2021年高一数学下学期周测试题(二)

浙江省瑞安市上海新纪元高级中学2021-2022高一数学下学期期末（内部）考试试题（2）（本试卷满分共150分，考试时间:120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知α为第三象限角，且25sin α=-，则cos α=（ ▲ ） A.5 B. 55-C. 25D. 25-2.终边落在直线y x =上的角的集合为（ ▲ ） A. {|2,}4k k Z πααπ=+∈ B. {|,}4k k Z πααπ=+∈ C. {|2,}4k k Z πααπ=±∈D. {|,}4k k Z πααπ=±∈3.集合2*{|70}A x x x x N =-<∈，，则集合*6{|}B y N y A y=∈∈，的子集个数为（ ▲ ） A. 4个 B. 8个C. 15个D. 16个4. 函数2lg ()=xf x x的大致图像为 （ ▲ ）5. 已知函数)42sin()(π+=x x f ，则下列命题正确的是（ ▲ ）A ．函数)(x f y =的图象关于点)0,4(π-对称；B ．函数)(x f y =在区间)0,2(π-上是增函数C ．函数)8(π+=x f y 是偶函数；D ．将函数x y 2sin =的图象向左平移4π个单位得到函数)(x f y =的图象 6．下列四个数中最大的是（ ▲ ）(A) 2lg (B) 2lg (C) 2)2(lg (D) )2lg(lg7.设sin1,cos1,tan1a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ▲ ）A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >>8. 已知()2x af x -=是定义在R 上的偶函数，则下列不等关系正确的是（ ▲ ）A. 20.5()(log 3)(log 5)<<f a f fB. 0.52(log 5)(log 3)()<<f f f aC. 0.52()(log 5)(log 3)<<f a f fD. 20.5(log 3)(log 5)()<<f f f a9. 已知函数f(x )=A )2sin(ϕ+x ，其中ϕ为实数，A>0，若f(x )≤)6(πf 对x ∈R 恒成立，且)2(πf >f （π），则f （x ）的单调递增区间是（ ▲ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππk k ,2(k )z ∈ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2,πππk k (k )z ∈C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππk k (k )z ∈D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++32,6ππππk k (k )z ∈ 10．给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作m x =}{，在此基础上给出下列关于函数{}x x x f -=)(的四个命题： ①函数y =)(x f 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；②函数y =)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数； ③函数y =)(x f 是周期函数，最小正周期为1；④函数y =)(x f 的图象关于直线2kx =（Z k ∈）对称;.其中正确命题的个数是（ ▲ ）(A) 1 (B) 2(C) 3(D) 4二、填空题：（单空题每题4分，多空题每题6分，共36分）11.若2log ,323==b a，则=ab ___▲_____,=+-b b 33_____▲___.12．在ABC ∆中sinA+cosA=51，则sin cos A A 的值=___▲___；tanA 的值=____▲___.13.已知2)42（sin 22)(++-=πx x f ，则()f x 的单调递增区间是___▲_____；若方程()10f x m -+=在[0,]2x π∈上有解，实数m 的取值范围是___▲_____.14. 设集合A={1，2，3},B={1，2，3}，则从A 到B 的函数f:A →B 共有___▲_____个；其中满足 f(f(x))= f(x) 的函数个数共有___▲____个.15. 已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=43)0(sin 2)(ππωω，在区间x x f 上的最小值是－2，则ω的最小值等于__▲_____.16．设()f x ax b =+（其中,a b 为实数），1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =，若22a b +=-，且()243244k f x x =-+，则k ＝ ▲ .17．设函数2()2152f x x ax a =-+-的两个零点分别为12,x x ，且在区间12(,)x x 上恰好有两个正整数，则实数a 的取值范围 ▲ .三、解答题：（5小题，共74分）18.（本题14分）. 已知集合{}73|<≤=x x A ，{}102|<<=x x B ，{}a x a x C <<-=5|.(1)求B A ，()B A C R ；(2)若()B A C ⊆，求a 的取值范围.19（本题15分）.（1）．计算： 323log 396415932log 4log55-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+- （2）已知tan 2α=，计算：①2cos()cos()2sin()3sin()2παπαπαπα+----+ ②33sin cos sin 2cos αααα-+ 20．（本题15分）已知函数，x ∈R ，A ＞0，．y=f （x ）的部分图象，如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为（1，A ）． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期及φ的值；（Ⅱ）若点R 的坐标为（1，0），，求A 的值．（III ）在（Ⅱ）的条件下，若[]2,1-∈x ，求函数()f x 的值域．21. （本题15分）定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界．已知函数11()1()()24x x f x a =++，121()log 1ax g x x -=-．（1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间9[,3]7上的所有上界构成的集合；（3）若函数()f x 在[0,)+∞上是以5为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．22．（本题15分）.若函数)(x f 对于其定义域内的某一数0x ，有00)(x x f =，则称0x 是)(x f 的一个不动点. 已知函数)0(1)1()(2≠-+++=a b x b ax x f . (1)当1=a ，2-=b 时，求函数)(x f 的不动点；(2)若对任意的实数b ，函数)(x f 恒有两个不动点，求a 的取值范围；(3)在(2)的条件下，若)(x f y =图象上两个点A 、B 的横坐标是函数)(x f 的不动点，且A 、B 的中点C 在函数145)(2+-+-=a a ax x g 的图象上，求b 的最小值. （参考公式：),(),,(2211y x B y x A 的中点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x ）瑞安市上海新纪元高级中学2021度第二学期 2021级期末考试——数学试题参考答案一、选择题(每小题4分共40分)1.---5. B B D D C 6--10． A C A D C二、填空题：（单空题每题4分，多空题每题6分）11．1，52； 12．2512-；34- 13. 5[,]()88k k k Z ππππ++∈；7[3]2-.14 .27；10 15.23 16. 5 17． 3119(,]106三、解答题：5小题，共74分18.解：（1）{}102|<<=x x B A ， ……………3分{}73|≥<=x x x A C R 或 ，∴(){}10732|<≤<<=x x x B A C R 或 …………7分（2）由（1）知{}102|<<=x x B A ，①当φ=C 时，满足()B A C ⊆，此时a a ≥-5，得25≤a ； ②当φ≠C 时，要()B A C ⊆，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-<-10255a a a a ，解得325≤<a ；由①②得，3≤a ……………………14分19．解：（1）原式()32235336433log 2log 2log 5---+-= ……………………3分1633log 22log 52log 5333---+-=211632-=---= ……………………7分（2）①tan 2α=2sin cos 2tan 13cos 3sin 13tan 7αααααα-+-+∴==-++原式=………………………11分②322322sin cos (sin cos )sin 2cos sin cos αααααααα-+=++原式（）3232tan tan 11tan 2tan 26αααα--==++ …………………………（15分）20.解：（I ）由题意得，T==6 ………………………………………………………………2分∵P （1，A ）在函数的图象上∴=1 又∵∴φ= …………………………………………………………………………………………………5.分（II ）由P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为（1，A ），结合（I ）可知点Q 的坐标为（4，﹣A ）,连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ=可得，∠QRX=，作QM ⊥X 轴于M ，则QM=A ，RM=3，所以有tan ===∴A=……………………………………………………………….10分 （III ）[][]23)1(,3)1(y 上递减，所以2，1上递增，在1，1-在)63sin(3)(min max -=-===+=f y f x x f ππ……………………………………………………………15分21解析：（1）因为函数()g x 为奇函数，所以()()g x g x -=-，即112211log log 11ax axx x +-=----， 即1111ax x x ax+-=---，得1a =±，而当1a =时不合题意，故1a =-．…………………4分 （2）由（1）得：121()log 1xg x x +=-， 而112212()log log (1)11x g x x x +==+--，易知()g x 在区间(1,)+∞上单调递增， 所以函数121()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上单调递增， 所以函数121()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上的值域为[3,1]--，所以()3g x ≤， 故函数()g x 在区间9[,3]7上的所有上界构成集合为[3,)+∞．………………………..9分（3）由题意知，()5f x ≤在[0,)+∞上恒成立.5()5f x -≤≤，1116()()4()424x x x a --≤≤-．∴1162()42()22xx xxa -⋅-≤≤⋅-在[0,)+∞上恒成立．∴max min 11[62()][42()]22xx xxa -⋅-≤≤⋅-设2x t =，1()6h t t t =--，1()4P t t t=-，由[0,)x ∈+∞，得1t ≥． 易知()P t 在[1,)+∞上递增，设121t t ≤<，21121212()(61)()()0t t t t h t h t t t ---=>，所以()h t 在[1,)+∞上递减，()h t 在[1,)+∞上的最大值为(1)7h =-，()p t 在[1,)+∞上的最小值为(1)3p =，所以实数a 的取值范围为[7,3]-． ……………………………………15分22.解：(1)3)(2--=x x x f ，由x x x =--32，解得3=x 或1-=x ，所以所求的不动点为1-或3. ……………………3分 (2)令x b x b ax =-+++1)1(2，则012=-++b bx ax ①由题意，方程①恒有两个不等实根，所以0)1(42>--=∆b a b ， 即0442>+-a ab b 恒成立，则016162<-=∆'a a ，故10<<a …………………8分 (3)设A(x 1，x 1)，B(x 2，x 2)(x 1≠x 2)，145)(2+-+-=a a ax x g ，又AB 的中点在该直线上，所以1452222121+-++-=+a a ax x x x ，∴145221+-=+a a ax x ， 而x 1、x 2应是方程①的两个根，所以a b x x -=+21，即1452+-=-a a a a b ， ∴14522+--=a a a b =-514112+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a a =-1)21(12+-a ………………13分 ∴当 a =21∈(0，1)时，b min =1- ………………15分。

四川省成都市新都一中高2021级第二期期中联考模拟02数学试卷一、单选题1．已知04πα<<，且1sin ,cos ,tan a b c ααα===，则（）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．c a b>>2．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若10b =，6A π=，且ABC 有唯一解，则a 的取值情况是（）A ．5a =B ．5a =或者10a ≥C ．510a ≤≤D ．不确定3．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弧长等于8m 3π的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据3 1.73≈）（）A ．26m B ．29m C ．212m D ．215m 4．用分期付款的方式购买一件电器，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元及欠款的利息，月利率为1%，则买这件电器实际花（）．A ．1105元B ．1255元C ．1305元D ．1405元5．数列{}n a 中，12a =，21n n a a +=，则下列结论中正确的是（）A ．数列{}n a 的通项公式为2n n a =B ．数列{}n a 为等比数列C ．数列{}ln n a 为等比数列D ．数列{}ln n a 为等差数列6．已知向量a ，b 的夹角为120︒，1a b ==r r ，c 与a b +同向，则a c - 的最小值为（）A ．1B ．12C ．34D ．327．如图，在ABC 中，2AD DB =，AE EC =，CD 交BE 于F ，设AB a =，AC b = ，则AF =（）A ．1133a b+ B ．1255a b+C ．2355a b+ D ．1134a b+ 8．在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()()()sin sin sin a b A B b c C +-=+，7a =，则该三角形的外接圆直径为（）A ．14B ．7CD9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S，满足121,3,2)a a n ===≥，则2022a =（）A ．4043B ．4042C ．4041D ．404010．在数列{}n a 中，11a =，142n n S a +=+，则2019a 的值为()A ．20207572⨯B ．20197572⨯C ．20187572⨯D ．无法确定11．数列{}n a 中，11a =，10(2)n n a a n n ---=≥，12111222n n S a a a =+++ .当99100n S =时，n 等于（）A ．98B ．99C ．100D ．10112．设数列{}n a 满足15a =，213a =，2126n n n na a a +++=，则下列说法不正确的是（）A ．2156n n na a a ++=-B ．n a 都是整数C ．4nn a >D ．{}n a 中与2019最接近的项是7a 二、填空题13．非零向量(sin ,2)a θ= ，(cos ,1)b θ= ，若a 与b 共线，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．14．已知数列{}n a的通项公式为n a n =n a 的最小值为___________.15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若222S =，5100S =，则10S =______.16．已知A ，B ，C ，D 是平面内四点，且(2,1),(2,1)AC BD ==- ，则AB CD ⋅的最小值为___________.三、解答题17．已知cos 410x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(1)求sin x 的值；(2)求tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．18．已知等差数列{}n a 为递减数列，且132a a +=-，133a a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n a 的前k 项和35k S =-，求k 的值.19．某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年比上一年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设()f n 表示前n 年的纯利润（()f n =前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额）．(1)从第几年开始获得纯利润？(2)若五年后，该台商为开发新项目，决定出售该厂，现有两种方案：①年平均利润最大时，以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂．问哪种方案较合算？20．已知等差数列{}n a 为3，7，11，15，….(1)求{}n a 的通项公式；(2)135，()*419N m m +∈是数列{}n a 中的项吗？为什么？(3)若m a ，()*N ,t a m t ∈是{}n a 中的项，那么23m t a a +，是数列{}n a 中的项吗？请说明理由.21．已知函数()()()()cos 0,0,f x A x A ωϕϕπ=+>∈，同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期T π=；②()f x 的图像可以由sin cos y x x =+的图像平移得到；③函数()f x 的最大值为2；④()0f =(1)请选出这三个条件并说明理由，再求出函数()f x 的解析式；(2)若曲线()y f x =的图像只有一个对称中心落在区间[]0,a 内，求a 的取值范围.22．如图，在ABC 中，1CA =，2CB =，60ACB ∠=︒．(1)求||AB uu u r ；(2)已知点D 是AB 上一点，满足AD AB λ=uuu r uu u r，点E 是边CB 上一点，满足BE BC λ= ．①当12λ=，求AE CD ⋅ ；②是否存在非零实数λ，使得AE CD ⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.