双曲线及其标准方程优秀课件
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双曲线及其标准方程ppt课件
x2
y2
变式．给出曲线方程
＋
＝1.
4＋k 1－k
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.
y2 x2
例 5．已知双曲线 C 的方程是 － ＝1，其上下焦点分别是 F2，
16 20
F1，点 M 在双曲线 C 上，且|MF1|＝9，则|MF2|＝________.
归纳总结
y
图形
y
P
P
x
O
F1
F1 O F2
方程
焦点
a,b,c之间的关系
F2
x
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
c2=a2+b2
a，b大小不定
椭圆与双曲线的区别
O
焦点在对应轴上
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
① 方程用“－”号连接；
y
F2
F1
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
② c2=a2+b2 ；
③分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定；
④ 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
x
F1 O
F2
结论：已知F1，F2分别是双曲线C：
双曲线及其标准方程精选教学PPT课件
王小宝感到了极度的不安全感，想象 着本来 可以挥 舞一直 胳膊般 粗的齐 头长棍 挥舞来 着，可 是这里 竟然有 一种诡 异的禁 制，手 脚没有 一点力 量，或 者说脑 海里有 一种感 觉让你 连抬起 拳头的 欲望都 没有。
全身有一种奇幻的陷落的感觉，有一 种本源 之力难 熬的从 身体的 细微末 节凝聚 ，虽然 力量精 微，依 然可以 触碰到 其流动 的轨迹 。
焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，求△ PF1F2的面积．
解：由已知得 2a＝2，又由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2，
∵|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.
又|F1F2|＝2c＝2 13， 由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝62＋2×462×－452＝0，
设双曲线的标准方程为
ay22－xb22＝1(a>0，b>0)， a2＋b2＝9，
所以1a62 －1b52 ＝1， a2＝4， b2＝5. 所以所求的双曲线的标准方程为y42－x52＝1.
[例2] 已知曲线C：xt22＋t2－y2 1＝1(t≠0，t＝±1)． (1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线； (2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点． [思路点拨] 方程Ax2＋By2＝1表示的轨迹是由参 数A、B的值及符号确定，因此要确定轨迹，需对A、B 进行讨论．
法二：设所求双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)． 将点M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得
m＋n＝1， 4m＋25n＝1，
解得mn＝＝－87，17.
所以所求双曲线的标准方程为x72－y72＝1. 8
[一点通] 求双曲线标准方程的常用方法： (1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹 满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程． (2)用待定系数法，具体步骤如下：
全身有一种奇幻的陷落的感觉，有一 种本源 之力难 熬的从 身体的 细微末 节凝聚 ，虽然 力量精 微，依 然可以 触碰到 其流动 的轨迹 。
焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，求△ PF1F2的面积．
解：由已知得 2a＝2，又由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2，
∵|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.
又|F1F2|＝2c＝2 13， 由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝62＋2×462×－452＝0，
设双曲线的标准方程为
ay22－xb22＝1(a>0，b>0)， a2＋b2＝9，
所以1a62 －1b52 ＝1， a2＝4， b2＝5. 所以所求的双曲线的标准方程为y42－x52＝1.
[例2] 已知曲线C：xt22＋t2－y2 1＝1(t≠0，t＝±1)． (1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线； (2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点． [思路点拨] 方程Ax2＋By2＝1表示的轨迹是由参 数A、B的值及符号确定，因此要确定轨迹，需对A、B 进行讨论．
法二：设所求双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)． 将点M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得
m＋n＝1， 4m＋25n＝1，
解得mn＝＝－87，17.
