数学中的极限思想及其应用

极限思想方法及其在中学数学的应用研究极限的概念首次出现于17世纪，是古典数学的重要组成部分。

它是数学家和物理学家用来衡量被测量的值的一种抽象的概念。

在研究生物和其他自然现象的概念中，极限是一种强大的理念，它可以用来描述数字和现象之间的关系。

极限思想在数学中具有重要的作用，它已经成为数学家研究和解决问题的重要工具。

今天，极限思想仍然被广泛用于学术研究中。

有许多学科使用极限思想来描述复杂的问题，如力学、热力学、电磁学和概率论等，并且极限思想正在改变科学家们对数学的看法。

在最近的发展中，极限思想已经被推广到中学的数学课程中，成为数学教学的重要组成部分。

本文将重点介绍极限思想的基本概念，并分析它在中学数学教学中的应用研究。

极限的定义和概念是数学和物理学的基础，它是用来表示数学问题的概念。

“极限是一个数字，表示运算结果无限接近，但不能达到它”[1]。

极限是一种抽象概念，因此，理解极限及其在数学中的作用，需要研究者有足够的抽象思维能力，而且对极限的计算需要相当复杂的数学算法。

极限的概念和定义不仅仅是理论上的，它也被广泛地用于实际应用中。

极限是数学中著名的难题之一，而且由于极限思想可以用来描述复杂的数学和物理问题，因此，极限思想在诸如力学、热力学、电磁学等学科中发挥着重要的作用。

极限思想在中学数学教学中的应用同样重要，可以有效地提高学生的数学能力。

在X数学课程，极限思想被广泛地用于解决一些复杂的问题，如求解一元函数的极限，求解二次函数的极限等。

此外，在学生学习初等数学的过程中，教师也需要引入极限思想来帮助学生理解一些复杂的数学概念，以及帮助他们进行抽象思维。

例如，在学习数据统计分析中，极限思想可以帮助学生看到数据的变化趋势，也可以帮助他们理解一些抽象的概念，如概率分布、期望值、抽样误差等。

总之，极限思想是数学和物理学中的重要概念，它可以帮助学习者理解复杂的数学概念，以及对抽象思维的掌握。

随着极限思想被应用到中学数学教学中，中学数学教学将在概念解释、问题解决等许多方面取得重要突破，从而帮助学生将极限思想融入到他们的数学知识体系中。

极限思想在中学数学中的应用研究
极限思想是以极限的概念来分析数学问题，它提供了一种有效的方
法来研究函数、曲线、表面以及对这些图形和曲线进行计算和分析。

极限思想可以帮助人们更深入地理解数学知识，了解并分析数学中的
现象，并使用极限的思想来解决数学问题。

极限思想在中学数学中有着广泛的应用。

在微积分中，通过极限的思
想可以求得函数在某点附近的解析解及导数；在代数学中，极限思想
可以用来计算多项式的极值；在解析几何中，可以利用极限思想求出
圆周上某点到圆心的距离；在概率论与数理统计中，用极限思想可以
研究正态分布的形成。

此外，极限思想也用于优化问题中，帮助研究者设计出最优的解决方案；在几何图形中，极点的概念也可以用极限思想判断；在动力学和
运动中，可以利用极限思想找到运动物体的运行轨迹。

总之，极限思
想在中学数学中的应用非常广泛，可以帮助学生更好地理解数学公式，更加深入地剖析数学问题，有效地解决实际问题，为数学有着重要作用。

极限思想在中学数学教学中的应用极限思想是一种重要的数学思想方法，在中学数学教学中运用极限思想，有助于学生对数列、定积分等复杂问题的理解，提高學生解决相关数学问题的能力。

如何引导学生掌握和应用极限思想，是中学数学教学中要认真思考的问题。

文章简单介绍了极限思想的内涵及在中学数学中的意义，并举出具体例子说明其在实际问题中的应用，以期提高学生的数学思维和解题能力。

标签：极限思想；中学数学教学；应用一、极限思想概述极限思想考察当变量按某种方式变化，譬如变量趋于无穷大或者趋于某一定值时，研究对象最终的变化趋势和趋向的唯一数值；是通过极限的概念，对研究对象从有限拓展到无限，从对常量的研究逐渐转化为对变量的研究，来分析和解决问题的一种思想方法。

二、极限思想在中学数学中的作用1.有利于提高数学思维能力新课标强调对学生数学思维能力和数学素养的培养。

教师通过极限思想教学的渗透，可让学生的思维从有限发散到无限，理解无限逼近的意义，掌握“分割、近似代替、求和、取极限”的思想方法，学会将极限思想应用到其他数学问题的学习和解决当中。

2.有利于解决复杂数学问题教学中灵活渗透极限思想，能降低问题难度，理顺解题思路，提高解题的效率和质量。

例如，求曲边梯形的面积，首先插入分点分割曲边梯形，每个小曲边梯形可近似看成小矩形，这些小矩形的面积和近似等于曲边梯形的面积，分划不同，得到的矩形面积和也不同，当分划足够细时求出极限从而得到曲边梯形面积。

利用这种极限思想，还能解决众多数学问题，如平面曲线的弧长问题。

3.有利于和大学数学知识衔接高等数学的许多概念和方法与极限密切相关，中学教学中让学生掌握极限思想方法，能促进中学与大学数学知识的衔接，为高等数学学习奠定基础。

三、极限思想在中学数学教学中的应用1.极限思想在函数中的应用函数是中学数学教学中的重要内容，贯穿于中学数学的始终，是变量数学的基础。

解决函数问题，可以充分利用极限思想。

通常可以用反函数的方法进行解答，答案为D，由于是选择题，也可以采用极限思想，迅速判断出大致范围，提高解题效率。

高等数学解题方法探究极限——极限思想在高等数学中的地位和应用引言：数学研究的对象可以是特殊的或一般的，可以是具体的或抽象的，可以是静止的或运动的，可以是有限的或无限的，它们之间都是矛盾的对立统一．正是由于对象之间的对立统一，为我们解决这些对立统一事物提供了研究的方法．有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往先于对无限的研究，对有限个对象的研究往往有章法可循，并积累了一定的经验．而对于无限个对象的研究，却往往不知如何下手。

