高考数学模拟试卷(理科)(4月份)

2022年江西省宜春市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则( )A. B.C. D.2.，则( )A. B. C. D.3.已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.地球的表面积为亿平方千米，而陆地面积为亿平方千米．如图所示扇形统计图，关于地球七大洲的说法中，正确的是( )A. 非洲陆地面积最大B. 大洋洲的面积占地球表面积的C. 大洋洲的陆地面积大钓为亿平方千米D. 亚洲的陆地面积超过亿平方千米5.设为等差数列的前n项和，若，则( )A. B. C. 12 D. 46.在展开式中，常数项为( )A. B. C. 60 D. 2407.2021年7月20日河南省遭受特大暴雨表击，因灾死亡失踪398人．郑州日降雨量，其中最大小时降雨量达201mm，通常说的小雨、中雨、大雨、暴雨等，一般以日降雨量衡量，指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度．其中小雨日降雨量在10mm以下；中雨日降雨量为；大雨日降雨量为；基雨日降雨量为；大暴雨日降雨量为；特大暴雨日降雨量在250mm以上，为研究宜春某天降雨量，某同学自制一个高为120mm的无盖正四棱柱形容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心块，如图1所示，接了24小时的雨水不考虑水的损耗，水面刚好没过四棱锥顶点P，然后盖上盖子密封，将容器倒置，如图2所示，水面还恰好没过点P，则当天的降雨的级别为( )A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨8.已知直线l过点，则“直线l斜率小于等于0”是“直线l与圆C：有公共点”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为( )A. B. C. D.10.设、分别是椭圆C：的左、右焦点，过的直线l交椭圆于A、B两点，且，，该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.11.设整数数列，，...，满足，，且，，2， (8)这样的数列的个数为( )A. 20B. 40C. 60D. 8012.若定义在区间D上的函数满足对任意的，，且，，，则称为“低调函数”，给出下列命题：①函数是“低调函数”；②若奇函数是区间上的“低调函数”，则；③若是区间上的“低调函数”，且，则对任意的，，其中正确的命题个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省聊城市 年 高 考 模 拟 试 题数学试题（理）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间120分钟2．答第Ⅰ卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡和试题纸上。

3．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上。

4．第II 卷写在答题纸对应区域内，严禁在试题卷或草纸上答题。

5．考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回。

参考公式：①如果事件A 在一次试验中发生概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率Pn （k ）=C knPk （1－P ）n －k 。

②棱柱的体积公式：V=sh （s 底面积，h 为高）。

③K 2统计量的表达式K 2=))())()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分；共60分。

在每小题给出的四个选项中，选出一个符合题目要求的选项。

） 1．给定下列结论：其中正确的个数是 （ ）①用20㎝长的铁丝折成的矩形最大面积是25㎝2；②命题“所有的正方形都是矩形”的否定是“所有的正方形都不是矩形”；③函数y=2-x 与函数y=log 21x 的图像关于直线y=x 对称。

A ．0B ．1C ．2D ．32．已知{}*∈==Nn i y y M n ,|2（其中i 为虚数单位），,11lg |⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+==xx y x N{},,1|2R x x x P ∈>=则以下关系中正确的是（ ）A ．P N M =⋃B ．N P MC R ⋃=C ．M N P =⋂D ．Φ=⋂)(N P C R3．若a>2,则函数131)(23+-=ax x x f 在区间（0，2）上恰好有 （ ）A ．0个零点B ．1个零点C ．2个零点D ．3个零点 4．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S= （ ）A ．1B ．100101C ．10099 D ．99985．在ABC BC AB ABC ∆︒︒=︒︒=∆则已知向量中),27cos 2,63cos 2(),72cos ,18(cos ,的面积等于（ ）A ．22B ．42 C ．23 D ．26．2008年北京奥运会期间，计划将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 （ ） A ．540 B ．300 C ．150 D ．180 7．某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）A ．32B ．3C ．433 D ．233 8．两个正数a 、b 的等差中项是5，等比例中项是4，若a>b ，则双曲线122=-by a x 的离心率e 等于（ ）A ．23B ．25 C ．5017 D ．39．给出下列四个命题，其中正确的一个是 （ ） A ．在线性回归模型中，相关指数R 2=0.80，说明预报变量对解释变量的贡献率是80% B ．在独立性检验时，两个变量的2×2列表中对角线上数据的乘积相差越大，说明这两个变量没有关系成立的可能性就越大C ．相关指数R 2用来刻画回归效果，R 2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好D ．随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足E （e ）=0 10．已知函数),0()0,()(,4)(2+∞⋃-∞-=是定义在x g x x f 上的奇函数，当x>0时，)()(,log )(2x g x f y x x g ⋅==则函数的大致图象为（ ）11．已知在平面直角坐标系),(),1,2(),1,1(),2,1(),0,0(,y x M C B A O xOy 动点中--满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤⋅≤≤⋅≤-,21,22OB OM 则OC OM ⋅的最大值为（ ）A ．－1B ．0C ．3D ．412．一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a ，与对手踢平（得1分）的概率为b ，负于对手（得0分）的概率为c （a ，b ，c ∈（0，1）），已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则ba 311+的最小值为 （ ）A ．316 B ．314C ．317D ．310第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

绝密★启封并使用完毕前高中毕业班4月份模拟试卷理科数学(考试时间 120分钟 满分150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（1）已知集合{|(2)0},{2,1,0,1,2}A x x x B =-≤=--,则A B =A. {2,1}--B. {1,2}C. {1,0,1,2}-D. {0,1,2}（2）已知11zi i i =+-，则复数z 在复平面上所对应的点位于 A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限（3）已知向量(,),(1,2),a x y b ==- 且(1,3)a b += ，则|2|a b -=A.1B.3C.4D.5（4）已知命题:(0,),32x x p x ∀∈+∞>；命题:(,0),32q x x x ∃∈-∞>，则下列命题为真命题的是A. p q ∧B. ()p q ⌝∧C. ()p q ⌝∧D. ()()p q ⌝⌝∧（5）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,点F 到渐近线的距离为2a ,则该双曲线的离心率等于A.2B. 3C. 5D.3（6）已知函数()cos()(0)2f x x ππϕϕ=+<<的部分图像如图所示，0()(0)f x f =-，则正确的选项是 A.0,16x πϕ== B. 04,63x πϕ==C. 0,13x πϕ==D. 02,33x πϕ== （7）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为A. 2-B. 12C. 1-D. 2 （8）在长为2的线段AB 上任意取一点C ，以线段AC 为半径的圆面积小于π的概率为A.14B. 12C. 34D. 4π（9）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是 俯视图侧（左）视图1122正（主）视图。

