能量原理与变分法(弹性力学)

二阶变分：
2U
l 0
y
F y
y
F y
yy
y
F y
y
F y
yydx
—— 二阶变分用于判别驻值点是取得极大值还是极小值。
2. 位移变分方程
建立：弹性体的形变势能与位移间变分关系 —— 位移变分方程
设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。
边界： S S Su
应力边界 S q
P
位移场： u u(x, y, z);
称泛函 U 在 y0 (x) 处一阶接近。
当 y1(x) y0(x) 0
有 Uy1(x)Uy0(x) 0
称泛函 U 在 y0 (x) 处二阶接近。
函数 微分：
z f (x x) f (x)
A(x)x x
当x→0时， →0，则 z 可
用其线性主部表示其微分。即
变分：
泛函
U Uy(x) y(x)Uy(x)
无关，只取决于最终的状态。
假定所有应力分量与应变分量全部按同样的比例增加， 此时，单元体的形变比能：
xz
x
yz
U1
1 2
x
x
1 2
y y
1 2
z
z
1 2
yz
yz
1 2
zx
zx
1 2
xy
xy
1 2
(
x x
y
y
z z
yz
yz
zx
zx
xy
xy
)
（a）
整个弹性体的形变势能： U U1dxdydz
（b）
连续性：
lim f
x0
( x0
x)
f
(x0 )
0
称函数 z 在 x0 点连续。
泛函
U Uy(x)
U U Uy(x) y(x)
当 y1(x) y0 (x) 0
有 U Uy1(x)Uy0(x) 0
称泛函 U 在 y0 (x) 处零阶接近。
当 y1(x) y0 (x) 0
有 Uy1(x)Uy0 (x) 0
U
1 2
x x y y z z yz yz zx zx xy xy dxdydz
若用张量表示：
（c）
形变比能：
U1
1 2
ij
ij
整体形变势能：U
1 2
ijijdxdydz
2. 形变势能的应力分量表示
在线弹性的情况下，由物理方程（8-17） ：
ij
1 E
(1 ) ij kk ij
函数 y 也有一增量：
l
y1(x)
y(x)
y
y y1 y0
设： U Uy(x)
f (x1) f (x0 ) y f (x)x
dy f (x)dx
dy 与 dx ，分别称为自变量 x 与函数 y 的 微分。 —— 微分问题
函数 y 有一增量：y y1 y y
泛函 U 也有一增量：
U Uy(x1)Uy(x) U
（2）不破坏约束条件，即为约束所允许。
任给弹性体一微小的位移变化： u,v,w
满足两个条件： （1）不破坏平衡状态；
应力边界 S q
P
（2）不破坏约束条件，即为
约束所允许。
变化后的位移状态：
u u u, v v v, w ww
u,v,w —— 称为位移的变分，或虚位移。
（2）考察弹性体的能量变化：
x
E
1
1 2
e
x
yz
E
21
yz
y
E
1
1
2
ey
zx
E
21
zx
（f）
z
E
1
1
2
ez
xy
E
21
xy
或： ij kkij 2Gij
代入式（a）：
U1
1 2
(
x x
y y
z z
yz
yz
zx
zx
xy
xy )
（a）
并整理可得：
U1
E 2(1
)
1 2
e2百度文库
(
2 x
2 y
2 z
)
1 2
U1
x
x,
U1
y
y,
U1
z
z,
U1
yz
yz ,
U1
zx
zx,
U1
xy
xy
（11-4） —— 格林公式
表明：弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。
4. 形变势能的位移分量表示
将几何方程（8-9）代入上式，得：
U E
2(1 )
1 2
u x
v y
w z
求解特点：
（a） 归结为求解联立的微 分方程组；
（b） 难以求得解析解。
2. 弹性力学问题的变分提法及其解法：
直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立一些泛函的 变分方程，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻） 值的变分问题。
基本思想： 在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；
（d）
代入式（a），整理得形变势能的表达式：
U1
1 2E
