模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =任意四边形、梯形与相似模型B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS ⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． ()【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件:1:3ABDBCDSS=，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。
又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。
再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。
请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。
解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==， ∴236OC =⨯=， ∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABD BCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AOD DOC S S ∆∆=，∴13AO CO =，∴236OC =⨯=， ∴:6:32:1OC OD ==．【例 3】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6。
求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。
OGF EDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=， 根据蝴蝶定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==， 那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【例 4】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。
那么最大的一个三角形的面积是多少公顷7676EDCBA【解析】 在ABE ，CDE 中有AEB CED ∠=∠，所以ABE ，CDE 的面积比为()AE EB ⨯:()CE DE ⨯。
同理有ADE ，BCE 的面积比为():()AE DE BE EC ⨯⨯。
所以有ABES×CDES=ADES×BCES，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。
即6ABES ⨯=7ADES⨯，所以有ABE 与ADE 的面积比为7:6，ABES=7392167⨯=+公顷，ADES =6391867⨯=+公顷。
显然，最大的三角形的面积为21公顷。
【例 5】 (2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 。
BDBD【解析】 连接AD 、CD 、BC 。
则可根据格点面积公式，可以得到ABC ∆的面积为：41122+-=，ACD ∆的面积为：331 3.52+-=，ABD ∆的面积为：42132+-=． 所以::2:3.54:7ABC ACD BO OD S S ∆∆===，所以44123471111ABO ABD S S ∆∆=⨯=⨯=+．【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积。
D【解析】 因为:2:5BD CE =，且BD ∥CE ，所以:2:5DA AC =，525ABC S ∆=+，510277DBC S ∆=⨯=．【例 6】 (2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，求三角形AEG的面积．ABCDEF GABCDEFG【解析】 连接EF ．因为2BE EC =，CF FD =，所以1111()23212DEF ABCDABCDS SS ∆=⨯⨯=．因为12AED ABCDS S∆=，根据蝴蝶定理，11::6:1212AG GF ==， 所以6613677414AGD GDF ADF ABCDABCDS S S SS ∆∆∆===⨯=．所以1322 21477AGE AED AGD ABCD ABCDABCDS S S SS S ∆∆∆=-=-==， 即三角形AEG 的面积是27．【例 7】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCDEF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEFABCD ABCD S S S =⨯⨯=长方形长方形． 因为12AEDABCD SS =长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGDGDFS S==平方厘米，所以12AFDS =平方厘米．因为16AFDABCD SS =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 8】 如图，已知正方形ABCD 的边长为10厘米，E 为AD 中点，F 为CE 中点，G 为BF 中点，求三角形BDG 的面积．AB AB【解析】 设BD 与CE 的交点为O ，连接BE 、DF ．由蝴蝶定理可知::BEDBCDEO OC S S=，而14BEDABCDSS =，12BCDABCDSS =，所以::1:2BED BCDEO OC SS==，故13EO EC =．由于F 为CE 中点，所以12EF EC =，故:2:3EO EF =，:1:2FO EO =． 由蝴蝶定理可知::1:2BFD BEDS SFO EO ==，所以1128BFDBEDABCDSS S ==，那么1111010 6.2521616BGDBFDABCDSS S ===⨯⨯=（平方厘米）．【例 9】 如图，在ABC ∆中，已知M 、N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 相交于O ,若AOM ∆、ABO ∆和BON ∆的面积分别是3、2、1，则MNC ∆的面积是 ．NM OCBA【解析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．根据蝴蝶定理得 31322AOM BON MON AOB S S S S ∆∆∆∆⨯⨯===设MON S x ∆=，根据共边定理我们可以得ANM ABMMNC MBCS S S S ∆∆∆∆=，33322312x x ++=++，解得22.5x =．