所以所求双曲线的标准方程为x72－y72＝1. 8
[一点通] 求双曲线标准方程的常用方法： (1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹 满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程． (2)用待定系数法，具体步骤如下：
《双曲线及其标准方程》优质课比赛课件
动画
8.3 双曲线及其标准方程
引 定 入 义 剖析定义 方程推导
与椭圆比较
例题１ 例题Biblioteka 例题２ 例题２ 练习１ 练习１ 练习２ 练习２ 作 业 小 结
推导方程
1、建系、设点： 、建系、设点：
以两定点所在直线为x轴 以两定点所在直线为 轴，其中点 为原点， 为原点，建立直角坐标系 y
y
M F1
O 0
动画
8.3 双曲线及其标准方程
引 定 入 义 剖析定义 方程推导
与椭圆比较
例题１ 例题１ 例题２ 例题２ 练习１ 练习１ 练习２ 练习２ 作 业 小 结
思考： 思考：
1、当2a=|F1F2|时，点M的轨迹是什么 动画 图形？ 图形？ 2、当2a>|F1F2|时，点M的轨迹是什么 图形？ 图形？ 3、当2a=0时，点M的轨迹是什么图形？ 2a=0时 的轨迹是什么图形？
作业
课本第108页 一、习题８.３(课本第 页) 习题８ ３ 课本第 １，２，4 二、研究本节课开始提到的炸弹爆炸 问题，爆炸点为什么在双曲线上？ 问题，爆炸点为什么在双曲线上？
8.3 双曲线及其标准方程
引 定 入 义 剖析定义 方程推导
与椭圆比较
例题１ 例题１ 例题２ 例题２ 练习１ 练习１ 练习２ 练习２ 作 业 小 结
小结
定义： 定义： 方程形式： 方程形式： ||MF1|－|MF2||=2a － (0<2a<|F1F2|)
x2 y 2 − 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a b
y
y 2 x2 − 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a b
y F2
图象： 图象：
8.3 双曲线及其标准方程
引 定 入 义 剖析定义 方程推导
与椭圆比较
例题１ 例题Biblioteka 例题２ 例题２ 练习１ 练习１ 练习２ 练习２ 作 业 小 结
推导方程
1、建系、设点： 、建系、设点：
以两定点所在直线为x轴 以两定点所在直线为 轴，其中点 为原点， 为原点，建立直角坐标系 y
y
M F1
O 0
动画
8.3 双曲线及其标准方程
引 定 入 义 剖析定义 方程推导
与椭圆比较
例题１ 例题１ 例题２ 例题２ 练习１ 练习１ 练习２ 练习２ 作 业 小 结
思考： 思考：
1、当2a=|F1F2|时，点M的轨迹是什么 动画 图形？ 图形？ 2、当2a>|F1F2|时，点M的轨迹是什么 图形？ 图形？ 3、当2a=0时，点M的轨迹是什么图形？ 2a=0时 的轨迹是什么图形？
作业
课本第108页 一、习题８.３(课本第 页) 习题８ ３ 课本第 １，２，4 二、研究本节课开始提到的炸弹爆炸 问题，爆炸点为什么在双曲线上？ 问题，爆炸点为什么在双曲线上？
8.3 双曲线及其标准方程
引 定 入 义 剖析定义 方程推导
与椭圆比较
例题１ 例题１ 例题２ 例题２ 练习１ 练习１ 练习２ 练习２ 作 业 小 结
小结
定义： 定义： 方程形式： 方程形式： ||MF1|－|MF2||=2a － (0<2a<|F1F2|)
x2 y 2 − 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a b
y
y 2 x2 − 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a b
y F2
图象： 图象：
3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)
【解析】 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若 F1，F2 表示双曲线的左、右焦点，且点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点 P 在右支上；若点 P 满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点 P 在左支上．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
双曲线及其标准方程课件
(3)当 k<0 时，方程为y42－－x24k＝1，表示焦点在 y 轴上的双曲线；
(4)当 0<k<1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 x 轴上的椭圆； k
(5)当 k>1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 y 轴上的椭圆． k
[一点通] 解决这类题的基本方法是分类讨论，在分
类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点．在
(3)若|F1F2|<2a，动点的轨迹不存在．
2．通过双曲线方程xa22－by22＝1(焦点在 x 轴上)和ay22－xb22 ＝1(焦点在 y 轴上)(a>0，b>0)可以看出：如果 x2 项的系 数是正的，那么焦点在 x 轴上；如果 y2 项的系数是正的， 那么焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，但是无 论双曲线的焦点在哪个轴上，方程中的三个量都满足 c2 ＝a2＋b2.
