小学奥数-几何五大模型(等高模型)模型一 三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图 12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；三角形等高模型与鸟头模型两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。
【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：CEDBAFC DB A G D CB A⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：⑸⑷⑶⑵⑴⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。
⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？【解析】 因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。
于是：三角形ABD 的面积12=⨯高26÷=⨯高 三角形ABC 的面积124=+⨯（）高28÷=⨯高 三角形ADC 的面积4=⨯高22÷=⨯高所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的43倍； 三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍。
【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米。
【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4326⨯÷=(平方厘米)。
CDBA【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米。
【解析】 根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225÷=平方厘米。
【巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是 。
F BA【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为120121202⨯⨯=。
【例 4】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积。
E BAE【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。
连接BH 、CH 。
∵AE EB =， ∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH ， ∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 。
E D GCFBBF CG E【解析】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段。
把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形。
这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一。
阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等。
因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一。
正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48。
【例 5】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=。
所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影 解法二：特殊点法。
找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：G(H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影。
【例 6】 长方形ABCD 的面积为36，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？EEE【解析】 （法1）特殊点法。
由于H 为AD 边上任意一点，找H 的特殊点，把H 点与A 点重合（如左上图），那么阴影部分的面积就是AEF ∆与ADG ∆的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD 面积的18和14，所以阴影部分面积为长方形ABCD 面积的113848+=，为33613.58⨯=。
（法2）寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如右上图。
可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=， 即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=； 而EHB BHF DHGEBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=。
所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影。
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积。
【解析】 （法1）特殊点法。
由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米。
（法2）连接PA 、PC 。
由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米。
