复数的四则运算公式

复数2（复数的运算）知识点：1.复数的四则运算；2.复数运算法则；3.共轭复数及其性质；4.综合应用；教学过程：1.复数加减法运算：设复数12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则12()()z z a c b d i +=+++；12()()z z a c b d i -=-+-；2.复数的乘法运算：设复数12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则12()()z z ac bd ad bc i ∙=-++；3.复数的除法运算：设复数122,,,,,,0z a bi z c di a b c d R z =+=+∈≠， 则122222z ac bd bc ad i z c d c d+-=+++；注意22()()c di c di c d +-=+。

利用共轭复数知识求；或利用乘法运算及待定系数法求；4.运算法则：设123,,,,,z z z z C m n N *∈∈（1）加法（乘法）交换律：1221z z z z +=+；1221z z z z =；（2）加法（乘法）结合律：123123()()z z z z z z ++=++；123123()()z z z z z z =；（3）分配率：1231323()z z z z z z z +=+；（4）幂的运算： ...n n zzz z z =；m n m n z z z+=；()m n mn z z =；1212()m m m z z z z =；1122()n n n z z z z =； （5）模的运算：123123|....|||||....||z z z z z z = ；1122||||||z z z z =； 5.共轭复数：12,,,z a bi z a bi a b R =+=-∈，称12,z z 互为共轭复数； 记法：21z z =；即z 的共轭复数是z ；设,,z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，主要性质有：（1）2Re ,2Im z z z z z z +=-=；（2）z R z z ∈⇔=；当0z ≠时，z ∈纯虚数0z z ⇔+=；（3）||||z z =；2222||||||||zz z z z z ====；(),n n z z n N *=∈；（4）当||1z =时，1zz =；（5）z z =；1212z z z z ⋅=⋅；1122()z z z z =；1212z z z z +=+；1212z z z z +=+； 5.复数集中的四个公式：（1）222()2,,a bi a b abi a b R +=-+∈；（2）222()2,,a bi a b abi a b R -=--∈；（3）22()()a bi a bi a b +-=+；“平方和公式”；（4）121212||||||||||||z z z z z z -≤±≤+；指出何时取到等号？应用：例1.计算：（1）2244(1),(1),(1),(1)i i i i +-+-解：2,2,4,4i i ---； （2）(1)(2)(1)(2)i i i i -++- 解：4355i -；（3 解：i ；归纳,a bi a bi i i b ai b ai +-==--+例2.（1）设12ω=-， 求证：32211,10,ωωωωωω=++===；120()n n n n ωωω++*++=∈N 解：方法1：直接代入； 方法2：利用3210(1)(1)0x x x x -=⇔-++=求解；（2）设12x =，计算322,1,x x x x x -+-； 解：3221,10,0x x x x x =--+=-=（3）设2z =。