[例3] 已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同 范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
[思路点拨] 解答本题可依据所学的各种曲线的标准形 式的系数应满足的条件进行分类讨论．
[精解详析] (1)当 k＝0 时，y＝±2，表示两条与 x 轴平行 的直线；
(2)当 k＝1 时，方程为 x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径 为 2 的圆；
72 b2 ＝1，
解得a12＝19， b12＝116，
即 a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
法二：∵双曲线的焦点位置不确定，
∴设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)． ∵P1，P2 在双曲线上，所以
4m＋445n＝1， 196×7m＋16n＝1，
2.3.1 双曲线及其标准方程 课件(共23张ppt)
o
x
因 为 PA PB 340 2 680 0,所 以 x 0.
因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为
x2 y2 1( x 0). 115 600 44 400
【举一反三】 1.若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点 的轨迹是什么? 解: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.
X
离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.
问题2：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距
离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？
即“平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于非零常
数的点的轨迹 ”是什么？
看图分析动点M满足的条件： ①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F| =2a. ②如图(B)，
解:
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A，B两点在x
轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合.
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则
PA PB 340 2 680，
y
A
P B
即 2a=680，a=340. 又 AB 800，
所以 2c=800,c=400,
b2 c 2 a 2 44 400，
3.列式 由定义可知，双曲线就是集合： P= {M
|||MF1
| - | MF2|| = 2a },
即
( x c )2 y 2 ( x c )2 y 2 2a .
2
4.化简 代数式化简得：(c 2 a 2) x 2 a 2 y a 2(c 2 a 2)，
两 边 同 除 以 a 2 ( c 2 a 2 ), 得
x2 y2 2 1. 2 2 a c a
双曲线及其标准方程完整版课件
2
2
则双曲线的标准方程为20 − 16 =1.
(2)设双曲线方程为 mx2-ny2=1,
1
= 25 ,
49-72 = 1,
则有
解得
1
28-9 = 1,
= ,
75
2
2
则双曲线的标准方程为25 − 75 =1.
归纳总结
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可
以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b
联立两方程解得 x=8(舍负),y=5 3,
所以 P(8,5 3),
kPA=tan∠PAx= 3,所以∠PAx=60°,
所以 P 点在 A 点的北偏东 30°方向.
当堂达标
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时
,P点的轨迹为(
)
A.双曲线和一条直线
情景导学
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声
音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双
曲线的有关问题。
问题导学
新知探究
如图，在直线
l 上取两个定点
在平面内，取定点
F1 , F 2，以点 F1 为圆心、线段
在以 F 2 为圆心、线段
我们知道，当点
2
2
解析:∵方程1+ + -2=1,∴(m-2)(m+1)<0,
解得-1<m<2,∴m的取值范围是(-1,2).
答案:D
)
4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知
1
tan∠PEF=
2
则双曲线的标准方程为20 − 16 =1.
(2)设双曲线方程为 mx2-ny2=1,
1
= 25 ,
49-72 = 1,
则有
解得
1
28-9 = 1,
= ,
75
2
2
则双曲线的标准方程为25 − 75 =1.
归纳总结
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可
以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b
联立两方程解得 x=8(舍负),y=5 3,
所以 P(8,5 3),
kPA=tan∠PAx= 3,所以∠PAx=60°,
所以 P 点在 A 点的北偏东 30°方向.
当堂达标
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时
,P点的轨迹为(
)
A.双曲线和一条直线
情景导学
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声
音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双
曲线的有关问题。
问题导学
新知探究
如图，在直线
l 上取两个定点
在平面内，取定点
F1 , F 2，以点 F1 为圆心、线段
在以 F 2 为圆心、线段
我们知道，当点
2
2
解析:∵方程1+ + -2=1,∴(m-2)(m+1)<0,
解得-1<m<2,∴m的取值范围是(-1,2).
答案:D
)
4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知
1
tan∠PEF=
双曲线及其标准方程PPT课件(公开课)ppt文档
M
2、|MF2| － | MF 1| =2a (2a< |F1F2| )
F1
F2
3、若常数2a=0
F1
F2
4、若常数2a = | F1F2 |
F1
F2
5、若常数2a＞| F1F2 |
轨迹不存在
变式１ 已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，平面上一动 点P，｜PF1|－|PF2|= 6，求点P的轨迹方程.
