§ 5.4 —阶电路的全响应与三要素
在上两节中分别研究了一阶电路的零输入响应和零状态响应， 电路要么只有外激励源的
作用，要么只存在非零的初始状态，分析过程相对简单。本节将讨论既有非零初始状态，又 有外激励源共同
作用的一阶电路的响应，称为一阶电路的全响应。
5.4.1 RC 电路的全响应
电路如图5-9所示，将开关 S 闭合前，电容已经充电且电容电压
u c （0」二U 0，在t=0
时将开关S 闭合，直流电压源 U S 作用于一阶RC 电路。根据KVL 此时电路方程可表示为：
U C
图5-19 一阶RC 电路的全响应
u e
(0
•) = u e (0 _) = U o 令方程（5-9 ）的通解为
U e 二U e U C
与一阶RC 电路的零状态响应类似，取换路后的稳定状态为方程的特解，则
U e =U S
t
同样令方程（5-9）对应的齐次微分方程的通解为 U C = Ae^。其中.二RC 为电路的时
间常数，所以有
t
u e =U S Ae":
将初始条件与通解代入原方程，得到积分常数为
A 二U 。 U S
所以电容电压最终可表示为
t
U c =U S (U 0-U s )e 「
(5-20)
电容充电电流为
due U S _ U 0 -■ i = C
dt
R e
这就是一阶RC 电路的全响应。图5-20分别描述了 U s ，U 0均大于零时，在U s ・U 0、
根据换路原则，可知方程（
RC
du e dt
U e =U S
(5-19)
5-19 ）的初始条件为
U s = 0、U s :: U 0三种情况下u c 与i 的波形。
（a ） （b ）
图5-20 u c ，i 的波形图
将式（5-20 ）重新调整后，得
t
t
u c 二U °e 「U s CI-e 「）
从上式可以看出，右端第一项正是电路的零输入响应，第二项则是电路的零状态响应。 显然，RC 电路的全响应是零输入响应与零状态响应的叠加，即
全响应=零输入响应 +零状态响应
研究表明，线性电路的叠加定理不仅适用于 RC 电路，在RC 电路的分析过程中同样适用，
同时，对于n 阶电路也可应用叠加定理进行分析。
进一步分析式（5-20 ）可以看出右端第一项是电路微分方程的特解， 其变化规律与电路
外加激励源相同，因此被称之为为强制分量；
式（5-20）右端第二项对应于微分方程的通解，
其变化规律与外加激励源无关，仅由电路参数决定，称之为自由分量。所以，全响应又可表 示为强制分量与自由分量的叠加，即
全响应=强制分量+自由分量
从另一个角度来看，式（5-20）中有一部分随时间推移呈指数衰减， 而另一部分不衰减。
显然，衰减分量在t r
时趋于零，最后只剩下不衰减的部分，所以将衰减分量称为暂态
分量，不衰减的部分称为稳态分量，即
全响应=稳态分量+暂态分量
542 三要素法
一阶电路都只会有一个电容（或电感元件） ，尽管其它支路可能由许多的电阻、电源、 控制源等构成。但是将动态元件独立开来，
其它部分可以看成是一个端口的电阻电路，
根据
戴维南定理或诺顿定理可将复杂的网络都可以化成图 5-21所示的简单电路。下面介绍的三
要素法对于分析类复杂一阶电路相当简便。
(a)
(b)
u
C
(C) (d)
图5-21复杂一阶电路的全响应
从图5-21 ( b)可以看出，如前所述，u C的表达式可以写为
t
U c(t)二U oc [U c(0 ) -U oc]e
其中^R eq C，u oc是一端口网络N的开路电-压，由于u oc = lim u c(t)二u c(：：)，所以上式可以改写成为
t
u c(t) =u c(：：) [u c(0.)-u c(：：)]e ( 5-21)同理，根据图5-21 ( d)可以直接写出电感电流的表达式为
t
i L(t) “L(G 1(0 ) %(：：)「( 5-22)
其中—,i L(::)二业为iL的稳态分量。
R R 1
eq eq
综合上述两种情况后发现，全响应总是由初始条件、特解和时间常数三个要素来决定。
在直流电源激励下，若初始条件为f(0.)，特解为稳态解时间常数为.，则全响应
f (t)可表示为
t
f(t)十：)[f(0 J-f(：：)]e- ( 5-23)如果已经确定一阶电路的f(0 .)、f(：：)和.这三个要素，就可以根据式(5-23 )直接
写出电流激励下一阶电路的全响应，称之为三要素法。
一阶电路在正弦激励源的作用下，由于电路的特解f'(t)是时间的正弦函数，则(6-23)
式可以写为
t
f(t) = f'(t) [f(0J-f'(0 )]e_
其中f'(t)是特解，为稳态响应，f'(0.)是t = 0 .时稳态响应的初始值。
§ 5.5 —阶电路的阶跃响应和冲激响应
5.5.1 奇异函数
奇异函数也叫开关函数，在电路分析中非常有用。当电路有开关动作时，就会产生开关 信号，这些奇异函数是开关信号最接近的理想模型， 它对我们进一步分析一阶电路响应非常
重要。
(1)单位阶跃函数
作为奇异函数的一种，单位阶跃函数的数学表达式为
假如这种突变发生在t =t o (t ° 0)时刻，则单位阶跃函数又可表示为
t ::: 0 t t g
(2)单位冲激函数
常大的电流或电压。为了形象描述这种脉冲，引入了另一种奇异函数一一单位冲激函数
-：(t)，其数学定义如下:
心㈣"
'⑴=0 (当 t = 0)
单位阶跃函数又叫「•函数，如图5-29(a )所示，图5-29(b )表示强度为 K 的冲激函 数。
(a) (b)
心0 I 1 t :: 0
t 0
如图5-25 (b )所示,
；(t —t 。)起作用的时间比 ；(t )滞后了 t o ,称为延迟的单位阶
1 1
y t)
o t 1 s (t 」0)
1
o
t
在实际电路切换过程中, 可能会出现一种特殊形式的脉冲, 其在极短的时间内表示为非 1 i
L
&t)
o t
(a)单位阶跃进函数
(b)延迟的单位阶跃函数
图5-25 阶跃函数