于是将对无限的研究就转化成对有限的研究？就成了解决无限问题的毕经之路．反之当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限问题转化成无限问题来解决．这种无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想?极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。

所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这个结果。

正文：一、极限理论在数学分析中的地位1.建立概念的极限思想极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。

可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。

在几乎所有的数学分析着作中，都是先介绍函数理论和极限的思1想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。

如：（1）函数在点连续的定义，是当自变量的增量时，函数值的增量趋于零的极限。

（2）函数在点导数的定义，是函数值的增量与自变量的增量之比，当时的极限。

（3）函数在上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。

（4）数项级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的。

2.解决问题的极限思想极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。

数学的极限思想是什么在现实应用里有应用到吗经常思考这问题是不是可以锻炼自己的数学能力数学的极限思想是什么？在现实应用里有应用到吗？经常思考这问题是不是可以锻炼自己的数学能力？ -极限就是一个趋向性的过程等号让人困惑，但是等号和极限符号只是代表数字无限趋近于某一值，不是真的相等有关极限的思想1、古希腊不停地拿一把可以分开任何物体的刀来一分为二一个物体，只有两个结果，（1）小刀一直分下去，无穷无尽（2）分到一定程度，分不动了，物体不能再分了现代物理学已经证明了时间和空间不是可以无限分割的所以我们知道了物体是由基本粒子的2、中国古代，用无穷无尽的多边形面积来代替圆（所谓的割圆术）的面积，用近似解来代替真实解3、还有就是芝诺提供的，芝诺悖论之一公元前5世纪，芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。

当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10，乌龟仍然前于他10米。

当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然前于他1米…… 芝诺认为，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它。

动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。

由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。

因此被追者总是在追赶者前面。

现代物理学已经证明了时间和空间不是可以无限分割的，所以总有最为微小的一个时间里，阿基里斯和乌龟共同前进了一个空间单位，从此阿基里斯顺利超过乌龟。

（时间是不可以无限分割的。

这不是由于某种哲学上的原因，而是由于一个物理理论：量子力学。

在量子力学主要研究的微观现象中出现大量“量子化”现象，即物理量不能连续取值，而只能取分离的几个值。

这个理论在进一步的研究中就出现了“时间不可无限分割”的理论。

即任何时间段，都不能短于“普朗克时间”，短于这个的时间长度在物理学中没有意义。

极限思想在高中数学解题中的应用极限思想在高中数学解题中的应用极限思想作为一个重要的数学概念在高中数学教学中得到了培训，影响着后来数学解题的过程，也对提升高中数学解题水平比较有意义。

因此，如何应用极限思想在高中数学解题中显得尤为重要。

首先，要认识到极限中的关系。

极限的基本概念是“当x的值逐渐接近某个特定的值，y的值也会逐渐靠近某个特定的值”，换句话说，所谓的“靠近”，就是指每次减小x的值时，y的值也会靠近某个极限值。

根据极限的定义，某一极限存在时，x的关系可以抽象成一个方程，即极限=f（x）。

其次，要学会把握极限的推导过程，比如一些分式除以越来越小的常数，我们往往会把这样的分式将其多次连乘，并且把和分母相特殊的项放到分母里，最终将这样的分式简化成一个极限式。

再次，要学会利用极限的思想来解决实际问题，比如高中生求解一元二次方程，可以先进行联立方程求值，再使用极限的思想，当a，b极限的值为1的时候，极限的解为2a+db。

这样就可以轻松求出一元二次方程的解。

比如，当方程为：ax2+bx+c=0时，极限值为2a+db，从而得到方程的解。

最后，要保持极限思想的正确认识和理解，比如说，在一般条件下，极限的值及其对应的x的值是有限的，而不是无穷的，那么也就意味着，在一定的条件范围下，有些函数的极限就是有限的，所以，当c取不同值时，极限也就有所变化，从而达到解决数学问题的目的。