解: 由题知点P的轨迹是双曲线的右支，
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
x2 y2 a2b2 1 (a0,b0)
∵ 2a = 6, c=5 ∴ a = 3, c = 5
双曲线及其标准方程PPT课件(公开课)
1、复习
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹是 椭圆 .
动
画
Y Mx,y
2. 引入问题：
O
F 1c,0
F 2 c,0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
平面上动点M到两定点距离的差为常数的轨迹是什么 ?
∴ a = 3, c = 5
∴ b2 = 52-32 =16
所以所求双曲线的标准方程为： x2 y2 1 9 16
走进高考
x2 y2
1.若双曲线 16 9 1 上的点P 到点
(5,0) 的距离是15，则点P 到点(5,0) 的
距离是（ D ） A.7 B. 23 C. 5或25 D. 7或23
所以所求双曲线的标准方程为：
x2 y2 1 或
y2 x2 1
9 16
9 16
课堂练习
双曲线及其标准方程ppt课件
所以 2 mm 1 0 ，解得 m 2 或 m 1， 即实数 m 的取值范围是,2 1, .
总结一下
1.双曲线的定义 2.双曲线的标准方程
Fresh and simple general ppt template
谢谢观看
2.焦点在y轴上的双曲线的标准方程
如图，双曲线的焦距为 2c，焦点分别是
F1(0, c) ， F2 (0,c) ，a，b 的意义同上，这时
双曲线的方程是
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
，这个
方程也是双曲线的标准方程.
y
M
F2
x O
F1
双曲线标准方程
图形
y M x
F1 O F2
y M F2
3.2.1 双曲线及其标准方程
人教A版（2019）选择性必修一
学习目标
01 经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程 02 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程
03 通过双曲线标准方程的推导过程理解数形结合思想
学习重点
双曲线的定义、标准方程
学习难点
双曲线标准方程的推导
新课导入
我们知道，平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
P {M || MF1 | | MF2 || 2a ， 0 2a | F1F2 |} .
因为 | MF1 | (x c)2 y2 ，| MF2 | (x c)2 y2 ， 所以 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a .①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 (c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 ) ，
x2 b2
1a
总结一下
1.双曲线的定义 2.双曲线的标准方程
Fresh and simple general ppt template
谢谢观看
2.焦点在y轴上的双曲线的标准方程
如图，双曲线的焦距为 2c，焦点分别是
F1(0, c) ， F2 (0,c) ，a，b 的意义同上，这时
双曲线的方程是
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
，这个
方程也是双曲线的标准方程.
y
M
F2
x O
F1
双曲线标准方程
图形
y M x
F1 O F2
y M F2
3.2.1 双曲线及其标准方程
人教A版（2019）选择性必修一
学习目标
01 经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程 02 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程
03 通过双曲线标准方程的推导过程理解数形结合思想
学习重点
双曲线的定义、标准方程
学习难点
双曲线标准方程的推导
新课导入
我们知道，平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
P {M || MF1 | | MF2 || 2a ， 0 2a | F1F2 |} .
因为 | MF1 | (x c)2 y2 ，| MF2 | (x c)2 y2 ， 所以 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a .①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 (c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 ) ，
x2 b2
1a
双曲线及其标准方程ppt课件
C.(0,-5),(0,5)
D.(0,- 7),(0, 7)
双曲线的定义
2
1.设 F1,F2 分别是双曲线 x2-24=1 的左、右焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|, 则△PF1F2 的面积等于 ( )
A.4 2
B.8 3
C.24
D.48
2.已知动点 P(x,y)满足 ( + 2)2 + 2- ( -2)2 + 2=2,则动点 P 的轨迹是 ( )
这两个定点叫做双曲线的焦点. 两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
y
M
F1 o F2 x
如何理解绝对值？若去掉绝对值则图像有何变化？
03 双曲线的标准方程
1. 建系：如图建立直角坐标系xOy，使x轴经 过点F1，F2，并且点O与线段F1F2中点重合.