高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i是虚数单位）的共轭复数是（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i2．等比数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n，若S1=1，S2=3，则S3=（）A．7 B．8 C．9 D．103．已知向量，，t∈R，则的最小值是（）A．5 B．4 C．3 D．24．若f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）（ω＞0）的最小正周期为π，，则（）A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减5．如图，某几何体的正视图和侧视图都是正三角形，俯视图是圆，若该几何体的表面积S=π，则它的体积V=（）A．πB．C．D．6．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N，已知P（80＜ξ≤100）=0.40，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）A．5份B．10份C．15份D．20份7．执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0 B．C．D．8．若的展开式中常数项为1，则实数a=（）A．B．C．D．9．如果某射手每次射击击中目标的概率为0.7，每次射击的结果相互独立，那么他在15次射击中，最有可能击中目标的次数是（）A．10 B．11 C．10或11 D．1210．在平面直角坐标系xOy中，P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，Q是圆x2+y2﹣8x﹣8y+30=0上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．B．C． D．11．函数f（x）（x＞0）的导函数为f′（x），若xf′（x）+f（x）=e x，且f（1）=e，则（）A．f（x）的最小值为e B．f（x）的最大值为eC．f（x）的最小值为D．f（x）的最大值为12．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作平行于渐近线的两直线与双曲线分别交于A、B两点，若|AB|=2a，则双曲线离心率e的值所在区间为（）A．（1，）B．（，）C．（，2）D．（2，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设p：|x﹣a|＞3，q：（x+1）（2x﹣1）≥0，若￢p是q的充分不必充要条件，则实数a的取值范围是．14．△ABC三边的长分别为AC=3，BC=4，AB=5，若，，则=．15．对大于或等于2的自然数的3次方可以做如下分解：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，根据上述规律，103的分解式中，最大的数是．16．已知平面区域D={（x，y）|0≤x≤1，|y|≤1}，∀（x，y）∈D，≥|x+|的概率P=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}是正项等差数列，∀n∈N*，数列{}的前n项和S n=．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n a n2，n∈N*，求数列{b n}的前n项和T n．18．某普通高中组队参加中学生辩论赛，文科班推荐了3名男生、4名女生，理科班推荐了3名男生、2名女生，他们各有所长，总体水平相当，学校拟从这12名学生随机抽取3名男生、3名女生组队集训．（Ⅰ）求理科班至少有2名学生入选集训队的概率；（Ⅱ）若先抽取女生，每次随机抽取1人，设X表示直到抽到文科班女生时所抽到的理科班女生的人数，求X的分布列和均值（数学期望）．19．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是四棱柱，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，AB=BC=CD=1，AD=AA1=2．（Ⅰ）求证：平面BDD1B1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）E是底面A1B1C1D1所在平面上一个动点，DE与平面C1BD夹角的正弦值为，试判断动点E在什么样的曲线上．20．已知椭圆Σ：（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点．（Ⅰ）求椭圆Σ的方程；（Ⅱ）A、B是椭圆Σ上两点，线段AB的垂直平分线l经过M（0，1），求△OAB 面积的最大值（O为坐标原点）．21．已知函数，a是常数，且a≥1．（Ⅰ）讨论f（x）零点的个数；（Ⅱ）证明：，n∈N*．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的弦AB、CD相交于E，过点A作⊙O的切线与DC的延长线交于点P．PA=6，AE=CD=EP=9．（Ⅰ）求BE；（Ⅱ）求⊙O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）P是曲线C上任意一点，求P到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．（Ⅰ）已知非零常数a、b满足，求不等式|﹣2x+1|≥ab的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i是虚数单位）的共轭复数是（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念求得答案．【解答】解：∵=，∴复数的共轭复数是2+i．故选：B．2．等比数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n，若S1=1，S2=3，则S3=（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得a2，可得q，进而可得a3，前3项相加可得S3．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n，S1=1，S2=3，∴a1=S1=1，a2=S2﹣S1=3﹣1=2，故公比q==2，故a3=a2q=4，∴S3=1+2+4=7，故选：A．3．已知向量，，t∈R，则的最小值是（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可求出向量的坐标，从而得出，显然可看出t=3时，可取到最小值2．【解答】解：；∴，当t=3时取“=”；∴的最小值为2．故选：D．4．若f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）（ω＞0）的最小正周期为π，，则（）A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，由f（0）=求出φ的值，可得函数的解析式；再利用余弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=sin（ωx+ϕ+）（ω＞0）的最小正周期为=π，可得ω=2．再根据=sin（ϕ+），可得sin（ϕ+）=1，ϕ+=2kπ+，k∈Z，故可取ϕ=，y=sin（2x+）=cos2x．在上，2x∈（﹣，），函数f（x）=cos2x 没有单调性，故排除A、B；在上，2x∈（0，π），函数f（x）=cos2x 单调递减，故排出C，故选：D．5．如图，某几何体的正视图和侧视图都是正三角形，俯视图是圆，若该几何体的表面积S=π，则它的体积V=（）A．πB．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个圆锥，设底面圆的半径为r，由正视图可得母线长是2r，由题意和圆锥的表面积公式列出方程求出r，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个圆锥，设底面圆的半径为r，由正视图可得母线长是2r，∵该几何体的表面积S=π，∴πr2+πr•（2r）=π，解得r=，则圆锥的高h===1，∴几何体的体积V===，故选：C．6．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N，已知P（80＜ξ≤100）=0.40，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）A．5份B．10份C．15份D．20份【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N，得到数学成绩ξ关于ξ=100对称，根据P（80＜ξ≤100）=0.40，得到P（ξ＞120）=0.1，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．【解答】解：由题意，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N，∴数学成绩ξ关于ξ=100对称，∵P（80＜ξ≤100）=0.40，∴P（ξ＞120）=P（ξ＜80）=0.5﹣0.40=0.1，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.1×100=10．故选：B．7．执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0 B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S=tan+tan+tan+…+tan+tan的值，利用正切函数的周期性即可计算求值．【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S=tan+tan+tan +…+tan+tan的值，由于：tan+tan+tan=0，k∈Z，且：2016=3×672，所以：S=（tan+tan+tan）+…+（tan+tan+tan）=0+0+…+0=0．故选：A．8．若的展开式中常数项为1，则实数a=（）A．B．C．D．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项列出方程解方程求出a的值．【解答】解：展开式的通项公式为T r+1=C8r•（）8﹣r•（）r=（）8﹣r C8r•x8﹣\frac{4}{3}r，令8﹣r=0，解得r=6；所以展开式的常数项为（）2C86=1，解得a=±2．故选：C．9．如果某射手每次射击击中目标的概率为0.7，每次射击的结果相互独立，那么他在15次射击中，最有可能击中目标的次数是（）A．10 B．11 C．10或11 D．12【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】假设最可能击中目标的次数为k，由条件利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率公式可得，求得k的范围，可得k的最大值．【解答】解：假设最可能击中目标的次数为k，根据某射手每次射击击中目标的概率为0.7，每次射击的结果相互独立，则他击中k次的概率为•0.7k•0.315﹣k，再由，求得0.2≤k≤11.2，再根据击中目标次数为正整数，可得击中目标次数为11，故选：B．10．在平面直角坐标系xOy中，P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，Q是圆x2+y2﹣8x﹣8y+30=0上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．B．C． D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：圆x2+y2﹣8x﹣8y+30=0的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=2，则圆心坐标为C（4，4），半径R=，作出不等式组对应的平面区域如图：则C到直线x+y﹣4=0的距离最小，此时d==2，则|PQ|的最小值为d﹣R=2﹣=，故选：B．11．函数f（x）（x＞0）的导函数为f′（x），若xf′（x）+f（x）=e x，且f（1）=e，则（）A．f（x）的最小值为e B．f（x）的最大值为eC．f（x）的最小值为D．f（x）的最大值为【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】设g（x）=xf（x），求导，得到f（x）=，再根据导数和函数的最值得关系即可求出．【解答】解：设g（x）=xf（x），∴g′（x）=xf′（x）+f（x）=e x，∴g（x）=e x，∴xf（x）=e x，∴f（x）=，∴f′（x）=，令f′（x）=0，解得x=1，当f′（x）＞0，时，解得x＞1，函数f（x）在（1，+∞）单调递增，当f′（x）＜0，时，解得0＜x＜1，函数f（x）在（1，+∞）单调递减，∴f（x）min=f（1）=e，故选：A．12．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作平行于渐近线的两直线与双曲线分别交于A、B两点，若|AB|=2a，则双曲线离心率e的值所在区间为（）A．（1，）B．（，）C．（，2）D．（2，）【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，由两直线平行的条件可得平行直线的方程，联立解得交点A，B的坐标，可得AB的长，结合a，b，c的关系和离心率公式，可得e的方程，运用零点存在定理，进而得到离心率的范围．【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，设焦点F（c，0），由y=（x﹣c）和双曲线=1，解得交点A（，），同理可得B（，﹣），即有|AB|==2a，由b2=c2﹣a2，由e=，可得4e2=（e2﹣1）3，由f（x）=（x2﹣1）3﹣4x2，可得f′（x）=6x（x2﹣1）﹣8x＞0，x＞1，f（x）递增．又f（2）＞0，f（）＜0，可得＜e＜2．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设p：|x﹣a|＞3，q：（x+1）（2x﹣1）≥0，若￢p是q的充分不必充要条件，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别解出关于p，q的不等式的解集，结合￢p是q的充分必要条件得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】解：p：|x﹣a|＞3，解得：x＞a+3或x＜a﹣3；￢p：a﹣3≤x≤a+3，q：（x+1）（2x﹣1）≥0，解得：x≥或x≤﹣1，若￢p是q的充分不必充要条件，则a﹣3≥或a+3≤﹣1，解得：a≥或a≤﹣4，故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．14．△ABC三边的长分别为AC=3，BC=4，AB=5，若，，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得△ABC是以∠C为直角的直角三角形，然后根据已知条件把用向量表示，则的值可求．【解答】解：在△ABC中，由AC=3，BC=4，AB=5，得AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以∠C为直角的直角三角形，如图，∵，∴，又，∴=，∴==．故答案为：．15．对大于或等于2的自然数的3次方可以做如下分解：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，根据上述规律，103的分解式中，最大的数是109．【考点】归纳推理．【分析】注意观察各个数分解时的特点，不难发现：当底数是2时，可以分解成两个连续的奇数之和；当底数是3时，可以分解成三个连续的奇数之和．则当底数是4时，可分解成4个连续的奇数之和，进而求出23～103的分解式用的奇数个数，进而求出答案．【解答】解：由题意，从23到103，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+10=54个，故103的分解式中，最大的数是2×54+1=109，故答案为：10916．已知平面区域D={（x，y）|0≤x≤1，|y|≤1}，∀（x，y）∈D，≥|x+|的概率P=．【考点】几何概型．【分析】由题意画出图形，利用区域的面积比求概率．【解答】解：∵≥|x+|，∴y2≥x，=1×2=2，平面区域D={（x，y）|0≤x≤1，|y|≤1}，所围成图形为矩形，S矩形∀（x，y）∈D，y2≥x，其面积为阴影部分的面积，其S=y2dy=y3|阴影=，故∀（x，y）∈D，≥|x+|的概率P==，故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}是正项等差数列，∀n∈N*，数列{}的前n项和S n=．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n a n2，n∈N*，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设正项等差数列{a n}的公差为d，由=．利用“裂项求和”可得：数列{}的前n项和S n==．分别取n=1，2即可得出．+b2k=﹣（n+1）2+（n+2）2=2n+3．当（II）b n=（﹣1）n a n2=（﹣1）n（n+1）2，可得：b2k﹣1n=2k（k∈N*）时，数列{b n}的前n项和T n=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2k+b2k），即﹣1可得出．当n=2k﹣1（k∈N*）时，数列{b n}的前n项和T n=T n+a n，即可得出．﹣1【解答】解：（I）设正项等差数列{a n}的公差为d，∵=．∴数列{}的前n项和S n=++…+==．n=1时，=n=2时，==，化简解得：a1=2，d=1．∴a n=2+（n﹣1）=n+1．（II）b n=（﹣1）n a n2=（﹣1）n（n+1）2，∴b2k+b2k=﹣（n+1）2+（n+2）2=2n+3．﹣1+b2k）当n=2k（k∈N*）时，数列{b n}的前n项和T n=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2k﹣1=（2×1+3）+（2×2+3）+…+（2×k+3）=+3k=k2+4k=+2n．+a n当n=2k﹣1（k∈N*）时，数列{b n}的前n项和T n=T n﹣1=﹣（n+1）2=．∴T n=．18．某普通高中组队参加中学生辩论赛，文科班推荐了3名男生、4名女生，理科班推荐了3名男生、2名女生，他们各有所长，总体水平相当，学校拟从这12名学生随机抽取3名男生、3名女生组队集训．（Ⅰ）求理科班至少有2名学生入选集训队的概率；（Ⅱ）若先抽取女生，每次随机抽取1人，设X表示直到抽到文科班女生时所抽到的理科班女生的人数，求X的分布列和均值（数学期望）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）先求出理科班没有学生入选集训队的概率和理科班有1名学生入选集训队的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出理科班至少有2名学生入选集训队的概率．（Ⅱ）由题意X=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和均值（数学期望）．【解答】解：（Ⅰ）理科班没有学生入选集训队的概率为…理科班有1名学生入选集训队的概率为…∴理科班至少有2名学生入选集训队的概率为…（Ⅱ）由题意X=0，1，2…P（X=0）==…，P（X=1）=…P（X=2）==…∴X的分布列为：X 0 1 2P…X的均值（数学期望）EX==…19．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是四棱柱，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，AB=BC=CD=1，AD=AA1=2．（Ⅰ）求证：平面BDD1B1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）E是底面A1B1C1D1所在平面上一个动点，DE与平面C1BD夹角的正弦值为，试判断动点E在什么样的曲线上．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）取AD的中点F，连接BF，根据各线段长度可得四边形BCDF是菱形，△ABF是正三角形，利用菱形性质及三角形性质即可得出∠ABD=90°，即AB⊥BD，从而BD⊥平面ABB1A1，于是平面BDD1B1⊥平面ABB1A1；（II）以B为原点，建立空间直角坐标系，设E（x，y，2），求出和平面C1BD 的法向量为，令|cos＜＞|=得出E点的轨迹方程．【解答】证明：（Ⅰ）取AD的中点F，连接BF，则AB=BC=CD=AF=DF=1，∴四边形BCDF是菱形，△ABF是正三角形，∴∠ABF=∠AFB=60°，∠FBD=∠FDB，∵∠FBD+∠FDB=∠AFB=60°，∴∠FBD=∠FDB=30°，∴∠ABD=∠ABF+∠FBD=90°，∴AB⊥BD．∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD，又AA1⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，AA1∩AB=A，∴BD⊥平面ABB1A1，∵BD⊂平面BDD1B1，∴平面BDD1B1⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）以B为原点，BD，BA，BB1为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），D（，0，0），C1（，﹣，2），设E（x，y，2），∴=（，0，0），=（，﹣，2），=（x﹣，y，z）．设平面C1BD的一个法向量为=（x，y，z），则，∴，取z=1得=（0，4，1），∴=4y+2．∴cos＜＞==．∵DE与平面C1BD夹角的正弦值为，∴|cos＜＞|=，即||=．化简整理得，，∴动点E的轨迹是一条抛物线．20．已知椭圆Σ：（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点．（Ⅰ）求椭圆Σ的方程；（Ⅱ）A、B是椭圆Σ上两点，线段AB的垂直平分线l经过M（0，1），求△OAB 面积的最大值（O为坐标原点）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得c=2，求得焦点坐标，运用椭圆的定义可得2a=4，即a=2，运用a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）根据椭圆的对称性，直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=kx+m，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求得O到直线AB的距离，依题意，|AM|=|BM|，运用两点的距离公式，化简可得k，m的等式，讨论k=0，k≠0，运用基本不等式和二次函数的最值求法，即可得到所求面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，2c=4，椭圆Σ的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），由椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|=+=3+=4，即有a=2，则b2=a2﹣c2=4，则椭圆Σ的方程为+=1；（Ⅱ）根据椭圆的对称性，直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=kx+m，由得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，O到直线AB的距离，△OAB的面积，依题意，|AM|=|BM|，即，即有（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2﹣2）=0，，即为（k2+1）（x1+x2）+k（2m﹣2）=0，代入整理得，k（2k2+m+1）=0，若k=0，则，等号当且仅当时成立；若k≠0，则2k2+m+1=0，，等号当且仅当m=﹣2，时成立．综上所述，△OAB面积的最大值为．21．已知函数，a是常数，且a≥1．（Ⅰ）讨论f（x）零点的个数；（Ⅱ）证明：，n∈N*．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性及极值最值，通过对a分类讨论求得函数零点的个数，（Ⅱ）取a=2或a=，由（1）知函数单调性，即可证明．【解答】证明：（Ⅰ），解f′（x）=0得x=0，或x=a2﹣2a①a=1时，，若x∈（﹣1，0），f′（x）＜0，f（x）＞f（0）=0，若x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）＞f（0）=0．f（x）有一个零点，②1＜a＜2时，﹣1＜a2﹣2a＜0，x （﹣1，a2﹣2a）a2﹣2a （a2﹣2a，0）0 （0，+∞）f′（x）+0 ﹣0 +f（x）↗↘↗由上表可知，f（x）在区间（a2﹣2a，+∞）有一个零点x=0，f（a2﹣2a）＞f（0）=0，又，任取，，f（x）在区间（t，a2﹣2a）有一个零点，从而f（x）有两个零点，③a=2时，，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，有一个零点x=0，④a＞2时，a2﹣2a＞0，x （﹣1，0）0 （0，a2﹣2a）a2﹣2a （a2﹣2a，+∞）f′（x）+0 ﹣0 +f（x）↗↘↗由上表可知，f（x）在区间（﹣1，a2﹣2a）有一个零点x=0，在区间（a2﹣2a，+∞）有一个零点，从而f（x）有两个零点，（Ⅱ）证明：取a=2，由（1）知在（﹣1，+∞）上单调递增，取（n∈N*），则，化简得，取，由（1）知在区间上单调递减，取（n∈N*），由f（x）＞f（0）得，即（n∈N*），综上，，n∈N*请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的弦AB、CD相交于E，过点A作⊙O的切线与DC的延长线交于点P．PA=6，AE=CD=EP=9．（Ⅰ）求BE；（Ⅱ）求⊙O的半径．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）由圆的切割线定理，可得PC=3，再由圆的相交弦定理，即可得到EB 的长；（Ⅱ）作OM⊥AB，PN⊥AB，分别交AB于M，N，设AN=x，运用勾股定理，解方程可得AN=2，求得PN，AM的长，运用三角形的相似可得△PNA∽△AMO，由性质定理，即可得到所求值．【解答】解：（I）PA2=PC•PD，PA=6，CD=9，即36=PC（PC+9），得PC=3（﹣12舍去），所以PD=PC+CD=12，又EP=9，所以ED=PD﹣EP=12﹣9=3，CE=EP﹣PC=9﹣3=6，又AE•EB=CE•ED，则EB===2；（II）作OM⊥AB，PN⊥AB，分别交AB于M，N，设AN=x，则AP2﹣AN2+NE2=EP2，由AP=6，EP=9，NE=9﹣x，即有36﹣x2+（9﹣x）2=81，得x=2即AN=2，PN==，AB=AE+EB=9+2=11，AM=AB=，在直角三角形PNA和直角三角形AMO，∠APN=∠OAM，∠PAN=∠AOM，可得△PNA∽△AMO，得：，即有OA===．[选修4-4：坐标系与参数方程]24．（Ⅰ）已知非零常数a、b满足，求不等式|﹣2x+1|≥ab的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）求出ab=1，问题转化为|﹣2x+1|≥1，解出即可；（Ⅱ）问题转化为（a ﹣1）（a﹣2x+1）≥0，通过讨论a的范围求出不等式的解集，从而求出a的范围即可．【解答】解：（I）由已知，∵a、b不为0，∴ab=1，原不等式相当于|﹣2x+1|≥1，所以，﹣2x+1≥1或﹣2x+1≤﹣1，解得：{x|x≤0或x≥1}；（Ⅱ）由已知得，|x﹣a|≥x﹣1≥0，（x﹣a）2≥（x﹣1）2，（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0，a=1时，（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0恒成立，a＞1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0得，a≥2x﹣1，从而a≥3，a＜1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0得，a≤2x﹣1，从而a≤1，综上所述，a的取值范围为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）P是曲线C上任意一点，求P到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由消去参数能得到直线l的直角坐标方程，由ρ2﹣4ρcosθ+1=0，ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C的圆心为（2，0），半径为，求出圆心到直线的距离，由此能求出P到直线l的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由消去参数t得，直线l的直角坐标方程为．…∵ρ2﹣4ρcosθ+1=0，ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，∴曲线C的直角坐标方程x2+y2﹣4x+1=0…（Ⅱ）∵曲线C的直角坐标方程x2+y2﹣4x+1=0，∴曲线C：（x﹣2）2+y2=3…，圆心为（2，0），半径为…圆心到直线的距离…∴P到直线l的距离的最大值…[选修4-5：不等式选讲]。