(
2 x
2 y
2 z
)
2
(
x
y
y z
z x )
代入式（b），有：
2(1
)(
2 yz
2 zx
2 xy
)
（e）
U U1dxdydz
1 2E
(
2 x
2 y
2 z
)
2 (
x
y
y
z
z
x)
2(1
)(
2 yz
2 zx
2 xy
)
dxdydz
（b）对变分方程进行数值求解
基本思想：将求解区域离散， 离散成有限个小区域（单元）， 在小区域（单元）上假设可能解，最后由能量原理
（变分原理）确定其最优解。 —— 将问题转变为求解大型的线性方程组。 —— 有限单元法、边界元法、离散元法 等
典型软件： ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN， ABAQUS 等； —— 基于有限元法的分析软件； UDEC —— 基于离散元法的分析软件；
F x
x
F y
y
F y
ydx
l 0
F y
y
F y
ydx
复合函数的变分：
l
U (x, y, y) 0 F(x, y, y)dx
其中： y f (x), y f (x)
一阶变分：
U
l 0
F x
x
F y
y
F y
ydx
l 0
F y
y
F y
ydx
—— 自变量 x 的变分 x ≡ 0
例2： U
1
2
x x y y z z yz yz zx zx xy xy dxdydz
因为 x x (x, y, z),, yz yz (x, y, z),
所以，U 被称为形变势能泛函。
（2）变分与变分法
A
设：y f (x)
P1
EI
M (x)
B
x
当自变量 x 有一增量：x x1 x0
落至位置2，所需
时间为T，
f (x)
函数的增量y 、泛函的增量 U 等
称为变分。
研究自变函数的增量与泛函的增量 间关 系称为变分问题。
T T f (x) 2
当 f (x) ? T Tmin
—— 最速下降问题
—— 泛函的变分问题
（3）变分及其性质 函数
定义： z f (x)
增量：z z f (x x)
（11-1） 将式（e）分别对6 个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：
U1
x
x,
U1
y
y,
U1
z
z,
U1
yz
yz ,
U1
zx
zx,
U1
xy
xy
（11-2）
表明：弹性体的比能对于任一应力分量的改变率，就等于相应的形变分量。
3. 形变势能的应变分量表示
用应变表示的物理方程（8-19）：
§11-1 弹性体的形变势能
1. 形变势能的一般表达式
P
l0
单向拉伸：
P
外力所做的功： W 1 Pl
2
l
由于在静载（缓慢加载）条件下，
其它能量损失很小，所外力功全部转 化杆件的形变势能（变形能）U：
U
W
1 2
Pl
1 2
P A
l l
(lA)
1 2
x
x
(lA)
杆件的体积
令：
U1
1 2
x x
—— 单位体积的变形能， 称为比能。
O
l l
三向应力状态：
P
x
一点的应力状态：
x , y , z , yz , zx, xy
zy xy
z zx yx y
xz yz
x
三向应力状态：
一点的应力状态： x , y , z , yz , zx, xy
由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序
zy xy
z zx yxy
P1
EI
A
M (x)
例如：
Pcr
B
x
（1）压杆稳定问题
l
y1(x)
y(x)
y
设： U Uy(x)
寻求压杆形变势 能 U 达到最大值时 的压力 P 值。
Umax U 0
函数 y 也有一增量：y y1 y y
（2）球下落问题 1
泛函 U 也有一增量：
球从位置1下
U Uy(x1)Uy(x) U
第十一章 能量原理与变分法
要点：（1）弹性体形变势能的计算、变分法 的基本思想
（2）位移变分法 —— 最小势能原理、里兹（Ritz）法、
伽辽金（Galerkin）法
（3）应力变分法 —— 最小余能原理、卡氏（Castigliano）
定理
（4）位移变分法、应力变分法的应用
主 要内容
§11-1 弹性体的形变势能 §11-2 位移变分方程 §11-3 位移变分法 §11-4 位移变分法应用于平面问题 §11-5 应力变分方程 §11-6 应力变分法 §11-7 应力变分法应于平面问题
(
2 yz
2 zx
2 xy
)
U U1dxdydz
