高三数学导数的综合应用 教案 教学设计

数学导数与应用教案教案标题：数学导数与应用教案教学目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握求导法则和常用函数的导数；3. 学会应用导数解决实际问题。

教学重点：1. 导数的定义和计算方法；2. 常用函数的导数；3. 导数在实际问题中的应用。

教学难点：1. 导数的应用问题解决；2. 复合函数的导数计算。

教学准备：1. 教学课件和投影仪；2. 教学实例和练习题；3. 计算器和纸笔。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念，提问学生对导数的理解；2. 回顾函数的变化率与导数的关系。

二、导数的定义和计算方法（20分钟）1. 讲解导数的定义，强调导数的几何意义；2. 介绍求导法则，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的导数计算方法；3. 指导学生通过实例计算导数。

三、常用函数的导数（15分钟）1. 介绍常用函数的导数，如多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数的导数；2. 给出常用函数导数的表格，让学生熟悉常见函数的导数规律。

四、导数在实际问题中的应用（20分钟）1. 引入导数在实际问题中的应用，如最优化问题和曲线的切线问题；2. 通过实例演示导数在实际问题中的应用，如最大值和最小值问题的求解；3. 让学生尝试解决一些实际问题，如最大面积和最小时间等。

五、复合函数的导数计算（15分钟）1. 引入复合函数的概念，解释复合函数导数计算的方法；2. 通过实例演示复合函数的导数计算方法；3. 给出一些练习题，让学生巩固复合函数导数计算的方法。