高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 集合U ={0，1，2，3，4，5}，A ={1，2}，B ={x ∈N |x 2-3x ≤0}，则∁U （A ∪B ）=（ ）A. {0，1，2，3}B. {0，4，5}C. {1，2，4}D. {4，5} 2. i 为虚数单位，若复数z +=i ，则=（ ）A. 1-iB. -1+iC. -1-iD. 1+i3. 我国古代学者庄子在《庄子·天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，指一尺长的木棒，今天取其一半，明天取剩下的一半，后天再取剩下的一半，永远也取不尽.现有尺长的线段，每天取走它的，天后剩下的线段长度不超过尺，则的最小值为（ ）A.B. C.D. 4. 已知椭圆的一个焦点为，则的值为（ ）A.B.C. D.5. 已知向量，的夹角为60°，且||=2，|2-|=，则||可能为（ ）A. 3B.C. 2D. 46. 设公差为-3的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2019=2019，则a 3+a 6+a 9+…+a 2019=（）A.B. C. 673 D. 1346 7. 若函数y =f （x ）具有下列两个性质：①在区间[-]上单调递增，②其图象关于直线x =对称，则f （x ）的解析式可以是（ ）A. f （x ）=sin （-2x ）B. f （x ）=cos （2x +）C. f （x ）=sin （2x +）D. f （x ）=cos （-2x ）8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B.C. π+1D.9.已知命题p：f（x）=sin x+≥4（0＜x＜），命题q：若x2-x+m＞0对x∈R恒成立，则m＞0．则下列选项中真命题为（）B. C. D.A.10.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＜0时，f（x）=，若实数a满足f（3-|a+1|）＞f（-），则a的取值范围是（）A. （-，-）B. （-）∪（-，+∞）C. （-，-）D. （-）∪（-，+∞）11.已知区域内的点满足不等式组，在区域内任取一点，则函数有零点的概率为( )A. B. C. D.12.在正方体ABCD-A1B1CD1中，点M在线段AD1上，若直线A1M与平面A1B1C1D1内的动直线所成角的最小值，则AM：MD1=（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.（x-）10的展开式中所有项的系数之和为______．14.若执行如图所示的程序框图，输入，则输出的值为_______.15.已知l为曲线y=在（1，a）处的切线，当直线l与坐标轴围成的三角形面积为，实数a的值为______16.在平面直角坐标系xOy中，离心率为的双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且PF1⊥x轴，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于A，B两点，若四边形PAOB的面积为2，则△PF1F2的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量=（2cos2，cos），=（，cos），•=．（1）求tan A tan B的值；（2）求的最小值．18.某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工具出行，决定为电动车（含电动自行车和电动汽车）免费提供电池检测服务现从全市已挂牌照的电动车中随机抽取100辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，样本分布如图：（1）采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆，再从这9辆中随机抽取2辆，求至少有一辆为电动汽车的概率；（2）为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发放补助，标准如下：电动自行车每辆补助300元；电动汽车每辆补助500元；对电池需要更换的电动车每辆额外补助400元．用样本频率替代概率估计总体．①现从全市已挂牌照的电动车中随机抽取3辆，记这3辆电动车电池性能为良好的辆数为X，试求X的分布列；②估算平均每辆电动车享受的政府补贴金额．19.如图，斜三棱柱ABC-AB1C1的底面△ABC为正三角形，AB=AA1，∠A1AB=∠A1AC，AA1与底面ABC所成的角为30°．（1）证明：BB1⊥BC；（2）求二面角A-BB1-C1的余弦值．20.已知抛物线C1：y2=2px（p＞0），圆C2：x2+y2=r2（r＞0），直线l：y=kx+m与抛物线C1相切于点A，且与圆C2相切于点B．（1）当k=2时，请分别写出p，r关于m的表达式；（2）设F为抛物线C1的焦点，△FAB，△FOB的面积分别为S1，S2，若S1=6S2，求实数k的值．21.已知函数f（x）=x2-（a+1）x+a ln x．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）对任意的a∈[3，5]，x1，x2∈[1，3]（x1≠x2），恒有|f（x1）-f（x2）|＜λ|-|，求实数λ的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为，（θ为参数）（1）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当α=时，求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点（不重合），求|OA|+|OB|的取值范围．23.已知函数f（x）=|2x-a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x-1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：B={x∈N|0≤x≤3}={0，1，2，3}，则A∪B={0，1，2，3}，则∁U（A∪B）={4，5}，故选：D．求出集合B的等价条件，结合补集并集的定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，结合补集并集的定义是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：由z+=i，得z===-1-2i+i=-1-i，∴．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】读懂题意，列出不等式求解即可．本题难度较小，主要考查等比数列的概念及通项公式的应用．【解答】解：由题意可知，m天后剩下的线段的长度为，则，解得m≥10，所以m的最小值为10．故选C．4.【答案】C【解析】解：方程变形为，∵椭圆的焦点在y轴上，∴a2=2m，b2=6，又c=2且a2-b2=c2，∴2m-6=22，∴m=5．故选：C．依题意，将椭圆的方程标准化，利用其焦点在y轴上，利用椭圆的性质即可求得m的值．本题考查椭圆的简单性质，将椭圆的方程标准化是打开思维的关键，考查分析、运算能力，属于中档题．5.【答案】A【解析】解：已知|2-|=，则有：即：向量，的夹角为60°，且||=2∴，即•=2cos60°||解得：即：或则||可能为3故选：A．运用向量的平方即为模的平方等到，的等式，在带入向量，的数量积和||=2，再由向量的夹角公式，计算只含的模的方程即可得到．本题主要考查向量夹角，向量的平方即为模的平方求解，根据向量数量积的应用是解决本题的关键是基础题．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．由S2019==2019，得a1+a2019=2，再由a3+a6+a9+…+a2019=（a1+a2019-6），能求出结果．【解答】解：公差为-3的等差数列{a n}的前n项和为S n，S2019=2019，∴S2019==2019，解得a1+a2019=2，∴a3+a6+a9+…+a2019=（a1+a2019-6）=-1346．故选B．7.【答案】D【解析】解：（1）对A，f（）=sin（）=，不符合条件②，故A错；（2）对B，f（）=cos=-1符合条件②，由f（x）=cos（2x+）知，f（x）在[-]上递减，不符合条件①，故B错；（3）对C，f（）=sin（）=，不符合条件②，故C错；（4）对D，f（）=cos（0）=1符合条件②，由知，f（x）在[-]上递增，符合条件①，故D对．故选：D．首先检验各选项是否符合条件②，排查一些选项后再看是否符合条件①即可．本题考查了正弦函数与余弦函数的单调性和对称性，属基础题．8.【答案】A【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体可看作两个几何体的组合体，左侧是四分之一圆锥，右侧是四棱锥，圆锥的底面半径为1，高为1，棱锥的底面是边长为1的正方形，一条侧棱垂直于底面，且长度为1．∴该几何体的体积为．故选：A．由三视图还原原几何体，该几何体可看作两个几何体的组合体，左侧是四分之一圆锥，右侧是四棱锥，圆锥的底面半径为1，高为1，棱锥的底面是边长为1的正方形，一条侧棱垂直于底面，且长度为1．再由锥体的体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9.【答案】D【解析】【分析】此题考查了命题的真假，难度不大．利用“对号”函数容易求得f（x）＞5，可确定p为真命题；利用判别式小于0，可求得m，故命题q也是真命题．【解答】解：∵，∴0＜sin x＜1，∴f（x）=sin x+∈（5，+∞），∴命题p为真命题；∵x2-x+m＞0对x∈R恒成立，∴=1-4m＜0，∴，∴命题q为真命题，故选：D．10.【答案】B【解析】解；根据题意，当x＜0时，f（x）=，其导数f′（x）=＞0，则f（x）在区间（-∞，0）上为增函数，又由f（x）是定义在R上的偶函数，则f（x）在区间（0，+∞）上为减函数，f（3-|a+1|）＞f（-）⇒f（3-|a+1|）＞f（）⇒3-|a+1|＜⇒|a+1|＞，解可得：a＜-或a＞-，即a的取值范围为（）∪（-，+∞）；故选：B．根据题意，由函数的解析式求出其导数，分析可得f（x）在区间（-∞，0）上为增函数，结合函数的奇偶性可得f（x）在区间（0，+∞）上为减函数，据此可得f（3-|a+1|）＞f（-）⇒f（3-|a+1|）＞f（）⇒3-|a+1|＜⇒|a+1|＞，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的计算，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，如图△ABC部分；由，得A（0，2）；由，得B（0，-4）；由，得C（2，0）；则△ABC的面积为S△ABC=×6×2=6，函数f（x）=x2+2ax+b有零点，则△=4a2-4b≥0，化为b≤a2，即y≤x2；由，得D（1，1）；且x2=x3=，S△CDE=×1×1=，S△OBC=×2×4=4，所以满足函数f（x）=x2+2ax+b有零点时对应点的面积为S′=++4=，利用几何概型的概率公式，计算所求的概率为P==．故选：A．作出不等式组表示的平面区域，求出满足函数f（x）有零点时对应点的面积，计算对应区域的面积比即可．本题考查了几何概型的概率计算问题，也考查了简单的线性规划应用问题，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：∵A1D1为A1M在平面A1B1C1D1的射影，∴直线A1M与平面A1B1C1D1内的动直线所成角的最小值为∠D1A1M，即∠D1A1M==60°，∴∠A1MD1=75°，设A1D1=a，在△A1D1M中，由正弦定理可得=，∴D1M==a，故AM=a-a=a，∴==•=．故选：C．设正方体棱长为a，根据∠D1A1M=计算D1M，AM，得出答案．本题考查了空间直线所成角的计算，属于中档题．13.【答案】1【解析】解：令x=1，可得（x-）10的展开式中所有项的系数之和为1，故答案为：1．令x=1，可得（x-）10的展开式中所有项的系数之和．本题主要考查二项式定理的应用，通过给二项式的x赋值，求得展开式中所有项的系数之和，属于基础题．14.【答案】【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=++…+的值，利用裂项法可得答案．【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=++…+的值，可得：S=++…+=（1-）+（）+…+（-）=1-=．故答案为：．15.【答案】0或【解析】解：求导数可得y′=，所以在点（1，a）处的切线斜率为：1-a，切线方程为：y-a=（1-a）（x-1），令x=0，得y=2a-1；令y=0，得x=．所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为×|（2a-1）×|=，解得a=0或a=故答案为：0或．求出函数的导数，求得在点（1，1）处的切线斜率，再由点斜式方程可得切线方程，再分别令x=0，y=0，再由三角形的面积公式，即可得到．本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，确定切线方程是关键．16.【答案】4【解析】解：e==，可得a=b，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，设P为第二象限上的点，可得P（-c，a），由题意可得四边形PAOB为矩形，由P到直线y=-x的距离为d=，P到直线y=x的距离为d'=，即有dd'==2，即2a2-a2=4，可得a=2，c=2，△PF1F2的面积为•2c•a=4．故答案为：4．由离心率公式可得a=b，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，设P为第二象限上的点，可得P（-c，a），由题意可得四边形PAOB为矩形，由矩形的面积公式，可得a，c，即可得到所求三角形的面积．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）因为向量=（2cos2，cos），=（，cos），•=．所以•=2cos2×+cos cos=，所以4cos（A-B）=5cos（A+B），所以9sin A sin B=cos A cos B，所以tan A tan B=；（2）=-==≥=，当且仅当A=B时取等号，故的最小值为：．【解析】（1）利用两个向量的数量积公式以及半角公式，求的tan A tan B即可；（2）利用余弦定理将式子，再应用基本不等式求出式子的最小值即可，本题考查了两个向量的数量积公式，余弦定理等，关键是基本不等式的应用，属中档题．18.【答案】解：（1）由电池性能统计图得：电池性能较好的电动车有45辆，其中电动自动车20辆，电动汽车25辆，采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆，其中，抽到电动自行车9×=4辆，抽到电动汽车9×=5辆，再从这9辆中随机抽取2辆，基本事件总数n==36，至少有一辆为电动汽车包含的基本事件个数m==30，∴至少有一辆为电动汽车的概率p==．（2）①随机抽取100辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级的电动车分别为9辆，26辆，45辆，20辆，现从全市已挂牌照的电动车中随机抽取3辆，记这3辆电动车电池性能为良好的辆数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：②估算平均每辆电动车享受的政府补贴金额为：=[300（8+22+20+10）+500（1+4+25+10）+400×9]=416．【解析】（1）电池性能较好的电动车有45辆，其中电动自动车20辆，电动汽车25辆，采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆，抽到电动自行车9×=4辆，抽到电动汽车9×=5辆，再从这9辆中随机抽取2辆，基本事件总数n==36，至少有一辆为电动汽车包含的基本事件个数m==30，由此能求出至少有一辆为电动汽车的概率．（2）①电池性能为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级的电动车分别为9辆，26辆，45辆，20辆，现从全市已挂牌照的电动车中随机抽取3辆，记这3辆电动车电池性能为良好的辆数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．②由频率分布直方图能估算平均每辆电动车享受的政府补贴金额．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、平均数的求法，考查古典概型、排列组合、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】证明：（1）取BC的中点D，连接AD，∵△ABC为正三角形，∴BC⊥AD，∵∠A1AB=∠A1AC，∴A1在平面ABC上的射影O在AD上，∵A1O⊥平面ABC，∴A1O⊥BC，又AD∩A1O=O，∴BC⊥平面A1AD，∴BC⊥AA1，又AA1∥BB1，∴BB1⊥BC．（2）由（1）可知∠A1AO为AA1与底面ABC所成的角，即∠A1AO=30°，∴OA=AA1，又AD=AB，AB=AA1，故OA=AD，于是O与D点重合．以D为原点，以DA，DB，DA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，设AB=AA1=2，则A（，0，0），B（0，1，0），B1（-，1，1），C（0，-1，0），∴=（-，0，1），=（-，1，0），=（0，2，0），设平面ABB1的法向量为=（x，y，z），则，即，令x=1可得y=，z=，即=（1，，），设平面BB1C1C的法向量为=（x，y，z），则，即，令x=1可得y=0，z=，即=（1，0，），∴cos＜＞===．∴二面角A-BB1-C1的余弦值为．【解析】（1）取BC的中点D，证明BC⊥平面A1AD，可得BC⊥AA1，故而BC⊥BB1；（2）证明A1D⊥平面ABC，以D为原点建立空间坐标系，求出平面ABB1和平面BB1C1C 的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．本题考查了线面垂直的判定，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题．20.【答案】解：（1）直线l：y=2x+m，联立抛物线方程可得4x2+（4m-2p）x+m2=0，由△=0，即（4m-2p）2-16m2=0，解得p=4m；由直线与圆C2：x2+y2=r2（r＞0）相切，可得=r，即r=|m|；（2）F（，0），由y=kx+m和抛物线方程联立，可得k2x2+（2km-2p）x+m2=0，由△=0，即（2km-2p）2-4k2m2=0，解得p=2km；此时切点A（，），直线y=kx+和圆相切，可得=r，再由直线y=kx+，联立圆方程x2+y2=，解得x=-，y=，即B（-，），|AB|==，F到AB的距离d=，即有S1=••=•，p2，S2=••||=•，由S1=6S2，可得2k4-3k2+1=0，解得k=±1或k=±．【解析】（1）联立直线y=2x+m和抛物线方程，运用判别式为0，可得p与m的关系；再由直线和圆相切的条件：d=r，可得r与m的关系；（2）求得抛物线的焦点坐标，联立直线和抛物线方程，由判别式为0，解得切点A；由直线和圆方程联立，求得切点B，求得AB的长，以及F到直线AB的距离，运用三角形的面积公式，化简整理，解方程可得所求值．本题考查直线与抛物线的相切的条件，以及直线与圆相切的条件，考查三角形的面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）f′（x）=x-（a+1）+=，（x∈（0，+∞））．a≤0时，x-a＞0，可得：函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．0＜a＜1时，可得：函数f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．a=1时，f′（x）≥0，可得：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．1＜a时，可得：函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．（2）不妨设0＜x1＜x2，由（1）可得：a∈[3，5]时，函数f（x）在x∈[1，3]单调递减，∵x1，x2∈[1，3]（x1≠x2），恒有|f（x1）-f（x2）|＜λ|-|，∴f（x1）-f（x2）＜λ（-），化为：f（x1）-＜f（x2）-，令g（x）=f（x）-=x2-（a+1）x+a ln x-，a∈[3，5]，x∈[1，3]，则函数g（x）在x∈[1，3]上单调递增，a∈[3，5]，∴g′（x）=x-（a+1）++≥0，在x∈[1，3]上恒成立，a∈[3，5]，化为：λ≥-x3+（a+1）x2-ax=h（x），x∈[1，3]，a∈[3，5]，h′（x）=-3x2+2（a+1）x-a=u（x）u′（x）=-6x+2（a+1），在x∈[1，3]上单调递减．u′（1）=2a-4＞0，u′（3）=2a-16＜0．∴存在唯一x0∈（1，3），使得u′（x0）=-6x0+2（a+1）=0，解得x0=∈．h′（1）=2a-1＞0，h′（3）=6a-24＜0．∴函数h（x）在[1，x0）上单调递增，在（x0，3]上单调递减．∴x=x0时，函数h（x）取得极大值即最大值，h（x0）=-+（a+1）-ax0=-+（a+1）-a=．∴λ≥．a∈[3，5]，∴实数λ的取值范围是[，+∞）．a∈[3，5]．【解析】（1）f′（x）=x-（a+1）+=，（x∈（0，+∞））．对a分类讨论，即可得出单调性．（2）不妨设0＜x1＜x2，由（1）可得：a∈[3，5]时，函数f（x）在x∈[1，3]单调递减，根据x1，x2∈[1，3]（x1≠x2），恒有|f（x1）-f（x2）|＜λ|-|，f（x1）-f（x2）＜λ（-），化为：f（x1）-＜f（x2）-，令g（x）=f（x）-=x2-（a+1）x+a ln x-，a∈[3，5]，x∈[1，3]，可得函数g（x）在x∈[1，3]上单调递增，a∈[3，5]，可得g′（x）=x-（a+1）++≥0，在x∈[1，3]上恒成立，a∈[3，5]，化为：λ≥-x3+（a+1）x2-ax=h（x），x∈[1，3]，a∈[3，5]，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）α=时，曲线C1的极坐标方程为：θ=；由得（x-）2+（y-1）2=1，即x2+y2-2-2y+3=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得曲线C2的极坐标方程为：ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ+3=0（2）将θ=α代入C2的极坐标方程得：ρ2-ρ（2cosα+2sinα）+3=0，由△=（2cosα+2sinα）2-12＞0，得|4sin（α+）|∈（2，4]，设A，B对应的极径为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=2cosα+2sinα，ρ1ρ2=3，∴|OA|+|OB|=|ρ1|+|ρ2|=|ρ1+ρ2|=|2cosα+2sinα|=|4sin（α+）|∈（2，4]．【解析】（1））α=时，曲线C1的极坐标方程为：θ=；由cos2θ+sin2θ=1可得C2的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C2的极坐标方程；（2）将θ=α代入C2的极坐标方程得：ρ2-ρ（2cosα+2sinα）+3=0，再根据△＞0以及韦达定理、极径的几何意义可得．本题考查了直角坐标方程化极坐标方程、参数方程化普通方程、韦达定理、极径的几何意义，属中档题．23.【答案】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x-2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x-2|+2≤6，|2x-2|≤4，|x-1|≤2，∴-2≤x-1≤2，解得-1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|-1≤x≤3};（2）∵g（x）=|2x-1|，∴f（x）+g（x）=|2x-1|+|2x-a|+a≥3，2|x-|+2|x-|+a≥3，|x-|+|x-|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x-|+|x-|≥|a-1|≥＞0，∴（a-1）2≥（3-a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【解析】本题考查含绝对值不等式的解法及绝对值不等式的三角不等式,同时考查不等式恒成立问题,是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．（1）当a=2时，由已知得|2x-2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x-1|+|2x-a|+a≥3，得|x-|+|x-|≥，由此能求出a的取值范围．。

