2013年高考理科数学试题及答案-全国卷1

绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、 选择题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( ) A 、A∩B= B 、A ∪B=R C 、B ⊆A D 、A ⊆B 2、若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( )A 、－4 （B ）－45 （C ）4 （D ）453、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A 、简单随机抽样 B 、按性别分层抽样 C 、按学段分层抽样 D 、系统抽样4、已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为 ( )A 、y =±14x （B ）y =±13x （C ）y =±12x （D ）y =±x5、执行右面的程序框图，如果输入的t ∈[－1，3]，则输出的s 属于 ( )A 、[－3,4]B 、[－5,2]C 、[－4,3]D 、[－2,5]6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，开始 输入t t <1s =3ts = 4t －t 2输出s 结束是否再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )A 、500π3cm 3B 、866π3cm 3C 、1372π3cm 3D 、2048π3cm 37、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ ( )A 、3B 、4C 、5D 、68、某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( ) A 、16+8π B 、8+8π C 、16+16π D 、8+16π9、设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m ＝ ( )A 、5B 、6C 、7D 、810、已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置． 参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差nx x x x x x s n 22221)()()(-++-+-=其中x 为样本平均数球的面积公式24R S π=第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数ii++121（i 是虚数单位）的虚部是 A ．23 B ．21C ．3D ．1 2.已知R 是实数集，{}11,12+-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=x y y N x xM ，则=M C N R A ．)2,1(B ．[]2,0C .∅D ．[]2,13.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=-a a ，则=24S S A ．5 B ．8 C ．8- D ．15 5.已知函数)62sin()(π-=x x f ，若存在),0(π∈a ，使得)()(a x f a x f -=+恒成立，则a的值是A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 6.已知m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为 （1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα （3）,,βα⊥⊥m m 则α∥β （4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）7.已知平面上不共线的四点C B A O ,,,，若||,23BC AB OC OB OA -=等于A ．1B ．2C ．3D ．4 8.已知三角形ABC ∆的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则这个三角形的周长是A ．18B ．21C ．24D ．15 9.函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是 A ．(]1,0 B ．(]10,1 C ．(]100,10 D ．),100(+∞ 10.过直线y x =上一点P 引圆22670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为A ．22 B ． 223 C ．210 D ．211.已知函数b ax x x f 2)(2-+=.若b a ,都是区间[]4,0内的数，则使0)1(>f 成立的概率是A ．43 B ．41 C ．83D ．8512.已知双曲线的标准方程为116922=-y x ，F 为其右焦点，21,A A 是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于21,A A 的任意一点，直线P A P A 21,与直线a x =分别交于两点N M ,,若0=⋅FN FM ,则a 的值为A ．916 B ．59 C ．925 D ．516题图第13第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.如图所示的程序框图输出的结果为__________.14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其在一个球面上，则该球的表面积为__________.15.地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为)4.11(lg 32-=E R ．2011年3月11日，日本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的 倍． 16.给出下列命题： ①已知,,a b m都是正数，且bab a >++11，则a b <； ②已知()f x '是()f x 的导函数，若,()0x R f x '∀∈≥，则(1)(2)f f <一定成立； ③命题“x R∃∈，使得2210x x -+<”的否定是真命题； ④“1,1≤≤y x 且”是“2≤+y x ”的充要条件.其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)第14题图三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量),2cos 2sin 3()2cos ,1(y xx b x a +==→→与共线，且有函数)(x f y =．（Ⅰ）若1)(=x f ，求)232cos(x -π的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,,的对边分别是c b a ,,，且满足b c C a 2cos 2=+，求函数)(B f 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .已知四棱锥BCDE A -，其中1====BE AC BC AB ，2=CD ，ABC CD 面⊥，BE∥CD ，F 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：EF ∥面ABC ； （Ⅱ）求证：面ACD ADE 面⊥； （III ）求四棱锥BCDE A -的体积.20.（本小题满分12分）在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间对应的一组数据：现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y 关于x 的线性回归方程26139134ˆ+=x y，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．AB CDEF已知函数1)(2++=x bax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x . （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立.22.（本小题满分14分）实轴长为34的椭圆的中心在原点，其焦点1,2,F F 在x 轴上.抛物线的顶点在原点O ，对称轴为y 轴，两曲线在第一象限内相交于点A ,且12AF AF ⊥，△12AF F 的面积为3. （Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点A 作直线l 分别与抛物线和椭圆交于C B ,,若AB AC 2=,求直线l 的斜率k .参考答案及评分标准一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）B D B A D B B D BC C B二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．2 14.π31915. 2310 16. ①③三．解答题17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵→a 与→b 共线∴yxx x 2cos 2cos2sin 31=+21)6sin()cos 1(21sin 232cos 2cos 2sin 32++=++=+=πx x x x x x y …………3分∴121)6sin()(=++=πx x f ，即21)6sin(=+πx …………………………………………4分211)6(sin 21)3(cos 2)3(2cos )232cos(22-=-+=--=-=-ππππx x x x…………………………………………6分 （Ⅱ）已知b c C a 2cos 2=+由正弦定理得：CA C A C C A C ABC C A sin cos 2cos sin 2sin cos sin 2)sin(2sin 2sin cos sin 2+=++==+∴21cos =A ，∴在ABC ∆中 ∠3π=A …………………………………………8分 21)6sin()(++=πB B f∵∠3π=A ∴320π<<B ,6566πππ<+<B …………………………………………10分∴1)6sin(21≤+<πB ,23)(1≤<B f ∴函数)(B f 的取值范围为]23,1( …………………………………………12分18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a …………………………………………2分 解得⎩⎨⎧==231d a ， …………………………………………4分 1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……………………………6分(Ⅱ)13-=n nna b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b …………………………………………7分 123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ……………………9分n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nnn n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴nn n T 3⋅= …………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）取AC 中点G,连结FG 、BG ， ∵F,G 分别是AD,AC 的中点∴FG ∥CD,且FG=21DC=1 ．∵BE ∥CD ∴FG 与BE 平行且相等∴EF ∥BG ． ……………………………2分ABC BG ABC EF 面面⊂⊄,∴EF ∥面ABC ……………………………4分 （Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形 ∴BG ⊥AC 又∵DC ⊥面ABC,BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BGABCDEF G∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ，∴BG ⊥面ADC ． …………………………………………6分 ∵EF ∥BG ∴E F ⊥面ADC∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …………………………………………8分 （Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E －ABC 和E －ADC ．43631232313114331=+=⨯⨯+⨯⨯=+=---ACD E ABC E BCDE A V V V ．………………………12分另法：取BC 的中点为O ，连结AO ，则BC AO ⊥，又⊥CD 平面ABC ,∴C CD BC AO CD =⊥ , , ∴⊥AO 平面BCDE ，∴AO 为BCDE A V -的高，43232331,2321)21(,23=⨯⨯=∴=⨯+==-BCDE A BCDE V S AO ． 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A ，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A 包含的基本事件有10种． …………………………………………3分所以321510)(==A P ．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是32． ………………………6分(Ⅱ) 当10=x 时，;2|1026219|,262192613910134ˆ<-=+⨯=y……………………………………9分 当30=x 时，;2|1626379|,263792613930134ˆ<-=+⨯=y所以，该研究所得到的回归方程是可靠的． …………………………………………12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）将1-=x 代入切线方程得2-=y ∴211)1(-=+-=-ab f ，化简得4-=-a b ． …………………………………………2分 222)1(2)()1()(x xb ax x a x f +⋅+-+='12424)(22)1(-===-+=-'bb a b a f ． …………………………………………4分解得：2,2-==b a∴122)(2+-=x x x f ． …………………………………………6分 （Ⅱ）由已知得122ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立化简得22ln )1(2-≥+x x x即022ln ln 2≥+-+x x x x 在),1[+∞上恒成立 ． …………………………………………8分 设22ln ln )(2+-+=x x x x x h ，21ln 2)(-++='xx x x x h ∵1≥x ∴21,0ln 2≥+≥xx x x ，即0)(≥'x h ． …………………………………………10分 ∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立 ． …………………………………………12分22．（本小题满分14分）解（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12,AF m AF n ==由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+6344222mn n m c n m …………………………………………2分解得92=c ，∴39122=-=b ．∴椭圆的方程为131222=+y x …………………………………………4分 ∵3=⨯c y A ，∴1=A y ,代入椭圆的方程得22=A x ，将点A 坐标代入得抛物线方程为y x 82=． …………………………………………6分（2）设直线l 的方程为)22(1-=-x k y ，),(),,(2211y x C y x B2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)- 11 - / 11 由AB AC 2= 得)22(22212-=-x x ， 化简得22221=-x x …………………………………………8分 联立直线与抛物线的方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=-yx x k y 8)22(12， 得0821682=-+-k kx x ∴k x 8221=+① …………………………………………10分 联立直线与椭圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-124)22(122y x x k y 得0821632)2168()41(2222=--+-++k k x k k x k ∴22241821622kk k x +-=+② …………………………………………12分 ∴2222418216)228(222221=++---=-kk k k x x 整理得：0)4121)(2416(2=+--k k k ∴42=k ，所以直线l 的斜率为42 ． …………………………………………14分。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )． A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y + D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n 项和2133n n S a =+，则{an}的通项公式是an ＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax ＋b)的图像关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，ABBC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±.5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上， ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b(+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2， 而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a .∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-， 即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭， 令cos αsin α＝- 则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )， 所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝=. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，cos α＝4sin α.所以tan α＝4，即tan ∠PBA ＝4. 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－1，0)，1AC ＝(0，． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，2013 全国新课标卷1理科数学 第11页 则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,30.x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A CA C ⋅n n ＝5-. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为5. 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以 P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y＝k (x ＋4)．由l 与圆M ， 解得k ＝当k y x =代入22=143x y +， 并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x1,2＝47-±.所以|AB|2118|7x x-=.当k=|AB|＝187.综上，|AB|＝|AB|＝187.21．解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－21x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.2013 全国新课标卷1理科数学第12页2013 全国新课标卷1理科数学 第13页 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

