概率统计章节作业答案教学提纲

（完整版）概率统计章节作业答案第一章随机事件与概率一、单项选择题1.掷一枚骰子，设A ={出现奇数点}，B ={出现1或3点}，则下列选项正确的是( B ).A. AB ={出现奇数点}B. AB ={出现5点}C. B ={出现5点}D. A B =ΩU2.设A 、B 为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是 ( A ).A. ()A B B A +-=B. ()A B B A B A AB +-=-=-C. ()A B B A B -+=+D.AB AB A +=3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A i ={第i 次正面向上}（i =1,2），则“至少有一次正面向上”可表示为( D ).A.1212A A A A UB.12A AC.12A AD.12A A U4.某人向一目标射击3次，设A i 表示“第i 次射击命中目标”（i =1，2，3），则3次都没有命中目标表示为( A ).A.123A A AB.123A A A ++C.123A A AD.123A A A5.设A 与B 为互为对立事件，且()0,()0P A P B >>，则下列各式中错误的是( A).A.(|)0P A B =B. (|)0P B A =C. ()0P AB =D. ()1P A B =U6.设事件A 与B 相互独立,P (A )=0.2, P (B )=0.4, 则(|)P A B =( D ).A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.87.已知事件A 与B 互不相容, P (A )>0, P (B )>0, 则( C ).A.()1P A B =UB.()()()P AB P A P B =C. ()0P AB =D.()0P AB >8.设P (A )=0, B 为任一事件, 则 ( C ).A.A =ΦB.A B ?C.A 与B 相互独立D. A 与B 互不相容9.已知P (A )=0.4, P (B )=0.5, 且A B ?,则P (A |B )= ( C ).A. 0B. 0.4C. 0.8D. 110.设A 与B 为两事件, 则AB = ( B ).A.A BB. A B UC. A B ID. A B I11.设事件A B ?, P (A )=0.2, P (B )=0.3,则()P A B =U ( A ).A. 0.3B. 0.2C. 0.5D. 0.4412.设事件A 与B 互不相容, P (A )=0.4, P (B )=0.2, 则P (A|B )=( D ).A. 0.08B. 0.4C. 0.2D. 013.设A , B 为随机事件, P (B )>0, P (A |B )=1, 则必有 ( A ).A.()()P A B P A =UB.A B ?C. P (A )=P (B )D. P (AB )=P (A )14.从1,2,3,4,5中任意取3个数字,则这3个数字中不含5的概率为 ( A ).A. 0.4B. 0.2C. 0.25D. 0.7515.某学习小组有10名同学，其中6名男生、4名女生，从中任选4人参加社会活动，则4人中恰好2男2女的概率为( A ).A.37B.0.4C. 0.25D.16 16.某种动物活20年的概率为0.8，活25年的概率为0.6，现有一只该种动物已经活了20年，它能活到25年的概率是 ( B ).A. 0.48B. 0.75C. 0.6D. 0.817.将两封信随机地投到4个邮筒内，则前两个邮筒内各有一封信的概率为( A ).A. 0.125B. 0.25C. 0.5D. 0.418.一批产品的合格品率为96%，而合格品中有75%是优质品，从该批产品中任取一件恰好是优质品的概率为( A ).A. 0.72B. 0.75C. 0.96D. 0.7819.设有10个产品，其中7个正品，3个次品，现从中任取4个产品，则这4个都是正品的概率为( C ).A. 710B. 44710C. 47410C C D. 4710? 20.设有10个产品，其中8个正品，2个次品，现从中抽取3次，每次任取1个，取后放回，则取到的3个产品都是正品的概率为( C ).A. 810B. 38310C C C. 33810 D. 38310C 21.某人打靶的命中率为0.4，现独立地射击5次，则5次中恰有2次命中的概率为( C ).A. 20.4B. 30.6C. 22350.40.6CD. 23250.40.6C22.随机地抛掷质地匀称的6枚骰子,则至少有一枚骰子出现6点的概率为( D ).A.15615()66CB.156151()66C - C.15651()66C D.651()6- 23.把3个不同的球分别放在3个不同的盒子中,则出现2个空盒的概率为(A ).A. 19B. 12C. 23D. 13 24.从1,2,3,4,5,6六个数字中,等可能地、有放回地连续抽取4个数字，则取到的4个数字完全不同的概率为( A ).A.518B.4!6!C.4446AAD.44!625.某人每次射击命中目标的概率为p(0<p<1)，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为< bdsfid="216" p=""></p<1)，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为<>( D ).A. p2B. (1-p)2C. 1-2pD. p(1-p)二、填空题1.一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为18/35 .2.甲乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为1/16 .3.设袋中有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为0.25 .4.从数字1，2，…，10中有放回地任取4个数字，则数字10恰好出现两次的概率为0.0486 .5.甲乙丙三人各自独立地向一目标射击一次，三人的命中率分别是0.5，0.6，0.7，则目标被击中的概率为0.94 .6.甲袋中装有两白一黑共3个球，乙袋中装有一白两黑共3个球，从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，则取到白球的概率为5/12 .7.设事件A与B互不相容，P(A)=0.2, P(B)=0.3, 则()P A BU= 0.5 .8.设事件A与B相互独立，且P(A+B)=0.6, P(A)=0.2, 则P(B)= 0.5 .9.设()0.3,(|)0.6P A P B A==，则P(AB)= 0.42 .10.设11()()(),()(),()046P A P B P C P AB P AC P BC======，则P(A+B+C)=5/12 .11.已知P (A )=0.7, P (A -B )=0.3, 则()P AB = 0.6 .12.某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.5，则4次射击中恰好命中3次的概率为 0.25 .13.已知P (A )=0.4, P (B )=0.8, P (B|A )=0.25, 则P (A|B )= 0.125 .14.设111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===，则()P A B U = 1/3 . 15.一批产品的废品率为4%，而正品中的一等品率为60%，从这批产品中任取一件是一等品的概率为 0.576 .16.甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为0.4，0.5，则飞机至少被击中一炮的概率为 0.7 .三、计算题1.设P (A )=0.4, P (B )=0.2, (|)0.3P B A =, 求P (AB )以及P (A |B ).解:由(|)0.3P B A =得:()0.3,()P AB P A =即()()0.31()P B P AB P A -=-, 解得:P (AB )=0.02. 从而, ()0.02(|)0.1()0.2P AB P A B P B ===.2.已知,()0.2,()0.3,A B P A P B ?==求：(1)(),()P A P B ；(2)P (AB )；(3)()P AB ；(4) ()P A B U ；(5)P (B -A ).(1)由概率的性质，知()1()0.8,P A P A =-=()1()0.7P B P B =-=；(2)因为A B ?，所以AB A =，P (AB )=P (A )=0.2； (3)()P AB =P(A -AB )=P (A )-P (AB )=P (A )-P (A )=0；(4) 因为A B ?，所以A B B =U , ()P A B U =P (B )=0.3；或者，()P A B U =P (A )+P (B )-P (AB )=0.2+0.3-0.2=0.3；3.若事件A 与B 互不相容，P (A )=0.6, P (A+B )=0.9, 求：(1)()P AB ；(2)(|)P A B ；(3)()P AB .解:(1) 因A 与B 互不相容，故AB =Φ，P (AB )=0，所以()P AB =1-P (AB )=1；(2) 因A 与B 互不相容，由加法公式：P (A+B )=P (A )+P (B )，得P (B )=0.3，从而(|)P A B =()()()0.661()0.77()P AB P A P AB P B P B -===-； (3) ()P AB =1()1()10.90.1P AB P A B -=-+=-=.4.已知事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.4, P (A+B )=0.6, 求(1)P(B )；(2) ()P AB ；(3)P (A|B ).解：(1)因为事件A 与B 相互独立，所以P (AB )=P (A )P (B )，()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B +=+-=+-0.6=0.4+P (B )-0.4P (B )，解得：P (B )=13； (2) 因为事件A 与B 相互独立，所以A 与B 也相互独立，故()P AB =4()()15P A P B =； (3) 因为事件A 与B 相互独立，所以P (A|B )=P (A )=0.4.四、应用题1.一批产品共有50个，其中40个一等品、6个二等品、4个三等品，现从中任取3个产品，求3个产品中至少有2个产品等级相同的概率.解：设A “3个产品中至少有2个产品等级相同”，A “3个产品等级都不同”，由古典概率定义，得111406435012()0.049245C C C P A C ==≈，从而 ()10.0490.951P A =-=.2.10把钥匙中有3把能打开门，现从中任取2把，求能打开门的概率.解：A “取出2把钥匙能打开门”，由古典概率知：1123732108()15C C C P A C +==.3.将5双不同的鞋子混放在一起，从中任取4只，求这4只鞋子至少能配成一双的概率.解：A “4只鞋子中至少能配成一双”，则A “4只鞋子都不同”.由古典概率得：41111522224108()21C C C C C P A C ==，故13()1()21P A P A =-=. 4.从0，1，2，3这4个数中任取3个进行排列，求取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数的概率.解：A “排成的数是三位数且是偶数”，A 0“排成的三位数末位是0”，A 2“排成的三位数末位是2”，则A =A 0+A 2，且A 0与A 2互不相容，因为230342!1(),3!4C P A C ==11222341(),3!6C C P A C == 所以，015()()()12P A P A P A =+=. 5.一批零件共100个，次品率为10%，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求下列事件的概率：(1)第三次才取得合格品；(2)如果取得一个合格品后就不再取零件，在三次内取得合格品.解：设A i “第i 次取到合格品”（i =1,2,3），则(1)第三次才取到合格品的概率为：12312131210990()()(|)(|)0.00831009998P A A A P A P A A P A A A ==??≈. (2)A “三次内取得合格品”，则112123A A A A A A A =++，所求概率为：112123()()()()P A P A P A A P A A A =++1121121312()()(|)()(|)(|)P A P A P A A P A P A A P A A A =++ 90109010990100100991009998=+?+??0.9993.≈ 6.盒子中有8个红球和4个白球，每次从盒子中任取一球，不放回地抽取两次，试求：(1) 两次取出的都是红球的概率；(2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率；(3)第二次取到红球的概率.解：A 1“第一次取出的是红球”，A 2“第二次取出的是红球”，则(1)由乘法公式得，两次取出的都是红球的概率为：121218714()()(|)121133P A A P A P A A ==?=； (2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率为：218(|)11P A A =； (3)由全概率公式得，第二次取到红球的概率为：2121121()()(|)()(|)P A P A P A A P A P A A =+7.某工厂有三台设备生产同一型号零件，每台设备的产量分别占总产量的25%，35%，40%，而各台设备的废品率分别是0.05，0.04，0.02，今从全厂生产的这种零件中任取一件，求此件产品是废品的概率.解：设A i “第i 台设备生产的零件”(i =1，2)，B “产品是废品”，由题意知：P (A 1)=25%，P (A 2)=35%，P (A 3)=40%，P (B |A 1)=0.05, P (B |A 2)=0.04, P (B |A 3)=0.02,由全概率公式得，产品是废品的概率为：112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++25%0.0535%0.0440%0.020.0345=?+?+?=.8.两台车床加工同一种零件，加工出来的零件放在一起，已知第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02，且第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任取一个零件是合格品的概率；(2)如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率.解：设B “零件是合格品”，A “第一台车床加工的零件”，则A “第二台车床加工的零件”，由题意知：21(),()33P A P A ==. (1)由全概率公式得：()()(|)()(|)P B P A P B A P A P BA =+21(10.03)(10.02)0.97333=?-+?-≈；(2)由贝叶斯公式得，如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率为：10.02()()(|)3(|)0.252.921()()13P A B P A P B A P A B P B P B ?====--9.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,假设男人女人各占一半.现随机地挑选一人，求：(1)此人恰是色盲的概率是多少？(2)若随机挑选一人，此人是色盲，问他是男人的概率多大？(3)若随机挑选一人，此人不是色盲，问他是男人的概率多大？解：设B “色盲患者”，A “随机挑选一人是男人”，由题设知：11(),(),(|)5%,(|)0.25%22P A P A P B A P B A ====，则 (1)由全概率公式得，随机挑选一人是色盲的概率为：()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+115%0.25%0.0262522=?+?=； (2)由贝叶斯公式得，随机选一人是色盲，他是男人的概率为：15%()()(|)2(|)0.952()()0.02625P AB P A P B A P A B P B P B ?===≈； (3)由贝叶斯公式得，随机选一人不是色盲，他是男人的概率为：195%()()(|)2(|)0.48781()0.97375()P AB P A P B A P A B P B P B ?===≈-. 10.现有10张考签，其中4张是难签，甲、乙、丙三人抽签考试(取后不放回)，甲先乙次丙最后，求下列事件的概率：(1)甲乙都抽到难签；(2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签；(3)甲乙丙都抽到难签；(4)证明：甲乙丙抽到难签的机会均等.解：设A ，B ，C 分别表示“甲、乙、丙抽到难签”，则(1)甲乙都抽到难签的概率为：432()()(|)10915P AB P A P B A ===； (2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率为：644()()(|)10915P AB P A P B A ==?=； (3)甲乙丙都抽到难签的概率为：4321()()(|)(|)109830P ABC P A P B A P C AB ===；(4)由古典概率知，甲抽到难签的概率为：4()0.410P A ==. 