2020年全国24省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足为虚数单位，则A. B. C. 2i D.2.已知集合，，则A. B.C. D.3.实数x，y满足不等式组，则目标函数的最大值为A. 3B. 4C. 5D. 64.三只小松鼠小芳、小松和点点住在同一棵大松树上，一天它们在一起玩智力游戏．小芳说：今天我们三个有的吃了松子；小松说：今天我们三个有的没吃松子；点点说：今天我没吃松子．已知它们三个中只有一个说的是真的，则以下判断正确的是A. 全吃了B. 全没吃C. 有的吃了D. 有的没吃5.已知，则A. B. C. 或 D. 或6.已知函数，则函数的大致图象是A.B.C.D.7.志愿者团队安排去甲、乙、丙、丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序，一位志愿者说：不能先去甲，甲的困难户最多；另一位志愿者说：不能最后去丁，丁离得最远．他们总共有多少种不同的安排方法A. 14B. 12C. 24D. 288.已知函数其中，，离原点最近的对称轴为，若满足，则称为“近轴函数”若函数是“近轴函数”，则的取值范围是A. B.C. D.9.北宋徽宗在崇宁年间年一1106年铸造崇宁通宝钱，因为崇宁通宝版别多样、铜质细腻、铸工精良，钱文为宋徽宗亲笔书写的“瘦金体”，所以后人写诗赞美曰：“风流天子书崇观，铁线银钩字字端”崇宁通宝被称为我国钱币铸造史上的一个巅峰，铜钱直径厘米，中间穿口为边长为厘米的正方形．用一根细线把铜钱悬挂在树枝上，假定某位射手可以射中铜钱，但是射在什么位置是随机的箭头的大小不计这位射手射中穿口的概率最接近A. B. C. D.10.已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，且平面ABCD，则四棱锥的外接球的体积为A. B. C. D.11.已知椭圆E：，直线与椭圆E交于点P，与直线交于点Q，O为坐标原点，且，则椭圆E的离心率为A. B. C. D.12.已知函数的图象在点处的切线方程为，若函数至少有两个不同的零点，则实数b的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，则______．14.已知点O为坐标原点，向量，，且，则的最小值为______．15.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，满足，的面积，且，则的周长为______．16.已知双曲线C：：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的一点，直线交y轴于点M，交双曲线C的一条渐近线于点N，且M是的中点，，则双曲线C的标准方程为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项数列的前n项和为，满足，等比数列满足，．Ⅰ求数列与数列的通项公式；Ⅱ若，求数列的前n项和．18.如图，已知四棱锥的底面ABCD为直角梯形，，，且，，，，E为SC的中点．Ⅰ求证：平面SAD；Ⅱ求平面SAD与平面SBC所成的锐二面角的正弦值．19.已知抛物线C：与直线l：交于A，B两点，O为坐标原点．当时，．Ⅰ求抛物线C的标准方程；Ⅱ点F为抛物线C的焦点，求面积的最小值．20.已知函数．Ⅰ求函数的单调区间；Ⅱ设函数，若对任意恒成立，求实数m的取值范围．21.2019年6月6日，中国商务部正式下发5G商用牌照，中国正式进入5G商用元年．在5G基站的建设中对零部件的要求非常严格，一次质检人员发现有1个次品部件混入了5个正品部件中．从外观看这6个部件是完全一样的，5个正品部件一样重，1个次品部件略轻一些．现有两个方案通过用电子秤称重的办法把次品部件挑出来．A方案：逐一称重，称重一次不能确定是否是次品部件，称重两次，若重量相同则都是正品部件，如果有1个较轻，则是次品部件，结束称重．依次进行，直到挑出次品部件．B方案：把6个部件任意分成3组，每组2个，然后称重．Ⅰ分析A，B两个方案，分别求出恰好称重3次挑出次品部件的概率；Ⅱ如果称重一次需要2分钟，试比较A，B两个方案哪一个用时更少，并说明原因．22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为，t为参数以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．Ⅰ求曲线C的直角坐标方程；Ⅱ若曲线C上的点到直线l的最大距离为，求的值．23.已知函数．当时，求不等式的解集；若关于x的不等式的解集包含，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由，得，则．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：B解析：解：，．故选：B．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：由题意作出其平面区域，将化为，z相当于直线的纵截距，则由解得，直线经过A时取得最大值．故的最大值是，故选：C．作出不等式组的平面区域，将化为，z相当于直线的纵截距，由几何意义可得．本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．4.答案：A解析：解：假设小芳说的是真的，小松和点点说的是假的，则“有的吃了”“全吃了”“点点吃了”成立，全吃了成立；假设小芳说的是假话，小松说的是真的，点点说的是假的，则“全没吃”“有的没吃”“点点吃了”有矛盾不成立；假设小芳说的是假的，小松说的是假的，点点说的是真的，则“全没吃”“全吃了”“点点没吃”有矛盾，不成立．综上，判断正确的是“全吃了”．故选：A．假设小芳说的是真的，小松和点点说的是假的，推导出全吃了成立；假设小芳说的是假话，小松说的是真的，点点说的是假的，则“全没吃”“有的没吃”“点点吃了”有矛盾不成立；假设小芳说的是假的，小松说的是假的，点点说的是真的，则“全没吃”“全吃了”“点点没吃”有矛盾，不成立．本题考查命题真假的判断，考查简单的合情推理等基础知识，考查推理能力，是基础题．5.答案：D解析：解：，，或，当时，；当时，；，或．故选：D．由已知利用同角三角函数基本关系式可求，或，分类讨论，利用两角差的余弦函数公式即可求解的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．6.答案：B解析：解：，则函数为奇函数，可排除A、D选项；又，可排除C．故选：B．由函数的奇偶性排除选项A、D，由，排除C，进而得出正确选项．本题考查函数的图象和奇偶性的运用，考查数形结合思想，属于基础题．7.答案：A解析：解：根据题意丁扶贫点不能是最后一个去，有以下两类安排方法：丁扶贫点最先去，有种安排方法；丁扶贫点安排在中间位置去，有种安排方法，综合知共有种安排方法．故选：A．由去丁扶贫点的先后顺序入手利用加法原理求出结果．本题主要考查排列、组合中的乘法原理，属于基础题．8.答案：C解析：解：正弦函数，令，所以对称轴方程为，由于，所以，整理得，由于，当时，，当时，，所以的取值范围是．故选：C．直接利用信息的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.答案：D解析：解：由题可得，铜钱的面积为：平方厘米，穿口面积为平方厘米；所以射手射中穿口的概率为：．故选：D．分别求出各自对应的面积，相比即可求解结论．本题主要考查几何概型以及面积公式，属于基础题目．10.答案：B解析：解：过点A，B，C，D作球O的截面如图：，设AB的中点为，连接，，则，且，四边形是平行四边形，，同理，，是到等腰梯形ABCD的各个顶点距离都相等的点，过点S，A，B作球O的截面，如图：，设BS的中点为O，连接，OA，则，平面ABCD，，又，，点O是四棱锥外接球的球心，在中，，，，故选：B．过点A，B，C，D作球O的截面，得到是等腰梯形ABCD的外心，过点S，A，B作球O的截面，证得点O是四棱锥外接球的球心，在中，利用勾股定理即可求出OA的值，从而求出四棱锥的外接球的体积．本题主要考查了四棱锥外接球半径的求法，是中档题．11.答案：D解析：解：由题可知，点Q的横坐标为，将其代入直线得，，点，，点P的坐标为，将其代入椭圆方程，有，，离心率，化简整理得，，解得舍负．故选：D．由题易知点Q的坐标为，根据，可得点P的坐标为，由于点P 在椭圆上，于是代入椭圆的方程，再结合和离心率，化简整理后即可得解．本题考查椭圆的几何性质、平面向量的线性坐标运算，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．12.答案：B解析：解：，，，．令，得，．当或时，，是增函数；当时，，是减函数．所以时，有极大值；当时，有极小值．所以，若函数至少有两个不同的零点，则，解得．故选：B．先根据函数在处的切线为得到一个关于a，b的关系，然后再根据至少有两个不同零点，列出关于b的不等式．本题考查导数的几何意义，应用导数求函数的极值和零点，同时考查学生的运算能力．13.答案：3解析：解：函数，．故答案为：3．推导出，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：解析：解：向量，，则，而，故的最小值即为坐标原点O到直线上的点的距离的最小值，故最小值．故答案为：．根据，把问题转化为坐标原点O到直线上的点的距离的最小值即可．本题主要考查平面向量的数量积，向量的模长，以及点到直线的距离，属于基础题目．15.答案：解析：解：因为，由余弦定理可得，又因为，由可得，因为，的面积，所以，，由可得，，所以，所以的周长为，故答案为：．由题意及余弦定理及面积可得c，b的值，再有余弦定理可得a的值，进而求出三角形的周长．本题考查余弦定理及面积公式的运用，属于中档题．16.答案：解析：解：不妨设P在第一象限，过N作轴于A，设，因为，所以，因为M是是中点，O是的中点，所以，所以轴，所以，因为：，，，所以，，因为双曲线的一条渐近线方程：，所以，所以，，所以双曲线的标准方程为：．故答案为：．不妨设P在第一象限，过N作轴于A，设，利用已知条件求出c，推出，，结合双曲线的渐近线方程，转化求解a，b，即可得到双曲线方程．本题考查双曲线的简单性质以及双曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．17.答案：解：Ⅰ当时，，又，；当时，且，两式相减得，又，，数列是首项、公差均为2的等差数列，故，等比数列满足，，公比，；Ⅱ由Ⅰ知，，由可得：，．解析：Ⅰ利用含有的递推关系式把转化成，注意讨论和两种情况，求出的通项公式后可得与的值，从而求出的通项公式，即可求解；Ⅱ由Ⅰ求出的，可得，再利用错位相减法求数列的前n项和即可．本题主要考查等差、等比数列的通项公式和性质及错位相减法求前n项和，属于中档题．18.答案：Ⅰ证明：如图，取SD的中点F，连接EF，AF，，F分别为SC，SD的中点，为三角形SCD的中位线，则，，又，，四边形ABEF为平行四边形，则，平面SAD，平面SAD，平面SAD；Ⅱ解：设CD的中点为O，连接OS，OB，，，在中，，则．又，，平面SCD．又平面SCD，，，则平面ABCD，，，四边形ABOD为平行四边形，，得平面SCD．以O为坐标原点，分别以OB，OC，OS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则0，，，，0，，1，，，，，．设平面SAD的一个法向量为，由，令，得；设平面SBC的一个法向量为，由，取，得．设平面SAD与平面SBC所成的锐二面角为．．平面SAD与平面SBC所成的锐二面角的正弦值为．解析：Ⅰ结合中位线的性质，通过构造平行四边形找出平面内的平行线，利用直线与平面平行的判定证明；Ⅱ证明直线与平面垂直，直线与直线垂直得到建系条件，以CD中点O为坐标原点，以OB，OC，OS所在直线为x，y，z轴距离空间直角坐标系，分别求出平面sad与平面SBC的法向量，利用两法向量所成角的余弦值求解平面SAD与平面SBC所成的锐二面角的正弦值．本题考查直线与平面平行的判定考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.答案：解：Ⅰ当时，直线l为，联立，消去y得，，设点，，则，，，，，解得，抛物线C的方程为．Ⅱ由点到直线的距离公式可知，点到直线l的距离．联立得，，，，弦长，当时，有最小值，且为3．解析：Ⅰ联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系表示出的条件，列出关于p 的方程，解之即可得解；Ⅱ利用点到直线的距离公式可求出的以AB为底边的高，联立直线与抛物线的方程，写出根与系数的关系，代入直线截抛物线的弦长公式中可得到，从而表示出的面积，化简整理后，结合二次函数的性质即可得解．本题考查求抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、面积中的最值问题等，解题的关键是灵活运用点到直线的距离公式、弦长公式、平面向量垂直的条件等，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ由题意得函数的定义域为R，，令，解得或，易知，当时，，当时，，的单调递增区间为，，单调递减区间为；Ⅱ对任意恒成立，即，令，则，解得，当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，有极大值也是最大值，且，令，解得，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，当时，有极小值也是最小值，且，要使，只要，即，实数m的取值范围为．解析：Ⅰ结合已知条件利用导数判断函数的单调性，确定函数的单调区间；Ⅱ将不等式恒成立问题转化为函数极值和最值的求解，进而即可求解．本题考查利用导数研究函数的单调性，求函数的极值与最值问题，不等式恒成立求参数的取值范围，考查运算求解能力及推理论证能力，考查数学运算及逻辑推理等核心素养，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ方案：称重一次不能确定是否是次品部件，称重两次，若重量相同则都是正品邮件，如果有1个较轻，则是次品部件，结束称重，依次进行，直到挑出次品部件，恰好称重3次挑出次品部件，说明前2次重量相同，都是正品部件，第3次重量较轻，是次品部件，所以恰好称重3次挑出次品部件的概率．B方案：把6个部件任意分成3组，每组2个，第1次稳重不能确定是否有次品部件，第2次称重如果和第1次不同，说明次品部件在较轻的一组中，如果和第一次相同，说明次品部件在第3组，第3次取有次品部件的那一组中的任意1个称重，如果等于两个正品部件一组重量的一半，则另一个是次品部件，如果等于两个正品部件一组重量的一半轻，说明称的这一个就是次品部件，恰好称重3次挑出次品部件的概率．Ⅱ设A方案称重时为随机变量X，则X的所有可能取值为4，6，8，10，，，，，随机变量X的分布列为：X 4 68 10P分钟，方案需要用时7分钟，B方案只需且必须称重3次，所以用时为6分钟，，方案用时更少．解析：Ⅰ方案：称重一次不能确定是否是次品部件，称重两次，若重量相同则都是正品邮件，如果有1个较轻，则是次品部件，结束称重，依次进行，直到挑出次品部件，由此能求出恰好称重3次挑出次品部件的概率；B方案：把6个部件任意分成3组，每组2个，第1次稳重不能确定是否有次品部件，第2次称重如果和第1次不同，说明次品部件在较轻的一组中，如果和第一次相同，说明次品部件在第3组，由此能推导出恰好称重3次挑出次品部件的概率．Ⅱ设A方案称重时为随机变量X，则X的所有可能取值为4，6，8，10，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和EX，进而得到A方案需要用时7分钟，B方案只需且必须称重3次，所以用时为6分钟，从而B方案用时更少．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ曲线C的极坐标方程为整理得，转换为直角坐标方程为．Ⅱ由于，该圆是以为圆心，1为半径，已知直线l的参数方程为，t为参数转换为直角坐标方程为曲线C上的点到直线l的最大距离为，所以：圆心到直线l的距离解得．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：当时，函数，不等式等价于或或；解得，或；所以不等式的解集为；不等式的解集包含，即在上恒成立，当时，不等式化为，即，解得，即；所以，解得；当时，不等式化为，即，解得，即对任意恒成立；所以，解得；综上知，实数a的取值范围是．解析：本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．时函数，利用分段讨论法去掉绝对值，求不等式的解集即可；不等式的解集包含，即不等式在上恒成立，讨论x的取值，去掉绝对值，把不等式化为关于的不等式，再求实数a的取值范围．。

