35、2020年北京初三数学二模分类汇编：几何综合(教师版)

作图（2020海淀二模） 19.下面是小王同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程. 已知：直线l 及直线l 外一点P . 求作：直线PQ ，使得PQ//l.作法：如图，① 在直线l 外取一点A ，作射线AP 与直线l 交于点B ， ② 以A 为圆心，AB 为半径画弧与直线l 交于点C ，连接AC ， ③ 以A 为圆心，AP 为半径画弧与线段AC 交于点Q ，则直线PQ 即为所求.根据小王设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵ AB=AC ，∴ ∠ABC =∠ACB ，（___________等边对等角_________）.（填推理的依据）∵ AP =___ AQ . ______, ∴ ∠APQ =∠AQP .∵ ∠ABC +∠ACB+∠A =180°，∠APQ +∠AQP+∠A =180°，llP∴ ∠APQ =∠ABC.∴ PQ ∥BC （_____同位角相等，两直线平行. _______________）.（填推理的依据）即PQ//l.（2020西城二模）20.下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：已知：△ABC .求作：点D ，使得点D 在BC 边上，且到AB ，AC 边的距离相等. 作法：如图，作∠BAC 的平分线，交BC 于点D .则点D 即为所求.根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形 (保留作图痕迹)； （2）完成下面的证明.证明：作DE ⊥AB 于点E ，作DF ⊥AC 于点F ，∵AD 平分∠BAC ，B∴DE = DF ( 角平分线上的点到角两边的距离相等. ) (填推理的依据) .（2020燕山二模）19．如图，△ABC中，AB＝BC，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线AE交BC于点E．(1) 使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2) 求证：∠BCD＝∠CAE．(2) 证明：∵AB＝BC，∴∠B＝∠ACB．又∵AE是∠BAC的平分线，∴AE⊥BC，∴∠ACB＋∠CAE＝90°．∵CD⊥AB，∴∠B＋∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠CAE．（2020房山二模）16.下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．DEA已知：平面内一点A ． 求作：∠A ，使得∠A ＝30°．作法：如图，（1）作射线AB ；（2）在射线AB 上取一点O ，以O 为圆心，OA 为半径作圆，与射线AB 相交于点C ；（3）以C 为圆心，OC 为半径作弧，与⊙O 交于点D ，作射线AD ． 则∠DAB 即为所求的角．BA请回答：该尺规作图的依据是_同圆或等圆半径相等，三边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的内角是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半.（直径所对的圆周角是直角，正弦定义，三角函数值）．（2020顺义二模）20．下面是小东设计的“以线段AB 为一条对角线作一个菱形”的尺规作图过程． 已知：线段AB ．求作：菱形ACBD ．作法：如图，图1①以点A为圆心，以AB长为半径作⊙A；②以点 B为圆心，以AB长为半径作⊙B，交⊙A 于C，D两点；③连接AC，BC，BD，AD．所以四边形ACBD就是所求作的菱形．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵点B,C,D在⊙A上，∴AB=AC=AD( 同圆半径相等 )（填推理的依据）．同理∵点A,C,D在⊙B上，∴AB=BC=BD．∴AC = BC = BD = AD.∴四边形ACBD是菱形. ( 四条边相等的四边形是菱形 )（填推理的依据）．（2020密云二模）15.已知：点A、点B在直线MN的两侧．（点A到直线MN的距离小于点B到直线MN的距离）．如图，（1）作点B关于直线MN的对称点C；1BC2（2）以点C为圆心，的长为半径作⊙C，交BC于点E；（3）过点A作⊙C的切线，交⊙C于点F，交直线MN于点P；（4）连接PB、PC．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：① PE是⊙C的切线；②PC平分EF；③ PB=PC=PF；④∠APN=2∠BPN．所有正确结论的序号是．①②④；．（2020丰台二模）17．下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程.已知：⊙O和圆外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①连接OP；②以OP为直径作⊙M，交⊙O于点A，B；③作直线PA，PB；所以直线PA，PB为⊙O的切线.根据小文设计的作图过程，完成下面的证明.证明：连接OA，OB.∵OP为⊙E的直径，∴∠OAP=∠OBP = 90 °.（直径所对的圆周角是直角）.∴OA⊥AP ， OB ⊥BP.∵OA ，OB 为⊙O 的半径，∴直线PA ，PB 为⊙O 的切线.（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）. ……5分（2020平谷二模）19．下面是小元设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，直线l 和直线外一点P ． 求作：过点P 作直线l 的平行线． 作法：如图，①在直线l 上任取点O ； ②作直线PO ；③以点O 为圆心OP 长为半径画圆，交直线PO 于点A ，交直线l 于点B ； ④连接AB ，以点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交⊙O 于点C(点A 与点C 不重合）；⑤作直线CP ；则直线CP 即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务． （1）补全图形； （2）完成下面的证明：证明：连接BP ∵ AB=BC∴BC AB ⋂⋂=∴ ∠_CPB__=∠_APB___，..................................................3 又∵ OB=OP ，∴ ∠APB=∠OBP ，..................................................4 ∴ ∠CPB =∠OBP ，∴CP∥l（___内错角相等两直线平行） (5)（2020东城二模）17．下面是“作一个45°角”的尺规作图过程．缺图已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A 45°．作法：如图，○1作射线AB；○2在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，与射线AB相交于点C；○3分别以A，C为圆心，大于1AC长为半径作弧，两弧交于点D，作2射线OD交e O于点E；○4作射线AE.则∠EAB即为所求的角.（2）完成下面的证明.证明: ∵AD=CD，AO=CO,∴∠AOE=∠ COE = 90 °.∴∠EAB= 45 °.( 一条弧所对的圆周角是圆心角的一半 )(填推理的依据)（2020朝阳二模）19.下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.已知:直线l及直线l外一点P.PQ l.求作:直线PQ，使得//作法:如图，①任意取一点K，使点K和点P在直线l的两旁;②以P为圆心，PK长为半径画弧，交l于点,A B，连接AP;AB PA长为半径画弧，两弧相交于点P(点Q和点A③分别以点,P B为圆心，以,在直线PB的两旁);④作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的直线.根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形;(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明.证明:连接BQ,Q AB，BQ=PA，PQ=∴四边形PABQ 是平行四边形( 两组对边分别相等的四边形是平行四边形)(填推理依据)//PQ l .（2020门头沟二模）缺图20．下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l 和直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使直线PQ ∥直线l ．作法：如图2，①在直线l 上任取一点A ，作射线AP ；②以P 为圆心，PA 为半径作弧，交直线l 于点B ，连接PB ；③以P 为圆心，PB 长为半径作弧，交射线AP 于点 C ；分别以B ，C 为圆心，大于12BC 长为半径作弧，在AC④作直线PQ ；所以直线PQ 就是所求作的直线． 根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形； （2）完成下面的证明：证明：由作图可知PQ 平分∠CPB ，图1图2lPl∴∠CPQ =∠BPQ =1∠CPB．2又∵PA=PB，∴∠PAB =∠PBA．（等边对等角）（填依据1）．∵∠CPB=∠PAB +∠PBA，∴∠PAB =∠PBA =1∠CPB．2∴∠CPQ =∠PAB．∴直线PQ∥直线l．（同位角相等，两直线平行）（填依据2）．。