极限思想作为一个数学思想，最重要的还是要正确理解和运用。

极限思想是对极端情况的分析，也可以帮助我们在解决数学问题中节省不少时间和精力。

因此，广大高中生要加强极限思想的学习，用正确的思想来解决高中数学中的各种问题，从而提高数学解题的水平。

浅谈中学数学中极限思想的应用1 极限思想极限思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，是近代数学的一种重要思想.简单地说极限思想即是用无限逼近的方式从有限中认识无限,用无限去探求有限,从近似中认识精确,用极限去逼近准确,从量变中认识质变的思想.1.1 极限思想的产生与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物.极限思想可以追溯到古代，刘徽的“割圆术”就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，他们借助间接证法——归谬法来完成了有关的证明.16世纪，荷兰数学家斯泰文改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明.如此，他就在无意中指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向. 1.2 极限思想的发展与完善极限思想的进一步发展和完善是与微积分紧密相联系的.16世纪欧洲的处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题只用初等数学的方法已无法解决,为了解决这些问题，科学家们开始专心研究促进技术革新.在这样的社会背景下，牛顿和莱布尼茨以无穷小量为基础建立了微积分，微积分的建立极大的促进了极限思想的发展.到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论.为了排除极限概念中的直观痕迹，德国数学家维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础.所谓n A =，就是指“如果对任何0ε>，总存在自然数N ，使得当n N >时，不等式n A ε-<恒成立”.这个定义，借助不等式，通过ε和N 之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系.因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用.1.3 中学数学中的极限思想极限思想并非只出现在高等数学中.在中学数学里也有很多方面体现了极限思想，其中最典型的就是在求圆面积时候的用到分割法.在初高中时我们只知道圆的面积公式：2S Rπ=（R为圆的半径）.其实，深入探究会发现圆面积的计算就是运用极限的思想得出的.在学圆的面积之前，我们只学过三角形和常规的四边形的面积计算，那么我们如何把圆的面积化为求三角形或者四边形的面积呢？如图1-1是一个以R为半径的圆O，我们给这个圆O作n条半径，如图1-2所示.图这样我们就可以发现，圆的面积是由n个小扇形相加得来.这时你会发现，当n不断增大()n→∞时，圆里面的每一个小扇形我们就可以近似的看成一个小三角形，此小三角形的底可以近似的看成扇形的圆弧()1n n A A+，高为圆的半径R.我们知道三角形的面积为112n nS R A A+≈⋅,则整个圆的面积为122334111112222n nS R A AR A A R A A R A A+≈⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()122334112n nS R A A A A A A A A+≈⋅+++⋅⋅⋅+由于12233412n nA A A A A A A A Rπ++++⋅⋅⋅+=带入即可得出圆面积的近似值为：2S Rπ≈，当n越大时越精确，当n→∞即得证.圆面积的探讨运用了“无限分割”的思想方法，同时也体现了“化曲为直，化整为零，积零为整，逐渐趋近近视值”的极限思想.当然这只是极限思想运用的一部分，在中学数学中还有很多的问题渗透了极限的思想.如函数、数列、球的表面积和体积推导、双曲线的渐近线、曲线的切线等等无不包含着极限思想的渗透和运用.本文我们结合一些具体的例子来探讨极限思想在初等数学中的一些运用.2 极限思想在函数中的渗透在中学数学中，很多幂函数、指数函数、正切函数、双曲线等等都存在渐近线，通过利用极限思想可以巧妙的研究这些函数的渐近线.例1 研究函数1+y x x =的图像.分析 函数1+y x x=的定义域为{}|0x x ≠.且为奇函数，因此可以先做出0x >时的函数图像.（1）当0x >时，由基本不等式可得1+2y x x=≥，当且仅当1x =时min 2y =；（2）当0x +→ 时，y →+∞，所以0x =是1+y x x=的一条渐近线；（3）当+x →∞时，10x →，y x →，所以y x =也是1+y x x=的一条渐近线.由此三个条件即可作出函数1+y x =的图像.如图2-1：图2-1极限思想在函数中的应用非常广泛，不仅应用于研究一些函数的渐近线，在求一些特殊函数的最值的问题中极限思想也是很好的切入点.例2 试讨论函数y =的最值. 分析 注意到函数表达式可以变形为：y=从数形结合的角度来看，函数值y可以看成做是平面直角坐标系中x轴上的动点(,0)x到两定点(32)A，、(11)B，的距离之差，即y MA MB=-（如图2-1），由平面几何的知识，易得当M移动到2(M'在线段AB的延长线上)点时y值最大maxy=下面我们探讨此函数有无最小值，分三种情况：①当M在如图2中M（线段AB的垂直平分线l与x轴的交点）右侧移动时；②当M在M'与M中间图2-1图2-2下面我们先看①时由于MB MA>，不妨记=y MB MA--，图2-2中，点1M、2M均在M的右侧（其中2M又在1M的右侧）.我们来比较111()=y M B M A--与222()=y M B M A--的大小，移项之后即比较12M B M A+与21M B M A+的大小.设1M A与2M B相交于点T,则有1212<()()M B M A M T BT M T AT++++12()()M T AT M T BT=+++21M B M A=+即12()()y y-<-所以当M在M右侧向右运动时，()y-的值越来越大，下面我们讨论()y-有无最大值.上面已知y MB MA-=-===114-=()114lim lim x x y →∞--=4211==+ 于是当x →+∞时，=y MB MA --的值越来越大的趋近于2，但是永远都不可能达到2，即y -没有最大值.但是<2y -，即2y >-.所以在第①情况下y 的取值范围为(]2,0-.同理，在第③种情况下，MB MA <当M 在M '左侧时(]1x ∈-∞-，，讨论y MA MB =-.计算可得y 的取值范围为(.