y M
F1 O F2
x
2.设点:设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a
利用定义求轨迹方程
P P127 习题3.2 第5题
如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O外一定点,P是圆上任
意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当
O
点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A Q
P115 习题3.1 第6题 如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O内一定点,P是圆上 任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点 Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A.椭圆 C.双曲线的左支
B.双曲线 D.双曲线的右支
双曲线的定义
22
【变式练习】
已知
P
是双曲线
选择必修 第三章 3.2.1 双曲线及其标准方程 课件(共23张PPT)
0)，焦点F1，F2的坐标分别为(-c , 0) ，(c , 0).
又设||MF1|-|MF2||= 2a( a为大于0的常数, a<c)．
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<a<|F1F2|}.
y
M
F1
O
F2 x
知新探究
y
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 2c（ c >
拓展2：根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某
条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最关心的是
炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?
利用两个不同的观测点A, B测得同一点P发出信号的时间差, 可以确定点P所在
双曲线方程. 如果再增设一个观测点C，利用B、C(或A、C)两处测得的爆炸声的时
因为|PA|－|PB|=340×2=680＞0，
所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x＞340.
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为
2
115600
2
−
=1(x＞340).
44400
P
A o
B x
知新探究
拓展1：若在A，B两地同时听到炮弹爆炸声，则炮弹爆炸点的轨迹是什么?
提示: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.
思考：
1.与两定点的距离的差的绝对值等于常数(当2a=|F1F2|时)的轨迹是什么？
在直线F1F2上且 以F1、F2为端点向外的两条射线.
2.与两定点的距离的差的绝对值等于常数(当2a>|F1F2| )时的轨迹是什么？
不存在
3.当||MF1|-|MF2||=2a=0时的轨迹是什么？
又设||MF1|-|MF2||= 2a( a为大于0的常数, a<c)．
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<a<|F1F2|}.
y
M
F1
O
F2 x
知新探究
y
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 2c（ c >
拓展2：根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某
条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最关心的是
炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?
利用两个不同的观测点A, B测得同一点P发出信号的时间差, 可以确定点P所在
双曲线方程. 如果再增设一个观测点C，利用B、C(或A、C)两处测得的爆炸声的时
因为|PA|－|PB|=340×2=680＞0，
所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x＞340.
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为
2
115600
2
−
=1(x＞340).
44400
P
A o
B x
知新探究
拓展1：若在A，B两地同时听到炮弹爆炸声，则炮弹爆炸点的轨迹是什么?
提示: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.
思考：
1.与两定点的距离的差的绝对值等于常数(当2a=|F1F2|时)的轨迹是什么？
在直线F1F2上且 以F1、F2为端点向外的两条射线.
2.与两定点的距离的差的绝对值等于常数(当2a>|F1F2| )时的轨迹是什么？
不存在
3.当||MF1|-|MF2||=2a=0时的轨迹是什么？
双曲线及其标准方程ppt课件
课后提升
1.必做题：P127页课本习题3.2第1，2，5题
2. 思考题（选做）:定位问题
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告，正西、
正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其
它两个观测点晚4秒。已知各观测点到该中心的距离都是1020m，试
确定该巨响发生的位置。
（假定声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面内。）
−
= 令 = −
−
你能在y轴上找一点B，使得|OB|=b吗？