【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合问题【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）；3、几何计算问题；4、动态几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：1、与三角形有关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相似三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形；2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用 数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题.【典型例题】类型一、动态几何型问题1．已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接．（1）直接写出线段与的数量关系；（2）将图1中绕点逆时针旋转，如图2所示，取中点，连接，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中绕点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）【思路点拨】本题的核心条件就是G 是中点，中点往往暗示很多的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在.连接AG 之后，抛开其他条件，单看G 点所在的四边形ADFE ，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G 点做AD,EF 的垂线.于是两个全等的三角形出现了.第三问在△BEF 的旋转过程中，始终不变的依然是G 点是FD 的中点.可以延长一倍EG 到H ，从而构造一个和EFG 全等的三角形，利用BE=EF 这一条件将全等过渡.要想办法证明三角形ECH 是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC 和三角形CGH 全等，利用角度变换关系就可以得证了.【答案与解析】ABCD E BD E EF BD ⊥BC F DF G DF EG CG ，EG CG BEF ∆B 45︒DF G EG CG ，BEF ∆B 图3图2 图1F EA B C D A B C D E FG GF E DC BA（1）（2）（1）中结论没有发生变化，即．证明：连接，过点作于，与的延长线交于点．在与中，∵，∴．∴．在与中，∵， ∴．∴在矩形中，在与中，∵， ∴．∴．∴（3）（1）中的结论仍然成立．CG EG =CG EG =AG G MN AD ⊥M EF N DAG ∆DCG ∆AD CD ADG CDG DG DG =∠=∠=，，DAG DCG ∆∆≌AG CG =DMG ∆FNG ∆DGM FGN FG DG MDG NFG ∠=∠=∠=∠，，DMG FNG ∆∆≌MG NG =AENM AM EN =Rt AMG ∆Rt ENG ∆AM EN MG NG ==，AMG ENG ∆∆≌AG EG =EG CG =MN图2A BC D E F G【总结升华】本题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题.从旋转45°到旋转任意角度，要求讨论其中的不变关系.举一反三：【变式】已知：如图（1），射线射线，是它们的公垂线，点、分别在、 上运动（点与点不重合、点与点不重合），是边上的动点（点与、不重合）， 在运动过程中始终保持，且．（1）求证：∽；（2）如图（2），当点为边的中点时，求证：；（3）设，请探究：的周长是否与值有关？若有关，请用含有的代数式表示 的周长；若无关，请说明理由．【答案】 （1）证明：∵，∴．∴．又∵，∴．∴．∴∽．（2）证明：如图，过点作，交于点，G图3F E ABCD//AM BN AB D C AM BN D A C B E AB E A B EC DE ⊥a AB DE AD ==+ADE ∆BEC ∆E AB CD BC AD =+m AE =BEC ∆m m BEC∆EC DE ⊥︒=∠90DEC ︒=∠+∠90BEC AED ︒=∠=∠90B A ︒=∠+∠90EDA AED EDA BEC ∠=∠ADE ∆BEC ∆E EF BC //CD F∵是的中点，容易证明． 在中，∵ ，∴ ． ∴ ． ∴ ．（3）解：的周长，．设，则．∵ ，∴ ．即．∴ ． 由（1）知∽，∴ ． ∴ 的周长的周长． ∴ 的周长与值无关．2．在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD为一E AB )(21BC AD EF +=DEC Rt ∆CF DF =CD EF 21=)(21BC AD +CD 21=CD BC AD =+AED ∆DE AD AE ++=m a +=m a BE -=x AD =x a DE -=︒=∠90A 222AD AE DE +=22222x m x ax a +=+-am a x 222-=ADE ∆BEC ∆的周长的周长BEC ∆∆ADE BEAD =m a a m a --=222a m a 2+=BEC ∆⋅+=m a a 2ADE ∆a 2=BEC ∆m边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC ＝，，CD=，求线段CP 的长．（用含的式子表示）【思路点拨】(1)由题干可以发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解.(2)是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，和上题一样找AC 的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解.(3)D 在BC 之间运动和它在BC 延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X 还是4-X.分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.【答案与解析】（1）结论：CF ⊥BD ；证明如下：AB=AC ，∠ACB =45º，∴∠ABC=45º．由正方形ADEF 得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90º，∴∠DAB=∠FAC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD ．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF ⊥BD ．（2）CF ⊥BD ．(1)中结论仍成立．理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF ⊥BD3 BC xx（3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ，①点D 在线段BC 上运动时，∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴DQ=4-x ，易证△AQD ∽△DCP ，∴ ，∴， ．②点D 在线段BC 延长线上运动时，∵∠BCA=45°，∴AQ=CQ=4，∴DQ=4+x ．过A 作AQ ⊥BC ，∴∠Q=∠FQC=90°，∠ADQ=∠AFC ，则△AQD ∽△ACF ．∴CF ⊥BD ，∴△AQD ∽△DCP ，∴, ∴, CP CD DQ AQ =44CP x x =-24x CP x ∴=-+CD DQ AQ 4+4x x =． 【总结升华】此题综合性强，需要综合运用全等、相似、正方形等知识点，属能力拔高性的题目．3．已知正方形ABCD 的边长为6cm ，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点B′ 处．（1）当=1 时，CF=______cm ， （2）当=2 时，求sin∠DAB′ 的值； （3）当= x 时（点C 与点E 不重合），请写出△ABE 翻折后与正方形ABCD 公共部分的面积y 与x 的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．【思路点拨】动态问题未必只有点的平移、图形的旋转，翻折（即轴对称）也是一大热点.(1)给出比例为1，(2)比例为2，(3)比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目.需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化.一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系.尤其要注意的是，本题中给定的比例都是有两种情况的，E 在BC 上和E 在延长线上都是可能的，所以需要分类讨论，不要遗漏.【答案与解析】（1）CF=6cm ；（2）① 如图1，当点E 在BC 上时，延长AB ′交DC 于点M ，24x CP x ∴=+CE BE CE BE CEBE∵ AB ∥CF ，∴ △ABE ∽△FCE ，∴ ． ∵ =2， ∴ CF=3． ∵ AB ∥CF ，∴∠BAE=∠F ．又∠BAE=∠B ′ AE ， ∴ ∠B ′ AE=∠F ．∴ MA=MF ．设MA=MF=k ，则MC=k -3，DM=9-k ．在Rt △ADM 中，由勾股定理得：k 2=(9-k)2+62， 解得 k=MA=． ∴ DM=． ∴ sin ∠DAB ′=； ②如图2，当点E 在BC 延长线上时，延长AD 交B ′ E 于点N ，FCAB CE BE =CE BE 13252135=AM DM图2同①可得NA=NE ．设NA=NE=m ，则B ′ N=12-m ．在Rt △AB ′ N 中，由勾股定理，得m 2=(12-m)2+62， 解得 m=AN=． ∴ B ′N=． ∴ sin ∠DAB ′=． （3）①当点E 在BC 上时，y=； ②当点E 在BC 延长线上时，y=． 【总结升华】动态几何问题当中有点动，线动，乃至整体图形动几种可能的方式，动态几何问题往往作为压轴题出现,所以难度不言而喻,但是拿到题后不要慌张,因为无论是题目以哪种形式出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量.只要一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.类型二、几何计算型问题4．已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形．（1）求证：梯形是等腰梯形；（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设 求与的函数关系式；（3）在（2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）属于纯静态问题，只要证两边的三角形全等就可以了.(2)是双动点问题，所以就需要研究在P,Q 运动过程中什么东西是不变的.题目给定∠MPQ=60°，其实就1529253='AN N B 18x x 1+18x 18x -ABCD 24AD BC AD BC ==∥，，，M AD MBC △ABCD P Q BC MC 60MPQ =︒∠PC x MQ y ==，，y x y PQC△是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以很自然想到要通过相似三角形找比例关系.(3)条件又回归了当动点静止时的问题，由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当x 取对称轴的值时y 有最小值，接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC 形状”的问题了，由已知的BC=4，自然看出P 是中点，于是问题轻松求解.【答案与解析】（1）证明：∵是等边三角形∴∵是中点∴∵∴∴∴∴梯形是等腰梯形．（2）解：在等边中， ∴ ∴∴∴ ∵ ∴∴ ∴MBC △60MB MC MBC MCB ===︒，∠∠M AD AM MD =AD BC ∥60AMB MBC ==︒∠∠，60DMC MCB ==︒∠∠AMB DMC △≌△AB DC =ABCD MBC △4MB MC BC ===，60MBC MCB ==︒∠∠，60MPQ =︒∠120BMP BPM BPM QPC +=+=︒∠∠∠∠BMP QPC =∠∠BMP CQP △∽△PC CQ BM BP=PC x MQ y ==，44BP x QC y =-=-，444x y x -=-2144y x x =-+（3）解：为直角三角形，∵ ∴当取最小值时，∴是的中点，而∴∴∴为直角三角形.【总结升华】以上题目是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解.如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的.举一反三：【高清课堂：几何综合问题 例3】【变式】已知：如图，N 、M 是以O 为圆心，1为半径的圆上的两点，B 是上一动点（B 不与点M 、N 重合），∠MON=90°，BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）四边形EPGQ （填“是”或者“不是”）平行四边形；（2）若四边形EPGQ 是矩形，求OA 的值.PQC △()21234y x =-+y 2x PC ==P BC MP BC ⊥，60MPQ =︒∠，30CPQ =︒∠，90PQC =︒∠PQC △MN【答案】（1）是．证明：连接OB，如图①，∵BA⊥OM，BC⊥ON，∴∠BAO=∠BCO=90°，∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．∴AB∥OC，AB=OC，∵E、G分别是AB、CO的中点，∴AE∥GC，AE=GC，∴四边形AECG为平行四边形．∴CE∥AG，∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ，∴四边形EPGQ是平行四边形；（2）解：如图②，∵口EPGQ 是矩形． ∴∠AED+∠CEB=90°．又∵∠DAE=∠EBC=90°，∴∠AED=∠BCE ．∴△AED ∽△BCE ，∴， 设OA=x ，AB=y ，则 得y 2=2x 2，又∵OA 2+AB 2=OB 2， 即x 2+y 2=12．∴x 2+2x 2=1，解得：x=． 即当四边形EPGQ 是矩形时，OA 的长度为． 5．在中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E,将线段EC 绕点E 逆时针旋转得到线段EF (如图1)（1）在图1中画图探究：①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转 得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.AD AE BE BC=::222x y y x =3333ABCD 909090（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在①的条件下，设CP 1=，S =，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.图1 备用图【思路点拨】(1)本题在于如何把握这个旋转90°的条件.旋转90°自然就是垂直关系，于是出现了一系列直角三角形，于是证角、证线就手到擒来了.(2)是利用平行关系建立函数式，但是不要忘记分类讨论.【答案与解析】（1）①直线与直线的位置关系为互相垂直．证明：如图1，设直线与直线的交点为．∵线段分别绕点逆时针旋转90°依次得到线段，∴．∵，， ∴． 43x 11P FC y y xx 1FG CD 1FG CD H 1EC EP 、E 1EF EG 、111190PEG CEF EG EP EF EC ∠=∠===°，，1190G EF PEF ∠=-∠°1190PEC PEF ∠=-∠°11G EF PEC ∠=∠FDC BAE 图1 G 2 G 1P 1 H P 2∴． ∴． ∵，∴， ∴．∴．∴．∴．②按题目要求所画图形见图1，直线与直线的位置关系为互相垂直．（2）∵四边形是平行四边形，∴．∵， ∴． 可得．由（1）可得四边形为正方形．∴．①如图2，当点在线段的延长线上时，11G EF PEC △≌△11G FE PCE ∠=∠EC CD ⊥190PCE ∠=°190G FE ∠=°90EFH ∠=°90FHC ∠=°1FG CD ⊥12G G CD ABCD B ADC ∠=∠461tan 3AD AE B ===，，45tan tan 3DE EBC B =∠==，4CE =EFCH 4CH CE ==1P CH∵， ∴． ∴． ②如图3，当点在线段上（不与两点重合）时，∵， ∴． ∴． ③当点与点重合时，即时，不存在．1114FG CP x PH x ===-，11111(4)22P FG x x S FG PH -=⨯⨯=△212(4)2y x x x =->1P CH C H 、1114FG CP x PH x ===-，11111(4)22P FG x x S FG PH -=⨯=△212(04)2y x x x =-+<<1P H 4x =11PFG △综上所述，与之间的函数关系式及自变量的取值范围是或． 【总结升华】本题着重考查了二次函数的解析式、图形的旋转变换、三角形全等、探究垂直的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法． 举一反三：【变式】已知，点P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线PA 交射线OM 于点A ，将射线PA 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB+∠MON=180°．（1）利用图1，求证：PA=PB ；（2）如图2，若点C 是AB 与OP 的交点，当S △POB =3S △PCB 时，求PB 与PC 的比值；（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP 交ON 于点D ，且满足且∠PBD=∠ABO ，请借助图3补全图形，并求OP 的长．【答案】（1）作PE ⊥OM，PF ⊥ON ，垂足为E 、F∵四边形OEPF 中，∠OEP=∠OFP=90°，∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，∴∠EPF=∠APB ，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB ，∴∠EPA=∠FPB ，由角平分线的性质，得PE=PF ，∴△EPA ≌△FPB ，即PA=PB ；y x x 212(4)2y x x x =->212(04)2y x x x =-+<<（2）∵S △POB =3S △PCB ，∴PO=3PC ，又∵∠BPC=∠OPB （公共角），∴△PBC ∽△POB ，即PB 2=PO •PC=3PC 2，（3）作BH ⊥OT ，垂足为H ，当∠MON=60°时，∠APB=120°，又∵∠PBD=∠ABO ，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°，在△OBP 中，∵∠BOP=30°，∴∠BPO=45°，在Rt △PBH 中，PH=BH=1，中考冲刺：几何综合问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.如图，直角三角板ABC 的斜边AB=12cm ，∠A=30°，将三角板ABC 绕C 顺时针旋转90°至三角板A ′B ′C ′的位置后，再沿CB 方向向左平移，使点B ′落在原三角板ABC 的斜边AB 上，则三角板A ′B ′C ′平移的距离为（ ）A.6cmB.4cmC.cmD.cm2.如图，△ABC 和△DEF 是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2，DE=4．点B 与点D 重合，点A ，B （D ），E 在同一条直线上，将△ABC 沿DE 方向平移，至点A 与点E 重合时停止．设点B ，D 之间的距离为x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，则准确反映y 与x 之间对应关系的图象是（ ）A B C D二、填空题3.如图，将两块直角三角板的斜边重合，E 是两直角三角形公共斜边AC 的中点．D 、B 分别为直角顶点，连接DE 、BE 、DB ，∠DAC=60°，∠BAC=45°．则∠EDB 的度数为_______．4.如图，一块直角三角形木板△ABC ，将其在水平面上沿斜边AB 所在直线按顺时针方向翻滚，使它滚动(6-()6cm ．三、解答题5.如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，AF 平分∠BAC ，交BD 于点F.（1）EF+AC =AB ； （2）点C 1从点C 出发，沿着线段CB 向点B 运动（不与点B 重合），同时点A 1从点A 出发，沿着BA 的延长线运动，点C 1与点A 1运动速度相同，当动点C 1停止运动时，另一动点A 1也随之停止运动.如图，AF 1平分∠B A 1 C 1，交BD 于F 1，过F 1作F 1E 1⊥A 1 C 1，垂足为E 1，试猜想F 1E 1，A 1 C 1与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想.（3）在（2）的条件下，当A 1 E 1=3，C 1 E 1=2时，求BD 的长.21216.如图，等腰Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时以每秒1个单位长的速度按顺时针方向沿△ABC 的边运动，当Q 运动到A 点时，P 、Q 停止运动.设Q 点运动时间为t 秒，点P 运动的轨迹与PQ 、AQ 围成图形的面积为S.求S 关于t 的函数解析式.7.正方形ABCD中，点F 为正方形ABCD 内的点，△BFC 绕着点B 按逆时针方向旋转90°后与△BEA 重合．（1）如图1，若正方形ABCD 的边长为2，BE=1，FC=，求证：AE ∥BF ；（2）如图2，若点F 为正方形ABCD 对角线AC 上的点，且AF ：FC=3：1，BC=2，求BF 的长．8.将正方形ABCD 和正方形BEFG 如图1摆放，连DF ．3∠DMC=_____；∠DMC的值，并证明你的结论；∠DMC=_________．请画出图形，并直接写出你的结论（不用证明）．9.已知△ABC≌△ADE，∠BAC=∠DAE=90°．（1）如图（1）当C、A、D在同一直线上时，连CE、BD，判断CE和BD位置关系，填空：CE_____BD．（2）如图（2）把△ADE绕点A旋转到如图所示的位置，试问（1）中的结论是否仍然成立，写出你的结论，并说明理由．（3）如图（3）在图2的基础上，将△ACE绕点A旋转一个角度到如图所示的△AC′E′的位置，连接10.将正方形ABCD 和正方形CGEF 如图1摆放，使D 点在CF 边上，M 为AE 中点，（1）连接MD 、MF ，则容易发现MD 、MF 间的关系是______________（2）操作：把正方形CGEF 绕C 点旋转，使对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），取线段AE 的中点M ，探究线段MD 、MF 的关系，并加以说明；（3）将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角度后（如图3），其他条件不变，（2）中的结论是否仍成立？直接写出猜想，不需要证明.图3D E C F GM B A 图2CF MA B D E G 图1A B G MF ED C【答案与解析】一、选择题1.【答案】C.2.【答案】B.二、填空题3.【答案】15°.4.三、解答题5.【答案与解析】 （1）证明：如图1，过点F 作FM ⊥AB 于点M ，在正方形ABCD 中，AC ⊥BD 于点E ． ∴AE=AC ，∠ABD=∠CBD=45°， ∵AF 平分∠BAC ，∴EF=MF ，又∵AF=AF ，∴Rt △AMF ≌Rt △AEF ，∴AE=AM ，∵∠MFB=∠ABF=45°，∴MF=MB ，MB=EF ，∴EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB ．1212证明：如图2，连接F1C1，过点F1作F1P⊥A1B于点P，F1Q⊥BC于点Q，∵A1F1平分∠BA1C1，∴E1F1=PF1；同理QF1=PF1，∴E1F1=PF1=QF1，又∵A1F1=A1F1，∴Rt△A1E1F1≌Rt△A1PF1，∴A1E1=A1P，同理Rt△QF1C1≌Rt△E1F1C1，∴C1Q=C1E1，由题意：A1A=C1C，∴A1B+BC1=AB+A1A+BC-C1C=AB+BC=2AB，∵PB=PF1=QF1=QB，∴A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1，即2AB=A1E1+C1E1+2E1F1=A1C1+2E1F1，（3）解：设PB=x，则QB=x，∵A1E1=3，QC1=C1E1=2，Rt△A1BC1中，A1B2+BC12=A1C12，即（3+x）2+（2+x）2=52，∴x1=1，x2=-6（舍去），∴PB=1，∴E1F1=1，又∵A1C1=5，6.【答案与解析】当P运动到C点时：t=6当Q运动到A点：t=∴分两种情况讨论(1)当0≤t≤6时，如图：作PH⊥AB于H，则△APH为等腰直角三角形此时AP=t，BQ=t，则AQ=-tPH=APsin45°=t∴S△AQP=AQ·PH=·(-t)·t=t2+3t(2)当6＜t≤时，如图：过P过PH⊥AB于H，此时△PBH为等腰直角三角形AC+CP=t，BQ=t∴BP=AC+CB-(AC+CP)=12-t∴PH=BPsin45°=(12-t)∴S四边形AQPC=S△ABC-S△BPQ=AC·BC-BQ·PH=·6·6-·t·(12-t)=18-t+t 2=t 2-t+18.综上，.7.【答案与解析】（1）证明：∵△BFC 绕着点B 按逆时针方向旋转90°后与△BEA 重合∴BE=BF=1，∠EBF=∠ABC=90°，∠AEB=∠BFC在△BFC 中，BC 2=22=4∴BF 2+FC 2=BC 2∴∠BFC=90°…（3分）∴∠AEB+∠EBF=180°∴AE ∥BF …（4分）（2）解：∵Rt △ABC 中，AB=BC=2，由勾股定理，得∵AF ：FC=3：1，∵△BFC 绕着点B 按逆时针方向旋转90°后与△BEA 重合∵四边形ABCD 是正方形∴∠ABC=90°∴∠BAC+∠ACB=90°∴∠EAB+∠BAC=90°即∠EAF=90°在Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2∵BE=BF8.【答案与解析】（1）如图2，连接BF，∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，∴∠FBC=∠CBD=45°，∴∠CBD=∠GBC=90°，而BF=BG，BD=BC，∴△BFD∽△BGC，∴∠BCG=∠BDF，=而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°，∴=，∠DMC=45°；（2）如图3，∵将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转45°，DF的延长线交CG于M，∴B、E、D三点在同一条直线上，22DFCGBFBGDFCG2而四边形ABCD 、四边形BEFG 是正方形，∴△BFD ∽△BGC， 而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°，即∠DMC=45°；9．【答案与解析】（1）CE ⊥BD ．（2）延长CE 交BD 于M ，设AB 与EM 交于点F ．∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠CAE=∠BAD ．又∵△ABC ≌△ADE ，∴AC=AE ，AB=AD ，∴∠ACE=，∠ABD=， ∴∠ACE=∠ABD ．又∵∠AFC=∠BFM ，∠AFC+∠ACE=90°，∴∠ABD+∠BFM=90°，∴∠BMC=90°，∴CE ⊥BD ．（3）过C ′作C ′G ⊥AM 于G ，过D 作DH ⊥AM 交延长线于点H ．01802CAE -∠01802BAD -∠∵∠∠E ′NA=∠AGC ′=90°， ∴∠NE ′A+∠NAE ′=90°，∠NAE′+∠C ′AG=90°，∴∠NE ′A=∠C ′AG ， ∵AE ′=AC ′∴△ANE ′≌△C ′GA （AAS ），∴AN=C ′G ．同理可证△BNA ≌△AHD ，AN=DH ．∴C ′G=DH ．在△C ′GM 与△DHM 中，∠C ′GM=∠DHM=90°，∠C ′MG=∠DMH ，C ′G=DH ，∴△C ′GM ≌△DHM ，∴C ′M=DM ，∴． 10．【答案与解析】如图1，延长DM 交FE 于N ，图1∵正方形ABCD 、CGEF ，∴CF=EF ，AD=DC ，∠CFE=90°，AD ∥FE ，∴∠1=∠2，又∵MA=ME ，∠3=∠4，∴△AMD ≌△EMN ，∴MD=MN ，AD=EN ．∵AD=DC ，12DM DC ='∴DC=NE．又∵FC=FE，∴FD=FN．又∵∠DFN=90°，∴FM⊥MD，MF=MD；（2）MD=MF，MD⊥MF．如图2，延长DM交CE于N，连接FD、FN．∵正方形ABCD，∴AD∥BE，AD=DC，∴∠1=∠2．又∵AM=EM，∠3=∠4，∴△ADM≌△ENM，∴AD=EN，MD=MN．∵AD=DC，∴DC=NE．又∵正方形CGEF，∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°．又∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∴∠DCF=∠NEF=45°，∴△FDC≌△FNE，∴FD=FN，∠5=∠6，∠DFN=∠5+∠CFN=∠6+∠CFN=90°，∴△DFN为等腰直角三角形，且FM为斜边DN上的中线，∴MD=MF，MD⊥MF；（3）FM⊥MD，MF=MD．如图3，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．∴∠ADC=∠H，AD∥EH，∴∠3=∠4．∵AM=ME，∠1=∠2，∴△AMD≌△EMN，∴DM=NM，AD=EN．∵正方形ABCD、CGEF，∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°．∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE．∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°，∴∠DCF=∠5=∠NEF．∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF．∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°．∴FM⊥MD，MF=MD．。

图2图1ED C AEDDC2020年北京市各城区中考二模数学——几何综合题24题汇总1、（2020年门头沟二模）24. 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC 边中点中点，连接MD 和ME（1）如图24-1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是 （2）如图24-2所示，若AB ≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3） 在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧．．作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图24-3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．2、（2020年丰台二模）24.如图1，在ABC △中，90ACB ∠=°，2BC =，∠A=30°，点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，连结EF ．（1）线段BE 与AF 的位置关系是________， AFBE =________．（2）如图2，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<o o），连结AF ，BE ，（1）中的结论是否仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<o o），延长FC 交AB 于点D ，如果6AD =-α的度数．3、（2020年平谷二模）24.（1）如图1，在四边形ABCD 中，∠B =∠C =90°，E 为BC 上一点，且CE =AB ，BE =CD ，连结AE 、DE 、AD ，则△ADE 的形状是_________________________.(2)如图2，在90ABC A ∆∠=︒中，，D 、E 分别为AB、AC 上的点，连结BE 、CD ，两线交于点P ．①当BD=AC ，CE=AD 时，在图中补全图形，猜想BPD ∠的度数并给予证明． ②当BD CEAC AD==时， BPD ∠的度数____________________．4、(2020年顺义二模) 24．在△ABC 中， A B = AC ，∠A =30︒，将线段 B C 绕点 B 逆时针旋转 60︒得到线段 B D ，再将线段BD 平移到EF ，使点E 在AB 上，点F 在AC 上． （1）如图 1，直接写出 ∠ABD 和∠CFE 的度数； （2）在图1中证明： A E =CF ； （3）如图2，连接 C E ，判断△CEF 的形状并加以证明．图2图1BCBDαECBA图3αFECBAFCBA图24-1图24-2图24-3EQPDCB A5、（2020年石景山二模）24．将△ABC 绕点A 顺时针旋转α得到△ADE ，DE 的延长线与BC 相交于点F ，连接AF ．（1）如图1，若BAC ∠=α=︒60，BF DF 2=，请直接写出AF 与BF 的数量 关系；（2）如图2，若BAC ∠＜α=︒60，BF DF 3=，猜想线段AF 与BF 的数量关 系，并证明你的猜想；（3）如图3，若BAC ∠＜α，mBF DF =（m 为常数），请直接写出BFAF的值 （用含α、m 的式子表示）． 解：6、（2020年海淀二模）24．在ABC △中，90ABC ∠=o ，D 为平面内一动点，AD a =，AC b =，其中a ， b 为常数，且 a b <. 将ABD △沿射线BC 方向平移，得到FCE △，点A 、B 、D 的对应点分别为点F 、C 、E .连接BE .（1）如图1，若D 在ABC △内部，请在图1中画出FCE △；（2）在（1）的条件下，若AD BE ⊥，求BE 的长（用含, a b 的式子表示）；（3）若=BAC α∠，当线段BE 的长度最大时，则BAD ∠的大小为__________；当线段BE的长度最小时，则BAD ∠的大小为_______________（用含α的式子表示）.图1 备用图7、（2020年西城二模）24．在△ABC ，∠BAC 为锐角，AB >AC ， AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．（1）如图1，若△ABC 是等腰直角三角形，直接写出线段AC ，CD ，AB 之间的数量关系；（2）BC 的垂直平分线交AD 延长线于点E ，交BC 于点F ．①如图2，若∠ABE =60°，判断AC ，CE ，AB 之间有怎样的数量关系并加以证明；②如图3，若AC AB +=，求∠BAC 的度数．8、（2020年通州二模）23．已知：△ABD 和△CBD 关于直线BD 对称（点A 的对称点是点C ），点E 、F 分别是线段BC 和线段BD 上的点，且点F 在线段EC 的垂直平分线上，连接AF 、AE ，AE 交BD 于点G ．（1）如图l ，求证：∠EAF ＝∠ABD ；（2）如图2，当AB ＝AD 时，M 是线段AG 上一点，连接BM 、ED 、MF ，MF 的延长线交ED 于点N ，∠MBF ＝12∠BAF ，AF ＝23AD ，请你判断线段FM 和FN 之间的数量关系，并证明你的判断是正确的．9、（2020年东城二模） 24．如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重合），Q 是CB 延长线上一点，与AB CAB BD DB图2点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过P 作PE ⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于D ．（1）当∠BQD =30°时，求AP 的长；（2）当运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化请说明理由；（3）在整个运动过程中，设AP 为x ，BD 为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出当△BDQ为等腰三角形时BD 的值．10、（2020年朝阳二模）24. 已知∠ABC =90°，D 是直线AB 上的点，AD =BC ．（1）如图1，过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF =BD ，连接DC 、DF 、CF ，判断△CDF 的形状并证明； （2）如图2，E 是直线BC 上的一点，直线AE 、CD 相交于点P ，且∠APD =45°，求证BD =CE ．11、（2020年密云二模）24．已知等腰Rt ABC ∆和等腰Rt AED ∆中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC（1）发现：如(图1)，当点E 在AB 上且点C 和点D 重合时，若点M 、N 分别是DB 、EC 的中点，则MN 与EC 的位置关系是 ，MN 与EC 的数量关系是（2）探究：若把（1）小题中的△AED 绕点A 旋转一定角度，如(图2)所示，连接BD 和EC,并连接DB 、EC 的中点M 、N,则MN 与EC 的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由;请以逆时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明位置关系成立，12、（2020年延庆二模）13、(2020年房山二模) 24. 边长为2的正方形ABCD 的两顶点A 、C 分别在正方形EFGH 的两边DE 、DG 上(如图1)，现将正方形ABCD 绕D 点顺时针旋转，当A 点第一次落在DF 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交DF 于点M ，BC 边交DG 于点N . （1）求边DA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时(如图2)，求正方形ABCD 旋转的度数；（3）如图3，设MBN ∆的周长为p ，在旋转正方形ABCD 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.14、（2020年昌平二模）24．【探究】如图1，在△ABC 中， D 是AB 边的中点，AE ⊥BC 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，AE ，BF 相交于点M ，连接DE ，DF . 则DE ，DF 的数量关系为 . 【拓展】如图2，在△ A B C 中 ，C B = C A ，点 D 是AB 边的 中点 ，点M 在 △ A B C 的内部 ，且 ∠MBC =∠MAC . 过点M 作ME ⊥BC 于点E ，MF ⊥AC 于点F ，连接DE ，DF . 求证：DE =DF ；【推广】如图3，若将上面【拓展】中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.P EC 图2 C B 图1ADBE CM F AD BE CM F MABCDFE图3图2图115、（2020年怀柔二模）24．已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 边上一点，F 是BC 边延长线上一点，且CF=AE ，连接BE 、EF ．（1）如图1，若E 是AC 边的中点，猜想BE 与EF 的数量关系为 .（2）如图2，若E 是线段AC 上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE 、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．（3）如图3，若E 是线段AC 延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE 、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．16、（2020年大兴二模）25. 已知：E 是线段AC 上一点，AE =AB ，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点D ，使得∠EDB =∠EAB ，联结AD .（1）若直线EF 与线段AB 相交于点P ，当∠EAB =60°时，如图1，求证：ED =AD +BD ；（2）若直线EF 与线段AB 相交于点P ，当∠EAB = α（0º﹤α﹤90º）时，如图2，请你直接写出线段ED 、AD 、BD 之间的数量关系（用含α的式子表示）；（3）若直线EF 与线段AB 不相交，当∠EAB =90°时，如图3，请你补全图形，写出线段ED 、AD 、BD 之间的数量关系，并证明你的结论.17、（2020年燕山二模）24.如图1，已知ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90BAC ,点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接 AE ，BG ．（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是 ； （2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转)3600(︒≤<︒αα， ①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论； ②若4==DE BC ，当AE 取最大值时，求AF 的值．图1 图2AB EFA B E F AB C F F GE DC AB B ACDE GF。