由全概率公式得，乙抽到难签的概率为：()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+43640.4109109=+?=. 丙抽到难签的概率为：()()(|)()(|)()(|)()(|)P C P AB P C AB P AB P C AB P AB P C AB P AB P C AB =+++4326434636541098109810981098=??+??+??+??=0.4. 得，P (A )=P (B )=P (C )=0.4，所以，甲乙丙抽到难签的机会均等，各占40%.11.三个人向同一敌机射击，设三人命中飞机的概率分别为0.4，0.5和0.7.若三人中只有一人击中，飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机必被击落.求飞机被击落的概率.解：设A i 表示“三人中恰有i 人击中飞机”，i =0，1，2，3.B “飞机被击落”.A 0, A 1, A 2, A 3构成完备事件组，且0()(10.4)(10.5)(10.7)0.09P A =-?--=，1()0.4(10.5)(10.7)(10.4)0.5(10.7)(10.4)(10.5)0.70.36P A =?-?-+-??-+-?-?=,2()0.40.5(10.7)0.4(10.5)0.7(10.4)0.50.70.41P A =??-+?-?+-??=, 3()0.40.50.70.14P A =??=.由题设知：0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A P B A ====.故，由全概率公式得，飞机被击落的概率为：00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A PA PB A =+++0.0900.360.20.410.60.1410.458=?+?+?+?=.12.在上题中，假设三人的射击水平相当，命中率都是0.6，其他条件不变，再求飞机被击落的概率.解：设A i 表示“三人中恰有i 人击中飞机”，i =0，1，2，3.B “飞机被击落”.A 0, A 1, A 2, A 3构成完备事件组，且由贝努里公式得：00303()0.60.40.064P A C =??=，1213()0.60.40.288P A C =??=，2223()0.60.40.432P A C =??=，3333()0.60.216P A C =?=.由题设知：0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A P B A ====.故由全概率公式得，飞机被击落的概率为：30()()(|)i i i P B P A P B A ==∑0.06400.2880.20.4320.60.21610.5328=?+?+?+?=13.已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率为0.03，求：(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；(2)一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率.解：设A “产品是合格品”，B “经检查产品被判为合格品”，且由题意知：P (A )=95%, ()195%5%,(|)10.020.98,(|)0.03P A P B A P B A =-==-==.则(1)由全概率公式得，任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率为：()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+95%0.985%0.030.9325=?+?=；(2)由贝叶斯公式得，一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率为：()0.950.98(|)0.9984()0.9325P AB P A B P B ?==≈. 14.一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人看管的概率第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.7，且三台机床是否需要看管彼此独立.求在一小时内三台机床中最多有一台需要工人看管的概率.解：设A i “第i 台机床需要看管”，i =1，2，3. “三台机床中最多有一台需要工人看管”表示为123123123123A A A A A A A A A A A A +++，且这4个事件两两互不相容，由加法与独立性知，所求的概率为：123123123123()P A A A A A A A A A A A A +++123123123123()()()()P A A A P A A A P A A A P A A A =+++ 123123123123()()()()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A PA P A P A P A P A =+++0.10.80.70.90.20.70.90.80.30.90.80.70.902=??+??+??+??=15.加工某一零件共需经过三道工序，设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%，3%，5%.假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？解：设A i “第i 道工序加工出次品”，i =1，2，3.则加工出来的零件是次品表示为A 1+A 2+A 3，且A 1，A 2，A 3相互独立，从而123,,A A A 也相互独立.所求概率为：123123123(++)1()1()()()P A A A P A A A P A P A P A =-=-1(12%)(13%)(15%)0.09693=----=.16.甲、乙、丙三人独立地破译一密码，他们各自能破译出的概率分别是0.4，0.6，0.7，求此密码被破译的概率.解：设A ，B ，C 分别表示“甲、乙、丙破译出密码”，则A+B+C 表示“密码被破译”，且A ，B ，C 相互独立，从而,,A B C 也相互独立，故所求概率为：(++)1()1()()()P A B C P A B C P A P B P C =-=-1(10.4)(10.6)(10.7)0.928=----=.17.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，各在两批中随机取一粒，求：(1)两粒种子都能发芽的概率；(2)至多有一粒种子能发芽的概率；(3)至少有一粒种子能发芽的概率.解：设A ，B 分别表示“甲、乙种子发芽”，由题设知：()0.8,()0.7,()10.80.2,()10.70.3P A P B P A P B ===-==-=.(1)两粒种子都能发芽的概率为：()()()0.80.70.56P AB P A P B ==?=；(2)至多有一粒种子能发芽的概率为：()()()()P AB AB A B P AB P AB P A B ++=++()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++0.80.30.20.70.20.30.44=?+?+?=；(3)至少有一粒种子能发芽的概率为：()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B =+-=+-U0.80.70.80.70.94=+-?=.18.一批产品有70%的一级品，进行重复抽样检查，共抽取5件样品，求：(1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p 1；(2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率p 2；(3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率p 3.解：该问题是参数p =0.7的5重贝努里试验，由贝努里公式得：(1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p 1=22350.70.30.1323C ??=；(2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率为：p 2=55520.70.3k k k k C -=??∑=005145510.70.30.70.30.96922C C -??-??=； (3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率为：p 3=55510.70.3k k k k C -=??∑=005510.70.30.99757C -??=.19.一射手对一目标独立地射击4次,若至少命中一次的概率为8081, 求射手射击一次命中目标的概率. .解：设射手射击一次命中目标的概率为p ，由贝努里定理知，4次射击中至少有一次命中目标的概率为：41(1)p --，由题设知：4801(1)81p --=，解得：23p =. 20.一射手对一目标独立地射击, 每次射击命中率为p , 求射击到第4次时恰好两次命中的概率.解：射手射击到第4次恰好有两次命中目标，即第四次命中，而前三次中恰有一次命中，由贝努里定理知，所求概率为：12223(1)3(1)P pC p p p p =-=-. 五、证明题1.设0证：必要性设事件A 与B 相互独立，则P (AB )=P (A )P (B )，P (A|B )=P (A )，又()()()()()(|)()1()1()()P AB P A AB P A P A P B P A B P A P B P B P B --====--，所以，(|)(|)P A B P A B =.充分性若(|)(|)P A B P A B =，则()()()()()()1()1()()P AB P AB P A AB P A P AB P B P B P B P B --===--，对上式两端化简，得：()()()P AB P A P B =，所以A 与B 相互独立2.证明条件概率的下列性质：(1)若P (B )>0，则0(|)1,(|)1,(|)0P A B P B P B ≤≤Ω=Φ=；(2)若A 与B 互不相容，()0P C >，则(|)(|)(|)P A B C P A C P B C =+U ； (3)(|)1(|)P A B P A B =-.证：(1)因为()(|)()P AB P A B P B =，而0()()P AB P B ≤≤，所以，0(|)1P A B ≤≤，且()()(|)1()()P B P B P B P B P B ΩΩ===，()()(|)0()()P B P P B P B P B ΦΦΦ===； (2)若A 与B 互不相容，则AC 与BC 也互不相容，从而()()()(|)(|)(|)()()P AC BC P AC P BC P A B C P A C P B C P C P C +===+U U ；(3)由性质(2)得：(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+U ，又A A =ΩU ，由性质(1)知，(|)1P B Ω=，所以，(|)(|)1P A B P A B +=，即(|)1(|)P A B P A B =-第二章随机变量及其概率分布一、单项选择题1.设随机变量X 的分布律为则P {X <1}= ( C ).A. 0B. 0.2C. 0.3D. 0.52.设随机变量X 的概率分布为则a =( D ).A. 0.2B. 0.3C. 0.1D. 0.43.设随机变量X 的概率密度为2,1(),0,1c x f x x x ?>?=??≤?则常数c =( D ).A. 1-B. 12C. -12D. 1 4.设随机变量X 的概率密度为3,01(),0,ax x f x ?≤≤?=其它则常数a = ( D ).A. 14B. 12C. 3D. 4 5.下列函数中可作为某随机变量的概率密度函数的是(A ).A.2100,1000,100x x x ?>≤? B.10,00,0x x x ?>≤? C. 1,020,x -≤≤其它 D. 113,2220,x ?≤≤其它6.设函数()f x 在区间[,]a b 上等于sin x ，而在此区间外等于0；若()f x 可以作为某连续型随机变量的概率密度函数，则区间[,]a b 为 ( A ).A. [0,]2πB. [0,]πC. [,0]2π-D. 3[0,]2π 7.下列函数中，可以作为某随机变量X 的分布函数的是 ( C ).A. 0,00.3,01()0.2,121,2x x F x x xB. 0.5,0()0.8,011,1x x F x x xC. 0,00.1,05()0.6,561,6x x F x x xD. 0,2()sin ,021,0x F x x x x ππ?<-=-≤8.设()F x 是随机变量X 的分布函数，则 ( B ).A. ()F x 一定连续B. ()F x 一定右连续C. ()F x 是不增的D. ()F x 一定左连续9.设()()F x P X x =≤是随机变量X 的分布函数，则下列结论错误的是(D ).A.()F x 是定义在(,)-∞+∞上的函数B.lim ()lim ()1x x F x F x →+∞→-∞-= C.()()()P a X b F b F a <≤=- D.对一切实数x ，都有0<()F x <110.设随机变量的概率分布为2()(),(1,2,3...)3k P X k a k ===，则常数a =( B ). A. 1 B. 12C. 2D. 12- 11.已知随机变量X 的分布律为()F x 是X 的分布函数，则F (2.5)=( B ). A. 0.7 B. 0.8 C. 0.1 D. 112.随机变量X 的概率密度2,01()0,x x f x <A.14 B.13 C.12 D.3413.已知随机变量X 的分布律为若随机变量Y =X 2，则P {Y =1}= ( C ).A. 0.1B. 0.3C. 0.4D. 0.214.设随机变量X ~B (4, 0.2)，则P {X >3}= ( A ).A. 0.0016B. 0.0272C. 0.4096D. 0.819215.设随机变量X ~N (1，4)，Y =2X +1，Y ~ ( C).A. N (1, 4)B. N (0, 1)C. N (3, 16)D. N (3, 9)16.设2~(,)X N μσ，()x Φ是N (0, 1)的分布函数，则()P a X b ≤≤= ( D ). A.()()b a Φ-Φ B.()()b a Φ+ΦC.22()()b a μμσσ--Φ-Φ D.()()b a μμσσ--Φ-Φ17.设X ~N (-1，4)，()x Φ是N (0, 1)的分布函数，则P (-2<=""A.12()12Φ- B.(0)(2)Φ-Φ- C.1(2)2Φ- D.(2)(0)Φ-Φ 18.设X ~N (0，1)，()x ?是X 的概率密度函数，则(0)?= (C ).A. 0B. 0.5C. D. 1 19.设X 服从均匀分布U[0，5]，Y =3X +2，则Y 服从( B ).A. U[0, 5]B. U[2, 17]C. U[2, 15]D. U[0, 17]20.某种商品进行有奖销售，每购买一件有0.1的中奖率.现某人购买了20件该商品，用随机变量X 表示中奖的件数，则X 的分布为 ( D ).A.正态分布B.指数分布C.泊松分布D.二项分布21.设X 服从参数2λ=的泊松分布，()F x 是X 的分布函数，则下列正确的选项是 ( B ).A.2(1)F e -=B.2(0)F e -=C.P (X =0)=P (X =1)D.2(1)2P X e -≤=22.设X 服从参数λ的泊松分布，且2(1)(3)3P X P X ===，则λ= ( C ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题1.若2()1P X x β≤=-,1()1P X x α≥=-,其中x 1<="" 2,="" bds fid="604" p="" x="" ≤≤="1" 则12()p="">2.设随机变量X 的概率分布为记Y =X 2, 则P (Y =4)= 0.5 .3.若X 是连续型随机变量, 则P (X =1)= 0 .4.设随机变量X 的分布函数为F (x ), 已知F (2)=0.5, F (-3)=0.1, 则(32)P X -<≤= 0.4 .5.设随机变量X的分布函数为212()xt F x e dt --∞=?,则其密度函数为 .6.设连续型随机变量X 的分布函数为0,0()sin ,021,2x F x x x x ππ??f π= 1/2 . 7.设随机变量X 的分布函数为1,0()0,0x e x F x x -?-≥=?0时, X 的概率密度()f x = 1 . .8.设随机变量X 的分布律为则(01)P X ≤≤= 0.6 .9.设随机变量X ~N (3, 4), 则(45)P X <<= 0.148 .(其中(1)0.8413,(0.5)0.6915Φ=Φ=)10.设随机变量X 服从参数为6的泊松分布, 写出其概率分布律P(X=K)=6K/K! K=0，1，2，3 .11.若随机变量X ~B (4, 0.5), 则(1)P X ≥= 15/16 .12.若随机变量X ~U (0, 5),且Y =2X ,则当010y ≤≤时, Y 的概率密度()Y f y = 1/10 .13.设随机变量X ~N (0, 4)，则(0)P X ≥= 0.5 .14.设随机变量X ~U (-1, 1)，则1(||)2P X ≤= 0.5 . 15.设随机变量X 在[2, 4]上服从均匀分布，则(23)P X <<= 0.5 .。