2013年全国新课标1卷高考理科数学试题，本试题适用于河南、河北、山西几个省份。

绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、 选择题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |A 、A∩B= B 、A ∪B=R C 、B ⊆A 2、若复数z 满足错误！未找到引用源。

z 的虚部为 ( D )A 、－4（B ）－45错误！未找到引用源。

（D ）453地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽( C )、按性别分层抽样错误！未找到引用源。

C 、按学段分层抽样 D 、系统抽4错误！未找到引用源。

，则C 的渐近线方程为( CB ）y =±错误！未找到引用源。

x（C ）y =±错51，3]，则输出的s 属于 ( A)C 、[－4,3]D 、[－2,5]6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cmA 、500π3cm 3B 、866π3cm 3错误！未找到引用源。

、2048π3cm 37，则m ＝ ( C )D 、6 89、设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m ＝ ( B ) A 、5 B 、6错误！未找到引用源。

数学试卷 第1页（共48页）数学试卷 第2页（共48页）数学试卷 第3页（共48页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)理科数学使用地区：河南、山西、河北注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合20{}|2A x x x =->,{|55}B x x <<=-,则( )A .AB =R B .A B =∅C .B A ⊆D .A B ⊆ 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为( )A .4-B .45-C .4D .453.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )A .简单随机抽样B .按性别分层抽样C .按学段分层抽样D .系统抽样4.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为5,则C 的渐近线方程为 ( )A .14y x =±B .13y x =±C .12y x =±D .y x =±5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( )A .[3,4]-B .[5,2]-C .[4,3]-D .[2,5]-6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球 面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的 厚度,则球的体积为( )A .3866πcm 3 B .3500πcm 3 C .31372πcm 3D .32048πcm 37.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m =( )A .3B .4C .5D .68.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m =( )A .5B .6C .7D .810.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为( )A .2214536x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .221189x y += 11.已知函数22,0,()ln(1),0.x x x f x x x ⎧-+=⎨+>⎩≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( )A .(,1]-∞B .(,0]-∞C .[2,1]-D .[2,0]-12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3,n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++=,12n nn b a c ++=,则( )A .{}n S 为递增数列B .{}n S 为递减数列C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________.14.若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________.16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）如图,在ABC △中,90ABC ∠=,3AB =,1BC =,P 为ABC △内一点,90BPC ∠=.（Ⅰ）若12PB =,求PA ； （Ⅱ）若150APB ∠=,求tan PBA ∠.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共48页）数学试卷 第5页（共48页） 数学试卷 第6页（共48页）18.（本小题满分12分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=. （Ⅰ）证明：1AB AC ⊥； （Ⅱ）若平面ABC ⊥平面11AA B B ,AB CB =,求直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验,检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n .如果3n =,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验；如果4n =,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验；其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立. （Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位:元),求X 的分布列及数学期望.20.（本小题满分12分）已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求||AB .21.（本小题满分12分）设函数2()f x x ax b =++,()e ()xg x cx d =+.若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ,且在点P 处有相同的切线42y x =+.（Ⅰ）求a ,b ,c ,d 的值；（Ⅱ）若2x -≥时,()()f x kg x ≤,求k 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB 为圆的切线,切点为B ,点C 在圆上,ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ,DB 垂直BE 交圆于点D .（Ⅰ）证明：DB DC =；（Ⅱ）设圆的半径为1,3BC =,延长CE 交AB 于点F ,求BCF △外接圆的半径.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标(0,02π)ρθ≥≤＜.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲已知函数()|21||2|f x x x a =-++,()3g x x =+. （Ⅰ）当2a =-时,求不等式()()f x g x ＜的解集；（Ⅱ）设1a -＞,且当1[,)22a x ∈-时,()()f x g x ≤,求a 的取值范围.=|2A B x{A B=R，故选【提示】根据一元二次不等式的解法，求出集合，再根据的定义求出A B和A B．【考点】并集及其运算，一元二次不等式的解法【答案】D4i)34=+，故z的虚部等于i553/ 16故选A．=，解得1)1245 / 16故选A ．(2)(2+1)7!!!(+1)!m m m m m m =⨯，即13，再利用组合数的计算公式，解方程综上可知：[,0]2a∈-．（步骤4）67 / 16【提示】由1n n a a +=可知n n n A B C △的边n n B C 为定值1a ，由111112(2)2n n n n b c a b c a +++=+--及1112b c a +=得12n n b c a +=，则在n n n A B C △中边长1n n B C a =为定值，另两边n n n n A C A B 、的长度之和12n n b c a +=为定值，由此可知顶点n A 在以n n B C 、为焦点的椭圆上，根据111()2n n n n b c b c ++=---，得1111()2n n n b c b c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，可知n →+∞时n n b c →，据此可判断n n n A B C △的边n n B C 的高n h 随着n 的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案． 【答案】2t =【解析】∵(1)c ta t b =-＋，∴2(+1)||b t b ab t =-．（步骤又∵||||1a b ==，且a 与b 夹角为60，b c ⊥，∴0|cos6|||0+t a b =︒2【提示】由于0b c =，对式子(1)c ta t b =-＋两边与b 作数量积可得|cos6|||0+a b ︒【考点】平面向量的数量积．85)(22,--+)(25,-+5)单调递增，在5)2-+单调递增，在9 / 161OCOA O =，所以1OAC 平面两两相互垂直．