四川省成都市新都一中高2021级第二期期中联考模拟02数学参考答案1．C∵04πα<<，1cos sin 0∴>>>αα，∴1cos 1tan sin c ==>ααα，∴c b a >>，故选：C 2．B由正弦定理得，sin 5sin sin b A a B B==，由ABC 有唯一解，当sin 1B =时，即90B = ∠，ABC 唯一，符合条件，可得5a =；当1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,B Ð有两个值，ABC 不唯一，不符合条件；当1sin 0,2B ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，5sin a b B =≥，故B A ∠≤∠，ABC 唯一，符合条件，可得10a ≥，故选：B 3．B如图，由题意可得：823=43AOB ππ∠=，4OA =，在Rt AOD 中，可得：3AOD π∠=，6DAO π∠=，114222OD AO ==⨯=，可得：矢422=-=，由sin43AD AO π=== 可得：弦2AD ==所以：弧田面积12=（弦⨯矢+矢221)22)292=⨯+=+≈平方米．故选：B4．B购买时付150元，欠1000元，每月付50元，分20次付清．设每月付款数构成数列{}n a ，则15010001%60a =+⨯=，()2501000501%59.5600.51a =+-⨯==-⨯，()35010005021%59600.52a =+-⨯⨯==-⨯，…∴()()600.510.560.5120n a n n n =--=-+≤≤，∴{}n a 是以60为首项，0.5-为公差的等差数列，∴()20201915020600.515012552S ⨯+=⨯+⨯-+=，∴买这件电器实际花1255元．故选：B 5．C数列{}n a 中，12a =，21n n a a +=，则22212a a ==，222432(2)2a a ===，显然123,,a a a 不成等比数列，A ，B都不正确；依题意，1ln ln 20a =>，由21n n a a +=两边取对数得：1ln 2ln n n a a +=，因此，数列{}ln n a 是首项为ln 2，公比为2的等比数列，C 正确，D 不正确.故选：C 6．D1a b ==r r Q ，向量a ，b 的夹角为120︒，c 与a b +同向，a ∴r 与c的夹角为60︒．又a c -=故mina c-=．故选；D 7．B因为2AD DB =，AE EC =，所以11,32AD AB AE AC == ，因为,,D F C 三点共线，所以1(1)(1)3AF AD AC AB AC λλλλ=+-=+- ，因为,,E F B 三点共线，所以1(1)(1)2AF AB AE AB AC μμμμ=+-=+- ，所以1311(1)2λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得31,55λμ==，所以1255AF AB AC =+，故选：B8．D由已知，()()()sin sin sin a b A B b c C +-=+，由正弦定理可得：()()()a b a b b c c +-=+，化简得：222b c a bc +-=-，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，又因为ABC 中，(0,π)A ∈，所以2π3A =，所以2πsin sin3A =设三角形的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：2sin 3a r A ==，故选：D.9．A由2)n =≥知：为等差数列，1==2==，则公差1d =，n =，故2n S n =，则21(1)n S n -=-(2)n ≥，可得221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，而11a =也满足，所以21n a n =-，则20222202214043a =⨯-=.故选：A 10．A∵11a =，142n n S a +=+，∴212142S a a a =+=+，解得25a =.∵142n n S a +=+，∴2142n n S a ++=+，两式相减得，2144n n n a a a ++=-，∴()211222n n n n a a a a +++-=-，∴{}12n n a a +-是以212a a -＝3为首项，2为公比的等比数列，∴11232n n n a a -+-=⨯，两边同除以12n +，则113224n n n n a a ++-=，∴2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以34为公差，11122a =为首项的等差数列，∴()133112244n n a n n -=+-⨯=，∴()23123124nn n n a n --=⨯=-⨯，∴()20172020201932019127572a =⨯-⨯=⨯.故选：A.11．B由10(2)n n a a n n ---=≥，得1(2)n n a a n n --=≥，()()()()n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-21213431 ()n n n =+++++=+1123412.当1n =时，此式也满足1a ，故数列{}n a 的通项公式为：()n a n n =+112.()n a n n n n ∴==-+⨯+1111121212121111111112222231n n S a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++.又因为99100n S =，所以991100n n =+，解得99n =.故选：B.12．C易知当2n =时，22134a =<，可知C 不正确.依题意，可得2216nn n n a a a ++-=，则335a =.所以2312+++-n n n a a a ()122166+++==-n n n n a a a ，223112266n n n n n n a a a a a a ++++++=+，()()1312266++++++=+n n n n n n a a a a a a ，又0n a ≠，所以3122166n n n nn n a a a a a a +++++++=，令216n nn n a a b a +++=，所以{}n b 为常数列，又31265a a a +=，即2156n n n a a a ++=-，所以A ，B 正确.由2156n n n a a a ++=-，()211232n n n n a a a a +++-=-或()211323n n n n a a a a +++=--，又2123a a -=，2132a a -=-，所以{}12n n a a +-是首项为3，公比为3的等比数列，{}13n n a a +-是首项为2-，公比为2的等比数列.故123n n n a a +-=，132+-=-nn n a a ，所以两式相减得23n nn a =+，所以6793a =，72315a =，D 正确.故选：C.13．13解：∵非零向量a 与b共线，∴sin 2cos θθ=，显然cos 0θ≠，所以tan 2θ=，∴tan 11tan()41tan 3πθθθ--==+．故答案为：1314．1因为n n n a n+===易知数列{}n a为递增数列，所以数列{}n a 的最小项为1a，即最小值为1故答案为：115．350方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，则2151222,510100,S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得18,6,a d =⎧⎨=⎩所以10110810963502S =⨯+⨯⨯⨯=.方法二：设2n S An Bn =+，则254222,255100,S A B S A B =+=⎧⎨=+=⎩解得3,5,A B =⎧⎨=⎩所以210310510350S =⨯+⨯=.故答案为：350．16．4-设(,)A x y ，(,)B m n ，则(2,1)C x y ++，(2,1)D m n -+，所以(,)AB m x n y =-- ，(4,)CD m x n y =---，则2222()4()()(2)()4AB CD m x m x n y m x n y ⋅=---+-=--+--，当2m x -=，n y =时AB CD ⋅的最小值为4-.故答案为：4-17．(1)因为x ∈(π2，3π4)，所以x －π4∈(π4，π2)，于是sin(x －π4)，则sin x ＝sin[(x －π4)＋π4]＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x－π4)sin π4＝10×2＋10×2＝45．(2)由(1)知，4sin 5x =，因为x ∈(π2，3π4)，所以cos x35，所以tan x =43-，则22tan 24tan 21tan 7x x x ==-，所以tan 2tan314tan(24171tan 2tan 4x x x πππ++==--⋅.18．(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11n a a n d +-=，且0d <.由132a a +=-，133a a =-，解得11a =，33a =-（13a =-，31a =不合题意，舍去）.由3123a d =+=-，解得2d =-.从而()()11232n a n n =+-⨯-=-.(2)由（1）可知32n a n =-，所以()213222n n n S n n +-⎡⎤⎣⎦==-.由35k S =-，可得2235k k -=-，即22350k k --=，解得7k =或5k =-.又*k N ∈，故7k =.19．(1)由题意，知每年的经费构成了以12为首项，4为公差的等差数列，则()()215012472240722n n f n n n n n -⎡⎤=-+⨯-=-+-⎢⎥⎣⎦，获得纯利润就是要求()0f n >，即2240700n n -+->，解得218n <<．又*n N ∈，故从第三年开始获得纯利润；(2)①年平均利润为()23640216216f n n n n ⎛⎫=-+=-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当6n =时取等号，故此方案获利61648144⨯+=（万美元），此时6n =．②()()2224072210128f n n n n =-+-=--+，当10n =时，()max 128f n =．故此方案共获利12816144+=（万美元）．比较两种方案，在获利相同的前提下，第①种方案只需六年，第②种方案需要十年，故选择第①种方案．20．(1)设数列{}n a 的公差为d ，依题意有13a =，734d =-=，∴()34141n a n n =+-=-.(2)令41135n a n =-=，得34n =，∴135是数列{}n a 的第34项；∵()419451m m +=+-，且*N m ∈，∴419m +是数列{}n a 的第()5m +项.(3)∵m a ，t a 是数列{}n a 中的项，∴41m a m =-，41t a t =-，∴()()()2324134142311m t a a m t m t +=-+-=+--，∵*231N m t +-∈，∴23m t a a +是数列{}n a 的第()231m t +-项.21．(1)由题意知条件②：sin cos )4y x x x π=+=+，与③矛盾，故②③不能同时成立，则①④必满足，所以T π=，所以22πωπ==，故排除②，所以()cos()(0,2f x A x A πωϕϕ=+><同时满足①③④．所以2A =，2ω=，此时()2cos(2)f x x ϕ=+，因为(0)f =，所以2cos ϕ=即cos 2ϕ=，因为(0,)ϕπ∈，所以6π=ϕ，所以()2cos(2)6f x x π=+；(2)令262x k πππ+=+，k Z ∈，解得26k x ππ=+，所以()f x 的对称中心是(,0),26k k Z ππ+∈，因为曲线()y f x =只有一个对称中心落在区间[0，]a 内，所以263a ππ< ，所以a 的取值范围是2[,)63ππ．22．(1)解：∵AB CB CA =- ，且24CB = ，21CA = ，21cos 601CB CA ⋅=⨯⨯︒= ，∴||||AB CB CA =-=(2)解：①12λ=时，12AD AB = ，12BE BC = ，∴D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，∴12AE AC CE AC CB =+=+ ，1()2CD CA CB =+ ，∴11()22AE CD AC CB CA CB ⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭ 211112244AC CA AC CB CB CA CB =⋅+⋅+⋅+ 211112cos12022=-⨯+⨯⨯⨯︒211121cos602444+⨯⨯⨯︒+⨯=；②存在．理由如下：假设存在非零实数λ，使得AE CD ⊥ ，由AD AB λ=uuu r uu u r ，得()AD CB CA λ=- ，∴()CD CA AD CA CB CA λ=+=+- (1)CB CA λλ=+- ．又BE BC λ= ，∴()AE AB BE CB CA BC λ=+=-+ (1)CB CA λ=-- ，∴AE CD ⋅= 2(1)CB CB CA λλλ--⋅+ 22(1)(1)CB CA CA λλ-⋅-- 24(1)(1)(1)λλλλλ=--+---2320λλ=-+=，解得23λ=或0λ=（不合题意，舍去），所以存在非零实数23λ=，使得AE CD ⊥ .。

如东高级中学2020-2021学年第二学期阶段测试（二）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}ln 1B x x =<，图中阴影部分为集合M ，则M 的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.命题p ：“向量a 与向量b 的夹角θ为锐角”是命题q ：“0a b ⋅>”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件3.若复数z 满足|z －i|≤2，则z z 的最大值为 ( )A.1 B ．2 C ．4 D ．94.某年级有100名学生到甲、乙、丙、丁、戊这5个社区参加志愿者活动，且每个人只到一个社区，经统计，并将到各社区参加志愿者活动的学生人数绘制成如下不完整的两个统计图，则到戊社区参加志愿者活动的学生人数为（ ） A ．10B ．15C ．20D ．255.单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系2010000.70.3vN v v d =++，其中0d 为安全距离，v 为车速()m /s .当安全距离0d 取30m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为A ．135B ．149C ．165D ．195 6．已知函数()()sin 2(||)2f x x πϕϕ+<=的图象的一条对称轴为6x π=,则下列结论中正确的是（）.A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 B ．()f x 是最小正周期为π的奇函数C ．()f x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．先将函数2sin 2y x =图象上各点的纵坐标缩短为原来的12，然后把所得函数图象再向左平移6π个单位长度，即可得到函数()f x 的图象7.圆台上底半径为5cm ，下底半径为10cm ，母线20AB cm =，A 在上底面上，B 在下底面上，从AB 中点M 拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B 点，则绳子最短时长为（ ）A ．10cmB ．25cmC ．50cmD ．352πcm 8.已知函数()2ln ,0,1,0,x x f x x x ⎧>=⎨-+≤⎩若方程()f x a =有三个不同的实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，123x x 的取值范围是 （ ）.A ．1[0,]2B ．[C ．1[,0]2-D ．1[,0)2- 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高三下学期模拟（二）测试数学文试题（详解） 含答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则集合A ．B ．C ．D ． 2. 为虚数单位，则复数的虚部为A ．B ．C ．D ．3. 为了了解某学校xx 名高中男生的身体发育 情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况. 根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在70～78kg 的人数为 A ．240 B ．160 C ．80 D ．604. 在平面直角坐标系中, 落在一个圆内的曲线可以是 A ． B ． C ． D ．5.A. B. C. D.6． 若对任意正数，均有，则实数的取值范围是 A. B. C. D.7．曲线在点处的切线方程是 A. B.C. D.8．已知命题：“对任意， 都有”；命题：“空间两条直线为异面直线的充要条件是它们不同在任何一个平面内”．则A. 命题“”为真命题B. 命题“”为假命题kg ）第3题图C. 命题“”为真命题D. 命题“”为真命题9. 某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为的圆（包括圆心），则该零件的体积是A ．B ．C ．D ．10. 线段是圆的一条直径，离心率为的双曲线以为焦点．若是圆与双曲线的一个公共点，则 A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题：第11、12、13题为必做题．11. 按照右图的工序流程，从零件到成品最少 要经过______道加工和检验程序，导致废 品的产生有_____种不同的情形．12. 已知递增的等比数列中, 则 .13. 无限循环小数可以化为有理数，如，请你归纳出 （表示成最简分数．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题．14. (坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线（常数）与曲线相切，则 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，是半圆的直径，弦和弦相交于点，且，则 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在中，角为锐角,记角所对的边分别为设向量 且与的夹角为 （1）求的值及角的大小； （2）若，求的面积．第11题图PDC 第15题图第9题图1 cm1 cm2 cm2 cm17．（本小题满分12分）设函数，其中是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “且”发生的概率. (1) 若随机数；(2) 已知随机函数产生的随机数的范围为, 是算法语句和的执行结果．(注: 符号“”表示“乘号”)18．（本小题满分14分）如图，四棱柱的底面是平行四边形，分别在棱上，且． （1）求证：；（2）若平面，四边形是边长为的正方形，且，，求线段的长, 并证明：19．（本小题满分14分）已知二次函数的最小值为且关于的不等式的解集为 ,（1）求函数的解析式； （2）求函数的零点个数.A 1BCDC 1B 1D 1FE20．（本小题满分14分）如图，是抛物线上的两动点（异于原点），且的角平分线垂直于轴，直线与轴，轴分别相交于.(1) 求实数的值，使得；(2）若中心在原点，焦点在轴上的椭圆经过. 求椭圆焦距的最大值及此时的方程.21．（本小题满分14分）定义数列： ，且对任意正整数，有 .（1）求数列的通项公式与前项和；（2）问是否存在正整数，使得？若存在，则求出所有的正整数对 ；若不存在，则加以证明.数学（文科）参考答案及评分标准说明：1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．第20题图2. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。