黄浦区高考模拟考数学试卷(理科)(4月14日)考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数()f x =的定义域是 ． 2．已知全集{}2U =-，-1，0，1，2，集合2|1A x x x n Z n ⎧⎫==∈⎨⎬-⎩⎭，、，则U C A = ． 3．已知函数1()y fx -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= (要求写明自变量的取值范围)．4．双曲线22231x y -=的渐近线方程是 ． 5．若函数()2cos(4)17f x x π=+-与函数()5tan(1)2g x ax =-+的最小正周期相同，则实数a = ．6．已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，*()n S n N ∈是数列的前n 项和，则2lim1nn S n →∞-= ．7．直线110l y -+=，250l x +=：，则直线1l 与2l 的夹角为= ． 8．已知01()m m R <<∈，α是方程210x mx ++=的根，则||α= ． 9．2151()x x-的二项展开式中的常数项是 (用数值作答) ．10．已知12e e 、是平面上两个不共线的向量，向量122a e e =-，123b me e =+．若a b ，则实数m = ．11．已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= (用数值作答)．12．已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0)αβπ∈、，，角β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α= ．13．一个不透明的袋中装有白球、红球共9个(9个球除颜色外其余完全相同)，经充分混合后，从袋中随机摸出2球，且摸出的2球中至少有一个是白球的概率为56，现用ξ表示摸出的2个球中红球的个数，则随机变量ξ的数学期望E ξ= ．14．已知点1212(2)(2)x x A x B x ，、，是函数2xy =的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图像的上方，因此有结论121222222x x x x ++>成立．运用类比思想方法可知，若点1122(sin )(sin )A x x B x x ，、，是函数sin ((0))y x x =∈π，的图像上的不同两点，则类似地有 成立．二．选择题(本大题满分16分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 15．已知x a α≥：，1|1x β-<：|．若α是β的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是 [答]( ) A ．0a ≥． B ．0a ≤． C ．2a ≥． D ．2a ≤．16．在极坐标系中，圆C 过极点，且圆心的极坐标是()a π，(a 是正数)，则圆C 的极坐标方程是[答]( )A ．32cos ()22a ππρ=-θ≤θ<． B ．cos (0)a ρ=θ≤θ<π． C ．32sin ()22a ππρ=-θ≤θ<． D ．sin (0)a ρ=θ≤θ<π．17．已知直线1l ax by +=：，点()P a b ，在圆C ：221x y +=外，则直线l 与圆C 的位置关系是 ． [答]( )A 相交B 相切C 相离D 不能确定 18．现给出如下命题：(1)若直线l 与平面α内无穷多条直线都垂直，则直线l α⊥平面； (2)空间三点确定一个平面；(3) 先后抛两枚硬币，用事件A 表示“第一次抛出现正面向上”，用事件B 表示“第二次抛出现反面向上”，则事件A 和B 相互独立且()P AB =111()()224P A P B =⨯=； (4)样本数据11011--，，，，的标准差是1． 则其中正确命题的序号是 [答]( ) A ．(1)、(4)． B ．(1)、(3)． C ．(2)、(3)、(4)． D ．(3)、(4)．A B CD C 1 D 1 A 1B 1三．解答题(本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．在ABC ∆中，记BAC x ∠=(角的单位是弧度制)，ABC ∆的面积为S ，且8AB AC ⋅=≤≤，4S ．(1)求x 的取值范围；(2)就(1)中x 的取值范围，求函数22()()2cos 4f x x x π=++最小值．20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ． (1)求点1C 到平面11AB D 的距离；(2)求平面11CDD C 与平面11AB D 所成的二面角(结果用反三角函数值表示)．21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．已知函数42()(1)1x f x x x R x -=≠-∈+，，数列{}n a 满足 1(1)a a a a R =≠-∈，，*1()()n n a f a n N +=∈．(1)若数列{}n a 是常数列，求a 的值； (2)当14a =时，记*2()1n n n a b n N a -=∈-，证明数列{}n b 是等比数列，并求出通项公式n a ． 22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．已知函数21()log (01)1am mxf x a a x --=>≠+，是奇函数，定义域为区间D (使表达式有意义的实数x 的集合)．(1)求实数m 的值，并写出区间D ；(2)若底数1a >，试判断函数()y f x =在定义域D 内的单调性，并说明理由； (3)当[)x A a b ∈=，(A D ≠⊂，a 是底数)时，函数值组成的集合为[1)+∞，，求实数a b、的值．23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知点P 是直角坐标平面内的动点，点P 到直线12l x =-：的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d，且212d d =．(1)求动点P 所在曲线C 的方程；(2)直线l 过点F 且与曲线C 交于不同两点A 、B (点A 或B 不在x 轴上)，分别过A 、B 点作直线1:2l x =-的垂线，对应的垂足分别为M N 、，试判断点F 与以线段MN 为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；(3)记1FAM S S ∆=，2FMN S S ∆=，3FBN S S ∆=(A 、B 、M N 、是(2)中的点)，问是否存在实数λ，使2213S S S =λ成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．进一步思考问题：若上述问题中直线21:a l x c=-、点(0)F c -，、曲线C：22221(0x y a b c a b +=>>=，，则使等式2213S S S =λ成立的λ的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．黄浦区高考模拟考数学试卷(理科)(4月14日)参考答案和评分标准说明：1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分。

江苏省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）(2017·宝鸡模拟) 如图，已知R是实数集，集合A={x|log （x﹣1）＞0}，B={x| ＜0}，则阴影部分表示的集合是（）A . [0，1]B . [0，1）C . （0，1）D . （0，1]2. （2分）等差数列的前n项和为，且9， 3，成等比数列. 若=3，则= （）A . 7B . 8C . 12D . 163. （2分） (2018高二下·衡阳期末) 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A . 第四象限B . 第三象限C . 第二象限D . 第一象限4. （2分）(2020·江西模拟) 某几何体的三视图如图所示（网格中的每个网格小正方形的边长为单位1），则该几何体的体积为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二上·包头期中) 已知方程﹣ =1表示双曲线，那么k的取值范围是（）A . k＞5B . ﹣2＜k＜2C . k＞2或k＜﹣2D . k＞5或﹣2＜k＜26. （2分） 2名厨师和3位服务员共5人站成一排合影，若厨师不站两边，则不同排法的种数是（）A . 60B . 48C . 42D . 367. （2分）十七世纪英国著名数学家、物理学家牛顿创立的求方程近似解的牛顿迭代法，相较于二分法更具优势，如图给出的是利用牛顿迭代法求方程x2=6的正的近似解的程序框图，若输入a=2，ɛ=0.02，则输出的结果为（）A . 3B . 2.5C . 2.45D . 2.44958. （2分）函数在区间上的零点个数为（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个9. （2分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A . a+c≥b-cB . ac＞bcC . ＞0D . （a﹣b）≥010. （2分） (2019高一下·镇江期末) 若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°11. （2分）(2018·朝阳模拟) 已知点是抛物线上的一点，是其焦点，定点，则的外接圆的面积为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二上·三明月考) 如图，空间四边形OABC中，，点M是OA 的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）(2017·常德模拟) 的展开式中，x3的系数是________．（用数字填写答案）14. （1分） (2019高三上·东莞期末) 设随机变量，且，则________．15. （1分）已知连续2n+1（n∈N*）个正整数总和为a，且这些数中后n个数的平方和与前n个数的平方和之差为b．若，则n的值为________16. （1分） (2020高二上·天津期末) 已知实数为函数的极小值点,则 ________.三、解答题： (共7题；共60分)17. （10分）(2019高二上·息县月考) 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求A；（2）若，求sinC．18. （10分） (2016高一下·唐山期末) 参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：（1）求参加数学抽测的人数n、抽测成绩的中位数及分数分别在[80，90），[90，100]内的人数；（2）若从分数在[80，100]内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在[90，100]内的概率．19. （10分） (2016高二上·安徽期中) 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ， O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O∥面AB1D1；（2）面OC1D∥面AB1D1 ．20. （10分）(2017·惠东模拟) 设椭圆C： + =1（a＞b＞0），定义椭圆的“伴随圆”方程为x2+y2=a2+b2；若抛物线x2=4y的焦点与椭圆C的一个短轴重合，且椭圆C的离心率为．（1）求椭圆C的方程和“伴随圆”E的方程；（2）过“伴随圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，延长PA与“伴随圆”E交于点Q，O为坐标原点．①证明：PA⊥PB；②若直线OP，OQ的斜率存在，设其分别为k1 ， k2 ，试判断k1k2是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．21. （10分） (2019高二下·哈尔滨月考) 已知（1）求的单调区间；（2）当时，是否存在实数，使得成立，若存在求出，若不存在说明理由.22. （5分）(2017·亳州模拟) 已知直线l的参数方程是（t是参数），圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+ ）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．23. （5分）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|+a（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个实数根，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、。

杭州市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）如果全集，，，则等于（）A .B . （2，4）C .D .2. （2分）复数的值为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二下·牡丹江月考) 若展开式的常数项为60，则值为（）A .B .C .D .4. （2分）若，则a,b,c的大小关系是（）A . a<b<cB . b<c<aC . c<b<aD . c<a<b5. （2分）(2018·石嘴山模拟) 一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于（）A . 2B .C .D .6. （2分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A . 3B . -6C . 10D . -157. （2分） (2016高一下·新余期末) 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜）其中的图象如图所示，为了得到g（x）=cos（2x﹣）的图象，只需将f（x）的图象（）A . 向左平移个单位B . 向右平移个单位C . 向左平移个单位D . 向右平移个单位8. （2分） (2017高一上·福州期末) 圆上存在两点关于直线对称，则实数的值为（）A . 6B . －4C . 8D . 无法确定9. （2分）不等式组表示的平面区域为D，区域D关于直线x-3y-3=0的对称区域为E，则区域D和E中距离最近的两点间距离为（）A .B .C .D .11. （2分） (2015高二下·九江期中) 抛物线y=2x2的准线方程是（）A .B .C .D . y=﹣12. （2分） (2016高三上·邯郸期中) “x=2”是“（x﹣2）•（x+5）=0”的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件二、填空题 (共4题；共4分)14. （1分）化简： + （π＜α＜）=________．15. （1分） G（x）表示函数y=2cosx+3的导数，在区间上，随机取值a，G（a）＜1的概率为________16. （1分）(2018·鞍山模拟) 在中，角所对的边分别为，，的面积，则的周长为________．三、解答题 (共7题；共60分)18. （5分）(2016·北区模拟) 某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院机械工程学院海洋学院医学院经济学院人数4646（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．19. （10分）(2012·广东) 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．20. （10分）(2017·龙岩模拟) 已知圆M：x2+y2+2y﹣7=0和点N（0，1），动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B、C在曲线E上，若直线AB、AC的斜率k1，k2，满足k1k2=4，求△ABC面积的最大值．21. （10分）(2019·鞍山模拟) 已知函数．（1）当时，求在，（1）处的切线方程；（2）当，时，恒成立，求的取值范围．22. （10分） (2019高三上·安顺月考) 在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）求和的直角坐标方程；（2）设点，直线交曲线于两点，求的值.23. （5分） (2015高二下·永昌期中) 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客入住房间，宾馆每间每天将花费20元的各种费用．当房间定价为多少的时候，宾馆获得的利润最大？参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

银川市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共10题；共20分)2. （2分）(2018·衡水模拟) 设全集为实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A .B .C .D .3. （2分）从2007名学生中选取50名参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的可能性（）A . 都相等，且为B . 不全相等C . 均不相等D . 都相等，且为4. （2分） (2016高一上·兴国期中) 已知定义域为R的函数f（x）既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x∈（0，）时，f（x）=sinπx，f（）=0，则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（）A . 9B . 7C . 5D . 35. （2分）设，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（）A . 充分而不必要的条件B . 必要而不充分的条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要的条件6. （2分） (2016高一下·邵东期末) 过点P(1,)作圆O:x2+y2=1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长|AB|=（）A .B . 2C .D . 47. （2分）下列命题不正确的是（）A . 若是连续的奇函数，则B . 若是连续的偶函数，则C . 若在上连续且恒正，则D . 若在上连续且，则在上恒正8. （2分） (2019高一上·台州期中) 若函数，，则函数的值域（）A . ［4，5］B . ［4，］C . ［，5］D . ［1，3］9. （2分）已知||＝3，||＝4（且与不共线），若（k＋）⊥（k－），则k的值为（）A . －B .C . ±D . ±10. （2分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x﹣2），当x∈（1，3）时，f（x）=1+（x﹣2）2 ，则（）A . f（sin ）＞f（sin ）B . f（sin ）＜f（cos ）C . f（cos ）＞f（cos ）D . f（tan ）＜f（tan ）二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）(2016·浙江文) 设双曲线x2﹣ =1的左、右焦点分别为F1、F2 ，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是________．12. （1分） (2016高二下·凯里开学考) 在约束条件下，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则ab的最大值等于________．13. （1分） (2017高二下·中山期末) 已知（1﹣x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a5x5 ，则（a0+a2+a4）（a1+a3+a5）的值等于________．14. （1分）(2017·芜湖模拟) 如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为________．15. （1分） (2016高一上·沈阳期中) 已知log3[log4（log2x）]=0，则x=________．三、解答题： (共6题；共50分)16. （5分）(2017·晋中模拟) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 = ．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2 ，求△ABC面积的最大值．17. （10分） (2016高三上·苏州期中) 某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A，B，C 三个测试项目．假定张某通过项目A的概率为，通过项目B，C的概率均为a（0＜a＜1），且这三个测试项目能否通过相互独立．（1）用随机变量X表示张某在测试中通过的项目个数，求X的概率分布和数学期望E（X）（用a表示）；（2）若张某通过一个项目的概率最大，求实数a的取值范围．18. （5分） (2016高二上·金华期中) 如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为a，M是BC的中点，侧面B1C1CB⊥底面ABC，且AC1⊥BC．（Ⅰ）求证：BC⊥C1M；（Ⅱ）求二面角A1﹣AB﹣C的平面角的余弦值．19. （10分） (2016高二下·汕头期末) 已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+n，n∈N* ．（1）求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N*，求数列{an•bn}的前n项和Tn．20. （10分） (2016高二下·漯河期末) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）过点A（﹣，），离心率为，点F1 ， F2分别为其左右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN．求四边形PMQN面积的最小值．21. （10分） (2017高二下·福州期末) 已知函数f（x）=lnx，g（x）=0.5x2﹣bx，（b为常数）．（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与函数g（x）的图象相切，求实数b的值；（2）若函数h（x）=f（x）+g（x）在定义域上不单调，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题： (共10题；共20分)2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题： (共6题；共50分) 16-1、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。