六、总结与拓展（5分钟）1. 总结导数的概念、计算方法和应用；2. 引导学生思考导数在其他学科中的应用，如物理学和经济学等。

教学延伸：1. 鼓励学生自主学习更多导数的应用领域；2. 提供更多实际问题，让学生运用导数解决。

教学评估：1. 课堂练习题的完成情况；2. 学生对导数概念和应用的理解程度；3. 学生在实际问题中运用导数的能力。

教学反思：本节课通过引导学生理解导数的概念和意义，掌握导数的计算方法和常用函数的导数规律，以及应用导数解决实际问题。

3.3 导数的综合应用一、教学目标1.利用导数研究函数的单调性,从而可解决比较大小、极值问题、单峰函数的最值问题.2.利用导数的几何意义研究曲线的切线问题.3.利用导数解决物体的运动速度问题.二、点击双基1.某物体作s =2(1-t )2的直线运动，则t =0.8 s 时的瞬时速度为( )A.4B.-4C.-4.8D.-0.82.函数f (x )=x 3-6bx +3b 在(0,1)内有极小值，则( )A.b >0B.b <21C.0<b <22D.b <1 3.函数f (x )=a x +log a (x +1)在［0，1］上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为( ) A.41 B.21C.2D.4 4.已知曲线y =31x 3+34,则过点P (2,4)的切线方程是___________________. 5.设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为____________.诱思·实例点拨『例1』设x >-2,n ∈N *,比较(1+x )n 与1+nx 的大小.链接·拓展本题可用归纳——猜想——证明法解.当n =1时，(1+x )1=1+x .当n =2时，(1+x )2=1+2x +x 2≥1+2x .当n =3时，(1+x )3=1+3x +3x 2+x 3=1+3x +x 2(3+x )≥1+3x .猜想:(1+x )n ≥1+nx .『例2』已知函数f (x )=bx ax +-26的图象在点M (-1,f (-1))处的切线方程为x +2y +5=0. (1)求函数y =f (x )的解析式;(2)求函数y =f (x )的单调区间.『例3』 用总长14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架.如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m ,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.『例4』已知函数f (x )=ln x ,g (x )=21ax 2+bx ,a ≠0. (1)若b =2,且函数h (x )=f (x )-g (x )存在单调递减区间,求a 的取值范围;(2)设函数f (x )的图象C 1与函数g (x )的图象C 2交于点P 、Q ,过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N .证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.答案二、点击双基1.『解析』s ′=-4(1-t ),∴当t =0.8 s 时，v =-0.8.『答案』D2.『解析』f ′(x )=3x 2-6b ,令f ′(x )=0，得x =±2b .∵f (x )在(0,1)内有极小值，∴0<2b <1.∴0<b <22. 『答案』C3.『解析』f ′(x )=a x ln a +11+x log a e. ∵x ∈［0,1］,∴当a >1时,a x ln a +11+x log a e>0. ∴f (x )为增函数.当0<a <1时,a x ln a +11+x log a e<0, ∴f (x )为减函数.∴f (0)+f (1)=a .∴a =21. 『答案』B4.『解析』y ′=x 2,当x =2时,y ′=4.∴切线的斜率为4.∴切线的方程为y -4=4(x -2)，即y =4x -4.『答案』4x -y -4=05.『解析』设底面边长为x ,则高为h =234xV , ∴S 表=3×234xV ·x +2×43x 2=x V 34+23x 2. ∴S ′=-234xV +3x . 令S ′=0，得x =34V . 『答案』34V『例1』剖析:从条件最易想到归纳——猜想——证明，但证明由n =k 到n =k +1时，(1+x )k +1=(1+x )k · (1+x )过渡到(1+x )k 时不等方向不确定，故需按1+x 的符号讨论证明.但本题若用导数解就比较简单了.解:设f (x )=(1+x )n -1-nx ,当n =1时，f (x )=0,∴(1+x )n =1+nx .当n ≥2，n ∈N *时,f ′(x )=n (1+x )n -1-n =n ［(1+x )n -1-1］,令f ′(x )=0,得x =0.当-2<x <0时，f ′(x )<0,f (x )在(-2,0)上为减函数；当x >0时，f (x )>0.∴f (x )在［0,+∞］上为增函数.∴当x >-2时，f (x )≥f (0)=0.∴(1+x )n ≥1+nx .综上,得(1+x )n ≥1+nx .讲评:构造函数法是比较两个多项式的大小或证明不等式常用的方法.链接·拓展证明:当x ≥-1时，(1)当n =1时，(1+x )n ≥1+nx 成立.(2)假设n =k 时，(1+x )k ≥1+kx 成立，那么(1+x )k +1=(1+x )k ·(1+x )≥(1+x )·(1+kx )=1+(k +1)x +kx 2≥1+(k +1)x .∴当n =k +1时，(1+x )n ≥1+nx 成立.由(1)(2)可知，当x ≥-1时，对n ∈N *，(1+x )n ≥1+nx .当-2<x <-1时，当n =1时，(1+x )n =1+x ；当n ≥2时，|1+x |<1.∴|1+x |n <1.而1+nx <1-n ≤-1,∴(1+x )n >1+nx .综上,得(1+x )n ≥1+nx 正确.『例2』剖析:(1)f ′(1)即为x +2y +5=0的斜率,从而得出一个关于a 、b 的关系式.点M (-1,f (-1))在切线上,又得出一个关于a 、b 的等量关系式.从而可求出a 、b .(2)利用导数可求y =f (x )的单调区间.解:(1)由函数f (x )的图象在点M (-1,f (-1))处的切线方程为x +2y +5=0,知-1+2f (-1)+5=0,即f (-1)=-2,f ′(-1)=-21. ∵f ′(x )=222)()6(2)(b x ax x b x a +--+, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--++-=+--,21)1()6(2)1(,2162b a b a b a 即⎪⎩⎪⎨⎧-=++-+-=.21)1()6(2)1(,422b a b a b a 解得a =2,b =3(∵b +1≠0,b =-1舍去).∴所求的函数解析式是f (x )=3622+-x x . (2)f ′(x )=222)3(6122+++-x x x . 令-2x 2+12x +6=0,解得x 1=3-23,x 2=3+23.当x <3-23或x >3+23时,f ′(x )<0;当3-23<x <3+23时,f ′(x )>0.所以f (x )=3622+-x x 在(-∞,3-23)内是减函数,在(3-23,3+23)内是增函数,在(3+23,+∞)内是减函数.讲评:本题主要考查函数的单调性、导数的应用等知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.『例3』解:设容器底面短边长为x m ,则另一边长为(x +0.5) m ,高为4)5.0(448.14+--x x =3.2-2x (m ). 设容积为y m 3,则y =x (x +0.5)(3.2-2x )(0<x <1.6),整理,得y =-2x 3+2.2x 2+1.6x .所以y ′=-6x 2+4.4x +1.6.令y ′=0,即-6x 2+4.4x +1.6=0,所以15x 2-11x -4=0.解得x =1或x =-154(不合题意,舍去). 从而在定义域(0,1.6)内只有x =1处使得y ′=0.由题意,若x 过小(接近0)或过大(接近1.6)时,y 值很小(接近0).因此,当x =1时,y 有最大值且y max =-2+2.2+1.6=1.8,此时,高为3.2-2×1=1.2.答:容器的高为1.2 m 时,容积最大,最大容积改为1.8 m 3.讲评:在实际问题中,有时会遇到函数在区间内仅有一个点使f ′(x )=0,如果函数在这点有极大(小)值,那么这点是使函数取最大(小)值的点.这所说的区间不仅适用于闭区间,也适用于开区间或无穷区间.『例4』(1)解:b =2时,h (x )=ln x -21ax 2-2x , 则h ′(x )=x1-ax -2=-x x ax 122-+. 因为函数h (x )存在单调递减区间,所以h ′(x )<0有解.又因为x >0,则ax 2+2x -1>0有x >0的解.①当a >0时,y =ax 2+2x -1为开口向上的抛物线,ax 2+2x -1>0总有x >0的解;②当a <0时,y =ax 2+2x -1为开口向下的抛物线,而ax 2+2x -1>0有x >0的解,则Δ=4+4a >0,且方程ax 2+2x -1=0至少有一正根,此时,-1<a <0.综上所述,a 的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞).(2)证明:设点P 、Q 的坐标分别是(x 1,y 1)、(x 2,y 2),0<x 1<x 2,则点M 、N 的横坐标为x =221x x +, C 1在点M 处的切线斜率为k 1=212x x +, C 2在点N 处的切线斜率为k 2=ax +b 221|x x x +==2)(21x x a ++b . 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行,则k 1=k 2,即212x x +=2)(21x x a ++b . 则1212)(2x x x x --=2a (x 22-x 12)+b (x 2-x 1) =(2a x 22+bx 2)-(2a x 12+bx 1) =y 2-y 1=ln x 2-ln x 1.所以ln 12x x =12121)1(2x x x x +-. 设t =12x x ,则ln t =tt +-1)1(2,t >1. ① 令r (t )=ln t -tt +-1)1(2,t >1,则r ′(t )=t 1-2)1(4+t =22)1()1(+-t t t . 因为t >1时,r ′(t )>0,所以r (t )在［1,+∞］上单调递增.故r (t )>r (1)=0.则ln t >tt +-1)1(2. 这与①矛盾,假设不成立.故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.讲评:本题主要考查函数的性质、导数,分类讨论的思想,以及分析问题和解决问题的能力.注意运用导数研究函数的单调性及切线问题.。

《导数的综合应用》教学设计教学目标：1.理解导数在实际问题中的应用并能够应用导数解决实际问题；2.掌握求解极值、最大值和最小值的方法；3.能够根据给出的实际问题建立函数模型，并通过求导得到关键信息。

教学内容：1.导数的实际应用；2.极值、最大值和最小值的求解；3.建立函数模型的方法及求解。

教学重点：1.导数在实际问题中的应用；2.如何求解极值、最大值和最小值；3.如何建立函数模型并求解。

教学难点：1.如何将实际问题转化为函数模型并利用导数求解；2.如何确定极值、最大值和最小值。

教学准备：1.教材：数学课本、复印件；2.工具：黑板、彩色粉笔、计算器。

教学过程：Step 1: 导入教师可以通过提问来引入本节课的内容，例如问学生近来有没有遇到过与导数相关的实际问题，以便唤起学生对该主题的兴趣。

Step 2: 导数的实际应用教师简要介绍导数在实际问题中的应用，如速度与加速度、边际效应与边际收益、最优化问题等。

然后通过示例问题来说明导数的应用，如在一个矩形围栏内最大化面积、确定函数的上升区间等。

Step 3: 极值、最大值和最小值教师讲解如何通过求导确定一个函数的极值、最大值和最小值，包括过程和步骤。

然后通过示例问题进行演示，让学生在演示中掌握求解的具体方法。

Step 4: 函数建模和求解教师讲解如何根据实际问题建立函数模型，并通过求导得到关键信息。

例如，在一个长方体盒子中找到体积最大的形状，可以用V = lwh去建立函数模型，然后通过求导得到关键信息。

教师可以通过示范来进行讲解。

Step 5: 练习与巩固教师布置一些练习题，让学生在课堂上或课后完成。

练习题可以包括一些具体的实际问题，让学生将其转化为函数模型并求解。

Step 6: 总结与评价教师与学生一起总结本节课的主要内容，并进行评价。

教师可以提问学生对于本节课内容的理解和掌握程度，或者让学生写一篇总结文章。

Step 7: 拓展教师可以引导学生进一步探索导数的应用，以及其他更高级的应用领域，如微分方程、优化问题等。

高中数学导数应用问题教案
主题：导数的应用问题
教学目标：
1.了解导数的定义及其应用；
2.掌握常见的导数应用问题求解方法；
3.能够运用导数解决实际问题。

教学重点：
1.导数的定义及性质；
2.导数在实际问题中的应用。

教学难点：
1.如何将实际问题转化为导数问题求解；
2.如何运用导数解决各类应用问题。

教学准备：
1.教师准备相关教学资料和案例；
2.学生准备笔记和计算工具。

教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师用一个实际问题引入导数的应用，引导学生思考导数在解决实际问题中的作用。