2021-2022学年广东省江门市高一下学期期末调研测试(二)数学试题1.实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（）A．B．2 C．3 D．2.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为A．6 B．8 C．10 D．123.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，事件“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是（）A．A与B为相互独立事件B．A与B互为对立事件C．A与B为互斥事件D．4.把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是A．B．C．D．5.已知，，且，则（）A．1 B．C．2 D．6. 2021年江苏进入新高考模式，数学增加了多选题，已知在多项选择题的四个选项A、B、C、D中，有多项符合题目要求．规定：全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．若某题的正确答案是ABC，某考生随机选了一些选项（选项个数大于或等于1），则其得分的概率为（）．A．B．C．D．7.已知为异面直线，平面平面.直线满足，则( )A．，且B．，且C．与相交,且交线垂直于D．与相交,且交线平行于8.向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（）A．B．C．D．9.下列式子正确的是（）A．B．C．D．10.已知某班10名男生引体向上的测试成绩统计如表所示，则下列说法正确的是（）A．这10名男生引体向上测试成绩的平均数为8.4B．这10名男生引体向上测试成绩的第25百分位数为7.5C．这10名男生引体向上测试成绩的中位数为8.5D．这10名男生引体向上的测试成绩众数为911.在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（）A．这艘船航行速度的大小为B．这艘船航行速度的大小为C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为12.如图，在三棱锥中，D，E，F分别是侧棱，，的中点．则下列结论中，其中正确的有（）A．∥平面B．平面∥平面C．三棱锥与三棱锥的体积比为1∶4D．异面直线与所成角为60°13.已知复数，是z的共轭复数，则___________．14.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为______.15.甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击，则第4次由甲射击的概率___________．16.已知函数，若函数的最小正周期为，则__________，若，则函数的最小正周期为__________.17.如图，在正方体中，点E为的中点．(1)求证：平面；(2)若，从正方体中截去三棱锥后，求剩下的几何体的体积．18.江门市某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩．经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示．(1)求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的第80百分位数：(2)若按照分层随机抽样的方法从成绩在，的两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求至少有2人的成绩在内的概率．19.已知，，，，求的值.20.甲乙两人组成“星队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．甲和乙在第一轮都猜错的概率为，“星队”在第二轮中只猜对一个谜语的概率为.（1）求，；（2）求“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的概率．21.如图，四棱锥的底面是矩形，E为侧棱的中点，侧面是正三角形，且侧面底面．(1)求证：平面；(2)当为何值时，使得？22.在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，C，S为的面积，若__________（填条件序号）（1）求角C的大小；（2）若边长，求的周长的最大值．。

江宁分校2020-2021学年度第二学期高一年级阶段性调研数学学科分值：150 时间：120分钟班级____________姓名___________ 一．单选题1．设复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，134,z i +＝则（ ） A ．-6B ．6C ．8iD ．-8i2．已知向量()2,a m =，()3,6b =，若，则实数m 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．4D ．4-3．已知中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若60a b A ︒===，则B =（ ） A ．45︒B ．60︒C ．45︒或135︒D ．135︒4．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若//,//m n αα，则//m n B ．若//,//m αβα，则//m β C ．若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m nD ．若,//,//m m n ααβ⊥，则n β⊥5．如图，长方体1111ABCD A BC D -中，12AA AB ==，1AD =，E ，F ，G 分别是1DD ，AB ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成角是（ ）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6．已知圆锥的表面积等于227cm π，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（ ） A ．1cm B ．2cmC ．3cmD ．3c m 27．若1sin 63x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．79C ．9-D ．98．一个封闭的圆柱形容器，内部装有高度为三分之一的水（图一），将容器歪倒放在水平放置的的桌面上，设水面截底面得到的弦AB 所对的圆心角为θ，则（ ）A ．π3θ=B ．2π3θ=C ．πsin 3θθ=- D ．2πsin 3θθ=- 二．多选题9．在复平面内，下列说法正确的是（ ） A ．若复数（i 为虚数单位），则301z =- B ．若复数z 满足2 z ∈R ，则 z ∈RC ．若复数(),z a bi a b =+∈R ，则z 为纯虚数的充要条件是0a =D ．若复数z 满足1z =，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆 10．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点,,EFG 分别为棱,,BC CD DA 的中点，则（ ）A ．//AC 平面EFGB ．过点,,E F G 的截面的面积为12C ．异面直线EG 与AC 所成角的大小为4π D ．CD 与平面GBC 所成角的大小为6π11．在中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，能确定C 为锐角的有（ ）A ．B ．222a b c +>C ．A 、B 均为锐角，且sin cos A B >D ．tan tan tan 0A B C ++>12．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，点E 为棱1DD 的中点，点P 是线段D C 1上的动点，给出下列四个命题,其中正确的是（ ） A. 直线AP 与E B 1是异面直线；B.正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的表面积之比为1:2:3；C. 点P 到平面1AEB 的距离是一个常数；D.正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积是．三．填空题13．化简：sin 22cos 45sin 23cos 22sin 45sin 23︒︒︒︒︒︒+-＝________. 14．某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：其中x ∶y ∶z ＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的35，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．15．已知圆锥的高为3面上，则这个球的体积等于_______________ 16．有下列5个关于三角函数的命题：①0x R ∃∈00cos 3x x +=；②函数22sin cos y x x =-的图像关于y 轴对称； ③x R ∀∈，1sin 2sin x x+≥；④[]π,2πx ∀∈cos 2x=-；⑤当()2sin cos f x x x =+取最大值时，cos x =. 其中是真命题序号的是______. 四．解答题17．2020年，面对突如其来的新冠肺炎疫情冲击，在党中央领导下，各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展取得显著成效，商业模式创新发展，消费结构升级持续发展.某主打线上零售产品的企业随机抽取了50名销售员，统计了其2020年的月均销售额（单位：万元），将数据按照[12,14),[14,16),,[22,24]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.已知[14,16)组的频数比[12,14)组多4.（1）求频率分布直方图中a 和b 的值；（2）该企业为了挖掘销售员的工作潜力，对销售员实行冲刺目标管理，即给销售员确定一个具体的冲刺目标，完成这个冲刺目标，则给予额外的奖励，若公司希望恰有20%的销售人员能够获得额外奖励，求该企业应该制定的月销售冲刺目标值.18．如图，在菱形ABCD 中，12BE BC =，2CF FD =．（1）若，求32x y +的值；（2）若菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=︒，求 （3）若菱形ABCD 的边长为6，求的取值范围．19．如图，在ABC ∆中， 3B π∠=， 8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=. （1）求sin BAD ∠； （2）求,BD AC 的长.20．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是菱形,60ABC ∠=,2AB =,ACBD O =,PO ⊥底面ABCD ,2PO =,点E 在棱PD 上,且CE PD ⊥（1）证明：面PBD ⊥面ACE ; （2）求二面角P AC E --的余弦值.21． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH 平面PAD ；（Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.22．已知向量()3cos ,cos x a x ωω=-，()()sin ,cos 0b x x ωωω=>，若函数的最小正周期为π． （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程22cos 22cos 2501212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有实数解，求实数a 的取值范围．2020-2021学年度第二学期高一年级阶段性调研数学学科参考答案一．单选题1．设复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，134,z i +＝则（ ） A ．-6 B ．6 C ．8i D ．-8i【答案】B2．已知向量()2,a m =，()3,6b =，若，则实数m 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．4 D ．4-【答案】B3．已知中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若60a b A ︒===，则B =（ ） A ．45︒ B ．60︒ C ．45︒或135︒ D ．135︒【答案】A4．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若//,//m n αα，则//m n B ．若//,//m αβα，则//m β C ．若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n D ．若,//,//m m n ααβ⊥，则n β⊥【答案】D5．如图，长方体1111ABCD A BC D -中，12AA AB ==，1AD =，E ，F ，G 分别是1DD ，AB ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成角是（ ）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】D6．已知圆锥的表面积等于227cm π，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（ ） A ．1cm B ．2cmC ．3cmD ．3c m 2【答案】C 7．若1sin 63x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．79C ．D 【答案】A8．一个封闭的圆柱形容器，内部装有高度为三分之一的水（图一），将容器歪倒放在水平放置的的桌面上，设水面截底面得到的弦AB 所对的圆心角为θ，则（ ）A ．π3θ=B ．2π3θ=C ．πsin 3θθ=- D ．2πsin 3θθ=- 【答案】D 【详解】设圆柱体底面半径为r ，高为h ，则水的体积为213r h π水平放置后，水的体积为221sin 22r r h θπθπ⎛⎫⋅-⎪⎝⎭所以22211sin 322r h r r h θππθπ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，解得2πsin 3θθ=-故选：D二．多选题9．在复平面内，下列说法正确的是（ ） A ．若复数（i 为虚数单位），则301z =- B ．若复数z 满足2 z ∈R ，则 z ∈RC ．若复数(),z a bi a b =+∈R ，则z 为纯虚数的充要条件是0a =D ．若复数z 满足1z =，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆 【答案】AD10．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点,,E F G 分别为棱,,BC CD DA 的中点，则（ ）A ．//AC 平面EFGB ．过点,,E F G 的截面的面积为12C ．异面直线EG 与AC 所成角的大小为4π D ．CD 与平面GBC 所成角的大小为6π 【答案】ACD【详解】对A ，点F ，G 为棱CD ，DA 的中点，//FG AC ∴，FG ⊂平面EFG ，AC ⊄平面EFG ，∴//AC 平面EFG ，故A 正确；对B ，取AB 中点H ，则可得四边形EFGH 为截面，由A 选项可得//FG AC ，12FG AC =,同理可得//HE AC ，12HE AC =,则//HE HG 且HE FG =，故四边形EFGH 为平行四边形，取BD 中点M ，则可得,BD AM BD CM ⊥⊥，AM CM M ⋂=，则BD ⊥平面AMC ，BD AC ∴⊥，则EF FG ⊥，故平行四边形EFGH 为正方形，且边长为1，故截面面积为1，故B 错误；对C ，因为//AC FG ，所以异面直线EG 与AC 所成角即EGF ∠，由B 选项可得4EGF π∠=，故C 正确；对D ，如图，因为,DA GB DA GC ⊥⊥，DA ∴⊥平面GBC ，则DCG ∠即为CD 与平面GBC 所成角，易得6DCG π∠=，故D 正确.故选：ACD.11．在中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，能确定C 为锐角的有（ ） A ．B ．222a b c +>C ．A 、B 均为锐角，且sin cos A B >D ．tan tan tan 0A B C ++>【答案】BCD12．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，给出下列四个命题,其中正确的是（ ABC ）A. 直线AP 与E B 1是异面直线；B.正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的表面积之比为1:2:3；C. 点P 到平面1AEB 的距离是一个常数；D.正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积是． 三．填空题13．化简：sin 22cos 45sin 23cos 22sin 45sin 23︒︒︒︒︒︒+-＝________. 【答案】114．某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：其中x ∶y ∶z ＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的35，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人． 【答案】615．已知圆锥的高为3面上，则这个球的体积等于_______________ 【答案】323π 16． 有下列5个关于三角函数的命题：∶0x R ∃∈00cos 3x x +=；∶函数22sin cos y x x =-的图像关于y 轴对称； ∶x R ∀∈，1sin 2sin x x+≥；∶[]π,2πx ∀∈cos 2x=-；∶当()2sin cos f x x x =+取最大值时，cos x =.其中是真命题的是______. 【答案】②②② 四．解答题17．2020年，面对突如其来的新冠肺炎疫情冲击，在党中央领导下，各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展取得显著成效，商业模式创新发展，消费结构升级持续发展.某主打线上零售产品的企业随机抽取了50名销售员，统计了其2020年的月均销售额（单位：万元），将数据按照[12,14),[14,16),,[22,24]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.已知[14,16)组的频数比[12,14)组多4.