等差等比数列(学生用)
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等差等比数列
【基础过关】
1.等差数列的定义: - =d (d 为常数); 等比数列的定义:( )( )
=q (q 为不等于零的常数). 2.等差数列的通项公式:
(1)a n =a 1+ ×d ; (2)a n =a m + ×d
等比数列的通项公式:
(1) a n =a 1q n -1; (2)a n =a m q n -m
3.等差数列的前n 项和公式:S n = = .
等比数列的前n 项和公式:S n = 1 1q q ≠⎧⎨=⎩
4.等差中项:如果a 、b 、c 成等差数列,则b 叫做a 与c 的等差中项,即b = . 等比中项:如果a 、b 、c 成等比数列,那么b 叫做a 与c 的等比中项,即b 2= (或b = ).
5.等差数列{a n }的两个重要性质:
(1)m ,n ,p ,q ∈N *,若m +n =p +q ,则 .
(2)数列{a n }的前n 项和为S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成 数列.
等比数列{a n }的几个重要性质:
(1)m ,n ,p ,q ∈N *,若m +n =p +q ,则 .
(2)S n 是等比数列{a n }的前n 项和且S n ≠0,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成 数列.
(3)若等比数列{a n }的前n 项和S n 满足{S n }是等差数列,则{a n }的公比q = .
6.判断和证明数列{a n }是等差(等比)数列常有三种方法:
(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证a n ―a n ―1(1
n n a a -)为同一常数. (2)通项公式法:
①若a n =a 1+(n -1)d =a k +(n -k )d ,则{a n }为等差数列;
②若a n =a 1q n ―1=a k q n ―k ,则{a n }为等比数列.
(3)中项公式法:验证2a n +1=a n +a n +2(21n a +=a n +a n +2)n ∈N 都成立.
【基础自测】
1.等差数列{a n }共有2n +1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为_________.
2.已知等差数列{a n }中,a 2与a 6的等差中项为5,a 3与a 7的等差中项为7,则a n = .
3.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,S 6=36,S n =324,S n -6=144(n >6),则n 等于 .
4.已知等比数列{a n }公比为13
q =,则135246a a a a a a ++++= . 5.首项为-24的等差数列从第10项起开始为正数,则公差d 的取值范围是 .
6.“b 2=ac ”是“a 、b 、c 成等比数列”的 条件.
7.在等比数列{a n }中,a n >0,(n ∈N *)且a 3a 6a 9=8,则
log 2a 2+log 2a 4+log 2a 6+log 2a 8+log 2a 10= .
8.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 5=20-a 6,则S 10= .
9.若{a n }是等比数列,下列数列中是等比数列的所有代号为是 .
①{}
2n a ;②{a 2n };③1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭;④{}lg n a 10.已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=0,对任意正整数n ,m (n >m )满足a n 2-a m 2=a n -m a n +m , 则a 119= .
11.在圆x 2+y 2=5x 内,过点(
52,32)有n 条弦的长度成等差数列,最短弦长为数列的首项a 1,最长的弦长为a n ,若公差d ∈(16,13
],那么 n 的取值集合为 . 12.数列{a n }中a 1=1,a 5=13,a n +2+a n =2a n +1;数列{b n }中,b 2=6,b 3=3,b n +2b n =b 2n +1,在直
角坐标平面内,已知点列P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),P 3(a 3,b 3),…,P n (a n ,b n ),…,则向量12PP +34P
P +56P P +…+20052006P P 的坐标为 .
13.已知各项均正的等比数列{a n }中,lg(a 3a 8a 13)=6,则a 1a 15的值为 .
14.在数列{a n }中,如果对任意n ∈N +都有
211n n n n
a a a a +++--=k (k 为常数),则称{a n }为等差比数列, k 称为公差比.现给出下列命题:
(1)等差比数列的公差比一定不为0; (2)等差数列一定是等差比数列;
(3)若a n =-3n +2,则数列{a n }是等差比数列;
(4)若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比.
其中正确的命题的序号为 .
【题例分析】
例1.设数列{a n }为等比数列,数列{b n }为等差数列,且b 1=0,c n =a n +b n ,若{c n }是1,1,2…,求{c n }的前10项和.
例2.已知数列{a n }中,a 1=1且点P (a n ,a n +1)(n ∈N *)在直线x -y +1=0上.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)若函数f (n )=1231111n
n a n a n a n a ++++++++ (n ∈N *,且n ≥2),求函数f (n )的最小值.
例3.有固定项的数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+n ,现从中抽取某一项(不包括首项、末项)后,余下的项的平均值是79.
(1)求数列{a n }的通项a n ;
(2)求这个数列的项数,抽取的是第几项.