提纲第一部分 基本概念和基本定理【内容提要】（红色字体部分为复习重点）【释疑解惑】问题1：AB 与AB 是否相等？答：不一定相等．由对偶律可知，AB A B A B ==；而AB A B =．问题2：事件的相容性与独立性在逻辑上是否存在因果关系？ 答：如下表所示，事件的相容性与独立性在逻辑上不存在因果关系．问题3：设()()()P AB P A P B =，()()()P AC P A P C =，()()()P BC P B P C =同时成立，能否推出()()()()P ABC P A P B P C =成立？答：不能（例如第2章课件中的伯恩斯坦反例），由此可以看出“两两独立”和“相互独立”并不等价．问题4：下列式子中的等号何时成立？()()()()()()()(|)()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B A P A P B P A P B P A P B =+-=+-=+-=+答：第一个等号总成立；当()0P A >时，第二个等号成立；当,A B 独立时，第三个等号成立；当,A B 不相容时，第四个等号成立．问题5：不可能事件与零概率事件是否相等？必然事件与概率为1的事件是否相等？ 答：不可能事件是零概率事件，但反之不然； 必然事件是概率为1的事件，但反之亦不然．第二部分 随机变量及其分布【内容提要】（红色字体部分为复习重点）【释疑解惑】问题1：离散型随机变量与连续型随机变量的联系与区别？ 答： 2,，1ii p∞=∑一定成立．连续型随机变量还具有一个特殊性质：0, ()0C P C ξ∀>==，即任一基本事件发生的概率为零．从而可以推出下列结论：①不可能事件是零概率的事件，但反之不然；必然事件是概率为1的事件，但反之亦不然．②()()()()()baP a b P a b P a b P a b f x dx ξξξξ≤≤=<≤=≤<=<<=⎰．问题2：连续型随机变量的密度函数是否一定是连续函数？ 答：不一定，均匀分布的密度函数并不连续．问题3：分布曲线（曲面）是分布函数的图像吗？ 答：不是，分布曲线（曲面）是密度函数的图像．问题4：密度函数是否由分布函数唯一确定？()()dF x f x dx=何时成立？ 答：不是，因为修改密度函数在个别点处的函数值对其积分的值（概率）没有影响． 对()f x 的连续点，有()()dF x f x dx=．问题5：联合分布、边缘分布、条件分布之间的联系与区别？ 答：从分布函数的定义来看，分布函数几何意义联合分布(,)(,)F x y P x y ξη=≤≤边缘分布()(,)(,)F x P x F x ξξη=≤<+∞=+∞条件分布对使得()0f y η>的点y （这个条件不能少），|(,)(|)(|)()P x y F x y P x y P y ξηξηξηη≤==≤===从分布律的定义来看，分布律几何意义联合分布(,)i j ijP x y pξη===•边缘分布律体现为同一行概率求和．•条件分布律体现为ijp在同一行概率中所占的比重．注意：条件分布中“.ip>”的条件不能少！边缘分布.1()i ij ijP x p p ξ∞====∑条件分布当.ip>时，. (|)ijj iip P y xp ηξ===从密度函数的定义来看，密度函数几何意义联合分布(,) f x y边缘分布()(,) f x f x y dy ξ+∞-∞=⎰条件分布对使得()0f yη>的点y，|(,)(|)()f xf xyyyfξηη=注意：条件分布中“()0f yη>”的条件不能少！三种概率分布之间的相互转化关系是ξη，何时可以由ξ和η的边缘分布完全确定联合分布？问题6：给定二维随机变量(,)答：当ξ和η相互独立时，可以由边缘分布完全确定联合分布．ξη的边缘分布是正态分布，能否由此确定联合分布是二维正问题7：已知二维随机变量(,)态分布？答：不能，反例请参考P.146例19．第三部分随机变量的数字特征【内容提要】复习重点：期望、方差、协方差、相关系数的性质．1．期望和方差的定义、性质1,2,Eξ（要求积分绝对收敛）Eg(2．协方差和相关系数的定义、性质【释疑解惑】问题1：是否所有随机变量都存在数学期望？答：不是，反例请参考P.74例22及P.98例7．因为方差本质上是随机变量的函数的期望，所以并非所有随机变量都存在方差．问题2：随机变量的不相关性与独立性是否等价？答：“不相关”是指两个随机变量之间不存在线性函数的关系，“独立”是指两个随机变量不存在任何关系。