（1）求频率分布直方图中a 和b 的值；（2）该企业为了挖掘销售员的工作潜力，对销售员实行冲刺目标管理，即给销售员确定一个具体的冲刺目标，完成这个冲刺目标，则给予额外的奖励，若公司希望恰有20%的销售人员能够获得额外奖励，求该企业应该制定的月销售冲刺目标值. 【答案】（1）0.03a =，0.07b =；（2）20.8万元. 【详解】（1）由题意得(0.120.140.100.04)215025024a b b a +++++⨯=⎧⎨⨯⨯-⨯⨯=⎩，解得0.03a =，0.07b =.（2）设应该制定的月销售冲刺目标值为x 万元，则在频率分布直方图中x 右边的面积为10.80.2-=.最后一组的面积是0.0420.08⨯=，最后两组的面积之和为0.1020.0420.28⨯+⨯=. 因为0.080.20.28<<，所以x 位于倒数第二组， 则(22)0.100.080.2x -⨯+=，解得20.8x =. 所以该企业的月销售冲刺目标值应该定为20.8万元.18．如图，在菱形ABCD 中，12BE BC =，2CF FD =．（1）若，求32x y +的值；（2）若菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=︒，求 （3）若菱形ABCD 的边长为6，求的取值范围．【答案】（1）321x y +=-；（2）9AC EF ⋅=-；（3）()21,9--．【详解】解：（1）因为12BE BC =，2CF FD =， 所以12122323EF EC CF BC DC AD AB =+=-=-，所以23x =-，12y =，故213232132x y ⎛⎫+=⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭． （2）②AC AB AD =+，②()221212123236AC EF AB AD AD AB AD AB AB AD ⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪⎝⎭②ABCD 为菱形②6AD AB ==②2211111cos 3636966662AC EF AB AB BAD ⋅=--∠=-⨯-⨯⨯=-，即9AC EF ⋅=-．（3）因为12AE AB AD =+，1223EF AD AB =- 所以22121121362342AD A AE EF AB AD AB AD AB AD B ⎛⎫-= ⎛⎫⋅=+⋅⋅-+ ⎪⎪⎭⎭⎝⎝ 2221cos ,6cos ,153416AB AD AB AD AB AD AB AD =⋅-+=- 1cos ,1AB AD -<<②AE EF ⋅的取值范围：()21,9--． 19．如图，在ABC ∆中， 3B π∠=， 8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=. （1）求sin BAD ∠； （2）求,BD AC 的长.【答案】（1（2）7.试题解析：（I ）在ADC ∆中，②1cos 7ADC ∠=，②sin ADC ∠=②()sin sin 14BAD ADC B ∠=∠-∠=（II ）在ABD ∆中，由正弦定理得：sin 3sin AB BADBD ADB⋅∠==∠在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos 49AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅= ②7AC =考点：正弦定理与余弦定理．20．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是菱形,60ABC ∠=,2AB =,ACBD O =,PO ⊥底面ABCD ,2PO =,点E 在棱PD 上,且CE PD ⊥（1）证明：面PBD ⊥面ACE ; （2）求二面角P AC E --的余弦值. 【详解】（1）证明：②PO ⊥面ABCD ②PO AC ⊥②在菱形ABCD 中，AC BD ⊥ 且BD PO O ⋂= ②AC ⊥面PBD 故面ACE ⊥面PBD（2）连接OE ，则OE =面ACE ⋂面PBD 故CE 在面PBD 内的射影为OE ②CE PD ⊥②OE ⊥ PD又由（1）可得，,AC OE AC OP ⊥⊥ 故POE ∠是二面角P AC E --的平面角 菱形ABCD 中，2AB =,60ABC ∠=②BD =OD =又2PO = 所以PD ==故OE ==②cos 7OE POE OP ∠== 即二面角P AC E --的余弦值为721． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（∶）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH 平面PAD ；（∶）求证：PA ⊥平面PCD ；（∶）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值. 【详解】（I ）证明：连接BD ，易知ACBD H=，BH DH =，又由BG =PG ，故GH PD ，又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以GH平面PAD .（II ）证明：取棱PC 的中点N ，连接DN ，依题意，得DN PC ⊥，又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC平面PCD PC =，所以DN ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，故DN PA ⊥， 又已知PA CD ⊥，CD DN D =，所以PA ⊥平面PCD . （III ）解：连接AN ，由（II ）中DN ⊥平面PAC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角.因为PCD ∆为等边三角形，2CD =且N 为PC 的中点，所以DN =DN AN ⊥，在Rt AND ∆中，sin 3DN DAN AD ∠==，所以，直线AD 与平面PAC22．已知向量()3cos ,cos x a x ωω=-，()()sin ,cos 0b x x ωωω=>，若函数的最小正周期为π． （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程22cos 22cos 2501212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有实数解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）⎡⎢⎣⎦． 【详解】（1）由题意，向量()3cos ,cos x a x ωω=-，()()sin ,cos 0b x x ωωω=>，可得()2113sin cos 22f x a b x x x ωωω=⋅+=-+1cos 212sin 2226x x x ωπωω+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭． 因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，可得1w =，所以()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由（1）可知sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 因为()222sin 2cos 2sin 22sin 2cos 2cos 212sin 2cos 2x x x x x x x x +=++=+，()222sin 2cos 2sin 22sin 2cos 2cos 212sin 2cos 2x x x x x x x x -=-+=-，所以()()22sin 2cos 212sin 2cos 211sin 2cos 2x x x x x x ⎡⎤+=+=+--⎣⎦，令sin 2cos 2t x x =-，则()22sin 2cos 22x x t +=-，则方程22cos 22cos 2501212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 可化为()222250a t t a ---=，即2220att a ++=，因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 2cos 221,14t x x x π⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭．所以由题意可知，方程2220at t a ++=在[]1,1t ∈-时有解，方程2220at t a ++=可化为2221t a t -=+，令2221ty t -=+，[]1,1t ∈-，②当0t =时，0y =； ②当0t ≠时，212y t t-=+， 当01t <≤时，12t t +≥2x =时取等号，所以2y ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭； 当10t -≤<时，12t t +≤-2x =时取等号，所以0,2y ⎛∈ ⎝⎦；综上，22y ⎡∈-⎢⎣⎦，所以22a ⎡∈-⎢⎣⎦，故实数a 的取值范围是22⎡-⎢⎣⎦．。

第六章 平面向量及其应用 章末综合训练一、选择题1. 下列结论中，不正确的是 ( ) A ．若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线与 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的意义是相同的 C ．若向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a ∣=∣∣b ⃗ ∣∣，则 a =b ⃗ D ．若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗2. 设 a ，b ⃗ 是向量，则“∣a ∣=∣b ⃗ ∣”是“∣a +b ⃗ ∣=∣a −b⃗ ∣”的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3. 已知向量 a 与 b ⃗ 方向相反，a =(1,−√3)，|b ⃗ |=2，则 |a −b⃗ |= ( )A ． 2B ． 4C ． 8D ． 164. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 a =3，b =7，cosB =−12，则 c = ( )A ． 4B ． 5C ． 8D ． 105. 在 △ABC 中，∠BAC =60∘，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 边于点 D ，已知 AD =2√3，且λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ），则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为 ( )A ． 1B ． 32C ． 3D ．3√326. 如图所示，为了测量山高 MN ，选择 A 和另一座山的山顶 C 作为测量基点，从 A 点测得 M 点的仰角 ∠MAN =60∘，C 点的仰角 ∠CAB =45∘，∠MAC =75∘，从 C 点测得 ∠MCA =60∘，已知山高 BC =500 m ，则山高 MN （单位：m ）为 ( )A ． 750B ． 750√3C ． 850D ． 850√37. 已知在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 b =1，c =√3，且 2sin (B +C )cosC =1−2cosAsinC ，则 △ABC 的面积是 ( )A ．√34B ． 12C ．√34或√32D ．√34或 128. 已知 e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗是平面内两个夹角为 2π3的单位向量，设 m ⃗⃗ ，n ⃗ 为同一平面内的两个向量，若 m ⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，∣n ⃗ −e 1⃗⃗⃗ ∣=12，则 ∣m ⃗⃗ −n ⃗ ∣ 的最大值为 ( )A ． 12B ． 32C ．√3−12D ．√3+12二、多选题9. 如图，在平行四边形 ABCD 中，下列计算错误的是 ( )A ． AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ． AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ C ． AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D ． AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 10. △ABC 满足下列条件，其中有两个解的是 ( )A ． b =3，c =4，B =30∘B ． b =12，c =9，C =60∘C ． b =3√3，c =6，B =60∘D ． a =5，b =8，A =30∘ 11. 设 a ，b⃗ 是两个非零向量．则下列命题为假命题的是 ( ) A ．若 ∣∣a +b ⃗ ∣∣=∣a ∣−∣∣b ⃗ ∣∣，则 a⊥b ⃗ B ．若 a ⊥b ⃗ ，则 ∣∣a +b ⃗ ∣∣=∣a ∣−∣∣b ⃗ ∣∣C ．若 ∣∣a +b ⃗ ∣∣=∣a ∣−∣∣b ⃗ ∣∣，则存在实数 λ，使得 b⃗ =λaD ．若存在实数 λ，使得 b ⃗ =λa ，则 ∣∣a +b ⃗ ∣∣=∣a ∣−∣∣b ⃗ ∣∣12. 《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边 a ，b ，c ，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 S =√14[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22)2]．现有 △ABC 满足 sinA:sinB:sinC =2:3:√7，且 △ABC 的面积 S =6√3，请运用上述公式判断下列结论正确的是 ( ) A ． △ABC 的周长为 10+2√7B ． △ABC 三个内角 A ，B ，C 满足 2C =A +B C ． △ABC 外接圆的直径为4√213D ． △ABC 的中线 CD 的长为 3√2三、填空题13. 在 △ABC 中，sinA:sinB:sinC =3:2:4，则 cosC = ．14. 已知 A ，B ，C 三点共线，若 O 是这直线外一点，满足 mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则点 A 分 BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的比为 ．15. 已知 △ABC 的面积为 3√15，且 AC −AB =2，cosA =−14，则 BC 的长为 ．16.如图所示，等腰梯形ABCD中，AB=4，BC=CD=2，若E，F分别是BC，AB上的点，且满足BEBC =AFAB=λ，当AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF⃗⃗⃗⃗⃗ =0时，则实数λ的值是．四、解答题17.已知a=(1,2)，b⃗=(−3,2)，当k为何值时：(1) ka+b⃗与a−3b⃗垂直？(2) ka+b⃗与a−3b⃗平行？平行时它们是同向还是反向？18.如图所示，AD，BE，CF是△ABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于一点．19.已知平面向量a，b⃗，c满足∣a∣=4，∣∣b⃗∣∣=3，∣c∣=2，b⃗⋅c=3，求(a−b⃗)2(a−c)2−[(a−b⃗)⋅(a−c)]2的最大值．20. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 a =1，B =π3，△ABC 的面积为3√34．(1) 求 △ABC 的周长； (2) 求 cos (B −C ) 的值．21. 已知 △ABC 的外接圆半径为 R ，其内角 A ，B ，C 的对边长分别为 a ，b ，c ，设 2R (sin 2A −sin 2B )=(a −c )sinC ． (1) 求角 B ；(2) 若 b =12，c =8，求 sinA 的值．22. 已知 O 为坐标原点，对于函数 f (x )=asinx +bcosx ，称向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b ) 为函数 f (x ) 的伴随向量，同时称函数 f (x ) 为向量 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的伴随函数． (1) 设函数 g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x)，试求 g (x ) 的伴随向量 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2) 记向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x )，当 f (x )=85，且 x ∈(−π3,π6) 时，求 sinx 的值； (3) 将（1）中函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再把整个图象向右平移2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象，已知 A (−2,3)，B (2,6)，问在 y =ℎ(x ) 的图象上是否存在一点 P ，使得 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由．。

