七、 异方差与自相关
一、背景
我们讨论如果古典假定中的同方差和无自相关假定不能得到满足，会引起什么样的估计问题呢？另一方面，如何发现问题，也就是发现和检验异方差以及自相关的存在性也是一个重要的方面，这个部分就是就这个问题进行讨论。
二、知识要点
1、引起异方差的原因及其对参数估计的影响
2、异方差的检验（发现异方差）
3、异方差问题的解决办法
4、引起自相关的原因及其对参数估计的影响
5、自相关的检验（发现自相关）
6、自相关问题的解决办法 （时间序列部分讲解） 三、要点细纲
1、引起异方差的原因及其对参数估计的影响
原因：引起异方差的众多原因中，我们讨论两个主要的原因，一是模型的设定偏误，主要指的是遗漏变量的影响。这样，遗漏的变量就进入了模型的残差项中。当省略的变量与回归方程中的变量有相关关系的时候，不仅会引起内生性问题，还会引起异方差。二是截面数据中总体各单位的差异。
后果：异方差对参数估计的影响主要是对参数估计有效性的影响。在存在异方差的情况下，OLS 方法得到的参数估计仍然是无偏的，但是已经不具备最小方差性质。一般而言，异方差会引起真实方差的低估，从而夸大参数估计的显著性，即是参数估计的t 统计量偏大，使得本应该被接受的原假设被错误的拒绝。
2、异方差的检验 （1）图示检验法
由于异方差通常被认为是由于残差的大小随自变量的大小而变化，因此，可以通过散点图的方式来简单的判断是否存在异方差。具体的做法是，以回归的残差的平方2i e 为纵坐标，回归式中的某个解释变量i x 为横坐标，画散点图。如果散点图表现出一定的趋势，则可以判断存在异方差。
（2）Goldfeld-Quandt 检验
Goldfeld-Quandt 检验又称为样本分段法、集团法，由Goldfeld 和Quandt 1965年提出。这种检验的思想是以引起异方差的解释变量的大小为顺序，去掉中间若干个值，从而把整个样本分为两个子样本。用两个子样本分别进行回归，并计算残差平方和。用两个残差平方和构造检验异方差的统计量。
Goldfeld-Quandt 检验有两个前提条件，一是该检验只应用于大样本（n>30），并且要求满足条件：观测值的数目至少是参数的二倍； 二是除了同方差假定不成立以外，要求其他假设都成立，随机项没有自相关并且服从正态分布。Goldfeld-Quandt 检验假设检验设定为：H 0:具有同方差， H 1:具有递增型异方差。具体实施步骤为：
①将观测值按照解释变量x 的大小顺序排列。
②将排在中间部分的c 个（约n/4）观测值删去，再将剩余的观测值分成两个部分，每个部分的个数分别为n 1、n 2。
③分别对上述两个部分的观测值进行回归，得到两个部分的回归残差平方和。 ④构造F 统计量2
221
11/()/()e e n k F e e n k '-=
'-，其中 k 为模型中被估参数个数。在H 0成立
条件下，21(,)F F n k n k --: ⑤判别规则如下，
若 F ≤ F α (n 2 - k , n 1 - k ), 接受H 0（具有同方差） 若 F > F α(n 2 - k , n 1 - k ), 拒绝H 0（递增型异方差）
注意：
① 当摸型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差。 ② 此法只适用于递增型异方差。
（3）Breusch －Pagan/Godfrey LM 检验
该方法的基本思想是构造残差平方序列与解释变量之间的辅助函数，得到回归平方和ESS ，从而判断异方差性存在的显著性。该检验假设异方差的形式为：
220()i f σσα'=+i αz 其中i z 是解释变量构成的向量，当=α0时，模型是同方差的。 具体设模型为：
表示是某个解释变量或全部。
同样，该检验也可以通过一个简单的回归来实现。提出原假设
为
，
012345670
50
100
150
200
X Y Y
12233i i i k ik i Y u ββββ=+X +X +⋅⋅⋅+X +201122var()i i i i p ip i u v σαααα==+Z +Z +⋅⋅⋅+Z +12,,p Z Z ⋅⋅⋅⋅⋅⋅Z 012:0p αααH ==⋅⋅⋅==
具体步骤如下：
①构造变量2
()
i e n 'e e ：用OLS 方法估计方程中的未知参数，得
和 （n 为样本容量） ②以2()i e n 'e e 为被解释变量，i z 为解释变量进行回归，并计算回归平方和ESS 。
构造辅助回归函数
③构造LM 统计量为：LM ＝1
2
ESS
当有同方差性，且n 无限增大时有 ④对于给定显著性水平 ，如果2
()2
ESS p αχ>，则拒绝原假设，表明模型中存在
异方差。
为了计算的简便，LM 统计量的构造也可以采取如下形式：
1
[]2
LM '''=-1g Z(Z Z)Z g
其中，Z 是关于(1,)i z 的n P ⨯观测值矩阵, g 是观测值2
1()i i e g n =-'e e 排成的列向
量。由于上述统计量的构造过分依赖于残差的正态性假定，因此，Koenker 和Bassett 对该统计量进行了修正，令
2
2
1
1()n i i V e n n ='⎡⎤=-⎣⎦∑e e u ()n '=e e 则1()LM V ⎡⎤
'''=⎢⎥⎣⎦
-1u -u)Z(Z Z)Z (u -u
（4）White 检验
White 检验由H. White 1980年提出。和Goldfeld-Quandt 检验相比，White 检验不需要对观测值排序，也不依赖于随机误差项服从正态分布，它是通过一个辅助回归式构造 χ2 统计量进行异方差检验。White 检验的提出避免了
122ˆˆˆi i i k ik e Y βββ=--X -⋅⋅⋅-X 2
2ˆi e n
σ
∑=2
011222ˆi i i p ip i
e v αααασ=+Z +Z +⋅⋅⋅+Z +2
~2p ESS χα