二、概念讲解（10分钟）
1.复习导数的定义及性质；
2.介绍导数在实际问题中的应用，如最速下降问题、最大最小问题等。

三、案例分析（15分钟）
教师以实际问题为例，分析导数应用问题的解题思路和方法，并带领学生一起解决一些简单的案例。

四、练习与讨论（15分钟）
1.学生进行导数应用问题的练习，教师提供帮助和指导；
2.学生分组讨论解题过程，分享解题方法和经验。

五、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，强调导数在实际问题中的应用重要性。

六、作业布置（5分钟）
布置相关的导数应用问题作业，希望学生能够独立完成并加强对应用问题的理解和掌握。

教学反思：
通过本节课的教学，学生对导数的应用有了更深入的了解，同时也能够更加灵活地应用导数解决各类实际问题。

希望学生能够在课下多加练习，进一步提高解题能力和运用能力。

高中数学导数的应用教案
教学目标：学生能够理解导数的概念，掌握导数在实际问题中的应用，并能够运用导数解决相关问题。

教学重点和难点：掌握导数在实际问题中的应用。

教学准备：教师准备课件、实例题目，学生准备笔记本、笔。

教学过程：
一、导入（10分钟）
通过一个生活实例引入导数的概念，让学生初步了解导数在实际中的意义。

二、概念讲解（15分钟）
1. 温故导数的定义和性质；
2. 导数的应用领域；
3. 导数在实际问题中的意义和作用。

三、实例分析（20分钟）
教师通过实例问题，引导学生运用导数进行问题求解，如最值问题、速度问题等。

四、练习（15分钟）
让学生在课堂上进行练习题目，加深对导数应用的理解。

五、总结（10分钟）
通过讨论和总结，让学生掌握导数在实际问题中的应用方法，并复习导数的相关概念。

六、作业布置（5分钟）
布置相关作业，让学生巩固所学知识。

教学反思：
通过实例讲解和练习，能够有效帮助学生掌握导数在实际问题中的应用方法。

同时，通过讨论和总结，可以使学生更深入地理解导数的概念和性质。

导数专题及其应用教学设计导数是高等数学中的重要概念，也是微积分的基础知识之一。

在学习和应用导数时，学生需要理解导数的定义、性质以及其在实际问题中的应用。

本文将介绍导数的概念及其应用，并设计一节关于导数的课堂教学。

一、导数的概念导数是函数的增量与自变量增量比的极限。

如果函数 f(x) 在点 x 处可导，并且导数的极限存在，那么函数 f(x) 在点 x 处的导数值就是函数f(x) 在点x 处的切线的斜率。

导数可以用函数的微分来表示，记作 f'(x) 或者 dy/dx。

在教学中，可以从几何和物理角度引入导数的概念。

给定曲线上的一点 P，可以取曲线上与点 P 非常接近的另外一点 Q，通过计算点 P 和点 Q 连线的斜率，可以得到点 P 处的切线的斜率，也即导数的值。

导数有一些重要的性质，例如：1. 可导性：如果函数在某一点可以导，则该点称为可导点。

2. 连续性：可导函数在其定义域内连续。

3. 导数为0：如果导数在某一点为0，则该点是函数的驻点。

4. 导数的加法、减法性质：如果两个函数在某一点都可导，则它们的和/差的导数等于它们的导数之和/差。

二、导数的应用导数在实际问题中有着广泛的应用。

以下列举几个常见的应用领域：1. 最值问题：通过求函数的导数，可以确定函数的最大值或最小值所对应的自变量值。

这一应用在经济学、物理学等领域具有重要意义。

2. 曲线绘制：通过绘制函数的导数，可以描绘函数图像的特征，包括函数的增减性、凹凸性等。

3. 速度与加速度问题：将位移函数对时间求导可以得到速度函数，进一步对速度函数求导可以得到加速度函数。

这一应用在物理学中被广泛使用。

4. 面积与体积问题：通过对函数的导数进行积分，可以得到函数的面积或曲面的体积。

三、导数教学设计本节课的目标是让学生理解导数的定义、性质以及应用，并能够熟练地计算相关的导数和解决实际问题。

教学步骤如下：第一步：导入导数的概念通过举例介绍导数的定义和基本性质，帮助学生初步理解导数的含义。

导数的综合应⽤公开课教案§3.4 导数的综合应⽤基础知识⾃主学习要点梳理1.利⽤导数研究函数单调性的步骤(1)求导数)('x f ；(2)在函数)(x f 的定义域内解不等式)('x f >0或)('x f <0； (3)根据(2)的结果确定函数)(x f 的单调区间2．求可导函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数)('x f ；(3)解⽅程)('x f ＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验)('x f 在)('x f ＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在x 0处取极⼤值，如果左负右正，那么)(x f 在x 0处取极⼩值．3．求函数f (x)在闭区间[a ，b]内的最⼤值与最⼩值(1)确定函数)(x f 在闭区间[a ，b]内连续、可导；(2)求函数)(x f 在开区间(a ，b)内的极值；(3)求函数)(x f 在[a,b]端点处的函数值f (a)，f (b);(4)⽐较函数)(x f 的各极值与f (a)，f (b)的⼤⼩，其中最⼤的⼀个是最⼤值,最⼩的⼀个是最⼩值. 4．利⽤导数解决实际⽣活中的优化问题(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建⽴实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y ＝)(x f ；(2)求导数)('x f ，解⽅程)('x f ＝0；(3)判断使)('x f ＝0的点是极⼤值点还是极⼩值点；1．在平⾯直⾓坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第⼆象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________． 2．若)(x f ＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极⼤值和极⼩值，则a 的取值范围为__________________________．3．若函数)(x f ＝x ＋asin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为4.设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有⼤于零的极值点，则( )A ．a>－3B ．a<－3C ．a>－13D ．a<－13题型分类深度剖析题型⼀利⽤导数的⼏何意义解题例1 设函数)(x f ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a 、b 、c 、d ∈R)的图象关于原点对称，且当x ＝1时f(x)有极⼩值－23. (1)求a 、b 、c 、d 的值；(2)当x ∈[－1,1]时，问图象上是否存在两点使过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论．解 (1)∵)(x f 的图象关于原点对称，∴f (－x)＝－f (x)，∴－ax 3＋bx 2－cx ＋d ＝－ax 3－bx 2－cx －d ，∴bx 2＋d ＝0恒成⽴，∴b ＝0，d ＝0.∴)(x f ＝ax 3＋cx ，∴f ′(x)＝3ax 2＋c. ∵当x ＝1时，)(x f 有极⼩值为－23，∴3a ＋c ＝0，a ＋c ＝－23，解得变式训练1已知函数)(x f ＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c 图象上的点P(1，f (1))处的切线⽅程为y ＝－3x ＋1，函数g(x)＝f (x)－ax 2＋3是奇函数． (1)求函数f (x)的表达式； (2)求函数f (x)的极值．解 (1))('x f ＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵函数)(x f 在x ＝1处的切线斜率为－3，∴f ′(1)＝－3＋2a ＋b ＝－3，即2a ＋b ＝0，⼜f (1)＝－1＋a ＋b ＋c ＝－2，得a ＋b ＋c ＝－1，⼜函数g(x)＝－x 3＋bx ＋c ＋3是奇函数，g(0)＝0，∴c ＝－3. ∴a ＝－2，b ＝4，c ＝－3，∴)(x f ＝－x 3－2x 2＋4x －3.