概率论与数理统计作业班级 姓名 学号 任课教师第一章 概率论的基本概念教学要求：一、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．二、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式．三、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．重点：事件的表示与事件的独立性；概率的性质与计算．难点：复杂事件的表示与分解；试验概型的选定与正确运用公式计算概率；条件概率的理解与应用；独立性的应用．练习一 随机试验、样本空间、随机事件1.写出下列随机事件的样本空间(1)同时掷两颗骰子，记录两颗骰子点数之和；(2)生产产品直到有5件正品为止，记录生产产品的总件数；(3)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．解：（1）{=Ω2；3；4；5；6；7；8；9；10；11；12}; （2）{=Ω5；6；7；…};（3）(){}1,22≤+=Ωy x y x 2.设C B A ,,三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列事件：（1）A 发生，B 与C 不发生，记为 C B A ；（2）C B A ,,至少有一个发生，记为C B A ；(3) C B A ,,中只有一个发生，记为C B A C B A C B A ；(4）C B A ,,中不多于两个发生，记为ABC ．3.一盒中有3个黑球，2个白球，现从中依次取球，每次取一个，设i A ={第i 次取到黑球}，,2,1=i 叙述下列事件的内涵：（1）21A A ={}次都取得黑球次、第第21.（2）21A A ={}次取得黑球次或地第21.（3）21A A ={}次都取得白球次、第第21 .（4）21A A ={}次取得白球次或地第21. （5）21A A -={}次取得白球次取得黑球，且第第21.4.若要击落飞机，必须同时击毁2个发动机或击毁驾驶舱，记1A ={击毁第1个发动机}；2A ={击毁第2个发动机}；3A ={击毁驾驶舱}；试用1A 、2A 、3A 事件表示=B {飞机被击落}的事件.解：321A A A B =练习二 频率与概率、等可能概型（古典概率）1.若41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P , 163)(=AC P , 求事件A 、B 、C 都不发生的概率.解：由于 ,AB ABC ⊂ 则 ()(),00=≤≤AB P ABC P 得(),0=ABC P 于是()()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=169163414141=-++= 所以()().16716911=-=-=C B A P C B A P 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P === 求B A P ().解：因为 ()()(),AB A P B A P B A P -=-=且,A AB ⊂则()()().AB P A P B A P -= 又 ()()()(),r q p B A P B P A P AB P -+=-+=所以()()()().q r r q p p AB P A P B A P -=-+-=-=3.已知在8只晶体管中有2只次品，在其中任取三次，取后不放回，求下列事件的概率：（1）三只都是正品；（2）两只是正品，一只是次品.解：（1）设=A ｛任取三次三只都是正品｝，则基本事件总数5638==C n ,A 包含基本事件数2036==C m ,于是 ()1455620==A P . （2）设=B ｛任取三次两只是正品，一只是次品｝，则基本事件总数5638==C n ，B 包含基本事件数,301226==C C m 于是().28155630==B P 4.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，（1）求最小号码为6的概率；（2）求最大号码为6的概率．解：（1）设=A ｛最小号码为6｝,则基本事件总数,120310==C n A 包含基本事件数,624==C m 于是().2011206==A P （2）设=B ｛最大号码为6｝，则基本事件总数,120310==C n B 包含基本事件数,1025==C m 于是().12112010==B P 5.一盒中有2个黑球1个白球，现从中依次取球，每次取一个，设i A ={第i 次取到白球}，3,2,1=i . 求)(i A P , 3,2,1=i .解： ()311=A P ; ()=2A P 312312=⨯⨯, ()311231123=⨯⨯⨯⨯=A P . 6.掷两颗均匀的骰子，问点数之和等于7与等于8的概率哪个大？解：样本空间基本事件总数,3666=⨯=n 设=1A ｛点数之和等于7｝，=2A ｛点数之和等于8｝,则=1A ｛()()()()()()3,4;4,3;2,5;5,2;1,6;6,1｝，1A 包含基本事件数等于6 ；=2A ｛()()()()()3,5;5,3;4,4;2,6;6,2｝，2A 包含基本事件数等于5 ;于是 ()613661==A P ; ()3652=A P .所以()()21A P A P > . 7.一批产品共100件，对其抽样检查，整批产品不合格的条件是：在被检查的4件产品中至少有1件是废品．如果在该批产品有5﹪是废品，问该批产品被拒收的概率．解：设=A ｛被检查的4件产品至少有1件废品｝，则()812.05100495==C C A P ;所以 ()()188.01=-=A P A P .8.将3个球随机放入4个杯子中，求杯子中球数的最大值为2的概率．解：基本事件总数34444=⨯⨯=n ，设=A {杯子中球数最大值为2}，则A 包含的基本事件数36131423==C C C m (3个球任取两个，然后4个杯子任取1个放入，再对1个球在3个杯子中任取一个放入)，于是()3436=A P . 练习三 条件概率1.甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名．设甲班有30名同学，而女生15名．求在碰到甲班同学时，正好碰到1名女同学的概率．解：设=A {碰到甲班同学}，=B {碰到乙班同学}，则();7030=A P (),7015=AB P 于是 ()()()5.0301570307015====A P AB P A B P . 2.箱子里有10个白球，5个黄球，10个黑球．从中随机地抽取1个．已知它不是黑球，求它是黄球的概率．解：设=A {任取一个不是黑球}，=B {任取一个是黄球}，则(),532515==A P ();51255==B P 又A B ⊂ ,则()()B P AB P = ,于是()()()315351===A P AB P A B P3.某人有5把钥匙，其中2把能打开房门.从中随机地取1把试开房门，求第3次才打开房门的概率.解：设=i A {第i 次能打开门} ，;3,2,1=i 则 =321A A A {第3次才打开门}，于是由乘法公式有53454.假设某地区位于甲、乙二河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区就遭受水灾．设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2.当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3.求（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；（2）当乙河泛滥时甲河流泛滥的概率.解：设=A {某时期甲河泛滥}，=B =A {某时期乙河泛滥}，则(),1.0=A P ()2.0=B P , ()3.0=A B P于是()()()()()()15.02.03.01.0=⨯===B P A B P A P B P AB P B A P ()()()03.015.02.0=⨯==B A P B P AB P()()()()27.003.02.01.0=-+=-+=AB P B P A P B A P5. 甲、乙两车间加工同一种产品，已知甲、乙两车间出现废品的概率分别为3﹪、2﹪，加工的产品放在一起，且已知甲车间加工的产品是乙车间加工的产品的两倍．求任取一个产品是合格品的概率．解：设=A {任取一个为甲生产的产品}，=B {任取一个产品为废品}，则()()()()%2%,3,31,32====A B P A B P A P A P 由全概率公式有 ()()()()()752100231100332=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P 6.设甲袋中有3个红球及1个白球.乙袋中有4个红球及2个白球.从甲袋中任取一个球（不看颜色）放到乙袋中后，再从乙袋中任取一个球,求最后取得红球的概率．解：设=A {从甲袋中任取一个球为红球}，=B {最后从乙袋中任取一个球为红球}，则 ()()()();74,75,41,43====A B P A B P A P A P 由全概率公式287474 7.玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1和0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机的一次性抽取4只察看，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率．解：设=i A {售货员任取一箱玻璃杯有i 个残品},2,1,0=i ，=B {顾客买下该箱玻璃杯}，则()()();1.0,1.0,8.0210===A P A P A P()()();632.0,8.0,1420418242041910≈====C C A B P C C A B P A B P (1)由全概率公式得()()()()()()()943.0632.01.08.01.018.0221100=⨯+⨯+⨯≈++=A B P A P A B P A P A B P A P B P(2)由贝叶斯公式得 ()()()().848.0943.018.0000≈⨯==B P A B P A P B A P 8.已知一批产品中有95﹪是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率是0.03，求：（1）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；（2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率．解：设=A {任取一个产品为合格品}，=B {任取一个产品被判为合格品}，则()()()();03.0,98.002.01,05.0,95.0==-===A B P A B P A P A P于是（1） 任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率是 ()()()()()9325.003.005.098.095.0=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P（2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率是 ()()()().9984.09325.098.095.0≈⨯==B P A B P A P B A P练习四 事件的独立性1.设甲、乙两人独立射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9和0.8，求在一次射击中目标被击中的概率.解：设 =A {甲击中目标}，=B {乙击中目标}, 则=B A {目标被击中},()()8.0,9.0==B P A P ,于是()()()()()()()().98.08.0098.09.0=⨯-+=-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P2.三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别是41,31,51，问能将此密码译出的概率是多少？解：设=i A {第i 人破译密码} ，;3,2,1=i =B {破译密码}, 则 ()()(),41,31,51321===A P A P A P 321A A A B =, 于是()()()()()()().5343325411111321321321=⨯⨯-=-=-=-=-=A P A P A P A A A P A A A P B P B P3.电路由元件A 与两个并联的元件B 及C 串联而成，且它们工作是相互独立的．设元件A 、B 、C 损坏的概率分别是0.3，0.2，0.2，求电路发生间断的概率.解：设=D {电路正常}，则()C A B A C B AD ==, 则 ()()()()()()()()()()().672.08.08.07.08.07.08.07.0=⨯⨯-⨯+⨯=-+=-+=C P B P A P C P A P B P A P C B A P C A P B A P D P 所以 ()()328.0672.011=-=-=D P D P4. 设每次射击时命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9？解：设至少要进行n 次独立射击，则至少击中一次的概率不小于0.9可表为： ()(),9.0011≥=-=≥k P k P n n由于,2.0=p 则,8.0=q 于是()n n k P 8.0101-==-，所以有,1.08.0≥n 即32.103.0ln 2.0ln =≥n所以至少进行11次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9.综合练习题一、选择题1．设事件B A ，，有A B ⊂，则下列式子正确的是（ A ）.(A ）);()(A P B A P = (B) );()(A P AB P =(C) );()|(B P A B P = (D) ).()()(A P B P A B P -=-2．设A 与B 为两个相互独立的事件，0)(>A P ，0)(>B P ，则一定有=)(B A P ( B).（A ）)()(B P A P + （B ）)()(1B P A P -（C ）)()(1B P A P + （D ）)(1AB P -.3．设B A ,为两事件，且B A ⊃，则下列结论成立的是（ C ）.（A ）A 与B 互斥；（B ） A 与B 互斥；(C)A 与B 互斥；(D) A 与 B 互斥.4．设B A ,为任意两事件，且,0)(,>⊂B P B A 则下列选择必然成立的是（ C ）.(A))|()(B A P A P <； (B) )|()(B A P A P >；(C) )|()(B A P A P ≤； (D) )|()(B A P A P ≥.5．假设事件A 和B 满足1)(=A B P ，则下列正确的是（ D ）．（A ）A 是必然事件； （B ）();0=A B P ； （C ）A B ⊂ ； （D ）B A ⊂.6．对于任意二事件B A ,( B ）.(A) 若AB ≠∅，则B A ,一定独立； (B) ,AB ≠∅则B A ,有可能独立；(C) AB =∅，则B A ,一定独立； (D) AB ≠∅，则B A ,一定不独立；7．若事件A 和B 满足)}(1)}{(1{)(B P A P B A P --= ，则正确的是（ D ）．（A ）互不相容与B A ； （B ） 互不相容与B A ；（C ） B A ⊃； （D ） 互为独立与B A ．8．设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则（ B ）．（A ）1)()()(-+≤B P A P C P ； （B ）1)()()(-+≥B P A P C P ；（C ）)()(AB P C P =； （D ）)()(B A P C P =.9．设B A 、是两个事件，则=-)(B A P ( C )．（A ）)()(B P A P -； （B ）)()()(AB P B P A P +-；(C) )()(AB P A P -； (D) )()()(AB P B P A P ++.10．设C B A ,,是三个随机事件，41)()()(===C P B P A P ，81)(=AB P ，0)()(==AC P BC P ，则C B A ,,三个随机事件中至少有一个发生的概率是( B )．（A ）43； （B ） 85； （C ） 83； （D ） 81. 11．某学生做电路实验，成功的概率是0(p ﹤p ﹤1)，则在3次重复实验中至少失败1次的概率是（ B ）．（A ）3p ； （B ）31p -； （C ）3)1(p -； （D ）3)1(p -)1()1(22p P p p -+-+.12．设A P B P A P (,7.0)(,8.0)(==|8.0)=B ，则下面结论正确的是（ A ）．（A ）事件A 与B 互相独立； （B ）事件A 与B 互不相容；（C ）;B A ⊂ （D ）).()()(B P A P B A P +=13．下列事件中与A 互不相容的事件是（ D ）（A ）ABC ; (B) C B C B A ; (C) )(C B A ; (D) ))()((B A B A B A .14．若事件A 、B 相互独立且互不相容，则{}=)(),(min B P A P （ C ）．(A) )(A P ； （B ） )(B P ； （C ） 0； （D ） )()(B P A P -.15．,1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P 设则（ A ）．(A) )()|(A P B A P = ； (B) A B =； (C) Φ≠AB ； (D) )()()(B P A P AB P ≠.二、填空题1．已知B A ⊂，3.0)(,2.0)(==B P A P ，则)(B A P - 0 ．2．设7.0)(=A P ,5.0)(=B P ．则的最小值为)(AB P 0.2 ．3．三次独立的试验中，成功的概率相同，已知至少成功一次的概率为2719，则每次试验成功的概率为 1/3 ．4．已知()0.5,()0.8P A P B ==，且(|)0.8 P B A =，则=)(B A P 0.9 ．5. 设5.0)(=A P ,4.0)(=B P ,6.0)|(=B A P ,则)|(B A A P = 20/29 ．6．假设事件A 和B 满足1)(=A B P ，则A 和B 的关系是B A ⊂．7．已知7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，则=)(AB P 0.4 ． 8．已知41)(=A P ,31)(=AB P ,21)(=B A P ,则=)(B A P 1/3 ． 9．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为91，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则=)(A P 2/3 ．10．设C B A ,,构成一个完备事件组，且()0.5,()0.7P A P B ==，则=)(C P 0.2 ．11．设A 与B 为互不相容的事件，0)(>B P ，则=)(B A P 0 ．12.设事件C B A ,,两两互斥，且,4.0)(,3.0)(,2.0)(===C P B P A P则=-])[(C B A P 0.5 .13．设事件A 与B 相互独立，已知1)()(-==a B P A P ,97)(=B A P ,则=a 5/3或4/3 ．14．甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为6.0和5.0，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 3/4 ．15．假设随机事件A 与B 满足),()(B A P AB P =且p A P =)(，则=)(B P p -1．三、应用题1．甲、乙、丙3人同向一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7.如果只有一人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果有2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击中飞机，则飞机一定被击落．求飞机被击落的概率．解:设=i A {第i 人击中飞机}，=i 甲，乙，丙；=i B {i 人击中飞机};3,2,1,0=i ，=C {飞机被击落}；则()()();7.0;5.0;4.0321===A P A P A P()()()()36.03213213211=++=A A A P A A A P A A A P B P ,()()()()41.03213213212=++=A A A P A A A P A A A P B P ,()()14.03213==A A A P B P ;(),2.01=B C P (),6.02=B C P ();13=B C P所以()()()()()()()458.0332211=++=B C P B P B C P B P B C P B P C P2．甲、乙2人投篮命中率分别为0.7，0.8，每人投篮三次，求（1）两人进球数相等的概率；（2）甲比乙进球数多的概率． 解：设=i A {甲人三次投篮进i 个球}，=i B {乙人三次投篮进i 个球}，则()(),027.07.0130=-=A P ()(),189.07.017.02131=-⨯⨯=C A P()()(),411.07.017.02232=-⨯⨯=C A P ()();343.07.03333=⨯=C A P()(),008.08.0130=-=B P ()(),096.08.018.02131=-⨯⨯=C B P()()(),384.08.018.02232=-⨯⨯=C B P ()();512.08.033==B P(1)=C {两人进球相等}33221100B A B A B A B A =,()()()()()()()()()()()()();36332.03322110033221100=+++=+++=B P A P B P A P B P A P B P A P B A P B A P B A P B A P C P (2)=D { 甲比乙进球数多}331303120201B A B A B A B A B A B A =()()()()()()()()()()()()().21476.0231303120201=+++++=B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P D P3．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3.该射手3发子弹得到不小于29环的概率．解：设=1A {命中10环}，=2A {命中9环}，则;,2121Ω=Φ=A A A A 于是=B {3发子弹得到不小于29环}={3发子弹均为10环} {有2发击中10环}，所以()()()()()()784.03.07.03.07.023223033333=⨯⨯+⨯⨯=+=C C P P B P4．有2500人参加人寿保险，每年初每人向保险公司交付保险费12元．若在这一年内投保人死亡，则其家属可以向保险公司领取2000元．假设每人在这一年内死亡的概率都是0.002，求保险公司获利不少于10000元的概率．解：设参加保险的人中有x 人死亡，当,100002000122500≥-⨯x 即10≤x 时，保险公司获利不少于10000元。

标题：概率统计教学大纲引言：概率统计作为一门重要的数学学科，在现代社会中扮演着不可或缺的角色。

它利用数学方法研究随机事件的规律和数理关系，为决策和预测提供科学的依据。

为了培养学生掌握概率统计的基本理论和方法，促进其对现实问题的分析和解决能力的提升，本教学大纲旨在明确课程目标、教学内容、教学方法和评价方式，为概率统计课程的有效教学提供指导。

一、课程目标本课程旨在培养学生对概率统计理论的理解和应用能力，以及解决实际问题的能力。

具体目标如下：1. 掌握基本概率统计概念，包括样本空间、随机事件、概率、随机变量等；2. 理解概率统计的基本原理和方法，如概率分布、参数估计、假设检验等；3. 掌握概率统计在实际问题中的应用，包括风险分析、质量控制、市场调查等；4. 培养学生的逻辑思维和问题分析能力，提高科学研究和决策能力。

二、教学内容1. 概率基础知识a. 样本空间和随机事件b. 概率的定义和性质c. 条件概率和独立性d. 事件的组合与分解2. 随机变量及其概率分布a. 随机变量的概念和分类b. 离散随机变量及其概率分布c. 连续随机变量及其概率密度函数d. 期望和方差3. 多维随机变量及其概率分布a. 多维随机变量的联合分布和边缘分布b. 多维随机变量的独立性和相关性c. 条件概率分布和条件期望4. 参数估计与假设检验a. 参数估计的基本原理和方法b. 置信区间和假设检验的基本原理和方法c. 假设检验的常见应用5. 概率统计在实际问题中的应用a. 风险分析与决策b. 质量控制与质量改进c. 统计调查与市场研究三、教学方法1. 理论讲授：通过课堂讲授，向学生传授概率统计的基本理论和方法，引导学生深入理解概念和原理。