2023北京市中考数学二模试卷分类汇编——几何综合1．（2023•海淀区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α（45°＜α＜90°）D是BC的中点，E是BD的中点，连接AE．将射线AE绕点A逆时针旋转α得到射线AM，过点E作EF⊥AE交射线AM于点F．（1）①依题意补全图形；②求证：∠B＝∠AFE；（2）连接CF，DF，用等式表示线段CF，DF之间的数量关系，并证明．2．（2023•西城区二模）如图，在△ABC中，边AB绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段BD，边AC绕点C逆时针旋转180°﹣α得到线段CE，连接DE，点F是DE 的中点．（1）以点F为对称中心，作点C关于点F的对称点G，连接BG，DG．①依题意补全图形，并证明AC＝DG；②求证：∠DGB＝∠ACB；（2）若α＝60°，且FH⊥BC于H，直接写出用等式表示的FH与BC的数量关系．3．（2023•东城区二模）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是AB边上一点（不与A，B重合），点F与点A关于直线DE对称，连接DF．作射线CF，交直线DE于点P，设∠ADP＝α．（1）用含α的代数式表示∠DCP；（2）连接AP，AF．求证：△APF是等边三角形；（3）过点B作BG⊥DP于点G，过点G作CD的平行线，交CP于点H．补全图形，猜想线段CH与PH之间的数量关系，并加以证明．4．（2023•朝阳区二模）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC边上（不与点B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转90度，得到线段AE，连接DE．（1）根据题意补全图形，并证明：∠EAC＝∠ADC；（2）过点C作AB的平行线，交DE于点F，用等式表示线段EF与DF之间的数量关系，并证明．5．（2023•丰台区二模）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在CB，AC的延长线上，且BD＝CE，EB的延长线交AD于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）延长EF至点G，使FG＝AF，连接CG交AD于点H．依题意补全图形，猜想线段CH与GH的数量关系，并证明．6．（2023•石景山区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝2α，BD平分∠ABC交AC于点E，点F是ED上一点且∠EAF＝α，（1）求∠AFB的大小（用含α的式子表示）；（2）连接FC．用等式表示线段FC与FA的数量关系，并证明．7．（2023•大兴区二模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，将线段AC绕点A逆时针旋转得到线段AD，且点D落在BC的延长线上，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE交AB于点F．（1）依题意补全图形，求证：∠BDF＝∠CAD；（2）用等式表示线段CD与BF之间的数量关系，并证明．8．（2023•房山区二模）如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BA延长线上一点，连接DC，点E和点B关于直线DC对称，连接BE交AC于点F，连接EC，ED，DF．（1）依题意补全图形，并求∠DEC的度数；（2）用等式表示线段EC，ED和CF之间的数量关系，并证明．9．（2023•门头沟区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC延长线上，且DC ＝AC，将△ABC延BC方向平移，使点C移动到点D，点A移动到点E，点B移动到点F，得到△EFD，连接CE，过点F作FG⊥CE于G．（1）依题意补全图形；（2）求证：CG＝FG；（3）连接BG，用等式表示线段BG，EF的数量关系，并证明．10．（2023•昌平区二模）在等边△ABC中，点D是AB中点，点E是线段BC上一点，连接DE，∠DEB＝α（30°≤α＜60°），将射线DA绕点D顺时针旋转α，得到射线DQ，点F是射线DQ上一点，且DF＝DE，连接FE，FC．（1）补全图形；（2）求∠EDF度数；（3）用等式表示FE，FC的数量关系，并证明．11．（2023•平谷区二模）在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC边上一点，E为AC延长线上的一点，CE＝CD，F为CB边上一点，EF⊥射线AD于点K，过点D作直线DG⊥AB于G，交EF于点H，作∠AGD的角平分线交AD于M，过点M作AB的平行线，交DG于点O，交BC于点Q，交EF于点N，MO＝NO．（1）找出图中和∠DHK相等的一个角，并证明；（2）判断EH、FN、MD的数量关系，并证明．12．（2023•顺义区二模）已知：∠ABC＝120°，D，E分别是射线BA，BC上的点，连接DE，以点D为旋转中心，将线段DE绕着点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接EF，BF．（1）如图1，当BD＝BE时，求证：BF＝2BD；（2）当BD≠BE时，依题意补全图2，用等式表示线段BD，BF，BE之间的数量关系，并证明．13．（2023•以上二模）△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为边AB的中点，点E在线段CD上，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，连接CF．（1）如图1，当点E与点D重合时，求证：CF＝AE；（2）当点E在线段CD上（与点C，D不重合）时，依题意补全图2；用等式表示线段CF，ED，AD之间的数量关系，并证明．。

1.（西城3）.焦点在x 轴的正半轴上,且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是( A) 24x y = ( B) 24y x = ( C) 28x y = ( D) 28y x =答案D2.（西城6）圆224210x y x y ++-+= 截x 轴所得弦的长度等于( A)2 ( B) ( C) ( D)4 答案 B3.（西城14）.能说明“若m ( n +2)≠0,则方程2212x y m n +=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m , n 的值是 .答案答案不唯一. 如3m =，1n =4.（海淀3）若抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为3，则||PF 等于 （A ）4 （B ）6（C ）8（D ）10答案 B5（海淀12）已知双曲线E 的一条渐近线方程为y x =，且焦距大于4，则双曲线E 的标准方程可以为_______.（写出一个即可）答案22144x y -=6.（昌平7）已知点P 是双曲线22:14y C x -=的一条渐近线(0)y kx k =>上一点，F 是双曲线C 的右焦点，若△OPF 的面积为5，则点P 的横．坐标为（A ） （B （C ）± （D ）答案 A7.（昌平13）已知点M 在抛物线24y x =上，若以点M 为圆心的圆与x 轴和其准线l 都相切，则点M 到其顶点O的距离为__ .8.（密云5）.已知双曲线221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y +=，则其离心率为答案A9.（密云7）已知圆22:(1)2C x y +-=，若点P 在圆C 上，并且点P 到直线y x =的距离为2，则满足条件的点P 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 答案C10.(东城4)双曲线222:1y C x b-=的渐近线与直线1x =交于,A B 两点，且4AB =，那么双曲线C 的离心率为(A) (B) (C)2 答案B11.（丰台6）已知抛物线M :)0(22>=p py x 的焦点与双曲线13:22=-x y N 的一个焦点重合，则=p（A （B ）2（C ）（D ）4答案D12.（丰台13）双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x M 的离心率为3，则其渐近线方程为 .答案y =13. （房山4）若双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（A （B（C ）2 （D 答案C14. （房山12）若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a = ． 答案 315.（房山13）已知抛物线C:22y x=的焦点为F，点M在抛物线C上，||1MF=，则点M的横坐标是，△MOF（O为坐标原点）的面积为．答案12；1416. （朝阳4）圆心在直线0-=x y上且与y轴相切于点(0,1)的圆的方程是（A）22(1)(1)1-+-=x y（B）22(1)(1)1+++=x y（C）22(1)(1)2-+-=x y（D）22(1)(1)2+++=x y答案A17. （朝阳5）直线l过抛物线22=y x的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点11(,)A x y，22(,)B x y．若123+=x x，则弦AB的长是（A）4（B）5（C）6（D）8答案A18. （朝阳14）已知双曲线C的焦点为1(0,2)F，2(0,2)F-，实轴长为2，则双曲线C的离心率是________；若点Q 是双曲线C的渐近线上一点，且12FQ F Q⊥，则12QF F△的面积为________．答案2；2319.（西城20）答案解：（Ⅰ）由题意，得1b=，3ca=. ………………2分又因为222a b c=+，………………3分所以2a=，3c=.故椭圆E的方程为2214xy+=. ………………5分（Ⅱ）(2,0)A-，(2,0)B.设0000(,)(0)D x y x y≠，则2214xy+=. ………………6分所以直线CD的方程为011yy xx-=+，………………7分令0y =，得点P 的坐标为0(,0)1x y -. ……………… 8分 设(,)Q Q Q x y ，由4OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，得004(1)Qy x x -=（显然2Q x ≠）. …… 9分 直线AD 的方程为00(2)2y y x x =++， ……………… 10分 将Q x 代入，得00000(442)(2)Q y y x y x x -+=+，即00000004(1)(442)(,)(2)y y y x Q x x x --++. ……………… 11分故直线BQ 的斜率存在，且000000(442)2(2)(442)Q BQ Q y y y x k x x y x -+==-+-- …… 12分200002000022424y y x y x x y y -+=--- 20000200002214242y y x y y x y y -+==---. ………… 13分 又因为直线BC 的斜率12BC k =-，所以BC BQ k k =，即,,C B Q 三点共线. ……………… 14分20.（海淀19）已知椭圆2222:1x y W a b+=(0)a b >>过(0,1),(0,1)A B -.（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）过点A 的直线l 与椭圆W 的另一个交点为C ，直线l 交直线2y =于点M ，记直线BC ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值.答案解：（Ⅰ）由题意，2221.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2,1.a b =⎧⎨=⎩所以椭圆W 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）由题意，直线l 不与坐标轴垂直.设直线l 的方程为：1y kx =+（0k ≠）. 由221,4 4.y kx x y =+⎧⎨+=⎩得22(41)80k x kx ++=. 设11(,)C x y ，因为10x ≠，所以12841kx k -=+. 得21122814114141k k y kx k k k --=+=⋅+=++.即222814(,)4141k k C k k --++. 又因为(0,1)B -，所以22121411418441k k k k k k -++==--+. 由1,2.y kx y =+⎧⎨=⎩得1,2.x k y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以点M 的坐标为1(,2)k.所以22131k k k+==. 所以1213344k k k k ⋅=-⋅=-.21.（昌平19）（本小题15分）已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆M 与y 轴交于,A B 两点(A 在下方)，且||4AB =．过点(0,1)G 的直线l 与椭圆M 交于,C D 两点（不与A 重合）． （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）证明：直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值． 答案解：（Ⅰ）由题意得222524,,c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,1.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ …………….3分即椭圆的方程为22154x y +=． …………….5分 （Ⅱ）法一由题意，直线l 的斜率存在. 当0k =时，直线l 的方程为1y =.代入椭圆方程有2x =±.则(22C D -.所以22AC AD k k ====所以12.5AC AD k k ⋅==- …………….8分当0k ≠时，则直线l 的方程为1y kx =+．由221,154y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(45)10150k x kx ++-=. …………….9分设11(,)C x y ，22(,)D x y ， 则1212221015,4545k x x x x k k+=-=-++． …………10分 又(0,2)A -， 所以112AC y k x +=，222AD y k x +=. …………….11分 因为1212121222(3)(3)AC AD y y kx kx k k x x x x ++++⋅==g 21212123()9k x x k x x x x +++=212123()9k x x k x x ++=+222222103()93036451245.1515545kk k k k k k k-+-+++=+=+=---+ 即直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值． …………….15分 法二设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+． …………….6分由221,154y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(45)10150k x kx ++-=. …………….7分设11(,)C x y ，22(,)D x y ， 则1212221015,4545k x x x x k k +=-=-++． …………….9分 又(0,2)A -，所以112AC y k x +=，222AD y k x +=. …………….11分 因为1212121222(3)(3)AC AD y y kx kx k k x x x x ++++⋅==g 21212123()9k x x k x x x x +++=212123()9k x x k x x ++=+222222103()93036451245.1515545kk k k k k k k -+-+++=+=+=---+即直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值． …………….15分22.（密云19）已知椭圆：过点(1,2P ，设它的左、右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和离心率；（Ⅱ）过点6(,0)5Q -作不与轴垂直的直线交椭圆于，（异于点）两点，试判断的大小是否为定值，并说明理由． 答案（Ⅰ）解：根据题意得22222131,42,.a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎪=+⎪⎩解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率е=（Ⅱ）解：方法一因为直线不与轴垂直，所以直线的斜率不为设直线的方程为：65x ty =-， 联立方程226,51.4x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2212(4)0525t y ty +--=．显然点6(,0)5Q -在椭圆C 的内部，所以0∆>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122125(4)t y y t +=+，1226425(4)y y t =-+． 又因为(2,0)A -，所以11(2,)AM x y =+u u u u r ，22(2,)AN x y =+u u u r．所以1212(2)(2)AM AN x x y y =+++u u u u r u u u rg12122121222266(2)(2)55416(1)()5256441216(1)()25(4)55(4)25ty tx y y t y y t y y t t t t t =-+-++=++++=+⨯-+⨯+++=0 所以AM AN ⊥u u u u r u u u r ，即o90MAN ∠=是定值．方法二（1）当直线垂直于x 轴时 解得M 与N 的坐标为64(,)55-±．由点(2,0)A -，易证o90MAN ∠=． （2）当直线斜率存在时设直线的方程为：6(),0.5y k x k =+≠，联立方程226(),51.4y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2222484(3625)(14)0525k k x k x -+++=． 显然点6(,0)5Q -在椭圆C 的内部，所以0∆>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122485(14)k x x k +=-+，21224(3625)25(14)k x x k -=+．又因为(2,0)A -，所以11(2,)AM x y =+u u u u r ，22(2,)AN x y =+u u u r．所以1212(2)(2)AM AN x x y y =+++u u u u r u u u rg12122221212222222266(2)(2)()()55636(1)(2)()45254(3625)64836(1)(2)425(14)55(14)25x x k x k x k k x x k x x k k k k k k k =+++++=++++++--=+⨯++⨯++++=0所以AM AN ⊥u u u u r u u u r ，即o90MAN ∠=是定值．23.(东城19)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点坐标为(0,1)A -，离心率为23．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，线段PQ 的中点为M ，点(1,0)B ，求证：点M 不在以AB 为直径的圆上． 答案（Ⅰ）解：由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+,1,23,222b a ca cb 解得⎪⎩⎪⎨⎧===,3,1,2c b a所以椭圆C 的方程为1422=+y x ．………………………………4分 （Ⅱ）证明：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，),(00y x M ．由221,4(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(4+1)8440k x k x k -+-= ， 所以22222(8)4(41)(44)4816k k k k ∆=--⨯+-=+. 所以当k 为任何实数时，都有0∆>．所以2122841k x x k +=+，2122444+1k x x k -=． 因为线段PQ 的中点为M ,所以212024241x x k x k +==+，002(1)41-=-=+k y k x k , 因为(1,0)B ,所以00(,1)AM x y =+uuu r ，00(1,)BM x y =-uuu r．所以2200000000(1)(1)=AM BM x x y y x x y y ⋅=-++-++uuu r uuu r 2222222244=()()41414141k k k k k k k k ---++++++322243=41k k k k ---+（） 222(431)=41k k k k -+++（）22237[4()]816=41k k k -+++（）.又因为0k ≠，2374()0816k ++>，所以0AM BM ⋅≠uuu r uuu r，所以点M 不在以AB 为直径的圆上．………………………………14分24.（丰台20）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过(10)A ,，(0)B b ,两点.O 为坐标原点，且△AOB 的面积为4. 过点(01)P ,且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M N ，,且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO PT PO λμ==u u r u u u r u u u r u u u r,,求λμ+的取值范围. 答案解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1x y C ab+=经过点(10)A ,，所以21a =解得1a =. 由△AOB4可知，124ab =，解得2b =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=． ………3分（Ⅱ) 设直线l 的方程为1y kx =+，1122()()M x y N x y ,,,．联立22211x y y kx +==+⎧⎨⎩，消y 整理可得：22(21)410k x kx +++=．因为直线与椭圆有两个不同的交点， 所以22164(21)0k k ∆=-+>，解得212k >．因为0k >，所以k的取值范围是)2+∞． ………7分（Ⅲ）因为(10)(01)A P ,,,1122()()M x y N x y ,,,, 所以直线AM 的方程是：11(1)1y y x x =--.令0x =，解得111y y x -=-.所以点S 的坐标为11(0)1y x --,.同理可得：点T 的坐标为22(0)1y x --,. 所以11(01)1y PS x -=--u u r ,,22(01)1y PT x -=--u u u r ,,(01)PO =-u u u r,. 由,,μλ== 可得：12121111y y x x λμ---=--=---,， 所以111111111y kx x x λ+=+=+--． 同理22111kx x μ+=+-．由（Ⅱ)得121222412121kx x x x k k +=-=++,， 所以 121211211kx kx x x λμ+++=++--()121212122(1)()221kx x k x x x x x x +-+-=+-++22222222142(1)()22121214()121212442(21)21421(1) 2(1)121k k k k k k k k k k k k k k k k k ⋅+---++=+--+++-+-+=++++-+=++=-++g所以λμ+的范围是2)． ………14分25. （房山19）已知椭圆C 的两个顶点分别为(2,0)A -，(2,0)B ，焦点在x 轴上，离心率为12． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，点P 在椭圆C 上，点Q 和点P 关于x 轴对称，直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证： P ，M 两点的横坐标之积等于4，并求OM 的取值范围．答案（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>.依题意，2a =，12c a =. 得1c =，2223b a c =-=.所以，椭圆C 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）依题意，可设(,)P m n （22m -<<且0m ≠），则(,)Q m n -.点P 在椭圆C 上，则22143m n +=， AP 的斜率为12n k m =+，直线AP 方程为(2)2n y x m =++， BQ 的斜率为12n k m -=-，直线BQ 的方程为(2)2n y x m -=--. 设(,)M x y ，由(2)2(2)2n y x m n y x m ⎧=+⎪⎪+⎨-⎪=-⎪-⎩得42x m n y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M 的坐标为42(,)n m m . 所以P ，M 的横坐标之积等于44m m ⋅=. OM ==== 由204m <<， 所以，OM 的取值范围是()2,+∞.26. （朝阳19）已知椭圆C ：22221(0)+=>>x y a b a b，且椭圆C经过点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点(4,0)P 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，与直线1=x 交于点Q ，设λ=u u u r u u u r AP PB ，μ=u u u r u u u r AQ QB (λ，)μ∈R ，求证：λμ+为定值．答案（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意可知222222,121,⎧=+⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩a b c ab c a得22=b ，24=a ． 所以椭圆C 的方程为22142+=x y ．……………5分 （Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)=-y k x ．由(4),10=-⎧⎨-=⎩y k x x 得1,3.=⎧⎨=-⎩x y k 所以(1,3)-Q k ． 由22(4),24=-⎧⎨+=⎩y k x x y 得222(4)4+-=x kx k . 整理得2222(12)16(324)0+-+-=k x k x k .由2222(16)4(12)(324)0∆=--+->k k k，得66<<k ． 设直线l 与椭圆C 的交点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21221612+=+k x x k ，212232412-=+k x x k . 因为λ=u u u r u u u r AP PB ，μ=u u u r u u u r AQ QB 且11(4,)=--u u u r AP x y ，22(4,)=-u u u r PB x y ，11(1,3)=---u u u r AQ x k y ，22(1,3)=-+u u u r QB x y k ， 所以111212222241(4)(1)(1)(4)41(4)(1)λμ----+--+=+=----x x x x x x x x x x 1212225()28(4)(1)+--=--x x x x x x . 因为22121222163245()285281212-+--=⨯-⨯-++k k x x x x k k 22228064881612-+--=+k k k k0=， 所以0λμ+=.……………14分27.（顺义4）抛物线2=4y x 上的点与其焦点的最短距离为（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）12答案 C28. （顺义14）若直线:l y x a =+将圆22:1C x y +=的圆周分成长度之比为1:3的两段弧，则实数a 的所有可能取值是____________.答案 1a =±29. （15）曲线C 是平面内到定点3(0)2F ，和定直线3:2l x =-的距离之和等于5的点的轨迹，给出下列三个结论： ①曲线C 关于y 轴对称；②若点(,)P x y 在曲线C 上，则y 满足4y ≤；③若点(,)P x y 在曲线C 上，则15PF ≤≤；其中，正确结论的序号是_____________.答案 ②③30（顺义20）（本小题14分） 已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b的焦距和长半轴长都为2．过椭圆C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设点A 是椭圆C 的左顶点，直线,AP AQ 分别与直线4x =相交于点,M N .求证：以MN 为直径的圆恒过点F .解：（I ）由题意得222222c a a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得2,1a b c === ---------------------3分 故椭圆C 的方程为22143x y +=． -------------------5分 （II ）(1,0)F ，(2,0)A -，直线l 的方程为(1)y k x =-． ------------------6分 由22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 得2222(34)84120k x k x k +-+-=. 直线l 过椭圆C 的焦点，显然直线l 椭圆C 相交.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2122834k x x k +=+,212241234k x x k -⋅=+ --------------8分 直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得1162M y y x =+； 即116(4,)2y M x + 同理：226(4,)2y N x + --------------10分 ∴116(3,)2y FM x =+u u u u r ，226(3,)2y FN x =+u u u r 又1212369(2)(2)y y FM FN x x ⋅=+++u u u u r u u u r -------------------11分 =121236(1)(1)9(2)(2)k x k x x x -⋅-+++=[]21212121236()192()4k x x x x x x x x -++++++ =222222222412836(1)343494121643434k k k k k k k k k --++++-++++ =22229363493634k k k k -⋅+++ =990-=∴以MN 为直径的圆恒过点F . ----------------14分。