在第②种情况下，当M 在M '与0M 之间且由0M 向M '移动时，y 值不断增大，所以y 的取值范围为⎡⎣0.综上所述，本题y的值域为(2-本题在高中阶段可能就只会让我们求此函数的最大值，但是如果我们进一步研究这个问题的时候，就能发现其与高等数学的衔接点.本题所涉及的函数最值问题，看似跟极限思想没多大联系，但是通过深入的研究我们才能发现其中的奥妙.3 极限思想在数列中的应用极限分析法是研究数列问题的一个有效方法.对于一个等比数列，在高中教材中给出的求和公式是11(1)(1)1(1),,.n n a q q q q S na -≠-=⎧⎪=⎨⎪⎩等比数列的求和公式是要分情况的，即1q =和1q ≠的情况.这样最简单的等比数列——常数列就被分裂出来.然而,利用极限就可以将它合二为一.对于上面1q ≠的情况，讨论1q →时，n S 的极限.111(1)lim lim 1n n q q a q S q→→-=- 2111(1)(1)lim 1n q a q q q q q-→-+++⋅⋅⋅+=-2111lim (1)n q a q q q-→=+++⋅⋅⋅+1na =这也就是说，1q =时的n S 就是1q ≠时n S 的极限.那么，等比数列求和公式就可以用一个公式来表示1(1)lim 1n n n q a q S q→-=-当然，这比高中课本上给出的公式要复杂点，但是这显然让我们重新思考了问题，使得这些分类的东西变成一个整体.对于一个无穷数列，它本身就是一个极限形式.所以在数列的有关问题中涉及到极限思想的题目很多，灵活运用极限思想能让我们解题方法更加简便，减少计算量和计算时间，优化解题过程.例3 已知数列{}n a 中，满足1=1a ，且对任意自然数n 总有12n n n a a a +-=，问是否存在实数a ，b 使得2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由.分析 假设存在这样的实数a 、b ，满足2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立，则lim n x a a →∞=；再由12n n n a a a +-=两边同取极限有2aa a =-，解得0a =或3a =验证，当0a =时，数列{}n a 应该是以1为首项，以23-为公比的等比数列，显然，不可能对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以0a =不满足题意.当3a =时，将1=1a ，代入2()3n n a a b =--，求得3b =-，则233()3n n a =+⋅-，验证可得同样不满足对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以3a =同样不满足题意.综上所述，0a =和3a =都不满足题意，所以假设与题意矛盾，不存在这样的a 、b .在高中阶段，对于解这样的数列问题一般思路是按照 “由一般到特殊再到一般”的思维原则，再通过数学归纳法将{}n a 表达出来.但是对于这一个题目用这样的方法远没有借用极限思想简单.4 极限思想巧解立几问题在一些复杂立体几何的问题中，我们只要巧妙的利用无限逼近的思想，就可以将原本复杂难懂的问题简单化.像这样的问题在高中数学中很常见，比如像下面这道例题.例4 在四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是（ ）.(0A.(1B ，C.(0D ，分析 一般的方法，我们通过三角形三条边之间的等量关系列不等式，通过解不等式可以得出来，但是通过极限思想也可以巧妙的解决这个问题.显然，对于四根长度相等的直铁条有两种摆放方法： （1）底面为等腰三角形，两腰长度为2，底长为a （图4-1）； （2）底面为等边三角形，三条边的长都为2（图4-2）.图 4-2 由于a 是ABC ∆的边，所以04a <<.如图4-1，点A 在平面α（α垂直于平面BCD ，且平面BCD α⋂于BDC ∠的角平分线）上运动，且A 到B 、C 的距离为2.当A D →时，0a →；当平面ABC 与平面BDC 重合时，A 与D 距离最远即a 值最大.此时由菱形的性质可解得a =由于此图形必须要构成三棱锥，所以平面ABC 与平面BDC 不可以重合，即取不到所以(0,a ∈.如图4-2，点A 在平面α（α垂直于平面BCD ，且平面BCD α⋂于DBC ∠的角平分线）上运动，且A 到B 的距离为2.当A 在DBC ∠的角平分线上时，a 最小，可解得a =-；当A 在DBC ∠的角平分线的反向延长线上时，a 最大，可解得a =.由于此图形必须要构成三棱锥，所以A 不能在DBC ∠的角平a ∈.综上所说，a ∈，所以此题选A .这是2010年辽宁省的一道高考题，如果用一般的方法解不等式将会非常复杂，也浪费了考试时宝贵的时间.而如果使用无限逼近思想来研究就可以将原本复杂难懂的问题简单化. 从本题可以发现，极限思想在几何解题过程中的应用可以起到良好的导向作用，同时也是一种探索解题思路或切入点的有效武器.例5 正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围是 ( )o o .(0180)A ，o o .(60180)B ， o o .(600)C ，9 o o .(00)D ，6 分析 如图4-3所示，正三棱锥S ABC -中，SO 是正三棱锥S ABC -的高，图4-3当0180.SO→时，S无限靠近于O，此时相邻两个侧面的夹角趋近于o 当SO→∞时，正三棱锥S ABC-无限接近一个底面为正三角形的三棱柱，这时两侧面的夹角越来越小，趋近于o60.所以α的取值范围为o o(60180)，，故本题选B.从这些例题可以感受到，极限思想不仅是一种解决问题的方法，同时它也是一种思维方式.我们可以从极限或极端状态的数学问题的研究中得到启发，从而得到数学关系的猜想，有时也会通过这种启发找到问题的解决方法.5 总结本文结合具体的例题讨论了极限思想在初等数学中的一些应用.当然，极限思想作为数学中的重要的思想在中学数学中的涉及范围远不止这几个方面.所以我觉得，在我们的中学教学中，若能通过一些例题，来向学生渗透极限思想，对学生数学思维能力的提高将会有很大帮助.参考文献[1]谢慧杰.极限思想的产生、发展与完善.数学学习与研究,2008,(09):13-15.[2]梁克强.刘徽割圆术.中学生数学,2010,(06):23-24.[3]杨君芳.例析极限思想在高中数学中的一些应用.中学数学研究,2009,11(1):27-28.[4]孙道斌.利用极限思想巧解立几问题.中学生数学,2007,(1上):17-18.[5]吕士虎，徐兆亮.从高等数学看中学数学,2005,(03):1-3.[6]华东师大数学系.数学分析第三版.北京：高等教育出版社,2001:42-48.[7]张永辉，用极限思想解题.中学生数学，2006，(9上):8-9.。

