《直线和圆的方程》复习课教案高品质版

总第74. 75教时课题：直线与圆、圆与圆的位置关系教学目标：1、知道直线和圆相交，相切，相离的定义并会根据定义来判断直线和圆的位置关系；2、能根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系来揭示直线和圆的位置关系；也能根据联立方程组的解的个数来判断直线与圆的位置关系。

3、掌握直线和圆的位置关系的应用，能解决弦长、切线以及最值问题。

4、掌握圆和圆的五种位置关系。

使学生掌握各种位置关系中圆心距与半径之间的数量关系，并了解它是性质又是判定。

培养学生分析问题、解决问题、归纳总结的能力。

高考要求：教学重点：直线和圆位置关系的判断和应用两圆相交、相切的及两圆相切的性质和判定。

教学难点：通过解方程组来研究直线和圆的位置关系。

各种位置关系中圆心距与半径之间的数量关系的应用。

教具：多媒体教时安排：2教时教程：第一教时一、知识点复习回顾（一）、直线与圆的位置关系1、直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。

有两种判断方法:A > 0 <=>相交（1）代数法（判别式法）< △ = 0 o 相切，A<0 o相离d < r o相交(2)(几何法)(〃为圆心到直线的距离)圆心到直线的距离{d = ^o 相切d〉r <=>相离注意：一般宜用儿何法。

2、圆的切线方程：主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线/与圆C相切意味着什么：圆心C到直线/的距离恰好等于半径厂(1 )过圆X2 + y2 =厂彳上一点M(兀0,儿)的切线的方程为y Q y = r2(2 )过圆(兀一°)2 +(y-/?)2 =厂$上一点M(兀0，儿)的切线的方程为(x0 -6Z)(x-6Z)+ (y0-bXy-b) = r2(3 )过圆x2 + y2 + Dx+ Ey + F = 0上一点M(兀。

，儿)的切线方程为“+y°y+D.d+E.Z±21+F=02 2(4 )自圆外一点M(兀o，y°)作圆x2 + y2 = r2的两条切线，则点A/(x0,y0)关于该圆的切点弦所在的直线方程是兀()兀+ y()y = r2(5)常见题型一一求过定点的切线方程①切线条数：点在圆外--- 两条；点在圆上---- 条；点在圆内--- 无②求切线方程的方法及注意点• • •(1)点在圆外如定点卩(兀0，儿),圆：(％-。

高考数学第二轮专题复习直线与圆的方程教案一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。

三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。

但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。

四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。

既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。

【课题】8．1 两点间的距离与线段中点的坐标【教学目标】知识目标：掌握两点间的距离公式与中点坐标公式；能力目标：用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力．【教学重点】两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用【教学难点】两点间的距离公式的理解【教学设计】两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解，但讲解的重点应放在公式的应用上．例1是巩固性练习题．题目中，两个点的坐标既有正数，又有负数．讲授时，要强调两点间的距离公式的特点特别是坐标为负数的情况．例2是中点公式的知识巩固题目．通过连续使用公式（8.2），强化学生对公式的理解与运用．例3是本节两个公式的综合性题目，是知识的简单综合应用．要突出“解析法”，进行数学思维培养．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】212(==P P P P x、N、P、Q、R各点的坐标．在平面直角坐标系内，描出下列各点：(1,1)A、(3,4)B ．并计算每两点之间的距离．第1题图12)(=-x x 01012-=⎧⎨-=-⎩x x y y y y图8－2【教师教学后记】【课题】8．2 直线的方程【教学目标】知识目标：（1）理解直线的倾角、斜率的概念； （2）掌握直线的倾角、斜率的计算方法． 能力目标：采用“数形结合”的方法，培养学生有条理地思考问题．【教学重点】直线的斜率公式的应用．【教学难点】直线的斜率概念和公式的理解．【教学设计】本教材采用的定义是：“当直线与x 轴相交于点P 时，以点P 为顶点，始边指向x 轴正方向，终边落在直线上的最小正角叫做直线的倾角．当直线与x 轴不相交（或重合）时，规定倾角为零角”．这样就使得关于角的概念一致起来．结合图形，让学生观察倾角的取值范围，要注意倾角的取值范围是[0,180) 而非 [0,180]．教材中的“试一试”有助于巩固学生对倾角概念的理解．教材采用“数形结合”的方法，分成两种情况来研究斜率公式．教学中要注意这种分类讨论问题的思考方法的教育，培养学生有条理的思考问题．要强调应用斜率公式的条件12x x ．例1是斜率概念及公式的巩固题目，属于简单题．通过例题加强对概念和公式的理解．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】图8－3动脑思考探索新知【新知识】为了确定直线对x轴的倾斜程度，我们引入直线的倾角的概念．轴垂直（如图8−5（)3=．31,2)与点B上的任意两点，则直线此节的书面作业习题里没有【课题】8．2 直线的方程（二）【教学目标】知识目标：（1）了解直线与方程的关系；（2）掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，理解直线的一般式方程．能力目标：培养学生解决问题的能力与计算能力．【教学重点】直线方程的点斜式、斜截式方程．【教学难点】根据已知条件，选择直线方程的适当形式求直线方程．【教学设计】采用“问题——分析——联系方程”的步骤，从学生熟知的一次函数图像入手，分析图像上的坐标与函数解析式的关系，把函数的解析式看作方程，图像是具有某种特征的平面点集（轨迹）．很自然地建立直线和方程的关系，把函数的解析式看作方程是理解概念的关键．导出直线的点斜式方程过程，是从直线与方程的关系中的两个方面进行的．首先是直线上的任意一点的坐标都是方程的解，然后是以方程的解为坐标的点一定在这条直线上．直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例．直线的斜截式方程与一次函数的解析式具有相同的形式．要强调公式中b的意义．直线的一般式方程的介绍，分两个层次来处理也是唯一的．首先，以问题的形式提出前面介绍的两种直线方程都可以化成一般的二元一次方程的形式．然后按照二元一次方程Ax By C++=的系数的不同取值，进行讨论．对CyB=-与CxA=-只是数形结合的进行说明．这种方式比较适合学生的认知特征．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】)y 为直线-x 11,)x y 在经过点图8－7上任取点(,)P x y （不同于0P 点） 0y y k x x -=-，1)．αtan=，所以直线方程为图8－8B b，且斜即直线经过点(0,)3=．，由公式(8.4)【课题】8．3 两条直线的位置关系（一）【教学目标】知识目标：（1）掌握两条直线平行的条件；（2）能应用两条直线平行的条件解题．能力目标：培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力．【教学重点】两条直线平行的条件．【教学难点】两条直线平行的判断及应用．【教学设计】从初中平面几何中两条直线平行的知识出发，通过“数”“形”结合的方式，讲解两条直线平行的判定方法，介绍两条直线平行的条件，学生容易接受．知识讲解的顺序为：．两条直线平行⇔同位角相等⇔倾斜角相等⇔9090⎧≠⇔⎨=⇔⎩αα倾斜角斜率相等;倾斜角斜率都不存在.教材都是采用利用“斜率与截距”判断位置关系的方法．其步骤为：首先将直线方程化成斜截式方程，再比较斜率与截距进行位置关系的判断．例1就是这种方法的巩固性题目．考虑到学生的实际状况和职业教育的特点，教材没有介绍利用直线的一般式方程来判断两条直线的位置关系．例2是利用平行条件求直线的方程的题目，属于基础性题．首先利用平行条件求出直线的斜率，从而写出直线的点斜式方程，最后将方程化为一般式方程．简单的解决问题的过程，蕴含着“解析法”的数学思想，要挖掘．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】当直线1l 、2l 的斜率都是与x 轴平行，所以1l 当两条直线1l 、直线1l 与直线2l 都与图8-11－11(1)【课题】8．3 两条直线的位置关系（二）【教学目标】知识目标：（1）掌握两条直线平行的条件； （2）能应用点到直线的距离公式解题． 能力目标：培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力．【教学重点】两条直线的位置关系，点到直线的距离公式．【教学难点】两条直线的位置关系的判断及应用．【教学设计】与倾角的定义相类似，本教材将两条直线夹角的定义建立在任意角定义的基础上．两条直线相交所形成的最小正角叫做这两条直线的夹角．同时规定，两条直线平行或重合时两条直线的夹角为零角，这样两条直线的夹角的范围是0,90⎡⎤⎣⎦．教材采用“数形结合”、“看图说话”的方法，导入两条直线垂直的条件，过程简单易懂．两条直线垂直的实质就是这两条直线的夹角为90．运用垂直条件时，要注意斜率不存在的情况．例4是巩固性题目．属于基础性题．首先将直线的方程化为斜截式方程，再根据斜率判断两条直线垂直是本套教材判断两条直线垂直的主要方法．例5是利用垂直条件求直线的方程的题目，属于基础性题．首先利用垂直条件求出直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后将方程化为一般式方程．这一系列解题程序，蕴含着“解析法”的思想方法．需要强调，点到直线的距离公式中的直线方程必须是一般式方程．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】图8－12探索新知图8－13我们把两条直线相交所成的最小正角叫做这）是直线图8－148－1511tan BCk ABα==， 233tan tan()tan ==-=-=-AB BCααα180 121k k ⋅=-．上面的过程可以逆推，即若121k k ⋅=-，则1l ⊥由此得到结论（两条直线垂直的条件）：2l1l【课题】8．4 圆（一）【教学目标】知识目标：（1）了解圆的定义；（2）掌握圆的标准方程和一般方程． 能力目标：培养学生解决问题的能力与计算能力．【教学重点】圆的标准方程和一般方程的理解与应用．【教学难点】对圆的标准方程和一般方程的正确认识．【教学设计】用“解析法”推导圆的标准方程的过程，学生比较容易掌握，可以引导学生自己完成．要强化对圆的标准方程()()222x a y b r -+-=的认识，其中半径为r ，圆心坐标为(),O a b '．经常容易发生错误的地方是认为半径是2r ，圆心坐标为(),O a b '--．教学中应予以强调，反复强化．例1和例2是圆的标准方程的知识巩固性题目，属于基础性题目．可以由学生自己完成．通过例题，进一步熟悉圆的标准方程．再介绍圆的一般方程时，教材首先将圆的标准方程展开，分析系数特点，然后将方程配方成圆的标准方程．这一系列的过程，不但介绍圆的一般方程及其与标准方程的联系，还显示出用代数的方法研究几何问题的魅力．例3是圆的方程巩固性题目．题中的两种解法，都是经常使用的方法．特别是解法1，通常采用配方法，将方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径．这类题目的训练，有助于学生数学运算能力的提高．求圆的方程，基本有两种基本方法．一种是根据已知条件求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程，例4就是这种类型的基础性题目；另一种是，设出圆的方程，然后，利用待定系数法确定相应的常数，例5就是这种类型的基础性题目．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】【课题】8．4 圆（二）【教学目标】知识目标：（1）理解直线和圆的位置关系；（2）了解直线与圆相切在实际中的应用．能力目标：培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力．【教学重点】直线与圆的位置关系的理解和掌握．【教学难点】直线与圆的位置关系的判定．【教学设计】直线与圆的位置关系的判定是本节的难点，将直线的方程与圆的方程联立组成方程组，通过对方程组的解的讨论，来研究直线和圆的位置关系，理论上讲是很简单的，但是，实际操作的运算过程很麻烦．教材采用“数”“形”结合的方式，利用比较半径与圆心到直线的距离大小的关系来讨论的方法，相对比较简单．平面几何中，学生对这样判断直线与圆的位置关系比较熟悉，现在通过比较半径与圆心到直线的距离的大小，来判定直线与圆的位置关系，学生容易接受，例6就是采用这种方法进行讨论的．经过一点求圆的切线方程，通常作法是设出点斜式方程，利用圆心到切线的距离与半径相等来确定斜率，从而得到切线方程，其中蕴含着“待定系数法”和“解析法”等数学方法．例8是直线在科技领域中的应用知识，根据光学原理，反射角等于入射角，利用直线的斜率公式可以求得反射点P的坐标．例9是圆在生产实践中的应用知识．解决这类实际问题首先要选择直角坐标系．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】动脑思考 探索新知 【新知识】图8－21图8-22。