为坐标原点，OA的方向为|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系则(1,0,BC=，11(1,BB AA==-，(0,3,AC=-设,,()n x y z=10,0,n BCn BB⎧=⎪⎨=⎪⎩即可取,1(3,n=-10cos,5||||n ACn ACn AC=-〈〉=BB1C1C所成角的正弦值为51111得1AB AC⊥；（Ⅱ）易证OA，1OA，OC两两垂直．以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正向，||OA为单位长，建立坐标系，可得BC，1BB，AC的坐标，设,,()n x y z=10,0,n BCn BB⎧=⎪⎨=⎪⎩，可解得,1(3,n=-,n AC〈〉，即为所求正弦值．1011 / 1622)()A B ，411161616⨯+1【提示】（Ⅰ）设动圆的半径为R ，由已知动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，可得1212()()|+|+++4PM PN R r r R r r ==-=||，而||2NM =，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（Ⅱ）设曲线C 上任意一点,()P x y ，由于||2222PM PN R ≤|-|=-，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为所以可设l ：4)+(y k x =，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【考点】圆的标准方程及其性质，椭圆的的定义及其几何性质，直线与双曲线的位置关系．21.【答案】（Ⅰ）4a =2b =2c =2d =（Ⅱ）2[1,]e【解析】（Ⅰ）由已知得(0)2f =，(0)2g =，(0)4f '=，(0)4g '=．（步骤1）而+()2f x x a ='，((+))+x g x e cx d c '=，故2b =，2d =，4a =，+4d c =.（步骤2）从而4a =，2b =，2c =，2d =．（步骤3）13 / 16（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()+4+2f x x x =，()21)+(x g x e x =．设函数2()()()2()+142x F x kg x f x ke x x x =-=---，则()2+()2242+1(2())x x F x ke x x x ke '=--=-．由题设可得(0)0F ≥，即1k ≥（步骤4）令()0F x '=得1ln x k =-，22x -=．（步骤5）①若21k e ≤<，则120x <≤-．从而当12(),x x ∈-时，()0F x '<；当1(),+x x ∈∞时，()0F x '>．即()F x 在1()2,x -单调递减，在1(),+x ∞单调递增．故()F x 在[)2,+-∞的最小值为1()F x ．（步骤6）而1111211()2+24+0)22(F x x x x x x =--=-≥-．故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤7）②若2k e =，则2222+()()()2x F e x e e x -'=-．从而当2x >-时，)0(F x '>，即F (x )在()2,+-∞单调递增．而()20F -=，故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤8）③若2k e >，则22222+220()()F ke e k e ---=-=-<-．从而当2x ≥-时，()()f kg x x ≤不可能恒成立．综上，k 的取值范围是2[1,]e ．（步骤9）【提示】（Ⅰ）对()f x ，()g x 进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ，从而解出a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得出()f x ，()g x 的解析式，再求出()F x 及它的导函数，通过对k 的讨论，判断出()F x 的90，由勾股定理可得，故DG 60．30，所以CF ⊥BF ，故60．从而30．得到15 / 16【提示】（Ⅰ）对于曲线1C 利用三角函数的平方关系式22sin cos 1t t +=即可得到圆1C 的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到1C 的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线2C 的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标3⎝⎦21||23|2|x x y x +-=---，画出函数y 的图象，数形结合可得结论．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。

2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。

3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R ,函数()f x M , 则C M R 为(A) [－1,1](B) (－1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞-(D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-【答案】D【解析】()f x 的定义域为M=[-1,1],故2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61【答案】C【解析】故选择C3. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的 (A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 【答案】B【解析】由题设可知区间[481，720]长度为240，落在区间内的人数为12人。

5. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是(A)14π-(B)12π-(C) 22π-(D) 4π【答案】A【解析】由题设可知矩形ABCD 面积为2，曲边形DEBF 的面积为22124ππ-=-，选A.6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若12||0z z -=, 则12z z = 2z =(C) 若12||z z =, 则2112··z z z z =(D) 若12||||z z =, 则2122z z =【答案】D【解析】设12,,z a bi z c di =+=+若12||0z z -=，则12||()()z z a c b d i -=-+-，12z z =，则,a c b d ==-，所以12z z =，故22c d =+，所以1122..z z z z =，故C 项正确；a ,b ,c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定【答案】B【解析】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，所以2sin()sin B C A +=，所以2sin sin A A =,所以sin 1A =，所以△ABC 是直角三角形。

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、 选择题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( )A 、A∩B=B 、A ∪B=RC 、B ⊆AD 、A ⊆B2、若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( )A 、－4 （B ）－45 （C ）4 （D ）453、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( )A 、简单随机抽样B 、按性别分层抽样C 、按学段分层抽样D 、系统抽样4、已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为 ( )A 、y =±14x （B ）y =±13x （C ）y =±12x （D ）y =±x 5、执行右面的程序框图，如果输入的t ∈[－1，3]，则输出的s 属于 ()A 、[－3,4]B 、[－5,2]C 、[－4,3]D 、[－2,5]6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )A 、500π3cm 3 B 、866π3cm 3 C 、1372π3cm 3 D 、2048π3cm 37、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ ( )A 、3B 、4C 、5D 、68、某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( )A 、18+8πB 、8+8πC 、16+16πD 、8+16π。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)数学(理科)第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题（1） 已知集合M =｛x |(x +1)2 < 4,x ∈R ｝，N =｛-1，0，1，2，3｝，则M ∩N =（A ）｛0，1，2｝ （B ）｛-1，0，1，2｝ （C ）{-1，0，2，3} （D ）{0，1，2，3}（2）设复数z 满足（1-i ）z=2 i ，则z=（A ）-1+i （B ）-1-i （C ）1+i （D ）1-i（3）等比数列｛｝的前n 项和为，已知=+10，= 9，则=（A ）（B ）（C） （D）（4）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。