【例 7】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？EDCBA【解析】 因为AD 垂直于BC ，所以当BC 为三角形ABC 和三角形EBC 的底时，AD 是三角形ABC 的高，ED 是三角形EBC 的高， 于是：三角形ABC 的面积1226BC BC =⨯÷=⨯三角形EBC 的面积32 1.5BC BC =⨯÷=⨯ 所以三角形ABC 的面积是三角形EBC 的面积的4倍．【例 8】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？FDECBA【解析】 AEC 、AFC 、ABF ．【巩固】如图，在ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？EDCBA【解析】 3个，AEC 、BED 、DEC ．【巩固】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ODB A【解析】 ABD 与ACD ，ABC 与DBC ，ABO 与DCO ．【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】 连接CE ，∵3AE AB =，∴2BE AB =，2BCEACBS S=又∵2BD BC =，∴244BDEBCEABCSSS===．【例 10】(2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ∆的面积是 平方厘米．AA【解析】 连接CD ．根据题意可知，DEF ∆的面积为DAC ∆面积的13，DAC ∆的面积为ABC ∆面积的12，所以DEF ∆的面积为ABC ∆面积的111236⨯=．而DEF ∆的面积为5平方厘米，所以ABC ∆的面积为15306÷=(平方厘米)．【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？CB【解析】 ABD ，ABC 等高，所以面积的比为底的比，有12ABD ABCSBD SBC ==, 所以ABD S=111809022ABC S ⨯=⨯=(平方厘米)．同理有190303ABE ABDAE S S AD =⨯=⨯=(平方厘米)，34AFEABE FE S S BE =⨯=3022.5⨯= (平方厘米)．即三角形AEF 的面积是22.5平方厘米．【巩固】如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积．ABC DZ Y【解析】 ∵Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，∴1122ZY DB =⨯⨯，14ZCY DCB S S =，又∵ABCD 是长方形，∴11124442ZCY DCB ABCD S S S ==⨯= (平方厘米)．【巩固】如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DCBA【解析】 三角形ADC 的面积是三角形ABC 面积的一半24212÷=，三角形ADE 又是三角形ADC 面积的一半1226÷=．三角形FED 的面积是三角形ADE 面积的一半，所以三角形FED 的面积623=÷=．【巩固】如图，在三角形ABC 中，8BC =厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？FE CBA【解析】 ∵F 是AC 的中点∴2ABC ABFS S=同理2ABFBEFSS=∴486246BEFABCSS=÷=⨯÷÷=(平方厘米)．【例 11】如图ABCD 是一个长方形，点E 、F 和G 分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位．F E GD C BAF EGD C BA【解析】 如右图分割后可得，243649EFGDEFC ABCD SS S =÷=÷=÷=矩形矩形（平方单位）．【巩固】(97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且2AN BN =.那么，阴影部分的面积是多少？DDN【解析】 连接BM ，因为M 是中点所以ABM △的面积为14又因为2AN BN =，所以BDC △的面积为1114312⨯=，又因为BDC △面积为12，所以阴影部分的面积为：115112212--=.【例 12】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为1，则12112364AB ==+，24124483CD ==+， 所以1113412MN =-=，阴影部分面积为211(12243648)5(cm )212+++⨯⨯=．【例 13】如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？EDCBA【解析】 ∵3CE AE =，∴4AC AE =，4ADCADESS=；又∵2DC BD =，∴1.5BC DC =，1.56120ABCADCADESS S===(平方厘米)．【例 14】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．【解析】 根据题意可知，8928117ADC ADE DCE S S S ∆∆∆=+=+=，所以::26:1172:9BDC ADC BD AD S S ∆∆===， 那么::2:9DBE ADE S S BD AD ∆∆==， 故222789(901)20199999DBE S ∆=⨯=-⨯=-=．【例 15】(第四届《小数报》数学竞赛)如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分．三角形BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD 的面积．DC BA【解析】 如右图，作AB 的平行线DE ．三角形BDE 的面积与三角形ABD 的面积相等，三角形DEC 的面积就是三角形BDC 与三角形ABD 的面积差(10平方分米)．