《直线和圆的方程》复习课教案教学目标(1)通过师生共同总结本章的知识体系和基础知识，带动学生更系统全面地掌握基础知识，加深理解，强化记记忆，为今后更好地应用这些知识打好基础．(2)通过与本章知识相关的届年的高考试题的练习与研究，检验促进学生对知识的理解和掌握，开拓学生的视野，培养他们的分析，综合应用能力．教学过程设计在学生学习完第七章“直线和圆的方程”后，我们安排了两节复习总结课，引导学生系统总结记忆本章的基础知识，进一步深化和准确对这些基础知识的理解．这部分总结工作应启发学生自己完成，教师加以完善．可事先布置为家庭作业．在总结基础知识的同时，我们以历年高考题为练习题，组织学生试作，研究，教师最后进行总结讲评．一、本章知识体系：二、本章基础知识直线线性规划圆．三、典型问题练习与研究(一)选择题1．直线bx＋ay=ab(a＜0，b＜0)的倾斜角是[ ](1993年高考题)2．过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2=0上的圆的方程是[ ] A．(x－1)2＋(y－1)2=4．B．(x＋3)2＋(y－1)2=4．C．(x－3)2＋(y＋1)2=4．D．(x＋1)2＋(y＋1)2=4．(2001年高考题)共有[ ]A．1个 B．2个C．3个 D．4个(1991年高考题) 4．圆x2＋y2=1上的点到直线3x＋4y－25=0的距离的最小值是[ ] A．6B．4C．5D．1(1993年高考题)5．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1=0，则直线PB的方程是[ ] A．2y－x－4=0．B．2x－y－1=0．C．x＋y－5=0．D．2x＋y－7=0．(2001年高考题)[ ](1999年高考题)7．已知直线l1和l2夹角的平分线为y=x，如果l1的方程是ax＋by＋c=0(ab＞0)，那么l2的方程是[ ]A．bx＋ay＋c=0．B．ax－by＋c=0．C．bx＋ay－c=0．D．bx－ay＋c=0．(1992年高考题)8．过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是[ ](2000年高考题)9．已知两条直线l1：y=x，l2：ax－y=0，其中a为实数，当这两条直线的夹[ ]C．(0，1)(2000年高考题)10．设动点P在直线x=1上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是[ ] A．圆B．两条平行直线C．抛物线D．双曲线(2001年春高考题) [分析与解答]2．设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋=r2，圆心在直线x＋y－2=0上，a＋b－2=0，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2=4，故应选(A)．4．作出草图，再作OA垂直已知直线3x＋4y－25=0于A点，∴|OA|－1=5－1=4．就是圆x2＋y2=1上的点到直线3x＋4y－25=0的距离的最小值．应选(B)．5．P在直线x=2上，|PA|=|PB|，P点在AB的垂直平分线上，由x－y＋1=0得A点坐标为(－1，0)．于是B点坐标为(5，0)．又K PA=1．K PB=－K PA=－1．由点斜式，PB的方程y－0=(－1)(x－5)，即x＋y－5=0∴应选(C)．7．直线l1与直线l2关于直线y=x对称，以(y，x)代换(x，y)，由l1得，ay＋bx＋c=0(ab＞0)，即bx＋ay＋c=0，应选(A)．8．x2＋y2＋4x＋3=0，即(x＋2)2＋y2=1，圆心(－2，0)，半径为1，过原点的直9．这题有的同学用夹角公式去求，理论上是正确的，但计算量太大了，实际上很难算出来．要认真分析，结合图形去思考．l1：y=x，斜率为1，倾斜角α1=45°．作出草图去思考，α1=45°,l1与l2的夹角不超过15°,则α2的范围为30°到45°，及45°到60°．又tanα2=a，a的范围在tan30°到tan45°，及tan45°到tan60°，10．设P点坐标(1，t)，Q点坐标(x，y)，这里有两个关系，OP⊥OQ，|OP|=|OQ|，我们通过这两个条件，建立方程．x2＋y2≠0，y2=1，∴y=±1．所求轨迹为两条平行线，应选(B)．(二)填空题．1．给定三点A(1，0)，B(－1，0)，C(1，2)，那么通过点A，并且与直线BC垂直的直线方程是________(1989年高考题)[分析与解答]直线的方程y－0=(－1)(x－1)即x＋y－1=0，有的同学首先用两点式求出直线BC的方程，你认为有必要吗？切线，找斜率的最大值．设切线为y=Kx，Kx－y=0，(三)在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1=0，∠A 的平分线所在直线的方程y=0，若点B的坐标为(1，2)，求点A和点C的坐标．(1992年高考题)[分析与解答]两条直线相交得一个交点，求A与C的坐标，需先求过两点的直线方程．[解法二] 同解法一，得顶点A(－1，0)．因x轴是∠A的平分线，所以点B(1，2)关于x轴的对称点B1(1，－2)在AC所在的直线上，由两点式得AC的方程y=－(x＋1)，以下同解法一．(四)已知两条直线l1：2x－3y＋2=0，l2：3x－2y＋3=0，有一动圆(圆心半径都在变动)与l1，l2都相交，并且l1、l2被圆所截得弦分别为26，24，求圆心M的轨迹方程．(1983年高考题)[分析与解答]两条直线同一个圆，l1，l2分别有圆半径，圆心距，弦长之间的关系，消去共同变量圆半径，则可得到M的轨迹方程．设圆心M(x，y)，圆半径R，M到l1，l2的距离为d1，d2．根据弦，弦心距，半径间的关系代入上式化简为x2＋2x＋1－y2=65∴M的轨迹方程为 (x＋1)2－y2=65．(五)已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2＋y2=1，动点M到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M的轨迹方程．并说明它表示什么曲线．(1994年高考题)[分析与解答]如图，设MN切圆于N，|MN|=λ|MQ|，(λ＞0)因圆的半径|ON|=1|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1，整理得，(x2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(1＋4x2)=0，为所求轨迹方程．当λ≠1时，方程表示一个圆．(六)已知一个圆C：x2＋y2＋4x－12y＋39=0，和一条直线l：3x－4y ＋5=0，求圆C关于直线l对称的圆的方程．(1985年高考题)[分析与解答]圆C：(x＋2)2＋(y－6)2=1，圆心为(－2，6)，半径r=1．圆C关于l 对称的圆C'，圆C'的半径为1，而圆心(a，b)与(－2，6)关于直线l对称，这个问题实际上是求点(－2，6)关于直线l的对称点(a，b)，用求对称点的办法解决．∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y＋2)2=1．(七)自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7=0相切，求光线l所在直线的方程．(1989年高考题)[分析与解答]根据入射光线与的反射光线的对称性，设光线所在直线的方程为y－3=K(x＋3)，即Kx－y＋3K＋3=0已知圆，x2＋y2－4x－4y＋7=0圆C为(x－2)2＋(y－2)2=1与圆C关于x轴对称圆C'的方程为C'：(x －2)2＋(y＋2)2=1，直线Kx－y＋3k＋3=0与圆C'相切．∴所求直线方程为4x＋3y＋3=0或3x＋4y－3=0．[分析与解答]sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B，A≠B，可得，a=6，b=8，设△ABC内切圆圆心为O'内切圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2=4．[解法一] 设圆上动点P的坐标为(x，y)，S=|PA|2＋|PB|2＋|PC|2=(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2 =3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76=88－4x．因P点在内切圆上，0≤x≤4，S最大值=88－0=88，S最小值=88－16=72．圆上动点P的坐标为(2＋2cosθ，2＋2sinθ)．S=|PA|2＋|PB|2＋|PC|2=(2cosθ－6)2＋(2＋2sinθ)2＋(2＋2cosθ)2＋(2sinθ－4)2＋(2＋2cosθ)2＋(2＋2sinθ)2=80－8cosθ，∵0≤θ＜2π，S最大值=80＋8=88，S最小值=80－8=72．(九)如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A，B，试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C，使∠ACB 取得最大值．(1986年高考题)[分析与解答]设点A的坐标为(0，a)，点B的坐标为(0，b)，0＜b＜a，设C点的坐标为(x，0)，(x＞0)，(十)设圆满足①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1在满足条件①，②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程．(1997年高考题)[分析与解答]设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得各弧对的圆心角为90°，知圆P截x轴所得的弦长为∴2b2=a2＋1，2b2－a2=1．则 5d2=|a－2b|2=a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2(a2＋b2)=2b2－a2=1．当且仅当a=b时，上式等号成立，此时5d2=1，d取得最小值．∴所求圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2=2或(x＋1)2(y＋1)2=2．。