直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l 不在平面β内，则（ ）（A ）α∥β且l ∥α（B ）α⊥β且l ⊥β（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+αx ）(1+x)5的展开式中x 2的系数为5，则α=（A ）-4 （B ）-3 （C ）-2 （D ）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N =10，那么输出的S =（A ）1+ + +…+（B ）1+ + +…+（C ）1+ + +…+（D ）1+ + +…+k ＞N开始输入N k=1，S=0，T=1 T=S=S+Tk=k+1否输出S是 结束（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（8）设a =6，b =10，c=14，则（A）c＞b＞a（B）b＞c＞a（C）a＞c＞b （D）a＞b＞c（9）已知a＞0，x，y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1，则a=(A)(B) (C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）（A）∃∈R，f()=0（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C）若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,）单调递减（D）若是f(x)的极值点，则f '()=0（11）设抛物线y2=3px(p≥0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直的圆过点（0，3），则C的方程为（A）y2=4x或y2=8x （B）y2=2x或y2=8x（C）y2=4x或y2=16x （D）y2=2x或y2=16x（12）已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（A）（0，1）(B)（1-，）( C)（1-，）(D) [ , ）（A）（B）（C）（D）x≥1x+y≤3y≥a(x-3){第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。

2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )2013 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 6 页．考试时间120 分钟．满分150 分．答题前，考生务必用0.5 毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ 卷答题卡和第Ⅱ 卷答题纸规定的位置．参考公式：样本数据x1 , x2 ,x n的标准差( x1x) 2(x2x) 2( x n x)2s n其中 x 为样本平均数球的面积公式S 4 R2第Ⅰ卷（选择题共 60 分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数12i（i是虚数单位）的虚部是1 iA ．31C．3 D ．1 B．222. 已知R是实数集，M x 21 , N y y x 1 1 ，则N C R M xA．(1,2)B．0,2 C.D．1,23.现有 10 个数，其平均数是 4 ，且这 10 个数的平方和是 200 ，那么这个数组的标准差是A．1B．2C．3D．44.设 S n为等比数列 { a n } 的前 n 项和， 8a2a50，则S4 S2A．5B．8C．8D． 155.已知函数 f ( x)sin(2x) ，若存在a(0,) ，使得 f (x a) f (x a) 恒成立，则 a6的值是A ．B ．3C ．4 D ．626. 已知 m 、 n 表示直线， , , 表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（ 1） m,n , nm, 则（ 2） , m,n,则 nm（ 3） m , m , 则 ∥（ 4） m, n, mn,则A ．（ 1）、（2）B ．（3）、（ 4）C ．（2）、（ 3）D ．（2）、（ 4）7. 已知平面上不共线的四点O, A, B, C ，若 OA 3OB2OC,则| AB |等于|BC |A ． 1B ． 2C ． 3D ． 48. 已知三角形ABC 的三边长成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为3，则这个三2角形的周长是A ． 18B ． 21C ． 24D ． 159. 函数 f ( x)lg x1的零点所在的区间是xA ． 0,1B ． 1,10C ． 10,100D ． (100, )10. 过直线 yx 上一点 P 引圆 x 2y 26x 7 0 的切线，则切线长的最小值为23210 D ． 2A ．B ．2C ．2211. 已知函数 f ( x)x 2 ax 2b . 若 a,b 都是区间 0,4 内的数，则使 f (1)0 成立的概率是3B ．13 5A ．4C ．D ．48812. 已知双曲线的标准方程为x 2 y 2 1 ，F 为其右焦点， A 1 , A 2 是实轴的两端点， 设 P 为9 16双曲线上不同于A 1 , A 2 的任意一点， 直线 A 1 P, A 2 P 与直线 xa 分别交于两点 M , N , 若FM FN0 , 则 a 的值为16B ．925 16A ．5C ．D ．995第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．请用 0.5 毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ 卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2．不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．3．第Ⅱ 卷共包括填空题和解答题两道大题．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．开始13. 如图所示的程序框图输出的结果为__________.a2, i 1 否14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________.i 10是1a1输出 aa111第14 题图i i1结束第13题图15. 地震的震级 R 与地震释放的能量 E 的关系为R 2(lg E 11.4)．2011 年 3 月 11日，日3本东海岸发生了9.0 级特大地震， 2008 年中国汶川的地震级别为8.0 级，那么 2011年地震的能量是 2008年地震能量的倍．16.给出下列命题：①已知都是正数，且a1a，则a b；1bb②已知 f ( x) 是 f ( x) 的导函数，若x R , f (x) 0 ，则 f (1) f (2)一定成立；③命题“x R ，使得x2 2 x 1 0 ”的否定是真命题；④“ x1, 且 y 1 ”是“ x y 2 ”的充要条件.其中正确命题的序号是.(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题：本大题共６小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 12 分）已知向量 a(1, cos x ) 与 b ( 3 sin x cos x, y) 共线，且有函数 yf ( x) ．2 2 2（Ⅰ）若 f ( x) 1，求 cos(22x) 的值；3（Ⅱ）在ABC 中，角 A, B, C ,的对边分别是 a, b, c ，且满足 2a cosC c 2b ，求函数f ( B) 的取值范围 .18．（本小题满分 12 分）已知等差数列a n的前 n 项和为n ，公差d 0,且3 5 1413 成等比数列．SS S50, a , a , a（Ⅰ）求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）设b n 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列b n 的前 n 项和 T n .a n19.（本小题满分 12 分）已知四棱锥A BCDE ，其中AB BC AC，2，CD面ABC ，BE 1CD BE∥CD，F 为 AD的中点.D（Ⅰ）求证：EF ∥面 ABC ；（Ⅱ）求证：面ADE面ACD ；F（ III）求四棱锥 A BCDE 的体积.EC AB20. （本小题满分 12 分）在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x之间对应的一组数据：时间 x （秒）51015203040深度 y （微米）61010131617现确定的研究方案是：先从这 6 组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好不相邻的概率；（Ⅱ）若选取的是第 2 组和第 5 组数据，根据其它 4 组数据，求得y 关于x的线性回归方程 y?4 x 139，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误1326差均不超过 2 微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．21.（本小题满分 12 分）已知函数ax b1, f ( 1)) 的切线方程为x y 3 0 .f (x)2在点 (x1（Ⅰ）求函数 f ( x) 的解析式；（Ⅱ）设 g ( x) ln x ，求证： g (x) f ( x) 在 x [1, ) 上恒成立.22. （本小题满分14 分）实轴长为 4 3 的椭圆的中心在原点，其焦点F1,, F2在x轴上.抛物线的顶点在原点O ，对称轴为 y 轴，两曲线在第一象限内相交于点 A ,且AF1AF2，△ AF1 F2的面积为3.（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点 A 作直线 l 分别与抛物线和椭圆交于B,C ,若 AC 2 AB ,求直线l的斜率k.yAF1 B o F2xC参考答案及评分标准一．选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．）BDBADBBDBC CB二．填空题（本大题共4 小题，每小题 4 分，共 16 分．）313． 214.1915. 10216. ①③3三．解答题17．（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）∵ a 与 b 共线1cos x∴xy 23 sin x cos2 2y3 sin x cosxcos 2x3sin x1(1 cos x) sin( x) 1 ⋯⋯⋯⋯ 3 分22 2226 2∴ f ( x)sin( x ) 1 1 ，即 sin(x) 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分62 2 cos(26 12x) cos2( x) 2cos 2 ( x) 1 2sin 2 ( x ) 1 33 3 62⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分（Ⅱ）已知2a cosC c2b由正弦定理得：2sin A cosC sin C2sin B 2 sin( A C )2sin A cosC sin C2sin A cosC2 cos Asin C∴ cosA1 ，∴在ABC 中 ∠ A231f (B)sin(B)26 25 ∵∠ A∴ 0 B ,B3 3 666∴1sin(B) 1, 1 f ( B) 32623∴函数f (B) 的取值范围为 (1, ]⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分10 分12 分2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )18．