第8讲 复数的四则运算一、考点梳理考点1 复数的加减法、乘法运算设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .几个常用结论（1）()i i 212=+，（2）()i i 212-=-，（3）()()22b a bi a bi a +=-+例1．（1）设i 是虚数单位，复数z 1＝1+2i ，z 2＝1﹣3i ，那么z 1+z 2＝（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣2﹣iD ．﹣2+i【分析】利用复数的加法运算即可求解．【解答】解：∵复数z 1＝1+2i ，z 2＝1﹣3i ，∴z 1+z 2＝2﹣i ，故选：A ．（2）复数（2+i ）2＝（ ）A ．4﹣3iB ．3﹣4iC ．4+3iD ．3+4i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．【解答】解：因为（2+i ）2＝3+4i ，故选：D ．（3）设z ＝i 3+1（i 是虚数单位），是z 的共轭复数，则﹣z 2＝（ ）A ．3﹣iB ．1+3iC ．﹣1﹣iD ．1﹣2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：z ＝i 3+1＝﹣i +1，∴＝1+i，∴﹣z2＝1+i﹣（1﹣i）2＝1+i﹣1+2i﹣i2＝1+3i，故选：B．（4）已知复数z1＝2+i，z2＝﹣1+2i，则z1•z2虚部为（）A．﹣4B．4C．3D．3i【分析】利用复数的四则运算求出z1•z2，然后由复数的定义即可得到答案．【解答】解：因为复数z1＝2+i，z2＝﹣1+2i，所以z1•z2＝（2+i）（﹣1+2i）＝﹣2+4i﹣i+2i2＝﹣2+3i﹣2＝﹣4+3i，由复数的定义可知，z1•z2虚部为3．故选：C．（5）已知2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，则实数a＝（）A．2﹣i B．﹣4C．2D．4【分析】由题意利用实系数一元二次方程虚根成对定理，韦达定理，求得实数a．【解答】解：∵已知z＝2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，∴2﹣i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，∴2+i+（2﹣i）＝﹣a，解得a＝﹣4，故选：B．【变式训练1】．若（1+i）+（2﹣3i）＝a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A．3，﹣2B．3，2C．3，﹣3D．﹣1，4【分析】由复数的加法运算化简等式左边，然后由实部等于实部，虚部等于虚部求得a，b的值．【解答】解：由（1+i）+（2﹣3i）＝3﹣2i＝a+bi，得a＝3，b＝﹣2．故选：A．【变式训练2】．（1﹣i）（4+i）＝（）A．3+5i B．3﹣5i C．5+3i D．5﹣3i【分析】根据复数代数形式的运算法则，计算即可．【解答】解：（1﹣i）（4+i）＝1×4+1×i﹣i×4﹣i2＝5﹣3i．故选：D．【变式训练3】．若Z＝1+i，则|Z2﹣Z|＝（）A．0B．1C．D．2【分析】由Z＝1+i，得到Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝﹣1+i，再求出|Z2﹣Z|．【解答】解：∵Z＝1+i，∴Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝1+2i+i2﹣1﹣i＝i2+i＝﹣1+i，∴|Z2﹣Z|＝＝．故选：C．【变式训练4】．若复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，实数m＝（）A．1B．0C．0或1D．1或﹣1【分析】利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，∴m（m﹣1）＝0，m﹣1≠0，∴m＝0，故选：B．【变式训练5】．若2﹣i是关于x的实系数方程x2+ax+b＝0的一根，则a+b＝（）A．1B．﹣1C．9D．﹣9【分析】题目给出的是实系数一元二次方程，2﹣i是该方程的一个虚根，则方程的另一个根为2+i，则根据韦达定理即可求出．【解答】解：因为2﹣i是关于x的实系数方程x2+ax+b＝0的一根，根据实系数方程虚根成对原理知，方程x 2+ax +b ＝0的另一根为2+i ，根据韦达定理得2﹣i +2+i ＝﹣a ，（2+i ）（2﹣i ）＝b ，∴a ＝﹣4，b ＝5，∴a +b ＝1，故选：A ．考点2 复数的除法运算复数z 1与z 2的除法运算律：z 1÷z 2 =(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++（分母实数化） 几个常用结论（1）i i -=1， （2） i ii =-+11 ， （3） i i i -=+-11 例2．（1）复数＝（ ）A ．﹣2﹣9iB ．C ．﹣D ． 【分析】利用复数除法的运算法则，分子分母同乘以分母的共轭复数，即可求出所求．【解答】解：＝， 故选：C ．（2）复数（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i B ．﹣i C ．1+iD ．1﹣i 【分析】利用复数的运算法则求出复数＝i ，由此能求出复数（i 为虚数单位）的共轭复数． 【解答】解：复数＝＝＝＝i ，∴复数（i 为虚数单位）的共轭复数为﹣i ． 故选：B ．（3）设z ＝+i ，则|z |＝（ ） A ． B ． C ． D ．2【分析】先求z ，再利用求模的公式求出|z |．【解答】解：z＝+i＝+i＝．故|z|＝＝．故选：B．（4）＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：＝．故选：D．【变式训练1】．＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．【解答】解：＝＝＝2﹣i，故选：D．【变式训练2】．已知z＝，则＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i【分析】先根据复数除法的运算法则进行化简，然后根据复数的共轭复数的定义进行求解即可．【解答】解：z＝＝，所以＝﹣1﹣3i，故选：D．【变式训练3】．设i是虚数单位，则复数i3﹣＝（）A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i【分析】通分得出，利用i的性质运算即可．【解答】解：∵i是虚数单位，则复数i3﹣，∴＝＝＝i，故选：C．【变式训练4】．复数（）2＝（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．【解答】解：（）2＝[]2＝（1﹣2i）2＝﹣3﹣4i．故选：A．考点3 解方程例3．（1）已知＝1+i（i为虚数单位），则复数z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：∵已知＝1+i（i为虚数单位），∴z＝＝＝﹣1﹣i，故选：D．（2）已知，则复数z＝（）A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：，∴＝（1+i）（2+i）＝1+3i．则复数z＝1﹣3i．故选：A．（3）若复数z满足2z+＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可．【解答】解：复数z满足2z+＝3﹣2i，设z＝a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi＝3﹣2i．解得a＝1，b＝﹣2．z＝1﹣2i．故选：B．