台州市2021学年第二学期高一年级期末质量评估试题数学2022.07一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是（）A.圆柱B.圆台C.圆锥D.棱柱【答案】A【详解】将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是圆柱.故选：A .2.()()3223a b a b --+的化简结果为（）A.43a b +B.49a b-C.89a b-D.43a b-【答案】B【详解】由题意，()()322349a b a b a b --+=-.故选：B.3.某校参加数学竞赛的男生有24人，女生有18人.若采用比例分配分层随机抽样的方法，从这些同学中抽取14人参加座谈会，则应抽取男生的人数为（）A.6 B.7C.8D.9【答案】C【详解】由题意可知：应抽取的男生人数为：1424=82418⨯+，故选：C4.在ABC中，3,45a c A === ，则ABC 的最大内角等于（）A.105B.120C.125D.150【答案】A【详解】由正弦定理得sin 45sin =a cC3sin 22=C ，得1sin 2C =，因为3=>=a c ，所以A C >，即π02C <<，所以π6C =，7ππ12=--=B A C ，则ABC 的最大内角为7π12=B .故选：A.5.如图，正方体1111ABCD A B C D -的12条棱所在的直线中与直线1BC 所成角为4π的条数为（）A.6B.8C.10D.12【答案】B【详解】因为正方体中14CBC π∠=，所以BC 与直线1BC 所成角为4π，又1111//////BC AD A D B C ，所以1111,,AD A D B C 与直线1BC 所成角为4π，同理可得1111,,,BB CC DD AA 与直线1BC 所成角为4π，又1111,,,AB CD C D A B 与直线1BC 所成角为2π，所以与直线1BC 所成角为4π的棱有8条.故选：B.6.已知复数i z a b =+（i 为虚数单位）,R a b ∈，则“12a ≤”是“1z z ≤-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【详解】由1z z ≤-≤12a ≤，于是“12a ≤”是“1z z ≤-”的充要条件.故选：C.7.如图，在正四面体ABCD 中，,E F 是棱CD 上的三等分点，记二面角C AB E --，,E AB F F AB D ----的平面角分别为123,,θθθ，则（）A.123θθθ==B.123θθθ<<C.132θθθ=>D.132θθθ=<【答案】D【详解】如图1，在正四面体ABCD 中，取AB 的中点G ，连接CG ,DG ，则,CG AB DG AB ⊥⊥，而CG DG G = ，所以AB ⊥平面CDG ，连接EG ,FG ，因为EG ⊂平面CDG ，FG ⊂平面CDG ，所以,AB EG AB FG ⊥⊥.由二面角的平面角的定义可以判断123,,CGE EGF FGD θθθ=∠=∠=∠，由对称性容易判断13θθ=.设该正四面体的棱长为6，如图2，CD =6，易得CG DG ==，取CD 的中点H ，则GH CD ⊥，CE =2，EH =HF =1，在GCH △中，由勾股定理可得GH ==，于是GE GF ===于是，在GCE 中，由余弦定理可得22212cosθ+-==，在GEF △中，由余弦定理可得2222217cos19θ+-==，而2249931172898671757108319361108319⎛⎫==>==⇒> ⎪⎝⎭，即12121cos cos 0θθθθ>>>⇒<，于是132θθθ=<.故选：D.8.已知,,a b c 是平面内三个非零向量，且,1a b a b b c c a ⊥-=-=-= ，则当a b - 与c 的夹角最小时，c=（）A.12B.2C.2D.【答案】B【详解】设,,a OA b OB c OC ===，因为1a b b c c a -=-=-=，所以1BA CB AC === ，即ABC 是边长为1的等边三角形，因为a b ⊥，则可以O 为原点，,OA OB 为坐标轴建立直角坐标系，设BAO θ∠=，则()cos ,0A θ，()0,sin B θ，231cos cos 322C x πθθθθ⎛⎫=+-=+⎪⎝⎭，213sin sin 322C y πθθθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，则c == ()()111cos ,sin sin cos ,sin cos cos 222222a b c θθθθθθθ⎛⎫-⋅=-⋅++= ⎪ ⎪⎝⎭，则()1cos 22cos ,a b c a b c a b cθ-⋅<->==-⋅令24t θ⎡=∈-⎣，则3cos ,3a b c <->=，当且仅当2,sin 23t θ==-时等号成立，此时22c =.故选：B.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知两组数据，第一组：1，2，3，4，5；第二组11，12，13，14，15，则（）A.两组数据的方差相同B.两组数据的平均数相同C.两组数据的极差相同D.两组数据的中位数相同【答案】AC【详解】第一组的极差为5-1=4，第二组的极差为15-11=4，故C 正确；第一组的中位数为3，第二组的中位数为13，故D 错误；第一组的平均数11234535x ++++==，第二组的平均数11112131415135x ++++==，故B 错误；第一组的方差22222212101225s ++++==，第二组的方差22222222101225s ++++==，故A 正确.故选：AC.10.已知向量,,a b c 满足()()()20,2,24,2,1,1a b a b c +=-=-= ，设向量,a b的夹角为θ，则（）A.||||a b = B.a c ⊥ C.b c∥ D.135θ=【答案】BD【详解】由()()20,2,24,2,a b a b +=-=- 可得：()()1,1,2,0a b =-=，对于A，||||=2a b =，故A 错误.对于B ，11110a c ⋅=-⨯+⨯= ,故a c ⊥，所以B 正确.对于C ，01210⨯-⨯≠，故b 与c不平行，故C 错误.对于D,cos 2a b a bθ⋅===-⋅ ，由于()0180θ∈ ，，故135θ= ，故D 正确.故选：BD11.已知ABC 中，a b c ､､分别为角A B C ､､的对边，S 为ABC 的面积，则下列条件能使ABC 只有一个解的是（）A.1,2,a b c N +==∈B.1,2,cos cos 2cos a b a B b A c B ==+=C.1,2,2a b S ===D.1,2,2a b A B C ==+=【答案】ABD【详解】由三角形三边关系可得：b a c b a -<<+，所以13c <<，因为N c +∈，故2c =，故A 正确.由cos cos 2cos sin cos sin cos 2sin cos a B b A c B A B B A C B +=⇒+=,故2221sin()2sin cos sin 2sin cos cos =22a c b A B C B C C B B ac+-+=⇒=⇒=，可得：230c c --=，由此解得12c +=，故三角形唯一，B 正确,对于C:1133πsin 12sin sin 22223S ab C C C C ==⨯⨯=⇒=⇒=或者2π=3C ，故三角形不唯一，C 错误.对于D ：2=πA B C A B C +=++，，故π3C =,两边及其夹角，此三角形唯一，故D 正确.故选：ABD12.如图，在ABC 中，AB AC =，BAC θ∠=，AB α⊂，设点C 在α上的射影为C '，将ABC 绕边AB 任意转动，则有（）A.若θ为锐角，则在转动过程中存在位置使2BC A BCA ∠∠='B.若θ为直角，则在转动过程中存在位置使12BC A BCA ∠∠='C.若105θ= ，则在转动过程中存在位置使BC A BCA ∠∠>'D.若120θ= ，则在转动过程中存在位置使BC A BCA ∠∠>'【答案】AC【详解】不妨设点C 在直线AB 上的射影点为O ，当BC 绕着直线AB 旋转时，Rt BOC 会形成圆锥BO ，且直线BA 为该圆锥的轴所在的直线，如下图所示：在圆锥BO 上任取一点D ，平面BOD 为平面α，当COD ∠为锐角时，过点C 在平面COD 内作CC OD '⊥，垂足为点C '，因为BO ⊥平面COD ，CC '⊂平面COD ，则CC OB '⊥；因为CC OD '⊥，BO OD O ⋂=，CC '∴⊥平面α，当2COD π∠=时，点C '与点O 重合；当COD ∠为钝角时，则点C '在射线DO 上；当0COD ∠=或π时，点C '与点C 重合.不失一般性，不妨设02COD π≤∠≤，则点C '在线段OD 上，且AD AC =，设ABD △的外接圆为圆E .对于A 选项，若θ为锐角，如下图所示：不妨设1AB AD ==，则cos OA θ=，1cos OB θ=-，因为BAD θ∠=，若存在位置使得2BC A BCA ∠∠='，即2BC A BCD πθ∠=='∠-，设OC h '=，由于BC A πθ'∠=-，则点C '不与线段OD 的端点重合，即0sin h θ<<，()()2cos 1cos tan tan tan tan cos 1cos 1tan tan 1OC A OC B h h BC A OC A OC B OC A OC Bh θθθθ-+''∠+∠'''∠=∠+∠==-''-∠∠-()()()211sin tan cos 1cos cos 1cos cos 1h h h hθπθθθθθθ===-=-----，则()cos 1cos cos 0sin h hθθθθ--+=，即()2sin cos sin cos 1cos 0h h θθθθθ+--=，令()()2sin cos sin cos 1cos f h h h θθθθθ=+--，其中0sin h θ<<，因为θ为锐角，则sin 0θ>，cos 0θ>，则函数()f h 在()0,sin θ上单调递增，()()0sin cos 1cos 0f θθθ=--< ，()sin sin 0f θθ=>，故方程()0f h =在()0,sin h θ∈时有解，所以，若θ为锐角，则在转动过程中存在位置使2BC A BCA ∠∠='，A 对；对于B 选项，若θ为直角，则ABD △为等腰直角三角形，此时点O 与点A 重合，当点C '在线段AD （不包含端点A ）上运动时，BC A '∠的取值范围是,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，此时，不存在位置使得12BC A BCA ∠∠='，B 错；对于C 选项，连接BE 、DE ，因为105BAD ∠= ，AB AD =，则37.5ADB ABD ∠=∠= ，OD AB ⊥ ，则1059015ODA ∠=-= ，由圆的几何性质可得()2180105150BED ∠=⨯-=，BE DE = ，则15EBD EDB ∠=∠= ，所以，1537.51567.590ODE ODA ADB EDB ∠=∠+∠+∠=++=< ,故线段DO 与圆E 相交，设交点为N ，当点C '在线段DN （不包括端点）上运动时，延长BC '交圆E 于点M ，连接AM ，则BC A BMA BDA '∠>∠=∠，若105θ= ，则在转动过程中存在位置使BC A BCA ∠∠>'，C 对；对于D 选项，若120BAD ∠= ，AB AD =，则30ADB ABD ∠=∠= ，OD AB ⊥ ，则1209030ODA ∠=-= ，由圆的几何性质可得()2180120BED θ∠=⨯-=，BE DE = ，30EDB EBD ∴∠=∠= ，所以，90ODE ODA ADB EDB ∠=∠+∠+∠= ，所以，OD 与圆E 相切，当点C '在线段OD （不包括端点）上运动时，连接BC '交圆E 于点G ，连接AG 、AC '，则BC A BGA BDA '∠<∠=∠，所以，若120θ= ，则在转动过程中不存在位置使BC A BCA ∠∠>'，D 错.故选：AC.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数34i z =-（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z =___________.【答案】34i+【详解】由题意，34i z =-的共轭复数为3+4i.故答案为：3+4i.14.在平行四边形ABCD 中，2,,AE ED BF FC AC AE AF λ===+，则λ=___________.【答案】34或0.75【详解】由2,AE ED BF FC ==得：313,224AD BF AD AE AE === ,在平行四边形ABCD 中，由加法的平行四边形法则可得：AC AD AB =+，故33332244F A AE FB FA AE AE A AE AF C =+--=+=+ ,故34λ=.故答案为：3415.已知球O 的半径为2，点,,A B C 在球O 的球面上，且3AB BC AC ===，则球心O 到平面ABC 的距离为___________.【答案】1【详解】由题意可得三棱锥O ABC -为正三棱锥，取ABC 的中心M ，连接AM 并延长交BC 于D ，连接OM ，则OM ⊥平面ABC ，所以OM 的长为球心O 到平面ABC 的距离，因为3AB BC AC ===，所以223332AM AD ==⨯⨯=,在Rt AMO △中，2AO =，则1OM ===，所以球心O 到平面ABC 的距离为1，故答案为：116.在ABC 中，90,2C AD DB ∠==，记,ACD ABC ∠α∠β==，则()tan αβ+的最大值为___________.【答案】-【详解】记BCD θ∠=,则,αθ以及,A β均互为余角，故sin cos ,sin cos A βθα==在ACD 中，由正弦定理可得：sin sin sin cos CD CD AD A ααβ==，在BCD △中，由正弦定理可得：sin cos sin sin CD CD BD θαββ==.由2AD DB = 得2AD DB =，故sin 2cos sin 2cos cos sin cos sin CD CD ααααββββ=⇒=，进而得：tan tan 2αβ=，又tan 0,tan 0αβ>>，故tan tan αβ+≥=，当且仅当tan tan αβ==时取等号，因此()()tan tan n tan tan tan tan 1ta αβαβαβαβ+=-++≤--=值为：-故答案为：-四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知||1,||2,a b a == 与b 的夹角为120 .（1）求a b ⋅ ；（2）求a 在b 上的投影向量的模长.【答案】（1）1-；（2）12.【小问1详解】cos1201a b a b →→→→⋅==- .【小问2详解】因为1cos1202a →=- ，所以a →在b →上的投影向量的模长为12.18.设i 为虚数单位，R a ∈，复数()21221i,12i z a z =+-=-.且___________.请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答.①12R z z +∈；②1262i z z =-；③在复平面内复数1z 对应的点在第一象限的角平分线上.（1）求实数a 的值；（2）若()12R z b b z +∈是纯虚数，求实数b 的值.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）【答案】（1）（2）25.【小问1详解】若选①：由()21233i R z z a +=+-∈，得230a -=，解得a =.若选②：由()2221222625i 62i 52a z z a a a ⎧==+-=-⇒⎨-=-⎩，解得a =.若选③：由221a =-得a =.【小问2详解】1222i 26i 12i 55z b b b z ++=+=-++-，由205b -+=，解得25b =.19.已知在三棱锥-P ABC 中，底面是边长为2的正三角形，,D E 分别是棱,AC BC 的中点，且2,2PA PB ==.（1）求证：DE 平面PAB ；（2）若平面PBC ⊥平面PAC ，求三棱锥-P ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析（2）223【小问1详解】因为,D E 分别是棱,AC BC 的中点，所以DE AB ∥，因为DE ⊄平面,PAB AB ⊂平面PAB ，所以DE 平面PAB .【小问2详解】取PC 中点O ，连接,BO AO ，因为BC BP =，所以BO PC ⊥.又因为平面PBC ⊥平面PAC ，平面PBC ⋂平面PAC PC =，所以BO ⊥平面PAC .因为AO ⊂平面PAC ，所以BO AO ⊥，在ABO 中，由90,,2BOA AO BO AB ∠=︒==，可求得AO BO ==.所以111223323P ABC B PAC PAC V V S BO --==⋅=⨯⨯⨯⨯ ，故三棱锥的-P ABC 的体积为22.320.以往的招生数据显示，某大学通过“三位一体”招生录取的大一新生高考总分的最低分基本上稳定在595分.你的一位高三学长在历次模拟考试中得分的情况统计如下：得分区间次数[)560,5805[)580,6008[)600,6206[)620,6405[]640,6601（1）补全下图的频率分布直方图；（2）若该同学历次模拟考试中得分的第P 百分位数为595分，估算P 的值以及该同学被此大学“三位一体”录取的可能性.【答案】（1）频率分布直方图见解析（2）44P =，该同学有56%的希望被该大学的“三位一体”录取【小问1详解】由表格数据知：得分在[)580,600内的频率为80.3225=，∴对应矩形的高为0.320.01620=，∴频率分布直方图如下图所示，【小问2详解】()0.01200.0165955800.44⨯+⨯-= ，44P ∴=，10.440.56-= ，∴该同学有56%的希望被该大学的“三位一体”录取.21.如图，在平面四边形ABCD 中，已知4,2,AB AD BAD BCD ∠∠π==+=.（1）若BD =，求BAD ∠；（2）若AC 平分BAD ∠，求4BD BC CD⋅的最大值.【答案】（1）23π；（2）812.【解析】【小问1详解】在ABD △中，由余弦定理，得2221cos 22AB AD BD BAD AB AD ∠+-==-⋅，所以23πBAD ∠=.【小问2详解】设02BAC π∠αα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则由BAD BCD π∠+∠=有,,,A B C D 四点共圆，所以BDC DBC ∠∠α==，在ABD △中，由余弦定理，得：22222cos23632cos BD AB AD AB AD αα=+-⋅⋅=-①在BCD △中，易知CD =BC ,取BD 的中点E ，连接CE ，则CE ⊥BD ，于是2cos 2cos BD BD CD BC αα===，所以224cos BD CD BC α⋅=，即224cos BD CD BCα=⋅②①⨯②得()4222294cos 3632cos 84cos 4cos 2BD BC CD αααα⎛⎫=-=⨯- ⎪⋅⎝⎭22294cos 4cos 812822αα⎡⎤+-⎢⎥≤⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当且仅当2294cos 4cos 2αα=-即3cos 4α=时取等号，所以4BD BC CD ⋅的最大值为812.22.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为1的正三角形，112,60,BB B BC D ∠== 是11A C 的中点.（1）若二面角1A BC B --的平面角的余弦值为13-.（i ）求侧面11A ABB 的面积；（ii ）求1B D 与平面11A ABB 所成角的正弦值.（2）直线1B D 与平面11A ACC 能否垂直？给出结论，并给予证明.【答案】（1）（i ）2；（ii ）66（2）直线1B D 不可能垂直于平面11A ACC ，证明见解析【小问1详解】解：（i ）取1,BC BB 的中点,O F ，连接,,AO FO AF .连接1B C ，由111,2,60BC BB B BC ∠=== ，由余弦定理22211112co 3s 1142122B B B C BC BB B C C BB ∠=+-⨯⨯+⨯-⋅==所以1B C =，所以22211B C BC BB +=，所以1B C BC ⊥，由题意，得,,2OA OF OA BC OF BC ==⊥⊥，所以AOF ∠是二面角1A BC B --的平面角，故1cos 3AOF ∠=-.由余弦定理2222233331cos 22222322A F A A OF F O O AO OF ⎛⎛⎛⎫∠=+-⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-⋅所以AF =，所以222AB BF AF +=，所以1AB BB ⊥，所以111122A ABB S AB BB =⋅=⨯=，即侧面11A BB A 的面积为2.（ii ）取AC 的中点E ，由1//B D BE ，知1B D 与平面11A ABB 所成角即BE 与平面11A ABB 所成角.由BAF △、CAF V 是等腰直角三角形，取AF 的中点M ，连接,MC MB ，由22MC MB ==，222MB MC BC +=，得MC MB ⊥，又由MC FA ⊥，MB FA M ⋂=，,MB FA ⊂平面11A ABB ，所以MC ⊥平面11A ABB .取MA 的中点H ，连接,HE HB ，由//HE MC ，知HE ⊥平面11A ABB ，EBH ∠是直线BE 与平面11A ABB 所成的角.由123,242HE MC BE ===，得6sin 6HE EBH BE ∠==.所以1B D 与平面11A ABB 所成角的正弦值为66.【小问2详解】解：直线1B D 不可能垂直于平面11A ACC .证明如下：连接1,B C CD ，由111,2,60BC BB B BC ∠=== ，由余弦定理22211112co 3s 1142122B B B C BC BB B C C BB ∠=+-⨯⨯+⨯-⋅==所以1B C =，假设1B D ⊥平面11A ACC ，DC ⊂平面11A ACC ，则1B D DC ⊥，又132B D =，得32CD ==.在1CDC 中，112CD DC CC +==，矛盾.故假设不成立.所以，直线1B D 不可能垂直于平面11A ACC .。