（本小题满分12 分）解：（Ⅰ）依题意得3a132d5a1455022d⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分( a13d ) 2a1 ( a112d )解得 a13，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分d2a n a1，即2n 1． 6 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯( Ⅱ) bn3n1， bn a n3n1(2n 1) 3n 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分a nT n353732(2n 1) 3n 13T n 3 3 5327 33(2n 1) 3n 1(2n 1) 3n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分2T n 3 2 3 2 32 2 3n 1(2n1)3n32 3(13n 1 )( 2n 1)3n132n 3n∴ T n n 3n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分19．（本小题满分12 分）解：（Ⅰ）取AC 中点 G,连结 FG、 BG，∵F,G分别是 AD,AC的中点D1∴FG∥ CD,且 FG= DC=1 ．2∵ BE∥ CD ∴ FG 与 BE 平行且相等F∴ EF∥ BG．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分EEF 面 ABC, BG面 ABC GC ∴ EF ∥面 ABC A⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ）∵△ ABC 为等边三角形∴ BG⊥ AC B 又∵ DC⊥面 ABC,BG面 ABC∴ DC⊥ BG2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )∴ BG 垂直于面 ADC 的两条相交直线AC,DC，∴ BG⊥面 ADC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∵EF∥ BG∴EF⊥面 ADC∵ EF面 ADE，∴面 ADE⊥面 ADC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分（Ⅲ）连结 EC,该四棱锥分为两个三棱锥E－ABC和 E－ ADC ．V A BCDE V E ABC V E ACD131113333．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分34321264另法：取 BC 的中点为 O ，连结AO ，则 AO BC ，又 CD平面ABC ,∴CD AO, BC CD C , ∴AO平面，∴AO为V A BCDE的高，BCDEAO 3, S BCDE(12)1 3 ,V A BCDE1333．222322420．（本小题满分12 分）解：（Ⅰ）设 6 组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A，从 6组数据中选取 2 组数据共有15 种情况：（ 1,2 ）（ 1,3 ）（1,4 ）（ 1,5 ）（ 1,6 ）（ 2,3 ）（ 2,4 ）（ 2,5 ）（ 2,6 ）（ 3,4 ）（ 3,5 ）（ 3,6 ）（ 4,5）（ 4,6）（ 5,6），其中事件A包含的基本事件有10种．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分所以P( A)102．所以选取的 2 组数据恰好不相邻的概率是2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分1533( Ⅱ )当 x10时， ?413921921910 |2;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分26261326当x30时， ?413937937916 |2;2626132612 分所以，该研究所得到的回归方程是可靠的．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21．（本小题满分12 分）解：（Ⅰ）将 x 1 代入切线方程得y2∴ f ( 1)b a2 ，化简得 b a 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分11f ( x)a( x21)(ax b) 2 x(1x 2 ) 22013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )f ( 1)2a2(b a)2b b1 ．442解得： a2, b2∴ f ( x)2x2x 2．12x2（Ⅱ）由已知得ln x在 [1,) 上恒成立x21化简得 ( x21) ln x2x2即 x2 ln x ln x 2 x20在 [1,) 上恒成立．设 h(x)x 2 ln x ln x 2x 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分6分8分h (x)2xln x x 12x1∵ x 1∴ 2x ln x0,2，即 h ( x) 0 ．10 分x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x∴ h(x) 在 [1,) 上单调递增， h( x)h(1) 0∴ g(x) f (x) 在 x[1,) 上恒成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分22．（本小题满分 14分）解（ 1）设椭圆方程为x2y21 (a b 0) ， AF1 m, AF2 n a2b2m 2n24c2由题意知m n 4 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分mn 6解得 c 29 ，∴ b 212 9 3 ．∴椭圆的方程为x 2y2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分1213∵ y A c3，∴ y A1,代入椭圆的方程得x A 2 2 ，将点 A 坐标代入得抛物线方程为x 28 y ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（ 2）设直线l的方程为y 1 k ( x 2 2 ) ， B(x1, y1 ), C (x2 , y2 )---2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )由 AC 2AB得 x22 22( x 2 2)，1化简得 2x1x222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分联立直线与抛物线的方程y1k( x 2 2)，x 28 y得 x28kx162k80∴ x1 2 28k ①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分联立直线与椭圆的方程y1k( x2 2 )x 24y 212得2)2(8 1622)32216 28 0k x k x k kk∴ x2 2 2162k 28k②⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分14k2∴ 2x1x22(8k2 2 )162k 28k2 2 2 214k 2整理得： (16k42)(112k)0 4k 2∴ k2，所以直线 l的斜率为2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分44-11-/11。

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为 （A ） 3 （B ） 6 （C ） 8 （D ） 10（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（A ） 12种 （B ） 10种 （C ） 9种 （D ）8种 （3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题 1p ：||2z = 2p : 22z i = 3p :z 的共轭复数为1i + 4p ：z 的虚部为1-其中真命题为(A ) 2p , 3p （B ） 1p , 2p （C ） 2p ，4p （D ） 3p , 4p（4）设12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上的一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则 E 的离心率为(A) 12 (B) 23 (C) 34 (D) 45（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=(A) 7 (B) 5 (C) 5- (D) 7- （6）如果执行右边的程序图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,N a a a 输入,A B ,则 (A)A B +为12,,...,N a a a 的和 （B ）2A B+为12,,...,N a a a 的算式平均数（C ）A 和B 分别是12,,...,N a a a 中最大的数和最小的数（D ）A 和B 分别是12,,...,N a a a 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A ）6 (B)9 （C ）12 （D ）18（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，||AB =C 的实轴长为（A （B ）（C ）4 （D ）8 （9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，则ω的取值范围 (A) 15[,]24 (B) 13[,]24 (C) 1(0,]2(D)(0,2]（10）已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为O的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（12）设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为(A)1ln 2-ln 2)- (C)1ln 2+ln 2)+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2013年高考数学全国卷一理科试题（附答案）2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷一）数学（理工类）参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式如果事件相互独立，那么其中表示球的半径球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示球的半径第一部分（选择题共60分）注意事项：1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。