（4）已知＝b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b＝（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i＝bi﹣1，所以由复数相等的意义知a＝﹣1，b＝2，所以a+b＝1另解：由得﹣ai+2＝b+i（a，b∈R），则﹣a＝1，b＝2，a+b＝1．故选：B．（5）若i（x+yi）＝3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2B．3C．4D．5【分析】利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x＝4，y＝﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|＝|4﹣3i|＝＝5．【解答】解：∵i（x+yi）＝xi﹣y＝3+4i，x，y∈R，∴x＝4，﹣y＝3，即x＝4，y＝﹣3．∴|x+yi|＝|4﹣3i|＝＝5．故选：D．【变式训练1】．若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】利用复数的运算法则求解即可．【解答】解：由z（1+i）＝2i，得z＝＝1+i．故选：D．【变式训练2】．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．【解答】解：＝i，则＝i（1﹣i）＝1+i，可得z＝1﹣i．故选：A．【变式训练3】．若复数z满足3z+＝1+i，其中i是虚数单位，则z＝．【分析】设z＝a+bi，则＝a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设z＝a+bi，则＝a﹣bi（a，b∈R），又3z+＝1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）＝1+i，化为4a+2bi＝1+i，∴4a＝1，2b＝1，解得a＝，b＝．∴z＝．故答案为：．【变式训练4】．已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）＝bi，则a+bi＝1+2i．【分析】利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出a，b的值即可得到结果．【解答】解：因为（a+i）（1+i）＝bi，所以a﹣1+（a+1）i＝bi，所以，解得a＝1，b＝2，所以a+bi＝1+2i．故答案为：1+2i．【变式训练5】．若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【分析】由题意可得z＝＝，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z 的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，∴z＝＝＝＝+i，故z的虚部等于，故选：D．二、课堂检测1．下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论．【解答】解：A．i（1+i）2＝i•2i＝﹣2，是实数．B．i2（1﹣i）＝﹣1+i，不是纯虚数．C．（1+i）2＝2i为纯虚数．D．i（1+i）＝i﹣1不是纯虚数．故选：C．2．设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝（）A．1B．C．D．2【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x＝1+yi，∴x+xi＝1+yi，即，解得，即|x+yi|＝|1+i|＝，故选：B．3．若z＝4+3i，则＝（）A．1B．﹣1C．+i D．﹣i【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．【解答】解：z＝4+3i，则＝＝＝﹣i．故选：D．4．＝（）A．i B．C．D．【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：＝＝+．故选：D．5．若z＝1+2i，则＝（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z＝1+2i，则＝＝＝i．故选：C．6．（多选）设复数z满足＝i，则下列说法错误的是（）A．z为纯虚数B．z的虚部为﹣iC．在复平面内，z对应的点位于第二象限D．|z|＝【分析】利用复数的运算法则化简z，再利用有关知识即可判断出正误．【解答】解：复数z满足＝i，∴z＝＝＝﹣﹣i，则z不是纯虚数，虚部为﹣，在复平面内，z对应的点位于第三象限，|z|＝＝．故说法错误的是ABC．故选：ABC．7．（多选）设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是（）A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2【分析】利用复数的模的有关性质和运算，结合共轭复数的概念对各个选项逐一分析判断即可．【解答】解：由复数的形式可知，选项A错误；当z1z2＝z1z3时，有z1z2﹣z1z3＝z1（z2﹣z3）＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故选项B正确；当＝z3时，则，所以＝，故选项C正确；当z1z2＝|z1|2时，则，可得，所以，故选项D错误．故选：BC．8．计算：（2+7i）﹣|﹣3+4i|+|5﹣12i|+3﹣8i＝13﹣i．【分析】根据复数的基本运算法则和复数模长的定义进行化简即可．【解答】解：原式＝2+7i﹣5+13+3﹣8i＝13﹣i，故答案为：13﹣i．9．已知复数z满足1+2zi＝i，其中i是虚数单位，则|z|＝．【分析】先化简复数z，再直接求模即可．【解答】解：依题意，，故．故答案为：．10．设复数z满足＝|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z＝﹣i．【分析】利用复数模的计算公式、共轭复数的定义即可得出结论．【解答】解：复数z满足＝|1﹣i|+i＝+i＝+i，则复数z＝﹣i，故答案为：﹣i．11．已知复数在z1＝a+i，z2＝1﹣i，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求z1•的值：（Ⅱ）若z1﹣z2是纯虚数，求a的值；（Ⅲ）若在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）把a＝1代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（Ⅱ）利用复数代数形式的减法运算化简，再由实部为0求解；（Ⅲ）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于0求解．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，z1•＝（1+i）（1+i）＝1+i+i﹣1＝2i；（Ⅱ）由z1﹣z2＝（a+i）﹣（1﹣i）＝a﹣1+2i是纯虚数，得a﹣1＝0，即a＝1；（Ⅲ）由＝在复平面上对应的点在第二象限，得，即﹣1＜a＜1．12．已知：复数z＝（1+i）2+，其中i为虚数单位．（1）求z及|z|；（2）若z2+a，求实数a，b的值．【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求解；（2）把z代入z2+a，整理后利用复数相等的条件列式求解．【解答】解：（1）∵，∴；（2）由z2+a，得：（﹣1+3i）2+a（﹣1﹣3i）+b＝2+3i，即（﹣8﹣a+b）+（﹣6﹣3a）i＝2+3i，∴，解得．。