数学几何极限思想总结大全数学几何极限是数学中一种重要的思想和方法。

它是通过逐渐逼近某个目标值，来研究数学对象的性质和变化规律的一种方法。

在数学的发展中，数学几何极限思想被广泛应用于各个领域，如解析几何、微积分、实分析等。

下面将详细介绍数学几何极限的思想和应用。

一、极限的基本概念极限是数学中一个基础的概念，它描述了一个数列或者函数在无限接近某一值时的性质。

数列的极限表示为lim_{n->∞} a_n = L，其中n表示数列的第n项，a_n表示数列的第n项的值，L表示数列的极限。

函数的极限表示为lim_{x->a} f(x) = L，其中x表示自变量，a表示自变量的接近的值，f(x)表示函数的值，L表示函数的极限。

二、函数的极限1. 函数的极限定义：对于一个函数f(x)，如果对任意的ε>0，存在一个δ>0，当0 |f(x)-L|<ε，其中x在(a-δ,a+δ)内，那么称L为函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim_{x->a} f(x) = L。

2. 函数的极限性质：函数的极限有一些基本的性质，如加法、乘法、倒数、极限的唯一性等。

3. 函数的无穷极限：函数在无穷远处的极限也是一种重要的极限概念，如lim_{x->∞} f(x)和lim_{x->-∞} f(x)等。

4. 函数的连续性：函数的极限和连续性之间有着密切的联系，如果一个函数在某一点的极限存在且与该点的函数值相等，那么这个函数在该点就是连续的。

三、数列的极限1. 数列的极限的定义：对于一个数列{a_n}，如果对任意的ε>0，存在一个N，当n>N时，有|a_n-L|<ε，其中L为数列的极限，记作lim_{n->∞} a_n = L。

2. 数列的收敛和发散：如果一个数列存在极限，那么这个数列是收敛的；如果一个数列不存在极限，那么这个数列是发散的。

3. 数列的极限性质：数列的极限也有一些基本的性质，如加法、乘法、倒数、极限的唯一性等。

极限思想在高等数学中的应用
极限思想在高等数学中的应用
极限思想是高等数学的基础理论之一。

它的概念深刻，在高等数学的应用中也
有着重要的意义，比如微分学、积分学等。

首先，极限思想用于定义一个函数的极限，可以描述这个函数的表现变化趋势，当函数收敛到某一极限时，它的表现就会趋于稳定。

其次，在微分学方面，极限思想也有着重要用处。

微分学归纳出来的大部分公式都是由极限概念获得的，比如基于极限思想可以得出微积分中的极限中值定理、牛顿近似积分准则等。

简而言之，极限思想是科学研究过程中具有重要价值的一个概念。

极限思想还可以应用于微分方程求解、定积分计算中。

极限思想在微分方程解
法中有着大量的应用，比如变步长Euler法、欧拉法、龙格库塔法等，都是极限思想的应用。

另外，定积分计算中，极限思想也有重要作用，比如把函数的积分计算分解成若干极限，每一步极限可以简便的得出结果，最终把所有的结果求和后可以得到最终的结果。

总结来说，极限思想在高等数学中应用极为广泛。

极限思想既可以用来定义函
数的极限，也可以用来微分方程的求解，定积分的计算等，它能够在很大程度上提高计算效率，简化高等数学的研究。

高中数学：极限思想的应用利用极限思想处理某些数学问题往往能化难为易。

引例两人坐在方桌旁，相继轮流往桌面上平放一枚同样大小的硬币。

当最后桌面上只剩下一个位置时，谁放下最后一枚，谁就算胜了。

设两人都是高手，是先放者胜还是后放者胜？（G·波利亚称“由来已久的难题”）G·波利亚的精巧解法是“一猜二证”：猜想（把问题极端化）如果桌面小到只能放下一枚硬币，那么先放者必胜。

证明（利用对称性）由于方桌有对称中心，先放者可将第一枚硬币占据桌面中心，以后每次都将硬币放在对方所放硬币关于桌面中心对称的位置，先放者必胜。

从波利亚的精巧解法中，我们可以看到，他是利用极限的思想考察问题的极端状态，探索出解题方向或转化途径。

极限思想是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，可以避免复杂运算，探索解题新思路，现举五例说明极限思想的应用。

例1 已知0<x<y<a<1< span="">，则有（）</x<y<a<1<>（A）（B）（C）（D）（02年高考）分析当时，由题意，此时，故可排除（A）、（B），当时，由题意，此时，则，排除（C），故选（D）例 2 给出下列图象其中可能为函数的图象是。

分析这道模拟试题得分率很低，许多学生做这道题时感到无从下手，通过与部分学生访谈知道，大部分学生都是猜想结果，虽然有一些学生想到求函数的导数，但仍然不知如何处理。

其实，这道题若从极限角度考虑，问题便迎刃而解。

当时，时图象是上升的，排除④，再令a=b=c=0，y”>0不是恒成立的，排除②，选①③。

例3 已知数列{a n}中，a1=1，且对于任意正整数n，总有，是否存在实数a，b，能使得对于任意正整数n恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由。

分析极限思想：如果这样的，b存在的话，则由，对两边取极限，得，解得若0，则数列{}应该是以1为首项，以为公比的等比数列。

高等数学十大极限思想总结高等数学中的极限思想可以说是整个学科的精髓，它是数学建模和分析的基础，对于理解数学问题的本质和求解复杂问题起着至关重要的作用。

下面我将对高等数学中的十大极限思想进行总结，希望可以帮助读者更好地理解和应用这些思想。

1. 无穷小与无穷大的概念：在极限思想中，我们常常需要讨论当自变量趋于某个值时，函数的行为。

当自变量趋于某个值时，如果函数的取值无限地接近某个有限值，我们将其称为无穷小；如果函数的取值无限地增大或减小，我们将其称为无穷大。

无穷小和无穷大的概念在极限计算中起到了重要的作用。

2. 无穷小代换：当我们计算复杂的极限时，往往不便直接计算，而是通过一些等价转化的方法，将复杂的函数用简单的无穷小函数代替。

这就是无穷小代换的思想。

无穷小代换可以大大简化极限计算的过程，并帮助我们更好地理解函数的极限。

3. 极限的四则运算：极限的四则运算是高等数学中最基本的思想之一。

根据四则运算的性质，我们可以通过已知函数的极限来求解复杂函数的极限。

加减乘除的运算规则为我们解决极限问题提供了一个重要的工具。

4. 复合函数的极限：复合函数的极限是极限思想的重要应用之一。

当我们研究一个复杂函数时，可以将其拆分为若干个简单的函数的组合。

通过对各个简单函数的极限进行分析，再进行复合，得到复合函数的极限。

复合函数的极限可以帮助我们研究复杂函数的性质。

5. 函数列与一致收敛：函数列是高等数学中极限思想的重要内容之一。

通过构造一系列函数，我们可以研究一个函数在某个点或者某个区间上的极限。

一致收敛是函数列中的一个重要概念，它指的是函数列中的每一个函数都在同一个区间上收敛，并且收敛的速度相同。

一致收敛的概念对于理解函数列收敛性质起到了重要的作用。

6. 可导性与极值：可导性和极值是高等数学中对函数局部性质进行研究的重要方法。

通过对函数的导数进行研究，我们可以得到函数在某个点的切线斜率和函数的极值点。

可导性和极值的概念是研究函数本身的性质和函数在某个特定区间上的变化规律的重要工具。

极限思想在高中解题中的运用宜宾县一中 雷勇极限的思想是近代数学的一种重要思想，我们在大学所学的数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。