2020－2021学年度第二学期高一年级期中检测时间：120分钟 总分：150分注意事项：2021.41．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上并检查试卷.2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. 设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b2. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，若y ≥k (x ＋1)－1恒成立，那么k 的取值范围是( )A. ⎣⎡⎦⎤12，3B. ⎝⎛⎦⎤－∞，43C. [3，＋∞)D. ⎝⎛⎦⎤－∞，12 3. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若A ＝120°，a ＝1，则2b ＋3c 的最大值为( )A ．3 B. 2213 C ．3 2 D. 3524. 素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n －1”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24423－1，第19个梅森素数为Q ＝24253－1，则下列各数中与P Q最接近的数为（参考数据：lg 2≈0.3）( )A ．1045B ．1051C ．1056D ．10595. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，b cos A ＝c －12a ，点D 在AC 上，2AD ＝DC ，BD ＝2，则△ABC 的面积的最大值为( ) A. 332B. 3 C ．4 D ．6 6. 欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，e πie π4i 表示的复数在复平面中位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7. 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线8. 定义在R 上的偶函数f (x )对任意实数都有f (2－x )＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1，3]时，f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，则函数g (x )＝5f (x )－|x |的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．10 D ．12二、多项选择题：本大题共4题，每小题5分，共20分.9. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系。

高一数学试题一、选择题：（共大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a =（）A.1- B.1C.3D.72.若点(1,3)和(4,2)--在直线20x y m ++=的两侧，则m 的取值范围为（）A.(,5)(10,)-∞-+∞∪ B.[5,10)- C.(5,10)- D.[5,10]-3.已知直线l 过点(2,3)P ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线l 的条数为（）A.1B.2C.3D.44.数列{}n a 满足11a =，且对任意的*,m n ∈N 都有m n m n a a a mn +=++，则1232011111a a a a ++++= （）A.201101B.400201C.200201D.1992005.在直角梯形ABCD 中，90ABC ︒∠=，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（）A.5B.5C.10D.106.已知函数21,0,()1,0,x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是()A.B.C.(1)-D.(-7.若点(cos ,sin )P θθ在直线1x ya b+=上，则下列不等式正确的是（）A.221a b +≤ B.221a b +≥ C.22111a b +≤ D.22111a b +≥8.,,a b c 是ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，若2222022a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B =+（）A.1011B.2022C.2020D.20219.已知,x y 满足约束条件10,0,0,x x y x y m -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩若1y x +的最大值为2,则m 的值为（）A.4B.5C.8D.910．若M ，N 分别为圆()()221:654C x y ++-=与圆()()222:211C x y -+-=上的动点，P 为直线50x y ++=上的动点，则PM PN +的最小值为（）A.3-B.6C.9D.1211.已知,,a b c 三个数成等差数列，直线0bx ay c -+=恒过定点A ，且A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则121m n++的最小值为()A.23B.43C.2D.412.已知数列{}n a 满足113a =，21n n n a a a +=+，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则12201111111a a a ⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：（共大题共4小题，每小题4分，共16分）13.已知两直线12:2)(3)50,:6(21)5l m x m y l x m y +++-=+-=（，若12//l l ，则实数m =_______.14.已知圆E 的圆心在y 轴上，且与圆2220x y x +-=的公共弦所在直线的方程为0x =，则圆E 的标准方程为.15.某公司招收男职员x 名，女职员y 名，且x 和y 必须满足条件51122239,211x y x y x -≥-⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则1010z x y =+的最大值为_________.16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(2)(1)5C x y -+-=，线段AB 是圆222:(4)(2)4C x y +++=的一条动弦，且||AB =，线段AB 的中点为Q ，则直线OQ 被圆1C 截得的弦长的取值范围是.三、解答题：（本大题共5小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）如图，面积为8的平行四边形ABCD ，A 为原点，点B 的坐标为(2,1)-，点C ，D 在第一象限.（1）求直线CD 的方程；（2）若||BC =，求点D 的横坐标.18.（10分）数列{}n a 的前n 项和n S ，满足13122n n S a a =-，且13a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设32log 1n n na b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T．19.（12分）设函数()2sin 22cos 6f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC △中，若5264A f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭且2CD DA = ，BD =cos ABD ∠=BC 长．20．（12分）在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB 的最小覆盖圆就是以AB 为直径的圆；②锐角三角形ABC 的最小覆盖圆就是其外接圆．已知x ，y 满足方程244x y +=，记其构成的平面图形为W ，平面图形W 为中心对称图形，()0,A t ，()2,0B ，(C ，()2,0D -为平面图形W 上不同的四点．（1）求实数t 的值及ABC △的最小覆盖圆的方程；（2）求四边形ABCD 的最小覆盖圆的方程；（3）求平面图形W 的最小覆盖圆的方程．21.（12分）如图，设直线1:0l x =，2:340,l x y -=点A 的坐标为()31,4a a ⎛⎫>⎪⎝⎭．过点A 的直线l 的斜率为k ，且与1l ，2l 分别交于点M ，N （M ，N 的纵坐标均为正数）．（1）设1a =，求MON △面积的最小值；（2）是否存在实数a ，使得11OM ON+的值与k 无关？若存在，求出所有这样的实数a ；若不存在，说明理由．。

杨浦高级中学2021学年度第二学期期中测试高一数学试卷一､填空题（本大题共有10小题，满分40分）考生必须在答题纸相应编号的空格内填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.教室里的挂钟时间从中午12点到当天下午3点，时针转了__________弧度.2.若一扇形的圆心角为3π，弧长为2π，则该扇形的面积是________．3.已知角α的终边过点P （5，a ），且tan α＝－125，则sin α＋cos α的值为________.4.已知正方形ABCD 的边长为2，,,AB a BC b AC c ===，则a b c ++ ＝_____．5.已知1cos 3α=，3cos()3αβ-=且02πβα<<<，则cos β=_______.6.已知函数f (x )＝a sin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2017)的值为________.7.已知向量a 、b，a = 2b =，且()a b a +⊥r r r ，则a 在b 上的投影为___________.8.在ABC 中，已知tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x m x +++=的两个实根，则C ∠=________．9.若函数()sin 2cos f x x x=+取最小值时x θ=，则sin θ=___________.10.已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______．二､选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号的空格内填写代表答案的序号，选对得3分，否则一律得零分.11.函数()()2tan 11f x x x x =⋅-<<的图象可能是（）A.B.C.D.12.已知向量()2,0a =，1,12b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2a b += （）A.B.C. D.513.已知点A,B,C,D 是直角坐标系中不同的四点，若()AC AB R λλ=∈ ，()AD AB R μμ=∈ ，且112uλ+=，则下列说法正确的是,A.C 可能是线段AB 的中点B.D 可能是线段AB 的中点C.C 、D 可能同时在线段AB 上D.C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上14.在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos(6πα+)=45，则x 0=（）A.43310 B.43310+ C.33410- D.43310±三､解答题（本大题共有5小题，满分48分）考生必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的解题步骤.15.已知函数()f x x =，()22sin 2x g x =.（1）若α是第一象限角，且()335f α=，求()g α的值；（2）求使()()f x g x =成立的x 的取值集合.16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c22cos 02A CB +-=.（1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长.17.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭的图像如图.（1）根据图像，求()f x 的表达式及严格增区间；（2）将函数()y f x =的图像向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，且关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求m 的取值范围.18.探究与实践告诉我们：平面上不共线的三个点O ､A ､B ，对平面上任意一点P ，都有实数λ与μ，使得OP OA OB λμ=+，且A ､B ､P 三点共线的充要条件是1λμ+=.已知ABC 中，过重心G 的直线交线段AB 于P ，交线段AC 于Q ，设APQ 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，AP pPB = ，AQ qQC =.根据阅读材料的内容，解决以下问题：（1）求证：111p q+=；（2）求12S S 的取值范围.19.定义函数()()cos sin f x x =为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明2π为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：()()()cos sin cos sin f x πx πx +=+=-=⎡⎤⎣⎦()cos sin x ()f x =.可得：π也为函数()()cos sin f x x =的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究()()cos sin f x x =的单调性：函数()()cos sin f x x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是严格减函数，在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上严格增函数，再结合()()πf x f x +=，可以确定：()()cos sin f x x =的最小正周期为π.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数()()f x x=为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：sin cos（1）求“余正弦”函数的定义域；（2）判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；（3）探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.杨浦高级中学2021学年度第二学期期中测试高一数学试卷一､填空题（本大题共有10小题，满分40分）考生必须在答题纸相应编号的空格内填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.教室里的挂钟时间从中午12点到当天下午3点，时针转了__________弧度.【答案】2π-【解析】【分析】由时钟的时针在钟面上每转动一个整点的大刻度所得的度数求出中午12点到当天下午3点所转弧的度数即可得解.【详解】因时钟的时针在钟面上为顺时针转动，则每转动一个整点的大刻度所转弧的度数为30- ，从中午12点到当天下午3点，时针转了3个这样的大刻度，则时针所转弧的度数为30390-⨯=- ，所以时针转了2π-弧度.故答案为：2π-2.若一扇形的圆心角为3π，弧长为2π，则该扇形的面积是________．【答案】6π【解析】【分析】利用扇形的弧长公式求扇形的半径，进而应用扇形面积公式求其面积即可.【详解】由题意，令扇形的半径为R ，则23Rππ=，即有6R =，∴该扇形的面积是12662ππ⨯⨯=．故答案为：6π.3.已知角α的终边过点P （5，a ），且tan α＝－125，则sin α＋cos α的值为________.【答案】－713【解析】【分析】利用三角函数的定义求解.【详解】由三角函数的定义得，tan α＝5a ＝－125，∴a ＝－12，∴P （5，－12）.这时r ＝13，∴sin α＝－1213，cos α＝513，从而sin α＋cos α＝－713.故答案为：－7134.已知正方形ABCD 的边长为2，,,AB a BC b AC c === ，则a b c ++＝_____．【答案】【解析】【分析】利用向量的加法计算即可.【详解】22a b c AB BC AC AC ++=++==⨯故答案为：5.已知1cos 3α=，cos()3αβ-=且02πβα<<<，则cos β=_______.【答案】9【解析】【分析】根据题意，可知02παβ<-<，结合三角函数的同角基本关系，可求出sin α和sin()αβ-再根据[]cos cos ()βααβ=--，利用两角差的余弦公式，即可求出结果.【详解】因为02πβα<<<，所以02παβ<-<，因为1cos 3α=，所以22sin 3α==，又cos()3αβ-=，所以sin()3αβ-==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ⎡⎤=--=-+-⎣⎦133339=⨯+⨯=.故答案为：539.6.已知函数f (x )＝a sin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2017)的值为________.【答案】－3【解析】【分析】由题设，结合诱导公式可得f (4)＝a sin α＋b cos β，再应用正余弦函数的周期性、诱导公式可得f (2017)＝－a sin α－b cos β即可求值.【详解】∵f (4)＝a sin (4π＋α)＋b cos (4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2017)＝a sin (2017π＋α)＋b cos (2017π＋β)＝a sin (π＋α)＋b cos (π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－3.故答案为：－3.7.已知向量a 、b ，a = 2b = ，且()a b a +⊥r r r ，则a 在b上的投影为___________.【答案】32-## 1.5-【解析】【分析】由已知得出()0a b a +⋅=r r r ，结合平面向量数量积的几何意义可得出a 在b上的投影.【详解】由已知可得()20a b a a b a +⋅=⋅+= ，所以，3a b ⋅=-，所以，a 在b上的投影为3cos ,2a b a a b b⋅<>==-.故答案为：32-.8.在ABC 中，已知tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x m x +++=的两个实根，则C ∠=________．【答案】34π##135︒【解析】【分析】根据根与系数关系可得tan tan A B m +=-，tan tan 1A B m =+，再由三角形内角和的性质及和角正切公式求tan C ，即可得其大小.【详解】由题设，tan tan A B m +=-，tan tan 1A B m =+，又()()tan tan tan tan tan 11tan tan A BC A B A B A Bπ+⎡⎤=-+=-+=-=-⎣⎦-，且0C π<<，∴34C π=.故答案为：34π.9.