2020年北京初三数学二模分类汇编：
几何综合
【题1】（2020·东城27二模）
27．在△ABC中AB=AC，BACα
∠=，D是△ABC外一点，点D与点C在直线AB的异侧，且点D,A,E不共线，连接AD,BD，CD．
（1）如图1，当60
α=︒，∠ADB=30°时，画出图形，直接写出AD，BD，CD之间的数量关系；
（2）当90
α=︒，∠ADB=45°时，利用图2，继续探究AD，BD，CD之间的数量关系并证明；
（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）
（3）当
1
2
ADBα
∠=时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含α的等式直接表示出它们之
间的关系．
【题2】（2020·西城27二模）
27. 在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE >DE），AE，BD交于点F.
（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H.
求证：∠EAB =∠GHC；
（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN.
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．
图1 备用图27．（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD = 90°，
∴∠AGH =∠GHC．
∵GH⊥AE，
∴∠EAB =∠AGH．
∴∠EAB =∠GHC．
（2）①补全图形，如图所示．
②
AE ．
证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．
∵四边形ABCD是正方形，
∴点A，点C关于BD对称．
∴NA =NC，∠1=∠2．
∵PN垂直平分AE，
∴NA =NE．
∴NC =NE．
∴∠3=∠4．
在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD = 90°，
∴∠AQE =∠4．
∴∠1+∠AQE =∠2+∠3=90°．
∴∠ANE =∠ANQ =90°．
在Rt△ANE中，
A
F
D
C
E
B
G
H
A
F
D
C
E
B
G
H
A
F
D
C
E
B
E
C
∴
AE =． ····························································· 7分
【题3】（2020·海淀27二模）
27．如图1，等边三角形ABC 中，D 为BC 边上一点，满足BD CD <, 连接AD , 以点A 为中心,
将射线AD 顺时针．．．旋转60°，与△ABC 的外角平分线BM 交于点E . （1）依题意补全图1； （2）求证：AD =AE ；
（3）若点B 关于直线AD 的对称点为F ，连接CF .
① 求证：AE ∥CF ；
② 若BE CF AB +=成立，直接写出∠BAD 的度数为__________°.
27．（1）依题意补全图形
（2）证明：
∵ △ABC 是等边三角形， ∴ AB =AC ，∠BAC =∠ABC =∠C =60°. ∴ ∠1+∠2=60°.
∵ 射线AD 绕点A 顺时针旋转60°得到射线AE ， ∴ ∠DAE =60°. ∴ ∠2+∠3=60°. ∴ ∠1=∠3.
∵ ∠ABC =60°，
∴ ∠ABN =180°-∠ABC =120°. ∵ BM 平分∠ABN ， ∴ ∠4=∠5=60°. ∴ ∠4=∠C. ∴ △ABE ≌△ACD . ∴ AD =AE .
（3）① 证明：连接AF ，设∠BAD =α， ∵ 点B 与点F 关于直线AD 对称，
A
B C
M
备用图
图 1
M
C
E
A
M
∴ ∠FAD =∠BAD =α，FA =AB . ∵ ∠DAE =60°，
∴ ∠BAE =∠DAE -∠DAB =60°-α. ∵ 等边三角形ABC 中，∠BAC =60°， ∴ ∠EAC =∠BAE +∠BAC =120°-α.
∵ AB =AC ，AF =AB ， ∴ AF =AC . ∴ ∠F =∠ACF .
∵ ∠FAC =∠BAC -∠FAD -∠BAD =60°-2α， 且∠F +∠ACF +∠FAC =180°， ∴ ∠ACF =60°+α. ∴ ∠EAC +∠ACF =180°. ∴ AE ∥CF . ② 20°.
【题4】（2020·朝阳27二模）
27.已知40,AOB M ∠=︒为射线OB 上一定点，1,OM P =为射线OA 上一动点(不与点O 重合),1OP <，连接PM ，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转40︒，得到线段PN ，连接MN . (1)依题意补全图1; (2)求证:APN OMP ∠=∠;
(3)H 为射线OA 上一点，连接NH .写出一个OH 的值，使得对于任意的点P 总有OHN ∠为定值，并求出此定值.
27．解：（1）补全图形，如图所示.
（2）证明：根据题意可知，∠MPN =∠AOB =40°，
∵∠MPA =∠AOB +∠OMP =∠MPN +∠APN , ∴∠APN =∠OMP .
（3）解： OH 的值为1.
在射线PA 上取一点G ，使得PG =OM ，连接GN . 根据题意可知，MP =NP . ∴△OMP ≌△GPN .
∴OP=GN ，∠AOB=∠NGP=40°.
∴PG =OH .
∴OP =HG . ∴NG =HG . ∴∠NHG =70°.
∴∠OHN =110°.
【题5】（2020·丰台27二模）
27. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，将CA 绕点C 顺时针旋转45°得
到CP ，
点A 关于直线CP 的对称点为D ，连接AD 交直线CP 于点E ，连接CD ． （1）根据题意补全图形； （2）判断△ACD 的形状并证明；
（3）连接BE ，用等式表示线段AB ，BC ，BE 之间的数量关系，并证明. 温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考
下面几种解法的主要思路.
解法1的主要思路：
延长BC 至点F ，使CF =AB ，连接EF ，可证△ABE ≌△CEF ，再证△BEF 是等腰直角 三角形.
A
B C