从而，可求出梯形高(三角形DEC 的高)是：21054⨯÷=(分米)，梯形面积是：154230⨯÷=(平方分米)．【例 16】图中AOB 的面积为215cm ，线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积．OCBDA【解析】 在ABD 中，因为215cm AOB S=，且3OB OD =，所以有235cm AODAOBSS=÷=．因为ABD 和ACD 等底等高，所以有ABDACDS S=．从而215cm OCD S =，在BCD 中，2345cm BOCOCDS S==，所以梯形面积：2155154580cm +++=（）．【例 17】如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形．DBAA′AB D【解析】 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点A 移到CB 的延长线上的A ′处，A ′BD 与 ABD 面积相等，从而A ′DC 面积与原四边形ABCD 面积也相等．这样就把四边形ABCD 等积地改成了三角形A ′DC ．问题是A ′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A 作一条和DB 平行的直线与CB 的延长线交于A ′点． 具体做法：⑴ 连接BD ；⑵ 过A 作BD 的平行线，与CB 的延长线交于A ′． ⑶ 连接A ′D ，则A ′CD 与四边形ABCD 等积．【例 18】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？红绿黄红【解析】 黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的50%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%，所以黄色三角形面积占长方形面积的50%15%35%-=．已知黄色三角形面积是221cm ，所以长方形面积等于2135%60÷=（2cm ）．【例 19】O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ∆的面积是25cm ，OAB ∆的面积是22cm ，求OBD ∆的面积是多少？【解析】 由于ABCD 是长方形，所以12AOD BOC ABCD S S S ∆∆+=，而12ABD ABCD S S ∆=，所以AOD BOC ABD S S S ∆∆∆+=，则BOC OAB OBD S S S ∆∆∆=+，所以2523cm OBD BOC OAB S S S ∆∆∆=-=-=．【例 20】如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？CHCH【解析】 根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差． 如右上图，连接CP 、AP ．由于12BCP ADP ABP BDP ADP ABCD S S S S S S ∆∆∆∆∆+=++=，所以BCP ABP BDP S S S ∆∆∆-=．而12BCP BCFE S S ∆=，12ABP ABHG S S ∆=，所以()2216BCFE ABHG BCP ABP BDP S S S S S ∆∆∆-=-==(平方分米)．【例 21】如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ∆的面积是15，求阴影BPD ∆的面积．BAAB D【解析】 连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如下图所示，可得//PO DC ，所以DPO ∆与CPO ∆面积相等(同底等高)，所以有：BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ∆∆∆∆∆+=+=，因为1120544BOC ABCD S S ∆==⨯=，所以15510BPD S ∆=-=．【巩固】如右图，正方形ABCD 的面积是12，正三角形BPC ∆的面积是5，求阴影BPD ∆的面积．BAA B D【解析】 连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如右上图所示，可得//PO DC ，所以DPO ∆与CPO ∆面积相等(同底等高)，所以有:BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ∆∆∆∆∆+=+=，因为134BOC ABCD S S ∆==，所以532BPD S ∆=-=．【例 22】在长方形ABCD 内部有一点O ，形成等腰AOB ∆的面积为16，等腰DOC ∆的面积占长方形面积的18%，那么阴影AOC ∆的面积是多少？D【解析】 先算出长方形面积，再用其一半减去DOC ∆的面积(长方形面积的18%)，再减去AOD∆的面积，即可求出AOC ∆的面积．根据模型可知12COD AOB ABCD S S S ∆∆+=，所以11618%502ABCD S =÷-=（），又AOD ∆与BOC ∆的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以AOD ∆的面积等于长方形面积的14，所以125%18%2AOC ACD AOD COD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S ∆∆∆∆=--=--2512.593.5=--=．【例 23】 （2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD 中，E 、F 分别是其两腰AB 、CD 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知ADG ∆ 的面积为215cm ，而BCG ∆的面积恰好是梯形ABCD 面积的720，则梯形ABCD 的面积是 2cm ．A B C DEFGA B CDEFG【解析】 如果可以求出ABG ∆与CDG ∆的面积之和与梯形ABCD 面积的比，那么就可以知道ADG∆的面积占梯形ABCD 面积的多少，从而可以求出梯形ABCD 的面积．