2020数学二模几何综合题汇编2020年几何综合题主要涉及的考点：1、在特殊图形（等腰/等边三角形、直角三角形、正方形、菱形）的背景下，根据题目意思补全图形（旋转、轴对称、角平分线、垂直平分线、特殊角的画法）2、利用三角形或四边形内角和或外角定理对判定两角相等或者进行角度的计算3、两条线段的数量关系：（1）已知两条线段的数量关系，然后去证明（2）先判断两条线段的数量关系，然后再证明。

一般是相等的关系或者是放在含有特殊角的直角三角形中得到的数量关系4、三条线段的数量关系：用等式表示出三条线段的数量关系，然后证明。

通过截长补短的方法构造全等三角形，将三条线段或者等长线段放在一个特殊三角形中。

学生需掌握的基本知识点：1、旋转、轴对称、角平分线、垂直平分线、特殊角的画法2、特殊图形（等腰/等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形、正方形、菱形）的基本性质3、图形变换（旋转、轴对称）的性质4、全等三角形和相似三角形的判定与性质5、解直角三角形（特殊角的三角函数、勾股定理）推荐题目：1、西城：以正方形为背景，在熟练掌握正方形的性质下，不仅考查了对于角度相等的证明，还考察了两条线段的数量关系的判断与证明。

2、平谷：考查了旋转变换的画法与性质和简单的角度计算，在第三问证明线段相等时有给出几种想法引导学生思考，让学生有抓手。

3、房山：这道题中涉及到从特殊到一般的研究方法，而且一般情况下的探究也给出了几种方法进行引导。

东城27. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，将CA 绕点C 顺时针旋转45°得到CP ，点A 关于直线CP 的对称点为D ，连接AD 交直线CP 于点E ，连接CD ． （1）根据题意补全图形； （2）判断△ACD 的形状并证明；（3）连接BE ，用等式表示线段AB ，BC ，BE 之间的数量关系，并证明. 温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路.解法1的主要思路：延长BC 至点F ，使CF =AB ，连接EF ，可证△ABE ≌△CEF ，再证△BEF 是等腰直角 三角形.解法2的主要思路：过点A 作AM ⊥BE 于点M ，可证△ABM 是等腰直角三角形，再证△ABC ∽△AME . 解法3的主要思路：过点A 作AM ⊥BE 于点M ，过点C 作CN ⊥BE 于点N ，设BN =a ，EN =b ，用含a 或b 的式子表示出AB ，BC . 海淀27．如图1，等边三角形ABC 中，D 为BC 边上一点，满足BD CD <, 连接AD , 以点A 为中心,将射线AD 顺时针．．．旋转60°，与△ABC 的外角平分线BM 交于点E . （1）依题意补全图1； （2）求证：AD =AE ；（3）若点B 关于直线AD 的对称点为F ，连接CF .① 求证：AE ∥CF ；② 若BE CF AB +=成立，直接写出∠BAD 的度数为__________°.AB CAB CM备用图图 1M燕山27．已知菱形ABCD 中，∠A ＝60°，点E 为边AD 上一个动点(不与点A ，D 重合)，点F 在边DC 上，且AE ＝DF ，将线段DF 绕着点D 逆时针旋转120°得线段DG ，连接GF ，BF ，EF ．(1) 依题意补全图形；(2) 求证：△BEF 为等边三角形；(3) 用等式表示线段BG ，GF ，CF 的数量关系，并证明．CBADE27.已知：MN 是经过点A 的一条直线，点C 是直线MN 左侧的一个动点，且满足60°<∠CAN <120°，连接AC ，将线段AC 绕点C 顺时针旋转60°，得到线段CD ，在直线MN 上取一点B ，使∠DBN=60°．（1）若点C 位置如图1所示．① 依据题意补全图1； ② 求证：∠CDB=∠MAC ；（2）连接BC ，写出一个BC 的值，使得对于任意一点C ，总有AB+BD=3，并证明． 平谷备用图图127．已知：在△ABC 中，∠ABC =90°，AB=BC ，点D 为线段BC 上一动点（点D 不与点B 、C 重合），点B 关于直线AD 的对称点为E ，作射线DE ，过点C 作BC 的垂线，交射线DE 于点F ，连接AE ．（1）依题意补全图形；（2）AE 与DF 的位置关系是 ；（3）连接AF ，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D 在运动变化的过程中，∠DAF 的度数始终保持不变，小昊 把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想 ∠DAF = °，通过讨论，形成了证明该猜想的两种 想法：想法1：过点A 作AG ⊥CF 于点G ，构造正方形ABCG ，然后可证△AFG ≌△AFE ……想法2：过点B 作BG ∥AF ，交直线FC 于点G ，构造□ABGF ，然后可证△AFE ≌△BGC ……请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）．B27. 在正方形ABCD 中，E 是CD 边上一点（CE >DE ），AE ，BD 交于点F .（1）如图1，过点F 作GH ⊥AE ，分别交边AD ，BC 于点G ，H .求证：∠EAB =∠GHC ；（2）AE 的垂直平分线分别与AD ， AE ， BD 交于点P ，M ，N ，连接CN .① 依题意补全图形；② 用等式表示线段AE 与CN 之间的数量关系，并证明．图1 备用图 房山27.点C 为线段AB 上一点，以AC 为斜边作等腰ADC Rt Δ，连接BD ，在ABD Δ外侧,以BD 为斜边作等腰Rt BED △，连接EC . （1）如图1，当30DBA =︒∠时：① 求证：AC BD =；② 判断线段EC 与EB 的数量关系，并证明；AFDCEBG HAFDCEBAC图1（2）如图2，当°45<∠<°0DBA时，EC与EB的数量关系是否保持不变？对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：想法1：尝试将点D为旋转中心. 过点D作线段BD的垂线，交BE延长线于点G，连接CG；通过证明三角形ADBΔ≌CDGΔ全等解决以上问题；想法2：尝试将点D为旋转中心. 过点D作线段AB的垂线，垂足为点G，连接EG.通过证明ADBΔ∽GDEΔ解决以上问题；想法3：尝试利用四点共圆. 过点D作AB垂线段DF，连接EF，通过证明D、F、B、E四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题.请你参考上面的想法，证明EC=EB（一种方法即可）图2 EA。