高三理科数学一轮直线和圆的方程总复习教学案第八章直线和圆的方程高考导航考试要求重难点击命题展望 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式. 3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 4.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系. 5.掌握用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离. 7.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 8.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 9.能用直线和圆的方程解决简单的问题. 10.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 11.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式. 本章重点：1.倾斜角和斜率的概念；2.根据斜率判定两条直线平行与垂直；3.直线的点斜式方程、一般式方程；4.两条直线的交点坐标；5.点到直线的距离和两条平行直线间的距离的求法；6.圆的标准方程与一般方程；7.能根据给定直线，圆的方程，判断直线与圆的位置关系；8.运用数形结合的思想和代数方法解决几何问题. 本章难点：1.直线的斜率与它的倾斜角之间的关系；2.根据斜率判定两条直线的位置关系；3.直线方程的应用；4.点到直线的距离公式的推导；5.圆的方程的应用；6.直线与圆的方程的综合应用. 本章内容常常与不等式、函数、向量、圆锥曲线等知识结合起来考查. 直线和圆的考查，一般以选择题、填空题的形式出现，属于容易题和中档题；如果和圆锥曲线一起考查，难度比较大.同时，对空间直角坐标系的考查难度不大，一般为选择题或者填空题.本章知识点的考查侧重考学生的综合分析问题、解决问题的能力，以及函数思想和数形结合的能力等. 知识网络8.1 直线与方程典例精析题型一直线的倾斜角【例1】直线2xcos α－y－3＝0，α∈[π6，π3]的倾斜角的变化范围是( ) A.[π6，π3] B.[π4，π3]C.[π4，π2]D.[π4，2π3] 【解析】直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，由于α∈[π6，π3]，所以12≤cos α≤32，k ＝2cos α∈[1，3]. 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]，由于θ∈[0，π)，所以θ∈[π4，π3]，即倾斜角的变化范围是[π4，π3]，故选B. 【点拨】利用斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的范围. 【变式训练1】已知M(2m＋3，m)，N(m－2,1)，当m∈时，直线MN的倾斜角为锐角；当m＝时，直线MN的倾斜角为直角；当m∈时，直线MN的倾斜角为钝角. 【解析】直线MN的倾斜角为锐角时，k＝m－12m＋3－m＋2＝m－1m＋5＞0⇒m＜－5或m＞1；直线MN的倾斜角为直角时，2m＋3＝m－2⇒m＝－5；直线MN的倾斜角为钝角时，k＝m－12m＋3－m＋2＝m－1m＋5＜0⇒－5＜m＜1. 题型二直线的斜率【例2】已知A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，求直线l的斜率. 【解析】由于A(－1，－5)，B(3，－2)，所以kAB＝－2＋53＋1＝34，设直线AB的倾斜角为θ，则tan θ＝34， l的倾斜角为2θ，tan 2θ＝ 2tan θ1－tan2θ＝2×341－(34)2＝247. 所以直线l的斜率为247. 【点拨】直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念，应熟练地掌握这两个概念，扎实地记住计算公式，倾斜角往往会和三角函数的有关知识联系在一起. 【变式训练2】设α是直线l的倾斜角，且有sin α＋cos α＝15，则直线l的斜率为( ) A.34 B.43 C.－43 D.－34或－43 【解析】选C.sin α＋cos α＝15⇒sin αcos α＝－1225＜0⇒ sin α＝45，cos α＝－35或cos α＝45，sin α＝－35(舍去)，故直线l的斜率k＝tan α＝sin αcos α＝－43. 题型三直线的方程【例3】求满足下列条件的直线方程. (1)直线过点(3,2)，且在两坐标轴上截距相等； (2)直线过点(2,1)，且原点到直线的距离为2. 【解析】(1)当截距为0时，直线过原点，直线方程是2x－3y＝0；当截距不为0时，设方程为xa＋ya＝1，把(3,2)代入，得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0. 故所求直线方程为2x－3y ＝0或x＋y－5＝0. (2)当斜率不存在时，直线方程x－2＝0合题意；当斜率存在时，则设直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，所以|1－2k|k2＋1＝2，解得k＝－34，方程为3x＋4y－10＝0.故所求直线方程为x－2＝0或3x＋4y－10＝0. 【点拨】截距可以为0，斜率也可以不存在，故均需分情况讨论. 【变式训练3】求经过点P(3，－4)，且横、纵截距互为相反数的直线方程. 【解析】当横、纵截距都是0时，设直线的方程为y＝kx. 因为直线过点P(3，－4)，所以－4＝3k，得k＝－43.此时直线方程为y＝－43x. 当横、纵截距都不是0时，设直线的方程为xa＋y－a＝1，因为直线过点P(3，－4)，所以a＝3＋4＝7.此时方程为x－y－7＝0. 综上，所求直线方程为4x＋3y＝0或x－y－7＝0. 题型四直线方程与最值问题【例4】过点P(2,1)作直线l分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，点O为坐标原点，当△ABO的面积最小时，求直线l的方程. 【解析】方法一：设直线方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，由于点P在直线上，所以2a＋1b＝1. 2a•1b≤(2a＋1b2)2＝14，当2a＝1b＝12时，即a ＝4，b＝2时，1a•1b取最大值18，即S△AOB＝12ab取最小值4，所求的直线方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0. 方法二：设直线方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，直线与x轴的交点为A(2k－1k，0)，直线与y轴的交点为B(0，－2k＋1)，由题意知2k－1＜0，k＜0,1－2k＞0. S△AOB＝12(1－2k) •2k－1k＝12[(－1k)＋(－4k)＋4]≥12[2(－1k)•(－4k)＋4]＝4. 当－1k＝－4k，即k＝－12时，S△AOB有最小值，所求的直线方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y －4＝0. 【点拨】求直线方程，若已知直线过定点，一般考虑点斜式；若已知直线过两点，一般考虑两点式；若已知直线与两坐标轴相交，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式. 【变式训练4】已知直线l：mx－(m2＋1)y＝4m(m∈R).求直线l的斜率的取值范围. 【解析】由直线l的方程得其斜率k＝mm2＋1. 若m ＝0，则k＝0；若m＞0，则k＝1m＋1m≤12m•1m＝12，所以0＜k≤12；若m＜0，则k＝1m＋1m＝－1－m－1m≥－12(－m)(－1m)＝－12，所以－12≤k＜0. 综上，－12≤k≤12. 总结提高 1.求斜率一般有两种类型：其一，已知直线上两点，根据k＝y2－y1x2－x1求斜率；其二，已知倾斜角α或α的三角函数值，根据k＝tan α求斜率，但要注意斜率不存在时的情形. 2.求倾斜角时，要注意直线倾斜角的范围是[0，π). 3.求直线方程时，应根据题目条件，选择合适的直线方程形式，从而使求解过程简单明确.设直线方程的截距式，应注意是否漏掉过原点的直线；设直线方程的点斜式时，应注意是否漏掉斜率不存在的直线.8.2 两条直线的位置关系典例精析题型一两直线的交点【例1】若三条直线l1：2x＋y－3＝0，l2：3x－y＋2＝0和l3：ax＋y＝0 不能构成三角形，求a的值. 【解析】①l3∥l1时，－a＝－2⇒a＝2；②l3∥l2时，－a＝3⇒a ＝－3；③由⇒将(－1，－1)代入ax＋y＝0⇒a＝－1. 综上，a＝－1或a＝2或a＝－3时，l1、l2、l3不能构成三角形. 【点拨】三条直线至少有两条平行时或三条直线相交于一点时不能构成三角形. 【变式训练1】已知两条直线l1：a1x＋b1y＋1＝0和l2：a2x＋b2y ＋1＝0的交点为P(2,3)，则过A(a1，b1)，B(a2，b2)的直线方程是. 【解析】由P(2,3)为l1和l2的交点得故A(a1，b1)，B(a2，b2)的坐标满足方程2x＋3y＋1＝0，即直线2x＋3y＋1＝0必过A(a1，b1)，B(a2，b2)两点. 题型二两直线位置关系的判断【例2】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b ＝0，求满足下列条件的a，b的值. (1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到两条直线的距离相等. 【解析】(1)由已知可得l2的斜率存在，所以k2＝1－a，若k2＝0，则1－a＝0，即a＝1. 因为l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0，又l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，而a＝1，b＝0代入上式不成立，所以k2≠0. 因为k2≠0，即k1，k2都存在，因为k2＝1－a，k1＝ab，l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即ab(1－a)＝－1，又l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，联立上述两个方程可解得a＝2，b＝2. (2)因为l2的斜率存在，又l1∥l2，所以k 1＝k2，即ab＝(1－a)，因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，所以 l1，l2在y轴的截距互为相反数，即4b＝b，联立上述方程解得a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2，所以a，b的值分别为2和－2或23和2. 【点拨】运用直线的斜截式y＝kx＋b时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况.