如图，连接CE 、DE ．则AEG DEG S S ∆∆=，BEG CEG S S ∆∆=，于是ABG CDG CDE S S S ∆∆∆+=． 要求CDE ∆与梯形ABCD 的面积之比，可以把梯形ABCD 绕F 点旋转180︒，变成一个平行四边形．如下图所示：从中容易看出CDE ∆的面积为梯形ABCD 的面积的一半．(也可以根据12BEC ABC S S ∆∆=，12AED AFD ADC S S S ∆∆∆==，111222BEC AED ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=得来)那么，根据题意可知ADG ∆的面积占梯形ABCD 面积的173122020--=，所以梯形ABCD的面积是2315100cm 20÷=．小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半，这是一个很有用的结论．本题中，如果知道这一结论，直接采用特殊点法，假设G 与E 重合，则CDE ∆的面积占梯形面积的一半，那么ADG ∆与BCG ∆合起来占一半．【例 24】如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．GFED C B AGFECB A【解析】 本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接BE ．(我们通过ABE △把这两个看似无关的平行四边形联系在一起．) ∵在平行四边形ABCD 中，12ABE S AB AB =⨯⨯△边上的高， ∴12ABE ABCDS S=△．同理，12ABE AEGFS S=△，∴平行四边形ABCD 与AEGF 面积相等．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？A BGC E F DA BGCEF D【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)． ∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高， ∴12ABG ABCDS S=△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABG EFGB S S =△．∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等． 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)．【例 25】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．HGF ED CBAA BCDEF GH【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH 面积为33．【例 26】如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果ADE 的面积为4平方厘米．求三角形CDF 的面积．AEBFCDDCF BA【解析】 连结AF 、CE ．∴ADEACES S=；CDF ACF S S=；又∵AC 与EF 平行，∴ACEACFSS=．∴ 4ADECDFSS==(平方厘米)．【巩固】如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若1ADE S =△，求BEF △ 的面积．ABCDEFABCDE F【解析】 本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等(或夹在一组平行线之间的三角形面积相等)和等量代换的思想．连接AC ． ∵AB ∥CD ，∴ADE ACE S S =△△ 同理AD ∥BC ，∴ACF ABF S S =△△又ACF ACE AEF S S S =+△△△，ABF BEF AEF S S S =+△△△，∴ ACE BEF S S =△△，即1BEF ADE S S ==△△．【例 27】图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．【解析】 4428⨯÷=．【例 28】如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10厘米，求阴影部分的面积．K EBA K EBA【解析】 对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化． 如右图所示，连接FK 、GE 、BD ，则////BD GE FK ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得DGE BGE S S ∆∆=，KGE FGE S S ∆∆=，所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB 的面积，即为210100=平方厘米．【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．AA【解析】 这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接AD (见右上图)，可以看出，三角形ABD 与三角形ACD 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形AGD 是三角形ABD 与三角形ACD 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG 与三角形GCD 面积仍然相等．根据等量代换，求三角形ABC 的面积等于求三角形BCD 的面积，等于4428⨯÷=．【巩固】(2008年西城实验考题)如图，ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形ABH 的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为 ．