偏微分方程在人口问题中的应用
06数学系杜慧通PB06001022
在老师的带领下，经过一个学期的偏微分方程的学习，我们深刻的认识到偏微分方程不仅是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式，在许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，不难发现，课本中所主要提及的三类方程都是有一定的物理学背景的。早在微积分理论刚形成后不久，人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显示了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。逐渐地，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促进着许多相关数学分支(如泛函分析、微分几何、计算数学等)的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。
面对各种复杂的现实问题，我们常常采用的方法是针对所考虑的实际问题建立合理的数学模型，而这些能精确描述问题的模型大都是通过偏微分方程给出的。对相应的偏微分方程模型进行定性的研究。根据所进行的定性研究，寻求或选择有效的求解方法。
应用上述方法，我们一起来看一看大家都感兴趣的人口问题。对人口的发展进行研究最先所采用的大多是常微分方程模型。例如，马尔萨斯模型［1］：
,:)()(0
0⎪⎩⎪⎨⎧===p p t t t ap dt
t dp 其中)(t p 表示t 时刻的人口总数，0p 为初始时刻0t 时的人口总数，a 表示人口净增长率。
马尔萨斯模型只在群体总数不太大时才合理。因为当生物群体总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间、有限的自然资源及食物等原因，就要进行生存竞争。而马尔萨斯模型仅考虑了群体总数的自然线性增长项)(t ap ，没有考虑生存竞争对群体总数增长的抵消作用。因此在群体总数大了以后，马尔萨斯模型就不再能预见群体发展趋势，这时就要采用威尔霍斯特模型［2］：
,:)()()(0
02⎪⎩⎪⎨⎧==-=p p t t t p a t ap dt
t dp 其中，a 称为生命系数，而且a 比a 要小很多。)(2t p a 就是考虑到生存竞争而引入的竞争项。当群体总数)(t p 不太大时，由于a 比a 小很多，则可以略去上面方程中右端的第二项而回到马尔萨斯模型。但是当群体总数增大到一定程度时，上面方程中右端的第二项所产生的影响就不能忽略。
不论是马尔萨斯模型还是威尔霍斯特模型，它们都是将生物群体中的每一个个体视为同等地位来对待的，这个原则只适用于低等动
物。对于人类群体来说，必须考虑不同个体之间的差别，特别是年龄因素的影响。人口的数量不仅和时间有关，还应该和年龄有关，而且人口的出生、死亡等都和年龄有关。不考虑年龄因素就不能正确地把握人口的发展动态。这时，就必须给出用偏微分方程描述的人口模型［2］：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥==≤≤==≤≤≥-=∂∂+∂∂⎰A a t d t p b t p x A x x p p t A x t x t p x d x x t p t x t p )
3()0(),()()0,(:0)2()0()
(:0)1()0,0()
,()(),(),(0ξξξ 其中，),(x t p 表示任意时刻t 按年龄x 的人口分布密度，)(x d 表示年龄为x 的人口死亡率，)(x b 表示年龄为)(A x a x ≤≤的人的生育率，a 表示可以生育的最低年龄，A 表示人的最大年龄。
对于上述偏微分方程模型成立如下结论：
1.对偏微分方程的初值问题(1)－(3)，如果下列条件成立： (I) 在区间],0[A 上，0)(0≥x p 且适当光滑；
(II) 在区间],0[A 上，0)(≥x d 且适当光滑，并且当0-→A x 时，
+∞→)(x d 及+∞→⎰ξξd d x
0)(； (III)⎰=A
a d p
b p ξξξ)()()0(00；
(IV) ⎰+=+A a d p d p b p d p ξξξξξ))()()()(()0()0()0(0'00'
0。 则该初边值问题(1)－(3)存在唯一的整体解),(x t p 并且满足0),(≥x t p 且0),(=A t p 。
该模型在经过适当的简化假设后，例如假设=≡d x d )(常数，=≡b x b )(常数，就可以回到前面的常微分方程模型。但在偏微分方程模型中
)
d
d=、)
(x
b=均与年龄有关，这与现实情况相符。因此，偏微分(x
b
方程模型确实更进一步、更能精确地描述人口分布的发展过程。
从上述问题的阐述和分析过程不难看出，偏微分方程能非常精确的帮助数学模型的建立，把自然科学的发展和研究推进到一个新的高度。
参考文献：
〔1〕W. F. 卢卡斯主编，朱煜民、周宇虹译，微分方程模型，国防科技大学出版社，1988.
〔2〕G. F. Webb, Theory of Age-Dependent Population Dynamics, Marcel Dekker, INC., 1985.