高考数学模拟试卷（理科）（一）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知x，y∈R，集合A={2，log3x}，集合B={x，y}，若A∩B={0}，则x+y=（）A. B. 0 C. 1 D. 32.若复数z1=1+i，z2=1-i，则下列结论错误的是（）A. z1•z2是实数B. 是纯虚数C. |z|=2|z2|2D. z=4i3.已知=（-1，3），=（m，m-4），=（2m，3），若，则（）A. -7B. -2C. 5D. 84.如图，是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（）A.B.C.D.5.已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（4，0），且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（）A. =1B.C. =1D. =1或=16.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 8π+6B. 6π+6C. 8π+12D. 6π+127.设x，y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A. [-2，2]B. [-4，4]C. [0，4]D. [0，2]8.已知△ABC中，sin A，sin B，sin C成等比数列，则的取值范围是（）A. B. C. D.9.在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人--宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（）A. B. C. D.10.若过点P（a，a）与曲线f（x）=x lnx相切的直线有两条，则实数a的取值范围是（）A. （-∞，e）B. （e，+∞）C. （0，）D. （1，+∞）11.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A-BD-C的余弦值为，则该四面体ABCD外接球的体积为（）A. B. 8π C. D. 36π12.已知函数f（x）=e x-ln（x+3），则下面对函数f（x）的描述正确的是（）A. ∀x∈（-3，+∞），f（x）≥B. ∀x∈（-3，+∞），f（x）C. ∃x0∈（-3，+∞），f（x0）=-1D. f（x）min∈（0，1）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.将函数f（x）=2sin（2x+φ）（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，得到偶函数g（x）的图象，则φ的最大值是______．14.已知a＞0，b＞0，（ax+）6展开式的常数项为，则a+2b的最小值为______．15.已知函数f（x）=，若f（x）-（m+2）x≥0，则实数m的取值范围是______．16.设过抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点P（异于原点O）的直线与抛物线y2=8px（p＞0）交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px（p＞0）的另一个交点为Q，则=______.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.若数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=2，且a n b n+b n=nb n+1．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n=，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式（-1）nλ＜T n+对一切n∈N*，求实数λ的取值范围．18.如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD=DE，∠ADE=90°，∠ADC=∠DCB=120°．（1）证明：平面ABCD⊥平面EDCF；（2）求直线AF与平面BDF所成角的正弦值．19.经销商第一年购买某工厂商品的单价为a（单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了50个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图．已知某经销商下一年购买该商品的单价为X（单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率．（1）求X的平均估计值．（2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动．每次获奖的记（单位：元）表示某经销商参加这次活动获得的奖金，求的分布列及数学期望..20.如图，已知椭圆的离心率为，E的左顶点为A、上顶点为B，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为．（I）求椭圆的方程；（II）设C，D是椭圆E上两不同点，CD∥AB，直线CD与x轴、y轴分别交于M，N两点，且的取值范围．21.已知f′（x）为函数f（x）的导函数，f（x）=e2x+2f（0）e x-f′（0）x．（1）求f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，af（x）＜e x-x恒成立，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的标准方程为（x-3）2+（y-3）2=4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；（2）若射线θ=与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB 的中点，求a的值．23.已知f（x）=|mx+3|-|2x+n|．（1）当m=2，n=-1时，求不等式f（x）＜2的解集；（2）当m=1，n＜0时，f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A∩B={0}；∴0∈A，0∈B；∴log3x=0；∴x=1，y=0；∴x+y=1．故选：C．根据A∩B={0}即可得出0∈A，0∈B，这样即可求出x，y的值，从而求出x+y的值．考查列举法表示集合的概念，交集的概念及运算，以及元素与集合的关系．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算及复数模的求法逐一判断得答案．【解答】解：∵z1=1+i，z2=1-i，∴z1•z2=1-i2=2，故A正确；，故B正确；，，故C正确；，故D错误．故选：D．3.【答案】A【解析】解：=（-1，3），=（m，m-4），=（2m，3），若，则-1×（m-4）-3×m=0；解得m=1；∴=（1，-3）=（2，3）；=1×2+（-3）×3=-7．故选：A．根据平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算法则，计算即可．本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：连结AE，结合图象可知弓形①与弓形②面积相等，将弓形①移动到②的位置，则阴影部分将构成一个直角三角形，则阴影部分的面积为正方形面积的，则向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率P=，故选：D．根据图象的关系，求出阴影部分的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．本题主要考查几何概型的概率公式的应用，求出阴影部分的面积是解决本题的关键．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，以及两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查方程思想和运算能力，属于基础题．由题意可得c=4，由双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得a=b，解方程可得a，b的值，即可得到所求双曲线的方程．【解答】解：双曲线C：（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（4，0），可得c=4，即有a2+b2=c2=16，双曲线的两条渐近线互相垂直，即直线y=x和直线y=-x垂直，可得a=b，解方程可得a=b=2，则双曲线的方程为-=1．故选A．6.【答案】B【解析】解：几何体是组合体，上部是半圆柱，下部是半球，圆柱的底面半径与球的半径相同为1，圆柱的高为3，几何体的表面积为：2π×12+12×π+2×3+3π=6+6π．故选：B．由题意判断几何体的形状，然后求解几何体的表面积即可．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．7.【答案】B【解析】解：作出约束条件所对应的可行域，（如图中阴影部分所示），变形目标函数z=2x+y，可得y=-2x+z，平移直线y=-2x可知，当直线经过点A（-2，0）时，目标函数取最小值-4，当直线经过点B（2，0）时，目标函数取最大值4，故z=-2x+y的取值范围为[-4，4]．故选：B．作出约束条件所对应的可行域，变形目标函数，平移直线y=2x可得结论．本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：∵在△ABC中，sin A、sin B、sin C依次成等比数列，∴sin2B=sin A sin C，利用正弦定理化简得：b2=ac，由余弦定理得：cos B===（+）-≥2-=（当且仅当a=c时取等号），∴cos B≥，∴B的范围为（0，]，设y==，设sin B+cos B=t，则2sin B cosB=t2-1，由于t=sin B+cos B=sin（B+），B∈（0，]，知t∈（1，]，故y===t-，t∈（1，]，∵y=t-，在（1，]上是增函数，∴y∈（0，]，故选：B．由sin A、sin B、sin C依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cos B，把得出关系式代入并利用基本不等式求出cos B的范围，再设sin B+cos B=t，可得y=t-，在（1，]上是增函数，即可求出．本题考查了解三角形，辅助角公式与函数值域综合，考查了转化与化归思想，属于中档题．9.【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．【解答】解：由已知中程序的功能，可得循环变量的初值为1，终值为64，由于四个答案均为直到条件不满足时退出循环，故循环条件应为n≤64，而每次累加量构造一个以1为首项，以2为公式的等比数列，由S n=2n-1得：S n+1=2n+1-1=2S n+1，故循环体内S=1+2S，故选：C．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想，以及运算能力，属于中档题．设切点为（m，m lnm），求出导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式可得=，设g（m）=，求出导数和单调区间，可得最大值，由题意可得0＜＜，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：设切点为（m，m lnm），f（x）=x lnx的导数为f′（x）=1+ln x，可得切线的斜率为1+ln m，由切线经过点P（a，a），可得1+ln m=，化简可得=，（*），由题意可得方程（*）有两解，设g（m）=，可得g′（m）=，当m＞e时，g′（m）＜0，g（m）递减；当0＜m＜e时，g′（m）＞0，g（m）递增．可得g（m）在m=e处取得最大值，即有0＜＜，此时有两个解，解得a＞e．故选：B．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查四面体的外接球的体积的求法，考查四面体、球等基础知识，考查运用求解能力、空间想象能力、探索能力、转化与化归思想，是中档题．正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的体积．【解答】解：如图所示，取BD中点F，连结AF、CF，则AF⊥BD，CF⊥BD，∴∠AFC是二面角A-BD-C的平面角，过A作AE⊥平面BCD，交CF延长线于E，∴cos∠AFC=-，cos，AF=CF==3，∴AE=2，EF=1，设O为球心，过O作OO′⊥CF，交CF于O′，作OG⊥AE，交AE于G，设OO′=x，∵O′B=CF=2，O′F==1，设外接球的半径为R，则,∴由勾股定理得R2=O′B2+OO'2=4+x2=OG2+AG2=（1+1）2+（2-x）2，解得x=，∴R2=6，即R=，∴四面体的外接球的体积为V=πR3==8π．故选B．12.【答案】B【解析】解：因为函数f（x）=e x-ln（x+3），定义域为（-3，+∞），所以f′（x）=e x-，易知导函数f′（x）在定义域（-3，+∞）上是单调递增函数，又f′（-1）＜0，f′（-）＞0，所以f′（x）=0在（-3，+∞）上有唯一的实根，不妨将其设为x0，且x0∈（-1，-），则x=x0为f（x）的最小值点，且f′（x0）=0，即=，两边取以e为底的对数，得x0=-ln（x0+3）故f（x）≥f（x0）=-ln（x0+3）=-ln（x0+3）=+x0，因为x0∈（-1，-），所以2＜x0+3，故f（x）≥f（x0）=＞2+=-，即对∀x∈（-3，+∞），都有f（x）＞-．故选：B．本题首先要对函数f（x）=e x-ln（x+3）进行求导，确定f′（x）在定义域上的单调性为单调递增函数，然后再利用当x∈（a，b）时，利用f′（a）f′（b）＜0确定导函数的极值点x0∈（-1，-）从而．得到x=x0时是函数f（x）的最小值点．本题表面考查命题的真假判断，实际上是考查函数的求导，求最值问题，准确计算是基础，熟练运用知识点解决问题是关键．13.【答案】【解析】解：函数f（x）=2sin（2x+φ）（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，得f（x+）=2sin[2（x+）+φ]=2sin（2x+φ+）的图象，∴g（x）=2sin（2x++φ）；又g（x）是偶函数，∴+φ=+kπ，k∈Z；∴φ=-+kπ，k∈Z；又φ＜0，∴φ的最大值是-．故答案为：-．根据三角函数图象平移法则，结合函数的奇偶性求出φ的最大值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．14.【答案】2【解析】解：（ax+）6展开式的通项为x6-2r，由6-2r=0，得r=3．∴，即．∴a+2b，当且仅当a=2b，即a=1，b=时，取“=”．∴a+2b的最小值为2．故答案为：2．写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，可得ab=，再由基本不等式求a+2b的最小值．本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．15.【答案】[-2，1]【解析】解：若f（x）-（m+2）x≥0，即有f（x）≥（m+2）x，分别作出函数f（x）和直线y=（m+2）x的图象，由直线与曲线相切于原点时，（x2+3x）′=2x+3，则m+2=3，解得m=1，由直线绕着原点从x轴旋转到与曲线相切，满足条件．即有0≤m+2≤3，解得-2≤m≤1．故答案为：[-2，1]．由题意可得f（x）≥（m+2）x，分别作出函数f（x）和直线y=（m+2）x的图象，由直线与曲线相切于原点时，求出m=1，通过图象观察，即可得到所求m的范围．本题考查函数恒成立问题的解法，注意运用数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题16.【答案】3【解析】【分析】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．解：设直线OP方程为y=kx（k≠0），联立方程组求出P，Q的坐标，计算OP，PQ的比值得出结论．【解答】解：如图所示：联立方程组，解得P（，），联立方程组，解得Q（，），∴|OP|==，|PQ|==，∴==3．故答案为：3．17.【答案】解：（Ⅰ）∵数列{b n}满足b1=1，b2=2，且a n b n+b n=nb n+1，∴a1+1=2，解得a1=1，又数列{a n}是公差为2的等差数列，∴a n=1+2（n-1）=2n-1，∴2nb n=nb n+1，即2b n=b n+1，∴数列{b n}是等比数列，首项为1，公比为2，∴b n=2n-1；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n===，数列{c n}的前n项和为T n=1++…+，∴=+…++，作差得=1+++…+-=-=2-，∴T n=4-，不等式（-1）nλ＜T n+，化为（-1）nλ＜4-，当n=2k（k∈N*）时，λ＜4-恒成立，∵y=4-在n≥2时单调递增，∴y的最小值为3，∴λ＜3；当n=2k-1（k∈N*）时，λ>-4+恒成立，∵y=-4+在n≥1时单调递减，∴y的最大值为-2，∴λ＞-2．综上可得：实数λ的取值范围是（-2，3）．【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、数列递推关系、“错位相减法”，属于中档题．（Ⅰ）数列{b n}满足b1=1，b2=2，且a n b n+b n=nb n+1，利用等差数列的通项公式可得a n．可得2nb n=nb n+1，利用等比数列的通项公式可得b n；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n===，利用“错位相减法”可得数列{c n}的前n项和为T n，再利用数列的单调性与分类讨论即可得出．18.【答案】证明：（1）因为AD⊥DE，DC⊥DE，AD、CD⊂平面ABCD，且AD∩CD=D，所以DE⊥平面ABCD．又DE⊂平面EDCF，故平面ABCD⊥平面EDCF．解：（2）由已知DC∥EF，平面ABFE，平面ABFE，所以DC∥平面ABFE．又平面ABCD∩平面ABFE=AB，故AB∥CD．又因为∠ADC=∠DCB=120°，所以四边形ABCD为等腰梯形．又AD=DE，所以AD=CD=BC，又∠DCB=120°，则∠CDB=∠CBD=30°，所以∠ADB=∠ADC-∠CDB=90°，即AD⊥BD，令AD=1，如图，以D为原点，以DA为x轴，建立空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），A（1，0，0），F（-，，1），B（0，，0），∴=（，-，-1），=（0，，0），=（-，，1）．设平面BDF的法向量为=（x，y，z），则，取x=2，可得y=0，z=1，得=（2，0，1），cos＜，＞=，设直线与平面BDF所成的角为θ，则sinθ=．所以直线AF与平面BDF所成角的正弦值为．【解析】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（1）推导出AD⊥DE，DC⊥DE，从而DE⊥平面ABCD．由此能证明平面ABCD⊥平面EDCF．（2）以D为原点，以DA为x轴，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出直线AF与平面BDF所成角的正弦值．的平均估计值为：a×0.2+0.9a×0.36+0.85a×0.24+0.8a×0.12+0.75a×0.1+0.7a×0.04=0.873a．（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为0.24+0.12+0.04=0.5=．Y的取值为5000，10000，15000，20000．P（Y=5000）=，P（Y=10000）==，P（Y=15000）==，P（Y=20000）==．E（Y）=+20000×=9375（元）．【解析】（1）由统计表和柱状图能得到X的平均估计值．（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为0.24+0.12+0.04=0.5=．Y的取值为5000，10000，15000，20000．分别求出相应的概率，由此能求出Y的分布列和E（Y）．本题考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．20.【答案】解：（I）由题意知：，∴a2=4，b2=1，∴椭圆方程为．（II）∵A（-2，0），B（0，1），∴．由CD∥AB，设直线CD的方程为，由已知，得M（-2m，0），N（0，m），设C（x1，y1），D（x2，y2），由，得x2+2mx+2m2-2=0，△=（2m）2-4（2m2-2）＞0，∴m2＜2，∴x1+x2=-2m，x1x2=2m2-2，由得（x1+2m，y1）=λ（-x1，m-y1），∴x1+2m=-λx1，即，同理，由，得，∴=，由m2＜2，得，∴λ+μ∈（-∞，-2]∪（2，+∞）．【解析】（I）由题意知：，由此能求出椭圆方程．（II）由A（-2，0），B（0，1），知．由CD∥AB，设直线CD的方程为，由已知，得M（-2m，0），N（0，m），设C（x1，y1），D（x2，y2），由，得x2+2mx+2m2-2=0，再由根的判别式和韦达定理知，同理，，由此能求出λ+μ∈（-∞，-2]∪（2，+∞）．本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．21.【答案】解：（1）由f（0）=1+2f（0），得f（0）=-1．因为f′（x）=2e2x-2e x-f′（0），所以f′（0）=2-2-f′（0），解得f′（0）=0．所以f（x）=e2x-2e x，f′（x）=2e x（e x-1），当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，则函数f（x）在（-∞，0）上单调递减；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（2）令g（x）=af（x）-e x+x=ae2x-（2a+1）e x+x，根据题意，当x∈（0，+∞）时，g（x）＜0恒成立．g′（x）=（2ae x-1）（e x-1）．①当0＜a＜，x∈（-ln2a，+∞）时，g′（x）＞0恒成立，所以g（x）在（-ln2a，+∞）上是增函数，且g（x）∈（g（-ln2a），+∞），所以不符合题意；②当a≥，x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上是增函数，且g（x）∈（g（0），+∞），所以不符合题意；③当a≤0时，因为x∈（0，+∞），所有恒有g′（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上是减函数，于是“g（x）＜0对任意x∈（0，+∞）都成立”的充要条件是g（0）≤0，即a-（2a+1）≤0，解得：a≥-1，故-1≤a≤0．综上，a的取值范围是[-1，0]．【解析】（1）求出函数的导数，计算f（0），求出f′（0）的值，求出函数的单调区间即可；（2）令g（x）=af（x）-e x+x，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的最值，从而确定a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．22.【答案】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴在直线l的参数方程中消去t可得直线l的普通方程为x-y-=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入以上方程中，得到直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ-=0．∵圆C的标准方程为（x-3）2+（y-3）2=4，∴圆C的极坐标方程为ρ2-6ρcosθ-6ρsinθ+14=0．（2）在极坐标系中，由已知可设M（），A（），B（ρ3，）．联立，得，∴ρ2+ρ3=3+3．∵点M恰好为AB的中点，∴，即M（，）．把M（，）代入，得×-=0，解得a=．【解析】本题考查直线和圆的极坐标方程的求法，考查实数值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．（1）直线l的参数方程消去t可得直线l的普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，能求出直线l的极坐标方程．由圆的标准方程能求出圆C的极坐标方程．（2）设M（），A（），B（ρ3，）．联立，得，从而ρ2+ρ3=3+3，进而M（，）．把M（，）代入，能求出a的值．23.【答案】解：（1）当m=2，n=-1时，f（x）=|2x+3|-|2x-1|，不等式f（x）＜2等价于或或，解得：x＜-或-≤x＜0，即x＜0．所以不等式f（x）＜2的解集是（-∞，0）．（2）由题设可得，f（x）=|x+3|-|2x+n|=，所以函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为：A（-，0），B（3-n，0），C（-，3-），所以三角形ABC的面积为（3-n+）（3-）=，由＞24，解得：n＞18或n＜-6．∵n＜0，∴n＜-6.故n的取值范围是.【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．（1）代入m，n的值，分类讨论得到关于x的不等式组，解出即可；（2）求出A，B，C的坐标，表示出三角形的面积，得到关于n的不等式，解出即可．。

