最大公因数(一)

最大公因数和最小公倍数（基础题）
1、有一级茶叶96克,二级茶叶156克,三级茶叶240克,价值相等。

现将这三种茶叶分别等分装袋(均为整数克),要使每袋价值相等且每袋价值最低,应如何装袋?
2、
3、一种长方形的地砖,长24厘米,宽18厘米,如果用这种砖铺一个正方形,至少需多少块?
4、
5、已知某小学五年级学生超过120人,而不足160人。

将他们按每组12人分组,多2人按每组16人分,也多2人。

这个学校五年级有学生多少人?
6、
4、某市1路、5路和6路公交车都从南站出发,1路车每隔6分钟发出一辆车,5路车每隔10分钟发出一辆车,6路车每隔15分钟发出一辆车,这三种路线的车同时发车后,至少需要经过多长时间才能又同时发车?
5、五个连续自然数的和能被2,3,4,5,6整除,求满足此条件的最小的一组数。

6、有一筐梨,2个2个分多1个,3个3个分多2个,5个5个分多4个,那么这筐梨至少有多少个?
7、一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔3分钟、5分钟、9分钟、15分钟、10分钟发一次,第一次同时发车以后多少分钟又同时发车?
8、能被3、7、8、1四个数同时整除的最大六位数是几？
9、
10、把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组,要求每一组中任意两个数的最大公约数是1,那么至少要分成几组?
10、210与330的最小公倍数是最大公约数的几倍?
11、把一个能被2,3,7整除的数分成两个数的和,使得其中一个能被4整除,另一个被9整除,并且所得的商相同。

分成的两个数最小是几？。

第八讲最大公因数和最小公倍数(一) 知识导航互质数：如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫做互质数。

求几个数的最大公因数和最小公倍数，通常用短除法和分解质因数的方法。

即先分解质因数，然后将其公有的质因数相乘，则为它们的最大公因数；将公有的质因数和各自独有的质因数连乘，其积为最小公倍数。

精典例题例1：用短除法计算：（1）(54,90),[54,90] (2)(45,75,90)【分析】求最大公因数可用列举法，分解质因数法，小数缩倍法，大减小法，短除法。

求最小公倍数可用列举法，分解质因数法，大数扩倍法，短除法。

(54,90)=2×3×3=18,[54,90]= 2×3×3×3×5=270(45,75,90)= 3×5=15例2:利用分解质因数法找出下列各组数的最大公约数和最小公倍数。

(1)144和250 （2）240、80和96【分析】分解质因数法，最大公因数=公有质因数乘积，最小公倍数=公有质因数×独有质因数。

（1）144=2×2×2×2×3×3250=2×5×5×5（144，250）=2 【144，250】=2×2×2×2×3×3×5×5×5=18000（2）240=2×2×2×2×3×580=2×2×2×2×596=2×2×2×2×2×3（240，80，96）=2×2×2×2=16【240，80，96】=2×2×2×2×3×5×2=480.例3:利用辗转相除法求下列各组数的最大公约数。

: 求真向善尚美
小学五年级数学VV最大公因数>> 导学案爱迪生：天才=百分之九十九的汗水+百分之一的灵感。

二、挑战练习。

1、完成课本61页做一做。

2、 先写出8 12、18的因数，在根据所写因数填空。

8的因数： 12的因数： 18的因数：
（1） 8和12的公因数是（ ），最大公因数是（ ）； （2） 8和18的公因数是（ ），最大公因数是（ ）； （3） 12和18的公因数是（ ），最大公因数是（
）；
（4） 8、12和18的公因数是（
），最大公因数是（
）；
3、 找出下列各分数中分子和分母的最大公因数写在括号里
四、 学习小结。

通过今天的学习，你有什么收获？还存在什么问题？ 五、 作业布置。

作业：小练习册第38页第2、3、5题。

练习：小练习册第38、39页，大练习册第33页。

人人~~|本节课、我的最大收获是 ，
个人 以后要注意的是 _______________________________________ ，我在“自主 评价 学习”方面表现（优秀、一般、差）；合作讨论中表现（优秀、一般、 评价
差）；我对自己的整体评价：（优、良、差）
24
12
() 8() 36 48 (
课后
反思
校长寄语：放飞梦想的翅膀，我们将从这里起航!。