而在高中一些数学问题的解答上如运用极限的思想，会是我们的解答简单而高效。

所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

下面将用例题举出极限思想的妙处。

尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。

例1、过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与QF 的长分别是p 、q ,那么q p 11+等于（ ）(A)a 2 (B) a 21(C) a 4 (D) a4分析：本题是有关不变性的问题，常规解法是探求a q p 、、的关系，过程繁琐，且计算较复杂。

若能充分借助于极限思想即取PQ 的极限位置可使问题变得简便易行：将直线PQ 绕点F 顺时针方向旋转到与y 轴重合，此时Q 与O 重合，点P运动到无穷远处，虽不能再称它为抛物线的弦了，它是弦的一种极限情形，因为a OF p QF 41===，而+∞→=q PF ，所以a qp 411→+，故选择（C ）。

针对客观选择题题型的特点，这种解法体现出思维的灵活性和敏捷性，凸现了试题的选拔功能。

例2、正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值X 围是（ ） A （2,n n ππ-） B （1,n nππ-） C （0,2π） D （21,n n n nππ--） 分析：当正棱锥的顶角无限接近底面时，两侧面所成的二面角无A 1A 3限接近π.当正棱锥的高无限增大时，两侧面所成的二面角无限接近正n 多边形的一个内角，即为2n n π-，因此，所求二面角的X 围应为（2,n nππ-）例3、已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 坐标为),0,(4x 若,2x 14<<那么θtg 的取值X 围是（ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(分析：本题命制得很有趣，它把人们常见的台球活动模型迁移到数学试题中，考查了处理几何、代数问题的能力，是一个小型综合题，我们可以充分利用几何关系通过“极端位置”找出θtg 的取值X 围，根据极限的观点，令14→x ，不妨令4P 与0P 重合，依据入射角等于反射角，即知1P 、2P 、3P 均为各边中点，此时21tan =θ，而四个选择项中仅有选择项（C ）与此数据有关，故选（C ）例4、已知函数21()(1)4f x x =+，若存在,t t 为实数，只要[1,]x m ∈(1)m >，就有()f x x ≤，那么m 的最大值是分析：作函数y x =与21(1)4y x =+的图像，平移f(x)的图像.使之与直线y x =交于（1，1）和(,),(1)m m m >两点，此时所得的图像是()y f x t =+，图像的极端位置；于是解方程组(1)1()f t f m t m +=⎧⎨+=⎩，再由1m >，得49t m =-⎧⎨=⎩，所以max 9m =例5、已知数列{}n a 中，51=a 且对于任意正整数n ，总有21-=+n nn a a a ，是否存在实数b a ,，使得n n b a a )43(--=，对于任意正整数n 恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由。

数学极限思想的应用论文（共2篇）第1篇:论高等数学之极限思想极限是高等数学最基本的概念之一，极限思想是近代数学的一种很重要的数学思想，是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学极限思想，本文从极限的定义、极限思想的价值、教学中如何渗透极限思想几个方面进行了简要论述。

1、极限的概念1.1数列极限：设为一个数列，a为一常数，若，总存在一个正整数N，使得当时，有，称a是数列的极限。

1.2函数极限：函数在点a的某去心邻域内有定义，A为常数，若，总存在一个正数，使得当时，有，称A是当x趋向于a时函数的极限。

出于不同需要，还引进了不同意义下的极限概念，比如在集论中引进了集列的上、下极限的概念，在无穷级数论中引进级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及在函数逼近论中引进了一致逼近、平均逼近等的极限概念.无论怎样定义，本质都是一样的，都是从有限观念发展到无限观念的过程。

2、极限思想的价值极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的关系，通过极限思想，我们可以从有限来认识无限，以直线近似代替曲线，以不变认识变化，从量变认识质变。

极限思想具有创新作用，它广泛用于微分方程、积分方程、函数论、概率极限理论、微分几何、泛函分析、函数逼近论、计算数学、力学等领域。

生活中的例子：一张饼，第一天吃它的一半，第二天吃它的一半的一半，第三天吃它的一半的一半的一半，……这样，这张饼能吃完吗?显然吃不完，饼越来越小，但还是有的。

只能说，这张饼的极限为零，但绝不是零。

这就是一种极限思想的具体写照。

极限思想十分重要，贯穿整个数学体系，恰当的应用极限思想可以将一些问题简化，学生灵活运用极限思想意义重大。

3、将极限思想渗透到课堂教学中3.1课堂上介绍一些体现极限思想的典故哲学家庄周在《庄子天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，将木棰长度的变化看作为一个无限的过程中去研究，古代数学家刘徽割圆术中“割之弥细，所失弦少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”也体现了极限思想。