福建省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i与2﹣bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．3﹣4iB．3+4iC．5﹣4iD．5+4i2．执行如图所示的程序框图，若要使输出的y的值等于3，则输入的x的值可以是（）A．1B．2C．8D．93．已知cos（α+）=，﹣＜α＜，则sin2α的值等于（）A． B．﹣C． D．﹣4．已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“a+b＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件5．（5）若xy满足约束条件，则的取值范围为（）A．[﹣，]B．[﹣，1]C．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）6．已知等比数列{a n}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为T n，且a2a4=a3，则使得T n＞1的n的最小值为（）A．4B．5C．6D．77．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各个面的面积中，最小的值为（）A．2B．8C．4D．88．在△ABC中，∠A=，AB=2，AC=3， =2，则=（）A．﹣B．﹣C． D．9．若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．10．在三棱锥P﹣ABC中，PA=2，PC=2，AB=，BC=3，∠ABC=，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．4πB．πC．πD．16π11．已知F1，F2分别为双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若点P是以F1F2为直径的圆与C右支的﹣个交点，F1P交C于另一点Q，且|PQ|=2|QF1|．则C的渐近线方程为（）A．y=±2xB．y=±xC．y=±xD．y=±x12．已知f（x）是定义在R上的减函数，其导函数f′（x）满足+x＜1，则下列结论正确的是（）A．对于任意x∈R，f（x）＜0B．对于任意x∈R，f（x）＞0C．当且仅当x∈（﹣∞，1），f（x）＜0D．当且仅当x∈（1，+∞），f（x）＞0二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若随机变量X～N（μ，σ2），且P（X＞5）=P（X＜﹣1）=0.2，则P（2＜X＜5）=．14．若（ax+）（2x+）5展开式中的常数项为﹣40，则a=．15．若数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且a1=1，S n+1+S n=（n∈N*），则a25=．16．已知点，且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数的图象上，则四边形ABCD的面积为．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．△ABC中，B=，点D在边AB上，BD=1，且DA=DC．（Ⅰ）若△BCD的面积为，求CD；（Ⅱ）若AC=，求∠DCA．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB=AC=1，BB1=2，∠ABB1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥B1C；（Ⅱ）若B1C=2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值．19．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含 40 单）的部分每单抽成4元，超出 40 单的部分每单抽成6元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数38 39 40 41 42天数20 40 20 10 10乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数38 39 40 41 42天数10 20 20 40 10（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙公司送餐员日工资X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于S，T两点，以P（3，0）为圆心的圆过点S，T，且∠SPT=90°（Ⅰ）求抛物线E和圆P的方程；（Ⅱ）设M是圆P上的点，过点M且垂直于FM的直线l交E于A，B两点，证明：FA⊥FB．21．已知函数f（x）=ax﹣ln（x+1），g（x）=e x﹣x﹣1．曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处的切线相同（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x≥0时，g（x）≥kf（x），求k的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，且D，C，E，G四点共圆．（Ⅰ）求证：∠BAD=∠ACG；（Ⅱ）若GC=1，求AB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|．（I）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（Ⅱ）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．福建省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i与2﹣bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．3﹣4iB．3+4iC．5﹣4iD．5+4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由a+i与2﹣bi互为共轭复数，求出a、b的值，然后代入（a+bi）2，再由复数代数形式的乘法运算化简，则答案可求．【解答】解：∵a+i与2﹣bi互为共轭复数，∴a=2，b=1．则（a+bi）2=（2+i）2=3+4i．故选：B．2．执行如图所示的程序框图，若要使输出的y的值等于3，则输入的x的值可以是（）A．1B．2C．8D．9【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值，由y=3，分类讨论即可得解．【解答】解：根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值．y=3，可得：当x≤1时，x2﹣1=3，解得：x=﹣2或2（舍去）；当1＜x≤2时，3x=3，解得：x=1（舍去）；当x＞2时，log2x=3，解得：x=8．比较各个选项，则输入的x的值可以是8．故选：C．3．已知cos（α+）=，﹣＜α＜，则sin2α的值等于（）A． B．﹣C． D．﹣【考点】二倍角的余弦．【分析】由题意和诱导公式可得sinα，由同角三角函数基本关系可得cosα，代入二倍角的正弦公式可得．【解答】解：∵cos（α+）=，∴﹣sinα=，即sinα=﹣，又∵﹣＜α＜，∴cosα==，∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）×=﹣，故选：D．4．已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“a+b＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【解答】解：若a=3，b=，满足a+b＞2，但ab＞1不成立，∵a2+b2≥2ab，∴（a+b）2≥4ab，∵ab＞1，∴（a+b）2＞4，∴a+b＞2，故a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“a+b＞2”的充分不必要条件，故选：A5．（5）若xy满足约束条件，则的取值范围为（）A．[﹣，]B．[﹣，1]C．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，结合的几何意义，即可行域内的动点与定点P （1，﹣1）连线的斜率求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点与定点P（1，﹣1）连线的斜率，∵，，∴的取值范围为[]．故选：B．6．已知等比数列{a n}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为T n，且a2a4=a3，则使得T n＞1的n的最小值为（）A．4B．5C．6D．7【考点】等比数列的通项公式．【分析】可解得a3=1，a2＜1，a4＞1；而T5=a35=1，T6=（a3a4）3＞1，从而解得．【解答】解：∵a2a4=a3=a32，∴a3=1；a2＜1，a4＞1∵等比数列{a n}是各项均为正数的递增数列，且T5=a35=1，T6=（a3a4）3＞1，∴使得T n＞1的n的最小值为6，故选：C．7．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各个面的面积中，最小的值为（）A．2B．8C．4D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体为是三棱锥，由三视图判断出线面的位置关系、并求出棱长，判断出几何体的各个面的面积最小的面，并求出此面的面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，且PB⊥平面ABC，底面是一个等腰三角形，且D是底边AC的中点，由三视图得：PB=AC=4，高BD=4，∴AB=AC==＞4，∵PB⊥BC，PB⊥AB，∴PC＞BC，PA＞AB，∴几何体的各个面的面积中最小的是△ABC，△ABC的面积S==8，故选：B．8．在△ABC中，∠A=，AB=2，AC=3， =2，则=（）A．﹣B．﹣C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可作出图形，根据便可得到，根据条件，AB=2，AC=3进行数量积的运算便可求出的值，从而得出的值．【解答】解：如图，；∴；∴；∴===．故选：C．9．若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由正方形和椭圆的对称性可得，设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由B（a，0），OABC为正方形，可得A（，），C（，﹣），代入椭圆方程，可得a2=3b2，由a，b，c的关系，结合离心率公式，可得所求值．【解答】解：由正方形和椭圆的对称性可得，设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由B（a，0），OABC为正方形，可得A（，），C（，﹣），将A的坐标代入椭圆方程可得+=1，即有a2=3b2，c2=a2﹣b2=a2，即有e==．故选：D．10．在三棱锥P﹣ABC中，PA=2，PC=2，AB=，BC=3，∠ABC=，则三棱锥P ﹣ABC外接球的表面积为（）A．4πB．πC．πD．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用勾股定理证明PA⊥PC，取AC的中点，则OA=OB=OC=OP，即O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，半径为2，即可求出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：由题意，AC==4，∵PA=2，PC=2，∴PA2+PC2=AC2，∴PA⊥PC．取AC的中点，则OA=OB=OC=OP，即O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，半径为2，∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为4πR2=16π．故选：D．11．已知F1，F2分别为双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若点P是以F1F2为直径的圆与C右支的﹣个交点，F1P交C于另一点Q，且|PQ|=2|QF1|．则C的渐近线方程为（）A．y=±2xB．y=±xC．y=±xD．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得PF1⊥PF2，可设|QF1|=t，可得|PQ|=2t，由双曲线的定义可得|PF2|=3t﹣2a，又连接QF2，可得|QF2|=t+2a，运用直角三角形的勾股定理，化简整理计算可得b=2a，运用双曲线的渐近线方程可得．【解答】解：由题意可得PF1⊥PF2，可设|QF1|=t，可得|PQ|=2t，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有|PF2|=3t﹣2a，又连接QF2，可得|QF2|﹣|QF1|=2a，即有|QF2|=t+2a，在直角三角形PF1F2中，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即为（3t）2+（3t﹣2a）2=4c2，①又|PQ|2+|PF2|2=|QF2|2，即有4t2+（3t﹣2a）2=（t+2a）2，②由②可得，3t=4a，代入①，可得16a2+4a2=4c2，即有c=a，b==2a，即有渐近线方程为y=±2x．故选：A．12．已知f（x）是定义在R上的减函数，其导函数f′（x）满足+x＜1，则下列结论正确的是（）A．对于任意x∈R，f（x）＜0B．对于任意x∈R，f（x）＞0C．当且仅当x∈（﹣∞，1），f（x）＜0D．当且仅当x∈（1，+∞），f（x）＞0【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可得[（x﹣1）f（x）]′＞0，结合函数的单调性，从而可判断当x＞1时，f （x）＞0，结合f（x）为减函数可得结论．【解答】解：∵+x＜1，f（x）是定义在R上的减函数，f′（x）＜0，∴f（x）+f′（x）x＞f′（x），∴f（x）+f′（x）（x﹣1）＞0，∴[（x﹣1）f（x）]′＞0，∴函数y=（x﹣1）f（x）在R上单调递增，而x=1时，y=0，则x＜1时，y＜0，当x∈（1，+∞）时，x﹣1＞0，故f（x）＞0，又f（x）是定义在R上的减函数，∴x≤1时，f（x）＞0也成立，∴f（x）＞0对任意x∈R成立，故选：B．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若随机变量X～N（μ，σ2），且P（X＞5）=P（X＜﹣1）=0.2，则P（2＜X＜5）= 0.3．【考点】n次重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】由条件求得μ=2，可得正态分布曲线的图象关于直线x=2对称．求得P（﹣1＜X ＜5）=1﹣P（X＜﹣1）﹣P（X＞5）的值，再根据P（﹣1＜X＜5）=2P（2＜X＜5），求得P（2＜X＜5）的值．【解答】解：∵随机变量X～N（μ，σ2），且P（X＞5）=P（X＜﹣1）=0.2，可得μ==2，正态分布曲线的图象关于直线x=2对称．∴P（﹣1＜X＜5）=2P（2＜X＜5）=1﹣0.2﹣0.2=0.6，∴P（2＜X＜5）=0.3，故答案为：0.3．14．若（ax+）（2x+）5展开式中的常数项为﹣40，则a=﹣3．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据题意，（ax+）（2x+）5展开式中的常数项，是（2x+）5的展开式中项的系数与ax的系数之积，再加上x项的系数与的系数的积，利用（2x+）5展开式的通项公式，求出展开式中含与x项的系数，列出方程求出a的值．【解答】解：（ax+）（2x+）5展开式中的常数项，是（2x+）5的展开式中项的系数与ax的系数之积，再加上x项的系数与的系数的积；又（2x+）5展开式的通项公式为：T r+1=•（2x）5﹣r•=25﹣r••x5﹣2r，令5﹣2r=﹣1，解得r=3，∴T3+1=22••=40•；令5﹣2r=1，解得r=2，∴T2+1=23••x=80•x；∴展开式中的常数项为：40a+80=﹣40，解得a=﹣3．故答案为：﹣3．15．若数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且a1=1，S n+1+S n=（n∈N*），则a25=5﹣2\sqrt{6}．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得a n+1﹣=﹣（an+），分别令n=1，2，3，求出a1，a2，a3，a4，即可猜想答案．【解答】解：∵S n+1+S n=（n∈N*），∴S n+S n=（n≥2），﹣1∴S n+1+S n﹣S n﹣S n=﹣，﹣1∴a n+1+a n=﹣，∴a n+1﹣=﹣（an+），∴a2﹣=﹣（a1+）=﹣2，解得a2=﹣1，∴a3﹣=﹣（a2+﹣）=﹣（﹣1+）=﹣2，解得a3=﹣，a4﹣=﹣（a3+）=﹣（﹣+）=﹣2，解得a4=﹣，于是可以猜想，a25=﹣=5﹣2，故答案为：5﹣2，16．已知点，且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数的图象上，则四边形ABCD的面积为\frac{26}{3}．【考点】向量在几何中的应用．【分析】由条件可设，从而可以得出向量的坐标，根据题意有，从而便得到，这两式联立即可求出x1，x2，从而得出D点的坐标，进一步求出的坐标，从而可以由求出cos∠BAD，从而可得出sin∠BAD，根据即可得出平行四边形ABCD的面积．【解答】解：根据题意设，则：；∵；∴；由②得， =；整理得，x1x2=5，∴带入①式解得，或3（舍去）；∴x1=﹣3；∴；∴；∴，；∴=；∴；∴四边形ABCD的面积为：=．故答案为：．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．△ABC中，B=，点D在边AB上，BD=1，且DA=DC．（Ⅰ）若△BCD的面积为，求CD；（Ⅱ）若AC=，求∠DCA．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求出，（Ⅱ）分别根据正弦定理和诱导公式即可得到sin（2α+）=cosα=sin（﹣α），解得即可．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，∵B=，点D在边AB上，BD=1，∴S△BCD=BD•BC•sin=×1וBC=，∴BC=4，由余弦定理可得CD2=BD2+BC2﹣2BD•BC•cosB=1+16﹣2×1×4×=13，∴CD=，（Ⅱ）设∠DCA=α，∵DA=DC，∴∠A=∠DCA=α，在△ADC中，由正弦定理可得===，∴AD=，在△BDC中，由正弦定理可得=，∴==，∴sin（2α+）=cosα=sin（﹣α），∴2α+=﹣α+2kπ，k∈z，当k=0时，α=，当k=1时，α=+（舍去），故∠DCA=．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB=AC=1，BB1=2，∠ABB1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥B1C；（Ⅱ）若B1C=2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】法一：（Ⅰ）连结AB1，在△ABB1中，由余弦定理得求出AB1，通过计算勾股定理证明AB1⊥AB，以及证明AC⊥AB，推出AB⊥平面AB1C．得到AB⊥B1C．（Ⅱ）以A为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面BCB1的法向量，利用向量的数量积求解AC1与平面BCB1所成角的正弦值．法二：（Ⅱ）过点A作AH⊥平面BCB1，垂足为H，连结HC1，说明∠AC1H为AC1与平面BCB1所成的角．取BC中点P，连结PB1，利用，求出AH，在Rt△AHC1中，求解AC1与平面BCB1所成的角的正弦值即可．【解答】满分．解：法一：（Ⅰ）连结AB1，在△ABB1中，AB=1，BB1=2，∠ABB1=60°，由余弦定理得，，∴，…∴，∴AB1⊥AB．…又∵△ABC为等腰直角三角形，且AB=AC，∴AC⊥AB，又∵AC∩AB1=A，∴AB⊥平面AB1C．又∵B1C⊂平面AB1C，∴AB⊥B1C．（Ⅱ）∵，∴，∴AB1⊥AC．如图，以A为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，∴．设平面BCB1的法向量=（x，y，z），由，得令z=1，得．∴平面BCB1的一个法向量为．…∵，…∴==，…．…∴AC1与平面BCB1所成角的正弦值为．法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）过点A作AH⊥平面BCB1，垂足为H，连结HC1，则∠AC1H为AC1与平面BCB1所成的角．由（Ⅰ）知，AB1⊥AB，，AB=AC=1，B1C=2，∴，∴AB1⊥AC，又∵AB∩AC=A，∴AB1⊥平面ABC，∴．取BC中点P，连结PB1，∵BB1=B1C=2，∴PB1⊥BC．又在Rt△ABC中，AB=AC=1，∴，∴，∴，∴．∵，∴，即，∴．∵AB1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AB1⊥BC，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，B1C1=BC=2，∴AB1⊥B1C1，∴．在Rt△AHC1中，，所以AC1与平面BCB1所成的角的正弦值为．19．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含 40 单）的部分每单抽成4元，超出 40 单的部分每单抽成6元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数38 39 40 41 42天数20 40 20 10 10乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数38 39 40 41 42天数10 20 20 40 10（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙公司送餐员日工资X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，利用等可能事件概率计算公式能求出这两天送餐单数都大于40的概率．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，推导出X的所有可能取值为152，156，160，166，172，由此能求出X的分布列和数学期望．（ⅱ）依题意，求出甲公司送餐员日平均送餐单数，从而得到甲公司送餐员日平均工资，再求出乙公司送餐员日平均工资，由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，则P（M）==．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a=38时，X=38×4=152，当a=39时，X=39×4=156，当a=40时，X=40×4=160，当a=41时，X=40×4+1×6=166，当a=42时，X=40×4+2×6=172．所以X的所有可能取值为152，156，160，166，172．故X的分布列为：X 152 156 160 166 172P∴E（X）==162．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．所以甲公司送餐员日平均工资为70+2×39.5=149元．由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为162元．因为149＜162，故推荐小明去乙公司应聘．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于S，T两点，以P（3，0）为圆心的圆过点S，T，且∠SPT=90°（Ⅰ）求抛物线E和圆P的方程；（Ⅱ）设M是圆P上的点，过点M且垂直于FM的直线l交E于A，B两点，证明：FA⊥FB．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）求出S点坐标，根据|SF|=|PF|列方程解出p即可得出抛物线方程和圆的半径；（II）设M（x0，y0），根据，，列方程得出A，B的坐标与M点坐标的关系，计算并化简即可得出=0．【解答】解：（Ⅰ）将x=代入y2=2px，得y=±p，所以|ST|=2p，又∵∠SPT=90°，∴△SPT是等腰直角三角形，∴|SF|=|PF|，即p=|3﹣|，解得p=2，∴抛物线方程为y2=4x，此时圆P的半径为p=2，∴圆P的方程为（x﹣3）2+y2=8．（Ⅱ）设M（x0，y0），则（x0﹣3）2+y02=8，即y02=﹣x02+6x0﹣1，（*）设A（，y1），B（，y2），则=（x0﹣1，y0），=（，y2﹣y1），=（，y1﹣y0），=（﹣x0，y2﹣y0），∵，，∴，∵y1≠y2，∴，若x0=1，则y0=0，此时不满足（*），故x0﹣1≠0，∴y1+y2=，y1y2=．∴=（）（﹣1）+y1y2=+1+=﹣+1+===0．∴AF⊥BF．21．已知函数f（x）=ax﹣ln（x+1），g（x）=e x﹣x﹣1．曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处的切线相同（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x≥0时，g（x）≥kf（x），求k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，根据f′（0）=g′（0），求出a的值，从而解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）先求出x≥ln（x+1），从而e x≥x+1，设F（x）=g（x）﹣kf（x）=e x+kln（x+1）﹣（k+1）x﹣1，根据放缩法以及函数的单调性通过讨论k的范围，求出k的具体范围即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f′（x）=a﹣，（x＞﹣1），g′（x）=e x﹣1，依题意，f′（0）=g′（0），解得a=1，所以f′（x）=1﹣=，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，故f（x）的单调递减区间为（﹣1，0），单调递增区间为（0，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x=0时，f（x）取得最小值0．所以f（x）≥0，即x≥ln（x+1），从而e x≥x+1．设F（x）=g（x）﹣kf（x）=e x+kln（x+1）﹣（k+1）x﹣1，则F′（x）=e x+﹣（k+1）≥x+1+﹣（k+1），（ⅰ）当k=1时，因为x≥0，所以F′（x）≥x+1+﹣2≥0（当且仅当x=0时等号成立），此时F（x）在[0，+∞）上单调递增，从而F（x）≥F（0）=0，即g（x）≥kf（x）．（ⅱ）当k＜1时，由于f（x）≥0，所以f（x）≥kf（x）．由（ⅰ）知g（x）﹣f（x）≥0，所以g（x）≥f（x）≥kf（x），故F（x）≥0，即g（x）≥kf（x）．（ⅲ）当k＞1时，令h（x）=e x+﹣（k+1），则h′（x）=e x﹣，显然h′（x）在[0，+∞）上单调递增，又h′（0）=1﹣k＜0，h′（﹣1）=﹣1＞0，所以h′（x）在（0，﹣1）上存在唯一零点x0，当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0所以h（x）在（0，x0）上单调递减，从而h（x）＜h（0）=0，即F′（x）＜0，所以F（x）在（0，x0）上单调递减，从而当x∈（0，x0）时，F（x）＜F（0）=0，即g（x）＜kf（x），不合题意．综上，实数k的取值范围为（﹣∞，1]．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，且D，C，E，G四点共圆．（Ⅰ）求证：∠BAD=∠ACG；（Ⅱ）若GC=1，求AB．【考点】相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明．【分析】（Ⅰ）由题意可得，G为△ABC的重心，根据D、C、E、G 四点共圆，可得∠ADE=∠ACG，DE∥AB，故有∠BAD=∠ADE，从而得到∠BAD=∠ACG．（Ⅱ）延长CG交AB于F，则F为AB的中点，且CG=2GF．证得△AFG∽△CFA，可得=，即 FA2=FG•FC，根据条件化为即AB=GC，从而得出结论．【解答】证明：（Ⅰ）∵△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，∴G为△ABC的重心．连结DE，因为D、C、E、G 四点共圆，则∠ADE=∠ACG．又因为AD、BE为△ABC的两条中线，所以点D、E分别是BC、AC的中点，故DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，从而∠BAD=∠ACG．解：（Ⅱ）∵G为△ABC的重心，延长CG交AB于F，则F为AB的中点，且CG=2GF．在△AFC与△GFA中，因为∠FAG=∠FCA，∠AFG=∠CFA，所以△AFG∽△CFA，∴=，即 FA2=FG•FC．因为FA=AB，FG=GC，FC=GC，∴•AB2=CG2，即AB=GC，又∵GC=1，所以AB=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系；简单曲线的极坐标方程．【分析】解法一：（Ⅰ）由参数方程消去参数α，得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线l的倾斜角．（Ⅱ）设出直线l的参数方程，代入椭圆方程并化简，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，利用参数的几何意义求解即可．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）利用直线l的普通方程与椭圆的方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【解答】解法一：（Ⅰ）由消去参数α，得，即C的普通方程为．由，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）将代入（*），化简得y=x+2，所以直线l的倾斜角为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t 为参数），即（t为参数），代入并化简，得．．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，所以t1＜0，t2＜0，所以．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．由消去y得10x2+36x+27=0，于是△=362﹣4×10×27=216＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以x1＜0，x2＜0，故．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|．（I）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（Ⅱ）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（I）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由题意可得|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，化简f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]为|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，从而证得不等式成立．【解答】解：（I）不等式f（x）＜|2x+1|﹣1，即|x+1|＜|2x+1|﹣1，∴①，或②，或③．解①求得x＜﹣1；解②求得x∈∅；解③求得x＞1．故要求的不等式的解集M={x|x＜﹣1或 x＞1}．（Ⅱ）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，则 f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1|=|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|=|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．7月15日。