(2))('x f ＝－3x 2－4x ＋4＝－(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x)＝0，得x ＝23或x ＝－2， f ′(x)，随x 的变化情况如下表：∴)(x f 极⼩值＝f (－2)＝－11，)(x f 极⼤值＝f ? ????23＝－4127题型⼆⽤导数研究函数的性质例2 已知a 是实数，函数f (x)＝x(x －a)．(1)求函数)(x f 的单调区间；(2)设g(a)为)(x f 在区间[0,2]上的最⼩值．(i)写出g(a)的表达式；(ii)求a 的取值范围，使得－6≤g(a)≤－2. 解 (1)函数的定义域为[0，＋∞)，('x f ＝x ＋x －a 2x ＝3x －a2x(x>0)．若a ≤0，则)('x f >0，f (x)有单调递增区间[0，＋∞)；若a>0，令f ′(x)＝0，得x ＝a3.当0a3时，f ′(x)>0. 所以f(x)有单调递减区间[0，a3]，单调递增区间[a3,＋∞]. (2) (i)若a ≤0，)(x f 在[0,2]上单调递增，所以g(a)＝f (0)＝0.若00，a 3上单调递减，在a 3，2上单调递增，所以g(a)＝f ? ????a 3＝－2a 3 a 3.若a ≥6，f (x)在[0,2]上单调递减，所以g(a)＝f (2)＝2(2－a )．综上所述，g(a)＝(4)令－6≤g(a)≤－2.若a ≤0，⽆解；若0所以a 的取值范围为3≤a ≤2＋3 2.变式训练2 (2010·江西)设函数f(x)＝ln x ＋ln(2－x)＋ax(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(]0，1上的最⼤值为12，求a 的值．解函数f(x)的定义域为(0,2)，f ′(x)＝1x －12－x＋a.(1)当a ＝1时，f ′(x)＝－x 2＋2x (2－x )，所以f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)． (2)当x ∈(0,1]时，f ′(x)＝2－2xx (2－x )＋a ＞0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最⼤值为f(1)＝a ，因此a ＝1。

3.4 导数的综合应用要点集结1.导数的综合应用有两个方面：其一是运用导数研究函数的性质，如单调性、极值、最值，进而研究函数的零点、方程的根、不等式的证明、恒成立问题等；其二是导数在实际生活中的应用，而目标函数的建立是运用导数解决最值问题的关键，注意选择恰当的自变量，同时要注意实际背景所限定的变量的取值范围.2.要重视分类讨论、数形结合、函数与方程等基本数学思想的运用，尤其对含参问题的讨论要全面、清晰.基础自测1.函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为________．2.已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f (x )＝a x ·g (x )(a >0，且a ≠1)， f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 的值为____________． 3.已知函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在(－∞,＋∞)内单调递减，则实数m 为________．4.函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为______________． 5.将一个周长为12的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的比为____.考点探究例1．已知函数x ax x x f 3)(23+-=(1)若)(x f 在[)+∞,1上是增函数，求实数a 的取值范围.(2)若3=x 是)(x f 的极值点，求)(x f 在[]a x ,1∈上的最大值与最小值.例2.已知函数f (x )=ax 3+bx 2+4x 的极小值为-8,其导函数y =f '(x )的图象经过点(-2,0),如图所示.(1)求f (x )的解析式；(2)若函数y =f (x )-k 在区间[-3,2]上有两个不同的零点,求实数k 的取值范围.y xO -2例3．已知(]xx x g e x x ax x f ln )(,,0,ln )(=∈-=. (1)当1=a 时，讨论函数)(x f 的单调性和极值；(2)在(1)的条件下，证明：21)()(+>x g x f .变式1：在本例条件下，是否存在正实数a ，使得)(x f 的最小值为3，若存在，则求出a 的值，若不存在，则说明理由.变式2：设函数ax e x g ax x x f x -=-=)(,ln )(，其中a 为实数，若)(x f 在()+∞,1上是单调递减函数，且)(x g 在()+∞,1上有最小值，求a 的取值范围；变式3：设L 为曲线C ：xx y ln =在点()0,1处的切线， (1)求L 的方程， (2)证明；除切点)0,1(之外，曲线C 在直线L 的下方.热点研习1.已知a ≤1－x x＋ln x 对于x ∈⎣⎡⎦⎤12，2恒成立，则a 的最大值为________． 2.已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为y ＝-13x 3＋81x -234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件．3.若函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为________． 4.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜角均为34π，则以下命题：其中正确命题的序号为________． ①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]；②f (x )的极值点有且只有一个；③f (x )的最大值与最小值之和等于零．5.若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫－12，0内单调递增，则a 的取值范围是________．6.函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R)，若对于任意的x ∈[－1,1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为______．7.已知函数f (x )的导数f ′(x )＝3x 2－3ax ，f (0)＝b ，a ，b 为实数，1<a <2.(1)若f (x )在区间[－1,1]上的最小值、最大值分别为－2、1，求a 、b 的值；(2)在(1)的条件下，求经过点P (2,1)且与曲线f (x )相切的直线l 的方程．8.已知函数f (x )＝x ＋a ln x ，其中a 为常数，且a ≤－1.若f (x )≤e －1对任意x ∈[e ，e 2]恒成立，求实数a 的取值范围．9.已知函数()()()x x xe e x g x a x a x x f -+=-+-=21,ln 1， (1)当[]e x ,1∈时，求()x f 的最小值；(2)当1<a 时，若存在[]21,ee x ∈，使得对任意的[]()()212,0,2x g xf x <-∈恒成立，求a 的取值范围.10.已知函数()()1--=x a e x f x ，(1)当1-=a 时，求函数()x f 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)讨论函数()x f 的单调性，并写出相应的单调区间；(3)已知()b x f ≥对任意R x ∈恒成立，求ab 的最大值.。