2. 问题讨论：以案例或实际问题为背景，组织学生讨论和分析，引导学生运用所学知识解决实际问题。

3. 实验操作：安排概率实验和统计分析实验，让学生亲自操作和实践，加深对概率统计的理解和应用能力。

4. 小组合作：组织学生分组进行课堂练习和小组项目，培养学生的团队合作和问题解决能力。

概率论与数理统计复习提纲概率论与数理统计总复习第⼀讲随机事件及其概率⼀随机事件，事件间的关系及运算 1.样本空间和随机事件 2.事件关系,运算和运算律⑴事件的关系和运算⑶运算律:交换律,结合律,分配律；对偶律: B A B A ?=?,B A B A ?=?；⼆概率的定义和性质 1.公理化定义(P7)2.概率的性质(P8.五个) ⑴)(1)(A P A P -=；⑵)()()()(AB P B P A P B A P -+=?；3.古典概型和⼏何概型4.条件概率 )()()|(A P AB P A B P =三常⽤的计算概率的公式1.乘法公式 )()()()()(B A P B P A B P A P AB P ==2.全概率公式和贝叶斯公式(P17-20.) 四事件的独⽴性1.定义:A 和B 相互独⽴ )()(B P A B P =或)()()(B P A P AB P ?=，2.贝努利试验在n 重贝努利试验中，事件=k A {A 恰好发⽣k 次})0(n k ≤≤的概率为：k n nk n k p p C A P --=)1()(第⼆讲随机变量及其概率分布⼀随机变量及其分布函数1.随机变量及其分布函数 )()(x X P x F ≤=)(+∞<<-∞x2.分布函数的性质(P35.四个)⑴0)(lim =-∞→x F x ；1)(lim =+∞→x F x ；(常⽤来确定分布函数中的未知参数)⑵)()()(a F b F b X a P -=≤<(常⽤来求概率) ⼆离散型随机变量及其分布律1.分布律2.常⽤的离散型分布三连续型随机变量 1.密度函数 ?∞-=xdt t f x F )()(2.密度函数的性质(P39.七个) ⑴1)(=?+∞∞-dx x f ；（常⽤来确定密度函数中的参数）⑵?=≤adx x f b X a P )()(；（计算概率的重要公式）⑶对R x ∈?，有0)(==c X P (换⾔之,概率为0的事件不⼀定是不可能事件). 3.常⽤连续型分布重点:正态分布:)0,(21)(22)(>=--σσµσπσµ都是常数，x ex f标准正态分布)1,0(N :2221)(x ex -=π四随机变量函数的分布1.离散情形设X 的分布律为则)(X g Y =的分布律为2.连续情形设X 的密度函数为)(x f X ,若求)(X g Y =的密度函数,先求Y 的分布函数,再通过对其求导,得到Y 的密度函数。

概率论与数理统计课后习题答案1. 引言概率论与数理统计是统计学的基础课程之一，通过学习这门课程，我们可以理解和运用概率和统计的概念和方法，从而分析和解决实际问题。

本文档将提供《概率论与数理统计》课后习题的详细答案。

2. 习题答案第一章：概率论的基本概念和基本原理1.1 选择题a.概率是以【答案】】D.形式结果给出的。

b.从一副有 52 张牌的扑克牌中，任意取一张牌，其点数是 7 的概率是【答案】】C.$\\frac{4}{52}$。

1.2 计算题a.设 A, B 是两个事件，已知 P(A) = 0.5，P(B) = 0.4，且P(A ∪ B) = 0.7，求P(A ∩ B)。

【解答】根据概率的加法定理可知，P(P∪P)=P(P)+P(P)−P(P∩P)代入已知数据，得到：0.7=0.5+0.4−P(P∩P)解上式得到P(A ∩ B) = 0.2。

所以，P(A ∩ B) = 【答案】0.2。

b.有两个相互独立的事件 A 和 B，且 P(A) = 0.3，P(A∪ B) = 0.5，求 P(B)。

【解答】由于事件 A 和 B 是相互独立的，所以根据概率的乘法定理可知，P(P∪P)=P(P)×P(P)代入已知数据，得到：0.5=0.3×P(P)解上式得到 P(B) = 0.5 ÷ 0.3 = 1.67。

所以，P(B) = 【答案】1.67。

第二章：随机变量及其分布2.1 选择题a.设 X 是一个随机变量，其概率密度函数为：$$ f(x) = \\begin{cases} \\frac{1}{2}x & 0 < x < 2 \\\\ 0 &其他 \\end{cases} $$则 P(X < 1) = 【答案】】C. 0.25。