1
验证
设点
2
坐标法
4
化简
列式
3
绝对值
教学过程分析
3
通过图象，生成定义
绘制图象，合作探究
2
1
类比启发，方程推导
重
点
4
5
类比推理，举一反三
列表对比，加深理解
教学过程分析
方程推导
在学生脑海里留下更加深刻的印象。
通过学生的自主学习、小组合作、师生互
动，让学生学会交流、表达、质疑、反思。
04
01
02
03
谢
大
谢
家
5.及时练习，巩固所学
6.回顾小结，思维提升
7.课后延伸，探究发现
教学过程分析
复习回顾，课题导入
复习回顾：
椭圆及其标准方程
创设情境
导入课题：双曲线及其标准方程
教学过程分析
3
通过图象，生成定义
绘制图象，合作探究
2
1
类比启发，方程推导
4
类比推理，举一反三
5
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Y
O
F 1c,0
Mx,y
F 2 c,0 X
思考：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距 离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？
即“平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 的点的轨迹 ”是什么？
电脑演示
看图分析动点M满足的条件： ①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
若 |PF1|=10, 则|PF2|=__4_或__1_6___
例2 已知双曲线的焦点在x轴上，并且双曲线上
的两点P1、P2的坐标分别（ 2, 3），
（
15 3
,
2 ），求双曲线的标准方程。
设法一：
y2 a2
x2 b2
1(a 0, b 0)
设法二： y2 x2 1(m 0, n 0)
双曲线及其标准方程优秀课件
双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程
学习目标
v• 本课能情知力感识训目点练标要求
›– 掌通双握过曲双 对线曲 双的线 曲定的线义定与义椭圆的比较，掌握这两种曲线 ›的– 掌双定握曲义双线、曲的标线标准的准方标方程准程及方及a、程其b及推、其导c关推系导的方区法别；并认 ›识– 掌双到握曲比双线较曲中法线a是、中认ba识、、事cb之、物间c、之的掌间关握的系其关实系质的一种有 效的方法。
若把椭圆定义中的与两定点的“距离之和”改成“距离之
差”,这时轨迹又是什么?
演示
几个问题：
(1)轨迹叫什么曲线？
(2)其中|MF1|与|MF2|哪个大？
(3)点M与F1，F2的距离之差是
F1
|MF1|-|MF2|还是|MF2|-|MF1|？
(4)如何统一两距离之差？
M F2
探索研究
椭圆的定义？
平面内与两个定点F1、F2的 距离的和等于常数（大于 ｜F1F2｜）的点轨迹叫做椭圆。
变式: 上述方程表示双曲线，则m的取值范围是 __m__＜__－__2_或__m__＞__－__1_
求适合下列条件的双曲线的标准方程
①a=4,b=3，焦点在x轴上；
x2 16
y2 9
1
②焦点为(0,－6),(0,6)，经过点(2,－5)
1 y2
x2
20 16
M F2 x
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a.
4.化简.
• 想一想
y
M
焦点在y轴上的双曲线
F2
的标准方程是什么？
x
F1 (0,-c) , F2 (0,c)
F1
| ( y c)2 x2 ( y c)2 x2 | 2a.
化简为：
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）
上面 两条曲线合起来叫做 双曲线,每一条叫做双曲线 的一支。
双曲线的定义
平面内与两定点F1，F2 的距离的差的绝对值等
于常数（小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
F1,F2 -----焦点
|F1F2| -----焦距记为2c
0)
c2 a2 b2
• 例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲 线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则
(1) a=___3____ , c =____5___ , b =__4_____ x2 y2 1
(2) 双曲线的标准方程为___9___1_6_______
(3)双曲线上一点Ｐ，| |PF1| - |PF2| | = 6
1、椭圆是如何定义的?及标准方程如何?
回顾
u平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|） 的点的轨迹是椭圆.
u其标准方程:
焦点在x轴上:
x2 y2 a2 b2 1
焦点在y轴上:
y2 a2
x2 b2
1
(a>b>0)
2、椭圆标准方程中字母b与a、c的关系如何?
b2 a2c2
问题提出
mn
设法三： my2 nx2 1(m 0, n 0)
变式 已知双曲线上的两点P1、P2的坐标分别为
（
2,
3），（
15 3
,
Hale Waihona Puke 2），求双曲线的标准方程。 my2 nx2 1(mn 0)
随堂练习
1 已知方程
x2
y2
2m m1
表示焦点在y轴的
双曲线，则实数m的取值范围是____m_＜__－__2_____
F1
| |MF1| - |MF2| | = 2a
(这里c>a)
M F2
1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴，线
段如F1何F2求的这中优点美o为的原曲点线建的立方直程角？
y
坐标系
2.设点．设M（x , y）,双曲线的焦
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数为2a
F1 O
3.列式．||MF1| - |MF2||= 2a