2020年二模各区选择题分类汇编二模选择题重点考察知识点：科学记数法：用科学记数法把一个较大的数表示为a×10n的形式，会确定a和n 的值数轴：借助数轴比较实数大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义；能求实数的相反数、倒数绝对值；化简求值：利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算；选用适当的方法解决与分式有关的问题；统计图表与数据分析：用统计图表的有关内容解决一些简单的实际问题；对称图形：了解轴对称图形、中心对称图形的概念，能区分轴对称图形、中心对称图形推荐题目：平谷8：相较于常见的表格、条形图等，利用网状图对数据进行分析整理东城6：利用相似求阴影面积燕山2：利用三角板画钝角三角形的高顺义5：求多边形的面积1.科学记数法（丰台2）熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播.经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示应为（A）-4⨯（D）-30.15610⨯1.561015.610⨯（B）-31.5610⨯（C）-4（西城2）中国国家航天局2020年4月24日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”. 火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5 500万千米，将5 500用科学记数法表示为 （A ）40.5510⨯ （B ）35.510⨯ （C ）25.510⨯ （D ）25510⨯ （房山1）在迎来庆祝新中国成立70周年之后，对于中国而言，2020年又将是一个新的时间坐标． 过去40年，中国完成了卓越的经济转型，八亿两千万人成功脱贫，这是人类发展史上具有里程碑意义的重大成就．将820000000用科学记数法表示为（ ） A. 8.2 ×109 B. 0.82 ×109 C. 8.2 ×108 D. 82 ×107（密云2） 5G 是第五代移动通信技术，5G 网络下载速度可以达到每秒1300000KB 以上，这意味着下载一部高清电影只需1秒.将1300000用科学记数法表示应为（ ） A ．51310⨯B ．51.310⨯C ．61.310⨯D ．71.310⨯（燕山1）2020年5月5日18时，长征五号B 运载火箭首飞成功，标志着我国空间站工程建设进入实质阶段．长征五号B 运载火箭运载能力超过22000千克，是目前我国近地轨道运载能力最大的火箭．将22000用科学记数法表示应为A ．2.2×104B ．2.2×105C ．22×103D ．0.22×105 （平谷3）聪聪在阅读一篇文章时看到水分子的直径约为0.4纳米，通过百度搜索聪聪又知道米纳米9-101=，则水分子的直径约为 (A) 米10-104⨯ (B) 米10-104.0⨯ (C)米9-104⨯ (D) 米8-104⨯（密云1）港珠澳大桥作为世界首例集桥梁、隧道和人工岛于一体的超级工程，创下了多项“世界之最”．它是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米.其中海底隧道部分全长6700米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，也是我国第一条外海沉管隧道.其中，数字6700用科学记数法表示为（ ） A ．67×102 B ．6.7×103C ．6.7×104D ．0.67×1042. 数轴（丰台3）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是 （A ）a >b >c（B ） b >a（C ）b +c <0（D ） ab >0（西城5）如图，实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ）3a > （B ）10b -<-<（C ）a b <- （D ）0a b +>（房山3）实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A ．|b |＜aB ．﹣a ＜bC ．a +b ＞0D ．|a |＞b（密云5）实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ）A. a -5 > b -5B ．-a > -bC ． 6a > 6bD ．a -b > 0（燕山5）如图，在数轴上，实数a ，b 的对应点分别为点A ，B ， 则ab ＝A ．1.5B ．1C ．－1D ．－4（平谷2）实数,,a b c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若a 与c 互为相反数，则,,a b c 中绝对值最大的数是：(A) a (B) b (C) c (D) 无法确定（密云5）如图，在数轴上，点B 在点A 的右侧. 已知点A 对应的数为-1，点B 对应的数为m .若在AB 之间有一点C ，点C 到原点的距离为2，且AC -BC=2，则m 的值为（ ） A. 4 B ．3 C ．2 D ．1（门头沟4）实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是A ．0a >B ．2b >C ．a b <D ． a b =3.实数（东城1）在实数|－3.14|,－3,－3,π中,最小的数是 A.－3B.－3C.|－3.14|D.π4.倒数（顺义2）-5的倒数是（A ）-5 （B ）5 （C ）15-（D ）155. 相反数-1-2xAB12（朝阳1）3的相反数是（A ）31（B ）3 （C ）－31（D ）－3（门头沟2）3-的相反数是A ．3B ．3-C ．3±D ．136. 二元一次方程组和它的解（顺义2）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文：今有若干人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为（A ）911616x y x y ì+=ïí+=ïî （B ）911616x y x y ì-=ïí-=ïî（C ）911616x y x y ì+=ïí-=ïî （D ）911616x y x yì-=ïí+=ïî（密云7）《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉. 问上、下禾实一秉各几何?”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打岀来的谷子. 问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打x 斗谷子，下等稻子每捆打y 斗谷子，根据题意可列方程组为（ ） A ． B ． C ．D ．（朝阳3）方程组12+5x y x y -=⎧⎨=⎩，的解为（A ）21x y =⎧⎨=⎩ （B ）12x y =⎧⎨=-⎩ （C ）12x y =-⎧⎨=⎩ （D ）21x y =-⎧⎨=⎩7. 不等式性质（东城3）判断命题“如果x ＜1，那么x 2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的x 可以为A ．－2B ．－12C ．0D ．123610512x y y x +=⎧⎨+=⎩3610512x y y x -=⎧⎨-=⎩3610512y xx y +=⎧⎨+=⎩3610512y xx y -=⎧⎨-=⎩8. 化简求值（丰台5）如果26-=a a ，那么代数式21()+1-g a a a a 的值为（A ）12 （B ）6 （C ）2（D ）6-（顺义4）如果a 2+4a -4＝0，那么代数式()()224231a a -+-+的值为（A ）13 （B ）-11 （C ）3（D ）-3（燕山7）若245a a +＝，则代数式()()()2211a a a a ++－－的值为A ．1B ．2C ．4D ．6 （朝阳5）如果23x x +=，那么代数式(1)(1)(2)x x x x +-++的值是 （A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）6（平谷）如果20x y +-=，那么代数式2211()xyy x x y-⋅-的值为（A ）12-（B ）-2 （C ）12（D ）2 （密云6）如果x 2+2x -2=0，那么代数式 的值为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2（门头沟6）如果2210x x -+=，那么代数式242x x x x +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的值为A ．0B ．2C ．1D ． 1-9. 整式运算（西城4）下列运算中，正确的是（A ）23⋅=a a a （B ）623÷=a a a （C ） 2222-=a a （D ）()22436=a a（密云2）下列各式计算正确的是（ ）A ．326•a a a ＝B ．5510a a a +=C ．D ．22(1)1a a -=-（门头沟5）下列运算中，正确的是 A ．22423x x x += B ．235x x x ⋅= C ．()235x x = D ．()22xy x y=10. 分式有意义的条件（海淀2）若代数式12x -有意义，则实数x 的取值范围是 ()33928aa =--244212+-+-⋅-x xx x x xA.0x =B.2x =C.0x ≠D. 2x ≠（门头沟3）如果代数式1x x-的值为0，那么实数x 满足 A ．1x =B ．x ≥1C ．0x ≠D ． x ≥011. 概率公式（燕山6）2019年10月20日，第六届世界互联网大会在浙江乌镇举行，会议发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果属于芯片领域．小飞同学要从这15项“世界互联网领先科技成果”中任选1项进行了解，则他恰好选中芯片领域成果的概率为 A ．15 B ．13 C ．110 D ．11512. 频率估计概率（房山7）如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果：下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45． 其中合理的是（ ）抛掷次数A．①B．②C．①②D．①③（密云7）新冠疫情发生以来，为保证防控期间的口罩供应，某公司加紧转产，开设多条生产线争分夺秒赶制口罩，从最初转产时的陌生，到正式投产后达成日均生产100万个口罩的产能.不仅效率高，而且口罩送检合格率也不断提升，真正体现了“大国速度”.以下是质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据,统计如下:下面四个推断合理的是（）A．当抽检口罩的数量是10000个时，口罩合格的数量是9213个，所以这批口罩中“口罩合格”的概率是0.921；B．由于抽检口罩的数量分别是50和2000个时,口罩合格率均是0.920，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是0.920；C．随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在0.920附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是0.920；D．当抽检口罩的数量达到20000个时，“口罩合格”的概率一定是0.921．（朝阳8）在一次生活垃圾分类知识竞赛中,某校七、八年级各有100名学生参加,已知七年级男生成绩的优秀率为40%,女生成绩的优秀率为60%；八年级男生成绩的优秀率为50%，女生成绩的优秀率为70%.对于此次竞赛的成绩,下面有三个推断:①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率.所有合理推断的序号是（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③13.统计图表与数据分析（房山5）李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月（30天）每天所走的步数，并绘制成如下统计表：在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）A．1.6，1.5 B．1.7，1.6 C．1.7，1.7 D．1.7，1.55（丰台6）一组数据1，2，2，3，5，将这组数据中的每一个数都加上a（0a），得到一组新数据1+a，2+a，2+a，3+a，5+a，这两组数据的以下统计量相等的是（A）平均数（B）众数（C）中位数（D）方差（东城8）五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数．得到五个数据，并平均数中位数众数m 6 7则下列选项正确的是A.可能会有学生投中了8个B.五个数据之和的最大值可能为30C.五个数据之和的最小值可能为20D.平均数m一定满足4.2≤m≤5.8之间（西城8）张老师将自己2019年10月至2020年5月的通话时长（单位：分钟）的有关数据整理如下：①2019年10月至2020年3月通话时长统计表时间10月11月12月1月2月3月时长（单位：分钟）520 530 550 610 650 660②2020年4月与2020年5月，这两个月通话时长的总和为1100分钟根据以上信息，推断张老师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值为（A）550 （B）580 （C）610 （D）630（密云8）据统计表明，2019年中国电影总票房高达642.7亿元，其中动画电影发展优势逐渐显现出来．下面的统计表反映了六年来中国上映的动画电影的相关数据：年份国产动画影片数量（单位：部）国产动画影片票房（单位：亿元）进口动画影片数量（单位：部）进口动画影片票房（单位：亿元）根据上表数据得出以下推断，其中结论不正确．．．的是（）A．2017年至2019年，国产动画影片数量均低于进口动画影片数量B．2019年与2018年相比，中国动画电影的数量增加了50%以上C．2014年至2019年，中国动画电影的总票房逐年增加D．2019年，中国动画电影的总票房占中国电影总票房的比例不足20%（燕山8）“实际平均续航里程”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值，是反映电动汽车性能的重要指标．某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，按年龄不超过40岁和年龄在40岁以上将客户分为A，B两组，从A，B组各抽取10位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”数据整理成下图，其中“⊙”表示A组的客户，“*”表示B组的客户．下列推断不正确的是A．A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值低于B组B．A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差低于B组C．A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的平均值低于B组D．这20位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的中位数落在B组（平谷8）如图,是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果网状图，以O为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足,观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习的能力是甲自身的不足；③与甲相比，乙需要加强与他人的沟通和合作能力；④乙的综合评分比甲要高.其中合理的是（A）①③（B）②④（C）①②③(D)①②③④14.平均数、方差（顺义7）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每个品种的10棵产量的平均数x（单位：千克）及方差2S（单位：千克2)如下表所示：甲乙丙丁x242423202S 1.9 2.12 1.9今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（A）甲（B）乙（C）丙（D）丁（平谷7）某校开设了冰球选修课，12名同学被分成甲、乙两组进行训练，他们的身高（单位：cm）如下表所示：设两队队员身高的平均数依次为甲x ，乙x ，方差依次为2甲s ，2乙s ，下列关系中完全正确的是A ．甲x =乙x ，2甲s ＜2乙s B ．甲x =乙x ，2甲s ＞2乙s C ．甲x ＜乙x ，2甲s ＜2乙sD ．甲x ＞乙x ，2甲s ＞2乙s15. 方案选择（朝阳7）某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如下表：例如，购买A 类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费40+2×50×（0.9×10）=940元. 若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75~85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为（A ）购买A 类会员卡 （B ）购买B 类会员卡 （C ）购买C 类会员卡 （D ）不购买会员卡（房山8）2020年是5G 爆发元年，三大运营商都在政策的支持下，加快着5G 建设的步伐．某通信公司实行的5G 畅想套餐，部分套餐资费标准如下：小武每月大约使用国内数据流量49GB ，国内主叫350分钟，若想使每月付费最少，则他应预定的套餐是（ ）A ．套餐1B ．套餐2C ．套餐3D ．套餐416. 坐标系中的点（顺义3）如图，平面直角坐标系xOy 中，有A 、B 、C 、D 四点．若有一直线l 经过点(1,3)-且与y 轴垂直，则l 也会经过的点是 （A ）点A （B ）点B（C ）点C （D ）点D17. 寻找规律（门头沟8）如图，动点P 在平面直角坐标系xOy 中，按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，2），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，1），第4次接着运动到点（4，0），……，按这样的运动规律，经过第27次运动后，动点P 的坐标是A ．（26，0）B ．（26，1）C ．（27，1）D ．（27，2）18. 函数图象的理解（海淀8）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (a , b )，若ab >0，则称点P 为“同号点”. 下列函数的图象中不存在．．．“同号点”的是 A.1y x =-+B.22y x x =-C.2y x=-D.21y x x=+（丰台8）如图，抛物线21=-y x .将该抛物线在x 轴和x 轴下方的部分记作C 1，将C 1沿x轴翻折记作C 2，C 1和C 2构成的图形记作C 3.关于图形C 3，给出如下四个结论，其中错．误．的是 （A ）图形C 3恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点） （B ）图形C 3上任意一点到原点的距离都不超过1 （C ）图形C 3的周长大于2π（D ）图形C 3所围成的区域的面积大于2且小于πxy……（1，2）（3，1）（5，2）（7，1）（9，2）（11，1）（12，0）（10，0）（8，0）（6，0）（4，0）（2，0）O123-1-1321A BCDxyO（密云8）如图，点C 、A 、M 、N 在同一条直线l 上．其中，△ABC 是等腰直角三角形，∠B=90°，四边形MNPQ 为正方形，且AC =4，MN =2，将等腰Rt △ABC 沿直线l 向右平移．若起始位置为点A 与点M 重合，终止位置为点C 与点N 重合. 设点A 平移的距离为x ，两个图形重叠部分的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为（ ）19. 函数的性质（东城4）若点1(1,)A y ，2(2,)B y 在抛物线2(1)2y a x =++(0a ＜)上，则下列结论正确的是 A ．122y y >>B ．212y y >>C ．122y y >>D ．212y y >>（顺义8）正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D ．设AE=x ，矩形ECFG 的面积为y ，则y 与x 之间的关系描述正确的是A ．y 与x 之间是函数关系，且当x 增大时，y 先增大再减小B ．y 与x 之间是函数关系，且当x 增大时，y 先减小再增大C ． y 与x 之间是函数关系，且当x 增大时，y 一直保持不变D ． y 与x 之间不是函数关系20. 立体图形的展开图（丰台1）右图是某个几何体的展开图，该几何体是（A ）三棱柱（B ）三棱锥（C ）圆柱（D ）圆锥（西城3）图1是某个几何体的平面展开图，该几何体是（A ） （B ） （C ） （D ）GF ED CB A图1（海淀1）下面的四个图形中，是圆柱的侧面展开图的是A B C D（密云6）如图，点A，B是正方体上的两个顶点，将正方体按图中所示方式展开，则在展开图中B点的位置为（）A．1B B．2BC．3B D．4B（燕山4）如图是某几何体的展开图，则该几何体是A．四棱锥B．三棱锥C．四棱柱D．长方体21.立体图形的三视图（房山2）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．三棱柱C．正方体D．圆柱（平谷4）下列几何体中主视图为矩形的是(A) (B) (C) (D)（门头沟1）如图，是某个几何体的三视图，该几何体是A．三棱锥B．三棱柱C．圆柱D．圆锥22.图形变换（西城1）下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是俯视图左视图主视图（A）（B ）（C）（D）（东城2）如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,1),点B(3,－1),平移线段AB,使点A落在点A1(－2,2)处,则点B的对应点B1的坐标为A.(－1,－1)B. (－1,0)C. (1,0)D.(3,0)23.用图形解释整式乘法或因式分解（密云4）如图所示的四边形均为矩形或正方形，下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab-b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2D．（a-b）2=a2-2ab-b224.角度计算（密云1）下列四个角中，有可能与70°角互补的角是（）A．B．C．D．25.三角形中角度计算（丰台4）如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=50°，如果AD平分∠BAC，那么∠ADB的度数是（A）35°（B）70°(C) 85°（D）95°（海淀5）如图，在△ABC中，EF∥BC，ED平分∠BEF，且∠DEF=70°，则∠B的度数为A．70°B．60°C．50°D．40°C BADB EDFCACb a bbb26. 三角形的面积计算（海淀3）如图，在△ABC 中，AB = 3 cm ，通过测量，并计算△ABC 的面积，所得面积与下列数值最接近的是A.1.5 cm 2B.2 cm 2C.2.5 cm 2D.3 cm 2（东城6）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积为 A ．31B ．41C ．51 D ．6127. 平行线间的距离（顺义1）如图所示，1l ∥2l ，则平行线1l 与2l 间的距离是 （A ）线段AB 的长度 （B ）线段BC 的长度 （C ）线段CD 的长度 （D ）线段DE 的长度（朝阳2）如图，直线1l ∥2l ，它们之间的距离是 （A ）线段P A 的长度 （B ）线段PB 的长度 （C ）线段PC 的长度 （D ）线段PD 的长度28. 三角形的高（燕山2）如图，用三角板作△ABC 的边AB 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是A ．B ．C ．D ．l 2l 1A B C DEC BAABCCBA CBAABClABCD29.相似三角形的性质（房山6）如图，在□ABCD 中，延长AD 至点E ，使AD=2DE ，连接BE 交CD 于点F ，交AC 于点G ，则AGCG 的值是（ ）A ．32B ．31C ．21D ．4330. 方向角（东城5）如图，小明从A 处出发沿北偏东40°方向行走至B 处，又从B 处沿南偏东70°方向行走至C 处，则∠ABC 等于A ．130°B ．120°C ．110°D ．100°31. 四边形中角度计算（顺义5）如图，四边形ABCD 中，过点A 的直线l 将该四边形分割成 两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为α和β， 则αβ+的度数是（A ）360︒（B ）540︒（C ）720︒（D ）900︒32. 多边形内角和（朝阳4）五边形的内角和为（A ）360° （B ）540° （C ）720° （D ）900°33. 多边形外角和（平谷6）如图，螺丝母的截面是正六边形，则∠1的度数为 （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°34. 对称图形（燕山3）下列防控疫情的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是GFDAEA ．B ．C ．D ．（密云4）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．科克曲线B ．笛卡尔心形线C ．赵爽弦图D ．斐波那契螺旋线（房山4）《北京市生活垃圾管理条例》对生活垃圾分类提出更高要求，于2020年5月1日起施行，施行的目的在于加强生活垃圾管理，改善城乡环境，保障人体健康．下列垃圾分类标志，是中心对称图形的是（ ）A B C D（海淀2）右图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①, ②, ③, ④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在A ．区域①处B ．区域②处C ．区域③处D ．区域④处（朝阳6）下列图形中，是中心对称图形而不是．．轴对称图形的是（A ） （B ） （C ） （D ）④③②①（平谷1）垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是(A) (B) (C) (D) （密云2）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会，又举办过冬奥会的城市.下面的图形是各届冬奥会会徽中的部分图案，其中是．轴对称图形，但不是．．中心对称图形的是（ ） (B) (C) (D)A ．B ．C ．D ．35. 尺规作图（密云3）如图，小林利用圆规在线段CE 上截取线段CD ，使CD=AB ．若点D 恰好为CE 的中点，则下列结论中错误．．的是（ ） A ．CD=DE ； B ．AB= DE ；C ． ；D ．CE= 2AB . （密云4）如图所示的四边形均为矩形或正方形，下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（ ）A ．（a+b ）2 =a 2+2ab+b 2B ．（a+b ）2 =a 2+2ab -b 2C ．（a -b ）2=a 2-2ab+b 2D ．（a -b ）2=a 2-2ab -b 236.圆的有关概念和性质（东城7）如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，连接BD ，则∠ABD 的度数是A ．60°B ．70°C ．72°D ．144°12CE CDCba b ab b（西城6）如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠A ＝45°，OC ＝2，则BC 的长为 （A）2 （B ）22（C ）23（D ）4（海淀7）如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于90°，那么圆心O 到弦AB 的距离为A.2B. 2C. 22D. 32（丰台7）如图，点A ，B 是⊙O 上的定点，点P 为优弧AB 上的动点（不与点A ，B 重合），在点P 运动的过程中，以下结论正确的是 （A ）∠APB 的大小改变（B ）点P 到弦AB 所在直线的距离存在最大值 （C ）线段P A 与PB 的长度之和不变 （D ）图中阴影部分的面积不变（门头沟7）如图，线段AB 是⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上两点，如果AB =4，AC = 2， 那么∠ADC 的度数是 A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°BO AOCBA CD O。

2020年北京市中考二摸几何综合1．在正方形ABCD 中，E 是CD 边上一点（CE >DE ），AE ，BD 交于点F ． （1）如图1，过点F 作GH ⊥AE ，分别交边AD ，BC 于点G ，H ．求证：∠EAB =∠GHC ；（2）AE 的垂直平分线分别与AD ，AE ，BD 交于点P ，M ，N ，连接CN ． ①依题意补全图形；图1 备用图②用等式表示线段AE 与CN 之间的数量关系，并证明．2．已知40AOB ∠=︒，M 为射线OB 上一定点，1OM =，P 为射线OA 上一动点（不与点O 重合），1OP <，连接PM ，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转40︒，得到线段PN ，连接MN ．（1）依题意补全图1；（2）求证：APN OMP ∠=∠；（3）H 为射线OA 上一点，连接NH ．写出一个OH 的值，使得对于任意的点P 总有OHN ∠为定值，并求出此定值．3．已知：在△ABC 中，∠ABC =90°，AB=BC ，点D 为线段BC 上一动点（点D 不与点B 、C 重合），点B 关于直线AD 的对称点为E ，作射线DE ，过点C 作BC 的垂线，交射线DE 于点F ，连接AE ．（1）依题意补全图形；（2）AE 与DF 的位置关系是 ；（3）连接AF ，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D 在运动变化的过程中，∠DAF 的度数始终保持不变，小昊把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想∠DAF = °，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：想法1：过点A 作AG ⊥CF 于点G ，构造正方形ABCG ，然后可证△AFG ≌△AFE …… 想法2：过点B 作BG ∥AF ，交直线FC 于点G ，构造□ABGF ，然后可证△AFE ≌△BGC ……请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）．4．如图，在ABM V 中，90ABC ∠=︒，延长BM 使BC BA =，线段CM 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CD ，连结,DM AD ．（1）依据题意补全图形；（2）当15BAM ∠=︒时，AMD ∠的度数是__________；（3）小聪通过画图、测量发现，当AMB ∠是一定度数时，AM MD =．小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD 补全成为正方形ABCE ，就易证ABM AED V V ≌，因此易得当AMD ∠是特殊值时，问题得证；想法2：要证AM MD =，通过第（2）问，可知只需要证明AMD V 是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF ，易证AD CF =，通过ABM CBF V V ≌，易证AM CF =，从而解决问题；想法3：通过,90BC BA ABC =∠=︒，连结AC ，易证ACM ACD V V ≌，易得AMD V 是等腰三角形，因此当AMD ∠是特殊值时，问题得证．请你参考上面的想法，帮助小聪证明当AMB ∠是一定度数时，AM MD =．（一种方法即可）5．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 分别是,AB BC 上的两个动点(不与点,,A B C 重合)，且AE CF =，延长BC 到G ，使CG CF =，连接,EG DF ．（1）依题意将图形补全；（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点,E F 运动过程中，始终有EG =．经过与同学们充分讨论，形成了几种证明的想法：想法一：连接,DE DG ，证明DEG △是等腰直角三角形；想法二：过点D 作DF 的垂线，交BA 的延长线于H ，可得DFH V 是等腰直角三角形，证明HF EG =；……请参考以上想法，帮助小华证明EG =．(写出一种方法即可)6．如图，在Rt ABC V 中，90ABC ︒∠=，将CA 绕点C 顺时针旋转45°，得到CP ，点A 关于直线CP 的对称点为D ，连接AD 交直线CP 于点E ，连接CD ．（1）根据题意补全图形；（2）判断ACD ∆的形状，并证明；（3）连接BE ，用等式表示线段AB ，BC ，BE 之间的数量关系，并证明．温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路．解法1的主要思路：延长BC 至点F ，使CF AB =，连接EF ，可证ABE CFE V V ≌，再证BEF V 是等腰直角三角形．解法2的主要思路：过点A 作AM BE ⊥于点M ，可证ABM V 是等腰直角三角形，再证ABC AME V V ∽． 解法3的主要思路：过点A 作AM BE ⊥于点M ，过点C 作CN BE ⊥于点N ，设BN a =，EN b =，用含a 或b 的式子表示AB ，BC ．7．点C 为线段AB 上一点，以AC 为斜边作等腰Rt ADC V ，连接BD ，在ABD △外侧，以BD 为斜边作等腰Rt BED V ，连接EC ．（1）如图1，当30DBA ∠=︒时：①求证：AC BD =；②判断线段EC 与EB 的数量关系，并证明；（2）如图2，当045DBA ︒<∠<︒时，EC 与EB 的数量关系是否保持不变？ 对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路： 想法1：尝试将点D 为旋转中心，过点D 作线段BD 垂线，交BE 延长线于点G ，连接CG ；通过证明ADB CDG V V ≌解决以上问题；想法2：尝试将点D 为旋转中心，过点D 作线段AB 垂线，垂足为点G ，连接EG ．通过证明ADB GDE V V ∽解决以上问题；想法3：尝试利用四点共圆，过点D 作AB 垂线段DF ，连接EF ，通过证明D 、F 、B 、E 四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题．请你参考上面的想法，证明EC EB =（一种方法即可）．8．在ABC V 中，,AB AC BAC α=∠=，点D 是ABC V 外一点，点D 与点C 在直线AB 的异侧，且点,,D A C 不共线，连接,,AD BD CD ．（1）如图1，当60,30ADB α︒︒=∠=时，画出图形，直接写出,,AD BD CD 之间的数量关系；（2）当90,45ADB α︒︒=∠=时，利用图2，继续探究,,AD BD CD 之间的数量关系并证明；（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中） （3）当2ADB α∠=时，进一步探究,,AD BD CD 之间的数量关系，并用含α的等式直接表示出它们之间的关系．9．已知菱形ABCD 中，60A ︒∠=，点E 为边AD 上一个动点（不与点,A D 重合），点F 在边DC 上，且AE DF =，将线段DF 绕着点D 逆时针旋转120°得线段DG ，连接,,GF BF EF ．（1）依题意补全图形；（2）求证：BEF V 为等边三角形（3）用等式表示线段,,BG GF CF 的数量关系，并证明．10．已知：MN 是经过点A 的一条直线，点C 是直线MN 左侧的一个动点，且满足60120CAN ︒<∠<︒，连接AC ，将线段AC 绕点C 顺时针旋转60°，得到线段CD ，在直线MN 上取一点B ，使60DBN ∠=︒．（1）若点C 位置如图1所示．①依据题意补全图1；②求证：CDB MAC ∠=∠；（2）连接BC ，写出一个BC 的值，使得对于任意一点C ，总有3AB BD +=，并证明．。