【例 10】 (2009年迎春杯初赛六年级)正六边形123456A A A A A A 的面积是2009平方厘米，123456B B B B B B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．B 4B A 6A 54A 3A AB 4B A 6A 54A 3A A 【解析】 如图，设62B A 与13B A 的交点为O ，则图中空白部分由6个与23A OA ∆一样大小的三角形组成，只要求出了23A OA ∆的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积． 连接63A A 、61B B 、63B A ．设116A B B ∆的面积为”1“，则126B A B ∆面积为”1“，126A A B ∆面积为”2“，那么636A A B ∆面积为126A AB ∆的2倍，为”4“，梯形1236A A A A 的面积为224212⨯+⨯=，263A B A ∆的面积为”6“，123B A A ∆的面积为2．根据蝴蝶定理，12632613:1:6B A B A A B B O A O S S ∆∆===，故23616A OA S ∆=+，123127B A A S ∆=， 所以23123612::12:1:77A OA A A A A S S ∆=梯形，即23A OA ∆的面积为梯形1236A A A A 面积的17，故为六边形123456A A A A A A 面积的114，那么空白部分的面积为正六边形面积的136147⨯=，所以阴影部分面积为32009111487⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭(平方厘米)．板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDO ba S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)【例 11】 如图，22S =，34S =，求梯形的面积．【解析】 设1S 为2a 份，3S 为2b 份，根据梯形蝴蝶定理，234S b ==，所以2b =；又因为22S a b ==⨯，所以1a =；那么211S a ==，42S a b =⨯=，所以梯形面积123412429S S S S S =+++=+++=，或者根据梯形蝴蝶定理，()()22129S a b =+=+=．【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．3525OABCD【解析】 根据梯形蝴蝶定理，2::25:35AOBBOCSS a ab ==，可得:5:7a b =，再根据梯形蝴蝶定理，2222::5:725:49AOBDOCSSa b ===，所以49DOCS=(平方厘米)．那么梯形ABCD 的面积为25353549144+++=(平方厘米)．【例 12】 梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的23，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比． OA B CD 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，2::2:3AOBBOCSSab b ==，可以求出:2:3a b =， 再根据梯形蝴蝶定理，2222::2:34:9AODBOCSSa b ===．通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．【例 13】(第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且35ABD CBD =三角形的面积三角形的面积，那么OC 的长是多少ABCDO【解析】 根据蝴蝶定理，ABD AO CBD CO =三角形的面积三角形的面积，所以35AO CO =，又1AO =，所以53CO =．【例 14】 梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC 的面积是29cm ，问三角形AOD 的面积是多少A BCDO【解析】 根据梯形蝴蝶定理，:1:1.52:3a b ==，2222::2:34:9AOD BOC S S a b ∆∆===，所以()24cm AOD S ∆=．【巩固】如图，梯形ABCD 中，AOB ∆、COD ∆的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD 的面积．ODCBA【解析】 根据梯形蝴蝶定理，22::4:9AOBACODSS a b ==，所以:2:3a b =，2:::3:2AODAOBSSab a b a ===，31.2 1.82AODCOBSS==⨯=， 1.2 1.8 1.8 2.77.5ABCD S =+++=梯形．【例 15】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH 的面积．HG FE DCB AHG FEDCB A【解析】 如图，连结EF ，显然四边形ADEF 和四边形BCEF 都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG 的面积等于三角形ADG 的面积；三角形BCH 的面积等于三角形EFH 的面积，所以四边形EGFH 的面积是112334+=．【巩固】(人大附中入学测试题)如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．321 321 【解析】 做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角形3，所以1的面积就是4361645⨯=+，3的面积就是5362045⨯=+．【例 16】如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．BA【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝴蝶定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝴蝶定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCDS=(平方厘米)．【例 17】 如图面积为12平方厘米的正方形ABCD 中，,E F 是DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积．DA【解析】 因为,E F 是DC 边上的三等分点，所以:1:3EF AB =，设1OEF S =△份，根据梯形蝴蝶定理可以知道3AOE OFB S S ==△△份，9AOB S =△份，(13)ADE BCF S S ==+△△份，因此正方形的面积为244(13)24+++=份，6S =阴影，所以:6:241:4S S ==阴影正方形，所以3S =阴影平方厘米．【例 18】 如图，在长方形ABCD 中，6AB =厘米，2AD =厘米，AE EF FB ==，求阴影部分的面积．