FF【解析】 如图，连接AF ，比较ABF ∆与ADF ∆，由于AB AD =，FG FE =，即ABF ∆与ADF ∆的底与高分别相等，所以ABF ∆与ADF ∆的面积相等，那么阴影部分面积与ABH ∆的面积相等，为6平方厘米．【巩固】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【解析】 方法一：三角形BEF 的面积2BE EF =⨯÷，梯形EFDC 的面积22EF CD CE BE EF =+⨯÷=⨯÷=（）三角形BEF 的面积， 而四边形CEFH 是它们的公共部分，所以，三角形DHF 的面积=三角形BCH 的面积，进而可得，阴影面积=三角形BDF 的面积=三角形BCD 的面积1010250=⨯÷=(平方厘米)．方法二：连接CF ，那么CF 平行BD ，所以，阴影面积=三角形BDF 的面积=三角形BCD 的面积50=(平方厘米)．【巩固】(人大附中考题)已知正方形ABCD 边长为10，正方形BEFG 边长为6，求阴影部分的面积．GABGAB【解析】 如果注意到DF 为一个正方形的对角线(或者说一个等腰直角三角形的斜边)，那么容易想到DF 与CI 是平行的．所以可以连接CI 、CF ，如上图．由于DF 与CI 平行，所以DFI ∆的面积与DFC ∆的面积相等．而DFC ∆的面积为1104202⨯⨯=，所以DFI ∆的面积也为20．【例 29】(2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH 等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．HG FED CB AHGFED C BA【解析】 连接AC 、GF ，由于AC 与GF 平行，可知四边形ACGF 构成一个梯形．由于HCG ∆面积为6平方厘米，且CH 等于CF 的三分之一，所以CH 等于FH 的12，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知FHG ∆的面积为12平方厘米，AHF ∆的面积为6平方厘米，AHC ∆的面积为3平方厘米．那么正方形CGEF 的面积为()612236+⨯=平方厘米，所以其边长为6厘米．又AFC ∆的面积为639+=平方厘米，所以9263AD =⨯÷=(厘米)，即正方形ABCD 的边长为3厘米．那么，五边形ABGEF 的面积为：21369349.52++⨯=(平方厘米)．【例 30】(第八届小数报数学竞赛决赛试题)如下图，E 、F 分别是梯形ABCD 的下底BC 和腰CD 上的点，DF FC =，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD 的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．BC【解析】 因为乙、丙两个三角形面积相等，底DF FC =．所以A 到CD 的距离与E 到CD 的距离相等，即AE 与CD 平行，四边形ADCE 是平行四边形，阴影部分的面积=平行四边形ADCE 的面积的12，所以阴影部分的面积=乙的面积2⨯．设甲、乙、丙的面积分别为1份，则阴影面积为2份，梯形的面积为5份，从而阴影部分的面积325212.8=÷⨯=(平方厘米)．【例 31】 如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？F ED CB AF ED CAF EDCB A【解析】 方法一：连接对角线AE ．∵ADEF 是长方形 ∴12ADE AEF ADEFS S S∆∆==∴38ADB ADE S DB DE S ∆∆==， 12ACF AEF S FC EF S ∆∆== ∴58BE DE DB DE DE -==，12CE FE CF EF EF -== ∴1515162822BEC S ∆=⨯⨯⨯=∴132ABC ADEF ADB ACF CBE S S S S S ∆∆∆∆=---=．方法二：连接BF ，由图知1628ABF S =÷=△，所以16835BEF S =--=△，又由4ACF S =△，恰好是AEF △面积的一半，所以C 是EF 的中点，因此52 2.5BCE BCF S S ==÷=△△，所以1634 2.5 6.5ABC S =---=△【例 32】如图，在平行四边形ABCD 中，BE EC =，2CF FD =．求阴影面积与空白面积的比．B【解析】 方法一：因为BE EC =，2CF FD =，所以14ABE ABCD S S =△四边形，16ADF ABCD S S =△四边形．因为2AD BE =，所以2AG GE =，所以11312BGE ABE ABCD S S S ==△△四边形，2136ABG ABE ABCD S S S ==△△四边形． 同理可得，18ADH ABCD S S =△四边形，124DHF ABCD S S =△四边形．因为12BCD ABCD S S =△四边形，所以空白部分的面积111112()21224683ABCD ABCD S S =--++=四边形四边形，所以阴影部分的面积是13ABCD S 四边形．12:1:233=，所以阴影面积与空白面积的比是1:2．【例 33】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E 是AC 边上的一点，且3AE EC =，O 为DC 与BE 的交点．若CEO ∆的面积为a 平方厘米，BDO ∆的面积为b 平方厘米．且b a -是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是 平方厘米．E baOD CBA【解析】 12ABC BCD BCO S S b S ∆∆∆==+，14ABC BCE BCO S S a S ∆∆∆==+，所以112.524ABC ABC S S b a ∆∆-=-=(平方厘米)．所以 2.5410ABC S ∆=⨯=(平方厘米)．【例 34】 如图，在梯形ABCD 中，:4:3AD BE =，:2:3BE EC =，且BOE ∆的面积比AOD ∆的面积小10平方厘米．梯形ABCD 的面积是 平方厘米．