202006初三数学一模试题整理：图形的认识（教师版）一、角、相交线与平行线（一）刻度尺、三角板、量角器的使用 1.（202006丰台二模9）如图，已知∠AOB ，用量角器度量∠AOB 的度数为 50°2.（202006燕山二模2）如图，用三角板作△ABC 的边AB 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是 A ． B ． C ． D ．3.（202006二模海淀3）如图，在△ABC 中，AB = 3 cm ，通过测量，并计算△ABC 的 面积，所得面积与下列数值最接近的是A.1.5 cm 2B.2 cm 2C.2.5 cm 2D.3 cm 2 答案：D（二）平行线4.（202006海淀二模5）如图，在△ABC 中，EF ∥BC ， ED 平分∠BEF ，且∠DEF =70°，则∠B 的度数为A ．70°B ．60°C ．50°D ．40°5.（202006丰台二模12）小明把一副三角板摆放在桌面上， 如图所示，其中边BC ，DF 在 同一条直线上，可以 得到 AC ∥ DE ，依据 内错角相等，两直线平行6.（202006顺义二模1）如图所示，1l ∥2l ，则平行线1l 与2l 间的距离是 （A ）线段AB 的长度 （B ）线段BC 的长度 （C ）线段CD 的长度 （D ）线段DE 的长度B ED FCAACCBA CBAABCC BA7.（2020朝阳二模2）如图，直线1l ∥2l ，它们之间的距离是 （A ）线段P A 的长度 （B ）线段PB 的长度 （C ）线段PC 的长度 （D ）线段PD 的长度8.（2020平谷二模12）如图，直线l ∥m ，点A 、B 是直线l 上两点，点C 、D 是直线m 上两点，连接AC 、AD 、BC 、BD . AD 、BC 交于 点O ，设△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ，则1S = 2S (=填>,<或号）二、投影与视图（一）由几何体辨别视图：1.（2020平谷二模4）下列几何体中主视图为矩形的是(A) (B) (C) (D) （二）由视图辨别几何体：2.（2020房山二模2）如图是某个几何体的三视图， 该几何体是（ ）A ．长方体B ．三棱柱C ．正方体D ．圆柱（三）由几何体辨别平面展开图： 3．（2020海淀二模1）下面的四个图形中，是圆柱的侧面展开图的是（ ）A B C D（四）由平面展开图辨别几何体：4.（2020西城二模3）图1是某个几何体的平面展开图，该几何体是图1 （A）（B）（C）（D）5．（2020丰台二模1）右图是某个几何体的展开图，该几何体是（A）三棱柱（B）三棱锥（C）圆柱（D）圆锥6.（2020燕山二模4）如图是某几何体的展开图，则该几何体是A．四棱锥B．三棱锥C．四棱柱D．长方体三、轴对称图形与中心对称图形（选填题）（一）中心对称图形1.（2020房山二模4）《北京市生活垃圾管理条例》对生活垃圾分类提出更高要求，于2020年5月1日起施行，施行的目的在于加强生活垃圾管理，改善城乡环境，保障人体健康．下列垃圾分类标志，是中心对称图形的是（）A B C D2.（2020海淀二模4）右图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①, ②, ③, ④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在A．区域①处B．区域②处C．区域③处D．区域④处④③②①（二）轴对称图形和中心对称图形3.（202006密云二模2）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会，又举办过冬奥会的城市.下面的图形是各届冬奥会会徽中的部分图案，其中是．轴对称图形，但不是．．中心对称图形的是（）A．B．C．D．4.（2020燕山二模3）下列防控疫情的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A．B．C．D．5.（2020朝阳二模6）下列图形中，是中心对称图形而不是．．轴对称图形的是（A）（B）（C）（D）6.（2020平谷二模1）垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是(A)(B) (C) (D)。

D202006 初三数学几何综合 北京各区二模试题分类整理202006 初三数学二模试题整理：几何综合（教师版）一、 以四边形为背景的几何综合题（一）四边形+旋转1.（202006 二模燕山 27）已知菱形 ABCD 中，∠A ＝60°，点 E 为边 AD 上一个动点（不与点 A ， 重合），点 F 在边 DC 上，且 AE ＝DF ，将线段 DF 绕着点 D 逆时针旋转 120° 得线段 DG ，连接 GF ，BF ，EF ．（1）依题意补全图形；（△2）求证： BEF 为等边三角形；（3）用等式表示线段 BG ，GF ，CF 的数量关系，并证明．答案：(1)解：补全图形，如图．………1 分(2)证明：∵菱形 ABCD ，∴AB ＝AD ．又∵∠A ＝60°，△∴ ABD 为等边三角形，∴∠ABD ＝∠BDC ＝60°，AB ＝BD ．△在 ABE △和 DBF 中，A E DB CGA E DFB CAB ＝BD ，∠A ＝∠BDF ，AE ＝DF ，△∴ ABE ≌△DBF ，∴BE ＝BF ，∠ABE ＝∠DBF ，∴∠EBF ＝∠EBD ＋∠DBF ＝∠EBD ＋∠ABE ＝∠ABD ＝60°，△∴ BEF 为等边三角形．…………………………4 分(3) BG ，GF ，CF 的数量关系为 3 (BG －CF )＝2GF ．…………………………5 分证明：如图 2，取 FG 中点 H ，连接 DH ，∵AE ＝DF ＝DG ，∠FDG ＝120°， ∴∠DFG ＝∠DGF ＝30°，DH ⊥GF ，∴GF ＝2GH ＝2DG ·cos30°＝ 3 DG ．A E DGHF△又∵ BCD 为等边三角形，B C（ 202006 初三数学几何综合 北京各区二模试题分类整理∴BD ＝CD ，∠BDC ＝60°．∵∠FDG ＝120°，∴∠BDC ＋∠FDG ＝180°，即 B ，D ，G 三点在同一条直线上，∴BG ＝BD ＋DG ＝CD ＋DG ＝CF ＋DF ＋DG ＝CF ＋2DG ，∴BG －CF ＝2DG ．∴ 3 (BG －CF )＝2 3 DG ＝2GF ．…………………………7 分（二）四边形性质2.（202006 二模西城 27）（轴对称）在正方形 ABCD 中，E 是 CD 边上一点（CE >DE ），AE ，BD 交于点 F .（1）如图 1，过点 F 作 GH ⊥AE ，分别交边 AD ，BC 于点 G ，H .求证：∠EAB =∠GHC ；（2）AE 的垂直平分线分别与 AD ， AE ， BD 交于点 P ，M ，N ，连接 CN .① 依题意补全图形；② 用等式表示线段 AE 与 CN 之间的数量关系，并证明．AGFD AEFDEBH C B C图 1备用图答案： 1）证明：在正方形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD = 90°，∴ ∠AGH =∠GHC ．∵ GH ⊥AE ，∴ ∠EAB =∠AGH ． ∴ ∠EAB =∠GHC ．（2）① 补全图形，如图所示．A GFDE② AE 2CN ．BH C证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．∵四边形ABCD是正方形，A P D∴点A，点C关于BD对称．∴NA=NC，∠1=∠2．1M FE∵PN垂直平分AE，∴NA=NE．Q N 4 3∴NC=NE．∴∠3=∠4．B2C在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD=90°，∴∠AQE=∠4．∴∠1+∠AQE=∠2+∠3=90°．∴∠ANE=∠ANQ=90°．在Rt△ANE中，∴AE2CN．····························································7分二、以三角形为背景的几何综合题（一）三角形+轴对称3.（202006二模顺义27）（轴对称+旋转）已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D为线段BC上一动点（点D不与点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C作BC的垂线，交射线DE于点F，连接AE．（1）依题意补全图形；（2）AE与DF的位置关系是；（3）连接AF，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D在运动变化的过程中，∠DAF的度数始终保持不变，小昊把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想∠DAF=°，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：BE．BE（想法 1：过点 A 作 AG ⊥CF 于点 G ，构造正方形 ABCG ， 然后可证△AFG ≌△AFE ……想法 2：过点 B 作 BG ∥AF ，交直线 FC 于点 G ，构造□ A BGF ，然后可证△AFE ≌△BGC ……请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可） AD C答案：解： 1）补全图形如下： …………………………… 1 分AFDC（2）AE 与 DF 的位置关系是 互相垂直 ； ………………………… 2 分（3）∠DAF = 45° ………………………………………………… 3 分（想法 1 图形）AGFBDEC证明如下：过点 A 做 AG ⊥CF 于点 G ，依题意可知：∠B =∠BCG =∠CGA =90°． ∵AB =BC ，∴四边形 ABCG 是正方形．…………………………………… 4 分 ∴AG =AB ， ∠BAG =90°．∵点 B 关于直线 AD 的对称点为 E ，∴AB =AE ，∠B =∠AED =90° ，∠BAD =∠EAD ．…………… 5 分 ∴AG =AE ． ∵AF =AF ，∴Rt △AFG ≌Rt △AFE (HL) ． ………………………………… 6 分 ∴∠GAF =∠EAF ． ∵∠BAG =90°，∴∠BAD +∠EAD +∠EAF +∠GAF =90°． ∵∠BAD =∠EAD ， ∠EAF =∠GAF ，∴∠EAD+∠EAF=45°．即∠DAF=45°．……………………………………………7分（想法2图形）AFB D E CG证明如下：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，依题意可知：∠ABC=∠BCF=90°．∴AB∥FG．∵AF∥BG，∴四边形ABGF是平行四边形．………………………………4分∴AF=BG，∠BGC=∠BAF．∵点B关于直线AD的对称点为E，∴AB=AE，∠ABC=∠AED=90°，∠BAD=∠EAD．…………5分∵AB=BC，∴AE=BC．∴Rt△AEF≌△R t BCG(HL)…………………………………6分∴∠EAF=∠CBG．∵∠BCG=90°，∴∠BGC+∠CBG=90°．∴∠BAF+∠EAF=90°．∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠EAF=90o．∵∠BAD=∠EAD，∴∠EAD+∠EAF=45°．即∠DAF=45°．………………………………………………7分为中心,将射线 AD 顺时针旋转 60°，与△ABC 的外角平分线 BM 交于点 E . 5（二）三角形+旋转4.（202006 二模海淀 27）如图 1，等边三角形 ABC 中，D 为 BC 边上一点，满足 BD < CD ,连接 AD , 以点 A．．． （1）依题意补全图 1；（2）求证：AD =AE ；（3）若点 B 关于直线 AD 的对称点为 F ，连接 CF .① 求证：AE ∥CF ；② 若 BE + CF = AB 成立，直接写出∠BAD 的度数为__________°.MAMABD图 1C B备用图C答案：（1）依题意补全图形MAE（2）证明：∵ △ABC 是等边三角形，∴ AB =AC ，∠BAC =∠ABC =∠C =60°. ∴ ∠1+∠2=60°.∵ 射线 AD 绕点 A 顺时针旋转 60°得到射线 AE ， ∴ ∠DAE =60°. ∴ ∠2+∠3=60°. ∴ ∠1=∠3.∵ ∠ABC =60°，∴ ∠ABN =180°-∠ABC =120°.MEB D CA3 1 2∵ BM 平分∠ABN ， ∴ ∠4=∠5=60°. ∴ ∠4=∠C.∴ △ABE ≌△ACD .4 N B D C202006初三数学几何综合北京各区二模试题分类整理∴AD=AE.（3）①证明：连接AF，设∠BAD=α，MA∵点B与点F关于直线AD对称，∴∠F AD=∠BAD=α，F A=AB.∵∠DAE=60°，∴∠BAE=∠DAE-∠DAB=60°-α.EN B D F C∵等边三角形ABC中，∠BAC=60°，∴∠EAC=∠BAE+∠BAC=120°-α.∵AB=AC，AF=AB，∴AF=AC.∴∠F=∠ACF.∵∠F AC=∠BAC-∠F AD-∠BAD=60°-2α，且∠F+∠ACF+∠F AC=180°，∴∠ACF=60°+α.∴∠EAC+∠ACF=180°.∴AE∥CF.②20°.5.（202006二模丰台27）（旋转）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将CA绕点C顺时针旋转45°得到CP，点A关于直线CP的对称点为D，连接AD交直线CP于点E，连接CD．（1）根据题意补全图形；（2）判断△ACD的形状并证明；（3）连接BE，用等式表示线段AB，BC，BE之间的数量关系，并证明.温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，AB C可以参考下面几种解法的主要思路.解法1的主要思路：延长BC至点F，使CF=AB，连接EF，可证△ABE△≌CEF，△再证BEF是等腰直角三角形.解法2的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，可证△ABM是等腰直角三角形，再证△ABC△∽AME.解法3的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N，设BN=a，EN=b，用含a或b的式子表示出AB，BC.……答案：解：（1）正确补全图形：……………………………2 分（2△） ACD 是等腰直角三角形；…………………………………3 分证明：∵将 CA 绕点 C 顺时针旋转 45°，∴∠ACP=45°.∵点 D 与 A 关于直线 CP 对称， ∴∠DCP=∠ACP=45°，AC=CD . ∴∠ACD=90°.△∴ ACD 是等腰直角三角形. ………………………………4 分（3）AB +BC = 2 B E ；………………………………………………5 分解法 1 证明：延长 BC 至点 F ，使 CF = AB ，连接 DF ，EF .△∵ ACD 是等腰直角三角形，AE =DE ，P∴AE =CE ，∠AEC=90°. AE∵∠ABC =90°,∴∠BAE+∠BCE =180°.∵∠FCE +∠BCE =180°, 13 2 D∴∠BAE =∠FCE . B C F△∴ ABE ≌△CFE .……………………………………6 分∴BE =FE , ∠1=∠2.∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°.即∠BEF=90°.△∴ BEF 是等腰直角三角形.………………………7 分∴BC+CF = 2 B E .即 AB +BC = 2 B E .………………………………8 分解法 2 证明：过点 A 作 AM ⊥BE 于点 M ,取 AC 中点 G ，连接 GB ，GE .设∠GBE = α ，∠ABG = β ,∵∠ABC =∠AEC =90°,∴AG=BG=EG=1相等，证明∠ABE=45°）∴AB===2.2AC.∴∠ABG=∠BAC=β,∠GBE=∠GEB=α.△在BGE中，∵∠GBE+∠BGE+∠BEG=180°,∴2α+2β+90︒=180︒.∴α+β=45︒.即∠ABE=45°.……………………………6分（或根据圆的定义判断A，B，C，E在以点G为圆心的圆上，根据同弧CE所对圆周角PA∵∠AMB=90°,ED∴∠BAM=∠CAE=45°.∴∠BAC=∠MAE.G M∵∠ABC=∠AME=90°,B C△∴ABC△∽AME.……………………………………7分BC ACAM ME AE∴BC=又∵AB=2ME. 2BM.∴AB+BC=2(BM+ME)=2BE.………………8分解法3证明：过点A作AM⊥BE于点M,过C作CN⊥BE于点N,∴∠AME=∠CNE=90°.P即∠MAE+∠AEM=90°.A E∵∠MEC+∠AEM=90°.∴∠MAE=∠MEC.N MD∵AE=CE,B C（3）当 ∠ADB = α 时，进一步探究 AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并用含α 的等202006 初三数学几何综合 北京各区二模试题分类整理∴△AME ≌△ECN . ……………………………6 分∴AM=EN .同解法 2，可证∠ABM=∠CBM=45°. ………………………7 分设 BN=a ,EN=b∴BC = 2 a ，AB = 2 b .∴AB +BC = 2( BN + EN ) = 2BE . ………………8 分（说明：三条线段数量关系写为：(AB + BC )2 = 2BE 2 等其他等式如果正确也给分 ）6.（202006 二模东城 27△）在 ABC 中 AB =AC ，∠BAC = α ，D 是△ABC 外一点，点 D 与点 C 在直线 AB 的异侧，且点 D ，A ，E 不共线，连接 AD ， B D ，CD ．（1）如图 1，当 α = 60︒ ，∠ADB =30°时，画出图形，直接写出 AD ，BD ，CD 之间的数量关系；（2）当 α = 90︒ ，∠ADB =45°时，利用图 2，继续探究 AD ，BD ，CD 之间的数量关系并证明；（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）1 2式直接表示出它们之间的关系．图 1图 2202006初三数学几何综合北京各区二模试题分类整理答案：7.（202006二模房山27）（旋转+相似）点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰RtΔADC，连接BD，在ΔABD外侧,以BD为斜边作等腰Rt△BED，连接EC.（1）如图1，当∠DBA=30︒时：①求证：AC=BD；②判断线段EC与EB的数量关系，并证明；EDA C B图1（2）如图2，当0°<∠DBA<45°时，EC与EB的数量关系是否保持不变？对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：想法1：尝试将点D为旋转中心.过点D作线段BD的垂线，交BE延长线于点G，连接CG；通过证明三角形∆ADB≌ΔCDG全等解决以上问题；想法2：尝试将点D为旋转中心.过点D作线段AB的垂线，垂足为点G，连接EG.通过证明ΔADB∽ΔGDE解决以上问题；想法3：尝试利用四点共圆.过点D作AB垂线段DF，连接EF，通过证明D、F、B、E四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题.请你参考上面的想法，证明EC=EB（一种方法即可）EDA 答案：（1）C B图2①过点D作DF⊥AC于F……………………………………1分∵∠DBA=30︒∴DF=12 BD∵以AC为斜边作等腰RtΔADC ∴AF=FC∴DF=12AC∴AC=BD……………………………………2分②∵等腰RtΔADC与等腰Rt△BED中AC=BD∴DC=DE，∠FDC=∠CDE=45ο∵∠DBA=30︒∴∠FDB=60ο,∠CDB=15ο∴∠CDE=60ο∴ΔCDE是等边三角形……………………………………3分∵EB=DE∴EC=EB……………………………………4分（2）法1.添加辅助线……………………………5分证出ΔADB≌ΔCDG……………………………6分∴∠DCG=∠A=45ο∴∠GCB=90ο∵EG=EB∴EC=EB………………7分法2.添加辅助线………………5分证出ΔADB△ΔGDE…………………6分∴∠DGE=∠A=45ο∴GE平分∠DGC∴GE是DC的中垂线∴ED=EC=EB……………7分法3.添加辅助线………………………5分证出∠EFB=∠EDB=45ο…………6分∴FE是DC的中垂线∴ED=EC=EB……………7分8.（2020朝阳二模27）已知∠AOB=40°，M为射线OB上一定点，OM=1，P为射线OA 上一动点（不与点O重合），OP＜1，连接PM，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转40°，得到线段PN，连接MN．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠APN=∠OMP；（3）H为射线OA上一点，连接NH．写出一个OH的值，使得对于任意的点P总有∠OHN为定值，并求出此定值．图1解：（1）补全图形，如图所示.备用图（2）证明：根据题意可知，∠MPN=∠AOB=40°，∵∠MP A=∠AOB+∠OMP=∠MPN+∠APN,∴∠APN=∠OMP.（3）解：OH的值为1.在射线P A上取一点G，使得PG=OM，连接GN.根据题意可知，MP=NP.∴△OMP≌△GPN.∴OP=GN，∠AOB=∠NGP=40°.∴PG=OH.∴OP=HG.∴NG=HG.∴∠NHG=70°.∴∠OHN=110°.9.（2020平谷二模27）如图，在△ABM中，∠ABC=90°，延长BM使BC=BA，线段CM 绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连结DM，AD．（1）依据题意补全图形；（2）当∠BAM=15°时，∠AMD的度数是；（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM=MD．小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形A BCD补全成为正方形ABCE，就易证ABM≌△AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；△想法2：要证AM=MD，通过第（2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD=CF，通过△ABM≌△CBF，易证AM=CF，从而解决问题；想法3：通过BC=BA，∠ABC=90°，连结AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD 是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证.请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMB是一定度数时，AM=MD.(一种方法即可）27.（1）补全图形................................................１（2）60° (2)（3）当∠AMB=75︒时结论成立 (3)证明：想法一：过A作AE⊥CD于E．∵∠B=∠C=∠E=90°AB=BC∴四边形ABCE是正方形 (4)∴AB=AE，∠B=∠E，BC=CE∵MC=DC∴BM=DE∴△ABM≌△AED (5)∴AD=AM∵∠AMB=75°,∠DMC=45°∴∠AMD=60°∴△AMD是等边三角形∴AM=DM (6)(其他证明方法类似给分)三、特殊情况10.（202006二模密云27）（旋转）已知：MN是经过点A的一条直线，点C是直线MN 左侧的一个动点，且满足60°<∠CAN<120°，连接AC，将线段AC绕点C顺时针旋转60°，得到线段CD，在直线MN上取一点B，使∠DBN=60°．图1备用图（1）若点C位置如图1所示．①依据题意补全图1；②求证：∠CDB=∠MAC；（2）连接BC，写出一个BC的值，使得对于任意一点C，总有AB+BD=3，并证明．答案：(1)①………………2分202006初三数学几何综合北京各区二模试题分类整理②证明：∵∠C=60°，∠DBN=60°∴∠C=∠DBN∵∠DBN+∠ABD=180°∴∠C+∠ABD=180°在四边形ACDB中，∠CDB+∠BAC=180°∵∠BAC+∠MAC=180°∴∠CDB=∠MAC………………4分(2)BC=3时，对于任意一点C，总有AB+BD=3………………5分证明：连接BC，在直线MN上截取AH=BD，连接CH∵∠MAC=∠CDB，AC=CD∴∆ACH≅∆DCB………6分∴∠ACH=∠DCB，CH=CB∵∠DCB+∠ACB=∠ACD=60°∴∠HCB=∠ACH+∠ACB=60°∴△HCB是等边三角形.∴BC=BH=BA+BD=3.…………………7分。