求解两条直线平行或垂直有关问题时，主要是利用直线平行和垂直的充要条件，即“斜率相等”或“斜率互为负倒数”. 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c,0).点P(0，p)是线段AO上的一点(异于端点)，这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线OE的方程为(1b－1c)x＋(1p－1a)y＝0，则直线OF的方程为. 【解析】由截距式可得直线AB：xb ＋ya＝1，直线CP：xc＋yp＝1，两式相减得(1c－1b)x＋(1p－1a)y ＝0，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故所求直线OF的方程为(1c－1b)x＋(1p－1a)y＝0. 题型三点到直线的距离【例3】已知△ABC中，A(1,1)，B(4,2)，C(m，m)(1＜m＜4)，当△ABC的面积S最大时，求m的值. 【解析】因为A(1,1)，B(4,2)，所以|AB|＝(4－1)2＋(2－1)2＝10，又因为直线AB的方程为x－3y＋2＝0，则点C(m，m)到直线AB的距离即为△ABC的高，设高为h，则h＝|m－3m＋2|12＋(－3)2，S＝12|AB|•h＝12|m－3m＋2|，令m＝t，则1＜t＜2，所以S＝12|m－3m＋2|＝12|t2－3t＋2|＝12|(t －32)2－14|，由图象可知，当t ＝32时，S有最大值18，此时m ＝32，所以m＝94. 【点拨】运用点到直线的距离时，直线方程要化为一般形式.求最值可转化为代数问题，用处理代数问题的方法解决. 【变式训练3】若动点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，求P1P2的中点P到原点的距离的最小值. 【解析】方法一：因为P1、P2分别在直线l1和l2上，所以(①＋②)÷2，得x1＋x22－y1＋y22－10＝0，所以P1P2的中点P(x1＋x22，y1＋y22)在直线x－y－10＝0上，点P到原点的最小距离就是原点到直线x－y－10＝0的距离d＝102＝52.所以，点P到原点的最小距离为52. 方法二：设l为夹在直线l1和l2之间且和l1与l2的距离相等的直线. 令l：x－y－c＝0，则5＜c＜15，且|c －5|2＝|c－15|2，解得c＝10.所以l的方程为x－y－10＝0. 由题意知，P1P2的中点P在直线l上，点P到原点的最小距离就是原点到直线l的距离d＝102＝52，所以点P到原点的最小距离为52. 总结提高 1.求解与两直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两直线平行或垂直的条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”.若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究. 2.学会用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学方法和思想.特别是注意数形结合思想方法，根据题意画出图形不仅易于找到解题思路，还可以避免漏解和增解，同时还可以充分利用图形的性质，挖掘出某些隐含条件，找到简捷解法. 3.运用公式d＝|C1－C2|A2＋B2求两平行直线之间的距离时，要注意把两直线方程中x、y的系数化成分别对应相等. 8.3 圆的方程典例精析题型一求圆的方程【例1】求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程. 【解析】方法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为(－D2，－E2)，由已知得即解得 D ＝0，E＝－2，F＝－9，所求圆的方程为x2＋y2－2y－9＝0. 方法二：经过A(－1,4)，B(3,2)的圆，其圆心在线段AB的垂直平分线上， AB 的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1. 令x＝0，y＝1，圆心为(0,1)，r＝(3－0)2＋(2－1)2＝10 ，圆的方程为x2＋(y－1)2＝10. 【点拨】圆的标准方程或一般方程都有三个参数，只要求出a、b、r或D、E、F，则圆的方程确定，所以确定圆的方程需要三个独立条件. 【变式训练1】已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程. 【解析】设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，① 将P、Q两点的坐标分别代入①得令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④ 由已知|y1－y2|＝43，其中y1、y2是方程④的两根. 所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48，⑤ 解②、③、⑤组成的方程组，得 D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝－10，E＝－8，F＝4，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 题型二与圆有关的最值问题【例2】若实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3.求： (1)yx的最大值和最小值； (2)y －x的最小值； (3)(x－4)2＋(y－3)2的最大值和最小值. 【解析】(1)yx＝y－0x－0，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此yx的最值为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率，设yx＝k，y＝kx，kx－y＝0. 由|2k|k2＋1＝3，得k＝±3，所以yx的最大值为3，yx的最小值为－3. (2)令x－2＝3cos α，y＝3sin α，α∈[0,2π). 所以y－x＝3sin α－3cos α－2＝6sin(α－π4)－2，当sin(α－π4)＝－1时，y－x的最小值为－6－2. (3)(x－4)2＋(y－3)2是圆上点与点(4,3)的距离的平方，因为圆心为A(2,0)，B(4,3)，连接AB交圆于C，延长BA交圆于D. |AB|＝(4－2)2＋(3－0)2＝13，则|BC|＝13－3，|BD|＝13＋3，所以(x－4)2＋(y－3)2的最大值为(13＋3)2，最小值为(13－3)2. 【点拨】涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解，一般地：①形如U＝y－bx－a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为圆心已定的动圆半径的最值问题. 【变式训练2】已知实数x，y满足x2＋y2＝3(y≥0).试求m＝y ＋1x＋3及b＝2x＋y的取值范围. 【解析】如图，m可看作半圆x2＋y2＝3(y≥0)上的点与定点A(－3，－1)连线的斜率，b可以看作过半圆x2＋y2＝3(y≥0)上的点且斜率为－2的直线的纵截距. 由图易得3－36≤m≤3＋216，－23≤b≤15. 题型三圆的方程的应用【例3】在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)求圆C的方程； (3)问圆C是否经过定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论. 【解析】(1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)，由题意b≠0，且Δ＞0，解得b＜1且b≠0. (2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F ＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b. 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1. 所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0. (3)圆C必过定点，证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x20＋y20＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0，(*) 为使(*)式对所有满足b＜1(b≠0)的b都成立，必须有1－y0＝0，结合(*)式得x20＋y20＋2x0－y0＝0，解得或经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C上，因此圆C过定点. 【点拨】本题(2)的解答用到了代数法求过三点的圆的方程，体现了设而不求的思想.(3)的解答同样运用了代数的恒等思想，同时问题体现了较强的探究性. 【变式训练3】(2010安徽)动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间t＝0时，点A的坐标是(12，32)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( ) A.[0,1] B.[1,7] C.[7,12] D.[ 0,1]和[7,12] 【解析】选D.由题意知角速度为2π12＝π6，故可得y＝sin(π6t＋π3),0≤t≤12，π3≤π6t＋π3≤π2或32π≤π6t＋π3≤52π，所以0≤t≤1或7≤t≤12. 所以单调递增区间为[0,1]和[7,12]. 总结提高 1.确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法.一般来讲，条件涉及圆上的多个点，可选择一般方程；条件涉及圆心和半径，可选圆的标准方程. 2.解决与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.解决与圆有关的最值问题时，可根据代数式子的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合解决.也可以利用圆的参数方程解决最值问题.8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系典例精析题型一直线与圆的位置关系的判断【例1】已知圆的方程x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时， (1)直线与圆有两个公共点； (2)直线与圆只有一个公共点. 【解析】方法一：(几何法) 设圆心O(0,0)到直线y＝x＋b的距离为d，d＝|b|12＋12＝|b|2，半径r＝2. 当d＜r时，直线与圆相交，|b|2＜2，－2＜b＜2，所以当－2＜b＜2时，直线与圆有两个公共点. 