复数四则运算的公式
复数四则运算公式是指对两个复数进行加、减、乘、除的运算。

复数是由实数和虚数构成的数，其中虚数单位i满足i²=-1。

加法公式：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，即实部相加，虚部相加。

例如，(2+3i)+(4+5i)=(2+4)+(3+5)i=6+8i。

减法公式：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i，即实部相减，虚部相减。

例如，(2+3i)-(4+5i)=(2-4)+(3-5)i=-2-2i。

乘法公式：(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，即实部相乘减虚部相乘。

例如，(2+3i)×(4+5i)=(2×4-3×5)+(2×5+3×4)i=-7+22i。

除法公式：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i，即分子分母同乘分母的共轭复数，再化简。

例如，(2+3i)/(4+5i)=((2×4+3×5)/(4²+5²))+((3×4-2×5)/(4²+5²))i=23/41-2/41i。

复数四则运算公式是复数运算的基础，掌握了这些公式，就能够进行复数的加减乘除运算。

在实际应用中，复数广泛应用于电路分析、信号处理、量子力学等领域。

高考数学核心公式100组一级核心公式高考数学·一级核心公式100组一、集合、复数与常用逻辑用语1.复数的四则运算设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R；加法：a+b i+c+d i=(a+c)+(b+d)i；减法：a+b i−（c+d i）=(a−c)+(b−d)i；乘法：+⋅(+p=(−p+(+p；=；2.复数的模长设复数z＝a＋b i；模长|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2(a，b∈R)，其中2=−1。