11.六年级学生在操场上列队，只知道人数在99----110之间，排3列无余，排5列不足2人，排7列不足4人，问共有学生______人？2. 剪一些长6cm ，宽4cm 的长方形纸片，至少需要______张这样的纸片才能拼成一个正方形；3. 在1----2000这些整数中，是3的倍数但不是5的倍数的数有_______个。

4. 在一块长120米，宽40米的长方形地面上，要在它的四周和四角种树，每相邻两棵树之间的距离相等，最少要种树______棵；5. 商店梨有六箱苹果，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中五箱，已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重_______千克？6. a,b 两个不为0的自然数，如果2.0=÷b a ，那么a,b 的最大公因数是_______；如果a+1=b ，那么a,b 的最大公因数是________，最小公倍数是________;7. 两个自然数的差是5，它们的最小公倍数与最大公因数的差是203，则这两个数的和是_________8. 某中学组织七年级学生参加植树活动，学生人数在210---220之间，到现场分组时，发现每3人一组，或5人一组，或每7人一组三种情况均多2人，参加这次植树活动的学生有______人。

9. 长180厘米的绳子，从一端开始每3厘米作一记号，每5厘米也作一记号，然后将有记号，每5厘米也做一记号，然后将有记号的地方剪断，绳子共剪成______段。

10. 你知道“韩信点兵”的故事吗？古代韩信带350名士兵打仗，战死几十人，战后清点人数，站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。

韩信马上说出战后人数是_____人。

11. 有四个数相乘⨯⨯⨯972935975（ ），要使它们的乘积最后5个数字是“0”，那么（ ）里最小应填______;12.两个自然数的差是54，两个自然数最小公倍数是180，两个自然数最大公因数是18，则这两个数的和是____13.两个自然数M,N最大公因数是14，最小公倍数是280.那么，M+N=_____14.A,B两个数互质，它们的最大公因数是_______,最小公倍数是_________；15.如图所示的四个圆形跑道，每个跑道的长都是1千米，A,B,C,D四位运动员同时从交点O出发，分别沿四个跑道跑步，它们的速度分别是每小时4千米、每小时8千米、每小时6千米和每小时12千米。

公因数公式(一)公因数公式1. 定义公因数是指能够整除两个或多个数的数。

公因数公式是用于计算两个或多个数的公因数的公式。

2. 公因数公式最大公因数（GCD）公式最大公因数是指能够整除两个或多个数中最大的数。

最大公因数可以使用以下公式计算：GCD(a, b) = GCD(b, a mod b)其中，a和b是两个整数，mod代表取余运算。

最小公倍数（LCM）公式最小公倍数是指能够同时整除两个或多个数的最小的数。

最小公倍数可以使用以下公式计算：LCM(a, b) = (a * b) / GCD(a, b)其中，a和b是两个整数，GCD(a, b)是最大公因数。

其他公因数公式除了最大公因数和最小公倍数公式以外，还有一些其他公因数的计算公式，如：•若数a是数b的因数，则a还是数b的公因数。

•若两个数a和b的最大公因数是1，则称其为互质。

3. 举例说明示例一计算最大公因数和最小公倍数：a = 12b = 18计算最大公因数：GCD(a, b) = GCD(18, 12 mod 18) = GCD(18, 12) = GCD(12, 6) = GCD(6, 0) = 6计算最小公倍数：LCM(a, b) = (12 * 18) / GCD(a, b) = (12 * 18) / 6 = 36因此，数12和18的最大公因数为6，最小公倍数为36。

示例二判断两个数是否互质：a = 7b = 15计算最大公因数：GCD(a, b) = GCD(15, 7 mod 15) = GCD(15, 7) = GCD(7, 1) = GCD(1, 0) = 1由于最大公因数为1，因此数7和15互质。

示例三计算一个数的公因数：a = 24计算公因数：24的公因数有：1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24因此，数24的公因数有1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24。