DD【解析】 方法一：如图，连接DE ，DE 将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED 的面积为26322⨯÷÷=平方厘米．由于:1:3EF DC =，根据梯形蝴蝶定理，:3:1DEO EFOS S=，所以34DEODEFS S =，而2DEFADESS==平方厘米，所以32 1.54DEOS=⨯=平方厘米，阴影部分的面积为2 1.5 3.5+=平方厘米． 方法二：如图，连接DE ，FC ，由于:1:3EF DC =，设1OEF S =△份，根据梯形蝴蝶定理，3OED S =△ 份，2(13)16EFCD S =+=梯形份，134ADE BCF S S ==+=△△份，因此416424ABCD S =++=长方形份，437S =+=阴影份，而6212ABCD S =⨯=长方形平方厘米，所以 3.5S =阴影平方厘米【例 19】 (2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =， 根据梯形蝴蝶定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COEAOCDOEAODS SSS=⨯⨯=，所以6AOCS=(平方厘米)，9AODS=(平方厘米)，又6915ABCACDSS==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【分析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝴蝶定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=， 所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝴蝶定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABEDS S∆==⨯+=(平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 20】 如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，DEF ∆的面积是5平方厘米，CED ∆的面积是10平方厘米．问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米FABCD E105 FAB CDE105【分析】 连接BF ，根据梯形模型，可知三角形BEF 的面积和三角形DEC 的面积相等，即其面积也是10平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE 的面积为1010520⨯÷=(平方厘米)，所以长方形的面积为()2010260+⨯=(平方厘米)．四边形ABEF 的面积为605102025---=(平方厘米)．【巩固】如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，DEF ∆的面积是4平方厘米，CED ∆的面积是6平方厘米．问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米64AB CDEF64AB C DEF【解析】 (法1)连接BF ，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形BEF 的面积和三角形DEC 的面积相等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE 的面积为6649⨯÷=(平方厘米)，所以长方形的面积为()96230+⨯=(平方厘米)．四边形ABEF 的面积为3046911---=(平方厘米)．(法2)由题意可知，4263EF EC ==，根据相似三角形性质，23ED EF EB EC ==，所以三角形BCE 的面积为：2693÷=(平方厘米)．则三角形CBD 面积为15平方厘米，长方形面积为15230⨯=(平方厘米)．四边形ABEF 的面积为3046911---=(平方厘米)．【巩固】(98迎春杯初赛)如图，ABCD 长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB的长是9.那么四边形OECD 的面积是多少B【解析】 因为连接ED 知道ABO △和EDO △的面积相等即为54，又因为169OD OB ∶=∶,所以AOD △的面积为5491696÷⨯=，根据四边形的对角线性质知道：BEO △的面积为：54549630.375⨯÷=，所以四边形OECD 的面积为：549630.375119.625+-=(平方厘米).【例 21】 (2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A B CDEF?852O A BCD EF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S∆=，又根据蝴蝶定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 22】 (98迎春杯初赛)如图，长方形ABCD 中，AOB 是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB的长是9．那么四边形OECD 的面积是 ．ABCDEOABCDEO【解析】 解法一：连接DE ，依题意1195422AOBSBO AO AO =⨯⨯=⨯⨯=，所以12AO =， 则1116129622AODSDO AO =⨯⨯=⨯⨯=． 又因为154162AOBDOES SOE ===⨯⨯，所以364OE =，得113396302248BOESBO EO =⨯⨯=⨯⨯=， 所以()3554963011988OECD BDCBOEABDBOES SSSS=-=-=+-=．解法二：由于::16:9AODAOBSSOD OB ==，所以1654969AODS=⨯=，而54DOEAOBS S==，根据蝴蝶定理，BOE AODAOB DOE S SSS⨯=⨯，所以3545496308BOES=⨯÷=，所以()3554963011988OECD BDCBOEABD BOES SSSS=-=-=+-=．【例 23】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14． 由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48． 那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 24】 如图所示，ABCD 是梯形，ADE ∆面积是1.8，ABF ∆的面积是9，BCF ∆的面积是27．