3.全称命题与存在命题的否定全称命题：∀x∈M，p(x)的否定为：∃x∈M，非p(x)。

存在性命题：∃x∈M，q(x)的否定为：∀x∈M，非q(x)。

二、不等式4.均值不等式公式均值不等式公式为：ab≤a＋b2，均值不等式成立的使用条件为：(1)一正：a>0，b>0.(2)二定：当ab或a+b为定值时，可以使用，即ab为常数时，可求得a+b的最小值；a+b为常数时，可求得ab的最大值。

(3)三相等：当且仅当a＝b时，等号可以取到。

5.均值不等式的重要推导公式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).(2)ba＋ab≥2(a，b同号).(3)ab≤(a＋b2)2(a，b∈R).(4)将平方和与和的平方联系起来的不等式公式是：(a+b)2≤2（a2＋b2)22ln ln 112222b a ba b a b a ab ba b a ab +≤+≤--≤≤+=+≤≤≤≤平方平均数算数平均数对数平均数几何平均数调和平均数不等式串是指：6.不等式串/链公式7.分式型不等式的解法()()0()()0()()00()0()()f xg x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩；()()0()()0()()0;0()0()()f xg x f x f x f x g x g x g x g x ≤⎧<⇔<≤⇔⎨≠⎩三、函数与导数8.常见5类函数定义域的要求类型x 满足的条件2nf (x )，n ∈N ＋f (x )≥01f (x )与[f (x )]0f (x )≠0log a f (x )(a >0，a ≠1)f (x )>0log f (x )g (x )f (x )>0，且f (x )≠1，g (x )>0tan f (x )f (x )≠k π＋π2，k ∈Z9.二次函数的三种表达形式①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n(a ≠0)．③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．10.指数函数、对数函数、幂函数指数函数表达式为：y ＝a x (a >0，a ≠1)，当a >1时，单调递增，当0<a <1时，单调递减，横过定点(0,1)。

高中数学《复数》基础知识及经典练习题（含答案解析）一、基础知识：复数题目通常在高考中有所涉及，题目不难，通常是复数的四则运算1、复数z 的代数形式为(),z a bi a b R =+∈，其中a 称为z 的实部，b 称为z 的虚部（而不是bi )，2、几类特殊的复数：（1）纯虚数：0,0a b =≠ 例如：5i ，i 等（2）实数： 0b =3、复数的运算：设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈（1）21i =−（2）()()12z z a c b d i ±=+++（3）()()()()212z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i ⋅=+⋅+=+++=−++ 注：乘法运算可以把i 理解为字母，进行分配率的运算。

只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算21i =−（4）()()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +−++−+===++−+ 注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是(),z a bi a b R =+∈，所以不允许分母带有i ，那么利用平方差公式及21i =的特点分子分母同时乘以2z 的共轭复数即可。

4、共轭复数：z a bi =−， 对于z 而言，实部相同，虚部相反5、复数的模：z = 2z z z =⋅ (22z z ≠) 6、两个复数相等：实部虚部对应相等7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数(),a bi a b R +∈都与平面直角坐标系上的点(),a b 一一对应，将这个平面称为复平面。

横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。

8、处理复数要注意的几点：（1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即(),z a bi a b R =+∈（2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。

复数基础知识及其运算规律一、复数的概念1.复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i^2=-1。