总结公因数公式是用于计算两个或多个数的公因数的公式。

最大公因数与最小公倍数（一）一、互质数的意义和判断方法1.明确互质数的意义公因数只有1的两个数叫做互质数。

2.明确互质数的判断方法互质数有很多种情况，不是只有两个质数才是互质数，合数和合数也可能成为互质数。

判断两个数是不是互质数，就看它们是不是只有唯一的公因数1。

练习1：分别写出5组满足下列条件的互质数：1)两个数都是质数：（）、（）、（）、（）、（）2)一个质数一个合数：（）、（）、（）、（）、（）3)两个都是合数：（）、（）、（）、（）、（）4)两个都是奇数：（）、（）、（）、（）、（）5)一个奇数一个偶数：（）、（）、（）、（）、（）3.两个数互质的特殊的判断方法1) 1和任意大于1的自然数互质；2) 2和任何奇数都是互质数；3) 相邻的两个自然数是互质数；4) 相邻的两个奇数是互质数；5) 不相同的两个质数是互质数；6) 一个合数与一个质数是互质数（合数只质数的倍数除外）4.互质数和质数的区别质数一类数，是只有两个因数的数；互质数是相对于两个数的关系而言，公因数只有1的两个数才可称为互质数。

练习2：判断：1) 互质的两个数没有最大公因数。

.....................................（）2) 两个数的公因数的个数是有限的。

..................................（）3) 1和任意非零自然数的最大公因数是1。

............................（）4)最小的质数和最大的合数的最大公因数是1。

....................（）填空：1) 在7，15，9，20四个数中，成为互质数的有（）对二、最大公因数与最小公倍数1.基础巩固例1 填空。

1)53⨯⨯b，a，b的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

=3a，532⨯⨯=2)a与b是互质数，a，b的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

3)b=（a，b都是大于0的自然数），a，b的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

《最大公因数》（第一课时）教学设计教学设计 1教学内容人教版义务教育课程标准实验教科书《小学数学》五年级下册第79 页至 80 页内容。

（例 1：公因数、最大公因数及做一做）教材分析公因数、最大公因数概念的建立是以因数（第二单元）的概念为基础的，也是为后面学习约分（需要尽快找出分子、分母的公因数）做准备的，在整个知识链中起着承上启下的作用。

这个内容可以集中编排在第二单元，也可以分散编排在约分的前面。

考虑到第二单元概念较多，抽象程度高，本套教材把这部分内容分散编排在本单元（第四单元），也更加突出了它的应用性。

学情分析学生在第二单元已学过因数的概念，为学习本课公因数、最大公因数概念具有一定的知识基础。

学生在日常生活中经常可以看到用方砖铺地的情境，但一般很少参与这类劳动，并无直接的体验。

为此，学习例 1 时，要让学生先回忆、教师模拟讲解，再让学生通过画图操作，画一画、摆一摆，看看能在长方形纸上画、摆出多少个正方形。

学生在解决问题的过程中获得了感悟，就能为抽象出概念提供感性认识基础。

教学目标1、结合解决现实问题理解公因数和最大公因数的意义。

2、在探索公因数和最大公因数意义的过程中，经历观察、猜测、归纳等数学活动，发展初步的推理能力。

在解决问题的过程中，能进行有条理、有根据地进行思考。

3、学会用公因数、最大公因数的知识解决简单的现实问题，体验数学与生活的密切联系。

4、在学生探索新知的过程中，培养学生学好数学的信心以及小组成员之间互相合作的精神。

教学重点理解公因数与最大公因数的意义。

教学难点运用公因数与最大公因数的意义解决现实问题。

教学课型概念教学新授课。

教学准备教师准备：课内练习题、检测题，学号是8 和 12 的因数卡片各一张。

学生准备：一张长 16 厘米，宽 12 厘米的长方形纸；边长 1、2、教学设计 2教学教学内容教师引导学生活动设计意图过程1、写一个回忆一下，怎学生寻找 10 和 16数的因数样找出一个的因数。