极限思想方法及其在中学数学的应用研究极限思想的发展始于17世纪，当时被认为是一种神秘的概念，因为它提供了一种探索数学世界的新方法和思想。

随着时间的推移，极限思想逐渐成为研究者们理解数学结构所必不可少的工具。

目前，极限思想已被广泛应用在许多领域，其中之一就是中学数学教育。

极限的概念可以用来帮助学生正确理解多元函数的解、极限和极限表达式的概念。

通过比较极限表达式，学生可以更好地理解数学中的一些概念，如奇偶函数、函数性质、函数变换等。

此外，学生还可以利用极限来解决微积分中复杂的问题，如解析曲线、积分、微分方程等。

另外，通过指出极限的性质与性质，学生可以更好地理解多元函数的极点和极大值、极小值以及极值的概念。

极限思想在中学数学教育中的最主要的用途是帮助学生们正确理解函数的表示和性质。

首先，学生可以利用极限来正确理解函数的表达式。

其次，学生们可以利用极限来分析函数的性质，包括单调性、凹凸性、极值点和极小值等性质。

此外，通过极限的帮助，学生们还可以正确地求解函数和函数变换之间的关系。

此外，极限思想还可以提高学生们在数学解决问题和思考方面的能力。

首先，通过研究极限性质，学生可以更好地理解和掌握微积分中常用函数的性质，并利用极限来解决复杂的问题。

其次，通过不断的接触和操练，学生们可以培养出有效的解决问题的思维方式和解决问题的能力。

本文分析了极限思想在中学数学教育中的应用，在扩展学生们数学素养和提高数学能力方面发挥了重要作用。

虽然研究显示，极限思想在中学数学教育中发挥了积极的作用，但在推广极限思想方法的教学实践中还存在一些问题。

首先，教师的教学能力不能适应极限思想的教学需求，因此教师需要加强专业能力的提升。

其次，学生的学习能力也需要加强，以适应极限思想的教学需求，有效的解决难题。

再次，教学活动需要有效的设计，以促进学生们的有效学习。

综上所述，极限思想是一种重要的思想，且在中学数学教育中具有重要的作用。

深入研究和探究其思想，能够深刻理解多元函数的解、极限，以及极限表达式的概念。

浅谈高中数学中的极限思想高中数学中的极限思想或称极限概念是数学中一个非常重要的概念，它扮演着桥梁和空间的作用，它贯穿于数学的各个方面，是数学研究的基础。

极限思想是数学证明和表达的重要方式，它给出了一种确定结果的有效途径，有助于我们更好地理解和掌握数学的规律和规律。

极限思想的本质是一种逼近论，那么其本质是什么呢？极限思想的本质是一个可以不断接近但永远无法获得绝对精确值的过程，也就是极限逼近。

这里说的极限逼近不仅仅是数值上的接近，而是一种概念上的接近。

比如，你可以想到某个结果，并把它视为永远无法到达的极限，但它却可以作为一种有意义的抽象概念来使用。

极限思想在高中数学中的应用有很多，它不仅仅用于数学的计算和推理，还可以用于几何、微积分和抽象代数学等更多的数学领域，因为它的本质是一种逼近，它对数学的理解和掌握有很大的帮助。

在高中数学中，需要用到极限思想的最常见的情况是处理数学问题时，一般来说，需要用到极限思想的大多是涉及某种变量或数据无限增加或逼近某个极限时所产生的问题，例如：求某个函数的极限、求某条曲线的倾斜率。