图2图1ED C AEDDC2020年北京市各城区中考二模数学——几何综合题24题汇总1、（2020年门头沟二模）24. 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC 边中点中点，连接MD 和ME（1）如图24-1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是 （2）如图24-2所示，若AB ≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3） 在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧．．作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图24-3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．2、（2020年丰台二模）24.如图1，在ABC △中，90ACB ∠=°，2BC =，∠A=30°，点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，连结EF ．（1）线段BE 与AF 的位置关系是________， AFBE =________．（2）如图2，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<o o），连结AF ，BE ，（1）中的结论是否仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<o o），延长FC 交AB 于点D ，如果6AD =-α的度数．3、（2020年平谷二模）24.（1）如图1，在四边形ABCD 中，∠B =∠C =90°，E 为BC 上一点，且CE =AB ，BE =CD ，连结AE 、DE 、AD ，则△ADE 的形状是_________________________.(2)如图2，在90ABC A ∆∠=︒中，，D 、E 分别为AB、AC 上的点，连结BE 、CD ，两线交于点P ．①当BD=AC ，CE=AD 时，在图中补全图形，猜想BPD ∠的度数并给予证明． ②当BD CEAC AD==时， BPD ∠的度数____________________．4、(2020年顺义二模) 24．在△ABC 中， A B = AC ，∠A =30︒，将线段 B C 绕点 B 逆时针旋转 60︒得到线段 B D ，再将线段BD 平移到EF ，使点E 在AB 上，点F 在AC 上． （1）如图 1，直接写出 ∠ABD 和∠CFE 的度数； （2）在图1中证明： A E =CF ； （3）如图2，连接 C E ，判断△CEF 的形状并加以证明．图2图1BCBDαECBA图3αFECBAFCBA图24-1图24-2图24-3EQPDCB A5、（2020年石景山二模）24．将△ABC 绕点A 顺时针旋转α得到△ADE ，DE 的延长线与BC 相交于点F ，连接AF ．（1）如图1，若BAC ∠=α=︒60，BF DF 2=，请直接写出AF 与BF 的数量 关系；（2）如图2，若BAC ∠＜α=︒60，BF DF 3=，猜想线段AF 与BF 的数量关 系，并证明你的猜想；（3）如图3，若BAC ∠＜α，mBF DF =（m 为常数），请直接写出BFAF的值 （用含α、m 的式子表示）． 解：6、（2020年海淀二模）24．在ABC △中，90ABC ∠=o ，D 为平面内一动点，AD a =，AC b =，其中a ， b 为常数，且 a b <. 将ABD △沿射线BC 方向平移，得到FCE △，点A 、B 、D 的对应点分别为点F 、C 、E .连接BE .（1）如图1，若D 在ABC △内部，请在图1中画出FCE △；（2）在（1）的条件下，若AD BE ⊥，求BE 的长（用含, a b 的式子表示）；（3）若=BAC α∠，当线段BE 的长度最大时，则BAD ∠的大小为__________；当线段BE的长度最小时，则BAD ∠的大小为_______________（用含α的式子表示）.图1 备用图7、（2020年西城二模）24．在△ABC ，∠BAC 为锐角，AB >AC ， AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．（1）如图1，若△ABC 是等腰直角三角形，直接写出线段AC ，CD ，AB 之间的数量关系；（2）BC 的垂直平分线交AD 延长线于点E ，交BC 于点F ．①如图2，若∠ABE =60°，判断AC ，CE ，AB 之间有怎样的数量关系并加以证明；②如图3，若AC AB +=，求∠BAC 的度数．8、（2020年通州二模）23．已知：△ABD 和△CBD 关于直线BD 对称（点A 的对称点是点C ），点E 、F 分别是线段BC 和线段BD 上的点，且点F 在线段EC 的垂直平分线上，连接AF 、AE ，AE 交BD 于点G ．（1）如图l ，求证：∠EAF ＝∠ABD ；（2）如图2，当AB ＝AD 时，M 是线段AG 上一点，连接BM 、ED 、MF ，MF 的延长线交ED 于点N ，∠MBF ＝12∠BAF ，AF ＝23AD ，请你判断线段FM 和FN 之间的数量关系，并证明你的判断是正确的．9、（2020年东城二模） 24．如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重合），Q 是CB 延长线上一点，与AB CAB BD DB图2点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过P 作PE ⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于D ．（1）当∠BQD =30°时，求AP 的长；（2）当运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化请说明理由；（3）在整个运动过程中，设AP 为x ，BD 为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出当△BDQ为等腰三角形时BD 的值．10、（2020年朝阳二模）24. 已知∠ABC =90°，D 是直线AB 上的点，AD =BC ．（1）如图1，过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF =BD ，连接DC 、DF 、CF ，判断△CDF 的形状并证明； （2）如图2，E 是直线BC 上的一点，直线AE 、CD 相交于点P ，且∠APD =45°，求证BD =CE ．11、（2020年密云二模）24．已知等腰Rt ABC ∆和等腰Rt AED ∆中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC（1）发现：如(图1)，当点E 在AB 上且点C 和点D 重合时，若点M 、N 分别是DB 、EC 的中点，则MN 与EC 的位置关系是 ，MN 与EC 的数量关系是（2）探究：若把（1）小题中的△AED 绕点A 旋转一定角度，如(图2)所示，连接BD 和EC,并连接DB 、EC 的中点M 、N,则MN 与EC 的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由;请以逆时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明位置关系成立，12、（2020年延庆二模）13、(2020年房山二模) 24. 边长为2的正方形ABCD 的两顶点A 、C 分别在正方形EFGH 的两边DE 、DG 上(如图1)，现将正方形ABCD 绕D 点顺时针旋转，当A 点第一次落在DF 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交DF 于点M ，BC 边交DG 于点N . （1）求边DA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时(如图2)，求正方形ABCD 旋转的度数；（3）如图3，设MBN ∆的周长为p ，在旋转正方形ABCD 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.14、（2020年昌平二模）24．【探究】如图1，在△ABC 中， D 是AB 边的中点，AE ⊥BC 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，AE ，BF 相交于点M ，连接DE ，DF . 则DE ，DF 的数量关系为 . 【拓展】如图2，在△ A B C 中 ，C B = C A ，点 D 是AB 边的 中点 ，点M 在 △ A B C 的内部 ，且 ∠MBC =∠MAC . 过点M 作ME ⊥BC 于点E ，MF ⊥AC 于点F ，连接DE ，DF . 求证：DE =DF ；【推广】如图3，若将上面【拓展】中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.P EC 图2 C B 图1ADBE CM F AD BE CM F MABCDFE图3图2图115、（2020年怀柔二模）24．已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 边上一点，F 是BC 边延长线上一点，且CF=AE ，连接BE 、EF ．（1）如图1，若E 是AC 边的中点，猜想BE 与EF 的数量关系为 .（2）如图2，若E 是线段AC 上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE 、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．（3）如图3，若E 是线段AC 延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE 、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．16、（2020年大兴二模）25. 已知：E 是线段AC 上一点，AE =AB ，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点D ，使得∠EDB =∠EAB ，联结AD .（1）若直线EF 与线段AB 相交于点P ，当∠EAB =60°时，如图1，求证：ED =AD +BD ；（2）若直线EF 与线段AB 相交于点P ，当∠EAB = α（0º﹤α﹤90º）时，如图2，请你直接写出线段ED 、AD 、BD 之间的数量关系（用含α的式子表示）；（3）若直线EF 与线段AB 不相交，当∠EAB =90°时，如图3，请你补全图形，写出线段ED 、AD 、BD 之间的数量关系，并证明你的结论.17、（2020年燕山二模）24.如图1，已知ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90BAC ,点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接 AE ，BG ．（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是 ； （2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转)3600(︒≤<︒αα， ①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论； ②若4==DE BC ，当AE 取最大值时，求AF 的值．图1 图2AB EFA B E F AB C F F GE DC AB B ACDE GF。

202006初三数学二模试题整理：代几综合（新定义）（教师版） 一、以圆（弧）为背景的新定义压轴题1.（2020海淀二模28）在平面内，对于给定的△ABC ，如果存在一个半圆或优弧与△ABC 的两边相切，且该弧上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称这样的弧为△ABC 的内切弧．当内切弧的半径为最大时，称该内切弧为△ABC 的完美内切弧．（注：弧的半径指该弧所在圆的半径）在平面直角坐标系xOy 中，A (8,0)，B (0,6).（1）如图1，在弧G 1，弧G 2，弧G 3中，是△OAB 的内切弧的是 ； （2）如图2，若弧G 为△OAB 的内切弧，且弧G 与边AB ，OB 相切， 求弧G 的半径的最大值；（3）如图3，动点M (m ,3)，连接OM ，AM .①直接写出△OAM 的完美内切弧半径的最大值；②记①中得到的半径最大时的完美内切弧为弧T ．点P 为弧T 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别交x 轴和直线AB 于点D ，E ，点F 为线段PE 的中点，直接 写出线段DF 长度的取值范围．图 3备用图（2020海淀二模28）答案 28. 解：（1）弧G 2，弧G 3.（2）∵ 弧G 为△OAB 的内切弧，且弧G 与边AB ，OB 相切,∴ 弧G 所在圆的圆心在∠OBA 的角平分线BI 上. 易知若弧G 的半径最大，则弧G 所在圆的圆心I 在 △OAB 的边OA 上. 设弧G 与边AB ，OB 相切分别 切于点O ，H. ∴ IH ⊥AB . ∵ A (8,0)，B (0,6),∴ BO ＝6，AO ＝8 ，AB＝10. ∵ ∠IOB ＝∠ IHB ＝90°，OI ＝IH ，BI ＝BI , ∴ △IOB ≌△IHB .∴ BH ＝BO ＝6.∴ AH ＝AB －BH =4，AI ＝AO －OI ＝8－OI ，OI ＝HI . 在Rt △AIH 中, AI 2＝AH 2＋HI 2, 即222(8)4OI OI -=+. 解得OI ＝3.（3）①△OAM 的完美内切弧半径的最大值为125.②线段DF 长度的取值范围是335DF ≤≤且4825DF ≠.2.（2020房山二模28）过三角形的任意两个顶点画一条弧，若弧上的所有点都在该三角形 的内部或边上，则称该弧为三角形的“形内弧”.（1）如图，在等腰Rt ABC △中，90A =︒∠，2AB AC ==.①在下图中画出一条Rt ABC △的形内弧；②在Rt ABC △中，其形内弧的长度最长为____________.（2）在平面直角坐标系中，点()2,0D -，()2,0E ，()0,1F ，点M 为DEF △形内 弧所在圆的圆心. 求点M 纵坐标M y 的取值范围；（3）在平面直角坐标系中，点(2,M ，点G 为x 轴上一点. 点P 为OMG △最长 形内弧所在圆的圆心，求点P 纵坐标P y 的取值范围.（2020房山二模28）答案 28.（1）①类似以上作答，只要弧上所有点都出现在三角形内部，均给分. ……2分②当2OB =时，Rt ABC △的形内弧最长，此时弧长=π=.（学生不必画出图象） ………………………………3分ABC（2）当圆心在x 轴下方时，此时最长形内弧与线段DF ，EF 相切∵1DOF DOM △∽△∴21OF OM OD ⋅=∴14OM = ∴4M y ≤- ………………………………4分当圆心在x 轴上方时，此时最长形内弧与x 轴相切∵2EGM HEG △∽△∴22HG HM HE ⋅=∴EH =∴252EM =∴52M y ≥………………………………5分综上所述，4M y ≤-或52M y ≥（3）当4G x ≤-时，此时最长形内弧与x 轴相切∵1GOP GHO △∽△∴1GP =∴1P y ≥当40G x -<<时，此时最长形内弧与线段OM 相切解得2P y ≥当04G x <<时，此时最长形内弧与线段MG 相切解得3P y ≥………………………………6分当4G x ≥时，此时最长形内弧与线段MG 相切解得43P y ≤-………………………………7分综上所述，P y ≥或P y ≤3.（2020丰台一模28）过直线外一点且与这条直线相切的圆称为这个点和这条直线的点线圆，特别地，半径最小．．的点线圆称为这个点和这条直线的最小点线圆. 在平面直角坐标系xOy 中，点P （0，2）.（1）已知点A （0，1），B （1，1），C （2，2），分别以A ，B 为圆心，1为半径作⊙A ， ⊙B ，以C 为圆心，2为半径作⊙C ，其中是点P 与x 轴的点线圆的是 ； （2）记点P 和x 轴的点线圆为⊙D ，如果⊙D 与直线y 3+无公共点， 求⊙D 的半径的r 取值范围；（3）直接写出点P 和直线y =kx (k ≠0)的最小点线圆的圆心的横坐标t 的取值范围.（2020丰台二模28）答案28.解：（1）⊙A ，⊙C ； ……2分（2）如图1，⊙D 1过点P ，且与x 轴和直线y 3+都相切. 此时⊙D 1的半径r =1.如图2，⊙D 2过点P ，且与x 轴和直线y 3+都相切.切点分别为M ， N ，连接D 2M ，D 2N ，D 2P ，过点D 2作D 2Q ⊥y 轴于点Q .设D2M =r，∴D2P=D2M =r.易证OQ= D2M= r.∴PQ = r2-.∵∠MEN=60°，∴∠D2EM =30°.∴EM.∴OM = D2Q根据勾股定理可以得到：D2P2= D2Q2+ PQ 2,即2r=2-+()22-r.解得r1=1（舍），r2=7 3 .∴1< r <73. ………………………………………………………5分（3）12-≤x<0或0<x≤12. ………………………………………………………7分二、与“点”有关的新定义4.（2020西城一模28）对于平面直角坐标系xOy 中的定点P 和图形F ，给出如下定义：若在图形F 上存在一点N ，使得点Q ，点P 关于直线ON 对称，则称点Q 是点P 关于图形F 的定向对称点. （1）如图，(10)，A ，(11)，B ，(02)，P ，① 点P 关于点B 的定向对称点的坐标是 ；② 在点(02)C -，，(1D -，，(21)E -，中， 是点P 关于线段AB 的定向对称点.（2）直线3l y x b =+：分别与x 轴，y 轴交于点G ，H ，⊙M 是以点(20)，M 为圆心，(0)>r r 为半径的圆.① 当1=r 时，若⊙M 上存在点K ，使得它关于线段GH 的定向对称点在线段GH 上， 求b 的取值范围；② 对于0>b ，当3=r 时，若线段GH 上存在点J ，使得它关于⊙M 的定向对称点 在⊙M 上，直接写出b 的取值范围.（2020西城二模28）答案解：（1） ①()2,0； ② C ，D ．（2） ① 由题意，0b ≠，若0>b ，当直线l 与以点()2,0-为圆心，1为半径的圆相切时，=b当直线l 经过点()1,0-时，=b ．∴3≤b ≤3． 若0<b ，当直线l 经过点()1,0时，=b当直线l 与以点()0,0为圆心，3为半径的圆相切时，=-b ．∴-b ≤-综上，b 的取值范围是-b≤3-或3≤b ≤3．②33b ≤. ·················································································· 7分5.（2020顺义二模28）已知：如图，⊙O 的半径为r ，在射线OM 上任取一点P （不与点O 重合），如果射线OM 上 的点P'，满足OP ·OP'=r 2，则称点P'为点P 关 于⊙O 的反演点．在平面直角坐标系xOy 中，已知⊙O 的半径为2． （1）已知点A (4，0)，求点A 关于⊙O 的反演 点A'的坐标；（2）若点B关于⊙O 的反演点B'恰好为直线y =与直线x =4的交点，求点B 的坐标；（3）若点C 为直线y =上一动点，且点C 关于⊙O 的反演点C'在⊙O 的内部，求点C 的 横坐标m 的范围；（4）若点D 为直线x =4上一动点，直接写出点D 关于⊙O 的反演点D'的横坐标t 的范围．28．解：（1）依题意得：OA =4，∵OA ·OA ’=22=4， ∴ OA ’=1． …………………………………1分 则A ’(1，0) ． …………………………………………………… 2分 （2）∵B ’恰好为直线y =与直线x =4的交点，y =与x 轴夹角为60°，∴ B ’点坐标为(4，． …………………………………………… 3分∴ OB ’=8．∵OB ·OB ’=22=4， ∴OB =12．∴ B (14)． ……………………………………………………… 4分（3）∵点C为直线y =上一动点，且点C 关于⊙O 的反演点C'在⊙O 的内部，∴点C 在⊙O的外部，直线y =与⊙O 的两个交点坐标的横坐标为1±， ∴ m 的取值范围是 m >1或 m <-1． ………………………………… 6分（4）t 的取值范围是： 0<t ≤1. …………………………………………… 7分6.（2020燕山二模28）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：若图形G 上存在两个 点A ，B ，使得△PAB 是边长为2的等边三角形，则称点P 是图形G 的一个“和谐点”． 已知直线l：0)y n n =+≥（与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，⊙O 的半径为r ．(1) 若n ＝0，在点1P (2，0)，2P (0，，3P (4，1)中，直线l 的和谐点是 ； (2) 若r ＝2，⊙O 上恰好存在2个直线l 的和谐点，求n 的取值范围； (3) 若n ＝MN 上存在⊙O 的和谐点，直接写出r 的取值范围．28．解：(1)直线l 的和谐点是 1P ，2P ； ……2分(2) 如图，设A ，B 在直线l 上，点C 在⊙O 上，△ABC 是边长为2的等边三角形， ∵0n ≥，∴当直线l 位于l 1时，⊙O 上只有1个点C 是直线l 的和谐点， 当直线l 位于l 2时，⊙O 上有3个点C ，C 2，C 3都是直线l 的和谐点， ∴满足条件的直线l 应位于直线l 1和l 2之间．设过点C 且与⊙O 相切的直线为l'，直线l 1，l 2，l'分别与x 轴，y 轴交于点M 1，N 1，M 2，N 2，M'，N'．连接OC ，则OC ⊥l'，OC ＝2．取AB 中点D ，连接CD ，则CDO ，C ，D 三点共线，∴OD ＝2．∵直线l：=+y n 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，∴M (－3n ，0)，N (0，n )，∴tan ∠MNO ＝OM ON＝3，∴∠MNO ＝30°．∴在Rt △OCN'和Rt △ODN 1中，ON'＝2OC ＝4， ON 1＝2OD ＝4＋∴N'N 1＝ON 1－ON'＝由对称性得N'N 2＝，即N 2(0，4－，∴n的取值范围是44-<+ ………………………………5分(3) r的取值范围是72r ≤≤． ………………………………7分7.（2020密云二模28）在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（x 1，y 1），点B 的坐标为（x 2，y 2），且x 1x 2，y 1=y 2. 给出如下定义：若平面上存在一点P ，使△APB 是以线段AB 为斜边的直角三角形，则称点P 为点A 、点B 的“直角点”. （1）已知点A 的坐标为（1，0）.① 若点B 的坐标为（5，0），在点P 1（4，3）、P 2（3，-2）和P 3（2）中， 是点A 、点B 的“直角点”的是 ；② 点B 在x 轴的正半轴上，且AB = ，当直线y=-x+b 上存在点A 、点B 的“直 角点”时，求b 的取值范围；（2）⊙O 的半径为r，点D （1，4）为点E （0，2）、点F （m ，n ）的“直角点”，若使得 △DEF 与⊙O 有交点，直接写出半径r 的取值范围.（2020密云二模28）答案28．(1)① P 2 P 3 …………2分 ② ∵A （1，0）, AB = ∴线段AB 的中点C ，0）∴点A 、B 的“直角点”在以点C 的长为半径的⊙C 上≠12222∴当直线y=-x+b 与⊙C 相切于点D ，与两坐标轴相交于点M 、N 时， ∵∠M=45°，CD =∴CM=2 ………3分 ∴OM=OC+CM= 1+2= 3，∴ON=OM= +3即b= 3 ……4分同理：当直线y=-x+b 与⊙C 相切于点E 时， CH=2∴OH=OC - CH= -1即b= -1 综上所述：……………5分（2） ……………7分2123b -≤≤+229r ≤≤22222228.（2020平谷二模28）如图1，点P是平面内任意一点，点A，B是⊙C上不重合的两个点，连结P A，PB．当∠APB=60°时，我们称点P为⊙C的“关于AB的关联点”．（1）如图2C上时，点P是⊙C的“”时，画出一个满足条件的∠APB，并直接写出∠ACB的度数；（2）在平面直角坐标系中，点()1,3M，点M关于y轴的对称点为点N．①以点O为圆心，OM为半径画⊙O，在y轴上存在一点P，使点P为⊙O“关于MN的关联点”，直接写出点P的坐标；②点D(m,0)是x轴上一动点，当⊙D的半径为1时，线段MN上至少存在一个点是⊙D的“关于某两个点的关联点”，求m的取值范围．28.（1）补全图形 (1)120° (1)（2）①)0,0()32,0(或P (4)图1 图2②2m 2≤≤- …..７三、与“距离”有关的新定义9.（2020东城二模28）对于平面直角坐标系xOy 内任意一点P ，过P 点作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，连接MN ，则称MN 的长度为点P 的垂点距离，记为h ．特别地，点P 与原点重合时，垂点距离为0．（1）点A (2，0)，B (4，4)，C (－2，√2)的垂点距离分别为_______，________，________；（2）点P 在以Q (√3，1)为圆心，半径为3的⊙M 上运动，直接写出点P 的垂点距离h 的取值范围；（3）点T 为直线l ：y =√3x +6位于第二象限内的一点，对于点T 的垂点距离h 的每个值有且仅有一个点T 与之对应，求点T 的横坐标t 的取值范围．（2020东城二模28）答案10.（2020朝阳二模28）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：Q为图形M上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点P与图形M间的开距离，记作d(P,M)．（1）若b=2，①求d(B,⊙O)的值；②若点C在直线AB上，求d(C,⊙O)的最小值；（2）以点A为中心，将线段AB顺时针旋转120°得到AD，点E在线段AB，AD组成的图形上，若对于任意点E，总有2≤d(E,⊙O)＜6，直接写出b的取值范围．答案解：（1）①根据题意可知B（0,2）.∴d(B,⊙O)=3.②如图，过点O作OC⊥AB于点C，此时d(C,⊙O)取得最小值.∵直线323y x=+与x轴交于点A，∴A(23,0).∴OA=23,OB=2.∴∠OAB=30°.∴3OC=.∴d(C,⊙O)的最小值为31+.（2）57232357b b--＜≤或≤＜.。

