《解释几何-第四版》第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 讲解与习题柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

例 1 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫 圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角 0 叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转 2 轴为 z 轴，半顶角为 的圆锥面方程．
解
yoz 面上直线方程为
z y cot
圆锥面方程
a b a b
2.空间曲线的射影柱面
设空间曲线为
F ( x, y, z ) 0 L: G( x, y, z ) 0 (1)
依次从（1）中消去一个元，可得
F 1 ( x, y ) 0 F2 ( x, z ) 0 F3 ( y, z ) 0
任取其中两个方程组成方程组，比如
z 轴的柱
面，其准线为xoy 面上曲线C . （其他类推）
实 例
y z 2 1 2 b c x2 y2 2 1 2 a b 2 x 2 pz
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
椭圆柱面 母线// x 轴 双曲柱面母线// z 轴 抛物柱面母线// y 轴
例1、柱面的准线方程为
2 2 2 x y z 1 2 2 2 2 x 2 y z 2
例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
整理得
11( x 1)2 11( y 2)2 23( z 3)2 32( x 1)( y 2) 16( x 1)( z 3) 16( y 2)( z 3) 0
n 3 0 cos 30 n 2
齐次方程：
设λ 为实数，对于函数f(x,y,z)，如果有 f(tx,ty,tz)=tλf(x,y,z) 则称f(x,y,z)为λ 的齐次函数，f(x,y,z)=0称为齐次 方程。 定理 4.2.1 一个关于x,y,z的齐次方程总表示顶点在 坐标原点的锥面。 例如，方程 x2+y2-z2=0 又如，方程 x2+y2+z2=0 圆锥面 原点（虚锥面）
所以过M1的纬圆的方程为：
(3) X ( x x1 ) Y ( y y1 ) Z ( z z1 ) 0 2 2 2 2 2 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) ( x x ) ( y y ) ( z z ) 0 0 0 1 0 1 0 1 0 当点M1跑遍整个母线C时，就得到所有的纬圆， 这些纬圆就生成旋转曲面。 又由于M1在母线上，所以又有： F1 ( x1 , y1 , z1 ) 0 C: (4) F2 ( x1 , y1 , z1 ) 0 从（3）（4）的四个等式中消去参数x1,y1,z1,得到一 个三元方程： F(x,y,z)=0 这就是以C为母线，L为旋转轴的旋转曲面的方程。
z 0
x2 4 y 0
为曲线L在xOy坐标面上的射影曲线 x z 4z 曲线L也可以看成是
2 2 2 x 4y 0
作业P147:1,3,8(1),(2)
第二节
一、锥面
锥面
1、定义 在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族 直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的 母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。 2、锥面的方程 F1 ( x, y, z ) 0 (1) 设锥面的准线为 F2 ( x, y, z ) 0 顶点为A(x0,y0,z0)，如果M1(x1,y1,z1)为准线上任一点， 则锥面过点M1的母线为： x x0 y y0 z z0 (2) x1 x0 y1 y0 z1 z0
z
f ( y, z ) 0 方程为 x 0
f ( y, z ) 0 x 0
将z1 = z, y x 2 y 2 代入 1 x 方程f( y1, z1) = 0,
o
M (0, y , z ) f ( y, z ) 0 M
d
1 1 1
y
得旋转曲面的方程: 即
作业:P151:2,3,5
第三节
旋转曲面
一、. 旋转曲面 1、 定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一 条直线旋转一周所成的曲面叫做旋 转曲面 , 这条定直线叫旋转曲面的 轴.
曲线C称为旋转曲面的母线
C
o
纬线
经线
二、旋转曲面的方程 在空间坐标系中，设旋转曲面的母线为：
F1 ( x, y, z ) 0 C : (1) F2 ( x, y, z ) 0 旋转直线为： x x0 y y0 z z0 L: (2) X Y Z 其中P0(x0,y0,z0)为轴L上一定点，X，Y，Z为旋转轴 L的方向数。 设M1(x1,y1,z1)为母线C上的任意点，则M1的纬圆总 可以看成是过M1且垂直于旋转轴L的平面与以P0为中 心，|P0M1|为半径的球面的交线。
z