上课解决方案教案设计教学目标知识与技能1．理解公因数和最大公因数的意义，知道因数、公因数和最大公因数的区别和联系。

2．掌握求两个数的最大公因数的方法，会选择合适的方法求两个数的最大公因数。

过程与方法经历认识最大公因数和求最大公因数的过程，体会知识迁移、推理判断的学习方法。

情感、态度与价值观在学习活动中体会数学知识之间的密切联系，激发求知欲望，培养合作意识与探索精神，养成善于观察、勤于思考的良好学习习惯。

重点难点重点：理解公因数和最大公因数的意义，能正确求出两个数的最大公因数。

难点：掌握求两个数的最大公因数的方法。

课前准备教师准备卡片PPT课件学生准备练习本教学过程板块一复习旧知，游戏引入活动1生活引入，铺垫新知1．评评小明的行为。

班级发了两条新毛巾，小明拿一条放在自己的书桌里，留着自己用。

同学发现了，批评他，他不服说：“我又没拿家里去，放在这不也在班级里吗？”2．指名汇报。

生：小明的行为是不对的，班级的毛巾是公有的东西，是供大家使用的，小明放在自己的书桌里，只供自己使用，不让别人用，是自私的行为。

3．评价。

生：我也要给小明提意见，班级的东西是公共财产，是公用的，不能放在自己那供自己使用，应放在班级卫生角供大家使用。

4．提问：我们班级有公共东西，你知道社区、公园、街道等地方有哪些公共设施是公用的吗？生：垃圾箱、公用雨伞、共享单车、花、公用的健身器材……这些公共设施是公有的，是供大家使用的，不是自己的，不能占为己有。

生活中，东西有公用的，在数学领域，是否存在着“公有”的知识呢？活动2感受“公有”教师出示一组卡片，让学生说一说卡片上各数的因数有哪些。

你是怎样找出来的？预设生1：8的因数有1、2、4、8。

12的因数有1、2、3、4、6、12。

18的因数有1、2、3、6、9、18。

24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24。

36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。

生2：我发现这组卡片上各数的因数中有“公有”的，即各数的因数有相同的。

课题：最大公因数导学案（第一课时）班级：五年级学科：数学主备人：叶子审核人：姓名：家长签字：学习目标:1. 知道公因数就是几个数共同公有的因数，而在这些共同公有的因数当中，最大的那个叫做最大公因数。

2. 知道找几个数最大公因数的方法有多种，分别是：列举法、筛选法、短除法。

能熟悉地运用其中的一种方法来找出两个数的最大公因数。

学习重点：理解公因数和最大公因数的意义，用短除法求最大公因数的方法。

学习难点：找公因数和最大公因数的方法。

第一课时。

学习过程：一、温故可以知新：1、在“3×4=12”这个算式中，12是3和4的（），3和4是12的（）。

2、12的因数有:（）16的因数有:( ）24的因数有：（）36的因数有：（）二、自主学习：公因数、最大公因数的求法如何找12和16的公因数和最大公因数？为了更形象地表示出1、2、4与16和12的关系，我们还可以用集合图的形式来表示出来。

自学课本45页集合图，体会用集合图求公因数。

16和28的公因数16和28的最大公因数是（）还可以用什么方法求呢？可以分为哪几步？小组讨论交流。

1、 2、3、 4、2、短除法：用18和27的最小质因数3去除，一直除到它们的商只有公因数1为止，然后把所有的除数相乘，得到的积，就是18和27的最大公因数。

2 318和27除了两次3以后，除得的商2和3只有公因数1，就不要在除了，直接把两个除数3相乘，（）×（）就得到它们的最大公因数9了。

三：我是闯关小能手：1、我知道10的因数：（）15的因数：（）10和15的公因数：（）10和15的最大公因数是（）。

⑵ 14的因数：（）49的因数：（）14和49的公因数：（）14和49的最大公因数是（）。

2.用短除法找出下面每组数的最大公因数：25和30 24和36四：动脑筋一个长方体木块，长40厘米，宽24厘米，高20厘米。

现在要把它切成大小相等的小正方体（不准有有剩余），那么小正方体的棱长最大可以是多少厘米？五：作业求下面每组数的最大公因数18和24 15和27 21和36课题：最大公因数导学案（第二课时）班级：五年级学科：数学主备人：吴雪妮审核人：姓名：家长签字：学习目标：1、知道求最大公因数的两种特殊情况：求两个有倍数关系的数的最大公因数是那个较小的数；两个相邻的自然数的最大公因数是1。

最大公因数【专题剖析】1、公因数和最大公因数整数a除以整数b(b≠0),除得的商正好是整数而余数为零,我们就说,a能被b整除,a就叫做b的倍数,b叫做a的因数。

几个数公有的因数叫做这几个数的公因数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数。

例如:12的因数有1,2,3,4,6,12;30的因数有1,2,3,10,15,3012和30的公因数有1,2,3,6,其中6是12和30的最大公因数。

一般地我们用(a,b)表示a,b这两个自然数的最大公因数,如(12,30)=6。

如果(a,b)=1,则a,b两个数是互质数。

2、求两个数的最大公因数一般有以下几种方法:(1)分解质因数法;(2)短除法;(3)辗转相除法(4)小数缩倍法;(5)公式法a×b=(a,b)×[a,b]3、理解最大公因数的概念,运用最大化因数的性质,学会求最大公因数的常用方法,便能熟练地解决目常生活中出现的相关问题。