若函数()sin 2cos f x x x =+取最小值时x θ=，则sin θ=___________.【答案】55-【解析】【分析】利用三角函数的恒等变换，再利用诱导公式即可求解.【详解】()()sin 2cos f x x x x ϕ=+=+，其中sin ϕϕ==x θ= 时取最小值，()22k k Z πθϕπ∴+=-+∈，()22k k Z πθϕπ∴=--+∈sin sin 2sin 225k cos ππθϕπϕϕ⎛⎫⎛⎫∴=--+=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：55-.10.已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______．【答案】13【解析】【分析】根据()f x 的对称轴，以及其单调性，初步求得ω的取值范围，再对取值进行验证，即可求得结果.【详解】由题意可得362k ωππππ+=+，Z k ∈，则31k ω=+，Z k ∈．因为()f x 在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以34162T ππ-≤，所以8T π≥，即28ππω≥，解得16ω≤，则3116k +≤，即5k ≤．当5k =时，()2sin 166f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，所以5k =，即16ω=不符合题意；当4k =，即13ω=时，()2sin 136f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以4k =，即13ω=符合题意，故ω的最大值是13．故答案为：13.【点睛】本题考察三角函数中的参数范围问题，解决问题的关键是充分挖掘函数对称性和单调性，属困难题.二､选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号的空格内填写代表答案的序号，选对得3分，否则一律得零分.11.函数()()2tan 11f x x x x =⋅-<<的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】结合函数的奇偶性和特殊点的处的函数值的符号可得正确的选项.【详解】因为()()2tan 11f x x x x =⋅-<<，故()()()()2tan f x x x f x -=-⋅-=，故()f x 为偶函数，故排除AC.而()12tan10f =>，故排除D ，故选：B.12.已知向量()2,0a =，1,12b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2a b += （）A.B.C. D.5【答案】A 【解析】【分析】先求2a b +的坐标，再用平面向量模长的坐标运算求解即可.【详解】()21,2a b += ，所以2a b +== .故选：A.13.已知点A,B,C,D 是直角坐标系中不同的四点，若()AC AB R λλ=∈ ，()AD AB R μμ=∈，且112uλ+=，则下列说法正确的是,A.C 可能是线段AB 的中点B.D 可能是线段AB 的中点C.C 、D 可能同时在线段AB 上D.C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】D 【解析】【分析】根据向量共线定理得到,,,A B C D 四点共线，再根据反证法求证，问题可逐一解决.【详解】解：由()AC AB R λλ=∈ ，()AD AB R μμ=∈，可得：,,,A B C D 四点共线，对于选项A ，若C 是线段AB 的中点，则12AC AB = ，则1,02λμ==，不满足112u λ+=，即选项A 错误；对于选项B ，若D 是线段AB 的中点，则12AD AB = ，则10,2λμ==，不满足112uλ+=，即选B 错误；对于选项C ，若C 、D 同时在线段AB 上，则01,01λμ<<<<，则112u λ+>，不满足112uλ+=，即选项C 错误；对于选项D ，假设C 、D 同时在线段AB 的延长线上，则1,1λμ>>，则112u λ+<，则不满足112uλ+=，即假设不成立，即C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上，即选项D 正确；故选：D.【点睛】本题考查了向量共线定理，重点考查了反证法，属中档题.14.在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos(6πα+)=45，则x 0=（）A.43310 B.43310+ C.33410- D.43310±【答案】A【解析】【分析】由三角函数的定义知x 0=cos α，因为cos α=cos 66ππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，所以利用两角差的余弦公式可求.【详解】解：由题意，x 0=cos α.α∈,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，6πα+∈,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又cos(6πα+)=4532<，∴6πα+∈,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭，∴sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=35-，∴x 0=cos α=cos 66ππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 6π+sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 6π=43315252⨯-⨯=43310-.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是根据cos(6πα+)=452<，缩小角的范围，从而确定sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的正负.三､解答题（本大题共有5小题，满分48分）考生必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的解题步骤.15.已知函数()f x x =，()22sin 2x g x =.（1）若α是第一象限角，且()335f α=，求()g α的值；（2）求使()()f x g x =成立的x 的取值集合.【答案】（1）15（2）11{2π,x x k k Z =∈或222π2π,}3x k k Z =+∈.【解析】【分析】（1）先求出3sin 5α=，结合α所在象限求得cos α，进而利用半角公式进行求解；（2）利用半角公式，辅助角公式求得π1sin 62x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而求出使()()f x g x =成立的x 的取值集合.【小问1详解】()5f αα==，解得：3sin 5α=，因为α是第一象限角，所以4cos 5α==()212sin 1cos 25g ααα==-=；【小问2详解】()()f x g x =，22sin 1cos 2x x x ==-，cos 1+=x x ，利用辅助角公式得：2πsin 16x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π1sin 62x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以11ππ2π,66x k k Z +=+∈，或22π5π2π,66x k k Z +=+∈，解得：112π,x k k Z =∈，或222π2π,3x k k Z =+∈，故使()()f x g x =成立的x 的取值集合为11{2π,x x k k Z =∈或222π2π,}3x k k Z =+∈16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 22cos 02A C B +-=.（1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长.【答案】（1）23B π=；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出B 的值．（2）利用正弦定理余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果，进一步求出三角形的周长．22cos (1cos())2A CB B AC +-=-++∵A B C π++=(1cos())(1cos )B AC B B -++=--cos 12sin 106B B B π⎛⎫=+-=+-= ⎪⎝⎭1sin 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵(0,)B π∈，∴7,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴566B ππ+=，23B π=解法2：∵A BC π++=，2222cos 2cos 2sin 222A CB B B B B π+--=-=-2cos 2sin 2sin sin 0222222B B B B B B ⎫=-=-=⎪⎭∵(0,)B π∈，∴sin02B ≠sin 022B B -=∴tan 2B =，∵0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴23B π=，∴23B π=（2）由（1）知23B π=，所以ABC 的面积为12sin 234ac ac π==16ac =因为2sin 2sin sin B A C =，由正弦定理可得2232b ac ==，b =由余弦定理222222cos ()323b ac ac a c ac π=+-⋅=+-=∴2()3248a c ac +=+=，∴a c +=所以ABC 的周长为【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．17.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图像如图.（1）根据图像，求()f x 的表达式及严格增区间；（2）将函数()y f x =的图像向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，且关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求m 的取值范围.【答案】（1）()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，增区间为5πππ,π,1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）[-1,2].【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，从而可得函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性，即可求解()f x 的单调递增区间．（2）利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得到()g x 的解析式，根据正弦函数的定义域和值域，即可求得m 的范围．【小问1详解】根据函数()sin()(00||2f x A x A πωϕωϕ=+>>，， 的图象，可得1A =，124312πππω⋅=-，所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+，由五点法作图，可得2122ππϕ⨯+=，3πϕ∴=，故()sin(2)3f x x π=+，令222232k x k πππππ-++ ，求得51212k x k ππππ-++ ，k ∈Z ，()f x 的单调递增区间5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．【小问2详解】将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度得到曲线:sin 26C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，由()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即2sin 26m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]2sin(21,26x π-∈-，所以m 的取值范围为[]1,2-．18.探究与实践告诉我们：平面上不共线的三个点O ､A ､B ，对平面上任意一点P ，都有实数λ与μ，使得OP OA OB λμ=+ ，且A ､B ､P 三点共线的充要条件是1λμ+=.已知ABC 中，过重心G 的直线交线段AB 于P ，交线段AC 于Q ，设APQ 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，AP pPB = ，AQ qQC = .根据阅读材料的内容，解决以下问题：（1）求证：111p q+=；（2）求12S S 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）41[,)92．【解析】【分析】(1)将AG 表示为xAP y AQ + 形式，根据题意可知当P 、G 、Q 三点共线时，x ＋y ＝1，据此即可证明；(2)利用三角形面积公式及(2)中结论可得1221119()24S S p =--+，由p 的范围及二次函数的性质即可求得12S S 的取值范围．【小问1详解】AP pPB = ，AQ qQC = ，∴1p AB AP p += ，1q AC AQ q+= ，∵G 是△ABC 重心，∴()21113233p q AG AB AC AP AQ p q ++=⨯⨯+=+ 由材料可知，∵P 、G 、Q 三点共线，∴11133p q p q+++=，化简即为111p q +=；【小问2详解】由(1)1p AP AB p=+uu u ruu u r ，1q AQ AC q =+ ，∴121||||sin ||||2111||||||||sin 2AP AQ BAC S AP AQ p q S p q AB AC AB AC BAC ⋅⋅∠⋅===⋅++⋅⋅⋅∠ ， 111p q +=，1p q p =-，可知1p >，∴112111p q p p p q p p -==+-+-，∴212222111111911121212()24S p q p p p S p q p p p p p p p =⋅=⋅===+++-+--++--+，1p > ，∴101p<<，则当112p =时，12S S 取得最小值49，当11p =或0时，12S S 取得最大值12， 11p≠或0，故12S S 的取值范围是41[,)92．19.定义函数()()cos sin f x x =为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明2π为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：()()()cos sin cos sin f x πx πx +=+=-=⎡⎤⎣⎦()cos sin x ()f x =.可得：π也为函数()()cos sin f x x =的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究()()cos sin f x x =的单调性：函数()()cos sin f x x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是严格减函数，在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上严格增函数，再结合()()πf x f x +=，可以确定：()()cos sin f x x =的最小正周期为π.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数()()sin cos f x x =为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：（1）求“余正弦”函数的定义域；（2）判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；（3）探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.【答案】（1）R（2）偶函数，理由见解析（3）()()sin cos f x x =在[]()2π,2ππZ k k k +∈是严格减函数，在[]()2ππ,2π2πZ k k k ++∈上严格增函数；最小正周期为2π；理由见解析.值域为[]sin1,sin1-.【解析】【分析】（1）根据函数定义域的求法，求得()()sin cos f x x =的定义域.（2）根据函数奇偶性的定义，求得()()sin cos f x x =的奇偶性.（3）结合题目所给的解题思路，求得()()sin cos f x x =的单调区间、最小正周期、值域.【小问1详解】()()sin cos f x x =的定义域为R .【小问2详解】对于函数()()sin cos f x x =，()()()()sin cos sin cos f x x x f x -=-==⎡⎤⎣⎦，所以()f x 是偶函数.【小问3详解】()()()()2πsin cos 2πsin cos f x x x f x +=+==⎡⎤⎣⎦，cos y x =在区间[]0,π上递减，sin y x =在区间[]1,1-上递增，所以()()sin cos f x x =在[]0,π上递减.cos y x =在区间[]π,2π上递增，sin y x =在区间[]1,1-上递增，所以()()sin cos f x x =在[]0,π上递增.所以()f x 的最小正周期为2π，()f x 在[]()2π,2ππZ k k k +∈上是严格减函数，在[]()2ππ,2π2πZ k k k ++∈上是严格增函数.结合()()sin cos f x x =的单调性可知，()f x 的值域为[]sin1,sin1-.。