2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、的展开式中的系数是（）A、B、C、D、2、复数（）A、B、C、D、3、函数在处的极限是（）A、不存在B、等于C、等于D、等于4、如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（）A、B、C、D、5、函数的图象可能是（）6、下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7、设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A、B、C、D、且8、已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。

若点到该抛物线焦点的距离为，则（）A、B、C、D、9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。

已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克。

每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。

公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克。

通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A、1800元B、2400元C、2800元D、3100元10、如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为（）A、B、C、D、11、方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A、60条B、62条C、71条D、80条12、设函数，是公差为的等差数列，，则（）A、B、C、D、第二部分（非选择题共90分）注意事项：（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 2．()31+3i=（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i 3．已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+，若()()m n m n +⊥-，则=λ（A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）-1 4．已知函数()f x 的定义域为()1,0-，则函数()21f x -的定义域为（A ）()1,1- （B ）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）()-1,0 （D ）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5．函数()()21=log 10f x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的反函数()1=f x - （A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210xx -> 6．已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-，则{}n a 的前10项和等于 （A ）()10613---（B ）()101139-- （C ）()10313-- （D ）()1031+3- 7． ()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是（A ）56 （B ）84 （C ）112 （D ）1688．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（A ）1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （C ）112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（D ）314⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 9．若函数()21=f x x ax x ++在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是 （A ）[-1,0] （B ）[1,)-+∞ （C ）[0,3] （D ）[3,)+∞10．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（A ）23（B）33（C）23（D）1311．已知抛物线2:8C y x=与点()2,2M-，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于,A B两点，若0MA MB=，则k=（A）12（B）22（C）2（D）212．已知函数()=cos sin2f x x x，下列结论中错误的是（A）()y f x=的图像关于(),0π中心对称（B）()y f x=的图像关于直线2xπ=对称（C）()f x的最大值为32（D）()f x既奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知α是第三象限角，1sin3a=-，则cot a= .14．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.（用数字作答）15．记不等式组0,34,34,xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D，若直线()1y a x=+与D公共点，则a的取值范围是 .16．已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，32OK=，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60，则球O的表面积等于 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a的前n项和为n S，已知232=S a，且124,,S S S成等比数列，求{}n a的通项式。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |＜x，则( )． A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y +D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )． A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和2133n nS a=+，则{an}的通项公式是an＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，ABBC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C 解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±. 5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2， 而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a .∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2. 14．答案：(－2)n －1 解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-， 即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1. ∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1. 15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭， 令cos αsin α＝- 则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )， 所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝5=-. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2)上为减函数．∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA sin sin(30)αα=︒-，cos α＝4sin α.所以tan αtan ∠PBA 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(00)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－1，0)，1AC ＝(0，． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A CA C⋅n n ＝. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20． 解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M，解得k ＝4±. 当k ＝4时，将4y x =+22=143x y +， 并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±. 所以|AB |2118|7x x -=. 当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝|AB |＝187. 21．解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.而F(x1)＝2x1＋2－21故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于2.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由2222810160,20x y x yx y y⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1xy=⎧⎨=⎩或0,2.xy=⎧⎨=⎩所以C1与C2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.24．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝1 5,,212,1,236, 1.x xx xx x⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0. 所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

WORD 格式整理2012 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第 I 卷一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（ 1）已知集合 A {1,2,3,4,5} ， B {( x, y) |x A, yA, x y A} ，则 B 中所含元素的个数为 （ A ） 3 （ B ）6 （C ） 8 （D ） 10（ 2）将 2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1 名教师和2 名学生组成，不同的安排方案共有 （ A ） 12 种 （ B ） 10 种 （ C ） 9种 （D ） 8 种（ 3）下面是关于复数 z 2 的四个命题 1ip 1 ： | z | 2 p 2 : z 22i p 3 : z 的共轭复数为 1 i p 4 ： z 的虚部为1其中真命题为(A ) p 2 , p 3（ B ） p 1 ,p 2（ C ） p 2 ，p 4 （ D ） p 3 , p 4（ 4）设 F 1, F 2 是椭圆 E : x2 y 21(a b 0) 的左、右焦点， P 为a 2b 23aF PF 是底角为 30 的等腰三角形，则直线 x 上的一点，2 2 1E 的离心率为(A) 1 2 3 4 (B) 3 (C) (D) 2 4 5（ 5）已知 { a n } 为等比数列， a 4a 7 2 ， a 5 a 6 8 ，则 a 1 a10(A) 7 (B) 5 (C) 5 (D) 7（ 6）如果执行右边的程序图，输入正整数N ( N 2) 和实数 a 1 , a 2 ,..., a N 输入A, B , 则(A) A B 为 a 1 , a 2 ,..., a N 的和（ B ）AB为 a ,a ,..., a 的算式平均数 2 1 2 N（ C ） A 和 B 分别是 a 1 , a 2 ,..., a N 中最大的数和最小的数专业技术参考资料WORD 格式整理（ D ） A 和 B 分别是 a 1 , a 2 ,..., a N 中最小的数和最大的数（ 7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ A ） 6 (B)9 （ C ） 12 （ D ） 18（ 8）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 y 216x 的准线交于 A, B 两点，| AB | 4 3 ，则 C 的实轴长为（ A ） 2 （ B ） 2 2 （ C ） 4 （ D ） 8（ 9）已知 0 ，函数 f (x) sin( x ) 在 , 单调递减，则 的取值范围4 2(A) [ 1 ,5 ](B) [ 1 , 3] (C) (0, 1 ](D) (0, 2]2 4 2 4 2（ 10）已知函数 f ( x) 1 ，则 y f ( x) 的图像大致为1) ln(x x（ 11）已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 SC 为 O的正三角形， 的直径，且 SC 2 ，则此棱锥的体积为(A)2(B)3 (C)2(D)2 6 63 2（ 12）设点 P 在曲线 y 1 e x上，点 Q 在曲线 yln(2 x) 上，则 | PQ |的最小值为2(A) 1 ln 2 (B)2(1 ln2) (C) 1 ln 2 (D)2(1 ln 2) 专业技术参考资料WORD 格式整理第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