本讲除了短除法还卖介绍另一种辗转相除法求最大公因数。

例题精讲一：一张长方形的纸,长75厘米、宽6分米。

现在要把它刚好裁成一些边长相等的正方形,并且正方形边长为整厘米数,有几种裁法?如果要使裁得的正方形面积最大,可以裁多少块?【思路导航】6分米=60厘米。

因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75厘米和60厘米,所以边长是75和60的公约数。

75和60的公约数有1,3,5,15,所以有4种裁法如果要使正方形面积最大,那么边长也应该最大,应该取75和60的最大公约数15作为正方形的边长。

所以可以裁(75÷15)x(60÷15)=20(块)。

答:有4种裁法,最大的正方形可以裁20块。

试一试：1.把一张135厘米长、105厘米宽的长方形纸,裁成同样大小的正方形,并且无剩余,至少能裁多少块?2.一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板,把它锯成若干块大小相同的正方形而无剩余,所锯成的正方形的边长最长是多少厘米?3、有三根铁丝,长度分别是80厘米、120厘米和200厘米。

数论中的最大公因数与最小公倍数数论是数学的一个重要分支，研究整数的性质和关系。

在数论中，最大公因数（Greatest Common Divisor，GCD）和最小公倍数（Least Common Multiple，LCM）是两个经典概念，它们在数学中起着重要的作用。

本文将深入探讨数论中的最大公因数与最小公倍数的定义、性质以及应用。

一、最大公因数定义与性质最大公因数，又称最大公约数，是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个数。

对于给定的整数a和b，记为gcd(a, b)或(a, b)。

最大公因数有以下性质：1. 整数a和b的约数也是其最大公因数的约数；2. 若最大公因数为1，则称a和b互质（或互为素数）；3. 若a和b互质，则gcd(a, b) = 1；4. 若a能被b整除，则gcd(a, b) = b；5. 对任意整数a和b，gcd(a, b) = gcd(b, a)。

二、最小公倍数定义与性质最小公倍数，指的是两个或多个整数的公共倍数中最小的一个数。

对于给定的整数a和b，记为lcm(a, b)或[a, b]。

最小公倍数有以下性质：1. 整数a和b的倍数也是其最小公倍数的倍数；2. 若最小公倍数为1，则称a和b互质（或互为素数）；3. 若a和b互质，则lcm(a, b) = a * b；4. 若a能被b整除，则lcm(a, b) = a；5. 对任意整数a和b，lcm(a, b) = lcm(b, a)。

三、最大公因数与最小公倍数的关系在数论中，最大公因数与最小公倍数有如下关系：gcd(a, b) * lcm(a, b) = a * b这个关系表明，对于任意两个整数a和b，它们的最大公因数与最小公倍数乘积等于它们的积。

四、最大公因数与最小公倍数的应用最大公因数与最小公倍数不仅在数论中起到关键作用，而且在实际生活和其他数学领域中也有广泛应用。

1. 分数的化简与比较：通过求得分子和分母的最大公因数，可以将分数化简为最简形式。

《求两个数的最大公因数的练习（一）》教学设计
◆您现在正在阅读的《求两个数的最大公因数的练习（一）》教学设计文章内容由收集!本站将为您提供更多的精品教学资源!《求两个数的最大公因数的练习（一）》教学设计教学内容：完成练习五的第6～11题。

 教学要求：
 1、通过练习，使学生发现求两个数的最大公因数的一些简捷的方法，并能根据两个数的关系选择用合理的方法求两个数的最大公因数。

 2、让学生感受数学与生活的联系，体会解决问题策略的多样性。

 教学重点：学生掌握求两个数的最大公因数的一些简捷的方法。

 教学难点：学生回选择用合理的方法求两个数的最大公因数。

 教学过程：
 一、基础练习
 找出下面每组数的最大公因数。

 14和1630和1015和921和28。