当d＝r时，直线与圆相切， |b|2＝2，b＝±2，所以当b＝±2时，直线与圆只有一个公共点. 方法二：(代数法) 联立两个方程得方程组消去y得2x2＋2bx ＋b2－2＝0，Δ＝16－4b2. 当Δ＞0，即－2＜b＜2时，有两个公共点；当Δ＝0，即b＝±2时，有一个公共点. 【点拨】解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本关系，养成勤画图的良好习惯. 【变式训练1】圆2x2＋2y2＝1与直线xsin θ＋y－1＝0(θ∈R，θ≠kπ＋π2，k∈Z)的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定【解析】选A.易知圆的半径r＝22，设圆心到直线的距离为d，则d＝1sin2θ＋1. 因为θ≠π2＋kπ，k∈Z.所以0≤sin2θ＜1，所以22＜d≤1，即d＞r，所以直线与圆相离. 题型二圆与圆的位置关系的应用【例2】如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，求实数a的取值范围. 【解析】到原点的距离等于1的点在单位圆O：x2＋y2＝1上.当圆C与圆O有两个公共点时，符合题意，故应满足2－1＜|OC|＜2＋1，所以1＜a2＋a2＜3，即22＜|a|＜322，所以－322＜a＜－22或22＜a＜322为所求a的范围. 【变式训练2】两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为. 【解析】由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(－1,1)，(2，－2)，则过它们圆心的直线方程为x－(－1)2－(－1)＝y－1－2－1，即y＝－x. 根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称. 故由P(1,2)可得它关于直线y＝－x的对称点，即点Q的坐标为(－2，－1). 题型三圆的弦长、中点弦的问题【例3】已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程； (2)求圆C内过点P的弦的中点的轨迹方程. 【解析】(1)如图，AB＝43，D是AB的中点，则AD＝23，AC＝4，在Rt△ADC中，可得CD＝2. 设所求直线的斜率为k，则直线的方程为 y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线的距离公式|－2k－6＋5|k2＋1＝2，得k＝34，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0. 又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时的方程为x＝0. 所以所求直线为x＝0或3x－4y＋20＝0. (也可以用弦长公式求解) (2)设圆C 上过点P的弦的中点为D(x，y)，因为CD⊥PD，所以＝0，即(x＋2，y－6)•(x，y－5)＝0，化简得轨迹方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0. 【点拨】在研究与弦的中点有关问题时，注意运用“平方差法”，即设弦AB两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为(x0，y0)，由得k＝y1－y2x1－x2＝－x1＋x2y1＋y2＝－x0y0. 该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题. 【变式训练3】已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( ) A.106 B.206 C.306 D.406 【解析】选B.圆的方程化成标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，过点(3,5)的最长弦为AC＝10，最短弦为BD＝252－12＝46，S＝12AC•BD＝206. 总结提高 1.解决直线与圆、圆与圆的位置关系有代数法和几何法两种，用几何法解题时要注意抓住圆的几何特征，因此常常要比代数法简捷.例如，求圆的弦长公式比较复杂，利用l＝2R2－d2(R表示圆的半径，d表示弦心距)求弦长比代数法要简便. 2.处理直线与圆，圆与圆的位置关系，要全面地考查各种位置关系，防止漏解，如设切线为点斜式，要考虑斜率不存在的情况是否合题意，两圆相切应考虑外切和内切两种情况. 3.处理直线与圆的位置关系时，特别是有关交点问题时，为避免计算量过大，常采用“设而不求”的方法. 8.5 直线与圆的综合应用典例精析题型一直线和圆的位置关系的应用【例1】已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4 (m∈R). (1)求证：不论m为何值，直线l恒过定点； (2)判断直线l与圆C的位置关系； (3)求直线l被圆截得的弦长最短时的弦长及此时直线的方程. 【解析】(1)证明：直线方程可写作x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，由方程组可得所以不论m取何值，直线l恒过定点(3,1). (2)由(3－1)2＋(1－2)2＝5＜5，故点(3,1)在圆内，即不论m取何值，直线l总与圆C相交. (3)由平面几何知识可知，当直线与过点M(3,1)的直径垂直时，弦|AB|最短. |AB|＝2r2－|CM|2＝225－[(3－1)2＋(1－2)2]＝45，此时 k＝－1kCM，即－2m＋1m＋1＝－1－12＝2，解得m＝－34，代入原直线方程，得l的方程为2x－y－5＝0. 【点拨】解决弦长问题时，可利用弦长的几何意义求解. 【变式训练1】若函数f(x)＝－1beax的图象在x＝0处的切线l与圆C：x2＋y2＝1相离，则P(a，b)与圆C的位置关系是( ) A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不能确定【解析】选B.f(x)＝－1beax⇒f′(x)＝－abeax⇒f′(0)＝－ab. 又f(0)＝－1b，所以切线l的方程为y＋1b＝－ab(x－0)，即ax＋by＋1＝0，由l与圆C：x2＋y2＝1相离得1a2＋b2＞1⇒a2＋b2＜1，即点P(a，b)在圆内，故选B. 题型二和圆有关的对称问题【例2】设O为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P、Q关于直线x＋my ＋4＝0对称，又满足• ＝0. (1)求m的值； (2)求直线PQ的方程. 【解析】(1)曲线方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，是圆心为(－1,3)，半径为3的圆. 因为点P，Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，所以圆心(－1,3)在直线x＋my＋4＝0上，代入得m＝－1. (2)因为直线PQ与直线y＝x＋4垂直，所以设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线PQ的方程为y＝－x＋b.将直线y＝－x＋b代入圆的方程，得2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0，Δ＝4(4－b)2－4×2(b2－6b＋1)＞0，解得2－32＜b＜2＋32. x1＋x2＝b－4，x1x2＝b2－6b＋12，y1y2＝(－x1＋b)(－x2＋b)＝b2－b(x1＋x2)＋x1x2＝b2＋2b＋12，因为• ＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，即b2－6b＋12＋b2＋2b＋12＝0，得b＝1. 故所求的直线方程为y＝－x＋1. 【点拨】平面向量与圆的交汇是平面解析几何的一个热点内容，解题时，一方面要能够正确地分析用向量表达式给出的题目的条件，将它们转化为图形中相应的位置关系，另一方面还要善于运用向量的运算解决问题. 【变式训练2】若曲线x2＋y2＋x－6y＋3＝0上两点P、Q满足①关于直线kx－y＋4＝0对称；②OP ⊥OQ，则直线PQ的方程为. 【解析】由①知直线kx－y＋4＝0过圆心(－12，3)，所以k＝2，故kPQ ＝－12. 设直线PQ的方程为y＝－12x＋t，与圆的方程联立消去y，得54x2＋(4－t)x＋t2－6t＋3＝0.(*) 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由于O P⊥OQ，所以x1x2＋y1y2＝0，即x1x2＋(－12x1＋t)(－12x2＋t)＝0，所以(x1＋x2)(－12t)＋54x1x2＋t2＝0. 由(*)知，x1＋x2＝4(t－4)5，x1x2＝4(t2－6t＋3)5，代入上式，解得t＝32或t＝54. 此时方程(*)的判别式Δ＞0. 从而直线的方程为y＝－12x＋32或y＝－12x＋54，即x＋2y－3＝ 0或2x＋4y－5＝0为所求直线方程. 题型三与圆有关的最值问题【例3】求与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程. 【解析】曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0可化为 (x－6)2＋(y－6)2＝18，它表示圆心为(6,6)，半径为32的圆. 作出直线x＋y－2＝0与圆(x－6)2＋(y－6)2＝18，由图形可知，当所求圆的圆心在直线y＝x上时，半径最小. 设其半径为r，点(6,6)到直线x＋y＝2的距离为52，所以2r＋32＝52，即r＝2，点(0,0)到直线x＋y＝2的距离为2，所求圆的圆心为(22cos 45°，22sin 45°)，即(2,2)，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2. 【点拨】解决与圆有关的最值问题时，要借助图形的几何性质，利用数形结合求解. 【变式训练3】由直线y＝x＋1上的点向圆C：(x－3)2＋(y＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为( ) A.17 B.32 C.19 D.25 【解析】选A.设M为直线y＝x＋1上任意一点，过点M的切线长为l，则l＝|MC|2－r2，当|MC|2最小时，l最小，此时MC与直线y＝x＋1垂直，即|MC|2min＝(3＋2＋12)2＝18，故l的最小值为17. 总结提高 1.解决直线与圆的综合问题时，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，我们要勤动手，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决，即注意圆的几何性质的运用. 2.解决直线与圆的综合问题时，经常要用到距离，因此两点间的距离公式、点到直线的距离公式要熟练掌握，灵活运用. 3.综合运用直线的有关知识解决诸如中心对称、轴对称等一些常见的问题.优品课件，意犹未尽，知识共享，共创未来！！！。