b.对 X 的分布函数 F(x) = 1 - e^{-x}, 其中x ≥ 0，下列说法中错误的是【答案】】B. F(x) 是一个概率密度函数。

《概率论与数理统计》总复习提纲第一块随机事件及其概率内容提要基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，几何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独立性，贝努里试验.1、随机试验、样本空间与随机事件（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为.1）试验可在相同的条件下重复进行；2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果；3）每次试验前不能确定哪一个结果会出现.（2）样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间记为Ω；试验的每一个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为.（3）随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的子集，必然事件（记为）和不可能事件（记为）.2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件发生必导致发生”，记为或；且.（2）互不相容性：；互为对立事件且.（3）独立性：（1）设为事件，若有，则称事件与相互独立. 等价于：若().（2）多个事件的独立：设是n个事件，如果对任意的，任意的，具有等式，称个事件相互独立．3、事件的运算（1）和事件（并）：“事件与至少有一个发生”，记为.（2）积事件（交）：“事件与同时发生”，记为或.（3）差事件、对立事件(余事件)：“事件发生而不发生”，记为称为与的差事件；称为的对立事件；易知：.4、事件的运算法则1) 交换律：，；2) 结合律：，；3) 分配律：，；4) 对偶(De Morgan)律：，，可推广5、概率的概念（1）概率的公理化定义：（2）频率的定义：事件在次重复试验中出现次，则比值称为事件在次重复试验中出现的频率，记为，即.（3）统计概率：称为事件的（统计）概率.在实际问题中，当很大时，取（4）古典概率：若试验的基本结果数为有限个，且每个事件发生的可能性相等，则（试验对应古典概型）事件发生的概率为：.（5）几何概率：若试验基本结果数无限，随机点落在某区域g的概率与区域g的测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其位置及形状无关，则（试验对应几何概型），“在区域中随机地取一点落在区域中”这一事件发生的概率为：.（6）主观概率：人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的个人信念.6、概率的基本性质（1）不可能事件概率零：＝0.（2）有限可加性：设是n个两两互不相容的事件，即＝，（），则有＝＋.（3）单调不减性：若事件，且.（4）互逆性：且.（5）加法公式：对任意两事件，有－；此性质可推广到任意个事件的情形.（6）可分性：对任意两事件，有，且7、条件概率与乘法公式（1）条件概率：设是两个事件，即，则称为事件发生的条件下事件发生的条件概率．（2）乘法公式：设且则称为事件的概率乘法公式.8、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式（1）全概率公式：设是的一个划分，且，，则对任何事件，有称为全概率公式.（2）贝叶斯(Bayes)公式：设是的一个划分，且，则对任何事件，有称为贝叶斯公式或逆概率公式.9、贝努里(Bernoulli)概型（1）只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为．也叫做“成功—失败”试验,“成功”的概率常用表示，其中＝“成功”.（2）把重复独立地进行次，所得的试验称为重贝努里试验，记为．（3）把重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为．以上三种贝努里试验统称为贝努里概型．（4）中成功次的概率是：其中.疑难分析1、必然事件与不可能事件必然事件是在一定条件下必然发生的事件，不可能事件指的是在一定条件下必然不发生的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的方便，把它们看作特殊的随机事件.2、互逆事件与互斥（不相容）事件如果两个事件与必有一个事件发生，且至多有一个事件发生，则、为互逆事件；如果两个事件与不能同时发生，则、为互斥事件.因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆，而互斥适用与多个事件的情形.作为互斥事件在一次试验中两者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且只发生一个.3、两事件独立与两事件互斥两事件、独立，则与中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关，这时；而两事件互斥，则其中任一个事件的发生必然导致另一个事件不发生，这两事件的发生是有影响的，这时.可以用图形作一直观解释.在图1.1左边的正方形中，图1.1，表示样本空间中两事件的独立关系，而在右边的正方形中，，表示样本空间中两事件的互斥关系.4、条件概率与积事件概率是在样本空间内，事件的概率，而是在试验增加了新条件发生后的缩减的样本空间中计算事件的概率.虽然、都发生，但两者是不同的，一般说来，当、同时发生时，常用，而在有包含关系或明确的主从关系时，用.如袋中有9个白球1个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题（1）求的就是一个积事件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题.5、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，而该结果又不能简单地看作这诸多事件之和时，可考虑用全概率公式，在对样本空间进行划分时，一定要注意它必须满足的两个条件.贝叶斯公式用于试验结果已知，追查是何种原因（情况、条件）下引发的概率.第二块随机变量及其分布内容提要基本内容：随机变量，随机变量的分布的概念及其性质，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率分布，常见随机变量的分布，随机变量函数的分布.1、随机变量设是随机试验的样本空间，如果对于试验的每一个可能结果，都有唯一的实数与之对应，则称为定义在上的随机变量，简记为.随机变量通常用大写字母等表示.2、离散型随机变量及其分布列如果随机变量只能取有限个或可列个可能值，则称为离散型随机变量.如果的一切可能值为，并且取的概率为，则称为离散型随机变量的概率函数（概率分布或分布律）.也称分布列，常记为其中.常见的离散型随机变量的分布有：（1）两点分布（0-1分布）：记为，分布列为或（2）二项分布：记为，概率函数（3）泊松分布，记为，概率函数泊松定理设是一常数，是任意正整数，设，则对于任一固定的非负整数，有.当很大且很小时，二项分布可以用泊松分布近似代替，即，其中（4）超几何分布：记为，概率函数，其中为正整数，且.当很大，且较小时，有（5）几何分布：记为，概率函数.3、分布函数及其性质分布函数的定义：设为随机变量，为任意实数，函数称为随机变量的分布函数.分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下性质：（1）有界性；（2）单调性如果，则；（3）右连续，即；（4）极限性；（5）完美性.4、连续型随机变量及其分布分布如果对于随机变量的分布函数，存在非负函数，使对于任一实数，有，则称为连续型随机变量.函数称为的概率密度函数.概率密度函数具有以下性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）如果在处连续，则.常用连续型随机变量的分布：（1）均匀分布：记为，概率密度为分布函数为（2）指数分布：记为，概率密度为分布函数为（3）正态分布：记为，概率密度为，相应的分布函数为当时，即时，称服从标准正态分布.这时分别用和表示的密度函数和分布函数，即具有性质：①.②一般正态分布的分布函数与标准正态分布的分布函数有关系：.5、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数的分布设为离散型随机变量，其分布列为(表2-2)：表2-2…………则任为离散型随机变量，其分布列为(表2-3)：表2-3…………有相同值时，要合并为一项，对应的概率相加.（2）连续型随机变量函数的分布设为离散型随机变量，概率密度为，则的概率密度有两种方法可求.1）定理法：若在的取值区间内有连续导数，且单调时，是连续型随机变量，其概率密度为.其中是的反函数.2）分布函数法：先求的分布函数然后求.疑难分析1、随机变量与普通函数随机变量是定义在随机试验的样本空间上，对试验的每一个可能结果，都有唯一的实数与之对应.从定义可知：普通函数的取值是按一定法则给定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；又普通函数的定义域是一个区间，而随机变量的定义域是样本空间.2、分布函数的连续性定义左连续或右连续只是一种习惯.有的书籍定义分布函数左连续，但大多数书籍定义分布函数为右连续. 左连续与右连续的区别在于计算时，点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于，故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由于，则定义左连续或右连续时值就不相同，这时，就要注意对定义左连续还是右连续.第三块多维随机变量及其分布内容提要基本内容：多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的联合分布列，二维连续型随机变量的联合分布函数和联合密度函数，边际分布，随机变量的独立性和不相关性，常用多维随机变量，随机向量函数的分布.1、二维随机变量及其联合分布函数为n维(n元)随机变量或随机向量.联合分布函数的定义设随机变量,为随机向量的联合分布函数二维联合分布函数具有以下基本性质：（1）单调性是变量或的非减函数；（2）有界性；（3）极限性（3）连续性关于右连续，关于也右连续；（4）非负性对任意点，若，则.式表示随机点落在区域内的概率为：.2、二维离散型随机变量及其联合分布列如果二维随机变量所有可能取值是有限对或可列对，则称为二维离散型随机变量.设为二维离散型随机变量,它的所有可能取值为将或表3.1称为的联合分布列.表3.1……┇┇…………┇┇…┇………┇┇…┇…联合分布列具有下列性质：（1）；（2）.3、二维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在一个非负函数,使得二维随机变量的分布函数对任意实数有，则称是二维连续型随机变量，称为的联合密度函数（或概率密度函数）.联合密度函数具有下列性质：（1）非负性对一切实数，有；（2）规范性；（3）在任意平面域上，取值的概率；（4）如果在处连续，则.4、二维随机变量的边缘分布设为二维随机变量，则称分别为关于和关于的边缘（边际）分布函数.当为离散型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘分布列.当为连续型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘密度函数.5、二维随机变量的条件分布（了解）（1）离散型随机变量的条件分布设为二维离散型随机变量，其联合分布律和边缘分布列分别为，则当固定，且时，称为条件下随机变量的条件分布律.同理，有（2）连续型随机变量的条件分布设为二维连续型随机变量，其联合密度函数和边缘密度函数分别为：.则当时，在和的连续点处，在条件下，的条件概率密度函数为.同理，.6、随机变量的独立性设及分别是的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数有则称随机变量与相互独立.设为二维离散型随机变量，与相互独立的充要条件是.设为二维连续型随机变量，与相互独立的充要条件是对几乎一切实数，有.7、两个随机变量函数的分布设二维随机变量的联合概率密度函数为，是的函数，则的分布函数为.（1）的分布若为离散型随机变量，联合分布列为，则的概率函数为：或.若为连续型随机变量，概率密度函数为，则的概率函数为：.（2）的分布若为连续型随机变量，概率密度函数为，则的概率函数为：.8．最大值与最小值的分布则9．数理统计中常用的分布（1）正态分布：（2）：（3）：（4）：疑难分析1、事件表示事件与的积事件，为什么不一定等于？如同仅当事件相互独立时，才有一样，这里依乘法原理.只有事件与相互独立时，才有，因为.2、二维随机变量的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布，因而也唯一确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯一确定联合分布.但由知，一个条件分布和它对应的边缘分布，能唯一确定联合分布.但是，如果相互独立，则，即.说明当独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件分布也唯一确定联合分布.3、两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？为什么？两个随机变量相互独立，是指组成二维随机变量的两个分量中一个分量的取值不受另一个分量取值的影响，满足.而两个事件的独立性，是指一个事件的发生不受另一个事件发生的影响，故有.两者可以说不是一个问题.但是，组成二维随机变量的两个分量是同一试验的样本空间上的两个一维随机变量，而也是一个试验的样本空间的两个事件.因此，若把“”、“”看作两个事件，那么两者的意义近乎一致，从而独立性的定义几乎是相同的.第四块随机变量的数字特征内容提要基本内容：随机变量的数学期望和方差、标准差及其性质，随机变量函数的数学期望，原点矩和中心矩，协方差和相关系数及其性质.1、随机变量的数学期望设离散型随机变量的分布列为，如果级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量的数学期望.设连续型随机变量的密度函数为，如果广义积分绝对收敛，则称此积分值为随机变量的数学期望.数学期望有如下性质：（1）设是常数，则；（2）设是常数，则；（3）若是随机变量，则；对任意个随机变量，有；（4）若相互独立，则；对任意个相互独立的随机变量，有.2、随机变量函数的数学期望设离散型随机变量的分布律为，则的函数的数学期望为，式中级数绝对收敛.设连续型随机变量的密度函数为，则的函数的数学期望为，式中积分绝对收敛.3、随机变量的方差设是一个随机变量，则称为的方差.称为的标准差或均方差.计算方差也常用公式.方差具有如下性质：（1）设是常数，则；（2）设是常数，则；（3）若相互独立，则；对任意个相互独立的随机变量，有；（4）的充要条件是：存在常数，使.4、几种常见分布的数学期望与方差（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.5、矩设是随机变量，则称为的阶原点矩.如果存在，则称为的阶中心矩.设是二维随机变量，则称为的阶混合原点矩；称为的阶混合中心矩.6、协方差与相关系数随机变量的协方差为.它是1+1阶混合中心矩，有计算公式：.随机变量的相关系数为.相关系数具有如下性质：（1）；（2）存在常数，使=1，即与以概率1线性相关；（3）若独立，则，即不相关.反之，不一定成立.（4）(Schwarz inequality) 设(X,Y)是二维随机变量,若X与Y的方差都存在,则疑难分析1、随机变量的数字特征在概率论中有什么意义？知道一个随机变量的分布函数，就掌握了这个随机变量的统计规律性.但求得一个随机变量的分布函数是不容易的，而且往往也没有这个必要.随机变量的数字特征则比较简单易求，也能满足我们研究分析具体问题的需要，所以在概率论中很多的应用，同时也刻画了随机变量的某些特征，有重要的实际意义.例如，数学期望反映了随机变量取值的平均值，表现为具体问题中的平均长度、平均时间、平均成绩、期望利润、期望成本等；方差反映了随机变量取值的波动程度；偏态系数、峰态系数则反映了随机变量取值的对称性和集中性.因此，在不同的问题上考察不同的数字特征，可以简单而切实地解决我们面临的实际问题.2、在数学期望定义中为什么要求级数和广义积分绝对收敛？首先，数学期望是一个有限值；其次，数学期望反映随机变量取值的平均值.因此，对级数和广义积分来说，绝对收敛保证了值的存在，且对级数来说，又与项的次序无关，从而更便于运算求值.而由于连续型随机变量可以离散化，从而广义积分与无穷级数有同样的意义.要求级数和广义积分绝对收敛是为了保证数学期望的存在与求出.3、相关系数反映了随机变量和之间的什么关系？相关系数是用随机变量和的协方差和标准差来定义的，它反映了随机变量和之间的相关程度.当时，称与依概率1线性相关；当时，称与不相关；当时，又分为强相关与弱相关.4、两个随机变量与相互独立和不相关是一种什么样的关系？（1）若、相互独立，则、不相关.因为、独立，则，故，从而，所以、不相关.（2）若、不相关，则、不一定独立.如：因为，，知、不相关.但，,,知、不独立.（3）若、相关，则、一定不独立.可由反证法说明.（4）若、不相关，则、不一定不相关.因为、不独立，，但若时，可以有，从而可以有、不相关.但是，也有特殊情况，如服从二维正态分布时，、不相关与、独立是等价的.第五块大数定律和中心极限定理内容提要基本内容：切比雪夫（Chebyshev）不等式，切比雪夫大数定律，伯努里（Bernoulli）大数定律，辛钦（Khinchine）大数定律，棣莫弗-拉普拉斯（De Moivre-Laplace）定理，列维-林维德伯格(Levy-Lindberg)定理.1、切贝雪夫不等式设随机变量的数学期望，方差，则对任意正数，有不等式或成立.2、大数定律（1）切贝雪夫大数定律:设是相互独立的随机变量序列，数学期望和方差都存在，且，则对任意给定的，有.（2）贝努利大数定律:设是次重复独立试验中事件发生的次数，是事件在一次试验中发生的概率，则对于任意给定的，有.贝努利大数定理给出了当很大时，发生的频率依概率收敛于的概率，证明了频率的稳定性.(3)辛钦大数定律：设相互独立,服从同一分布的随机变量序列,且(),则对任意给定的，有3、中心极限定律（1）林德贝格-勒维中心极限定理:设是独立同分布的随机变量序列，有有限的数学期望和方差，，.则对任意实数，随机变量的分布函数满足.（2）李雅普诺夫定理:设是不同分布且相互独立的随机变量，它们分别有数学期望和方差：,.记,若存在正数，，使得当时，有, 则随机变量的分布函数对于任意的，满足.当很大时,.（3）德莫佛—拉普拉斯定理:设随机变量服从参数为的二项分布，则对于任意的，恒有.疑难分析1、依概率收敛的意义是什么？依概率收敛即依概率1收敛.随机变量序列依概率收敛于，说明对于任给的，当很大时，事件“”的概率接近于1.但正因为是概率，所以不排除小概率事件“”发生.依概率收敛是不确定现象中关于收敛的一种说法.2、大数定律在概率论中有何意义？大数定律给出了在试验次数很大时频率和平均值的稳定性.从理论上肯定了用算术平均值代替均值，用频率代替概率的合理性，它既验证了概率论中一些假设的合理性，又为数理统计中用样本推断总体提供了理论依据.所以说，大数定律是概率论中最重要的基本定律.3、中心极限定理有何实际意义？许多随机变量本身并不属于正态分布，但它们的极限分布是正态分布.中心极限定理阐明了在什么条件下，原来不属于正态分布的一些随机变量其总和分布渐进地服从正态分布.为我们利用正态分布来解决这类随机变量的问题提供了理论依据.4、大数定律与中心极限定理有何异同？相同点：都是通过极限理论来研究概率问题，研究对象都是随机变量序列，解决的都是概率论中的基本问题，因而在概率论中有重要意义.不同点：大数定律研究当时，概率或平均值的极限，而中心极限定理则研究随机变量总和的分布的极限.古今名言敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子己所不欲，勿施于人——孔子读书破万卷，下笔如有神——杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦书犹药也，善读之可以医愚——刘向莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。