2.复数的分类：a)纯虚数：实部为0的复数，如i、-i等；b)实数：虚部为0的复数，如2、-3等；c)混合数：实部和虚部都不为0的复数，如1+2i、-3-4i等。

二、复数的表示方法1.代数表示法：用a+bi的形式表示复数；2.极坐标表示法：用r(cosθ+isinθ)的形式表示复数，其中r为模长，θ为辐角。

三、复数的运算规律1.加减法：a)(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i；b)(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。

c)(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i；d)特殊情形：两个纯虚数相乘，结果为实数；e)单位根的乘法：i^k，其中k为整数。

f)(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c2+d2)] + [(bc-ad)/(c2+d2)]i。

g)(a+bi)^2 = (a2-b2) + 2abi；h)(a+bi)3、(a+bi)4等，可以利用乘方公式进行展开。

2.共轭复数：a)若复数为a+bi，则它的共轭复数为a-bi；b)共轭复数具有以下性质：两数相加为实数，两数相乘为实数。

四、复数的性质1.模长：表示复数在复平面上的长度，公式为|a+bi| = √(a2+b2)；2.辐角：表示复数在复平面上与实轴的夹角，公式为θ = arctan(b/a)，其中a≠0；3.复数的平方等于1的解：i、-1、1+i、1-i等；4.复数的平方等于-1的解：i、-i等；5.复数的平方等于k（k为非零实数）的解：±√k、±i√k等。

五、复数在实际应用中的例子1.信号处理：在通信系统中，信号往往可以表示为复数形式，如调制解调器中的正弦波信号；2.物理学：在电磁学、量子力学等领域，复数用于描述物理量，如电流、电压、波函数等；3.工程学：在电子工程、控制理论等领域，复数用于分析电路、系统稳定性等。

高考复数知识点精华总结1.复数的概念：复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为z=a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。

2.复数集：复数集包括整数、有理数、实数（当b=0时）、分数、小数、无理数、纯虚数和虚数。

3.复数a+bi的实部为a，虚部为b，i是虚数单位。

当b=0时，a+bi是实数，当b≠0时，a+bi是虚数。

若a=0且b≠0，则a+bi是纯虚数。

4.复数的四则运算：加法、减法、乘法、除法都可以用实数单位和虚数单位进行运算。

特殊复数的运算包括周期性运算和(1±i)2=±2i等。

5.共轭复数与复数的模：复数z=a+bi的共轭复数为a-bi，模为|z|=√(a^2+b^2)。

共轭复数关于实轴对称，若b=0，则实数a与其共轭复数相等。

6.两个复数相等的定义为a+bi=c+di，其中a、b、c、d都是实数。

复数不能进行大小比较，只能由定义判断它们相等或不相等。

在运算中需要将虚数单位i的平方i^2=-1结合到实际运算过程中去。

6.复数的除法可以通过将分母实化得到，即满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi被称为复数a+bi除以复数c+di的商。

由于两个共轭复数的积是实数，因此可以得到以下公式：a+bi / (c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)i/(c^2+d^2)7.复数a+bi的模表示复数a+bi的点到原点的距离。

1.例1：对于复数z=m+1+(m－1)i，当m=1时，z是实数；当m≠1时，z是虚数；当m=-1时，z是纯虚数；当m<-1时，z对应的点Z在第三象限。

例2：已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x。

y∈R，求x。

y。

解得x=2.y=4.2.例4：对于复数z＝m25+(m2+3m－10)i，当虚部m2+3m－10=0时，z为实数，解得m=2；当虚部m2+3m－10≠0且分母不为零时，z为虚数，解得m≠2且m≠±5；当虚部为0且分母不为零时，z为纯虚数，解得m=-2.3.计算i＋i2＋i3+……+i2005，可以将i的周期性用以下公式表示：i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005=(i－1－i+1)+ (i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i。