导数的应用课程设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握导数的应用，包括求函数的切线方程、单调性、极值和最值等。

学生应能理解导数的基本概念，并能运用导数解决实际问题。

在技能目标方面，学生应能熟练运用导数求解函数的切线方程、单调区间、极值和最值等问题。

在情感态度价值观目标方面，学生应能体验到数学的实用性和趣味性，培养对数学的热爱和兴趣。

二、教学内容本节课的教学内容主要包括导数的定义、导数的几何意义、导数的运算规则以及导数在实际问题中的应用。

首先，引导学生回顾函数的极限概念，进而引入导数的定义，通过几何直观解释导数的概念。

然后，介绍导数的运算规则，包括求导法则和复合函数的导数。

最后，结合实际问题，讲解导数在求解函数的切线方程、单调性、极值和最值等方面的应用。

三、教学方法为了提高学生的学习兴趣和主动性，本节课采用多种教学方法。

首先，运用讲授法，系统地讲解导数的定义、几何意义和运算规则。

其次，采用案例分析法，通过具体例子引导学生运用导数解决实际问题。

此外，小组讨论，让学生互相交流学习心得，提高合作能力。

最后，利用实验法，让学生亲自动手操作，加深对导数概念的理解。

四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本节课准备了一系列教学资源。

教材方面，选用《高等数学导数应用》教材，系统地讲解导数的理论和应用。

参考书方面，推荐学生阅读《导数及其应用》等书籍，以拓宽知识面。

多媒体资料方面，制作了导数的动画演示和案例分析的PPT，增强课堂的趣味性和直观性。

实验设备方面，准备了计算机和投影仪，以便进行课堂演示和讲解。

五、教学评估本节课的评估方式包括平时表现、作业和考试三个部分。

平时表现主要评估学生在课堂上的参与程度、提问回答和小组讨论的表现。

作业方面，布置与课程内容相关的练习题，要求学生在规定时间内完成，培养学生的自主学习能力。

考试则分为期中考试和期末考试，期中考试主要评估学生对导数知识的掌握情况，期末考试则综合评估学生对导数应用的理解和运用能力。

导数专题及其应用教案教案标题：导数专题及其应用教案教案目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 熟悉导数在实际问题中的应用。

教学重点：1. 导数的定义和计算方法；2. 导数在函数图像、极值和曲线的切线方程中的应用。

教学难点：1. 理解导数的概念和意义；2. 运用导数解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、计算工具；2. 学生准备：教材、笔记、计算器。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念，提问学生对导数的理解；2. 通过一个简单的例子，引导学生思考导数的意义。

二、导数的定义和计算方法（15分钟）1. 介绍导数的定义和符号表示；2. 讲解导数的计算方法，包括用极限定义导数和使用导数公式计算导数；3. 通过示例演示导数的计算过程。

三、导数在函数图像中的应用（15分钟）1. 讲解导数与函数图像的关系，包括导数与函数的增减性、极值和拐点；2. 指导学生根据导数的正负判断函数的增减性，并绘制函数图像；3. 引导学生通过导数的零点判断函数的极值和拐点，并绘制函数图像。

四、导数在曲线的切线方程中的应用（15分钟）1. 引入导数与曲线的切线方程的关系；2. 讲解切线方程的一般形式和求解步骤；3. 指导学生根据导数和给定点求解曲线的切线方程，并进行实际问题的应用练习。

五、导数在实际问题中的应用（15分钟）1. 介绍导数在实际问题中的应用领域，如物理、经济等；2. 提供一些实际问题，引导学生运用导数解决问题；3. 学生个别或小组完成导数应用问题的解答和讨论。

六、总结（5分钟）1. 简要回顾导数的概念和计算方法；2. 强调导数在实际问题中的应用；3. 鼓励学生继续深入学习导数的相关知识。

教学延伸：1. 提供更多的导数计算练习题，巩固学生的计算能力；2. 引导学生在实际生活中寻找更多导数的应用案例，并进行讨论和分享。

教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现；2. 学生完成课后作业，包括导数计算和应用题目；3. 学生进行小组或个人报告，展示导数在实际问题中的应用案例。