OAB CDE【解析】 根据题意可知::8:6:9AD BE EC =，则86ABD ABE S S ∆∆=，34ABE ABD S S ∆∆=， 而10ABD ABE AOD BOE S S S S ∆∆∆∆-=-=平方厘米，所以 1104ABD S ∆=，则40ABD S ∆=平方厘米． 又961588BCD ABD S S ∆∆+==，所以1540758BCD S ∆=⨯=平方厘米． 所以4075115ABD BCD ABCD S S S ∆∆=+=+=梯形(平方厘米)．【巩固】(第五届《小数报》数学竞赛初赛)如图，BD 是梯形ABCD 的一条对角线，线段AE 与DC 平行，AE 与BD 相交于O 点．已知三角形BOE 的面积比三角形AOD 的面积大4平方米，并且25EC BC =．求梯形ABCD 的面积．OA B CDEOA B CDE【解析】 连接AC ．根据差不变原理可知三角形ABE 的面积比三角形ABD 大4平方米，而三角形ABD 与三角形ACD 面积相等，因此也与三角形ACE 面积相等，从而三角形ABE 的面积比三角形ACE 的大4平方米．但25EC BC =，所以三角形ACE 的面积是三角形ABE 的22523=-，从而三角形ABE 的面积是241123⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭(平方米)，梯形ABCD 的面积为：21212283⎛⎫⨯+⨯= ⎪⎝⎭(平方米)．【例 35】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？BE【解析】 三角形ABC 的面积+三角形CDE 的面积(133549)+++=长方形面积+阴影部分面积；又因为三角形ABC 的面积=三角形CDE 的面积12=长方形面积，所以可得： 阴影部分面积13354997=++=．【例 36】图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？【解析】 如下图，为了方便说明，将某些点标上字母．855AED CB有ABC ∠为直角，而CED ABC ∠=∠，所以CED ∠也为直角.而5CE CB ==.ADE 与CED 同高，所以面积比为底的比，及ADE CEDSS=AE EC =13-55=85，设ADE 的面积为“8”，则CED 的面积为“5”．CED 是由CDB 折叠而成，所以有CED 、CDB 面积相等，ABC 是由ADE 、CED 、CDB 组成，所以ABC S =“8”+“5”+“5”=“18”对应为1512302⨯⨯=，所以“1”份对应为53，那么△ADE 的面积为583⨯=1133平方厘米．即阴影部分的面积为1133平方厘米．【例 37】 如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？D C【解析】 如下图，连接FC ，DBF 、BFG 的面积相等，设为x 平方厘米;FGC 、DFC 的面积相等，设为y 平方厘米，那么DEF 的面积为13y 平方厘米．xyy x GFE DCBA221BCD Sx y =+=，BDE111S=x+y=l 333⨯=．所以有0.531x y x y +=⎧⎨+=⎩①②．比较②、①式，②式左边比①式左边多2x ，②式右边比①式右边大0.5，有20.5x =，即0.25x =,0.25y =．而阴影部分面积为2550.253312y y +=⨯=平方厘米．【例 38】(2007年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路AE 和CF ，交叉处为D ，张大伯常走这两条小路，他知道DF DC =,且2AD DE =．则两块地ACF 和CFB 的面积比是_________．FE DCBAF E DCBAG FE DCBA【解析】 方法一：连接BD ．设CED △的面积为1， BED △的面积x ，则根据题上说给出的条件，由DF DC =得BDC BDF S S =△△，即BDF △的面积为1x +、ADC ADF S S =△△;又有2AD DE =，22ADC ADF CDE S S S ===△△△、22ABD BDE S S x ==△△，而122ABD S x x =++=△； 得3x =，所以:(22):(134)1:2ACF CFB S S =+++=△△．方法二：连接BD ，设1CED S =△(份)，则2ACD ADF S S ==△△,设BED S x =△BFD S y =△则有122x y x y +=⎧⎨=+⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩，所以:(22):(431)1:2ACF CFB S S =+++=△△ 方法三：过F 点作FG ∥BC 交AE 于G 点，由相似得::1:1CD DF ED DG ==,又因为2AD DE =，所以::1:2AG GE AF FB ==，所以两块田地ACF 和CFB 的面积比:1:2AF FB ==【例 39】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC =，21AC =，ABC ∆被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK += ．KJIH GFE DC B A【解析】 由题意可知，::2:9BAD ABC BD BC S S ∆∆==，所以2109BD BC ==，35CD BC BD =-=；又::2:5DIF DFC DI DC S S ∆∆==，所以2145DI DC ==，同样分析可得10FK =，所以141024DI FK +=+=．【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角MON 的两边上分别有A 、C 、E 及B 、D 、F 六个点，并且OAB ∆、ABC ∆、BCD ∆、CDE ∆、DEF ∆的面积都等于1，则DCF ∆的面积等于 ．O【解析】 根据题意可知，::4:1OED DEF OD DF S S ∆∆==，所以14DF OD =，1133444DCF OCD S S ∆∆==⨯=．【例 40】E 、M 分别为直角梯形ABCD 两边上的点，且DQ 、CP 、ME 彼此平行，若5AD =，7BC =，5AE =，3EB =．求阴影部分的面积．。