《概率论与数理统计》复习大纲与复习题07-08第一学期一、复习方法与要求学习任何数学课程，要求掌握的都是基本概念、基本定理、基本方法，《概率论与数理统计》同样.对这些基本内容，习惯称三基，自己作出罗列与总结是学习的重要一环，希望尝试自己完成.学习数学离不开作题，复习时同样.正因为要求掌握的是基本内容，将课件中提供的练习题作好就可以了，不必再找其他题目.如开学给出的学习建议中所讲：作为本科的一门课程，在课件中我们讲述了大纲所要求的基本内容.考虑到学员的特点，在学习中可以有所侧重.各章内容要求与所占分值如下：第一章介绍的随机事件的关系与运算，概率的基本概念与关系. 约占30分.第二章介绍的一维随机变量的分布. 约占25分.第三章二维随机变量的分布，主要要求掌握二维离散型随机变量的联合分布律、边缘分布律以及随机变量独立的判别. 约占10分.第四章介绍的随机变量的数字特征. 约占15分.第五、六、七、八章约占20分.内容为第五章的中心极限定理.分布）；第六章介绍的总体、样本、统计量等术语；常用统计量的定义式与分布（t分布、2正态总体样本函数服从分布定理.第七章的矩估计与一个正态总体期望与方差的区间估计.第八章一个正态总体期望与方差的假设检验.对上述内容之外部分，不作要求.二、期终考试方式与题型本学期期终考试采取开卷形式，即允许带教材与参考资料.题目全部为客观题，题型有判断与选择.当然有些题目要通过计算才能得出结果.其中判断题占70分，每小题2分；选择题占30分，每小题3分.三、应熟练掌握的主要内容1.了解概率研究的对象——随机现象的特点；了解随机试验的条件.2. 理解概率这一指标的涵义.3. 理解统计推断依据的原理，会用其作出判断.4. 从发生的角度理解事件的包含、相等、和、差、积、互斥、对立的定义，掌握样本空间划分的定义.5. 熟练掌握用简单事件的和、差、积、划分等表示复杂事件 掌握事件的常用变形：AB A B A -=- （使成包含关系的差），A B -=AB （独立时计算概率方便）A B A AB +=+（使成为两互斥事件的和）12n A AB AB AB =+++（n B B B 、、、其中 21是一个划分）（利用划分将A 转化为若干互斥事件的和）A AB AB =+（B B 与即一个划分）6. 掌握古典概型定义，熟悉其概率计算公式.掌握摸球、放盒子、排队等课件所举类型概率的计算.7. 熟练掌握事件的和、差、积、独立等基本概率公式，以及条件概率、全概、逆概公式，并利用它们计算概率.8. 掌握离散型随机变量分布律的定义、性质，会求简单离散型随机变量的分布律.9. 掌握（0-1）分布、泊松分布、二项分布的分布律 10. 掌握一个函数可以作为连续型随机变量的概率密度的充分必要条件11. 掌握随机变量的分布函数的定义、性质，一个函数可以作为连续型随机变量的分布函数的条件.12. 理解连续型随机变量的概率密度曲线、分布函数以及随机变量取值在某一区间上的概率的几何意义13. 掌握随机变量X 在区间（a ，b ）内服从均匀分布的定义，会写出X 的概率密度. 14. 掌握正态分布2(,)N μσ概率密度曲线图形； 掌握一般正态分布与标准正态分布的关系定理； 会查正态分布函数表；理解服从正态分布μ(N ),2σ的随机变量X ，其概率{P |X-μ|<σ}与参数μ和σ的关系. 15. 离散型随机变量有分布律会求分布函数；有分布函数会求分布律.16. 连续型随机变量有概率密度会求分布函数；有分布函数，会求概率密度. 17. 有分布律或概率密度会求事件的概率.18. 理解当概率()0P A =时，事件A 不一定是不可能事件；理解当概率()1P A =时，事件A 不一定是必然事件. 19. 掌握二维离散型随机变量的联合分布律定义；会利用二维离散型随机变量的联合分布律计算有关事件的概率；有二维离散型随机变量的联合分布律会求边缘分布律以及判断是否独立； 会确定二维离散型随机变量函数的分布.20.掌握期望、方差、协方差、相关系数的定义式与性质，会计算上述数字；了解相关系数的意义，线性不相关与独立的关系.21. 掌握（0-1）分布、泊松分布、二项分布、均匀分布、正态分布、指数分布的参数 与期望、方差的关系.22. 会用中心极限定理计算概率.理解拉普拉斯中心极限定理的涵义是：设随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，当n 较大时，~(,)X N np npq 近似，其中1q p =-23.了解样本与样本值的区别，掌握统计量，样本均值与样本方差的定义.24. 了解2χ分布、t 分布的背景、概率密度图象，会查两个分布的分布函数表，确定上α分位点.25. 了解正态总体2(,)N μσ中，样本容量为n 的样本均值X 与22)1(σS n -服从的分布.26. 掌握无偏估计量、有效估计量定义. 27. 会计算参数的矩估计.28. 会计算正态总体2(,)N μσ参数μ与2σ的区间估计.29. 掌握一个正态总体2(,)N μσ，当2σ已知或未知时，μ的假设检验，2σ的假设检验.30.了解假设检验的两类错误涵义四、复习题注 为了方便学员复习，提供复习题如下，这些题目都是课件作业题目的改造，二者相辅相成，希望帮助大家学懂基本知识点. 期终试卷中70分的题目抽自复习题.（一）判断题第一章 随机事件与概率 1.写出下列随机试验的样本空间（1） 一枚硬币掷三次，观察硬币字面朝上的次数，样本空间为S={}0,123，，. √ （2）袋中有编号为1、2、3的3个球，从中随机取2个，样本空间为{(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)}S = . ╳2. 袋中有编号为1、2、3、4、5的5个球，从中随机取一个.设A =（取到1、2、3号球），B =（取到奇数号球），C =（取到3、4、5号球），D =（取到4、5号球），E =（取到2号球），则（1）A B +=（取到1、1、2、3、3、5号球）；╳ （2）\A B E ≠（取到2号球）； ╳ （3）CD = （取到1、2、3、4、5号球）； ╳ （4）\C D = （取到3号球）； √ （5）A D +=（取到1、2、3、4、5号球）； √ （6）AD =（取到1、2、3、4、5号球）. ╳ 3. 甲、乙二人打靶，每人射击一次，设A ，B 分别为甲、乙命中目标，用A 、B 事件的关系式表示下列事件，则（1）（甲没命中目标）AB = ； ╳ （2）（甲没命中目标）A = ； √ （3）（甲、乙均命中目标）A B =+； ╳ （4）（甲、乙均命中目标）AB = . √ 4.一批产品中有3件次品，从这批产品中任取5件检查，设i A =（5件中恰有i 件次品），i=0,1,2,3 叙述下列事件，则（1）0A =（5件中恰有0件次品）=（5件中没有次品）；√（2）0A =（5件中恰有1件次品）； ╳（3）0A =（5件中至少有1件次品）； √ （4）3A =（5件中最多有2件次品）； ╳ （5）23A A + =（5件中至少有3件次品）； ╳ （6）23A A + =（5件中至少有2件次品）. √ 5.指出下列命题中哪些成立，哪些不成立？（1）B A A B A +≠+；╳（2）A B AB AB AB +=++ ；√（3）AB A B A -=-；√（4）A B AB -≠；╳ （5）ABC A B C =；╳ （6）ABC A B C =++ . √6. 袋中有编号为1、2、3、4、5的5个球，从中随机取一个.设A =（取到1、2、3号球），B =（取到奇数号球），C =（取到3、4、5号球），D =（取到4、5号球），E =（取到2号球），则（1）3()5P A =； √ （2）4()()()5P B E P B P E +=+= ； √（3）4()()()5P A E P A P E +=+= ；╳ （4）3()()5P A E P A +== ； √（5） ()()()P A B P A P B +=+； ╳ （6）4()5P A B += . √7.（1）设事件A 、B 互斥，2.0)(=A P ， )(B P =0.3 ，则 5.0)(=+B A P . √ （2） 设事件A 、B 互斥，2.0)(=A P ，5.0)(=+B A P 则)(B P =0.7 . ╳（3） 设()0.5P A =，()0.4P B =，()0.7P A B +=， 则()0.2P AB = . √ 8. 设事件,()0.5,A B P A ⊃=()0.2P B = ，则（1）(\)()()0.3P A B P A P B =-= ；√ （2）()()()0.7P A B P A P B +=+= ； ╳ （3）()()0.5P A B P A +== ；√ （4）()0.5P AB = ； ╳（5）()0.2P AB =； √ （6）(\)()()0.3P B A P B P A =-= . √ 9. 箱中有2件次品与3件正品，一次取出两个，则 （1）恰取出2件次品的概率为251C ；√ （2）恰取出2件次品的概率为251A ； ╳ （3）恰取出1件次品1件正品的概率为112325C C C ； √ （4）恰取出1件次品1件正品的概率为112325C C A . ╳ 10.上中下三本一套的书随机放在书架上，则 （1）恰好按上中下顺序放好的概率为3311321A =⨯⨯；√ （2）恰好按上中下顺序放好的概率为13； ╳ （3）上下两本放在一起的概率为3322A ⨯ ； √ （4）上下两本放在一起的概率为332A . ╳11. 若111(),(),()234P A P B P AB === 则 （1） 1()2P B A = √ （2） 2()3P B A = ╳（3） 3()4P A B = √ （4） ()()P A B P A = ╳12. 已知10只电子元件中有2只是次品，在其中取2次，每次任取一只，作不放回抽样，则（1）(P 第一次取到正品8)10= √ （2）(P 第一次取到次品12110)C C = ╳（3）(P 第一次取到正品，第二次取到次品1182210)C C A = ； √ （4）(P 第一次取到正品，第二次取到次品1182210)C C C = ； ╳ （5）(P 第一次取到正品，第二次取到次品82)109=⨯ ； √ （6）(P 一次取到正品，一次取到次品82)109=⨯. ╳13.设甲袋中有6只红球，4只白球，乙袋中有7只红球，3只白球，现在从甲袋中随机取一球，放入乙袋，再从乙袋中随机取一球，则（1）两次都取到红球的概率为⨯681011；√ （2）两次都取到红球的概率为⨯671010； ╳ （3）已知从甲袋取到红球，从乙袋中取到红球的概率为710 ； ╳（4）已知从甲袋取到白球，从乙袋中取到红球的概率为⨯371011. ╳14.某人打靶，命中率为0.2，则下列事件的概率为（1）第一枪没打中的概率为0.8；√ （2）第二枪没打中的概率为0.8； √ （3）第二枪没打中的概率为0.16 ；╳（4）第一枪与第二枪全打中的概率为0.20.20.4+= . ╳ （5）第一枪与第二枪全打中的概率为0.20.20.04⨯= √ （6）第三枪第一次打中的概率为20.80.2⨯. √ 15 .几点概率思想（1）概率是刻画随机事件发生可能性大小的指标；√ （2）随机现象是没有规律的现象； ╳（3）随机现象的确定性指的是频率稳定性，也称统计规律性；√（4）频率稳定性指的是随着试验次数的增多，事件发生的频率接近一个常数；√ （5）实际推断原理为：一次试验小概率事件一般不会发生；√ （6）实际推断原理为：一次试验小概率事件一定不会发生. ╳第二章 随机变量及其分布16.随机变量X 的分布律为1231133p ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则（1）13p = ；√ （2）23p = ╳17.在6只同类产品中有2只次品，4只正品.从中每次取一只，共取5次，每次取出产品立即放回，再取下一只，设X 为5次中取出的次品数，则（1）第3次取到次品的概率为0. ╳ （2）第3次取到次品的概率为13. √ （3）5次中恰取到2只次品的概率{}2522512233P X C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√（4）5次中恰取到2只次品的概率{}25212233P X -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭╳（5）最少取到1只次品的概率{}0505121133P X C ⎛⎫⎛⎫≥=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√（6）最少取到1只次品的概率{}141512133P X C ⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭╳ 18.某交通路口一个月内发生交通事故的次数X 服从参数为3的泊松分布(3)P ，则（1）该交通路口一个月内发生3次交通事故的概率{}31P X ==. ╳（2）该交通路口一个月内发生2次交通事故的概率{}23322!e P X -==. √（3）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率{}13311!e P X -==. ╳（4）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率为{}{}031333010!1!e e P X P X --=+==+. √19. 袋中有2个红球3个白球，从中随机取一个球，当取到红球令1X =，取到白球令0X =，则 （1）称X 为服从01-分布. √ （2）X 为连续型随机变量. ╳（3）X 的分布律为103255⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. ╳ （4）X 的分布律为102355⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. √ 20. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧=1310）（x F 1100≥<≤<x x x ，则 （1）X 的分布律为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323110. √ （2）X 的分布律为012133⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ ╳ （3）{0.5}0P X ≤= ╳ （4）1{0.5}3P X ≤=√ （5）{0.5}0P X ==√ （6）1{0.5}3P X == ╳（7）2{0.5 1.5}3P X <≤= √ （8）{0.5 1.5}1P X <≤= ╳21.设随机变量X 的概率密度01()0Ax x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它 ， 则（1）常数A =2 . √ （2）常数A =1 . ╳ （3）由积分201Ax dx =⎰可以计算常数A. ╳ （4）由积分1Ax dx +∞-∞=⎰可以计算常数A. ╳(5) 由积分11Axdx =⎰可以计算常数A. √22.设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧=02)(x x f 其它10≤≤x ， 则（1）1{01}2P X xdx <<=⎰√ （2） 10.5{0.51}2P X xdx <<=⎰ √ （3）2{02}2P X xdx <<=⎰╳ （4） 0.5{0.5}2P X xdx +∞>=⎰ ╳23.设随机变量X 的分布函数200()0111x F x xx x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，则X 的概率密度 （1）201()0xx f x <<⎧=⎨⎩其它 √ （2）201()0x x f x ⎧<<=⎨⎩其它╳（3）()2f x x x R =∈ ╳ （4）00()20111x f x xx x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩╳ 24.公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过，乘客随机到车站等车，则 （1）乘客候车时间不超过5分钟的概率为12；√ （2）乘客候车时间超过5分钟的概率为12√ （3）乘客候车时间不超过3分钟的概率为310；√（4）乘客候车时间超过3分钟的概率为310. ╳25. 随机变量~(0,1)X N 则 (1){}102P X ≥=√ （2） {}102P X ≤= √ （3） {}{}00P X P X ≥=≤ √ （4）{}{}00P X P X ≥≠≤ ╳ 26. 随机变量)2,3(~2N X 则(1){}52≤<X P =)2/1()1(Φ+Φ ╳ (2) {}104≤<-X P =2)5.3(Φ–1 √ 27. 设01~0.40.6X ⎛⎫⎪⎝⎭，则（1）2Y X =的分布律为020.40.6⎛⎫ ⎪⎝⎭ √ （2）21Y X =+的分布律为130.40.6⎛⎫ ⎪⎝⎭√ 28.设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧=02)(xx f 其它10<<x ,则X e Y =的概率密度为（1）⎩⎨⎧<<=其它01ln )(e y y y f Y ╳ （2）2ln 1()0Y yy e yf y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它√第三章多维随机变量及其分布29.设二维随机变量（X ，Y ）的分布函数为F x y (,)，则 （1）{}2,1≤≤Y X P = F （1,2） √ （2）{}1123131213P X Y F F F -<≤<≤=---,(,)(,)(,) ╳ 30. 设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为（1）Y 的边缘分布律为012020404...⎛⎫⎪⎝⎭╳ （2）X ，Y 不独立 ╳（3）（X ，Y ）的分布函数在116(,.)点的值1610(.,)F = ╳（4）20016{,}.P X Y === √ （5）概率1012{}.P X Y +== ╳（6）Z X Y =-的分布律为101201203204016....-⎛⎫⎪⎝⎭√（7）072().E XY = √ （8）相关系数0XY ρ≠ ╳ 31. 设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则 （1）{}Y X M ,max =的分布律为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛167163166210 √（2）{}Y X N ,min =的分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--167163166012√第四章 随机变量的数字特征32.设随机变量X 的分布律为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41212116121610311 则（1）)(X E =31 √（2）)(2X E = 4/55/]21)2/1(0)1[(22222=++++- ╳ （3）X 的方差D （X ）=7297 √33.设随机变量X 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x xx f 其它2110≤<≤≤x x则（1） )(X E =1 √（2）)(X E =⎰⎰-+211)2(dx x dx x ╳（3）)()(22X E X E -=61 √ （4）X 的方差61)(≠X D ╳34.一批产品中有一、二、三等品，等外品及废品五种，分别占产品总数的70%，10%，10%，6%，4%。