导数的应用教案导数的应用教案一、教学目标：1.了解导数的概念及其意义；2.掌握导数的计算方法；3.能够应用导数解决实际问题。

二、教学内容：1.导数的概念及其意义；2.导数的计算方法；3.导数的应用实例。

三、教学过程：1.导入导数概念：教师通过提问方式引导学生回顾前面学习的知识，了解函数的极限与导数之间的关系，并引入导数的概念。

教师可以通过举例说明导数的概念，如汽车行驶距离与时间的关系等。

2.导数的计算方法：教师介绍导数的计算方法，包括极限定义、导数公式和导数性质等，并通过具体的例子进行讲解，如多项式函数的导数计算等。

3.导数的应用实例：教师通过实际问题让学生应用导数解决实际问题，如求函数的最值、判定函数的增减性、判定函数的凸凹性等。

教师可以先进行概念讲解，然后给出具体的应用实例，让学生进行分析和解答。

4.教学巩固与拓展：教师进行导数的应用拓展，让学生了解导数在其他领域的应用，如物理学中的速度与加速度、经济学中的边际产量与边际成本等，并进行讲解和讨论。

四、教学方法：1.导入法：通过导入问题或例子引发学生思考，激发学生学习兴趣。

2.讲解法：通过讲解导数的概念和计算方法，使学生掌握相关知识。

3.示范法：通过示范具体例题，帮助学生理解和掌握导数的应用方法。

4.讨论法：通过学生的互动讨论，加深对导数应用的理解和掌握。

五、教学资源：1.课件：包括导数的概念、计算方法及应用实例的课件。

2.习题集：提供导数的应用习题，帮助学生巩固和拓展知识。

六、教学评价：1.课堂练习：提供一定数量的导数应用题，检查学生的掌握情况。

2.作业：布置一定数量的导数应用题，供学生进行复习和巩固。

3.学生评价：通过学生对教学过程的反馈和教师的观察，对教学效果进行评价。

七、教学反思：通过开展导数的应用教学，学生能够进一步理解导数的概念、计算方法及其在实际问题中的应用，从而提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

同时，教师应根据学生的实际情况和兴趣，合理安排教学内容和方法，提高教学效果。

导数的应用教案教案1: 导数的应用——相关变化率教学目标:1. 理解导数的意义，能够解释导数代表相关变化率的含义。

2. 能够在实际问题中应用导数求解相关变化率。

3. 能够在实际问题中应用导数解决最优化问题。

教学准备:1. 教师准备相关变化率和最优化问题的实际应用例题，如某物体运动的速度和加速度问题，总收益和销售量的关系问题等。

2. 准备计算导数和求解最优化问题的手段和方法。

教学过程:引入：1. 导入相关变化率的概念，引导学生思考在我们日常生活中有哪些变量之间存在相关变化的情况，并了解相关变化率的重要性。

2. 引入导数的概念，解释导数代表相关变化率的含义，即导数表示因变量相对于自变量的变化速率。

探究：1. 通过实例和图形直观理解导数的概念，包括斜率、切线、变化率等。

2. 让学生进行实际问题的探究，如给定一个函数表达式，利用导数求解相关变化率的具体问题。

3. 引导学生通过具体实例，进一步理解导数的应用，如速度和加速度的关系问题。

拓展：1. 引导学生应用导数解决最优化问题，比如通过导数求解某函数的最大值、最小值等问题。

2. 引导学生思考一些实际问题，如制作某个产品的成本、利润与销售量的关系，利用导数求解最优销售量等实际问题。

实践：1. 组织学生分组完成一些实际问题的探究和求解，让学生练习运用导数求解实际问题。

2. 学生通过小组展示和分享，互相学习和交流，提高对导数应用的理解和掌握程度。

总结：1. 归纳和总结导数的应用领域，通过概念总结和案例分析，强化学生对导数应用的理解。

2. 提醒学生导数应用的实际意义和重要性，鼓励学生在日常生活中运用导数的方法和思想解决问题。

课后作业:1. 完成课后练习题，巩固导数应用的知识和技能。

2. 搜集相关应用实例，了解和探究更多的导数应用领域。

3. 思考导数应用的局限性和拓展方向，形成个人的思考和见解。

导数的综合应用的教案【篇一：《导数的综合应用》说课稿及教学设计】《导数的综合应用》说课稿一、教材分析“导数的综合应用”是高中数学人教b版教材选修2-2第一章的内容，是中学数学新增内容，是高等数学的基础内容，它在中学数学教材中的出现,使中学数学与大学数学之间又多了一个无可争辩的衔接点。

导数的应用是高考考查的重点和难点，题型既有灵活多变的客观性试题，又有具有一定能力要求的主观性试题，这要求我们复习时要掌握基本题型的解法，树立利用导数处理问题的意识．二、学情分析根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。

三、教学目标1、知识与技能：(3)利用导数求函数的极值以及函数在闭区间上的最值； (4)解决根分布及恒成立问题2、过程与方法：（1）能够利用函数性质作图像，反过来利用函数的图像研究函数的性质如交点情况，能合理利用数形结合解题。

(2)学会利用熟悉的问答过渡到陌生的问题。

3、情感、态度与价值观：这是一堂复习课，教学难度有所增加，培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心。

四、教学重点、难点重点是应用导数求单调性，极值，最值难点是方程根及恒成立问题五、学法与教法学法与教学用具学法：（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题（如问题3的处理）。

（2）自主学习：引导学生从简单问题出发，发散到已学过的知识中去。

（如问题1、2的处理）。

（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知（如问题1、2的发散和直击高考的处理）。

教学用具：多媒体。

教法：变式教学———这样可以让学生从题海中解脱出来，形成知识网络，增强知识的系统性与连贯性，从而使学生能够抓住问题的本质，加深对问题的理解，从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律；【篇二：导数的应用教学设计】导数的应用一、教学目标1、知识与技能：（1）利用导数的几何意义。