那么阴影AEC ∆面积是多少【解析】 根据梯形蝴蝶定理，可以得到AFB DFC AFD BFC S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯，而AFB DFC S S ∆∆=(等积变换)，所以可得99327AFB CDF AFD BFC S S S S ∆∆∆∆⨯⨯===，并且3 1.8 1.2AEF ADF AED S S S ∆∆∆=-=-=，而::9:271:3AFB BFC S S AF FC ∆∆===， 所以阴影AEC ∆的面积是：4 1.24 4.8AEC AEF S S ∆∆=⨯=⨯=．【例 25】 如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少【解析】 连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积886183⨯=．【例 26】 如图，已知D 是BC 中点，E 是CD 的中点，F 是AC 的中点．三角形ABC 由①～⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC 的面积是多少平方厘米⑥⑤④③②①BFD CA【解析】 因为E 是DC 中点，F 为AC 中点，有2AD FE =且平行于AD ，则四边形ADEF 为梯形．在梯形ADEF 中有③=④，②×⑤=③×④，②：⑤=2AD ： 2FE =4．又已知②-⑤=6，所以⑤=6(41)2÷-=，②=⑤48⨯=，所以②×⑤=④×④=16，而③=④，所以③=④=4，梯形ADEF 的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和，为844218+++=．有CEF 与ADC 的面积比为CE 平方与CD 平方的比，即为1:4．所以ADC 面积为梯形ADEF 面积的44-1=43，即为418243⨯=．因为D 是BC 中点，所以ABD 与ADC 的面积相等，而ABC 的面积为ABD 、ADC 的面积和，即为242448+=平方厘米．三角形ABC 的面积为48平方厘米．【例 27】如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 ．【解析】 本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况．解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5，因此空白处的总面积为6 1.5242222⨯÷⨯+⨯=，阴影部分的面积为662214⨯-=．解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2，下底都为6，上底、下底之比为2:61:3=，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为221:13:13:31:3:3:9⨯⨯=，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的916，阴影部分的面积占该梯形面积的716，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的716，那么阴影部分的面积为227(62)1416⨯-=．【例 28】 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 与CD 上，且2CE BE =，2CF DF =，连接BF 、DE ，相交于点G ，过G 作MN 、PQ 得到两个正方形MGQA 和PCNG ，设正方形MGQA 的面积为1S ，正方形PCNG 的面积为2S ，则12:S S =___________．QPN MABCD E FGQPNMABCD E FG【解析】 连接BD 、EF ．设正方形ABCD 边长为3，则2CE CF ==，1BE DF ==，所以，222228EF =+=，2223318BD =+=．因为22281814412EF BD ⋅=⨯==，所以12EF BD ⋅=．由梯形蝴蝶定理，得22::::::8:18:12:124:9:6:6GEF GBD DGF nBGE S S S S EF BD EF BD EF BD =⋅⋅==△△△，所以，66496625BGE BDFE BDFE S S S ==+++△梯形梯形．因为93322BCD S =⨯÷=△，2222CEF S =⨯÷=△，所以52BCD CEF BDFE S S S =-=△△梯形，所以，6532525BGE S =⨯=△．由于BGE △底边BE 上的高即为正方形PCNG 的边长，所以362155CN =⨯÷=，69355ND =-=，所以::3:2AM CN DN CN ==，则2212::9:4S S AM CN ==．【例 29】 如下图，在梯形ABCD 中，AB 与CD 平行，且2CD AB =，点E 、F 分别是AD 和BC 的中点，已知阴影四边形EMFN 的面积是54平方厘米，则梯形ABCD 的面积是 平方厘米．DD【解析】 连接EF ，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形ABCD 面积． 设梯形ABCD 的上底为a ，总面积为S ．则下底为2a ，()13222EF a a a =+=． 所以3::2:32AB EF a a ==，3::23:42EF DC a a ==．由于梯形ABFE 和梯形EFCD 的高相等，所以()()33:::25:722ABFE EFCD S S AB EF EF DC a a a a ⎛⎫⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭梯形梯形，故512ABFE S S =梯形，712EFCD S S =梯形． 根据梯形蝴蝶定理，梯形ABFE 内各三角形的面积之比为222:23:23:34:6:6:9⨯⨯=，所以99534669251220EMFABFE SS S S ==⨯=+++梯形；同理可得99739121216491228ENFSS S S ==⨯=+++梯形EFCD ，所以339202835EMFN EMFENFS S SS S S =+=+=，由于54EMFN S =平方厘米， 所以95421035S =÷=(平方厘米)．【例 30】 (2006年“迎春杯”高年级组决赛)下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，()m n+的值等于 ． BEE【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ． 左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=． BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=．在梯形AEFC中，由于:1:2EF AC=，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为11 1463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32mn=，那么325m n+=+=。