M1 (0, y1 , z1 )
y
o
x
z x 2 y 2 cot
M ( x, y, z )
例2: 求直线 z = ay 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面方程. 解: 将 y 用 x 2 y 2 代入直线 方程, 得
z a( x2 y 2 )
y x
z
z = ay
平方得: z2 = a2 ( x2 + y2 ) 该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.
且有
F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0
从（2）（3）中消去x1,y1,z1得 F(x,y,z)=0
(3)
这就是以（1）为准线，母线的方向数为X，Y，Z的 柱面的方程。
柱面举例
z
z
y 2x
2
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面
x
y x
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x , y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于
第四章
柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容
1、柱面 2、锥面 3、旋转曲面 4、椭球面 5、双曲面 6、抛物面 7、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线. F1 ( x, y, z ) 0 设柱面的准线为 F ( x, y, z ) 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为 x x1 y y1 z z1 (2) X Y Z
xOz面上的射影柱面，曲线
为曲线L在xOz坐标面上的射影曲线
x2 z 2 4z y0
从方程组
2 x2 z 2 4 y 4z L: 2 2 x 3 z 8 y 12 z
消去z，得 ，这就是空间曲线L在 2 x xOy面上的射影柱面，曲线 4 y 0
M1 ( x 1 , y1,0) 在准线（1）上，，所以又有
F ( x1 , y1 ) 0
将（2）代入（3）消去参数 柱面方程为
(3)
x1 , y1 ，得到所求的
F ( x, y) 0
同理， G( y, z) 0 与 H ( z, x) 0 分别表示母线平行于 X轴和y轴的柱面。 2 2 2 2 x y x y 方程 2 2 1, 2 2 1, y 2 2 px 分别
例1、求直线 x y z 1
2 1 0
绕直线x=y=z旋转所得旋转曲面的方程。 解：设M1(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴 通过原点，所以过M1的纬圆方程是：
( x x1 ) ( y y1 ) ( z z1 ) 0 2 2 2 2 2 2 x y z x y z 1 1 1
f ( x 2 y 2 , z ) 0
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0绕 z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y,

x 2 z 2 0.

规律：
当坐标平面上的曲线C绕此坐标平面的一个坐标 轴旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线C在 坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其 它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐 标。
F1 ( x, y ) 0 F2 ( x, z ) 0
(2)
那么（2）与（1）是两个等价的方程组，也就 是（2）表示的曲线与（1）是同一条曲线。从而 曲面 F1 ( x, y) 0 与曲面 F2 ( x, z) 0 都通过已知曲线（1） 同理方程 F3 ( y, z) 0 也通过已知曲线（1）。 我们把曲面 F1 ( x, y) 0 称为空间曲线（1）对xOy坐 标面的射影柱面，而曲线
F 1 ( x, y ) 0 z 0
称为空间曲线（1）在xOy坐标面上的射影曲线。 同理，曲面 F2 ( x, z) 0 与曲面 F3 ( y, z) 0 分别叫做 方程（1）对xOz坐标面与yOz坐标面射影的射影柱面
而曲线
F2 ( x, z ) 0 y0
且有
F1(x1,y1,z1)=0 F(x,y,z)=0
F2(x1,y1,z1)=0
（ 3）
从（2）（3）中消去参数x1,y1,z1得三元方程 这就是以（1）为准线，以A为顶点的锥面方程。
例1、求顶点在原点，准线为
x2 y2 2 2 1 b a z c
的锥面的方程。 答：
x y z 2 2 0 2 a b c
2
2
2
（二次锥面）
例2：已知圆锥面的顶点为（1,2,3），轴垂直于平面 2x+2y-z+1=0，母线与轴成 30 o 角，试求这圆锥面 的方程。 解：设 M1 ( x1, y1, z1 ) 为任意母线上的一点，那么过 M 1 点的母线的方向向量 x 1, y 2, z 3 而在直角坐标系下，圆锥面的轴线的方向就是平面 2x+2y-z+1=0 的法向量，即为 n 2, 2, 1 有
与曲线
F3 ( y, z ) 0 x0
分别叫做曲线（1）在xOz坐标面与yOz坐标面 上的射影曲线。 例：从方程组 2 x z 4 y 4 z
2 2
L: 2 2 x 3z 8 y 12 z
消去y，得
x2 z 2 4z y0
，这就是空间曲线L在
F ( x, y) 0 (1) z0 作准线，z轴的方向 0, 0,1 为母线的方向，来建立 柱面方程。 任取准线上的一点 M1 ( x1, y1, z1 ) ，过 M1 的母线 方程为 xx y y zz
1
0

1
0

1
1
即
x x1 y y1
(2)
又因为点
又由于M1在母线上，所以又有：
x1 y1 z1 1 2 1 0
即 x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋转曲面的方程： 2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0。
三、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面： 已知yoz面上一条曲线C, ,曲 线C绕 z 轴旋转一周就得一个旋转曲面. 设M1(0, y1`, z1)是C上任意一点, 则有f( y1, z1) = 0 当C绕 z 轴旋转而M1随 之转到M (x, y, z)时, 有
而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程。 例2、已知圆柱面的轴为
x y 1 z 1 1 2 2
点（1,-2,1)在此圆柱面上，求这个柱面的方程。
定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标） 的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于 所缺元（坐标）的同名坐标轴。 证明：我们不妨证明方程 F ( x, y) 0 是母线平 行于Z轴的柱面。 取曲面 F ( x, y) 0 与xOy面的交线