2020 年北京初三数学二模分类汇编：几何综合【题 1】（ 2020·东城 27 二模）27．在△ABC中AB=AC，BAC，D是△ ABC外一点，点D与点C在直线AB的异侧，且点D,A,E 不共线，连接 AD,BD，CD．（ 1）如图 1，当60 ，∠ ADB=30°时，画出图形，直接写出AD， BD， CD之间的数量关系；（ 2）当90 ，∠ ADB=45°时，利用图2，继续探究AD， BD，CD之间的数量关系并证明；（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）（ 3）当 ADB 1时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含的等式直接表示出它们之2间的关系．1【题 2】（ 2020·西城 27 二模）27.在正方形 ABCD 中， E 是 CD 边上一点（ CE >DE），AE， BD 交于点 F .（1）如图 1，过点 F 作 GH⊥ AE，分别交边 AD， BC 于点 G，H .求证：∠ EAB =∠ GHC ；（2）AE 的垂直平分线分别与 AD， AE， BD 交于点 P， M，N，连接 CN.①依题意补全图形；②用等式表示线段AE 与 CN 之间的数量关系，并证明．AG D A DF FE EBH C B C图 127．（ 1）证明：在正方形ABCD 中， AD ∥ BC，∠ BAD = 90∴ ∠AGH =∠GHC．∵GH ⊥ AE，∴ ∠EAB =∠AGH ．∴ ∠EAB =∠GHC．（ 2）①补全图形，如图所示．备用图°，A G DFE② AE2CN ． B H C证明：连接AN，连接 EN 并延长，交AB 边于点 Q．∵四边形 ABCD 是正方形，∴点 A，点 C 关于 BD 对称．∴NA =NC ，∠ 1 =∠2．∵PN 垂直平分 AE，∴NA =NE．∴NC =NE ．∴∠3 =∠ 4．AP D1M FE4Q N 32B C在正方形ABCD 中， BA∥ CE，∠ BCD = 90 °，∴∠ AQE =∠ 4．∴∠ 1+ ∠AQE =∠ 2+∠ 3 =90°．∴∠ ANE =∠ ANQ =90°．在 Rt△ ANE 中，2∴AE 2CN ．······························7分【题 3】（ 2020·海淀 27 二模）27．如图 1，等边三角形ABC中， D 为BC 边上一点，满足BD CD , 连接AD, 以点A为中心,将射线 AD 顺时针旋转 60°，与△ ABC 的外角平分线BM 交于点 E.．．．（1）依题意补全图 1；（2）求证： AD=AE；（3）若点 B 关于直线 AD 的对称点为 F，连接 CF.①求证： AE∥ CF；②若BE CF AB 成立，直接写出∠BAD 的度数为__________ ° .M A M AB DC B C图1 备用图27．（ 1）依题意补全图形AMEB D C（ 2）证明：∵ △ABC是等边三角形，M A∴ AB=AC，∠ BAC=∠ ABC=∠ C=60°. 3 1E∴ ∠1+∠ 2=60°. 2∵射线 AD 绕点 A 顺时针旋转60°得到射线 AE，5 4∴∠DAE=60°.N B D C ∴ ∠2+∠ 3=60°.∴ ∠1=∠ 3.∵ ∠ABC=60°，∴ ∠ABN=180°-∠ABC=120°.∵ BM 平分∠ ABN，∴ ∠4=∠ 5=60°.∴ ∠4=∠ C.∴ △ABE≌△ ACD.∴ AD=AE.M A（ 3）① 证明：连接 AF，设∠ BAD=α，∵点 B 与点 F关于直线 AD对称， E3N B D CF∴ ∠ FAD=∠BAD=α， FA=AB.∵ ∠DAE=60°，∴ ∠BAE=∠DAE-∠ DAB=60°-α.∵等边三角形ABC中，∠ BAC=60°，∴ ∠ EAC=∠ BAE+∠BAC=120°-α.∵AB=AC， AF=AB，∴AF=AC.∴∠ F=∠ACF.∵ ∠ FAC=∠BAC-∠ FAD-∠ BAD=60°-2α，且∠ F+∠ACF+∠ FAC=180°，∴ ∠ACF=60°+α.∴ ∠ EAC+∠ ACF=180°.∴AE∥ CF.②20°.【题 4】（ 2020·朝阳 27 二模）27. 已知AOB 40 , M 为射线OB 上一定点， OM 1,P 为射线OA上一动点(不与点O重合) ,OP 1，连接PM ，以点 P 为中心，将线段PM 顺时针旋转40 ，得到线段 PN ，连接 MN .(1)依题意补全图 1;(2)求证 : APN OMP ;(3) H为射线OA上一点，连接NH .写出一个 OH 的值，使得对于任意的点P 总有OHN 为定值，并求出此定值.427．解：（ 1）补全图形，如图所示.（ 2）证明：根据题意可知，∠MPN=∠ AOB =40°，∵ ∠MPA =∠ AOB +∠ OMP=∠MPN +∠APN,∴∠ APN=∠ OMP.（ 3）解：OH 的值为 1.在射线 PA上取一点G，使得 PG=OM ，连接 GN.根据题意可知，MP=NP.∴△ OMP≌△ GPN.∴OP=GN，∠ AOB=∠ NGP=40° .∴PG=OH.∴OP=HG.∴NG=HG.∴∠ NHG=70°.∴∠ OHN=110°.【题 5】（ 2020·丰台 27 二模）27. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ABC＝ 90°，将 CA 绕点 C 顺时针旋转45°得到CP，A点 A 关于直线 CP 的对称点为 D，连接 AD 交直线 CP 于点 E，连接 CD ．（1）根据题意补全图形；（2）判断△ACD 的形状并证明；（3）连接 BE ，用等式表示线段 AB， BC， BE 之间的数量关系，并证明 .B C温馨提示：在解决第（ 3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路.解法 1 的主要思路：延长 BC 至点 F，使 CF=AB，连接 EF ，可证△ABE≌ △CEF ，再证△BEF 是等腰直角三角形 .52A AM BE M ABM ABC AME.3A AM BE M C CN BE N BN=a EN=b a b AB BC.27 .解：（1）正确补全图形： APED2B C2ACD 3 CA C45°ACP= 45°.D A CPDCP=ACP= 45° AC=CD .ACD= 90°.ACD. 43 AB+BC=2BE 51BC F CF= AB DF EF.∵△ ACD是等腰直角三角形， AE=DE，PAE=CEAEC= 90°.ABC=90 °,BAE+ BCE =180 °. FCE + BCE = 180 °,ABE13 2 DC FBAE =FCE .ABE CFE . 6BE=FE ,1= 2.2+ 3= 1+ 3=90 °.BEF= 90°.BEF. 7 BC+CF =2BE .6AB+BC= 2BE . 82A AMBEM,ACGGBGE.GBE= ABG = ,ABC= AEC = 90°,1AC .AG=BG=EG=2ABG= BAC= , GBE = GEB= .BGEGBE+ BGE+ BEG = 180 °,∴ 2 2 90 180 .45 .ABE= 45° . 6ABCEGCEABE= 45°PAMB= 90°, AEBAM= CAE= 45° . D BAC= MAE.ABC= AME= 90°,G MB CABC AME . 7AB BC AC 2 .AM ME AEBC 2 ME.AB 2 BM.AB+BC2( BM ME)3AAMBE M, AME =CNE= 90°. MAE +AEM= 90°. MEC +AEM= 90° . MAE =MEC .2BE . 8C CNBEN,PAEDMNAE=CE , B C AMEECN. 6AM=EN .2ABM= CBM= 45° . 7 BN=a ,EN=b7∴ BC 2 a，AB 2 b.∴ AB+BC 2( BN EN ) 2BE . 8 分（说明：三条线段数量关系写为：2 2）AB BC 2BE 等其他等式如果正确也给分【题 6】（ 2020·房山 27 二模）27. 点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰Rt ADC ，连接BD，在ABD外侧,以BD为斜边作等腰 Rt△ BED ，连接 EC .（ 1）如图 1，当∠DBA 30时：①求证：AC BD；②判断线段EC与EB的数量关系，并证明；EDAC B图 1（2）如图 2，当0°<∠DBA < 45°时， EC 与EB的数量关系是否保持不变？对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：想法 1：尝试将点D为旋转中心 . 过点D作线段BD的垂线，交BE延长线于点G，连接CG；通过证明三角形 ADB ≌ CDG 全等解决以上问题；想法 2：尝试将点D为旋转中心 . 过点D作线段AB的垂线，垂足为点G ，连接 EG .通过证明ADB∽GDE 解决以上问题；想法 3：尝试利用四点共圆. 过点D作AB垂线段 DF，连接 EF，通过证明D、 F、B、 E 四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题 .请你参考上面的想法，证明EC = EB （一种方法即可） EDAC B8227. 1D DF⊥ AC F 1∠DBA 30DF = 1BD 2AC Rt ADCAF=FC1DF= AC2AC BD 2Rt ADC Rt△BED AC BDDC = DE ∠FDC =∠CDE = 45∠ DBA 30∠FDB = 60 ,∠CDB = 15∠CDE = 60CDE 3 EB=DEEC=EB 4 2 1. 5ADB CDG 6∠DCG =∠A= 45∠GCB = 90EG=EBEC=EB792. 5ADB ?GDE 6∠DGE =∠A = 45GE∠DGCGE是 DC的中垂线ED=EC=EB 73. 5∠EFB =∠EDB = 456FE是 DC 的中垂线ED=EC=EB772020· 2727ABC ABC=90 ° AB=BC DBC DBC BAD EDECBC DEFAE1 A2 AE DF3AF D DAFEDAF=° BCD1A AG CF G ABCG AFG AFE 2 B BG AF FC G □ABGFAFE BGC271 110AFBEC D2AE DF 2 3DAF= 45° 3 1A GFBECDA AGCFGB= BCG= CGA=90 °AB=BCABCG 4AG=ABBAG=90 °BADEAB=AEB= AED =90°BAD = EAD 5 AG=AEAF=AFRt AFG Rt AFE(HL) 6 GAF = EAFBAG=90°BAD + EAD + EAF + GAF =90°BAD = EADEAF = GAFEAD + EAF =45°DAF =45° 7 2AFEB CDGB BG AF FC G11ABC= BCF =90°AB FG AFBGABGF 4AF=BGBGC= BAFB AD EAB=AE ABC= AED=90 ° BAD= EAD 5 AB=BCAE=BCRt AEF Rt BCG (HL) 6EAF = CBGBCG=90 °BGC+ CBG =90°BAF+ EAF=90 °BAD + EAD + EAF+ EAF =90 oBAD = EADEAD + EAF =45°DAF =45° 782020· 2727 ABCDE FAB BC A B CAE=CFBC GCG= CFEG DF.12 E FEG 2DF .DE DGDEGDDFBAHDFHHF=EGEG 2DF .A DB C12【题 9】（ 2020·平谷 27 二模）27．如图，在△ ABM 中，∠ ABC=90°，延长 BM 使 BC=BA，线段 CM 绕点 C 顺时针旋转90°得到线段CD，连结 DM ， AD．（ 1）依据题意补全图形；（ 2）当∠ BAM=15°时，∠ AMD 的度数是；（ 3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB 是一定度数时，AM=MD ．小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法 1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE，就易证△ABM≌△AED，因此易得当∠AMD 是特殊值时，问题得证；想法 2：要证AM=MD ，通过第（ 2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形 CDAF，易证 AD=CF，通过△ABM≌△CBF，易证 AM=CF，从而解决问题；想法 3：通过 BC=BA，∠ABC=90°，连结 AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD 是等腰三角形，因此当∠AMD 是特殊值时，问题得证 .请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMB是一定度数时，AM=MB.(一种方法即可）1327.（ 1）补全图形 ..................................................................................... １（ 2） 60° (2)（ 3）当AMD 75 时结论成立. (3)证明：想法一：过A作AE⊥CD于E．∵∠ B=∠ C=∠E=90 °AB=BC∴四边形ABCE是正方形 (4)∴AB=AE ，∠ B= ∠ E，BC=CE∵MC=DC∴BM=DE∴△ABM≌△AED (5)∴AD=AM∵∠ AMD=75 °∴△ AMD 是等边三角形∴AM=DM (6)(其他证明方法类似给分，辅助线正确写出一个正确语句即给 1 分，证完全等 2 分，完全正确 3 分）【题 10】（ 2020·密云 27 二模）27. 已知： MN 是经过点 A 的一条直线，点 C 是直线 MN 左侧的一个动点，且满足60° <∠CAN<120°，连接 AC，将线段AC 绕点 C 顺时针旋转60°，得到线段 CD，在直线MN 上取一点B，使∠ DBN= 60°．图1备用图（1）若点 C 位置如图 1 所示．①依据题意补全图 1；14CDB=MAC2BC BC C AB+BD= 327 . (1)2C= 60° DBN= 60°C= DBNDBN + ABD= 180°C+ ABD= 180°ACDB CDB+ BAC= 180°BAC + MAC= 180°CDB= MAC 4(2) BC =3C AB+BD= 3 5BC MN AH=BD CHMAC= CDB AC=CDACH DCBACH= DCB CH=CB DCB + ACB= ACD= 60°HCB= ACH+ ACB= 60°HCB.BC=BH=BA+BD =3. 67112020· 2727ABCD A 60° E AD ( A D ) F DC AE DF DF D 120° DG GF BF EF(1)(2)BEF(3)BG GF CFA E D15B C27． (1)解：补全图形，如图．GA E DFBC(2)证明：∵ 菱形 ABCD，∴AB＝ AD．又∵ ∠A＝60°，∴ △ ABD 为等边三角形，∴ ∠ ABD＝∠ BDC＝ 60°， AB＝ BD．在△ ABE 和△ DBF 中，AB＝ BD，∠ A＝∠ BDF， AE＝ DF，∴△ ABE≌△ DBF，∴BE＝ BF，∠ ABE＝∠ DBF，∴∠ EBF＝∠ EBD＋∠ DBF＝∠ EBD＋∠ ABE＝∠ ABD＝60°，∴△ BEF为等边三角形．(3) BG， GF， CF的数量关系为 3 (BG－CF)＝2GF．证明：如图 2，取 FG中点 H，连接 DH，∵AE＝ DF＝ DG，∠ FDG＝ 120°，A ∴ ∠ DFG＝∠ DGF＝ 30°， DH⊥ GF，∴GF＝ 2GH＝ 2DG·cos30°＝3 DG．又∵△ BCD为等边三角形，∴BD＝ CD，∠ BDC＝60°．∵ ∠ FDG＝ 120°，∴∠ BDC＋∠ FDG＝ 180°，即 B， D， G 三点在同一条直线上，∴BG＝ BD＋ DG＝ CD＋ DG＝ CF＋ DF＋ DG＝ CF＋2DG，∴BG－CF＝ 2DG．∴ 3 (BG－CF)＝23 DG＝2GF．GE DHFBC1617。