对于求极限的问题，最常见的做法是用极限法，即将变量的某个值视为变量的极限，从而求得函数的极限值。

另外，极限也可以用于数学推理，例如，用极限法来证明一些定理，如泰勒定理，和维数定理等。

极限思想也可以应用于几何中，例如可以用极限思想来分析几何图形中的形状变化趋势，从而得出几何几何定理中的结论。

总而言之，极限思想是高中数学的重要概念，不仅仅是一种被广泛应用的概念，更是一种可以帮助我们更好地理解和掌握数学的重要方式。

因此，理解和掌握极限思想的原理和应用是非常必要的，它有助于我们更好地理解数学的原理和技巧，并提高学习数学的能力。

例析极限思想解决实际问题极限思想是数学中的重要概念，它在解决实际问题中起着重要的作用。

极限思想的核心思想是通过逼近的方式，找到一个数列或函数在某一点的极限值。

通过极限思想，我们可以更好地理解和解决实际问题。

首先，极限思想可以帮助我们解决一些物理问题。

例如，当我们研究一个物体在某一时刻的速度时，可以通过极限思想来求解。

假设物体在t时刻的速度为v(t)，我们可以通过求解v(t)的导数来得到物体在t时刻的速度。

然而，如果我们想要得到物体在某一时刻的瞬时速度，我们就需要使用极限思想。

我们可以通过求解v(t)的极限值，即求解lim(t->0) v(t)，来得到物体在某一时刻的瞬时速度。

这样，我们就能更准确地描述物体在不同时刻的速度变化。

其次，极限思想在经济学中也有广泛的应用。

例如，在经济学中，我们经常需要研究一个变量随着时间的变化趋势。

通过极限思想，我们可以更好地理解这种变化趋势。

假设我们研究一个国家的经济增长率，我们可以将经济增长率表示为一个函数G(t)。

通过求解G(t)的导数，我们可以得到经济增长率的变化速度。

然而，如果我们想要得到经济增长率在某一时刻的瞬时变化速度，我们就需要使用极限思想。

我们可以通过求解G(t)的极限值，即求解lim(t->0) G(t)，来得到经济增长率在某一时刻的瞬时变化速度。

这样，我们就能更准确地描述经济增长率的变化趋势。

此外，极限思想在工程学中也有重要的应用。

例如，在工程设计中，我们经常需要研究一个系统的稳定性。

通过极限思想，我们可以更好地理解系统的稳定性。

假设我们研究一个系统的稳定性，我们可以将系统的稳定性表示为一个函数S(t)。

通过求解S(t)的导数，我们可以得到系统稳定性的变化速度。

然而，如果我们想要得到系统稳定性在某一时刻的瞬时变化速度，我们就需要使用极限思想。

我们可以通过求解S(t)的极限值，即求解lim(t->0) S(t)，来得到系统稳定性在某一时刻的瞬时变化速度。

极限思想的实际应用及分析极限思想是数学中的重要概念之一，也是实际应用中经常使用的方法之一。

它在各个领域都有广泛的应用，如物理学、经济学、工程学和计算机科学等。

在本文中，我将对极限思想的实际应用进行分析，并且探讨其在现实生活中的重要性。

首先，物理学是一个最能体现极限思想应用的领域之一。

在物理学中，许多重要的物理现象可以通过极限思想来解释。

例如，在运动学中，我们常常使用速度的定义来描述物体的运动。

而速度的定义实际上是一个极限的概念，即速度等于物体在某一瞬间的位移对时间的极限。

通过这样的定义，我们可以准确地描述物体在任意时刻的运动状态，进而研究物体的加速度，力学和能量等重要物理量。

在经济学中，极限思想也有着广泛的应用。

例如，在微观经济学中，我们经常使用边际效应来分析个体的决策行为。

边际效应实际上是一个极限的概念，即当某一决策变量微小变化时，对应的效益的变化量。

通过分析边际效应，我们可以了解到个体的决策行为是如何取决于其行为变量的微小变化的。

这对于经济学家和政策制定者来说是非常重要的，可以帮助他们设计更有效的经济政策，以及预测市场的发展趋势。

在工程学中，极限思想也有着重要的应用。

例如，在结构工程中，为了保证建筑物的安全性和可靠性，我们需要对各种材料和结构进行强度和稳定性的分析。

在这个过程中，我们需要考虑诸如材料的极限抗压强度、构件的极限刚度等概念。

通过分析这些极限概念，我们可以确定建筑物能够承受的最大荷载，从而保证结构的安全性。

此外，在电子工程和通信工程中，极限思想也被广泛应用于信号处理和系统建模等领域。

在计算机科学中，极限思想也有其独特的应用。

例如，在算法设计中，我们常常需要分析算法的时间复杂度和空间复杂度。

通过极限思想，我们可以准确地描述算法在大规模数据处理中的效率和可行性。

此外，在计算机图形学中，极限思想也被广泛应用于建模和渲染等领域，以获得更加真实和逼真的视觉效果。

综上所述，极限思想在实际应用中非常重要。

数学极限思想总结高中版数学极限思想是高中数学的重要内容，它是数学发展的基石，也是训练逻辑思维和分析能力的利器。

极限思想贯穿于数学的各个领域，如函数、微积分、级数等，在解决实际问题和推理证明中发挥着重要作用。

下面，我将从定义、性质和应用三个方面来总结高中数学中的极限思想。

首先，极限的定义。

数学中的极限用来描述函数或数列随着自变量无限接近某个值时的趋势。

对于函数f(x)而言，当自变量x无限逼近某个值a时，如果存在一个常数L，使得函数值f(x)无论如何都可以无限接近L，那么我们称L是函数f(x)在自变量x趋近于a时的极限，记作lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L〗。

对于数列{an}而言，当自然数n趋近于无穷大时，如果存在一个常数L，使得数列{an}的元素无论如何都可以无限接近L，那么我们称L是数列{an}在自然数n趋近于无穷大时的极限，记作lim┬(n→∞)⁡〖an=L〗。

其次，极限的性质。

极限的性质是指在进行极限运算时所满足的一些基本法则。

其中，数列极限的性质有唯一性、有界性和保序性。

唯一性是指数列的极限是唯一确定的，即不存在不同的极限值。

有界性是指一个数列如果有极限，那么它必定是有界的，即存在一个常数M，使得数列的每一项都不大于M。

保序性是指如果{an}和{bn}是两个数列，并且满足an≤bn，那么它们的极限也满足lim┬(n→∞)⁡〖an≤lim┬(n→∞)⁡〖bn〗〗。

函数极限的性质包括局部有界性、单调性、夹逼准则和四则运算法则。

局部有界性是指如果函数f(x)在某点a的一个邻域内有界，那么它在该点的极限存在。

单调性是指如果函数在某个区间上单调增加（或单调减少），那么它在该区间的极限存在。

夹逼准则是指如果在某个区间内，存在两个函数g(x)和h(x)，满足g(x)≤f(x)≤h(x)，并且它们的极限都等于L，那么函数f(x)在该区间的极限也等于L。

四则运算法则是指函数的四则运算也适用于极限运算，即如果函数f(x)和g(x)在某点a的极限都存在，那么它们的和、差、积和商（除数不为0）的极限也存在，并且有相应的运算规则。

极限思想1. 极限思想的概念。

我们知道，在小学数学里有些问题不是通过初等数学的方法解决的，如圆的面积，无法直接按照求长方形面积的方法来计算。

我国古代数学家刘徽为了计算圆的面积和圆周率，曾经创立了“割圆术”，具体作法是：先做圆的内接正六边形，再做内接正十二边形…随着边数的不断增加，正多边形越来越接近于圆，那么它的面积和周长也越来越接近于圆的面积和周长。

刘徽在描述这种作法时说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”。

也就是说，随着正多边形的边数无限增加，圆内接正多边形就转化为圆，这种思想就是极限思想，即用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想。

为了便于理解,我们先从数列说起，数列是按照正整数1,2,3,…,n,…编号依次排列的一列数，可写成如下形式其中称为数列的通项。

其实，数列的通项an可以看成是自变量为正整数n的特殊的函数，可写作an＝f(n)，其定义域为全体正整数。

如2，4，6，…，2n，…1，-1，1，-1，1，-1，…都是数列，当n无限增大时，这些数列的通项都会随之变化，有的趋向于无穷大，如第二个数列；有的无限接近于某一常数，如第一个数列无限接近于0，这时我们就说该数列以0为极限，或者说收敛到0。

通俗地说，就是对于任意给定一个不管多么小的正数ε，总是存在一个正整数N，使得n>N的通项(N+1及大于它的每一项,即+1, +2+3,…)与常数a的差的绝对值总小于ε(在数轴上可以直观地理解为两个点和a的距离总小于ε)，那么就说数列的极限为a。

在上面的数列中，由无穷多个项相加的式子叫做无穷级数，其中前n项的和可记作，称为级数的部分和，这些部分和又可以构成一个新的数列当n趋向于无穷大时，如果数列Ｓn的极限存在，可设极限为Ｓ，这时极限Ｓ就是无穷级数的和，记作2. 极限思想的重要意义。

小学生的思维以形象思维为主，逐步向逻辑思维过渡；此外，在小学数学中还渗透着既对立又统一的辩证思维，如加与减、乘与除是学生非常熟悉的辩证关系。