【最新整理，下载后即可编辑】第七章 直线和圆的方程1 直线方程和两条直线的位置关系 1、直线l 经过原点和点（1-,1-），则它的倾斜角是（ A ）。

A.4π B.54π C.4π或54π D.4π-2、两平行直线2y x =和25y x =+间的距离是（ B ）A.52C.32D.23、如果直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于（ D ）A.1B.13-C.23- D.2-4、两直线20x +=340y +-=的夹角是（）A.030B.060C.090D. 0120 答案：B 解析：2112tan 1k k k k θ-=+5、过点A(3，0)，且平行于直线230x y -=的直线方程是 。

答案：2360x y --=6、点（2，5）关于直线0x y +=的对称点的坐标是 。

答案：（－5，－2） 【典型例题】 【例1】 求满足下列条件的直线l 的方程。

（1） 在y 轴上的截距为3-，且它与两坐标轴围成的三角形面积为6。

（2）与直线240x y -+=的夹角为045，且焦点在x 轴上。

解：（1）设直线的方程为13x ya +=-，由题意得1362a -=，4a ∴=±。

当4a =时，直线l 的方程为143x y+=-即34120x y --=。

当4a =-时，直线l 的方程为143x y+=--即34120x y ++=。

（2）直线240x y -+=交x 轴于点（2,0-），可设l 的方程为(2)y k x =+。

由两直线夹角公式有02tan 4512kk-=+，13k ∴=或3k =-。

∴l 的方程为1(2)3y x =+或3(2)y x =-+，即320x y -+=或360x y ++=。

注意：求直线方程时，可根据题中已知条件适当地选择所求直线的形式，再根据题中其他条件确定方程中的待定系数。

变式1.将直线1y x =+绕它上面一点(沿逆时针方向旋转015，得到的直线方程是。

第一教时 直线的倾斜角和斜率(1)教材：7.1直线的倾斜角和斜率目的：1、初步了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念，为今后进一步学习曲线与方程的概念打下基础；2、了解直线的倾斜角概念，理解直线的斜率概念，会准确地表述直线的倾斜角和斜率的定义，知道每条直线都存在唯一的倾斜角，但不 是每条直线都有斜率；3、已知直线的倾斜角（或斜率），会求直线的斜率（或倾斜角）；4、培养和提高学生的联系、对应、转化等辩证思维。

过程： 一、新课1、"直线的方程"和"方程的直线"的概念（1）请一名学生作出函数y=2x ＋1的图像，引导大家分析：①有序数对（0,1）满足函数y=2x+1，在直线l 上就有一点A ，它的坐标 是（0,1），即函数y=2x+1⇒有序实数对（x ，y ）−−−→←一一对应点⇒直线l ；②反过来，直线l 上点P （1,3），则有序实数对（1,3）就满足函数y=2x+1， 即直线l ⇒点−−−→←一一对应有序实数对（x ，y ）⇒函数y=2x+1。

归纳：一般地，满足函数式y=kx+b 的每一对x,y 的值，都是直线l 上的 点的坐标（x,y ）；反之，直线l 上每一点的坐标（x,y ）都满足函数式y=kx+b 。

因此，一次函数y=kx+b 的图像是一条直线，它是以满足y=kx+b 的每一 对x,y 的值为坐标的点构成的。

（2）讲解：从方程的角度看，函数y=kx+b 也可以看作是二元一次方程 y －kx －b ＝0，这样，满足一次函数y=kx+b 的每一对x,y 的值“变成了二元一次方程y －kx －b ＝0的解” ，使方程和直线建立了联系。

板书：定义“直线的方程”和“方程的直线” ，强调定义中两个条件必 须同时满足，缺一不可。

例1、已知方程2x+3y+6=0(1) 把这个方程改写成一次函数式； (2) 画出这个方程所对应的直线； (3) 点(23，1)是否在直线l 上？2、直线的倾斜角设问1：在直角坐标系中，过点P 的一条直线绕P 点旋转，不管旋转多少周，它对x 轴的位置有几种情况？画图表示。

高三数学第一轮复习直线和圆的方程详细教案知识结构第一节直线的倾斜角和斜率学习目标1．了解直线的方程、方程的直线的定义；2．掌握直线的倾斜角、直线的斜率的定义及其取值范围；3．掌握过两点的直线的斜率公式，会运用公式求出有关直线的斜率和倾斜角．重点难点本节重点：正确地理解斜率的概念，熟练地掌握已知直线上两点求直线斜率的公式，这是学好直线这部分内容的关键．本节难点：正确理解直线倾斜角定义中的几个条件，如直线与x轴相交与不相交，按逆时针方向旋转、最小正角等．求倾斜角时，要特别注意其取值范围是高考中，由于本节内容是解析几何成果中最基础的部分，一般是隐含在综合题中进行考查．典型例题【分析】【解】【点评】【分析】【解】【点评】【解法一】代数方法：套两点斜率公式．【解法二】【点评】“解析几何的特点之一是数形结合，数无形时少直观，形无数时难入微．”在学习数学时，应该记住华罗庚的这段话．教材上还涉及证明三点共线的练习题，怎样证明三点共线呢？请看下面例4．【分析】证明三点共线，可以用代数方法、几何方法，可以用直接证法、间接证法，你能想出至少一个方法吗？下面是同学们讨论出的几种证法供参考．【证法一】【证法二】【证法三】第二节直线的方程学习目标掌握直线方程的点斜式、两点式、参数式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程式．重点难点本节重点：直线方程的点斜式和一般式，点斜式是推导直线方程其他形式的基础，一般式是直线方程统一的表述形式．本节难点：灵活运用直线方程的各种形式解题．在高考中几乎每年都要考查这部分内容，题型以选择题、填空题居多．典型例题【分析】关键是确定直线方程中的待定系数．【解】【点评】学习直线的方程常犯的错误是忽略方程各种形式的应用条件，因此造成丢解．本例中各个小题均为两解，你做对了吗？第（4）小题的解法一要用到下节学到的公式，解法二用到课外知识，供有兴趣的同学欣赏．【解法一】【解法二】【解法三】【点评】灵活运用直线方程的各种形式，常常要和平面几何的有关知识相结合．本题还有别的解法，不再一一列举．【解法一】【解法二】【解法三】【证明】【点评】【分析】【解法一】【解法二】【解法三】【点评】第三节两条直线的位置关系学习目标1．掌握两条直线平行与垂直的条件，以及两条直线的夹角和点到直线的距离公式．2．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．重点难点本节重点：两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．本节难点：了解解析几何的基本思想，并用解析几何方法研究角．在高考中，两条直线的位置关系几乎年年必考，常常单独出现在选择题和填空题中，或作为综合题的一部分出现在解答题中．典型例题学习了本节以后，应该对两条直线平行与垂直的充要条件，怎样求直线的斜率、距离与角有哪些公式等问题进行归纳小结，以便提纲挈领地掌握有关知识，并灵活运用这些知识解决问题．1．两条直线平行、垂直的充要条件是什么？答：2．怎样求直线的斜率？答：3．距离和角有哪些公式？能灵活运用吗？答：【解】用下面的例题检验是否理解和掌握了以上这些内容．1．两条直线的位置关系【解】2．两条直线所成的角【解】【解法一】【解法二】3．有关交点的问题（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【解法一】【解】【解法二】4．点到直线的距离【错误的解】【正确的解】【解法一】【解法二】【解法三】【解法四】第四节简单的线性规划学习目标1．了解用二元一次不等式表示平面区域．2．了解线性规划的意义，并会简单的应用．重点难点典型例题学习了简单的线性规划以后，常见的题型是用二元一次不等式表示平面区域，以及用线性规划的知识来解决一些简单的问题．下面的例题可检验是否掌握了这些内容．1．二元一次不等式表示的区域【分析】【解】【点评】例2 试讨论点线距离公式中，去掉绝对值符号的规律？【分析】【解】【点评】2．线性规划初步例3钢管长11.1米，需要截下1.5米和2.5米两种不同长度的小钢管，问如何截取可使残料最少？【分析】关键是利用约束条件，列出线性目标函数．【解】【评析】例4 用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（）．（A）5种（B）6种（C）7种（D）8种【解法一】【解法二】【解法三】列表数点．故选（C）．【点评】本题为1999年全国高考试题第14题，难度系数0.47．如果有利用二元一次不等式表示平面区域的知识，此题将不再困难．【分析】甲的解法错误，错在（1）、（2）（3）、（4），反之不行，用必要不充分条件代替原条件，使解的范围扩大，[6，10]是[5，11]的子集．乙的解法正确．本题数形结合，利用本节的知识还可以有以下的解法．【解】【点评】第六节曲线和方程学习目标1．掌握曲线的方程、方程的曲线等概念．2．了解解析几何的基本思想和解析法，学习运动变化、对立统一等辩证唯物主义思想．重点难点本节重点：了解曲线的点集与方程的解集之间的一一对应关系，从而掌握曲线的方程和方程的曲线这两个重要概念，并掌握由曲线的已知条件求方程的方法和步骤，熟悉解析法．本节难点：理解曲线和方程的概念，以及求曲线的方程的方法．在高考中，曲线和方程常是重点考查的内容，出现在解答题中．典型例题学习了本节后主要要掌握求曲线的方程的步骤，以及用解析法解题的步骤，以下归纳供参考．求曲线的方程的步骤是：一建--选取适当的点和直线，建立坐标系；二设--设曲线上点，以及利用已知条件设出其他有关点的坐标等；三列式--根据动点符合的条件，列出含、的方程0；四化简--化方程0为最简形式；五证明--证曲线上点的坐标都是方程的解，以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（这一步不要求写出）．解析法的主要步骤是：一建--建立适当的坐标系．建系原则是使已知条件好用，使表达式简明，运算简便．因此，尽量利用已知点和已知直线；二设--选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程；三算--通过运算，得到所要的结果．用以下例题检验是否理解和掌握了这些内容．1．怎样求轨迹方程【解法一】【解法二】【点评】【错误解法】【正确解法】【点评】【解法一】【解法二】【点评】2．解析法与综合法【证法一】【证法二】【证法三】【证法四】【点评】不同证法，以解析法较简便，复数将在高三年级学习，这里的证法实质和解析法一样，不过是换个说法．【分析】【解】【点评】解析法与综合法的特点，从中你体会到了吗？解析法的优点是程序固定（一建二设三算），操作简便，但一般运算量较大；综合法的优点是思路灵活，但如何添加辅助线不易掌握．【解法一】【解法二】【解法三】【解法四】【点评】“是否可以用代数中的计算过程代替几何中的证明？”“让代数和几何中一切最好的东西互相取长补短”等是笛卡儿创立解析几何的初衷．解析几何既然是用代数方法来研究几何对象的特征和性质，当然对运算能力要求较高．运算能力是一种计算化了的推理能力，是逻辑思维能力与计算知识、方法、技能和技巧的结合．在解析几何中，如果不注意运算方法上的特点和技能，就可能陷入有思路但算不出或很难算出正确结果的窘境，如本题的思路一、二．解析几何中常用的运算方法和技能是：①注意利用平面几何知识，如思路四；②不忘利用定义，尤其是圆锥曲线的定义解题；③充分利用一元二次方程根与系数的关系，并不忘对判别式的要求，如思路三；④合理利用曲线系；⑤数形结合，依形判数，就数论形；⑥灵活运用字母的可轮换性，减少同类量的重复运算．以上方法和技能，要在实际解题中逐步掌握．第七节圆的方程学习目标1．掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程．2．初步了解直线和圆中反映出的运动变化、对立统一等辩证思想和观点．重点难点本节重点：圆的标准方程、一般方程、参数方程及其相互转化．本节难点：直线和圆的综合运用．在高考中，圆的方程在选择题、填空题、解答题等各类题型中出现．本节要掌握三种类型的问题，之一是求圆的方程，之二是直线和圆的综合题，之三是应用直线和圆的知识解决一些问题．1．圆的方程有哪些形式？典型例题用下面的例题检验是否理解和掌握了圆的方程的三种形式：【解法一】【解法二】【解法三】【点评】怎样求圆的方程？这三条思路具有典型意义．【解法一】【解法二】【点评】【解法一】【解法二】【点评】【分析】关键确定圆心坐标和半径．【解】【点评】本题为1997年全国高考理科第25题，难度系数0.20．难在什么地方呢？第一文字叙述较长，有同学读不懂题；第二涉及众多知识，有同学不会运用；第三丢解，忽略了不同的位置关系．会不会用知识和怎样用知识，是一个人有没有能力和能力高低的重要标志，努力吧！2．直线和圆综合题【分析】【解】【点评】【解法一】【解法二】【分析】【点评】【解】【点评】【解法一】【解法二】【点评】分类是自然科学的基本方法，数学中的分类讨论的思想方法，就是依据数学对象的共同点和差异点，将其区分为不同种类，分类讨论并归纳结论，这一思想方法，在近代数学和现代数学中占有重要地位，是应该学习和掌握的重要思想方法．3．怎样利用直线和圆的知识解题？【分析】数形结合，将代数式或方程赋予几何意义．【解】【点评】从“数”中认识“形”，从“形”中认识“数”，数形结合相互转化，是数学思维的基本方法之一．“数学是一个有机的统一体，它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合．”（希尔伯特）数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一，而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力．本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目．【解法一】【解法二】【解法三】【点评】。