（g）
U
E 2(1
)
1 2
e2
(
2 x
2 y
2 z
)
1 2
(
2 yz
2 zx
2 xy
)dxdydz
∵ 0 < < 1/2 ， ∴ U ≥0 即弹性体的形变势能是非负的量。 （11-3）
将上式对6个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方程（8-17） 比较，可得：
d2 dx2
f
( x)
d2 dx2
f
(x)
变分运算与微分运算互相交换。
l
F(x, y, y)dx
0
l
0 F(x, y, y)dx
变分运算与积分运算互相交换。
复合函数的变分：
l
U (x, y, y) 0 F(x, y, y)dx
其中： y f (x), y f (x)
一阶变分：
U
l 0
泛函：U F( y) F f (x) y —— 为一变函数；
F —— 为函数 y 的函数，称为泛函。
例1： M M (x) —— 弯矩方程
梁的形变势能：
P1
EI
M (x)
U l 1 M (x)2 dx
A
0 2 EI —— 泛函
例2：
B
x
l
U 1 2
x x y y z z yz yz zx zx xy xy dxdydz
将定解问题转变为求解线性方程组。 弹性力学中的变分原理 —— 能量原理 （变分解法也称能量法）
（a）以位移为基本未知量，得到最小势（位）能原理等。—— 位移法
（b）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。
—— 力法
（c）同时以位移、应力、应变为未知量，得到 广义（约束）变分原理。
求解方法：
—— 混合法
里兹（Ritz）法，伽辽金（Galerkin ）法， 加权残值（ 余量）法等。
—— 有限单元法、边界元法、离散元法 等数值解法的理论基础。
3. 弹性力学问题的数值解法： （a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程） 基本思想： 将导数运算近似地用差分运算代替；
将定解问题转变为求解线性方程组。 实质：将变量离散。—— 有限差分法； 典型软件：FLAC
§11-8 应力变分法应于扭转问题 §11-9 解答的唯一性 §11-10 功的互等定理
§11-0 引 言
1. 弹性力学问题的微分提法及其解法： 从研究微小单元体入手，考察其平衡、
变形、材料性质，建立基本方程：
（1）平衡微分方程
ij,i X j 0
（2）几何方程
定 解
ij
1 2
(ui, j
u j,i )
v v(x, y, z);
w w(x, y, z)
应力场： x x (x, y, z); y y (x, y, z);
满足：平衡方程、几
何方程、物理 位移边界 Su
方程、边界条 件。 —— 称为真实解
（1）任给弹性体一微小的位移变化： u,v,w
满足两个条件： （1）不破坏平衡状态；
条件： Uy(x) 0
—— 一阶变分为零。
当 y1(x) y0 (x) 0, 取得极值
—— 称为强极值
当 y1(x) y0 (x) 0, 取得极值
—— 称为弱极值
（4）变分的运算 变分与微分运算：
变分与积分运算：
d f (x) d f (x)
dx dx
2 d f (x) d 2 f (x) dx dx
Ly(x)y max y Ly(x) —— U 增量的线性主部
dz f (x)dx
极值：
若 z f (x) 在 x0 处有极值，
则有：
f (x) 0 x0
当 max|y|→0时，max →0，则
U 可用其线性主部表示, 即
极值： U Ly(x)y
若 U[y(x)] 在 y0(x) 处有极值，
2
u x
2
v y
2
w z
2
1 2
w y
v z
2
u z
w x
2
v x
u y
2
dxdydz
（11-5）
§11-2 位移变分方程
1. 泛函与变分的概念
（1）泛函的概念
函数： y f (x)
x —— 自变量； y —— 因变量，或称自变量 x 的函数。
x —— 自变量；
问 （3）物理方程
题
ij
1 E
(1 ) ij kk ij
（4）边界条件
ijni X j
ui ui
应力边界条件； 位移边界条件；
求解方法：
（1）按位移求解 基本方程：
（a）以位移为基本未知量 的平衡微分方程;
（b）边界条件。 （2）按应力求解
基本方程： （a）平衡微分方程； （b） 相容方程； （c） 边界条件。