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例1 求微分方程y′′−2y′−3y=3x+1的一个特解. 解 齐次方程y′′−2y′−3y=0的特征方程为r2−2r−3=0. 因为f(x)=Pm(x)eλx=3x+1, λ=0不是特征方程的根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=b0x+b1. 把它代入所给方程, 得 −3b0x−2b0−3b1=3x+1.
§12.9 二阶常系数非齐次线性微分方程
一、 f(x)=Pm(x)eλx型 二、f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型
方程y′′+py′+qy=f(x)称为二阶常系数非齐次线性 微分方程, 其中p、q是常数. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应 的齐次方程的通解y=Y(x)与非齐次方程本身的一个 特解y=y*(x)之和: y=Y(x)+y*(x).
例2 求微分方程y′′−5y′+6y=xe2x的通解. 解 齐次方程y′′−5y′+6y=0的特征方程为r2−5r +6=0, 其根为r1=2, r2=3. 因为f(x)=Pm(x)eλx=xe2x, λ=2是特征方程的单根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=x(b0x+b1)e2x. 把它代入所给方程, 得 >>> −2b0x+2b0−b1=x. 比较系数, 得b0 =− 1 , b1=−1, 故 y*= x(− 1 x−1 e2x . ) 2 2 提示: −2b0=1, 2b0−b1=0. 齐次方程y′′−5y′+6y=0的通解为Y=C1e2x+C2e3x .
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例3 求微分方程y′′+y=xcos2x的一个特解. 解 齐次方程y′′+y=0的特征方程为r2+1=0. 因为f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]=xcos2x, λ+iω=2i不是 特征方程的根, 所以所给方程的特解应设为 y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x. 把它代入所给方程, 得 >>> (−3ax−3b+4c)cos2x−(3cx+4a+3d)sin2x=xcos2x.
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一、 f(x)=Pm(x)eλx 型
设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx 特解形式为y*=Q(x)eλx, 则得 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x). ——(＊) (1)如果λ不是特征方程r2+pr+q=0的根, 则 y*=Qm(x)eλx.
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一、 f(x)=Pm(x)eλx 型
设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx 特解形式为y*=Q(x)eλx, 则得 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x). ——(＊)
提示:
y*′′+py*′+qy* =[Q(x)eλx]′′+[Q(x)eλx]′+q[Q(x)eλx] =[Q′′(x)+2λQ′(x)+λ2Q(x)]eλx+p[Q′(x)+λQ(x)]eλx+qQ(x)eλx =[Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)]eλx.
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例2 求微分方程y′′−5y′+6y=xe2x的通解. 解 齐次方程y′′−5y′+6y=0的特征方程为r2−5r +6=0, 其根为r1=2, r2=3. 因为f(x)=Pm(x)eλx=xe2x, λ=2是特征方程的单根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=x(b0x+b1)e2x. 把它代入所给方程, 得 −2b0x+2b0−b1=x. 比较系数, 得b0 =− 1 , b1=−1, 故 y*= x(− 1 x−1 e2x . ) 2 2 因此所给方程的通解为 y =C e2x +C2e3x − 1 (x2 +2x)e2x . 1 2
提示: 此时λ2+pλ+q≠0. 要使(＊)式成立, Q(x)应设为m次多项式: Qm(x)=b0xm+b1xm−1+ ⋅ ⋅ ⋅ +bm−1x+bm.
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一、 f(x)=Pm(x)eλx 型
设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx 特解形式为y*=Q(x)eλx, 则得 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x). ——(＊) (1)如果λ不是特征方程r2+pr+q=0的根, 则 y*=Qm(x)eλx. (2)如果λ是特征方程r2+pr+q=0的单根, 则 y*=xQm(x)eλx.
提示: 此时λ2+pλ+q=0, 2λ+p=0. 要使(＊)式成立, Q(x)应设为m+2次多项式: Q(x)=x2Qm(x), 其中Qm(x)=b0xm+b1xm−1+ ⋅ ⋅ ⋅ +bm−1x+bm.
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结论 二阶常系数非齐次线性微分方程 y′′+py′+qy=Pm(x)eλx 有形如 y*=xkQm(x)eλx 的特解, 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式, 而k按λ不是特征 方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取 为0、1或2.
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二、f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型
结论 二阶常系数非齐次线性微分方程 y′′+py′+qy=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx] 有形如 y*=xkeλx[R(1)m(x)cosωx+R(2)m(x)sinωx] 的特解, 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式, m=max{l, n}, 而k , , = , , 按λ+iω(或λ−iω)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次 取0或1. >>>
比较两端同类 项的系数, 得 >>> 得a=−1 , b=0, c=0, d = 4 . 3 9 因此所给 方程的特解为 y*=−1 xcos2x+ 4 sin 2x . 3 9
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提示: 此时λ2+pλ+q=0, 但2λ+p≠0. 要使(＊)式成立, Q(x)应设为m+1次多项式: Q(x)=xQm(x), 其中Qm(x)=b0xm +b1xm−1+ ⋅ ⋅ ⋅ +bm−1Βιβλιοθήκη Baidu+bm.
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一、 f(x)=Pm(x)eλx 型
设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx 特解形式为y*=Q(x)eλx, 则得 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x). ——(＊) (1)如果λ不是特征方程r2+pr+q=0的根, 则 y*=Qm(x)eλx. (2)如果λ是特征方程r2+pr+q=0的单根, 则 y*=xQm(x)eλx. (3)如果λ是特征方程r2+pr+q=0的重根, 则 y*=x2Qm(x)eλx.
比较两端 x 同 次幂的系数, 得 b0=−1, b =1 . 1 3 因此所给 方程的特解为 y*=−x+ 1 . 3
提示: [b0x+b1]′′−2[b0x+b1]′−3[b0x+b1] =−2b0−3b0x−3b1 −3b0=3, −2b0−3b1=1. =−3b0x−2b0−3b1.
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