（2）利用导数求函数的单调区间，进一步结合函数图像求函数的极值以及函数在闭区间上的最值；（4）解决函数零点个数问题及恒成立问题。

《导数的综合应用》优秀教学设计获奖定稿导数的综合应用是高中数学教学中的一大难点，学生对导数的概念和求导法则掌握之后，需要通过实际问题的应用来加深理解和熟练运用。

以下是一份优秀的教学设计，旨在帮助学生通过具体的实际问题来应用导数，进一步理解导数的意义和作用。

教学目标：1.了解导数的实际意义和应用场景。

2.掌握用导数解决实际问题的方法和技巧。

3.培养学生的综合思考和问题解决能力。

教学内容：1.导数的实际意义：速度、变化率、最值等。

2.导数的应用：优化问题、曲线的切线和凸凹性判断等。

3.解决实际问题的方法和策略。

教学过程：一、导入（15分钟）1.教师通过提问和思考导数的实际意义引入本节课内容。

例如，为什么导数可以表示速度？为什么导数可以判断曲线的陡峭程度？二、导数的实际意义和应用（30分钟）1.教师通过示例和实际问题引导学生理解导数的实际意义。

例如，给出一个匀速直线运动的例子，让学生求出运动过程中的速度函数。

2.教师讲解导数的应用场景，如优化问题。

例如，给出一个围墙建设的问题，让学生通过求导的方法确定最省钢材的建造方式。

三、优化问题的应用（30分钟）1.教师通过实际问题让学生练习用导数解决优化问题。

例如，给出一个面积恒定的长方形围墙问题，让学生确定最省材料的建造方式。

2.学生进行小组讨论和解决问题，教师提供引导和指导。

四、曲线的切线和凸凹性判断（30分钟）1.教师通过讲解切线的概念和求解方法，让学生了解导数与曲线的切线之间的关系。

2.教师通过实例和练习引导学生判断曲线的凸凹性。

例如，给出一个函数，让学生求导并确定函数的凸凹区间。

五、总结与拓展（15分钟）1.教师进行知识总结，回顾导数的实际意义和应用。

2.教师提出问题，拓展学生对导数应用的思考，激发学生的创新和探索。

教学评价：1.教师通过课堂观察和学生的互动表现评价学生对导数的理解和应用能力。

2.学生完成课堂练习和作业，教师对答案进行评价和指导。

教学反思：1.首先，教师通过导入阶段的启发性问题，引起学生的思考和兴趣，为后续的学习奠定基础。

导数及其应用教案导数及其应用教案一、教学目标：1. 了解导数的定义和性质；2. 掌握导数的计算方法；3. 了解导数的应用领域及其作用。

二、教学内容：1. 导数的定义和性质；2. 导数的计算方法；3. 导数在函数图像研究中的应用；4. 导数在物理、经济等领域的应用。

三、教学过程：1. 导入导数的概念，引出导数的定义：导数是函数在某一点处的变化率，用极限表示。

给出导数的定义：若函数在点a处的导数存在，则称函数在点a处可导，记为f'(a)。

2. 介绍导数的计算方法：a. 用导数定义法计算：根据导数的定义，利用极限运算求出导数；b. 用基本导数公式计算：介绍常见函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等；c. 用导数运算法则计算：介绍导数的四则运算法则，包括常数倍、和差、积、商。

3. 导数在函数图像研究中的应用：a. 求函数的增减区间：根据函数的导数求出函数的增减性和极值点；b. 求函数的凹凸区间和拐点：根据函数的导数求出函数的凹凸性和拐点。

4. 导数在物理、经济等领域的应用：a. 导数表示速度和加速度：介绍物理学中速度和加速度的概念，并利用导数计算速度和加速度；b. 导数表示边际效应和弹性：介绍经济学中边际效应和弹性的概念，并利用导数计算边际效应和弹性。

5. 总结导数的应用：导数在数学、物理、经济等领域中都有广泛的应用，帮助我们研究函数的性质、分析物体的运动和评估经济的效益等。

四、教学方法：1. 讲授导数的定义和性质，引导学生思考导数的计算方法；2. 结合例题和实际问题，让学生动手计算导数和应用导数；3. 培养学生的分析和解决问题的能力，引导学生思考导数的实际应用。

五、教学评价：1. 练习题：布置一些导数计算和应用题目，要求学生独立完成；2. 口头回答问题：提问学生导数的定义和应用，检查学生对导数的理解程度；3. 个案分析：根据学生的学习情况，进行个别辅导和评价。

六、板书设计：导数的概念：导数是函数在某一点处的变化率，用极限表示。

3.3 导数的综合应用一、教材分析导数的应用是高考考查的重点和难点，题型既有灵活多变的客观性试题，又有具有一定能力要求的主观性试题，这要求我们复习时要掌握基本题型的解法，树立利用导数处理问题的意识．二、学情分析根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。

三、教学目标1、知识与技能：（1）利用导数的几何意义。

（2）利用导数求函数的单调区间；（3）利用导数求函数的极值以及函数在闭区间上的最值；（4）解决根分布及恒成立问题2、过程与方法：（1）能够利用函数性质作图像，反过来利用函数的图像研究函数的性质如交点情况，能合理利用数形结合解题。

(2)学会利用熟悉的问答过渡到陌生的问题。

3、情感、态度与价值观：这是一堂复习课，教学难度有所增加，培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心。

四、教学重点、难点重点是应用导数求单调性，极值，最值难点是方程根及恒成立问题五、学法与教法➢学法与教学用具学法：（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。

（2）自主学习：引导学生从简单问题出发，发散到已学过的知识中去。

（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。

教学用具：多媒体。

➢教法：变式教学———这样可以让学生从题海中解脱出来，形成知识网络，增强知识的系统性与连贯性，从而使学生能够抓住问题的本质，加深对问题的理解，从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律；教学环节教学内容师生互动设计思路复习巩固给出导函数图像画原函数图象学生上黑板动手画图，并分析画图的思路。

直接从问题入手，以问题带动学生对知识的回忆，学生在动手画原函数的过程中就在进行知识和信息的整理，让学生亲自画出图像，能充分调动其参与课堂的积极性。

初步探索、展示内涵例1：若函数1、点P(-1,3)是函数图像上的点，点P处的切线的斜率为4，求b,c的值。

学生自己解答和讲解。

并引导学生拓深延展。

3.3 导数的综合应用一、教学目标1、掌握简单的求导公式，会求多项式函数的导数；2、理解极大（小）值、最大（小）值的概念；3、会用导数求函数的单调区间、大（小）值和最大（小）值。

二、考点分析高考对这部分内容是高考中关于函数与导数方面的重点考查内容，涉及到函数的单调性、大（小）值和最大（小）值、参数的取值范围以及不等式的证明等多方面的内容。