故选A．故选A．综上可知：[,0]2a ∈-．（步骤4）【提示】由1n n a a +=可知n n n A B C △的边n n B C 为定值1a ，由111112(2)2n n n n b c a b c a +++=+--及1112b c a +=得12n n b c a +=，则在n n n A B C △中边长1n n B C a =为定值，另两边n n n n A C A B 、的长度之和12n n b c a +=为定值，由此可知顶点n A 在以n n B C 、为焦点的椭圆上，根据111()2n n n n b c b c ++=---，得1111()2n n n b c b c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，可知n →+∞时n n b c →，据此可判断n n n A B C △的边n n B C 的高n h 随着n 的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．51111得1AB AC ⊥； （Ⅱ）易证OA ，1OA ，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，OA u u u r的方向为x 轴的正向，||OA u u u r 为单位长，建立r u u u r【提示】（Ⅰ）设动圆的半径为R ，由已知动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，可得1212()()|+|+++4PM PN R r r R r r ==-=||，而||2NM =，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（Ⅱ）设曲线C 上任意一点,()P x y ，由于||2222PM PN R ≤|-|=-，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为所以可设l ：4)+(y k x =，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出． 【考点】圆的标准方程及其性质，椭圆的的定义及其几何性质，直线与双曲线的位置关系． 21.【答案】（Ⅰ）4a =2b = 2c = 2d =（Ⅱ）2[1,]e【解析】（Ⅰ）由已知得(0)2f =，(0)2g =，(0)4f '=，(0)4g '=．（步骤1）而+()2f x x a ='，((+))+xg x e cx d c '=，故2b =，2d =，4a =，+4d c =.（步骤2）从而4a =，2b =，2c =，2d =．（步骤3）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()+4+2f x x x =，()21)+(x g x e x =．设函数2()()()2()+142x F x kg x f x ke x x x =-=---，则()2+()2242+1(2())x x F x ke x x x ke '=--=-．由题设可得(0)0F ≥，即1k ≥（步骤4）令()0F x '=得1ln x k =-，22x -=．（步骤5）①若21k e ≤<，则120x <≤-．从而当12(),x x ∈-时，()0F x '<；当1(),+x x ∈∞时，()0F x '>．即()F x 在1()2,x -单调递减，在1(),+x ∞单调递增．故()F x 在[)2,+-∞的最小值为1()F x ．（步骤6）而1111211()2+24+0)22(F x x x x x x =--=-≥-．故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤7）②若2k e =，则2222+()()()2x F e x e e x -'=-．从而当2x >-时，)0(F x '>，即F (x )在()2,+-∞单调递增．而()20F -=，故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤8）③若2k e >，则22222+220()()F ke e k e ---=-=-<-．从而当2x ≥-时，()()f kg x x ≤不可能恒成立．综上，k 的取值范围是2[1,]e ．（步骤9）【提示】（Ⅰ）对()f x ，()g x 进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ，从而解出a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得出()f x ，()g x 的解析式，再求出()F x 及它的导函数，通过对k 的讨论，判断出()F x 的【提示】（Ⅰ）对于曲线1C 利用三角函数的平方关系式22sin cos 1t t +=即可得到圆1C 的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到1C 的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线2C 的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标3⎝⎦21||23|2|x x y x +-=---，画出函数y 的图象，数形结合可得结论．。

WORD 格式整理2012 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第 I 卷一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合 A {1,2,3,4,5} ， B {( x, y) | xA, y A, x y A} ，则 B 中所含元素的个数为（A ） 3（B ） 6（C ） 8（D ） 10（2）将 2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有 （A ） 12 种 （B ） 10 种（C ） 9 种（D ）8 种（3）下面是关于复数z 2 1 i的四个命题p ： |z | 2p 2 :122zip 3 : z 的共轭复数为 1 i p 4 ： z 的虚部为1其中真命题为(A )p ,p 3（B ） p 1 ,p 2（C ）p 2 ， p 4 （D ） p 3 , p 42（4）设FF 是椭圆 1, 222x yE : 1(a b 0)22ab的左、右焦点， P 为直线3ax上的一点，2F PF 是底角为 30 的等腰三角形，则21E的离心率为(A)1 2(B)23(C)3 4(D)45（5）已知 {a } 为等比数列， a 4a 72， a 5a 68 ，则 a 1 a 10n(A)7(B)5(C)5(D)7（6）如果执行右边的程序图，输入正整数N (N 2)和实数 a 1,a 2 ,..., a N 输入 A, B , 则(A) A B 为 a 1,a 2,..., a N 的和（B ） A B 2为a a a 的算式平均数1, 2 ,..., N（C ） A和B 分别是a 1,a 2,..., a N 中最大的数和最小的数专业技术参考资料WORD 格式整理（D）A和B分别是a1,a2,..., a N 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6 (B)9 （C）12 （D）18（8）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在x轴上，C 与抛物线 2 16y x的准线交于A, B 两点，| AB | 4 3 ，则C 的实轴长为（A） 2 （B）2 2 （C）4 （D）8（9）已知0，函数( ) sin( )f x x 在,4 2单调递减，则的取值范围(A)1 5[ , ]2 4(B)1 3[ , ]2 4(C)1(0, ]2(D) (0, 2]（10）已知函数 f (x)1ln( x 1) x，则y f ( x) 的图像大致为（11）已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，ABC 是边长为1的正三角形，SC 为 O 的直径，且SC 2 ，则此棱锥的体积为(A)26(B)36(C)23(D)22（12）设点P 在曲线1xy e 上，点Q 在曲线y ln(2 x) 上，则| PQ |的最小值为2(A) 1 ln 2 (B) 2(1 ln 2) (C) 1 ln 2 (D) 2(1 ln 2)专业技术参考资料WORD 格式整理第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