复变函数知识点一、复数的基本概念。

1. 复数的定义。

- 设x,y∈ R，称z = x+iy为复数，其中i为虚数单位，满足i^2=- 1。

x称为复数z的实部，记作x = Re(z)；y称为复数z的虚部，记作y = Im(z)。

2. 复数的相等。

- 两个复数z_1=x_1+iy_1和z_2=x_2+iy_2相等，当且仅当x_1=x_2且y_1=y_2。

3. 复数的共轭。

- 对于复数z = x + iy，其共轭复数¯z=x-iy。

共轭复数具有性质：z¯z=x^2+y^2，Re(z)=frac{z + ¯z}{2}，Im(z)=frac{z-¯z}{2i}等。

二、复数的四则运算。

1. 加法与减法。

- 设z_1=x_1+iy_1，z_2=x_2+iy_2，则z_1± z_2=(x_1± x_2)+i(y_1± y_2)。

2. 乘法。

- z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1)。

3. 除法。

- frac{z_1}{z_2}=frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+ifrac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}（z_2≠0）。

三、复数的几何表示。

1. 复平面。

- 复数z = x+iy可以用复平面上的点(x,y)来表示，其中x轴称为实轴，y轴称为虚轴。

2. 复数的模与辐角。

- 复数z = x + iy的模| z|=√(x^2)+y^{2}，它表示复数z在复平面上对应的点到原点的距离。

- 复数z≠0的辐角θ满足z=| z|(cosθ + isinθ)，辐角不唯一，Arg(z)=θ + 2kπ，k∈ Z，其中θ∈(-π,π]称为z的主辐角，记作θ = arg(z)。

复变函数rez公式1.复数的定义一对有序实数（x,y）构成复数zxiy,其中xRez,yImz.i21，X称为复数的实部，y称为复数的虚部。

复数的表示方法1）模：zx2y2；2）幅角：在z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为是位于(,]中的幅角。

argzArgz（多值函数）；主值3）argz与arctanyx之间的关系如下：yx；当x0,argzarctany0,argzarctanx0,y0,argzarctan当yxyx4）三角表示：zzcosisin，其中argz；注：中间一定是“+”5）指数表示：2.复数的四则运算1）.加减法：若z1x1iy1,z2x2iy2，则z1z2x1x2iy1y22）.乘除法：3）若z1x1iy1,z2x2iy2，则z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2zzei，其argzz1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2y2x1i2222z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y 4）若z1z1ei1,z2z2ei2,则z1z2z1z2ei12；z1i12z1ez2z25.无穷远点得扩充与扩充复平面复平面对内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,而N点本身可代表无穷远点,记作.这样的球面称作复球面这样的球面称作复球面.扩充复平面---引进一个“理想点”:无穷远点∞复平面的开集与闭集复平面中领域，内点，外点，边界点，聚点，闭集等概念复数序列的极限和复数域的完备性复数的极限，，柯西收敛定理，魏尔斯特拉斯定理，聚点定理等从实数域里的推广，可以结合实数域中的形式来理解。

第二章复变量函数1.复变量函数的定义设G是一个复数zxiy的集合.如果有一个确定的法则存在,按这个法则,对于集合G中的每一个复数z,就有一个或几个复数wuiv与之对应,那末称复变数w 是复变数z的函数(简称复变函数),记作wf(z).1）复变函数的反演变换（了解）2）复变函数性质反函数有界性周期性，3）极限与连续性极限：设函数wf(z)定义在z0的去心邻域连续性0zz0内,如果有一确定的数A存在,对于任意给定的0,相应地必有一正数()使得当0zz0(0)时,有f(z)A那末称A为f(z)当z趋向于z0时的极限.如果limf(z)f(z0),那末我们就说f(z)zz0在z0处连续.如果f(z)在区域D内处处连续,我们说f(z)在D内连续.2.复变量函数的形式偏导1）复初等函数ezexcosyisinye2)指数函数：，在z平面处处可导，处处解析；且注：e是以2i为周期的周期函数。