出题形式多种多样，解答题逐步由中档题向综合题过度。

解题要求有较强的综合能力，广泛应用函数与方程的思想、数形结合的思想与分类讨论的思想。

三、考纲解读内容要求备注A B C导数及其应用导数的综合应用√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.四、典型例题考点一__利用导数研究恒成立问题____________(2015·保定市高三调研)已知函数f(x)＝ln x＋ax－a2x2(a≥0)．(1)若x＝1是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；(2)若f(x)<0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．『规律方法』 利用导数解决恒成立问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；(2)如果无法分离参数可以考虑对参数a 或自变量进行分类求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑限制二次项系数或判别式的方法求解．(3)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题．1.(2015·洛阳市统考)已知函数f (x )＝e x ＋ax 2－e 2x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线平行于x 轴，求函数f (x )的单调区间； (2)若x >0时，总有f (x )>－e 2x ，求实数a 的取值范围．考点二__利用导数证明不等式问题____________(2015·山西省第二次四校联考)已知f (x )＝ln x －x ＋a ＋1.(1)若存在x ∈(0，＋∞)使得f (x )≥0成立，求a 的取值范围； (2)求证：当x >1时，在(1)的条件下，12x 2＋ax －a >x ln x ＋12成立．『规律方法』 构造函数证明不等式的方法：(1)对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式，构造函数f (x )，使原不等式成为形如f (a )>f (b )的形式．(2)对形如f (x )>g (x )的不等式，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )．(3)对于(或可化为)f (x 1，x 2)≥A 的不等式，可选x 1(或x 2)为主元，构造函数f (x ，x 2)(或f (x 1，x ))．2.(2015·兰州市、张掖市高三联考)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋bx －1.(1)当a ＝0且b ＝1时，证明：对∀x >0，f (x )≤g (x )；(2)若b ＝2，且h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围．考点三__利用导数研究方程的根(或函数的零点)已知f (x )＝ax 2(a ∈R )，g (x )＝2ln x .(1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝g (x )在区间『2，e 』上有两个不等解，求a 的取值范围．『规律方法』 利用导数研究方程根的方法研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．3.(2015·东北三校高三第二次联考)已知函数f (x )＝(2－a )x －2(1＋ln x )＋a .(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上无零点，求a 的最小值．答案『答案』 (1)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1x.因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点， 所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0，解得a ＝－12或a ＝1.又a ≥0，所以a ＝－12(舍去)．经检验当a ＝1时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点， 所以a ＝1.(2)当a ＝0时，f (x )＝ln x ，显然在定义域内不满足f (x )<0恒成立；当a >0时，令f ′(x )＝（2ax ＋1）（－ax ＋1）x ＝0，得x 1＝－12a (舍去)，x 2＝1a，所以f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎫0，1a1a ⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － f (x )单调递增极大值单调递减所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a <0，∴a >1. 综上可得实数a 的取值范围是(1，＋∞)．1解：(1)由f ′(x )＝e x ＋2ax －e 2，得y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率k ＝4a ＝0，则a ＝0. 此时f (x )＝e x －e 2x ，f ′(x )＝e x －e 2. 由f ′(x )＝0，得x ＝2.当x ∈(－∞，2)时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，2)上单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(2，＋∞)上单调递增． (2)由f (x )>－e 2x ，得a >－e xx2.设g (x )＝－e xx 2，x >0，则g ′(x )＝e x （2－x ）x 3.∴当0<x <2时，g ′(x )>0，g (x )在(0，2)上单调递增；当x >2时，g ′(x )<0，g (x )在(2，＋∞)上单调递减． ∴g (x )≤g (2)＝－e 24.因此实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－e24，＋∞. 『答案』 f (x )＝ln x －x ＋a ＋1(x >0)．(1)原题即为存在x 使得ln x －x ＋a ＋1≥0， ∴a ≥－ln x ＋x －1，令g (x )＝－ln x ＋x －1， 则g ′(x )＝－1x ＋1＝x －1x .令g ′(x )＝0，解得x ＝1.∵当0<x <1时，g ′(x )<0，∴g (x )为减函数， 当x >1时，g ′(x )>0，∴g (x )为增函数， ∴g (x )min ＝g (1)＝0. ∴a ≥g (1)＝0.∴a 的取值范围为『0，＋∞)．(2)证明：原不等式可化为12x 2＋ax －x ln x －a －12>0(x >1，a ≥0)．令G (x )＝12x 2＋ax －x ln x－a －12，则G (1)＝0.由(1)可知x －ln x －1>0，则G ′(x )＝x ＋a －ln x －1≥x －ln x －1>0， ∴G (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴G (x )≥G (1)＝0成立，∴12x 2＋ax －x ln x －a －12>0成立． 2解：(1)证明：当a ＝0且b ＝1时，设h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －(x －1)＝ln x －x ＋1，∀x >0，h ′(x )＝1x－1.解h ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，h ′(x )＝1x －1>0，h (x )单调递增；当x >1时，h ′(x )＝1x－1<0，h (x )单调递减，所以h (x )在x ＝1处取得最大值，即∀x >0，h (x )≤h (1)＝ln 1－1＋1＝0，ln x ≤x －1，即f (x )≤g (x )．(2)若b ＝2，h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －12ax 2－2x ＋1，所以h ′(x )＝1x －ax －2＝－ax 2＋2x －1x.因为函数h (x )存在单调递减区间，所以h ′(x )<0在(0，＋∞)上有解， 所以ax 2＋2x －1>0在(0，＋∞)上有解，所以a >1－2x x 2在(0，＋∞)上有解，即∃x ∈(0，＋∞)，使得a >⎝⎛⎭⎫1x 2－2x. 令t ＝1x，x >0，则t >0，研究y ＝t 2－2t ，t >0，当t ＝1时，y min ＝－1，所以a >－1.『答案』 (1)F (x )＝ax 2－2ln x ，其定义域为(0，＋∞)， ∴F ′(x )＝2ax －2x＝2（ax 2－1）x(x >0)．①当a >0时，由ax 2－1>0，得x >1a. 由ax 2－1<0，得0<x <1a. 故当a >0时，F (x )在区间⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增， 在区间⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减． ②当a ≤0时，F ′(x )<0(x >0)恒成立． 故当a ≤0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)原式等价于方程a ＝2ln xx 2＝φ(x )在区间『2，e 』上有两个不等解．∵φ′(x )＝2x （1－2ln x ）x 4在(2，e)上为增函数，在(e ，e)上为减函数，则φ(x )max ＝φ(e)＝1e ，而φ(e)＝2e 2<φ(2)＝2ln 24＝ln 22＝φ(2)．∴φ(x )min ＝φ(e)，如图当f (x )＝g (x )在『2，e 』上有两个不等解时有φ(x )min ＝ln 22. 故a 的取值范围为ln 22≤a <1e.3解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x －1－2ln x ，则f ′(x )＝1－2x ，定义域为x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )>0，得x >2，由f ′(x )<0，得0<x <2，故f (x )的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ，令m (x )＝(2－a )(x －1)，x >0；h (x )＝2ln x ，x >0，则f (x )＝m (x )－h (x )，①当a <2时，m (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上为增函数，h (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上为增函数， 若f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上无零点，则m ⎝⎛⎭⎫12≥h ⎝⎛⎭⎫12， 即(2－a )⎝⎛⎭⎫12－1≥2ln 12，∴a ≥2－4ln 2， ∴2－4ln 2≤a <2.②当a ≥2时，在⎝⎛⎭⎫0，12上m (x )≥0，h (x )<0， ∴f (x )>0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上无零点． 由①②得a ≥2－4ln 2，∴a min ＝2－4ln 2.。