数学试卷 第1页（共48页）数学试卷 第2页（共48页）数学试卷 第3页（共48页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)理科数学使用地区：河南、山西、河北注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合20{}|2A x x x =->,{|55}B x x <<=-,则( )A .AB =R B .A B =∅C .B A ⊆D .A B ⊆ 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为( )A .4-B .45-C .4D .453.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )A .简单随机抽样B .按性别分层抽样C .按学段分层抽样D .系统抽样4.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为5,则C 的渐近线方程为 ( )A .14y x =±B .13y x =±C .12y x =±D .y x =±5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( )A .[3,4]-B .[5,2]-C .[4,3]-D .[2,5]-6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球 面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的 厚度,则球的体积为( )A .3866πcm 3 B .3500πcm 3 C .31372πcm 3D .32048πcm 37.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m =( )A .3B .4C .5D .68.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m =( )A .5B .6C .7D .810.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为( )A .2214536x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .221189x y += 11.已知函数22,0,()ln(1),0.x x x f x x x ⎧-+=⎨+>⎩≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( )A .(,1]-∞B .(,0]-∞C .[2,1]-D .[2,0]-12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3,n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++=,12n nn b a c ++=,则( )A .{}n S 为递增数列B .{}n S 为递减数列C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________.14.若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________.16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）如图,在ABC △中,90ABC ∠=,3AB =,1BC =,P 为ABC △内一点,90BPC ∠=.（Ⅰ）若12PB =,求PA ； （Ⅱ）若150APB ∠=,求tan PBA ∠.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共48页）数学试卷 第5页（共48页） 数学试卷 第6页（共48页）18.（本小题满分12分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=. （Ⅰ）证明：1AB AC ⊥； （Ⅱ）若平面ABC ⊥平面11AA B B ,AB CB =,求直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验,检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n .如果3n =,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验；如果4n =,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验；其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立. （Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位:元),求X 的分布列及数学期望.20.（本小题满分12分）已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求||AB .21.（本小题满分12分）设函数2()f x x ax b =++,()e ()xg x cx d =+.若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ,且在点P 处有相同的切线42y x =+.（Ⅰ）求a ,b ,c ,d 的值；（Ⅱ）若2x -≥时,()()f x kg x ≤,求k 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB 为圆的切线,切点为B ,点C 在圆上,ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ,DB 垂直BE 交圆于点D .（Ⅰ）证明：DB DC =；（Ⅱ）设圆的半径为1,3BC =,延长CE 交AB 于点F ,求BCF △外接圆的半径.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标(0,02π)ρθ≥≤＜.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲已知函数()|21||2|f x x x a =-++,()3g x x =+. （Ⅰ）当2a =-时,求不等式()()f x g x ＜的解集；（Ⅱ）设1a -＞,且当1[,)22a x ∈-时,()()f x g x ≤,求a 的取值范围.=|2A B x{A B=R，故选【提示】根据一元二次不等式的解法，求出集合，再根据的定义求出A B和A B．【考点】并集及其运算，一元二次不等式的解法【答案】D4i)34=+，故z的虚部等于i553/ 16故选A．=，解得1)1245 / 16故选A ．(2)(2+1)7!!!(+1)!m m m m m m =⨯，即13，再利用组合数的计算公式，解方程综上可知：[,0]2a∈-．（步骤4）67 / 16【提示】由1n n a a +=可知n n n A B C △的边n n B C 为定值1a ，由111112(2)2n n n n b c a b c a +++=+--及1112b c a +=得12n n b c a +=，则在n n n A B C △中边长1n n B C a =为定值，另两边n n n n A C A B 、的长度之和12n n b c a +=为定值，由此可知顶点n A 在以n n B C 、为焦点的椭圆上，根据111()2n n n n b c b c ++=---，得1111()2n n n b c b c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，可知n →+∞时n n b c →，据此可判断n n n A B C △的边n n B C 的高n h 随着n 的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案． 【答案】2t =【解析】∵(1)c ta t b =-＋，∴2(+1)||b t b ab t =-．（步骤又∵||||1a b ==，且a 与b 夹角为60，b c ⊥，∴0|cos6|||0+t a b =︒2【提示】由于0b c =，对式子(1)c ta t b =-＋两边与b 作数量积可得|cos6|||0+a b ︒【考点】平面向量的数量积．85)(22,--+)(25,-+5)单调递增，在5)2-+单调递增，在9 / 161OCOA O =，所以1OAC 平面两两相互垂直．为坐标原点，OA的方向为|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系则(1,0,BC=，11(1,BB AA==-，(0,3,AC=-设,,()n x y z=10,0,n BCn BB⎧=⎪⎨=⎪⎩即可取,1(3,n=-10cos,5||||n ACn ACn AC=-〈〉=BB1C1C所成角的正弦值为51111得1AB AC⊥；（Ⅱ）易证OA，1OA，OC两两垂直．以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正向，||OA为单位长，建立坐标系，可得BC，1BB，AC的坐标，设,,()n x y z=10,0,n BCn BB⎧=⎪⎨=⎪⎩，可解得,1(3,n=-,n AC〈〉，即为所求正弦值．1011 / 1622)()A B ，411161616⨯+1【提示】（Ⅰ）设动圆的半径为R ，由已知动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，可得1212()()|+|+++4PM PN R r r R r r ==-=||，而||2NM =，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（Ⅱ）设曲线C 上任意一点,()P x y ，由于||2222PM PN R ≤|-|=-，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为所以可设l ：4)+(y k x =，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【考点】圆的标准方程及其性质，椭圆的的定义及其几何性质，直线与双曲线的位置关系．21.【答案】（Ⅰ）4a =2b =2c =2d =（Ⅱ）2[1,]e【解析】（Ⅰ）由已知得(0)2f =，(0)2g =，(0)4f '=，(0)4g '=．（步骤1）而+()2f x x a ='，((+))+x g x e cx d c '=，故2b =，2d =，4a =，+4d c =.（步骤2）从而4a =，2b =，2c =，2d =．（步骤3）13 / 16（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()+4+2f x x x =，()21)+(x g x e x =．设函数2()()()2()+142x F x kg x f x ke x x x =-=---，则()2+()2242+1(2())x x F x ke x x x ke '=--=-．由题设可得(0)0F ≥，即1k ≥（步骤4）令()0F x '=得1ln x k =-，22x -=．（步骤5）①若21k e ≤<，则120x <≤-．从而当12(),x x ∈-时，()0F x '<；当1(),+x x ∈∞时，()0F x '>．即()F x 在1()2,x -单调递减，在1(),+x ∞单调递增．故()F x 在[)2,+-∞的最小值为1()F x ．（步骤6）而1111211()2+24+0)22(F x x x x x x =--=-≥-．故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤7）②若2k e =，则2222+()()()2x F e x e e x -'=-．从而当2x >-时，)0(F x '>，即F (x )在()2,+-∞单调递增．而()20F -=，故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤8）③若2k e >，则22222+220()()F ke e k e ---=-=-<-．从而当2x ≥-时，()()f kg x x ≤不可能恒成立．综上，k 的取值范围是2[1,]e ．（步骤9）【提示】（Ⅰ）对()f x ，()g x 进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ，从而解出a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得出()f x ，()g x 的解析式，再求出()F x 及它的导函数，通过对k 的讨论，判断出()F x 的90，由勾股定理可得，故DG 60．30，所以CF ⊥BF ，故60．从而30．得到15 / 16【提示】（Ⅰ）对于曲线1C 利用三角函数的平方关系式22sin cos 1t t +=即可得到圆1C 的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到1C 的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线2C 的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标3⎝⎦21||23|2|x x y x +-=---，画出函数y 的图象，数形结合可得结论．。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )． A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y + D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n 项和2133n n S a =+，则{an}的通项公式是an ＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax ＋b)的图像关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，ABBC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±.5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上， ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2， 而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a.∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-， 即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭， 令cos αsin α＝- 则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )， 所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝5=-. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2)上为增函数，在(－2∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，cos α＝4sin α.所以tan αtan ∠PBA 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直． 以O 为坐标原点，OA u u u r 的方向为x 轴的正方向，|OA u u u r |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC uuu r ＝(1,0，1BB u u u r ＝1AA u u u r ＝(－1，0)，1AC u u u r ＝(0，． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量， 则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n即0,0.x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)． 故cos 〈n ，1AC u u u r 〉＝11A C A C⋅u u u r n n＝. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M ， 解得k ＝4±. 当k ＝4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2所以|AB |2118|7x x -=.当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187. 21．解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4.从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)． 而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0.故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增．而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0.从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立．综上，k 的取值范围是[1，e 2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝2. 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt△BCF . 23． 解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0. 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。