山东省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合，，则等于（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·大新模拟) 设为虚数单位，，则复数的模为（）A . 1B .C . 2D .3. （2分）(2016·中山模拟) 若| + |=| ﹣ |=2| |，则向量 + 与的夹角为（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高三上·莆田期中) 抛物线y2=2x与直线y=x﹣4围成的平面图形面积（）A . 18B . 16C . 20D . 145. （2分）若函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=﹣对称，则a=（）A .B .C .D . ﹣16. （2分）正三棱锥的底面边长为a，高为，则此棱锥的侧面积等于（）A .B .C .D .7. （2分）当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A . 7B . 9C . 11D . 168. （2分） (2017高一上·威海期末) 已知函数f（x）=a（x+a）（x﹣a+3），g（x）=2x+2﹣1，若对任意x∈R，f（x）＞0和g（x）＞0至少有一个成立，则实数a的取值范围是（）A . （1，2）B . （2，3）C . （﹣2，﹣1）∪（1，+∞）D . （0，2）9. （2分） (2017高二下·宜昌期末) 设抛物线y2=4x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A . [﹣， ]B . [﹣2，2]C . [﹣1，1]D . [﹣4，4]10. （2分）如图是正方体的侧面展开图，L1、L2是两条侧面对角线，则在正方体中，L1与L2（）A . 互相平行B . 相交C . 异面且互相垂直D . 异面且夹角为60°11. （2分） (2017高二下·杭州期末) 设F为双曲线﹣ =1（a＞b＞0）的右焦点，过点F的直线分别交两条渐近线于A，B两点，OA⊥AB，若2|AB|=|OA|+|OB|，则该双曲线的离心率为（）A .B . 2C .D .12. （2分）定义在上的偶函数满足：对任意[0,＋∞),且都有,则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高三上·洛阳期中) 等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a5=10，S5=30，则 + ++…+ =________．14. （1分）（ax﹣）10的展开式中x4项的系数为210，则实数a的值为________．15. （1分）已知| |=4，| |=5，＜，＞= ，（ + ）• =________16. （1分） (2017高二下·太仆寺旗期末) 函数若函数在上有3个零点，则的取值范围为________．三、解答题 (共8题；共60分)17. （10分） (2018高二上·湖南月考) 在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知c=3，，.（1）求a，b的值；（2）求的面积．18. （10分）(2013·山东理) 甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．19. （5分）(2017·南海模拟) 已知PC⊥平面ABC，AC=2 ，PC=BC，AB=4，∠BAC=30°．点D是线段AB上靠近B的四等分点，PE∥CB，PC∥EB．（Ⅰ）证明：直线AB⊥平面PCD；（Ⅱ）若F为线段AC上靠近C的四等分点，求平面PDF与平面CBD所成锐二面角的正切值．20. （5分）(2017·潮南模拟) 已知M（，0），N（2，0），曲线C上的任意一点P满足：• =| |．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设曲线C与x轴的交点分别为A、B，过N的任意直线（直线与x轴不重合）与曲线C交于R、Q两点，直线AR与BQ交于点S．问：点S是否在同一直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，请说明理由．21. （5分）已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）若函数F（x）=tf（x）与函数g（x）=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，求t的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．22. （5分）如图，AB是⊙O的直径，BE为⊙O的切线，点C为⊙O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与⊙O交于D，与BE交于E，连接BD、CD．（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC；（Ⅱ）求证：AH•BH=AE•HC．23. （10分）(2017·龙岩模拟) 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为（1，0），若直线l的极坐标方程为ρcos（θ+ ）﹣1=0，曲线C的参数方程是（t 为参数）．（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求．24. （10分） (2016高一上·闵行期中) 已知a，b，c都是正数，（1）若a+c=1，试比较a3+a2c+ab2+b2c与a2b+abc的大小；（2）若a2+b2+c2=1，求证：﹣≥3．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、。