学习必备欢迎下载直线与圆的方程的应用学习目标主要概念：坐标法――建立适当的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐标之间的运算，由此解决几何问题。

教材分析一、重点难点本节教材的教学重点是掌握直线和圆的方程在实际生活中的应用，以及用坐标法研究几何问题的基本思想。

难点是如何把一个实际问题转化为数学问题，即数学建模，以及在运用坐标法证明几何问题时，如何能根据具体问题灵活地建立适当的直角坐标系。

二、教材解读本节教材的理论知识有问题提出、题型介绍、思考交流三个板块组成。

第一板块问题提出直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用。

第二板块题型介绍直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用第三板块思考交流课本 P.138 例 4 中提出：如果不建立坐标系，你能解决这个问题吗？拓展阅读解读理解、掌握知识的最终目的在于应用，通过知识的应用，问题的解决，一方面可使学生亲身体验到学习数学的意义和作用，培养学生学习的自觉性；另一方面联系实际的目的就是为了更好地掌握基础知识，增加用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力。

解读通过介绍直线与圆的方程在实际生活中的应用，其目的在于让学生了解应用问题就是在已学数学知识的基础上，从实际问题出发，经过去粗取精、抽象概括，把实际问题抽象成数学问题，建立相应的数学模型。

让学生掌握解决实际问题的全过程，提高学生分析问题和解决问题的能力。

通过介绍直线与圆的方程在平面几何中的应用，其目的在于让学生了解坐标法的数学思想，掌握用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” ，让学生从另一个角度再次体会“数形结合”的思想方法。

解读通过让学生思考和解答，试图让学生比较坐标法和几何法在解决这一问题时的优劣，从而发现坐标法在解决一些问题时的优越性。

数学来源于实际又服务于实际，新的课程标准越来越注意对学生在数学素养、数学能力方面的要求，要求学生能应用数学知识、观点、方法去处理实际问题，从而把数学的应用与大众生活紧密地结合起来，使数学教学更具有现实意义与教育意义。

直线与圆的方程1.直线的方程【复习要求】【知识点梳理】1.直线的方向向量和法向量（1）方向向量：与直线l平行的非零向量叫做直线l的方向向量，通常用d表示;（2）法向量：与直线l平行的非零向量叫做直线l的方向向量，通常用n表示。

2.直线的倾斜角和斜率（1）倾斜角:设直线l与x轴相较于点M，将x轴绕点M逆时针方向旋转至与直线l重合时所成的最小正角α叫做直线l的倾斜角.注：错误!当直线l与x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0;错误!直线l的倾斜角的范围为[)0,π。

（2）斜率：把倾斜角不为90°的直线l的倾斜角α的正切值叫做直线l的斜率,用k表示，即tan=kα注：错误!当2πα=时，斜率k 不存在；○，2当0k ≥时,arctan k α=;当0k <时,arctan k απ=+。

错误!当直线l 经过点()111,P x y 、()222,P x y ()21x x ≠时，1212y y k x x -=-. 3. 直线方程的各种形式(,d u v =(),n a b =垂直)2y ()00,x y【基本例题】例1 求直线210x y ++=的倾斜角.解:斜率2k =-，所以倾斜角arctan2απ=-.例2 已知直线:1l y kx =+与两点()1,5A -、()4,2B -，若直线l 与线段AB 相交,求k 的取值范围. 解:直线l 恒过定点()0,1C ,4AC k =-,34BC k =-，数形结合知(]3,4,4k ⎡⎫∈-∞--+∞⎪⎢⎣⎭。

例3 已知()4,6A 、()3,1B --、()4,5C -三点， （1） 求经过点A 且与BC 平行的直线l 1的方程； （2） 求过点A 、B 的直线方程l 2； （3） 求BC 边上的高所在直线的方程l 3。

解：（1）直线l 1的一个方向向量()7,4BC -＝，所以直线l 1的点方向式方程为4674x y --=-，化为一般式方程为47580x y +-=.（2）直线l 2的一个方向向量()7,7AB =--，所以直线l 2的点方向式方程为4677x y --=--，化为一般式方程为20x y -+=.（3）直线l 3的一个法向量()7,4BC =-，所以直线l 3的点法向式方程为()()74460x y ---=,化为一般式方程为7440x y --=。

教案一 直线的方程【授课对象】高三一轮复习【高考比重】“直线的方程”属于必修2第三章内容，是解析几何的基础；在兰州平时的模拟考试中对于直线方程性质的题型尤为常见，高考中主要结合圆、圆锥曲线为每一年的必考题型。