概率统计讲义提纲第一章一、排列组合3.组合：注：0!=1.(1)(2)(1)r nA n n n n r =---+ !rr n n A C r =!()!!n n r r =-二、随机事件及其概率1、概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科.2、随机现象是通过随机试验来研究的. 3．样本空间、样本点4、随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件5、事件之间的关系及运算律含义：A 发生，则B 一定发生含义：A ,B 至少一个发生，or A 发生或B 发生 含义：A ,B 同时发生，or A 发生且B 发生A ,B 互不相容 (互斥)，含义：A ,B 不同时发生 A 的逆事件或对立事件，含义：A 发生，但B 不发生:,.A B A B A B A B ⋅==(4) 德摩根律 （对偶律）例1、用A 、B 、C 表示如下事件1）A 、B 、C 至少有一个发生 A B C2）A 、B 、C 恰有一个发生 3）A 、B 、C 至多有两个发生 ABC A B C =A B ⊂A B=A B ⋃A B⋂A A B ⋂=∅A A S A A ==∅ 且AB A AB AB -=-=ABC ABC A BC例2、一个工人生产了3个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品，i =1,2,3，试用i A （i =1,2,3）表示下列事件：6.频数与频率：在相同的条件下，进行了 n 次试验：7. 概率的统计定义：大量重复同一试验时事件A 发生频率的稳定值。

8. 概率的公理化定义：:)(,,)(,.,满足下列条件如果集合函数的概率件称为事记为赋予一个实数的每一事件对于是它的样本空间是随机试验设⋅P A A P A E S E (1):,()0;对于每一个事件有A P A ≥非负性(2):,()1;S P S =对于必然事件有规范性12(3):,,,,,1,2,, 设是两两互不相容的事件,即对于则有i j A A i j A A i j ≠=∅= 可列可加性1212()()()P A A P A P A =++11()(B );只有第一个零件是合格品22()(B );三个零件中只有一个零件是合格品33(),(B );第一个是合格品但后两个零件中至少有一个次品();4(4)B 三个零件中最多有两个合格品55()(B ).三个零件都是次品11231();B A A A =21231231232();B A A A A A A A A A = 31233()();B A A A = 41234(),B A A A =4123;B A A A = 或51235(),B A A A =5123.B A A A = 或9. 概率的性质： 有限可加性特别，若AB =Φ（互不相容），则()()()P A B P A P B ⋃=+ （3） （减法公式） 特别若B A ⊂，则()()(),()P A BP A P B P B P A-=-≤且对三个事件， 例3、解：（1）（2） P(BA )P(B )P(A )=- （3）).()()()(,)()6(AB P B P A P B A P B A -+= 有对于任意两事件加法公式10()().P ∅=12(2),,,,n A A A 若是两两互不相容的事件则有).()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++= ()()().P A B P AP AB -=-(5),()1().A A P A P A =-设是的对立事件则 (4),() 1.对于任一事件A P A ≤123()P A A A 123122313123()()()()()()().P A P A P A P A A P A A P A A P A A A =++---+113211238A,B ,P(B A ).()A B ;()A B;()P(AB ).⊂=设事件的概率分别为和求在下列三种情况下的值与互斥12P(BA )P(B ).==111236.=-=P(BA )P(B A )=-P(B )P(AB )=-113288.=-=概率统计讲义提纲第一章三、古典概型样本点有限（n 个）：等可能性：古典概率： ()=k P A n例1. 甲、乙两人连续赌四次，每次双方赢的机会均相同，求乙连续赢 4 次的概率？解：A ——乙连赢4次k=1所以 P (A )=1/16例2. 有100件同类型同批次的产品，按性能分成两类：甲40件，乙60件。

《概率论与数理统计》第一章作业一、一批产品中有合格品也有废品，从中有放回地抽取三件产品，以i A (1,2,3)i =表示第i 次抽到废品，试用i A 的运算表示下列事件：1．第一次和第二次至少抽到一次废品；2．只有第一次抽到废品；3．只有一次抽到废品；4．至少有一次抽到废品；5．三次都抽到废品；6．只有两次抽到废品。

解答：1．12A A U ； 2．123A A A ； 3．123123123()()()A A A A A A A A A U U ；4．123A A A U U ； 5．123A A A ； 6．123123123()()()A A A A A A A A A U U 。

二、计算下列各题：1．已知()0.7P A =，()0.4P A B -=，求()P AB ；解：由0.4()()()P A B P A P AB =-=-，得()()()0.70.40.3P AB P A P A B =--=-=； 所以()1()10.30.7P AB P AB =-=-=2．已知()1/3P A =，(|)1/4P B A =，(|)1/6P A B =，求()P A B U ； 解：111()()(|)3412P AB P A P B A ==⨯=； 又因为11()()(|)()126P AB P B P A B P B ===⨯，得1()2P B =； 所以1113()()()()32124P A B P A P B P AB =+-=+-=U3．已知()()1/3P A P B ==，(|)1/6P A B =，求(|)P A B ；解：因为()()(|)P AB P B P A B ==1113618⨯= ()1()1[()()()](|)()1()1()P AB P A B P A P B P AB P A B P B P B P B --+-===--U 1111[]7331811213-+-==-4．设三个事件1A ,2A ,3A 相互独立，且()2/3i P A =，1,2,3i =。

概率统计课后习题答案概率统计是一门研究随机现象的数学分支，它在各个领域都有广泛的应用。

课后习题是巩固和检验学生对课堂知识掌握程度的重要手段。

以下是一些概率统计课后习题的答案示例：习题1：抛一枚均匀的硬币，求正面朝上的概率。

答案：抛一枚均匀硬币，有两种可能的结果：正面朝上和反面朝上。

由于硬币是均匀的，这两种结果发生的概率是相等的。

因此，正面朝上的概率 P(正面) = 1/2。

习题2：一个袋子里有3个红球和2个蓝球，随机抽取一个球，求抽到红球的概率。

答案：袋子里总共有5个球，其中3个是红球。

抽到红球的概率是红球数量除以总球数。

所以，P(红球) = 3/5。

习题3：连续抛两次骰子，求至少出现一次6点的概率。

答案：首先，计算不出现6点的概率。

每次抛骰子，不出现6点的概率是5/6。

连续两次都不出现6点的概率是 (5/6) * (5/6) = 25/36。

因此，至少出现一次6点的概率是 1 - 25/36 = 11/36。

习题4：一个班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。

随机选择3名学生，求至少有1名男生的概率。

答案：首先，计算没有男生的概率。

从15名女生中选择3名，组合数为C(15,3)。

班级中所有可能的3人组合数为 C(30,3)。

没有男生的概率是 C(15,3) / C(30,3)。

至少有1名男生的概率是 1 - C(15,3) /C(30,3)。

习题5：一个工厂生产的产品中有2%是次品。

一批产品中有100件，求至少有5件次品的概率。

答案：这是一个二项分布问题，其中n=100，p=0.02。

使用二项分布公式计算至少有5件次品的概率，即P(X ≥ 5) = 1 - P(X < 5)。

这需要计算从0到4件次品的概率之和，然后从1中减去这个值。

结束语：概率统计的习题答案需要根据具体的题目条件来计算。

上述答案仅供参考，实际解题时需要根据题目给出的详细条件进行计算。

希望这些示例能够帮助你更好地理解和掌握概率统计的知识。

第一章概率论的基本概念内容提要考试要求1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算.2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式.3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法.一、古典概型与几何概型1．随机试验，样本空间与事件.2．古典概型：设样本空间为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则3．几何概型：设为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则二事件的关系与概率的性质1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有：（1）A与B互斥（互不相容）（2）A与B互逆（对立事件）,（3）A与B相互独立P（AB）=P（A）P（B）.P（B|A）=P（B）（P（A）>0）.（0<P（A）<1）.P（B|A）=P（B|）（0 < P（A）< 1 ）注: 若（0<P（B）<1）,则独立P（A|B）=P（A）（P（B）>0）（0<P（B）<1）.P（A|B）=P（A|）（0<P（B）<1）P（|B）=P（|）（0<P（B）<1）（4）A, B, C两两独立⇔P（AB）=P（A）P（B）;P（BC）=P（B）P（C）;P（AC）=P（A）P（C）.（5）A, B, C相互独立⇔P（AB）=P（A）P（B）;P（BC）=P（B）P（C）;P（AC）=P（A）P（C）;P（ABC）=P（A）P（B）P（C）.2. 重要公式（1）（2）（3）（4）若A1, A2,…,A n两两互斥, 则.（5）若A, …, A相互独立, 则..（6） 条件概率公式: （P （A ）>0）三、乘法公式，全概率公式，Bayes 公式与二项概率公式1． 乘法公式：2． 全概率公式：3．Bayes 公式：11(|)()(|),,,.(|)()j j j i j i i i ii P B A P A P A B A i j A P B A P A ∞∞====Φ≠=Ω∑　A 4．二项概率公式:,课后习题解答随机试验与随机事件1. 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1），n 表小班人数（2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。

第一章 随机事件及概率作业题1、同时抛掷两颗骰子，以),(y x 表示第一颗、第二颗骰子分别出现的点数，设事件A 表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，B 表示“两颗骰子出现点数之差为0”，C 表示“两颗骰子出现点数之积不超过16”，写出事件A ，BC ，A B -中所含的样本点。

解：=A {（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），（3，6），（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5）}=BC {（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）} =-A B {（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）}2、设A ，B ，C 表示三个随机事件，试通过A ，B ，C 表示下列有关随机事件：（1）A 、B 都发生而C 不发生；（2）B 发生；（3）A ，B ，C 至少一个发生；（4）A ，B ，C 恰有一个发生；（5）A ，B ，C 不多于两个发生。

解：（1）C AB （2）B （3）C B A（4）C B A C B A C B A ++ （5）ABC3、袋中有球12个，2白10黑，今从中取4个，试求（1）恰有一个白球的概率；（2）至少有一个白球的概率。

解：（1）331641231012=C C C （2）33194122102241231012=+C C C C C C4、从30件产品中（其中27件合格品，3件不合格品）任取3件产品，求下的概率：（1）正好1个不合格品；（2）至少一个不合格品；（3）最多一个不合格品。

解：（1）40601053)(33022713==C C C A P （2）8122271)(330327=-=C C B P （3）20301989)(33022713330327=+=C C C C C C P5、某种饮料每箱12听，不法商人在每箱中放入4听假冒货，今质检人员从一箱中抽取3听进行检验，问查出假冒货的概率。