2020-2021学年高一数学下学期期末考试全真模拟卷（二）测试时间：120分钟 测试范围：人教A2019必修第一册+第二册满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、若集合{}21A x x =-≤≤，{}2log 1B x x =≤，则A B =（ ）A ．12x xB ．{}01x x <≤C ．{}22x x -≤≤D ．{2x x <-或}2x >【答案】C 【详解】由{}2log 1B x x =≤，得{}02B x x =<≤． 又{}21A x x =-≤≤， 所以{}22AB x x =-≤≤．故选：C ． 2、复数113i-的虚部是（ ）A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【详解】 因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A 【详解】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确； 新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=>，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确；4、已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b +（ ）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.5、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A ．514- B ．512- C ．514+ D ．512+ 【答案】C 【详解】如图，设,CD a PE b ==，则22224a PO PE OEb =-=-，由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得154b a +=（负值舍去）. 故选：C.6、已知π2tan tan()74θθ-+=，则tan θ=（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．2【答案】D 【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D.7、如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin 5BAC ∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图的数学风车，若在该数学风车内随机取一点，则该点恰好取自“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的概率为（ ）A ．2543B ．1843C ．2549D ．2449【答案】D 【详解】在Rt ABC ∆中，3sin 5BAC ∠=不妨设3BC =，则5AB =，4AC =则阴影部分的面积为1434242⨯⨯⨯=；数学风车的面积为224549+=∴所求概率2449P =本题正确选项：D 8、已知ABC ∆是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 平面ABC 的距离为（ ）A ．3B ．32C ．1D ．32【答案】C 【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =. 设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴===，∴球心O 到平面ABC 的距离1d ==.故选：C.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共16分，在每小题给出的四个选项中，不止有一项是符合题目要求的）9、下列说法正确的是（ ） A ．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率B ．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀C ．某种福利彩票的中奖概率为11000，那么买1000张这种彩票一定能中奖D ．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水 【答案】AB 【详解】对于A ，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故A 正确对于B ，如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以根据结果都是出现1点可以认定这枚骰子质地不均匀，故B 正确． 对于C ，中奖概率为11000是指买一次彩票，可能中奖的概率为11000，不是指1000张这种彩票一定能中奖，故C 错误．对于D ，“明天本市降水概率为70%”指下雨的可能性为0.7，故D 错． 故选：AB ．10、有以下四种说法，其中正确的有（ ） A ．“2x >且3y >”是“5x y +>”的充要条件B ．直线l ，m ，平面α，若m α⊂，则“l α⊥”是“l m ⊥”的充分不必要条件C ．“3x =”是“2230x x --=”的必要不充分条件D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab =”的既不充分也不必要条件【答案】BD 【详解】对于A ，由“2x >且3y >”，根据不等式的性质可得5x y +>，充分性满足；反之，5x y +>推不出“2x >且3y >”，必要性不满足，故A 不正确； 对于B ，根据线面垂直的定义：“l α⊥”可推出“l m ⊥”，反之，由线面垂直的判定定理可知：仅“l m ⊥”，不一定得出“l α⊥”，故B 正确； 对于C ，“3x =”可得“2230x x --=”，充分性满足；反之，“2230x x --=”可得“3x =”或“1x =-”，必要性不满足， 所以“3x =”是“2230x x --=”的充分不必要条件，故C 不正确； 对于D ，若“0a ≠且0b =”可推出“0ab =”； 反之，若“0ab =”，可得“0a =”或“0b =”，所以“0a ≠”是“0ab =”的既不充分也不必要条件，故D 正确； 故选：BD11、已知函数()sin()f x x ωϕ=-(0,||2πωϕ><)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为3πB ．5(,0)4π为函数()f x 的一个对称中心 C ．1(0)2f =-D ．函数()f x 向右平移2π个单位后所得函数为偶函数【答案】ACD 【分析】根据图象，先由144T ππ=-得，求ω，判断A 正确，再利用五点法定位确定ϕ得到解析式，结合利用正弦函数性质逐一判断BCD 的正误即可. 【详解】根据函数()sin(),0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=-><⎪⎝⎭的部分图象，由144T ππ=-，所以3T π=，故A 正确； 由23ππω=，可得23ω=， 由点,04π⎛⎫⎪⎝⎭在函数图像上，可得2sin 034πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，可得2,34k k πϕπ⨯-=∈Z ，解得,6k k πϕπ=-∈Z ， 因为||2ϕπ<，可得6π=ϕ，可得2()sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为52523sin sin 0434632f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误； 由于1(0)sin 62f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故C 正确； 将函数()f x 向右平移2π个单位后所得函数为2f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭22sin cos 3263x x ππ⎡⎤⎛⎫=--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为偶函数，故D正确. 故选：ACD.12、如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为11A B 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．DE 与1CC 为异面直线B ．DE 与平面11BCC B 所成角的正切值为24C ．过,,D CE 三点的平面截正方体所得两部分的体积相等D ．线段DE 在底面ABCD 的射影长为2【答案】ABC 【详解】由图可知：DE 与CC1为异面直线，∴A 正确；因为平面11//BCC B 平面11ADD A ，所以DE 与平面11BCC B 所成角即DE 与平面11ADD A 所成角，连接A1D ，显然，1A DE ∠是DE 与平面11ADD A 所成角.在直角三角形EA1D 中：111122tan 42A E A DE A D ∠===，∴B 正确；过D ､C ､E 三点的平面截正方体所得两部分的体积关系即为平面A1B1CD 截正方体所得两部分的体积关系，由正方体的对称性可知截得两部分几何体的体积相等，∴C 正确； 取AB 中点F ，连接EF ､DF ，∵EF //B1B 且B1B ⊥底面ABCD ，∴EF ⊥底面ABCD ，∴DF 的长为线段DE 在底面ABCD 的射影长，在直角三角形DFE 中：EF=1，DE=32，∴DF=2235122⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴D 错. 故选：ABC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知不等式220ax bx ++>的解集为{|12}x x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为__________________. 【答案】1{|1}?2x x -<< 【分析】 【详解】不等式220ax bx ++>的解集为{|12}x x -<<，220ax bx ∴++=的两根为1-，2，且0a <，即12b a-+=-，()212a -⨯=，解得1a =-，1b =，则不等式可化为2210x x +-<，解得112x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为1{|1}2x x -<<．14、在ABC ∆中，2cos ,4,33C AC BC ===，则tan B =____________.【答案】45【详解】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴= 22221145cos sin 1()tan 452999a cb B B B ac +-==∴=-=∴=15、在四边形ABCD 中，AD BC ∥，23AB =，5AD =，30A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________.【答案】1-. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则(23,0)B ，535(,)22D ． 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒， 所以直线BE 的斜率为33，其方程为3(23)3y x =-，直线AE 的斜率为33-，其方程为33y x =-． 由3(23),333y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-， 所以(3,1)E -．所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-． 16、设函数()()21ln 11f x x x =+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是____________. 【答案】1(,1)3【详解】试题分析：()()21ln 11f x x x =+-+，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得()()21f x f x >-成立，∴，∴，∴的范围为1,13⎛⎫⎪⎝⎭故答案为A.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答）17、成年人收缩压的正常范围是（90，140）（单位：mmHg ），未在此范围的献血志愿者不适合献血，某血站对志愿者的收缩压进行统计，随机抽取男志愿者100名、女志愿者100名，根据统计数据分别得到如下直方图：（1）根据直方图计算这200名志愿者中不适合献血的总人数； （2）估计男志愿者收缩压的中位数；（3）估计女志愿者收缩压的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【答案】（1）20人；（2）115mmHg ；（3）125mmHg ． 【详解】解：（1）由(0.0100.01520.0200.030)101m +++⨯+⨯=得0.005m =， 故这些男志愿者中有5人不适合献血；由(0.0050.01020.0200.035)101n ++++⨯=得0.015n =， 故这些女志愿者中有15人不适合献血． 综上所述，这些志愿者中共有20人不适合献血．（2）设男志愿者收缩压的中位数为(mmHg)x ，则110120x <<．由0.015100.02010(110)0.0300.5x ⨯+⨯+-⨯=得115x =， 因此，可以估计男志愿者收缩压的中位数为115(mmHg)．（3）950.051050.101150.151250.351350.201450.15125⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 因此，可以估计女志愿者收缩压的平均值为125(mmHg)．18、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知5,a b c === （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅰ）求πsin(2)4A +的值． 【答案】（Ⅰ）4C π；（Ⅰ）sin A =（Ⅰ）sin 2426A π⎛⎫+=⎪⎝⎭. 【详解】（Ⅰ）在ABC中，由5,a b c ===222cos 22a b c C ab +-===， 又因为(0,)C π∈，所以4Cπ；（Ⅰ）在ABC 中，由4Cπ，a c ==可得sin sin a CA c===13； （Ⅰ）由a c <知角A为锐角，由sin A =，可得cos A ==进而2125sin 22sin cos ,cos22cos 11313A A A A A ===-=，所以125sin(2)sin 2coscos2sin444132132A A A πππ+=+=⨯+⨯=26.19、如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥； （2）点1C 在平面AEF 内．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】（1）因为长方体1111ABCD A B C D -,所以1BB ⊥平面ABCD ∴1AC BB ⊥,因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC -=,所以四边形ABCD 为正方形AC BD ∴⊥ 因为11,BB BD B BB BD =⊂、平面11BB D D ,因此AC ⊥平面11BB D D ,因为EF ⊂平面11BB D D ,所以AC EF ⊥；（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC =,所以11,//,ED MC ED MC = 所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC ∴因为//,=,MF DA MF DA 所以M F A D 、、、四点共面，所以四边形MFAD 为平行四边形，1//,//DM AF EC AF ∴∴，所以1E C A F 、、、四点共面，因此1C 在平面AEF 内20、已知()22sin ,cos ,(3cos ,2),()a x x b x f x a b ===⋅. (1)求()f x 的最小正周期及单调递减区间; (2)求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值.【答案】(1)T π=,单调递减区间为2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)见解析【详解】（1）2()23sin cos 2cos f x a b x x x =⋅=+2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期22T ππ==. 由3222,262k x k k Z πππππ+++∈，得2,63k x k k Z ππππ++∈， ∴()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 当7266x ππ+=，即2x π=时，函数()f x 取得最小值，为72sin106π+=； 当262x ππ+=，即6x π=时，函数()f x 取得最大值，为2sin 132π+=.故函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为0.21、在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin 0b A =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos cos cos A B C ++的取值范围． 【答案】（I ）3B π=；（II）3]2【详解】（I）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin sin ,sin B A A B =∴= △ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 32A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，113sin ,2232A π⎛⎤⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.22、有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的1.00ppm （即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出30条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：ppm ），数据统计如下：0.07 0.24 0.39 0.54 0.61 0.66 0.73 0.82 0.82 0.820.87 0.91 0.95 0.98 0.98 1.02 1.02 1.08 1.14 1.201.20 1.26 1.29 1.31 1.37 1.40 1.44 1.58 1.62 1.68（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的80%分位数；（2）有A ，B 两个水池，两水池之间有10个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过2条鱼.（Ⅰ）将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A 水池和B 水池中，若这2条鱼的游动相互独立，均有13的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；（Ⅰ）将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入A 水池中，若这2条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由A 水池进入B 水池且不再游回A 水池，求这两条鱼由不同小孔进入B 水池的概率.【答案】（1）中位数为1；众数为0.82；极差为1.61；估计这批鱼该项数据的80百分位数约为1.34；（2）（Ⅰ）49；（Ⅰ）910. 【详解】解：（1）由题意知，数据的中位数为0.98 1.0212+=数据的众数为0.82数据的极差为1.680.07 1.61-=估计这批鱼该项数据的80百分位数约为1.31 1.371.342+= （2）（Ⅰ）记“两鱼最终均在A 水池”为事件A ，则212()339P A =⨯=记“两鱼最终均在B 水池”为事件B ，则212()339P B =⨯=∵事件A 与事件B 互斥，∴两条鱼最终在同一水池的概率为224()()()999P AB P A P B =+=+= （Ⅰ）记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件1C ，“两鱼同时从第二个小孔通过”为 事件2C ，依次类推；而两鱼的游动独立∴12111()()1010100P C P C ===⨯=记“两条鱼由不同小孔进入B 水池”为事件C ，则C 与1210...C C C 对立，又由事件1C ，事件2C ，10C 互斥∴121011()(...)1010010P C P C C C ==⨯=即12109()1(...)10P C P C C C =-=。