应力函数满足双调和方程 (3分)在已知应力函数的情况下应力表达式为cos 2sin 2cos 2sin 21(2sin 22cos 2)2r r A B C D A B C D B C D θθσθθθσθθθτθθ=--+=+++=--++ (4分)边界条件为（1）当0,q θθσ==-； （2）当0,0r θθτ==； （3）当,0θθασ==； （4）当,0r θθατ==。
这些条件给出如下方程组1(2)02cos 2sin 201(2sin 22cos 2)02A B qC D A B C D B C D ααααα+=--+=+++=--=(5分)解出这一方程组后，得111tan ,tan ,,222q q q q A K B C D K K K K αα-⎛⎫=-===- ⎪⎝⎭(2分)式中tan K αα=-。
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