【授课过程】1、直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角○1定义：当直线l 与x 轴相交时，表示x 轴正方向与直线l 向上方向的夹角α，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； ○2倾斜角的范围为[)π，0； (2)直线的斜率：表示直线的倾斜程度○1斜率常用小写字母k 表示，倾斜角不等于2π的直线斜率k ＝tan α，倾斜角是2π的直线斜率不存在；○2过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1；○3根据两直线位置关系求解斜率； ○4根据导数求解斜率。

例1、坐标平面内的任何一条直线均有斜率。

( × ) 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角。

( √ )例2、（2010，北京）若直线L ：y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线L 倾斜角的取值范围是 .解析：利用数形结合思想，结合图像我们画出定直线2x+3y-6=0,过A(3，0),B(0，2) 由直线L 过定点C （0，）及交点在第一象限知L 移动到AC 时；移动到BC 时k=，即倾斜角为.故 26παπ<<.2、直线方程的五种形式：名称 方程适用范围点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 不含直线x ＝x 1 (x 1≠x 2)和直线y ＝y 1 (y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用注意：在使用时切记其适用范围；常用直线的点斜式和一般式；在截距式中的截距不是距离，因此可正可负可为零。

2019-2020年高三数学《直线和圆的方程》复习教案 新人教A 版一、本讲进度《直线和圆的方程》复习 二、本讲主要内容1、直线方程的五种表现形式，如何求直线方程；二元一次不等式的几何意义及运用。

2、圆的方程三种形式，如何求圆的方程。

3、直线和圆位置关系的研究。

三、复习指导1、曲线和方程是中学数学的两种常见研究对象。

借助于平面直角坐标系，形和数可 以得到高度的统一，它们最基本的对应关系是点和有序数对的一一对应。

当点运动形成轨迹时，对应坐标便会满足一个方程。

当曲线C 和方程F(x ，y)=0满足如下关系时：①曲线C 上点的坐标都是方程F(x ，y)=0的解；②以方程F(x ，y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上，则称曲线C 为方程F(x ，y)=0表示的曲线；方程F(x ，y)=0是曲线C 表示的方程。

从集合角度看，点集（曲线）与方程解集相等。

解析几何研究的内容就是给定曲线C ，如何求出它所对应的方程，并根据方程的理论研究曲线的几何性质。

其特征是以数解形。

坐标法是几何问题代数化的重要方法。

2、直线的倾斜角α和斜率k 是描述直线位置的重要参数，它们之间关系是正切函数关系：k=tan α，α∈[0，),2()2πππ ，当α=2α时，直线斜率不存在，否则由α求出唯一的k 与之对应。

当已知k ，求倾斜角α时：k ≥0时，α=arctank ；k<0时，α=π+arctank 。

或：k=0时，α=0；k ≠0时，cot α=k 1,α=arccot k1。

由正切函数可知，当α∈（0，2π），α递增时，斜率k →+∞。

当α∈（2π，π），α递减时，斜率k →-∞。

当涉及到斜率参数时，通常对k 是否存在分类讨论。

3、直线是平面几何的基本图形，它与方程中的二元一次方程Ax+By+C=0（A 2+B 2≠0）一一对应。

从几何条件看，已知直线上一点及直线方向与已知直线上两点均可确定直线；从对应方程看，直线方程两种典型形式：点斜式（斜截式），两点式（截距式），因此求直线方程，常用待定系数法。

2016届文科人教版数学必修二（直线与圆的方程）教学姓名：院、系：数学学院专业: 数学与应用数学2016年3月11日一、知识回顾在平面直角坐标系中，过定点P(2,2)的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？1.倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角．2.直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝α.直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝(x1≠x2).3.斜率与倾斜角的对应关系4. 两条直线平行与斜率之间的关系1) 设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：2) 如图，直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，若l1⊥l2，则α1与α2之间存在什么关系？【提示】 α2＝α1＋90°.两条直线垂直与斜率的关系5.直线方程的五种形式的比较：6. 两条直线的交点已知两直线l1：A1x ＋B1y ＋C1＝0；l2：A2x ＋B2y ＋C2＝0.若两直线方程组成的方程组有惟一解则两直线相交，交点坐标为(x0，y0). 7. 两点间的距离平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式1P2|＝. 8. 如图，点P(x0，y0)到直线＋＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的距离d 同线段，，间存在什么关系？d ＝.点到直线的距离(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：＋＋C＝0的距离d＝.9.如图l1∥l2，两平行线间的距离等于其中任意一条直线上的任意点到另一条直线的距离吗？两条平行直线间的距离(1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．(2)求法：两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离．(3)公式：两条平行直线l1：＋＋C1＝0与l2：＋＋C2＝0之间的距离d＝二、精讲细练1.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则有( )A．k1<k2<k3 B．k2<k3<k1C．k1<k3<k2 D．k2<k1<k32.在下列叙述中：①若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率k＝α；②若直线斜率k＝－1，则它的倾斜角为135°；③若A(1，－3)、B(1,3)，则直线的倾斜角为90°；④若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过(3,4)点；⑤若直线的斜率为，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点．所有正确命题的序号是．3.已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，求△的面积．4.已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则的最小值为．5.直线l经过两直线l1：2x－y＋4＝0与l2：x－y＋5＝0的交点，且与直线x－2y－6＝0垂直．(1)求直线l的方程；(2)若点P(a,1)到直线l的距离为，求实数a的值．6.求与直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程．(2)求与直线l1：x－y＋3＝0关于直线l：x－y－1＝0对称的直线l2的方程．7.直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．三、知识回顾1.在平面内，圆是如何定义的？在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合．圆的标准方程(1)以C(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.2.点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：法和代数法两种：(1)对于几何法，主要是利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系作出判断：①d>r，点在圆外；②d＝r，点在圆上；③d<r，点在圆内．(2)对于代数法，主要把点的坐标代入圆的标准方程，具体判断如下：①当(x0－a)2＋(y0－b)2<r2时，点在圆内；②当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点在圆上；③当(x0－a)2＋(y0－b)2>r2时，点在圆外．3.圆的一般方程圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开可得到一个什么式子？【提示】x2＋y2－2－2＋a2＋b2－r2＝0.方程x2＋y2＋＋＋F＝0(*)表示的图形(1)变形：(x＋)2＋(y＋)2＝.(2)图形：①当D2＋E2－4F>0时，方程表示的曲线为圆，且圆心为(－，－)，半径为，方程(*)称为圆的一般方程；②当D2＋E2－4F＝0时，方程(*)表示一个点(－，－)；③当D2＋E2－4F<0时，方程(*)不表示任何图形.4.直线与圆的位置关系及判断直线与圆的位置关系的判定方法(1)代数法：直线与圆的方程联立消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，此方程的判别式为Δ，则直线与圆相交⇔Δ>0；直线与圆相切⇔Δ＝0；直线与圆相离⇔Δ<0.(2)几何法：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交⇔d<r；直线与圆相切⇔d＝r；直线与圆相离⇔d>r.5.圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．一元二次方程四、精讲细练1.已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．2.已知点A(3，－2)，B(－5,4)，则以线段为直径的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100D．(x＋1)2＋(y－1)2＝1003.点P(1，－1)在圆x2＋y2＝r的外部，则实数r的取值范围是．4.已知点A(1,2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围：(1)点A在圆的内部；(2)点A在圆上；(3)点A在圆的外部．5.已知圆过两点A(3,1)，B(－1,3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，求此圆的方程．1．由于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中含有三个参数a，b，r，因此需要三个独立的条件才能确定一个圆的标准方程．2．求圆的标准方程常有以上三种方法，其中方法三最为简捷，方法二是几何法，巧用了圆的几何性质，方法一是通法，用方程的观点确定a，b，r的值．6.已知直线l：y＝＋5与圆C：(x－1)2＋y2＝1.(1)当k为何值时，直线l与圆C相交？(2)当k为何值时，直线l与圆C相切？(3)当k为何值时，直线l与圆C相离？【思路探究】思路一：思路二：―→―→7.求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．【思路探究】→→或→→或→图1求直线与圆相交时弦长的两种方法：(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为，则有()2＋d2＝r2.即＝2.图2(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝＝1－x2|＝·1－y2|，其中k为直线l的斜率．8.已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系．【思路探究】→→或→→9.已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．【思路探究】―→―→―→1．两圆相交时，公共弦所在的直线方程：若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y ＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.2．公共弦长的求法：(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．10. 已知圆C ：x2＋(y －1)2＝5，直线l ：－y ＋1－m ＝0(m∈R)． (1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦的长．五、 高考真题1. 如图，已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且.（Ⅰ）圆的标准方程为；（Ⅱ）圆在点处的切线在轴上的截距为.C x (1,0)T y 2ABC C B x2.圆心在直线x﹣20上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4 ．系中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为y 轴上截得线段长为(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为2，求圆P 的方程．4. 在平面直角坐标系中，直线345=0与圆x ²²=4相交于A 、B 两点，则弦的长等于A. B.D.155. 已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（I ）求k 的取值范围；（）12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .6. 过直线0上点P 作圆x22=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是。